Dossier de Matemática Básica 2024 Estudios Generales

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE NICARAGUA, LEÓN DIRECCIÓN DE ESTUDIOS GENERALES

Matemática

COMPONENTE CURRICULAR

2024: “45/19 ¡LA PATRIA, LA REVOLUCIÓN!”

Copyright © 2024 UNAN, Léon Editado en León, Nicaragua. Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua, León. Área de Conocimiento Ciencias y Tecnología. Editor: Lissette del Carmen Quintero Vargas, coordinadora del componente Matemática Básica de Estudios Generales Correo electrónico: [email protected]. Colaboradores: Jackson Palma docente del Área de Conocimiento Específico de Matemática y Estadística, Jeeyson Martínez, María Celeste Munguía, Omar Mungrio y Horacio Robleto estudiantes de la carrera de Matemática del Área de Conocimiento Específico de Mátematica y Estadística.

2

DIRECCIÓN SEMESTRE DE ESTUDIOS GENERALES

Área de Conocimiento de Ciencias y Tecnología

Índice general

UNIDAD I

I 1

Aritmética Elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1

Aritmética

1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 1.1.7

Propiedades elementales de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Operaciones con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Exponentes y radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ejercicios propuestos de Razones y Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ejercicios propuestos de Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2

Lógica y Teoría de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7

2.1

Lógica

30

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.1.7 2.1.8 2.1.9 2.1.10 2.1.11 2.1.12 2.1.13 2.1.14

Enunciado, conectivos y modificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conectivos Proposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Negación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Disyunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Disyunción Exclusiva o Fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proposición Recíproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proposición Inversa o Contrario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proposición Contrarecíproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tablas de valores de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conectivos Lógicos Representados en Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . .

30 31 32 33 33 34 34 35 35 36 36 37 37 37

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Área de Conocimiento de Ciencias y Tecnología

3

2.1.15 Tautología, Contradicción y Contingencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.16 Implicación tautológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2

Argumento

42

2.2.1 2.2.2

Métodos de Demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Ejercicios propuestos de Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3

Teoría de Conjuntos

2.3.1 2.3.2

Notación y representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Cardinalidad y tipos de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6

Álgebra de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Técnicas de Conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos Tecnicas de Conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

52 53 54 55

UNIDAD II

II 3

Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1

Ecuaciones lineales

3.1.1 3.1.2

Aplicaciones de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Ejercicios propuestos de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2

Ecuaciones cuadráticas

3.2.1 3.2.2 3.2.3

Aplicaciones de ecuaciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Ejercicios propuestos de Aplicaciones Cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Ejercicios propuestos de Ecuaciones lineales y cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3

Sistemas de ecuaciones lineales

3.3.1

Ejercicios propuestos Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4

Aplicaciones de sistemas de dos ecuaciones con dos variables

3.4.1

Ejercicios propuestos de Sistemas de ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . 92

57

69

80 86

3.5

Sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática

3.5.1

Ejercicios Propuestos Sistemas Lineales y Cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

93

3.5.2 Aplicaciones de un sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática 95 3.5.3 Ejercicios propuestos de aplicaciones de sistemas formados por una ecuación lineal y una cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4

3.6

Desigualdades

3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.6.4 3.6.5 3.6.6 3.6.7 3.6.8 3.6.9 3.6.10

Representación gráfica de las inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 0 Intervalos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Desigualdades Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Desigualdades Simultaneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Desigualdades cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Desigualdades con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Desigualdades para Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Signo de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Método de la Raíz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Ejercicios propuestos de Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

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99

Área de Conocimiento de Ciencias y Tecnología

UNIDAD III

III 4

Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.1

Función lineal

4.1.1 4.1.2

Aplicaciones de la función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Ejercicios propuestos Función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

111

4.2

Función Cuadrática

4.2.1 4.2.2

Aplicaciones de la función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Ejercicios propuestos Función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

122

4.3

Funciones Racionales

131

4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5

Funciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Asíntota Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Asíntota Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfica de una función Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos Función Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134 134 135 137 141

4.4

Funciones Seccionadas

142

4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4

Funciones Seccionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráficas de Funciones Seccionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dominio y Rango de Funciones Seccionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos Función Seccionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142 143 145 147

4.5

Función Exponencial

147

4.5.1 b 4.5.2

Función Exponencial Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Función logarítmica base b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.6

Función Logarítmo Natural

156

4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4

Aplicaciones de Funciones Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicaciones en funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos de Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos de Función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157 157 161 163

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5

Por tal razón, en el proceso de admisión de esta casa de estudios se promueve la atención e inclusión de todas y todos los bachilleres que deseen formarse

MENSAJE DE LA RECTORA

Cra. Almarina Solís Santos En nombre de la comunidad universitaria de la Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua, León, reciban nuestro fraterno y revolucionario saludo, y deseos de mucho éxito para este proceso de admisión 2024. Desde la UNAN-León, con más de 200 años de fundación e historia, preservamos el firme compromiso de seguir contribuyendo a cumplir los sueños de miles de nicaragüenses que estarán ingresando a nuestra universidad en este 2024, y que se darán cita en nuestra Capital de la Revolución, en los Centros Universitarios Regionales ubicados en Jinotega, Somoto, Somotillo, en el Núcleo multidisciplinario en San Carlos - Río San Juan y en nuestro emblemático programa Universidad en el Campo, establecido actualmente en 19 municipios, lo que consolida nuestro amor y compromiso con el pueblo de Nicaragua para seguir afianzando victorias. Somos una institución educativa con principios revolucionarios en pro de la transformación y desarrollo de la sociedad, acercando la educación universitaria a todo el pueblo nicaragüense, asumiendo de esta manera el Plan Nacional de Lucha contra la Pobreza y para el Desarrollo Humano que impulsa nuestro Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional.

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a nivel técnico y profesional, garantizando la participación con igualdad y respeto de todas y todos los nicaragüenses de esta Patria Bendita y Libre. La formación universitaria que ofrece la UNAN-León, toma en cuenta todas las áreas del desarrollo humano de manera integral, de tal forma que siempre se tiene a la vista el humanismo, la solidaridad, la preservación y cuido del medio ambiente, el espíritu emprendedor, la interculturalidad, inclusión, igualdad y equidad, así como el compromiso de defender la soberanía y dignidad de nuestra Nicaragua linda. Queremos

finalmente,

agradecerles por la confianza que depositan en nosotros al seleccionar a la UNAN-León como la Casa de Estudios de Educación Universitaria que con certeza les acompañará en su proceso de formación y fortalecimiento de sus habilidades y destrezas para contribuir Todas y Todos Juntos a la prosperidad de nuestra amada Nicaragua.

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1. Aritmética Elemental

1.1 Aritmética Para introducirnos en el estudio de la aritmética se darán a conocer elementos sobre los cuales podemos operar y como estos están caracterizados dentro de un amplio abanico de números. Para poder distinguirlos daremos una idea prematura de lo que es un conjunto. Definición 1.1.1 — conjunto. Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que

comparten entre sí características y propiedades semejantes. Estos elementos pueden ser sujetos u objetos, tales como números, canciones, meses, personas, etc. Por ejemplo: el conjunto de números primos o el conjunto de planetas del sistema solar o bien el conjunto de sillas de un salón específico de tu recinto universitario que cuentan con la característica que todas son del mismo color y tienen la numeración B1 para distinguirlas de otras sillas de otros salones. 1.1.1

Propiedades elementales de los números reales Dentro del conjunto de los números reales, denotado por R, se encuentran importantes conjuntos como el conjunto de los números naturales, números enteros, números racionales, entre otros. El conjunto de los Números Naturales: N = {1, 2, 3, · · · } El conjunto de los Números Enteros: Z = {0, ±1, ±2, ±3, · · · } El conjunto de los Números Racionales: Q=

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p | p, q ∈ Z y q ̸= 0 q

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7

1.1 Aritmética

7

1 5 2 7 Algunos ejemplos de números racionales son, , , , . Ahora, vuelve a revisar los ejemplos 2 8 7 7 7 dados sobre números racionales y observa en específico el último número, ¿notaste que = 1?, si 7 es así ¡Felicitaciones!. Lo anterior quiere decir que “Todo número entero es un número racional cuyo denominador es la unidad”, hay otra pregunta para tí, ¿Sabes por qué en la definición de números racionales el denominador q debe ser distinto de cero? A continuación se presentan algunas propiedades básicas de la igualdad, suma y multiplicación. Propiedades 1.1.1 — Propiedades de la Igualdad. Sean a, b, c, d números reales, para los

cuales se cumplen las siguientes propiedades: 1. Reflexividad: a = a. 2. Simetría: Decir que a = b es lo mismo que b = a. 3. Transitividad: Sí a = b y b = c entonces a = c. 4. Adición: Sí a = b y c = d esto implica que a + c = b + d. 5. Multiplicación: Sí a = b y c = d esto implica que ac = bd. Propiedades 1.1.2 — Propiedades de la Suma. Sean a, b, c números reales, para los cuales

se cumplen las siguientes propiedades: 1. Conmutatividad: a + b = b + a. 2. Asociatividad: a + (b + c) = (b + a) + c. 3. Elemento identidad: En el conjunto de los números reales existe el elemento 0 tal que 0 + a = a + 0 = a para todo elemento a de R. 4. Inverso aditivo: Para todo elemento a en R existe −a en R tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. Propiedades 1.1.3 — Propiedades de la Multiplicación. Sean a, b, c números reales, para

los cuales se cumplen las siguientes propiedades: 1. Conmutatividad: ab = ba. 2. Asociatividad: a(bc) = (ba)c. 3. Elemento identidad: En el conjunto de los números reales existe el elemento 1 tal que 1a = a1 = a para todo elemento a de R. 4. Inverso aditivo: Para todo elemento a ̸= 0 en R existe

1 1 1 en R tal que a = a = 1. a a a

A continuación se proporciona una serie de ejemplos que involucra las operaciones con fracciones y números enteros. Dos propiedades útiles para recordar son las siguientes:

8

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Capítulo 1. Aritmética Elemental

8

Propiedades 1.1.4 — Suma:. Sean a, b, c, d números reales con b ̸= 0 y d ̸= 0, entonces

a c ad + bc + = b d bd Propiedades 1.1.5 — Regla del Sandwich:. Sean a, b, c, d números reales arbitrarios enton-

ces a b = ad c bc d Ahora se presentan una serie de ejemplos sobre las operaciones en el conjunto de los números reales.

1.1.2

Operaciones con fracciones Calcule la suma de cada uno de los siguientes conjuntos de números. 13 ,5 2 Solución: De acuerdo al enunciado, se pide realizar una suma (+) de los elementos dados anteriormente, por lo cual:

a. −

−

13 13 5 −13 + 10 −3 3 +5 = − + = = =− 2 2 1 2 2 2

Es decir, el resultado de sumar −

3 13 con 5 es − . 2 2

6 9 b. − , − 7 8

  9 −6 −9 (−6)(8) + (−9)(7) −48 − 63 111 6 = + = = =− . Solución: − + − 7 8 7 8 56 56 56

c. −3, −

11 4 , 2 7

  4 −3 −11 4 −42 + (−77) + 8 −119 + 8 −111 11 + = Solución: −3 + − + + = = = 2 7 1 2 7 14 14 14

d.

12 , −8, 11 11 12 −8 11 12 + (−88) + 121 45 12 + (−8) + 11 = + + = = Solución: 11 11 1 1 11 11

Para los ejercicios anteriores, reste el segundo término al primero y en caso de conjuntos de más de dos términos restar los términos sucesivos al primero. 13 ,5 2 Solución: De acuerdo al enunciado, se pide realizar una resta (−) de los elementos dados anteriormente, por lo cual:

a. −

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9

1.1 Aritmética

9 −

13 13 5 −13 − 10 −23 23 −5 = − − = = =− 2 2 1 2 2 2

Es decir, el resultado de restar 5 a −

13 23 es − . 2 2

6 9 b. − , − 7 8

  6 9 −6 9 (−6)(8) + (9)(7) −48 + 63 15 Solución: − − − = + = = = . 7 8 7 8 56 56 56

c. −3, −

11 4 , 2 7

 4 −3 11 4 −42 + 77 − 8 27 11 − = Solución: −3 − − + + = = 2 7 1 2 7 14 14

d.



12 , −8, 11 11 12 12 8 11 12 + 88 − 121 21 Solución: − (−8) − 11 = + − = =− 11 11 1 1 11 11

Calcule los siguientes productos. a.

8 5 , 3 4

   (8)(5) 40 10 5 8 = Solución: = = 3 4 (3)(4) 12 3 b.

−6 5 , 7 2 Solución:

c.

−12 −4 , 5 3 Solución:



−6 7



−12 5

  5 (−6)(5) −30 15 = = =− 2 (7)(2) 14 7 

−4 3



=

(−12)(−4) 48 16 = = (5)(3) 15 5

Realice las siguientes operaciones. a.

20 5 ∇· 3 4

20     20 5 20 4 (20)(4) 80 16 Solución: ∇ · = 3 = = = = 5 3 4 3 5 (3)(5) 15 3 4   24 −8 ∇· b. 5 7 24      7 (24)(7) 24 168 21 24 −8 5 = − =− Solución: ∇ · = =− =− 8 5 7 5 8 (5)(8) 40 5 − 7

10

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Capítulo 1. Aritmética Elemental

10 c.





−30 ∇·6 7

30     − 30 (30)(1) 30 5 −30 1 Solución: ∇·6 = 7 = − =− =− =− 6 7 7 6 (7)(6) 42 7 1     −7 −35 ∇· c. 2 5    − 35     35 5 (35)(5) 175 25 −7 −35 ∇· = 2 = − − = = = Solución: 7 2 5 2 7 (2)(7) 14 2 − 5 

1.1.3

Exponentes y radicales Definición 1.1.2 — Potencia. Si a es un número real y n un número entero positivo, definimos

el producto de a consigo mismo un número n de veces como an

n veces    = a·a·a···

El cual se lee “a elevado a la n−ésima potencia". El número a se conoce como base y a n potencia.

1 Nota: El exponente de cualquier número a es 1, así, a = a .

Teorema 1.1.6 — Exponente cero. Si a es un número distinto de cero, entonces a elevada a

cero equivale a 1, por lo cual a0 = 1 Teorema 1.1.7 — Exponente negativo. Sea a es un número real distinto de cero y n un número

entero, entonces −n

a ■

1 = an

Ejemplo 1.1 — Exponente negativo. Desarrolle la expresión 2−4

1 1 1 = . = 24 2 · 2 · 2 · 2 16 1 Por tanto, 2−4 = . 16

Solución: 2−4 =

■

Propiedades 1.1.8 — Leyes de los exponentes. Sean a, b, m y n números reales tales que

las siguientes cantidades están definidas. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: a. an · am = am+n

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11

1.1 Aritmética

11

b. (an )m = anm c. (ab)n = an bn  a n an d. = n b b e.

an 1 = an−m = m−n am a

Ejemplos sobre Leyes de los exponentes

Calcule los valores de las siguientes expresiones, si a = 3, b = 4, c = −5 y x = 1. a. 3a2 bc Solución: 3a2 bc = (3)(3)2 (4)(−5) = (3)(9)(4)(−5) = −540 b. 4a2 − b2

Solución: 4a2 − b2 = (4)(3)2 − (4)2 = (4)(9) − 16 = 36 − 16 = 20

c. (a + c)2 Solución: De acuerdo a las leyes de los exponentes, podemos encontrar el valor de (a + c)2 de varias formas, a continuación se ilustran dos de ellas. La primera: (a + c)2 = (3 + (−5))2 = (−2)2 = 4 La segunda: (a + c)2 = (3 + (−5))2 = (3 + (−5))(3 + (−5)) = (−2)(−2) = 4 d. a + b(a + b) Solución: a + b(a + b) = 3 + 4(3 + 4) = 3 + 4(7) = 3 + 28 = 31 Obtenga el resultado para las siguientes expresiones. a. (−6)4 Solución: Siguiendo la definición de potencia debemos multiplicar (−6) cuatro veces consigo mismo, con lo cual se tiene: (−6)4 = (−6) (−6) (−6) (−6) = 1296 b. (23 · 5−2 )(2−2 · 5−4 )

Solución: Recuerde que el producto es conmutativo, por lo que: (23 · 5−2 )(2−2 · 54 ) = 23 · 2−2 · 5−2 · 54 = 23+(−2) · 5−2+4 = 21 · 52 = 2 · (5)(5) = 50

c.

25 · 3−4 23 · 3−3 Solución: Basados en las leyes de los exponentes tenemos: 25 · 3−4 1 4 = 25−3 · 3−4−(−3) = 22 · 3−1 = 4 · = 23 · 3−3 3 3

12

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Capítulo 1. Aritmética Elemental

12 d.

272 93 Solución: Para este ejercicio primeramente debemos descomponer el 27 y el 9 en sus factores primo, es decir, 27 = 3 · 3 · 3 = 33 y 9 = 3 · 3 = 32 , por lo cual, 272 = (33 )2 y 92 = (32 )3 , así, 272 (33 )2 36 = 2 3 = 6 = 36−6 = 30 = 1 93 (3 ) 3

e.

 2  −3 3 1 · 3 2 Solución:  2  −3 12 3−3 3−3 23 23 23 8 1 3 · = 2 · −3 = 2 −3 = 2 3 = 2+3 = 5 = 3 2 3 2 3 ·2 3 ·3 3 3 243

  3 −2 1  2    f.   2   2 

3 Solución: Primero debemos resolver las potencias internas e ir aplicando de forma progresiva las leyes de los exponentes.   3 −2   −2 1 13  3 2 −2  2 −2  2   23  3−4 210 1024 (32 )−2 3    = 1 ·3 = 5 = 5 −2 = −10 = 4 =   2  =  2   3 2 2 ·2 2 (2 ) 2 3 81  2  2 2 3 3

1.1.4

Radicales Suma y resta Esta operaciones se pueden efectuar si y solo sí el índice del radical y el radicando son iguales (radicales semejantes). √ √ √ √ a n d + b n d − c n d = (a + b − c) n d Efectuar las siguientes operaciones, si es posible. √ √ a. 2 3 5 + 11 3 5 Solución: Puesto que los radicales son semejantes, entonces es posible realizar operaciones sobre ellos. √ √ √ √ 2 3 5 + 11 3 5 = (2 + 11) 3 5 = 13 3 5 √ √ √ Entonces, 2 3 5 + 11 3 5 = 13 3 5 √ √ √ b. 3 2 + 7 2 − 4 2

Solución: Todos los radicales de la expresión siguen siendo semejantes, por lo que,

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13

1.1 Aritmética

13 √ √ √ √ √ 3 2 + 7 2 − 4 2 = (3 + 7 − 4) 2 = 6 2

Nota: Si los radicandos son diferentes, no se pueden sumar o restar los radicales de primera instancia, entonces se simplifican; si resultan semejantes se efectúan las operaciones, de lo contrario, se dejan indicadas.

d.

√ √ √ 20 + 45 − 80

Solución: Primeramente debemos simplificar los radicales y luego realizar las operaciones correspondientes. √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 20+ 45− 80 = 22 · 5+ 32 · 5− 24 · 5 = 2 5+3 5−4 5 = (2+3−4) 5 = 5 e.

√ 1√ 1√ 2√ 405 − 128 − 125 + 3 32 15 6 10 Solución: Primeramente se simplifican los radicales, se multiplican las cantidades que les anteceden y se simplifican las fracciones: √ √ 2√ 1√ 1√ 2√ 4 1√ 6 1√ 2 405 − 128 − 125 + 3 32 = 3 ·5− 2 ·2− 5 · 5 + 3 24 · 2 15 6 10 15 6 10  √  2  2√  1  3√  1  √  = 3 5 − 2 2 − 5 5 + 3 22 2 15 6 10 =

√ 18 √ 8√ 5√ 5− 2− 5 + 12 2 15 6 10

√ 6√ 4√ 1√ 5− 2− 5 + 12 2 5 3 2 Se agrupan los radicales semejantes y se realizan las operaciones para obtener el resultado. √ 6√ 1√ 4√ = 5− 5 + 12 2 − 2 5 2 3 =

= =

= Por tanto, el resultado es

7√ 32 √ 5+ 2. 10 3

√ 6√ 1√ 4√ 5− 5 + 12 2 − 2 5 2 3     4 √ 6 1 √ 5 + 12 − 2 − 5 2 3 32 √ 7√ 5+ 2 10 3

Multiplicación de radicales Multiplicación de radicales con índices iguales: Cuando los índices de los radicales son iguales, se multiplican los radicandos y de ser posible se simplifica el resultado. Efectúe los siguientes productos, si es posible. √ √ a. 2 · 3 Solución: Puesto que los radicales son de igual índice entonces es posible efectuar los productos.

14

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Capítulo 1. Aritmética Elemental  √ √ √ 2 · 3 = (2)(3) = 6

14

b.

√ √ √ 6· 2· 3

Solución:

√ c.

 √  √  2 3 4 3 3 10

√  √ √ √ 6 · 2 · 3 = (6)(2)(3) = 36 = 22 · 32 = 2 · 3 = 6

Solución:  √  √  √  √ √ √ √ √ 3 2 3 4 3 3 10 = 6 3 4 · 3 10 = 6 3 (4)(10) = 6 3 40 = 6 23 · 5 = (6)(2) 3 5 = 12 3 5

Multiplicación de radicales con índices diferentes: Para multiplicar radicales con índices diferentes se busca un índice común, que resulta del mínimo común múltiplo de los índices de los radicales y recibe el nombre de “mínimo común índice”. Efectúe los siguientes productos. a.

√ √ 3 2· 5

Solución: El mínimo común índice de 3 y 2 es 6, entonces los radicales se convierten a dicho indice. √ √ √ √ √ √ 3×2 2 6 2×3 3 6 3 2= 2 = 22 y 3 2 = 5 = 53 Se efectúa el producto y se observa que no se puede simplificar el radical, por consiguiente se desarrollan las potencias y se realiza la multiplicación. √ √ √ √ √ √ √ 6 6 6 3 2 · 5 = 22 · 53 = 22 · 53 = 6 4 · 125 = 6 500

b.

√

√ 2· 4 8

Solución: Se descompone 8 en factores primos y el mínimo común índice es 4, por lo tanto, al transformar los radicales se obtiene: √

2=

√ √ √ √ 4 4 22 = 22 y 4 8 = 23

2×2

Se efectúa la multiplicación y se simplifica el resultado. √ √ √ √ √ √ √ √ √ 4 4 4 4 4 2 · 4 8 = 22 · 23 = 22 · 23 = 24 · 2 = 24 · 4 2 = 2 4 2 c.

√

√ √ 2· 4 2· 8 2

Solución: Se convierten los índices de los radicales a índice 8 y se realizan las respectivas operaciones. √

√ √ √ √ √ √ √ 2×4 4 4×2 2 8 2· 4 2· 8 2 = 2 · 2 · 8 2 = 24 · 22 · 2 = 8 128

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15

1.1 Aritmética

15

División División de radicales con índices iguales: Para efectuar la división se aplica el siguiente teorema:  √ n a a n √ = n b b Realizar las siguientes divisiones de radicales. √ 10 a. √ 2 Solución: Los radicales son de igual índice, entonces se dividen los radicandos.  √ 10 10 √ √ = = 5 2 2 √ El resultado de la operación es 5. √ 6 28 b. √ 63 Solución: Se simplifican los radicales y se realiza la operación.  √ √ √ √ 6 28 6 22 · 7 6 22 · 7 6(2) 7 12 √ = √ = =4 = √ √ = 3 7 3 63 32 · 7 32 · 7 Para introducir una cantidad a un radical, se debe elevar la cantidad a un exponente igual al índice del radical.

■

Ejemplo 1.2 Realizar

√ 48 2

Solución: El divisor se expresa como 2 =

√ 22 y se realiza la operación para obtener el resultado.

■

 √ √ √ √ √ √ 48 48 48 √ =√ = = 12 = 22 · 3 = 22 · 3 = 2 3 2 4 22 División de radicales con índices diferentes: Se transforman los radicales a un índice común y después se realiza la división. √ 4 8 a. Hallar el cociente de √ 3 4 Solución: Se transforman los índices de los radicales a 12 y se realiza la operación. √ 4 8 √ = 3 4

16

 √ 12 9 9 √ √ 2 12 2 12 12  √ = = = 29−8 = 2 12 8 3×4 2 4 8 2 (2 ) 2 

4×3

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(23 )3

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Capítulo 1. Aritmética Elemental

16 1.1.5 Razones y proporciones Cantidades proporcionales

Si se tienen 2 cantidades tales que al multiplicar una de ellas por un número la otra queda multiplicada por el mismo número, o al dividir una de ellas la otra queda dividida por el mismo número, se dice que las cantidades son directamente proporcionales. Ejemplo 1.3 Si 18 lápices cuestan $28, entonces 54 lápices costarán el triple, es decir, $84; al multiplicar el número de lápices por 3 el costo también quedó multiplicado por 3. Por lo tanto, las cantidades son directamente proporcionales. ■ ■

Ejemplo 1.4 Un automóvil recorre 360 km en 4 horas a velocidad constante; entonces, en 2 horas recorrerá la mitad, esto es 180 km, ambas cantidades quedaron divididas por 2, entonces se dice que son directamente proporcionales. ■

■

Ejemplo 1.5 Si se tienen 2 cantidades tales que al multiplicar una de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo número y viceversa, entonces, las cantidades se dice que son inversamente proporcionales. ■

■

Ejemplo 1.6 Si 18 hombres construyen una barda en 12 días, entonces 6 hombres construirán la misma barda en el triple de tiempo, es decir, 36 días. Al dividir el número de hombres por 3, el número de días quedó multiplicado por 3, por consiguiente las cantidades son inversamente proporcionales. ■

■

Definición 1.1.3 — Razón. Es el cociente entre 2 cantidades, donde el numerador recibe el

a nombre de antecedente y el denominador de consecuente. Para las cantidades a, b en la razón b o a : b con b ̸= 0, a recibe el nombre de antecedente y b el de consecuente.

7 , 7 es el antecedente y 4 es el consecuente. 4 ■ Ejemplo 1.8 En la razón 2 3: (se lee 2 es a 3), 2 es el antecedente y 3 es el consecuente. ■

Ejemplo 1.7 En la razón

■ ■

Definición 1.1.4 Razón de proporcionalidad. Si a y b son 2 cantidades directamente pro-

a porcionales, la razón recibe el nombre de razón de proporcionalidad, la cual siempre es b constante. ■

Ejemplo 1.9 Si 18 libros de ciencia cuestan $1260, la razón de proporcionalidad es de 70, ya que

1260 = 70. 18

■

Definición 1.1.5 — Proporción. Una proporción es la igualdad entre 2 razones

a c = o bien a : b :: c : d con b ̸= 0 y d ̸= 0 b d La expresión se lee a es a b como c es a d, a y d son los extremos, b y c son los medios. 8 3 = . Al simplificar cada fracción se obtiene 6 16 1 , la razón de proporcionalidad En una proporción el producto de los extremos es igual al producto 2 de los medios: a c = entonces a · c = b · c con b ̸= 0 y d ̸= 0 b d ■

Ejemplo 1.10 3 es a 6 como 8 es a 16, se escribe

■

5 20 se tiene que (59)(16) = (4)(20) = 80. En una propor■ Ejemplo 1.11 Para la proporción = 4 16 ción un extremo es igual al producto de los medios dividido por el extremo restante, es decir:

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17

1.1 Aritmética

17 b·c b·c a c = entonces a = o =. b d d a ■

m 24 ■ Ejemplo 1.12 Halla el valor de m en la siguiente proporción = 5 30 Solución: m es un extremo en la proporción, entonces: m=

(5)(24) 120 = =4 30 30

Por tanto, m = 4

■

7 10 ■ Ejemplo 1.13 ¿Cuál es el valor de b en la siguiente proporción = ? 2 b Solución: b es uno de los extremos en la proporción, por lo tanto: b=

(2)(10) 20 = 7 7

20 ■ 7 En una proporción un medio es igual al producto de los extremos dividido por el medio restante, es decir: a c a·d a·d = entonces b = oc= b d c b Por consiguiente, b =

Ejercicio 1.1 Determina el valor del elemento que falta en cada una de la siguientes proporcio-

nes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

3 x = 4 8 8 2 = n 32 4 12 = 5 m 6 a = 5 15 20 12 = x m y 7 = 14 10 x 6 = 3 2

2 12 = 3 n 7 56 9. = 8 p

8.

9 12 z = 28 8 = 20 x = 27 150 x = 14. 1000 75 x 8 3 11. 7 y 12. 5 3 13. 9

10.

=

15.

15 30 = 70 x

16.

5 15 = m 9

17.

3 12 = 5 m

18.

90 15 = x 85

19.

8 16 = a 12

20.

x 4 = 12 3 ■

Media proporcional (media geométrica) Definición 1.1.6 A una proporción de la forma:

a b = con b ̸= 0 y c ̸= 0 b c Se le llama proporción geométrica y se dice que b es media proporcional (geométrica) entre a y

18

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Capítulo 1. Aritmética Elemental

18

c. La media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos. ■

9 m = . m 4 Solución: m es la media proporcional de 9 y 4, entonces:  √ m = (9)(4) = 36 = 6

Ejemplo 1.14 Calcula el valor de m en la proporción

Por tanto, m = 6

■

Ejercicio 1.2 Encuentra la media proporcional (geométrica) entre los números dados:

1. 12 y 3

3. 9 y 25

5. 2 y 7

7. 10 y 25

9. 0.2 y 0.8

2. 6 y 24

4. 4 y 12

6. 9 y 18

8. 0.1 y 0.5

10. 0.8 y 1.6 ■

Cuarta proporcional

Se le llama cuarta proporcional a cualquiera de los 4 términos en una proporción. ■

Ejemplo 1.15 ¿Una cuarta proporcional de 6,4 y 3?

6 3 Solución: Se forma la proporción = tomando a x como el último extremo. El extremo es 4 x igual al producto de los medios dividido por el extremo restante. (4)(3) 12 = =2 6 6 Por tanto, una cuarta proporcional de 6, 4 y 3 es 2 x=

■

Ejercicio 1.3 Encuentra la cuarta proporcional de los siguientes números:

1. 2,5 y 15

4. 4, 3 y 32

2. 6, 8 y 24

5. 7, 5 y 63

3. 2, 5 y 14

6. 2, 4 y 5

7. 3, 6 y 8 8.

1 3 2 , y 2 4 3

9.

5 7 1 , y 4 2 4

10.

1 1 1 , y 3 5 2 ■

Tercera proporcionnal

Se llama así a cualquiera de los extremos de una proporción geométrica, es decir, a b = con b ̸= 0, d ̸= 0 b d a es tercera proporcional entre b y d, en su defecto d es tercera proporcional entre a y b. ■

Ejemplo 1.16 Determina una tercera proporcional entre 4 y 12.

Solución: Se forma una proporción al tomar como medio a uno de los números dados y como último extremo a x 12 (12)(12) 144 4 = entonces x = = = 36 12 x 4 4 Por tanto, una tercera proporcional es 36 Ahora, si se toma como medio el 4, entonces la proporción queda:

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19

1.1 Aritmética

19 (4)(4) 16 4 12 4 = entonces x = = =3 4 x 12 12 3

Finalmente, otra tercera proporcional es

4 3

■

Ejercicio 1.4 Calcula una tercera proporcional.

1. 18 y 6

4. 18 y 9

6.

1 5 y 3 6

8.

5 1 y 9 18

7.

2 1 y 3 4

9.

3 1 y 5 2

2. 24 y 4 3. 8 y 4

5. 54 y 18

10. 9 y

3 2

■

Regla de tres simple

Es la operación que se utiliza para encontrar el cuarto término en una proporción. A la parte que contiene los datos conocidos se le llama supuesto y a la que contiene el dato no conocido se le llama pregunta. Directa. Se utiliza cuando las cantidades son directamente proporcionales. ■

Ejemplo 1.17 Si 12 discos compactos cuestan $600, ¿cuánto costarán 18?

Solución: Supuesto: 12 discos cuestan $600 Pregunta: 18 discos cuestan x Las cantidades son directamente proporcionales, ya que al aumentar el número de discos el precio también se incrementa. Se forma una proporción entre las razones del supuesto y la pregunta. (600)(18) 10800 12 600 = donde x = = = 900 18 x 12 12 Por tanto, 18 discos compactos cuestan $900

■

■ Ejemplo 1.18 Una llave que se abre 4 horas diarias durante 5 días, vierte 5 200 litros de agua, ¿cuántos litros vertirá en 12 días si se abre 4 horas por día?

Solución: Se calcula el número de horas totales; es decir, en 5 días la llave ha estado abierta 20 horas y en 12 días la llave permaneció abierta 48 horas. Supuesto: en 20 horas la llave ha vertido 5 200 litros. Pregunta: en 48 horas la llave ha vertido x litros. Las cantidades son directamente proporcionales, ya que al aumentar el número de horas también se incrementa el número de litros vertidos. Se forma una proporción entre las razones del supuesto y la pregunta. 20 5200 (5200)(48) 249600 = donde x = = = 12480 48 x 20 20 Por consiguiente, en 48 horas la llave vierte 12480 litros. ■

Inversa. Se utiliza cuando las cantidades son inversamente proporcionales.

20

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Capítulo 1. Aritmética Elemental

20

Ejemplo 1.19 Se ha planeado que una barda sea construida por 24 hombres en 18 días; sin embargo, sólo se logró contratar a 12 hombres, ¿en cuántos días la construirán? Solución: Supuesto: 24 hombres construyen la barda en 18 días. Pregunta: 12 hombres la construirán en x días. Las cantidades son inversamente proporcionales, ya que al disminuir el número de hombres, los contratados tardarán más días en construirla. Se forman las razones entre las cantidades. 24 Razón entre el número de hombres: 12 18 Razón entre el número de días: x Se invierte cualquiera de las razones y se iguala con la otra, es decir: ■

x 24 (18)(24) 432 = donde = = 36 18 12 12 12 Por tanto, 12 hombres construyen la barda en 36 días. ■

■

Ejemplo 1.20 Las ruedas traseras y delanteras de un automóvil tienen un diámetro 1,5 m y 1 m,

respectivamente, cuando las primeras han dado 350 vueltas, ¿cuántas han dado las segundas? Solución: Supuesto: las ruedas traseras tienen un diámetro de 1,5 m y dan 350 vueltas. Pregunta: las ruedas delanteras tienen un diámetro de 1 m y dan x vueltas. 1,5 Razón entre los diámetros: 1 350 Razón entre el número de vueltas: x Se invierte cualquiera de las razones y se iguala con la otra, es decir: 1,5 (350)(1,5) 525 x = donde x = = = 525 350 1 1 1 Por consiguiente, las delanteras dan 525 vueltas.

■

1.1.6 Ejercicios propuestos de Razones y Proporciones Resuelve los siguientes problemas: 1. El precio de 25 latas de aceite es de $248, ¿cuántas latas se podrán comprar con $1240? 2. Liam escucha la radio durante 30 minutos, lapso en el que hay 7 minutos de anuncios comerciales; si escucha la radio durante 120 minutos, ¿cuántos minutos de anuncios escuchará? 3. Durante 70 días de trabajo Ana ganó $3500, ¿cuánto ganaría si trabajara 12 días más? 4. Una llave abierta 6 horas diarias durante 7 días arrojó 6 120 litros de agua, ¿cuántos litros arrojará durante 14 días si se abre 4

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horas diarias? 5. Un automóvil gasta 9 litros de gasolina cada 120 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer? 6. En un libro de 80 páginas cada una tiene 35 líneas, ¿cuántas páginas tendrá el mismo libro si en cada una se colocan 40 líneas? 7. Una bodega se llena con 3500 sacos de 6 kg de papas cada uno y otra de la misma capacidad se llena con sacos de 5 kg, ¿cuántos sacos caben en la segunda bodega?

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21

1.1 Aritmética 8. Un leñador tarda 8 segundos en dividir en 4 partes un tronco de cierto tamaño, ¿cuánto tiempo tardará en dividir un tronco semejante en 5 partes?

18. Un microbús cobra a una persona $17.50 de pasaje por una distancia de 21 kilómetros, ¿cuánto pagará otra persona, cuyo destino está a 51 kilómetros de distancia?

9. Si un automóvil hizo 9 horas durante un recorrido de 750 kilómetros, ¿qué tiempo empleará en recorrer 2250 kilómetros si su velocidad es constante?

19. Una piscina se llena en 10 horas con una llave que arroja 120 litros de agua por minuto, ¿cuántos minutos tardará para llenarse si esta llave arrojara 80 litros del líquido?

10. Teresa tiene en su tienda varios sacos de harina de 18 kg y va a vender cada uno en $108, pero como nadie quiere comprar por saco decide venderla por kilo. Su primer cliente le pidió 4 kg, ahora ella quiere saber cuánto debe cobrarle. 11. Don Arturo tiene una pastelería y sabe que para hacer un pastel de fresas para 8 personas utiliza 2 kg de azúcar, ¿qué cantidad de azúcar utilizará si le encargan un pastel, también de fresas, que alcance para 24 personas? 12. Ana, Fabián y Liam han ido a comprar discos compactos; Ana compró 2 de música grupera; Fabián 3 de rock alternativo y Liam compró 5 de heavy metal. Si en total se pagaron $1620 y todos cuestan lo mismo, ¿cuánto deberá pagar cada uno? 13. El valor de 25 m2 de azulejo es de $3 125. ¿Cuántos m2 se comprarán con $15 625? 14. Si 9 tarros tienen un precio de $450, ¿cuántos tarros se comprarán con $ 7200? 15. Se compraron 40 kg de dulces para repartirlos equitativamente entre 120 niños. ¿Cuántos kilogramos se necesitarán para un grupo de 90 pequeños? 16. Un albañil gana $1500 mensuales. ¿Cuánto recibe por 20 días? 17. Fernando, Josué y Martín cobraron por resolver una guía de problemas de cálculo de varias variables $975; Fernando trabajó 6 horas, Josué 4 horas y Martín 3 horas, ¿cuánto recibirá cada uno por hora de trabajo?

22

21

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20. Un grupo de 45 estudiantes de CONAMAT contrata un autobús para ir a un evento y calculan que cada uno debe pagar $50; finalmente sólo asisten 30 estudiantes, ¿cuánto deberá pagar cada uno? 21. Si 18 metros de alambre cuestan $63. ¿Cuál será el precio de 42 m? 22. Si una docena de pañuelos cuesta $200, ¿cuánto se pagará por 9 de ellos? 23. Una decena de canicas cuesta $18, ¿cuántas podrá comprar un niño con $5.40? 24. Un automóvil recorre 240 kilómetros con 60 litros de gasolina. ¿Cuántos litros necesita para recorrer 320 kilómetros? 25. Si 3 decenas de pares de zapatos cuestan $18 000, ¿cuál será el precio de 25 pares? 26. Si 15 hombres hacen una obra de construcción en 60 días, ¿cuánto tiempo emplearán 20 hombres para realizar la misma obra? 27. Si 4 hombres terminan un trabajo en 63 días, ¿cuántos más deben de añadirse a los primeros para concluir el mismo trabajo en 28 días? 28. Un ciclista recorrió cierta distancia en 4 horas con una velocidad de 60 km/h, ¿qué velocidad deberá llevar para recorrer la misma distancia en 5 horas? 29. Si se llenan 24 frascos con capacidad para 250 gramos, con mermelada de fresa, ¿cuántos frascos de 300 gramos se pueden llenar con la misma cantidad de mermelada?

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Capítulo 1. Aritmética Elemental

22 Regla de tres compuesta

Se utiliza cuando se tienen más de 4 cantidades directa o inversamente proporcionales. Ejemplo 1.21 Una guardería con 250 niños proporciona 4 raciones de alimentos diarios a cada pequeño durante 18 días. Si la población aumenta a 50 niños, ¿cuántos días durarán los alimentos si se disminuyen a 3 raciones diarias? Solución: Se forman las razones entre las cantidades. A más niños los alimentos duran menos días, por tanto la proporción es inversa. A menos raciones los alimentos duran más días, por tanto la proporción es inversa. ■

250 niños 300 niños Inversa Las razones

4 raciones 3 raciones Inversa

18 días x días

250 4 18 y se invierte y multiplican, la razón se iguala con el producto. 300 3 x    3 18 300 = 250 4 x

(18)(250)(4) 18000 = = 20 (300)(3) 900 Por tanto, los alimentos durarán 20 días. Entonces, x =

■

Ejemplo 1.22 15 cajas de aceite con 18 galones cuestan $960, ¿cuánto cuestan 9 cajas con 20 galones? Solución: Se forman las razones entre las cantidades. Si el número de cajas disminuye el precio disminuye, por tanto es una proporción directa. Si el número de galones aumenta el precio aumenta, por tanto es una proporción directa.

■

15 cajas 9 cajas Inversa

18 galones 20 galones Inversa

$960 x

15 18 960 Las razones y se multiplican sin invertir porque son directas y la razón se iguala 9 20 x con el producto.    960 15 18 = 9 20 x (960)(9)(20) 172800 = = 640 (15)(18) 270 Por consiguiente, 9 cajas de 20 galones cuestan $640

Entonces, x =

■

■

Ejemplo 1.23 Se calcula que para construir una barda de 600 m en 18 días, trabajando 8 horas

diarias, se necesitan 12 hombres, ¿cuántos días tardarán 8 hombres trabajando 6 horas diarias para construir una barda de 400 m? Solución: Se forman las razones entre las cantidades. 

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8 12

   6 600 18 = 8 400 x

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23

1.1 Aritmética

23 12 hombres 8 hombres Inversa

8 horas 6 horas Inversa

600m 400m Directa

18 días x días

(18)(12)(8)(400) 691200 = = 24 (8)(6)(600) 28800 Por tanto, 8 hombres tardarán 24 días trabajando 6 horas diarias. Entonces, x =

■

Ejercicio 1.5 Resuelve los siguientes problemas:

1. Andrea lee un libro de 500 páginas en 20 días y lee 1 hora diaria, ¿cuántos minutos debe leer diariamente para que en condiciones iguales lea un libro de 800 páginas en 15 días?

tarán 40 obreros en 300 días? 4. La tripulación de un barco la forman el capitán, 5 ayudantes y 6 investigadores. El capitán programa las raciones de agua a razón de 8 litros diarios para toda la tripulación en un viaje de 6 días, pero a la hora de zarpar 2 de los investigadores deciden quedarse. Debido a esto se decide que el viaje dure 2 días más, ¿cuál debe ser la ración diaria de agua?

2. El padre de Alejandro contrató a 15 obreros que, al trabajar 40 días durante 10 horas diarias, construyeron en su casa una alberca con capacidad para 80 000 litros de agua; si Alejandro contrata a 10 de esos obreros para que trabajen 6 horas diarias y construyan otra alberca con capacidad para 40000 litros de agua, ¿cuántos días tardarán en construirla?

5. Si 24 motocicletas repartidoras de pizzas gastan $27360 en gasolina durante 30 días trabajando 8 horas diarias, ¿cuánto dinero se deberá pagar por concepto de gasolina para 18 motocicletas que trabajan 10 horas diarias durante 6 meses? (considera meses de 30 días).

3. Una fábrica proporciona botas a sus obreros, si 4 obreros gastan 6 pares de botas en 120 días, ¿cuántos pares de botas gas-

■

Tanton por ciento

El 8 % de 48, equivale a tomar 8 centésimas partes y se toman 8.



 8 = 0,08 de 48, es decir, se divide 48 en 100 100

Ejercicio 1.6 Representa en forma decimal los siguientes por cientos:

1. 3 %

4. 8 %

7. 5 %

10. 50 %

13. 4.5 %

2. 4 %

5. 15 %

8. 25 %

11. 75 %

14. 0.08 %

3. 6 %

6. 1 %

9. 30 %

12. 32 %

15. 0.03 % ■

Para obtener un tanto por ciento se construye una regla de tres simple. ■

Ejemplo 1.24 ¿Cuál es el 25 % de 150?

Solución: Se forma la regla de tres:

24

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Capítulo 1. Aritmética Elemental

24 Supuesto: 100 % es a 150 Pregunta: 25 % es a x

(150)(25) 3750 100 150 = donde x = = = 37,5 25 x 100 100 Por consiguiente, 37.5 es el 25 % de 150 2 % de 2400 ■ Ejemplo 1.25 Obtén el 3 Solución: Se forma la regla de tres: Supuesto: 100 % es a 2400 2 Pregunta: % es a x. 3

■

  2 (2400) 1600 100 2400 3 = donde x = = = 16 2 x 100 100 3 2 Entonces, 16 representa el % de 2400 3 ■

Ejercicio 1.7 Calcula los siguientes porcentajes:

1. 6 % de 300

6. 3 % de 50

11. 4 % de 120

16. 5 % de 163

2. 8 % de 1250

7. 35 % de 4500

12. 25 % de 5000

17. 50 % de 2800

3. 35 % de 715

8. 75 % de 30

13. 48 % de 6520

18. 28 % de 5848

4. 3.5 % de 150

9. 12 % de 3856

14. 9.8 % de 2857

19. 20.3 % de 372

5.

1 % de 385 5

10.

1 % de 8750 2

15.

19 % de 1958 6

20.

12 % de 345 5 ■

Para obtener el 100 % de una cantidad, se emplea una regla de tres. ■

Ejemplo 1.26 ¿De qué número 480 es el 30 %?

Solución: Se quiere encontrar el 100 % Supuesto: 30 % es a 480 Pregunta: 100 % es a x. Se forma la proporción. 480 (480)(100) 48000 30 = entonces x = = = 1600 100 x 30 30 Por consiguiente, 480 es el 30 % de 1600 ■

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25

1.1 Aritmética

25

Ejercicio 1.8 Calcula los siguientes porcentajes:

1. 200 es el 4 %

4. 125 es el 8 %

7. 300 es el 5 %

2. 1585 es el 20 %

5. 1285 es el 80 %

8. 1485 es el 75 %

3. 2850 es el 30 %

6. 213.75 es el 7.5 %

9. 748.25 es el 20.5 % ■

Para que obtengas el porcentaje que representa un número de otro, observa el siguiente ejemplo: ■

Ejemplo 1.27 ¿Qué porcentaje de 985 representa 443.25?

Solución: Se establecen las proporciones: Supuesto: 100 % es a 985 Pregunta: x es a 443.25. 985 (100)(443,25) 44325 100 = entonces x = = = 45 x 443,24 985 985 Por tanto, 443.25 es el 45 % de 985 ■

Ejercicio 1.9 Calcula los siguientes porcentajes:

1. 54 de 270 2. 180 de 600

6. 8142 de 54280 7. 6128.22 de 36000

3. 956 3824 4. 13618.5 de 32425 5. 6720 de 28000

8. 29399.29 de 127823 9. 54000 de 160000 ■

Problemas y ejercicios de aplicación Ejemplo 1.28 Una tienda de aparatos electrónicos decide dar 30 % de descuento en toda su

■

mercancía; si el precio normal de un televisor es de $6000, ¿cuánto se pagará en caja? Solución: Se obtiene el 30 % de $6000 (0,30)(6000) = 1800 El resultado se resta de 6000 6000 − 1800 = 4200

Otra forma de obtener el precio es: Como hay un descuento del 30 %, al comprar el televisor sólo se pagará en caja el 70 % del precio normal, es decir:   70 (6000) = (0,70)(6000) = 4200 100

Por tanto, el precio del televisor con el descuento será de $4200

■

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Capítulo 1. Aritmética Elemental

26

Ejemplo 1.29 Un ganadero tiene 240 reses de las cuales 25 % se enferma. De las reses enfermas sólo 5 % sobrevive y 30 % de las que no enfermaron se vendieron, ¿cuántas reses le quedaron al ganadero? Solución: Se obtiene 25 % de 240 ■

(0,25)(240) = 60 reses enfermas 240 − 60 = 180 reses no se enfermaron De las 60 reses enfermas sólo 5 % sobreviven. (0,05)(60) = 3 reses sobreviven El ganadero vende 30 % de las 180 que no enfermaron. (0,30)(180) = 54 reses vendidas Le quedan 180 − 54 = 126 Por tanto, el ganadero tiene 126 + 3 = 129 reses. ■

Ejemplo 1.30 Laura compró un refrigerador en $3500, el precio incluía 30 % de descuento, ¿cuál era el costo sin descuento? Solución: 3500 representa 70 % del precio normal, se calcula qué número representa 100 %, es decir, se construye una regla de tres.

■

3500 70 (3500)(100) 350000 = entonces, x = = = 5000 x 100 70 70 Por consiguiente, $5000 es el precio sin descuento. ■

Ejemplo 1.31 Un estanque con capacidad para 600 litros contiene tres cuartas partes de agua, si se le agregan 100 litros más, ¿qué porcentaje del estanque está lleno? Solución: Se obtienen las tres cuartas partes de 600   1800 3 (600) = = 450 4 4

■

El estanque tenía 450 litros, al agregarle 100 litros más ahora contiene 550 Luego se divide 550 por 600 y el resultado se multiplica por 100   55000 550 (100) = = 91,66 600 600 El estanque está lleno en 91.66 % de su capacidad. ■

Ejemplo 1.32 La casa de María está valuada en 25 % más que la de Alejandro, si la de Alejandro tiene un precio de $600000, ¿cuánto costará la de María? Solución: Si la casa de María está valuada en 25 % más, es decir, 100 % + 25 % = 125 % de la de Alejandro, se construye una regla de tres.

■

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27

1.1 Aritmética

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(600000)(125) 75000000 600000 100 = entonces, x = = = 750000 x 125 100 100 Por tanto, la casa de María costará $750000

■

Ejemplo 1.33 Luis recibe un ultimátum por parte de la empresa donde trabaja, de que si vuelve a tener un retraso el siguiente mes cobrará 15 % menos de su sueldo mensual, el cual asciende a $12000, no obstante Luis faltó, ¿cuánto cobrará el siguiente mes? Solución: Su sueldo será 15 % menos entonces Luis cobrará 85 % de su salario, se construye una regla de tres:

■

(12000)(85) 1020000 12000 100 = entonces, x = = = 10200 x 85 100 100 Por tanto, Luis cobrará $10200

■

Ejemplo 1.34 Patricia le pidió un préstamo de $24000 a un amigo y éste le dice que debe pagarle mensualmente 20 % de la deuda. En 3 meses, ¿cuánto le habrá pagado? Solución: Se obtiene 20 % de 24000

■

(0,20)(24000) = 4800 pagará por mes En 3 meses (3)(4800) = 14400 Por consiguiente, Patricia después de 3 meses habrá pagado $14400 ■ ■

Ejemplo 1.35 En una caja hay 6 canicas azules, 5 rojas y 7 verdes, ¿cuál es el porcentaje de

canicas azules? Solución: El número total de canicas es 18, se construye la regla de tres: Supuesto: 100 % es a 18 Pregunta: x es a 6 Se forma la proporción. (6)(100) 600 100 18 = entonces, x = = = 33,33 x 6 100 18 Entonces, en la caja hay 33.33 % de canicas azules.

■

1.1.7 Ejercicios propuestos de Porcentajes Resuelve los siguientes problemas:

28

1. Un salón tiene capacidad para 80 alumnos, 20 % se presenta puntualmente. ¿Cuántos estudiantes son impuntuales?

4. Se compró una guitarra de $12500 al contado y se hizo un descuento de 8.5 %. ¿Cuánto se pagó?

2. Una licuadora costó $500, pero al comprarla se hizo un descuento de 12 % al cliente. ¿Cuál es el precio que se pagó?

5. ¿Cuál es el enganche de un televisor que costó $5500 si se pidió de anticipo 21 % del precio?

3. El precio de una máquina de coser es de $3500 y se pagó un enganche de 15 %. ¿Cuánto se adeuda?

6. Una persona vende una aspiradora en $851, venta por la que obtuvo una utilidad de 15 % sobre el precio. ¿De cuánto

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Capítulo 1. Aritmética Elemental

28 fue su ganancia? 7. Una bicicleta de $6800 se compró con un enganche de 12 % y a pagar el saldo en 4 abonos mensuales. ¿De cuánto es cada pago? 8. Si un televisor cuesta $10500 y se da un enganche de 8 %, ¿cuánto se pagará en cada letra si el saldo es a cubrirse en 8 pagos? 9. Si Juan Carlos ganó 12 % al vender una bicicleta que le costó $1120, ¿en cuánto la vendió? 10. El valor de una casa es de $655000 al contado, pero al venderla a plazos se le carga 25.5 % de su precio. ¿Cuál es el costo final de la casa si se vende a plazos? 11. Javier pagó $2550 por una consola de videojuegos, la cual tenía un descuento de 15 %, ¿cuál era su precio sin descuento? 12. Antonio compró un reproductor de DVD en $2125, el aparato tenía 20 % de descuento; sin embargo, la persona que le cobró sólo le descontó 15 %, ¿cuánto tenía que haber pagado Antonio? 13. Un equipo de básquetbol tuvo 29 derrotas durante 80 juegos, ¿cuál fue el porcentaje de victorias? 14. Alejandro contestó 90 de 120 preguntas de un examen. Si está seguro de haber contestado correctamente 70 % de las 90, ¿cuántas preguntas de las restantes deberá contestar acertadamente para tener 70 % del examen bien contestado? 15. Adrián compró un automóvil en $120000, el precio incluía entre seguro, impuestos y accesorios 25 % más, ¿cuál era el precio del automóvil sin contar con seguro, impuestos y accesorios? 16. Paola compró una bicicleta de montaña en $800, si el precio incluía una rebaja

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de 20 %, ¿cuál era el precio normal de la bicicleta? 17. Jaime tiene una deuda de $180000, si 30 % de esa cantidad se la debe a su hermano y el resto a su tío Alberto, ¿cuánto le debe a su tío? 18. Un fraccionamiento está dividido en lotes, arriba y en la parte inferior de un cerro. Un lote en la parte superior del cerro cuesta 15 % menos que en la parte inferior, si el precio de este último es de $224 000, ¿cuál es el costo de un lote en la parte superior? 19. Un proveedor compra cajas con aguacates en $60 cada una y las vende con una ganancia de 60 % por caja, ¿cuánto ganará si compra 80 cajas? 20. Para aprobar un examen de 60 reactivos, Mónica tiene que contestar correctamente 75 % de éste, ¿cuál es el mínimo de preguntas que deberá contestar acertadamente para aprobarlo? 20. En una liga de futbol se juegan 49 partidos; si el equipo de Juan al fi nal de la temporada tiene 20 victorias y 6 empates, ¿cuál es el porcentaje de derrotas? 21. Un contenedor de leche con capacidad para 800 litros está lleno en sus dos quintas partes, si se agregan 80 litros más, ¿qué porcentaje del contenedor se encuentra lleno? 22. En un partido de baloncesto, Ricardo encestó 4 tiros de 3 puntos, 6 de tiro libre y 8 de cualquier otra parte. Si en total hizo 40 tiros a la canasta, ¿cuál es el porcentaje de efectividad? 23. En un librero hay 8 libros de cálculo diferencial, 5 de cálculo integral, 6 de álgebra y 10 de geometría, ¿cuál es el porcentaje de libros de geometría? 24. Si en una escuela hay 320 alumnos, de los cuales 135 son mujeres, ¿cuál es el porcentaje de hombres?

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29

2. Lógica y Teoría de Conjuntos

2.1

Lógica

2.1.1 Enunciado, conectivos y modificadores La Lógica se ocupa del razonamiento a partir de las premisas, las cuales son proposiciones que dan la pauta para el proceso deductivo e inductivo. Para tal, es necesario conocer los siguientes conceptos: Definición 2.1.1 — Inferir. Proceso de unir ideas para llegar a conclusiones verdaderas a partir

de proposiciones verdaderas. Definición 2.1.2 — Proposición lógica. Es un enunciado que se califica como falso o verda-

dero, pero no ambos a la vez. Cuando una proposición es verdadera, se suele denotar simplemente por V y si es falsa se denota por F. Para asignar proposiciones en el lenguaje simbólico usamos letras minúsculas, por ejemplo: a, b, c, p, q, r, entre otras. Ejemplo 2.1 — Simbolizar proposiciones. Si se desea manifestar que “Rubén Darío escribió la obra Cantos de Vida y Esperanza” podemos usar el siguiente simbolismo: r : Rubén Darío escribió la obra Cantos de Vida y Esperanza. Así mismo, podemos representar simbólicamente: s : El 30 de abril del 2019, el presidente de Nicaragua inauguró oficialmente la carretera de concreto hidráulico que une el Pacífico con la región del Caribe nicaragüense. Ambas proposiciones r y s son verdaderas (V ). ■ ■

En general, las expresiones interrogativas (Se usan cuando se quiere preguntar algo: ¿Qué te motivo a estudiar en la UNAN-León?), exclamativas (Son la que expresan emociones: ¡Qué linda es Selva Negra!), exhortativas (Son las que piden, ordenan o sugieren algo: Por favor, hagan silencio) y dubitativas (Expresan dudas o posibilidad: Tal vez, vaya a la fiesta) no son proposiciones ya que tienen que ser enunciados declarativos.

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Capítulo 2. Lógica y Teoría de Conjuntos

30

Ejercicio 2.1 Identifique cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones.

1. La Reserva silvestre Los Guatusos es de Nicaragua. 2. En Nicaragua, el actual Gobierno ha asegurado y fortalecido el derecho de la Educación pública gratuita. 3. Es posible que hoy llueva. 4. 2 es un número natural primo. 5. ¿Qué quieres hacer con tu vida? 6. 65 no es divisible entre 5. ■

Solución: Como podemos observar, las expresiones 1, 2, 4 y 6 son proposiciones lógicas, donde las proposiciones 1, 2 y 4 son V y la 6 es F. Las expresiones 3 y 5 no son proposiciones. De acuerdo a su estructura, las proposiciones se clasifican en: Proposiciones simples y compuestas. Definición 2.1.3 — Proposiciones.

a) Proposiciones simples: Son aquellas que están formada por un solo enunciado. b) Proposiciones compuestas: Son aquellas que forman 2 o más proposiciones simples unidas por uno o más conectivos lógicos. ■

Ejemplo 2.2 — Proposiciones simples. Son proposiciones simples:

p : En el país el derecho a la electricidad pasó de una cobertura del 52 % al 95 % q : La tala de selvas tropicales es una de las causas del cambio climático. ■ ■

Ejemplo 2.3 — Proposiciones compuestas. Son proposiciones compuestas:

a : Si desde el año 2007 el GRUN ha entregado más de 49 mil soluciones de viviendas a igual número de familias y ha promovido la construcción de 18 nuevos hospitales, las familias nicaragüenses están muy contentas. b : Los árboles absorben CO2 de la atmósfera y de ese modo ayudan a regular el clima. c : Nicaragua tiene las mejores carreteras de la región o ha logrado la casi plena comunicación de las zonas productivas, incluida la comunicación con el Caribe. ■ Ejercicio 2.2 Determine si las siguientes proposiciones son simples o compuestas.

a : La industria petrolera es una de las principales causas del cambio. b : La industria petrolera no es una de las principales causas del cambio climático. ■

2.1.2

Conectivos Proposicionales El siguiente cuadro muestra las distintas proposiciones compuestas con su respectivo conectivo lógico y símbolo.

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31

2.1 Lógica

31

Nombre

Conectivo lógico

Símbolo

Representación

Negación

No

Disyunción

o

¬, ∼

∼p

Disyunción Excluo ··· o siva

∨

p∨q

△

p△q

Conjunción

y

Implicación

Si... entonces

∧

p∧q

Doble implicación

Si, y solo si,

=⇒

p =⇒ q

⇐⇒

p ⇐⇒ q

Cuando una proposición se construye a partir de otras proposiciones, mediante conectivos lógicos, el valor de verdad lo determinan los valores de verdad de las proposiciones originales. Dadas las proposiciones p y q, los valores de verdad de las proposiciones p ∨ q, p ∧ q, p ⇒ q, p ⇐⇒ q y ¬p, quedan determinados por los valores de verdad de p y q. En consecuencia, el número de valores de verdad está dado por 2n donde n representa el número de proposiciones. Para verificar el valor de verdad de una proposición compuesta se utilizan las siguientes tablas. 2.1.3 Negación Dada una proposición “p”, la negación de p es otra proposición que se denota por “∼ p” y se lee “no p” o “ no es cierto que p”. La negación “no”, cumple la función de negar una afirmación y de afirmar una negación. 1. no el casó .. . . . . . . . . ..  es  A

∼

2. es falso que . . . . . . . . . . . . , etc       A

∼

En estos casos los indicados términos niegan toda la proposición compuesta A. Es decir ∼ .. . . . . . . . . ... La negación, se aplica a la conjunción y la disyunción con excepcionales resultaA

dos. Así obtenemos: la negación conjuntiva, la negación alternativa y las leyes de De Morgan. Negación Conjuntiva

Dados dos proposiciones p y q, definimos la negación conjuntiva de p y q, a la proposición compuesta “p ↓ q” que se lee “ni p ni q”; y es verdadera sólo cuando sus dos componentes son falsos, siendo falsa en los otros casos. Ni fue poeta  Ricardo Palma  fue escritor ni Mariátegui    p

∼q

Se simboliza por: ∼ p ∧ ∼ q o por p ↓ q Negación Alternativa

Dadas dos proposiciones p y q, definimos la negación alternativa de p y q, , a la proposición compuesta “p | q” ” que se lee “no p o no q” ; y es verdadero cuando por lo menos uno de sus componentes es falso, es falso sólo cuando los dos componentes son verdaderos. Ejemplo 2.4 “6 no es divisor de 20 o no es número primo” p : 6 es divisor de 20

■

32

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Capítulo 2. Lógica y Teoría de Conjuntos

32 q : 6 es número primo Simbolizando: ∼ p ∨ ∼ q ↔ p | q

■

2.1.4 Conjunción Dadas dos proposiciones p y q, la conjunción es el resultado de reunir estas proposiciones con el conectivo “∧”. Reglas 2.1.1 La regla de la Conjunción p ∧ q afirma que: “p ∧ q” es V sólo cuando “p es V y “q es V”. Si uno de ellos es F, el resultado es F.

Nota: En todo párrafo, las palabras: “pero”, “sin embargo”, “además”, “no obstante”, “aunque”, “a la vez”, etc. equivalen al conectivo “∧”. Ejemplo 2.5 Simbolice la proposición compuesta: “En la historia del país la cantidad acumulada de carreteras asfaltadas era de 2 000 km y solo en los últimos años se construyeron 2 000 kilómetros más. ■

Solución: p : En la historia del país la cantidad acumulada de carreteras asfaltadas era de 2 000 km. q : Exclusivamente en los últimos 12 años se construyeron 2 000 kilómetros más. Simbólicamente, p ∧ q ■

2.1.5 Disyunción La disyunción de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta que resulta de unir p y q por el conectivo “o”. Como el sentido del conectivo “o” es excluyente, se puede interpretar de dos maneras: débil o inclusiva y fuerte o exclusiva. Disyunción Inclusiva o Débil

La disyunción inclusiva o débil de p y q se denota por “p ∨ q” y se lee “p o q” Reglas 2.1.2 El principio lógico de la disyunción inclusiva es: La disyunción inclusiva “p ∨ q” es V , cuando por lo menos una de las proposiciones componentes es V . Es falso sólo cuando los dos son falsas. ■ Ejemplo 2.6 En matemáticas es frecuente el uso de los enunciados abiertos. En estos casos, la(s) variable(s) deben ser elementos de un conjunto referencial. Veamos √ p : En R, y = 3 − x es un número real cuando x ≥ 3 √ p : En R, y = 3 − x es un número real cuando x ≤ 3

En este caso p es falso, ya que si x ≥ 3 se produce un número negativo o cero, en el único caso que p sea verdadero es cuando x = 3 donde el resultado es cero para todo x ∈ R. Por otro lado q es verdadero ya que se produce un número positivo o cero, para todo x ∈ R. ∴ p ∨ q es V , ya que q es totalmente verdadero. En R, q(x) : (x − 1)2 x ≤ 0 es verdadero solo cuando x = 1. Dicho de otra manera: El conjunto solución es 1.

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33

2.1 Lógica

33

En R2 , r(x, y) : x2 + y2 = 4 es un enunciado abierto.Cuando −2 ≤ x ≤ 2, r es verdadero. ■

Nota: “∴” se lee “Por lo tanto” Ejercicio 2.3 Represente simbólicamente la proposición “La tecnología ayuda al desarrollo de

las actividades del ser humano o su mal uso cambia el comportamiento de las personas”

■

Solución: p : La tecnología ayuda al desarrollo de las actividades del ser humano. q : Su mal uso cambia el comportamiento de las personas. Simbólicamente, p ∨ q 2.1.6

Disyunción Exclusiva o Fuerte Se denota por “p ∆ q” o por “p ⊻ q” y se lee de dos maneras:p ∆ q ; “p o q, pero no ambos” Reglas 2.1.3 El principio lógico de la disyunción exclusiva es:

La disyunción exclusiva “p ∆ q” es verdadera sólo cuando una de sus componentes es verdadera.

Ejemplo 2.7 Represente simbólicamente la proposición “O los niños aprenden a usar correctamente la tecnología o estarán expuestos a los peligros de las redes sociales ■

Solución: p : Los niños aprenden a usar correctamente la tecnología. q : Los niños estarán expuestos a los peligros de las redes sociales. Simbólicamente, p △ q ■

2.1.7 Condicional Es la combinación de dos proposiciones por el conectivo “Si .. . . . . . . . . .., entonces .. . . . . . . . . .. ” p

q

Reglas 2.1.4 El principio lógico o regla de la condicional es: La condicional es falsa, sólo si el

antecedente es V y el consecuente es F, siendo verdadera en todos los demás casos. La condicional p → q se lee de tres maneras:

“si p entonces q” “q, sólo sí p” “q, si p”

Para construir una condicional p → q, se pone especial cuidado que el antecedente “p” sea verdadero porque se supone que sólo a partir de antecedentes verdaderos se deduce que el consecuente q sea verdadero.

34

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Capítulo 2. Lógica y Teoría de Conjuntos

34

Nota: Cuando la VERDAD del antecedente (p) lleva necesariamente a la verdad del consecuente (q), diremos que “p implica q” y denotaremos por “p ⇒ q” Ejemplo 2.8 Simbolice la proposición compuesta “Si el GRUN ha impulsado decenas de programas sociales dirigidos a las familias, ha contribuido a reducir más la pobreza. ■

Solución: p : El GRUN ha impulsado decenas de programas sociales dirigidos a las familias. q : El GRUN ha contribuido a reducir más la pobreza. Simbólicamente, p ⇒ q ■

Nota: Cuando en un párrafo se encuentran los términos: “porque, puesto que, ya que, siempre que, cuando, si, cada vez que, dado que”; estos términos, también, son conectivos condicionales. Se caracterizan porque después de cada uno de estos términos está el antecedente.

En matemáticas, es corriente aplicar la condicional lógica cada vez que se desea deducir nuevas proposiciones verdaderas. Por ejemplo cuando se quiere demostrar un teorema. La proposición condicional está asociada a otras tres proposiciones importantes, estas son: la recíproca, la inversa y la contrarecíproca. 2.1.8 Proposición Recíproca La proposición recíproca que corresponde a la condicional p → q es q → p Si hoy es sábado ,

mañana es domingo ≡ p → q →

p

Si mañana es domingo , q 2.1.9

q hoy es sábado →

≡ q → p es el recíproco

p

Proposición Inversa o Contrario La proposición inversa que corresponde a la condicional p → q es ∼ p →∼ q 1)

Si hoy es sábado, mañana es domingo Si hoy no es sábado , mañana no es domingo

2)

a es positivo , si a es mayor que 0

p q → a no es positivo , si a no es mayor que 0

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≡ p→q ≡ ∼ p →∼ q ≡ p→q

≡ ∼ p →∼ q

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35

2.1 Lógica 2.1.10

35

Proposición Contrarecíproca La proposición contrarecíproca que corresponde a la condicional p → q es ∼ q →∼ p Ejemplos 1)

a es positivo , si a es mayor que 0 p

→

≡ p→q

q

Si a no es positivo , a no es mayor que 0

≡ ∼ q →∼ p p

→

q

2) Pedro comerá, puesto que tiene hambre ≡ Si Pedro tiene hambre, entonces comerá ≡ p → q Su contrarecíproca es: Pedro no comerá entonces no tiene hambre. ∼q

→

∼p

2.1.11 Bicondicional La conjunción de los condicionales “p → q” y “q → p” denotada por (p → q) ∧ (q → p) , se denomina el bicondicional de p y q. Reglas 2.1.5 El principio lógico o regla de la bicondicional es: Una proposición bicondicional

es V si ambas componentes son V o son F, en otro caso es F. Ejemplo 2.9 Simbolice la proposición compuesta “Ella reduce el riesgo de contraer diabetes” si sólo si lleva una dieta saludable. Solución: ■

p : Ella reduce el riesgo de contraer diabetes. q : Ella lleva una dieta saludable. Simbólicamente, p ⇔ q ■ ■

Ejemplo 2.10 Dadas las proposiciones simples

p : La salud en Nicaragua se ha restituido como derecho. q : La salud ha tenido mejoras en diversos servicios con decenas de nuevos establecimientos. r : 16 nuevos hospitales se han construido La proposición compuesta p ⇔ (r ∨ q) se traduce al lenguaje ordinario como: “La salud en Nicaragua se ha restituido como derecho si sólo si 16 nuevos hospitales se han construido o la salud ha tenido mejoras en diversos servicios con decenas de nuevos establecimientos. ■ Nota: Recuerde p ∧ q solo es verdadero cuando p y q son ambas verdaderas. En otro caso son es falso. p ∨ q solo es falso cuando p y q son ambas falsas. Es verdadero en otro caso.

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Capítulo 2. Lógica y Teoría de Conjuntos

36

p ⇒ q solo es falso cuando p es verdadero y q es falso.

p ⇔ q es verdadera cuando el valor de verdad de p y q coinciden.

2.1.12 Tablas de Verdad La verdad o falsedad de una proposición se denomina su validez (o su valor de verdad). La validez de la conjunción, de la disyunción, de la condicional, de la bicondicional y de la negación pueden representarse en tablas. En consecuencia, dadas dos o más proposiciones simples cuyos valores de verdad son conocidas, el valor de verdad de una proposición compuesta depende de la verdad de cada uno de las proposiciones componentes y se determina mediante tablas de verdad. 2.1.13

Tablas de valores de verdad Una tabla de valores se construye paso a paso, al establecer los valores correspondientes de cada suboperación involucrada, hasta llegar a la expresión dada. Definición 2.1.4 Después de construir una tabla de verdad, el resultado puede ser una tautología,

una contradicción o una contingencia. ❶ Tautología. Proposición compuesta en la que todas las combinaciones de valores son verdaderas. ❷ Contradicción. Proposición compuesta en la cual todas las combinaciones de valores son falsas. ❸ Contingencia. Proposición compuesta donde las combinaciones de valores son verdaderas y falsas. 2.1.14 Conectivos Lógicos Representados en Tablas de Verdad Las tablas de verdad de la conjunción, disyunción, condicional, bicondicional y negación se explica a continuación. Tabla de verdad de la conjunción

p

q

p∧q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

En general, una conjunción es V, cuando todos sus componentes son V.

A ≡ p1 ∧ p2 ∧ p3 ....... ∧ pn V≡ V V V V

Tabla de verdad de la disyunción (Inclusiva o débil)

p V

q

p∨q

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

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En general A ≡ p1 ∨ p2 ........ ∨ pn es verdadera cuando por lo menos algún pi es verdadero. A será falsa cuando todas las pi sean falsas.

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37

2.1 Lógica

37

Tabla de verdad de la disyunción (Exclusiva o fuerte)

p V

q

p∆q

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

La disyunción exclusiva, tiene varias equivalencias lógicas, que nos permiten operar de la mejor forma: p ∆ q ≡ ∼ (p ↔ q) ≡ (p ∨ q) ∧ ∼ (p ∧ q) ≡ (p ∧ ∼ q) ∨ (q ∧ ∼ p)

Tabla de verdad de la condicional

p

q

p → q ≡∼ p ∨ q

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

V

El conectivo “si ... , entonces ... ” se denota por el símbolo “→” o por “⊃”. La notación “p → q” se lee “si p , entonces q”, donde: La proposición p se llama antecedente (Hipótesis) La proposición q se llama consecuente (Tesis o conclusión). p

→

q

Antecedente

Consecuente

Tabla de verdad de la bicondicional

p

q

p ↔ q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

El bicondicional de las proposiciones p y q se simboliza por “p ↔ q”, que se lee “p si, y solamente si q”.

Tabla de verdad de la negación

p

∼p

V

F

F

V

La verdad o falsedad de una negación queda bien determinada por la tabla de verdad.

Tabla de verdad de la negación conjuntiva

p

38

q

p ↓ q

p∨q

V

V

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

F

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Si comparamos la tabla de verdad de p ↓ q con p ∨ q , notaremos que p ↓ q es la negación de p ∨ q . Es decir:

p ↓ q ↔ ∼ (p ∨ q) ↔ ∼ p ∧ ∼ q se lee

“ni p ni q” “no p ∧ no q”

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38 Tabla de verdad de la negación alternativa

p

q

Si comparamos la tabla de verdad de p | q con p ∧ q , notaremos que p | q es la negación de p ∧ q .

p∧q

p | q

V

V

F

V

V

F

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

Es decir:

p | q ↔ ∼ (p ∧ q) ↔ ∼ p ∨ ∼ q se lee

“no p o no q”

2.1.15 Tautología, Contradicción y Contingencia Tabla de verdad (Tautología)

Denominamos tautología a toda proposición compuesta que es siempre verdadera, cualquiera sean los valores de verdad de las proposiciones componentes. Las siguiente proposiciones son tautologías: a) p∨ ∼ p y b) ∼ (p∧ ∼ p); p

q

∧ (p → q)]

[p

→

p

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

F

V

V

F

V

F

F

V

V

F

F

F

F

F

V

V

F

Tabla de verdad (Contradicción)

Una proposición compuesta es una contradicción, si es siempre falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones componentes. p

q

r

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

[(∼ p ∧ q) F F F F V V V V

F F F F V V F F

V V F F V V F F

→ ∼ r] V V V V F V V V

V F V F V F V F

↔

[r

F F F F F F F F

V F V F V F V F

∧ ∼ ( p ∨ ∼ q )] F F F F V F F F

F F F F V V F F

V V V V F F F F

V V V V F F V V

F F V V F F V V

Tabla de verdad (Contingencia)

Una proposición compuesta es contingente cuando en su resultado hay por lo menos una verdad y una falsedad.

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39

2.1 Lógica q

p V V V V F F F F

■

V V F F V V F F

39 r V F V F V F V F

(q

→

r)

∨

V V F F V V F F

V F V V V F V V

V F V F V F V F

V V V V V F V V

(∼ p → r) F F F F V V V V

V V V V V F V F

V F V F V F V F

Ejemplo 2.11 Sea la proposición “Si él tiene examen mañana y no estudia, reprobará”. Sean

r : Él tiene examen mañana. s : Él estudia. t : Él reprobará. Entonces la proposición se puede expresa simbólicamente por (r ∧ ¬s) ⇒ t. r V V V V F F F F

s V V F F V V F F

t V F V F V F V F

¬s F F V V F F V V

r ∧ ¬s F F V V F F F F

(r ∧ ¬s) ⇒ t V V V F V V V V ■

Ejemplo 2.12 La proposición “Tiene examen mañana y, si no estudia, reprobará” se puede representar por r ∧ (¬s → t).

■

r V V V V F F F F

s V V F F V V F F

t V F V F V F V F

¬s F F V V F F V V

¬s ⇒ t V V V F V V V F

r ∧ (¬s → t) V V V F F F F F ■

Ejemplo 2.13 Construya la tabla de verdad de la proposición (q ∧ r) ∨ ¬(q ∧ r) Solución: Como hay dos proposiciones, el número de valores de verdad es 22 = 4.

■

40

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40 q V V F F

r V F V F

q∧r V F F F

¬(q ∧ r) F V V V

(q ∧ r) ∨ ¬(q ∧ r) V V V V

El resultado obtenido es tautología.

■

2.1.16 Implicación tautológica Las proposiciones compuestas pueden ser tautología, contradicción o contingencia. Las tautologías son útiles en Matemática porque nos permiten reemplazar una proposición por otra que tenga los mismos valores de verdad. Definición 2.1.5 Dadas dos proposiciones p y q, no necesariamente simples, decimos que p implica tautológicamente a q si la proposición p ⇒ q es una tautología. Ejercicio 2.4 Determine si la proposición p ∧ s implica tautológicamente a p.

Solución: Se debe comprobar si la tabla de valores de (p ∧ s) ⇒ p da como resultado una tautología. p V V F F

s V F V F

p∧s V F F F

(p ∧ s) ⇒ p V V V V

En efecto, p ∧ s implica tautológicamente a p.

■

Definición 2.1.6 Dadas dos proposiciones p y q, no necesariamente simples, decimos que p y

q son tautológicamente equivalentes si p ⇔ q es una tautología. Ejemplo 2.14 Se mostrará que ¬(t ∧ s) es tautológicamente equivalente a ¬t ∨ ¬s. Para tal, construimos la tabla de valores para ¬(t ∧ s) ⇔ (¬t ∨ ¬s) ■

t V V F F

s V F V F

¬t F F V V

¬s F V F V

t ∧s V F F F

¬t ∨ ¬s F V V V

¬(t ∧ s) F V V V

¬(t ∧ s) ⇔ (¬t ∨ ¬s) V V V V

Dado que la tabla de valores da como resultado una tautología, ¬(t ∧ s) es tautológicamente equivalente a ¬t ∨ ¬s. ■ Nota: Cuando dos proposiciones p y q son equivalentes, tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones que las componen. Así, en el ejemplo anterior, las columnas de (¬t ∨ ¬s) y ¬(t ∧ s) tienen los mismos valores de verdad.

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2.2 Argumento

41

Ejemplo 2.15 Las proposiciones p ⇒ q con ¬q ⇒ ¬p son equivalentes. Esta equivalencia se llama Ley del contrarrecíproco o Ley contrapositiva, y se usa en los razonamientos por reducción al absurdo. ■ ■

Nota: Las implicaciones y equivalencias tautológicas juegan un papel fundamental en la llamada Teoría Oracional de la Inferencia.

2.2

Argumento La inferencia es una condicional de la forma: (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ....... ∧ pn ) → q

.............(I)

A esta condicional, se le llama también, argumento lógico; donde p1 , p2 , .... , pn son llamadas premisas y originan como consecuencia otra proposición “q” llamada conclusión. El resultado de la condicional (I) puede ser una tautología, una contingencia o una contradicción y podemos resumir del siguiente modo: 1) Si la condicional (I) es una tautología, entonces se tiene un argumento válido (o inferencia válida). 2) Si la condicional (I) es falso entonces se tiene la llamada falacia. Teorema 2.2.1 Si la condicional (I) es válido y las premisas p1 , p2 , .....pn son verdaderas,

entonces la conclusión q es correcta (V ).

Ejemplo 2.16 Si Maradona es argentino entonces es aficionado al fútbol. Pero, Maradona no es aficionado al fútbol. Por lo tanto, no es argentino. ■

Simbolizando: Maradona es argentino =p Maradona es aficionado al fútbol = q

[(p → q) ∧ (∼ q)] → ∼ p

La tabla de verdad es: p

q

V V F F

V F V F

[(p → q) ∧ (∼ q)] → ∼ p V F V V

F F F V

F V F V

V V V V

F F V V

Son premisas: p → q, ∼ q. La conclusión es: ∼ p. Como resultado es una tautología, la conjunción de premisas implica a la conclusión, por lo tanto la inferencia es válida. ■ Ejemplo 2.17 Como es hora de clases, se concluye que en el aula hay profesores y alumnos, dado que, si es hora de clases; en el aula hay profesores, y hay alumnos si en el aula hay profesores.

■

Simbolizando: Tener en cuenta que después del término “dado que” viene el antecedente de la condicional que se formará.

42

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Capítulo 2. Lógica y Teoría de Conjuntos

42 Sean las proposiciones simples:

Es hora de clases En el aula hay profesores En el aula hay alumnos

=p =q =r

1) El antecedente está formado por la conjunción de las siguientes proposiciones: (p → q) ∧ (q → r) ∧ p 2) El consecuente o conclusión es: q ∧ r 3) La inferencia será: [(p → q) ∧ (q → r) ∧ p] → [q ∧ r] 4) Al desarrollar en una tabla de verdad resultará una TAUTOLOGÍA, lo cual indicará que la inferencia es válida. ■ ■

Ejemplo 2.18 “Si Juan participa en un comité electoral de la universidad entonces los estudiantes

se enojarán con él, y si no participa en un comité electoral de la universidad entonces las autoridades universitarias se enojaran con él. Pero, Juan participará en un comité electoral de la universidad o no participará. Por lo tanto, los estudiantes o las autoridades universitarias se enojarán con él. Simbolizando: 1) Sean las proposiciones simples: Juan participará en un comité electoral =p Los estudiantes se enojaran con él =q Las autoridades universitarias se enojarán con Juan = r 2) Formalizando el enunciado tenemos: a) Las premisas son: (p → q) ∧ (∼ p → r) ∧ (p ∨ ∼ p) b) La conclusión es: q ∨ r 3) La inferencia será [(p → q) ∧ (∼ p → r) ∧ (p ∨ ∼ p)] → [q ∨ r] Al desarrollarse en una tabla de verdad, obtendremos una TAUTOLOGÍA, lo cual indica que la inferencia es válida. ■ Ejemplo 2.19 “Si Anita decía la verdad, entonces Sócrates corrompía a la juventud y si el tribunal lo condenó equivocadamente, entonces Anita no es el culpable. Pero, Sócrates no corrompía a la juventud o Anito es el culpable. Por lo tanto Anita no decía la verdad o el tribunal no condenó a Sócrates equivocadamente”.

■

Simbolizando 1) Sean las proposiciones simples: p = Anita decía la verdad. q = Sócrates corrompía a la juventud. r = El tribunal condenó equivocadamente a Sócrates. s = Anita es el culpable. 2) La formalización del esquema molecular será: [(p → q) ∧ (r → ∼ s) ∧ (∼ q ∨ s)] → [∼ p ∨ ∼ r] ■

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2.2 Argumento

43

2.2.1 Métodos de Demostración En la demostración de muchos teoremas y otras proposiciones que se presentan en el álgebra y en el análisis (análisis real, topología, geometría, etc.) se aplican ordenadamente los pasos lógicos agotando todas , las premisas (antecedentes o hipótesis) para verificar la conclusión (consecuente o tesis). Hay dos métodos para demostrar una proposición. Método Directo

Consiste en utilizar la validez de la inferencia de la forma:

p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn

→

q I Conclusión

Premisas

En esta forma de demostración, se utilizan todas las premisas pi , paso a paso, hasta verificar la conclusión q. Método Indirecto

Tambien se le denomina método por reducción a lo absurdo. Este método consiste en negar la conclusión q y considerarla como premisa, luego se trata de inferir válidamente la negación de alguna de las premisas pi del conjunto {p1 , p2 , ....., pn }. Es decir, se construye y se verifica la validez de la siguiente inferencia: Premisas

II

[(∼ q) ∧ p1 ∧ p2 ∧ ... ∧ pn ] → Negación de la conclusión (es decir, negación de la tesis)

Conclusión

pi Negación de una de las premisas

Para ambos métodos, si la conclusión se deduce correctamente del conjunto de premisas, la inferencia es válida (o también se dice que el conjunto de premisas implica a la conclusión, o la conclusión es consecuencia lógica del conjunto de premisas). Pero, si la conclusión no se deduce correctamente del conjunto de premisas, entonces la inferencia no es válida. Observación: El esquema lógico II es equivalente al esquema lógico I Probemos:

[(∼ q) ∧ p1 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn ] →∼ p2 ≡ ∼ [(∼ q) ∧ p1 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn ] ∨ ∼ p2 ≡ [q ∨ ∼ ( p1 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn )] ∨ ∼ p2 ≡ q ∨ [∼ ( p1 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn ) ∨ ∼ p2 ] ≡ q ∨ [∼ ( p1 ∧ p3 ∧ p2 ∧ ... ∧ pn ) ] ≡ [ p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn ] → q

(se ha aplicado: p → q ≡∼ p ∨ q) (por ley de Morgan) (Propiedad asociativa) (por ley de Morgan)

■ Ejemplo 2.20 Por los dos métodos: Directo e indirecto comprobar la validez del siguiente argumento lógico o inferencia lógica. [∼ p ∧ (p ∧ q)] → q

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Capítulo 2. Lógica y Teoría de Conjuntos

44 a) MÉTODO DIRECTO [∼ p ∧ (p ∧ q)] → q ≡ ∼ [∼ p ∧ (p ∧ q)] ∨ q

≡ [ p∨ ∼ (p ∧ q) ] ∨ q ≡ p ∨ [q ∨ ∼ (p ∧ q) ] ≡ (p ∨ q) ∨ ∼ (p ∧ q) ≡ V ≡ TAUTOLOGÍA

b) MÉTODO INDIRECTO Negar la conclusión y considerarlo como premisa. Negar la premisa “ ∼ p ” y considerarlo como conclusión. ∼ q ∧ (p ∧ q) → p ≡ ∼ [∼ q ∧ (p ∧ q)] ∨ p ≡ [q ∨ ∼ (p ∧ q)] ∨ p ≡ q ∨ [p ∨ ∼ (p ∧ q)] ≡ (q ∨ p) ∨ ∼ (p ∧ q) ≡ (p ∨ q) ∨ ∼ (p ∧ q) ≡ V ≡ TAUTOLOGÍA ■

2.2.2 Ejercicios propuestos de Lógica 1. Determine cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones y cuáles no. a) 2x2 − 4 = 0

b) La educación es el pilar fundamental para la transformación de las y los nicaragüenses y para lograr cambios sociales significativos. c) ¿Te gusta el fútbol? d) Pocos ven lo que somos, pero todos ven lo que aparentamos. 2. Señala cada proposición simple con una S y cada proposición compuesta con una C y escriba junto a cada proposición compuesta el o los conectivos o modificadores usados. a) La ciudad de León tiene la catedral más grande de Centroamérica. b) Mozart es un arquitecto o es un músico. c) Nicaragua tiene una gastronomía muy variada. 3. Represente simbólicamente las proposiciones siguientes. a) Si Nicaragua ocupa el quinto lugar por la equidad política de género en el mundo, ha avanzado en el protagonismo económico de las mujeres 1 Obstáculo

y también su protagonismo político en las instituciones públicas. b) En Nicaragua se ha continuado con la democratización de la propiedad y se han asegurado miles de títulos de propiedad rural para las familias nicaragüenses. c) Nicaragua es el principal valladar1 del narcotráfico de la región o no ha permitido su posicionamiento en el territorio de la delincuencia transnacional y da garantía de un alto nivel de seguridad para la sociedad. 4. Sean las proposiciones simples a : El GRUN realizó el proyecto de construcción de la carretera de Bluefields. b : El costo total de la obra fue de aproximadamente 115 millones de dólares. c : La obra tiene 50 años de vida útil. d : Cuenta con la señalización adecuada. e : Garantiza una circulación correcta para las familias de la Costa Caribe. Traduzca al lenguaje ordinario la proposición compuesta (a ⇒ e) ∧ d y construya su tabla de valores. 5. Sean a, b y c proposiciones simples. Determine por medio de tablas de verdad si

de cualquier clase para impedir que sea inválido o allanado algo.

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2.3 Teoría de Conjuntos

45

las proposiciones compuestas dadas son tautología, contradicción o contingencia.

6. Determine si la proposición p ∧ (p ⇒ q) implica tautológicamente q. 7. Determine si las proposiciones p ∨ (¬p ∧ q) y p ∨ q son tautológicamente equivalentes.

a) (a ⇔ b) ∧ ¬b b) ¬(a ∨ b) ⇒ (b ∨ a)

Construye la tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones: 1. p∨ ∼ q 2. p∧ ∼ q 3. ∼ p →∼ q 4. ∼ (p ∨ q) →∼ q 5. (p ∧ q) ⇔ (p ∨ q) 6. (p ∨ q)∧ ∼ (p → q) 7. (p ⇒ q) ∨ (q → p) 8. (p ∧ (p → q)) ⇒ p 9. (∼ p∧ ∼ q) →∼ (p ∨ q) 10. (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 11. ∼ p ∨ (∼ q ⇔ r)

2.3

Teoría de Conjuntos Definición 2.3.1 — Conjunto. Es una colección de cosas u objetos con características definidas.

Los conjuntos se representan con letras mayúsculas y sus elementos se delimitan con llaves y se separan con comas. ■

Ejemplo 2.21

1. El conjunto de las vocales A = {a, e, i, o, u} 2. El conjunto de los dígitos. B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 3. El conjunto de los números naturales. N = {1, 2, 3, . . . , } ■

Nota: Los puntos suspensivos indican que el conjunto continúa y que los elementos siguientes conservan la misma característica. Para indicar que un elemento pertenece o no a un conjunto se utilizan los símbolos ∈ y ∈ / respectivamente.

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Capítulo 2. Lógica y Teoría de Conjuntos

46

Ejercicio 2.5 Dados los conjuntos: A = {a, e, i, o, u} y B = {1, 2, 3, 4, 5} coloca ∈ o ∈ / según

corresponda: 1. a

A

7. 8

B

2. c

A

8. u

A

3. o

B

4. 2

B

9. b

B

5. e

A

10. 5

B

6. 3

A

11. 1

A ■

2.3.1 Notación y representación Forma descriptiva o por comprensión. Se hace mención a la característica principal de los elementos del conjunto. ■

Ejemplo 2.22

1. A = {x : x son las vocales del alfabeto} 2. C = {x : x es uno de los primeros cinco enteros positivos.} ■

Forma enumerativa o por extensión. Se enlistan los elementos del conjunto, si algún elemento se repite, solo se escribe una vez. ■

Ejemplo 2.23 El conjunto de números naturales menores que 5,

M = {1, 2, 3, 4} ■

Ejercicio 2.6 Transforma a la forma descriptiva o enumerativa los siguientes conjuntos:

1. R = {1, 2, 5, 10} 2. A = {x ∈ N|1 < x ≤ 9} 3. B = {x ∈ N|x + 3 = 7} 4. C = {1, 2, 4, 5, 10, 20} 5. V = {y ∈ Z| − 1 ≤ y < 3} 6. Q = {x|x es una vocal de la palabra aula} ■

2.3.2 Cardinalidad y tipos de conjuntos

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2.3 Teoría de Conjuntos

47

Definición 2.3.2 — Cardinal. Es el número de elementos que contiene un conjunto A. Se

denota por |A| . ■

Ejemplo 2.24 Determine el cardinal del conjunto

A = {x : x es compuesto menor que 10, x ∈ N} ■

El conjunto A es forma enumerativa es A = {4, 6, 8, 9} Entonces su cardinal es |A| = 4. Ejercicio 2.7 Encuentra la cardinalidad de los siguientes conjuntos:

1. A = {x es vocal de la palabra casa} 2. S = {x|x es una estación del año} 3. R = {x ∈ N|x + 5 = 1} 4. Q = {x ∈ N|x > 8} 5. T = {x ∈ R|x = 3} 6. M = {x ∈ N|x < 1} 7. L = {x ∈ N|x es par divisor de 10 } ■

Definición 2.3.3 — Conjunto finito. Si la cardinalidad de un conjunto puede definirse, dicho

conjunto se dice finito. Si la cardinalidad de un conjunto no puede definirse por ser demasiado grande para cuantificarlo, dicho conjunto se dice infinito. ■

Ejemplo 2.25 El conjunto B = {x : x es un día de la semana.} en su forma enumerativa es

B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} El conjunto tiene 7 elementos, es decir, su cardinal está definido, por tanto es finito. ■

■

Ejemplo 2.26 El conjunto C = {x ∈ N : x es múltiplo de 3} en su forma enumerativa es

C = {3, 6, 9, 12, 15, . . .} El conjunto continúa indefinidamente, no se puede determinar su número de elementos, por tanto, ■ su cardinalidad es infinita y se escribe |C| = ∞. Definición 2.3.4 — Conjunto vacío. Es aquel que carece de elementos. Se denota por 0/ o bien

por { }. Ejemplo 2.27 El conjunto D = {x ∈ N : 2x − 1 = 0} es vacío, puesto que el único elemento que satisface la igualdad es 1/2, pero no pertenece al conjunto de los naturales, por tanto D = 0/ y |D| = 0. ■ ■

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48

Ejemplo 2.28 El conjunto E = {x : x es par e impar} es vacío pues no existe ningún elemento que sea par e impar a la vez.2 ■ ■

Definición 2.3.5 — Conjuntos no vacío. Sean A y B conjuntos no vacíos. Entonces

❶ A es equivalente a B (o equipotente con B) si tienen la misma cardinalidad. Si A y B son dos conjuntos equivalentes, se escribe A ∼ = B. ❷ A es igual a B si tienen los mismos elementos. Si A y B son iguales, se escribe A = B. ❸ A y B se dicen disjuntos si no tienen elementos comunes. ■

Ejemplo 2.29 Los conjunto A = {x : x2 = 4} y B = {−2, 2} son iguales, pues A escrito en forma

enumerativa es, precisamente, A = {−2, 2}.

■

Ejemplo 2.30 Los conjuntos A = {x ∈ N : x es divisor de 6} y B = {a, e, i, o} son equivalentes, pues A escrito en forma enumerativa es A = {1, 2, 3, 6} de modo que tiene la misma cantidad de elementos que B. ■

■

Definición 2.3.6 — Conjunto unitario. Es aquel que posee un solo elemento. ■

Ejemplo 2.31 Los conjuntos

P = {x : x es la capital de Nicaragua} y Q = {x : x es el número primo y par}

son unitarios.

■

Definición 2.3.7 — Subconjunto. Dado un conjunto S, se dice que A es un subconjunto de

S si todos los elementos de A pertenecen a S. Si A es subconjunto de S, se escribe A ⊆ S. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. Ejemplo 2.32 Dados los conjuntos S = {x : x es dígito} y A = {2, 4, 6, 8} , se verifica que A ⊆ S, puesto que S escrito en forma enumerativa es

■

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

y se observa que todos los elementos de A pertenecen a S.

■

Definición 2.3.8 — Subconjunto propio. Dados dos conjuntos A y B, se dice que B es subconjunto propio de A si todos los elementos de B pertenecen a A, pero A y B no son equivalentes. Si B es subconjunto propio de A, se escribe B ⊂ A. Ejemplo 2.33 Sean los conjuntos L = {2, 4, 5, 6, 8} y M = {2, 4, 6} se verifica que M ⊂ L, pues cada elemento de M pertenece a L, pero |L| = 5 y |M| = 3, de modo que L y M no pueden ser equivalentes. ■ ■

El número de subconjuntos de un conjunto A cualquiera, está dado por la fórmula 2n , donde n es el cardinal de A. Definición 2.3.9 — Conjunto potencia. Es el conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto. También se le suele llamar familia del conjunto. ■

Ejemplo 2.34 El conjunto potencia de T = {2, 4, 6} tiene 23 = 8 subconjuntos:

P(T ) = {{}, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6}}

■

2 Por

definición, un número par es aquel que se puede escribir como 2n donde n es cualquier entero. Un número impar es aquel que se puede escribir como 2n + 1 donde n es cualquier entero.

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2.3 Teoría de Conjuntos

49

Ejercicio 2.8 Resuelve lo que se indica en los siguientes ejercicios:

1. Si W = {x, y, z}, halla el número de subconjuntos de W . 2. Si T = {x ∈ N|1 < x < 7}, determina el número de subconjuntos de T . 3. Sea el conjunto L = {α, β , Σ }, determina el conjunto potencia. 4. Sea el conjunto Q = {x ∈ N|4 < x ≤ 7}, determina el conjunto potencia ■

Definición 2.3.10 — Conjunto universo. Sean A, B, C, . . . , subconjuntos de un conjunto U, a

este último se le llama conjunto universo de los conjuntos dados. ■

Ejemplo 2.35 Sea U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y sean A, B y C tales que

A = {2, 4, 6, 8},

B = {1, 2, 3, 4} C = {1, 2, 6, 7}

Como A ⊆ U, B ⊆ U, C ⊆ U, entonces U es conjunto universo de A, B y C.

■

Definición 2.3.11 — Operaciones con Conjuntos. Sean A y B subconjuntos de un conjunto

universo U. ❶ La unión de A y B, denotada por A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que se encuentran en al menos uno de dichos conjuntos. A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B} A

B

U ❷ La intersección de A y B, denotada por A ∩ B, es el conjunto de todos los elementos que son comunes a ambos conjuntos. A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B} A

B

U

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50

❸ La diferencia de B menos A (o complemento relativo de A en B), denotada por B − A, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a B pero no pertenecen a A. B − A = {x ∈ U : x ∈ B ∧ x ∈ / A} A

B

U ❹ La diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B pero que no se repitan. El símbolo es A∆B. A∆B = {x : x ∈ A ∪ B ∧ x ∈ / A ∩ B} A

B

U ❺ El complemento de A denotado por Ac , es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a U, pero que no están en A. Simbólicamente / A} Ac = {x ∈ U : x ∈ A

B

U La representación gráfica de las operaciones anteriores es la siguiente: ■

Ejemplo 2.36 Sean los siguientes conjuntos: U = {a, b, c, d, e, f , g} y A, B y C tales que

A = {a, c, e, g}

B = {a, b, d, e}

C = {b, e, f , g}

Realice las siguientes operaciones.

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2.3 Teoría de Conjuntos 1. A ∪ B

51 3. B ∩C

5. B∆C

1. A ∪ B = {a, b, c, d, e, g}

3. B ∩C = {b, e}

5. B∆C = {a, c, d, f , g}

2. C − B = { f , g}

4.

2. C − B

4. Cc

Solución:

Cc

= {a, c, d}

■ ■

Ejemplo 2.37 Dados los conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 5} , B = {1, 3, 5, 7} y C = {2, 6, 8}, entonces

1. B − A = {7} 2. (C ∪ A) − B = {0, 2, 6, 8} 3. A∆B = {0, 2, 7} Ejercicio 2.9 Sean los conjuntos:

U = x ∈ Z| − 4 < x ≤ 7 A = x ∈ U|x < 3 B = x ∈ U|x es un número par mayor que 1 Representa en diagrama de Venn y determina: 

1. A Bc

4. Bc

2. A − B 

3. A B

5. B − A ■

■

2.3.3

Álgebra de conjuntos Las operaciones con conjuntos poseen propiedades similares a las operaciones con números.

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52

Leyes del álgebra de conjuntos Leyes idempotentes

1a. A ∪ A = A 1b. A ∩ A = A

Leyes asociativas

2a (A ∪ B) ∪C = A ∪ (B ∪C)

Leyes conmutativas

2b (A ∩ B) ∩C = A ∩ (B ∩C) 3a. A ∪ B = B ∪ A 3b. A ∩ B = B ∩ A

Leyes distributivas

4a A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C)

4b A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C)

Leyes de identidad

5a A ∪ 0/ = A

5b A ∩U = A

Leyes de absorción

6a A ∪U = U

6b A ∩ 0/ = 0/ 7a [Acc = A]

Ley involutiva

8a A ∪ Ac = U

Leyes del complementario

8b A ∩ AC = 0/ 9a U c = 0/ 9b 0/ c = U

Leyes de D’Morgan

10a (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc 10b (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

■

Ejemplo 2.38 Considere los conjuntos A = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 9} , B = {1, 3, 5, 7, 9} y C = {2, 4, 6, 8} .

Pruebe que

(A ∪ B) ∪C = A ∪ (B ∪C) ■

1. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y (A ∪ B) ∪C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} . 2. B ∪C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A ∪ (B ∪C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Por lo tanto, (A ∪ B) ∪C = A ∪ (B ∪C) 2.3.4 Ejercicios propuestos de Conjuntos I. Exprese los conjuntos dados ya sea por extensión o por comprensión y diga la cardinalidad. a) A = {x : x es una letra en la palabra Nicaragua}

b) B = {x : x es un número entero positivo menor que 12} c) C = {a, b, c, d, e, . . . , x, y, z}

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2.3 Teoría de Conjuntos

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d) D = {x : x es un planeta del sistema sola}

e) E = {x : x es un número entero positivo tal que 4 + x = 3} f ) F = {x : x es un múltiplo de7}

g) G = {x : x es un país de América cuyo nombre empieza con P} II. Encuentre la familia de conjunto para a) A = {1, 2, 7, 8}

b) B = {w, x, y, z} c) C = {p, q, r, s}

III. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y sean A, B y C tales que A = {3, 4, 5, 6}

B = {1, 2, 3, 4}

C = {1, 4, 6, 7}

Efectúe d) C c e) B∆C f ) A ∪Cc

a) A ∪ B b) C − B c) B ∩C

g) (B ∩C)c

2.3.5 Técnicas de Conteo Una de las ideas más importante en la aplicación de la teoría de conjuntos está relacionada con el proceso de contar. Se cuenta el número de elementos de un conjunto, el número de maneras en que el proceso puede ocurrir, etc. en esta clase consideramos la solución de estos problemas a partir de la relación que expresa el número de elementos en la unión de conjuntos. En el tratamiento del problema se presentan dos situaciones, cuando los conjuntos que intervienen son disjuntos y cuando no lo son. Primer principio de conteo. Si A y B son disjuntos, entonces |A ∪ B| = |A| + |B| . Siendo A y B disjuntos, al contar los elementos de A ∪ B, cada uno viene o bien de A, o bien de B, pero no de ambos a la vez. Ejemplo 2.39 — Primer principio de conteo. Sean A = {1, 2, 3} y B = {0, 4, 5, 6} . Dado que A y B son disjuntos, por el primer principio de conteo se tiene ■

|A ∪ B| = |A| + |B| = 3 + 4 = 7 ■

Si A y B son conjuntos no disjuntos, en A ∪ B un elemento puede estar solo en A, solo en B o en ambos, así que al determinar |A ∪ B| alguno de los elementos se cuentan dos veces, de aquí que al determinar |A ∪ B| se debe restar |A ∩ B| para evitar repetir elementos. Segundo principio de conteo Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, entonces |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| ■ Ejemplo 2.40 — Segundo principio de conteo. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {0, 1, 2, 3, 4} . Entonces A ∩ B = {2, 4} y |A| = 4, |B| = 5 y |A ∩ B| = 2. Por tanto,

|A ∪ B| = 4 + 5 − 2 = 7 ■

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Capítulo 2. Lógica y Teoría de Conjuntos

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Ejemplo 2.41 — Técnicas de conteo. En una encuesta realizada en una ciudad en la que hay dos radioemisoras A y B se observó que, de un total de 100 encuestados, 35 oyen la emisora A, 28 oyen la emisora B y 47 no oyen ninguna de las dos emisoras. ¿Cuántas personas de las encuestadas oyen ambas emisoras? ■

Solución: El número de personas que escucha cuando menos una emisora es 100 − 47 = 53. Ahora bien, si A es el conjunto de personas que oyen la emisora A y B es el conjunto de personas que oyen la emisora B, entonces A ∪ B es el conjunto de personas que oyen cuando menos una de las dos emisoras y A ∩ B es el conjunto de personas que oyen ambas emisoras. De aquí que |A| = 35, |B| = 28 y |A ∪ B| = 53. Por tanto, |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∪ B| = 35 + 28 − 53 = 10. En conclusión, 10 personas escuchan ambas emisoras. 2.3.6

■

Ejercicios propuestos Tecnicas de Conteo 1. De los 30 estudiantes de una clase de química, 26 aprobaron el primer examen parcial y 21 el segundo examen parcial. Si dos estudiantes reprobaron ambos exámenes. ¿Cuantos aprobaron ambos exámenes? Sol. 19 2. En una carpintería de 250 obreros, 110 fabrican sillas, 180 fabrican mesas y 10 de ellos no fabrican ese tipo de muebles. ¿Determine el número de obreros que fabrican ambos muebles?Sol. 50 3. De 40 estudiantes en una clase de matemática 30 aprobaron el primer examen parcial y 27 el segundo examen parcial. Si 8 estudiantes reprobaron ambos parciales. ¿Cuántos aprobaron ambos exámenes? Sol. 25 4. Al visitar la Promotoría Solidaria un ba-

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rrio de Managua ubicado en las cercanías del lago Xolotlán y hacer un censo para protagonistas de viviendas solidarias; de 100 familias visitadas se observó que: 75 de ellas viven en un lugar vulnerable o de gran riesgo, 55 tiene casa de cartón o plástico y 10 ninguno de los dos casos. ¿Cuántas familias están en un lugar vulnerable de riesgo y su casa es de cartón o plástico?, ¿Cuántas familias solo están vulnerables o en riesgo? y ¿Cuántas solo tienen casas de cartón o plástico? sol. 40, 35 y 15 5. En una encuesta realizada a 110 estudiantes se encontró que 50 de ellos practican tenis de mesa, 45 tenis de campo y 20 ninguno de los dos deportes. ¿Cuántos practican ambos deportes? sol. 5

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55

II

UNIDAD II

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

56

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Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 57 Ecuaciones lineales Ecuaciones cuadráticas Sistemas de ecuaciones lineales Aplicaciones de sistemas de dos ecuaciones con dos variables Sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática Desigualdades

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3. Álgebra

3.1

Ecuaciones lineales Definición 3.1.1 Una ecuación es una afirmación de que dos expresiones son iguales.

Terminología: Una amplia gama de problemas de la vida real puede expresarse como ecuación, cuando se igualan entre sí dos expresiones, y al menos una de ellas contiene una variable, entonces la proposición matemática es una ecuación en una variable. Por ejemplo, √ x − 1 = 2, x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) y |x + 1| = 5

son ecuaciones en la variable x. Una solución o raíz de una ecuación es cualquier número que, sustituido en ella, la convierte en una proposición verdadera. Se dice que un número satisface una ecuación si es una solución de la ecuación. Resolver una ecuación significa hallar todas sus soluciones. ■

Ejemplo 3.1 Comprobación de una solución

El número 2 es una solución de 3x − 2 = x + 2 porque cuando se sustituye en la ecuación obtenemos la proposición verdadera:

■

Definición 3.1.2 Decimos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones,

es decir, si sus conjuntos solución son exactamente iguales. Por ejemplo son ecuaciones equivalentes 2x − 1 = 0, 2x = 1 y x =

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1 2

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57

3.1 Ecuaciones lineales ■

57

Ejemplo 3.2 — Una ecuación simple. Resuelva 3x − 18 = 0.

Solución:

3x − 18 = 0

3x − 18+18 = 0+18

3x = 18 1 1 (3x) = (18) 3 3 x = 6

■

Teorema 3.1.1 — Operaciones que producen ecuaciones equivalentes.

❶ Sume o reste en cada miembro o lado de una ecuación la misma expresión que represente un número real. ❷ Multiplique o divida cada miembro o lado de una ecuación por la misma expresión que represente un número real diferente de cero. Definición 3.1.3 Una ecuación de la forma

ax + b = 0, con a ̸= 0 donde b es un número real, se llama ecuación lineal. ■

Ejemplo 3.3 — Una ecuación lineal. Resuelva 2x − 7 = 5x + 6

Solución:

2x − 7 = 5x + 6

2x − 7 − 5x = 5x + 6 − 5x −3x − 7 = 6

−3x − 7 + 7 = 6 + 7

−3x = 13 1 1 − (−3x) = − (13) 3 3 13 x = − 3 ■

■

Ejemplo 3.4 — Multiplicación de una variable por una ecuación.

Resuelva

1 2 1 + = x x − 4 x2 − 4x

Solución: Para eliminar los denominadores, multiplicamos ambos miembros por el MCD x(x − 4) de las fracciones en la ecuación:

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Capítulo 3. Álgebra

58

1 1 + x x − 4  1 1 x(x − 4) + x x−4 1 1 x(x − 4) · + x(x − 4) · x x−4 (x − 4) + x

2 x2 − 4x  = x(x − 4)

=

 2 x2 − 4x 2 = x(x − 4) · x(x − 4) = 2

2x = 6 x = 3 ■

Hay enunciados que son escritos en lenguaje común y puede ser expresados en lenguaje matemático, esto permite entender mejor diferentes situaciones desde un enfoque lógico y facilita las búsquedas de soluciones, a continuación se muestran algunos ejemplos.

Lenguaje común

Lenguaje matemático

Un número aumentado en n unidades

x+n

El doble de un número

2x

El triple de un número disminuido en k unidades

3x − k

El doble de un número aumentado en cinco

El doble de la suma de un número más siete

2x + 5 x 3 x +p 4 x−8 5 2(x + 7)

Un número elevado al cuadrado

x2

La suma de dos números es cinco

x+y = 5

Tres números consecutivos

x, x + 1, x + 2

La tercera parte de un número La cuarta parte de un número aumentado en p La quinta parte de la diferencia entre un número y ocho

3.1.1 Aplicaciones de ecuaciones lineales Traducción en palabras en una ecuación: El álgebra es útil para resolver muchos problemas prácticos, por ejemplo, de razón de cambio, mezclas, dinero, etcétera. Como estos problemas se expresan con palabras, la idea básica consiste en traducir éstas para construir una ecuación algebraica apropiada. Como no hay un procedimiento único para hacer esta traducción, se requiere trabajo, práctica y paciencia para adquirir pericia en la resolución de problemas de esta clase. Las sugerencias siguientes resultan útiles. Reglas 3.1.2 — Pasos para construir una ecuación.

❶ Lea el problema cuidadosamente.

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3.1 Ecuaciones lineales

59

❷ Lea de nuevo el problema e identifique una cantidad desconocida que se necesite hallar. ❸ Si es posible, trace un diagrama. ❹ Asigne una variable, digamos x, que represente la cantidad desconocida. ❺ Escriba la definición de esta variable en una hoja. ❻ Si es posible, represente cualquier otra cantidad que haya en el problema en términos de x. ❼ Escriba una ecuación que exprese con precisión la relación descrita en el problema. ❽ Resuelva la ecuación. ❾ Compruebe que su respuesta concuerde con todas las condiciones planteadas en el problema. Problemas de edad

El primer ejemplo se relaciona con la edad ■

Ejemplo 3.5 Problema de edad

Hace dos años John tenía cinco veces la edad de Bill. Ahora es 8 años mayor que él. Encuentre la edad actual de John. Solución: La cantidad desconocida por determinar es la edad actual de John, entonces asignamos x = edad actual de John Luego representamos las otras cantidades del problema en términos de x: x − 8 = edad actual de Bill x − 2 = edad de John hace dos años (x − 8) − 2 = x − 10 = edad de Bill hace dos años Quizá resulte útil presentar la información en una tabla como ésta: John Bill

Edad actual x x-8

Edad hace dos años x-2 x-10

Una ecuación que expresa la relación de sus edades hace dos años es x − 2 = 5(x − 10) Resolvemos la ecuación: x − 2 = 5x − 50 48 = 4x x = 12 Entonces, la edad actual de John es 12. Comprobación: si John tiene ahora 12 años, Bill debe tener 4. Hace dos años John tenía 10 y Bill 2. Como 10 = 5(2), la respuesta es correcta. ■

60

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Capítulo 3. Álgebra

60 Problemas de inversión

Muchos problemas de inversión utilizan la fórmula del interés simple I = Crt

(3.1)

donde I es la cantidad de interés ganada por una suma de dinero C (llamada capital) invertida a una tasa de interés simple de porcentaje r durante t años. Como se muestra el ejemplo 2, resulta útil organizar los datos en una tabla. Ejemplo 3.6 Interés simple Una empresaria planea invertir un total de 30000 dólares. Parte de esta suma se invertirá en un certificado de depósito que paga 3 % de interés simple y el resto en un fondo de inversión que produce 5.5 % de interés simple. ¿Cuánto debe invertir en cada uno para obtener un rendimiento de 4 % sobre su dinero después de un año? Solución: En (3.1) identificamos r = 0,03 y t = 1. Si x representa la cantidad (en dólares) invertida en el depósito, entonces ■

30000 − x = cantidad en dólares invertida en el fondo de inversión En la tabla siguiente se resume la información. Certificado de depósito Fondo de inversión Inversión equivalente

Capital (C)

Tasa de interés (r)

Tiempo (t)

Interés ganado (I = Crt)

x

0.03

1 año

0,03x

30000 − x

0.055

1 año

0,055(30000 − x)

30000

0.04

1 año

1200

Como el interés combinado procedente del certificado de depósito y el fondo de inversión va a igualar el de una inversión total equivalente hecha a 4 % de interés simple, tenemos 0,03x + (0,055)(30000 − x) = 1200 Empezamos a resolver esta ecuación multiplicándola por 100: 3x + (5,5)(30000 − x) 3x + 165000 − 5,5x −2,5x x

= = = =

100(1200) 120000 −45000 18000

Se deben invertir 18000 dólares en el certificado de depósito y 30000 − 18000 = 12000 en el fondo de inversión. Comprobación: la suma de $18000 y $12000 es $30000. El interés ganado sobre el certificado de depósito es de ($18000)(0,03)(1)$540. El interés ganado sobre el fondo de inversión es de ($12000)(0,055)(1) = $660. Si los $30 000 se invirtieron a 4 %, el interés ganado sería ($30000)(0,04)(1) = $1200. Como $540 + $660 = $1200, la respuesta es correcta. ■ Problemas de velocidad

Si un objeto se mueve a una velocidad constante v, entonces la distancia d que recorre en t unidades de tiempo se obtiene con la fórmula distancia = velocidad × tiempo, que expresada en símbolos es d = vt (3.2)

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3.1 Ecuaciones lineales

61

Otras formas de (3.2) que pueden ser útiles al resolver ciertos problemas de velocidad son v=

d t

y

t=

d v

(3.3)

Comúnmente, la parte más difícil de resolver en un problema de distancia es determinar qué relación expresar como ecuación. Puede ser útil considerar las preguntas siguientes: ¿Hay dos distancias (o tiempos o velocidades) que sean iguales? ¿Es la suma de dos distancias (o tiempos o velocidades) una constante? ¿Es la diferencia de dos distancias (o tiempos o velocidades) una constante? En el ejemplo siguiente se emplea la segunda ecuación en (3.3). ■

Ejemplo 3.7 Problema de velocidad

Una motociclista tarda 1 hora y 30 minutos más en la noche que en el día viajar entre dos ciudades. En la noche recorre un promedio de 40 millas por hora en tanto que en el día puede recorrer un promedio de 55 millas por hora. Encuentre la distancia entre las dos ciudades. Solución: Asignemos d a la distancia entre las dos ciudades. En la tabla siguiente se muestra la distancia, la velocidad y el tiempo de cada viaje. Distancia

Velocidad

Noche

d

40

Día

d

55

Tiempo d 40 d 55

Como se tarda 1.5 horas más recorrer la distancia entre las dos ciudades en la noche, tenemos d d − = 1,5 40 55 Multiplicamos ambos miembros de esta ecuación por (40)(55) = 2200 y resolvemos: 55d − 40d = 3300 15d = 3300 d = 220 La distancia entre las dos ciudades es de 220 millas. 220 = 5,5 horas; por su parte, durante el día es Comprobación: el tiempo en la noche es de 55 220/55=4 horas. Como 5,5 − 4 = 1,5, la respuesta es correcta. ■ Problemas de mezclas

Este tipo de problemas se presentan sobre todo en química, farmacología, manufactura y situaciones de la vida diaria. Al resolver problemas de mezclas, nos centramos en la cantidad de un elemento que hay en cada una de las diferentes combinaciones.

62

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Capítulo 3. Álgebra

62 ■

Ejemplo 3.8 Problema de mezclas

Halle cuántos litros de alcohol puro deben añadirse a 15 l de solución que contiene 20 % de alcohol para que la mezcla resultante sea de 30 % de alcohol. Solución: Si x representa la cantidad de alcohol puro añadida, entonces 15 + x = cantidad en litros en la nueva solución En la tabla siguiente se resume la información dada:

Solución original Alcohol puro Mezcla resultante

Litros de solución 15 x 15 + x

Concentración de alcohol 0.20 1 0.30

Litros de alcohol 0.20(15) x 0,30(15 + x)

Como la cantidad de alcohol en la solución original más la cantidad de alcohol puro añadida es igual a la cantidad de alcohol en la mezcla resultante, tenemos: 0,20(15) + x = 0,30(15 + x) 3 + x = 4,5 + 0,3x 0,7x = 1,5 15 x = 7 15 La cantidad de alcohol puro añadida es l. 7 15 120 15 = Comprobación: si se agregan l de alcohol, la nueva solución, que suma 15 + l, 7 7 7 36 120 15 36 = l de alcohol. Como / = 0,3, la nueva solución es de 30 % contiene (0,20)(15) + 7 7 7 7 de alcohol y la respuesta es correcta. ■ Problemas de trabajo

Varias personas (o máquinas) que hacen el mismo trabajo, cada una a velocidad constante, completan la labor más rápido que si trabajaran solas. Entonces, para resolver problemas de trabajo utilizamos el principio básico siguiente: Si un individuo puede hacer todo el trabajo en T unidades de tiempo, entonces en x unidades de tiempo se termina una parte x/T del trabajo. Por ejemplo, si una persona puede hacer un trabajo completo en 5 horas, entonces en 3 horas 3 termina del trabajo. 5 ■ Ejemplo 3.9 Problema de trabajo Trabajando sola, la bomba A llena un tanque en 2 horas y la bomba B llena el mismo tanque en 3. Determine la rapidez con que las bombas llenarían el tanque trabajando juntas. Solución: Si asignamos a x el número de horas que ambas bombas requieren para llenar el tanque juntas, entonces x = fracción del trabajo completo culminado en x horas por una bomba A 2 y x = fracción de todo el trabajo culminado en x horas por una bomba B 3

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3.1 Ecuaciones lineales

63

Tiempo (en horas) para completar todo el trabajo

Fracción de trabajo completado en x horas

Bomba A

2

x 2

Bomba B

3

x 3

Ambas

x

1

Esta información se sintetiza en la tabla siguiente. La suma de las fracciones hechas por cada bomba en x horas es 1, pues las dos bombas, al trabajar juntas, terminan todo el trabajo en x horas. Entonces tenemos x x + =1 2 3 Comenzamos por multiplicar la ecuación por el mínimo común denominador de las fracciones. Luego, al resolver para x hallamos que 3x + 2x = 6 5x = 6 6 x = 5 6 Juntas, ambas bombas tardan horas 1,2h (o 1 hora y 12 minutos) en llenar el tanque. 5 3 6 6 Comprobación:En horas la bomba A llena /2 = de tanque, en tanto que la bomba B llena 5 5 5 2 3 2 6 /3 = de tanque. Como + = 1, la solución es correcta. ■ 5 5 5 5 Problemas diversos

Además de los problemas de edad, inversión, velocidad, mezclas y trabajo que acabamos de considerar, hay una gran variedad de problemas que se expresan en palabras. ■

Ejemplo 3.10 Problema de lindes

Un campo rectangular 20 m más largo que ancho está circundado por exactamente 100 m de cerca. ¿Cuáles son las dimensiones del campo? Solución: La descripción geométrica de este problema nos obliga a trazar un diagrama. Si asignamos w al ancho del campo en metros, entonces w + 20 = largo del campo en metros Como el perímetro del campo es de 100 m, tenemos 100 = w + w + (w + 20) + (w + 20) o bien, 100 = 2w + 2(w + 20) Despejamos w y encontramos que

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64 100 = 4w + 40 60 = 4w 15 = w

Así, el ancho es w = 15 m y el largo es w + 20 = 35 m. Comprobación: El largo es de 20 m más que el ancho, pues 35 − 15 = 20, y la cantidad de cercado requerida es 2(35) + 2(15) = 70 + 30 = 100. Entonces, la respuesta es correcta. ■ ■

Ejemplo 3.11 Mejora del promedio de calificaciones

Un estudiante obtiene 75 y 82 puntos en sus dos primeros exámenes. ¿Qué puntaje en el próximo examen elevará a 85 su promedio? Solución: Empezamos por hacer que x represente el puntaje en el futuro tercer examen. Luego, el promedio de los tres exámenes es 75 + 82 + x 3 Como este promedio debe igualarse a 85, tenemos que 75 + 82 + x = 85 3 Multiplicamos cada miembro de esta última ecuación por 3 y despejamos x: 75 + 82 + x = 3(85) 157 + x = 255 x = 98 Por tanto, un puntaje de 98 en el tercer examen elevará a 85 el promedio del estudiante. Comprobación: Si la puntuación obtenida en los tres exámenes es de 75, 82 y 98, respectivamente, el promedio del estudiante será 75 + 82 + 98 = 85 3 Por lo tanto, la respuesta es correcta.

■

3.1.2 Ejercicios propuestos de Ecuaciones Lineales I. Determine si los pares dados de ecuaciones son equivalentes. 1. x = 8;

4. −2z − 4 = 6z + 10;

x−8 = 0

2. x2 = x

x=1

3. 4y − (y − 1) = 2;

5. t + 1 = 1; 3y = 1

−4z = 7

2x + 1 = 0

6. x2 = (x + 1)2 ;

2x + 1 = 0

II. Resuelva la ecuación dada. 1. 2x + 14 = 0

6. 3y − 2 = y + 6

2. 3x − 5 = 0

7. x − (2 − x) = 3(x + 1) + x

3. −5w + 1 = 2 4. 7z + 8 = −6 5. 7(y + 1) − 2 = 5(y + 1) + 2

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8. [2x − 2(x − 1)]5 = 4 − x 9.

1 1 x− = 0 2 4

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3.1 Ecuaciones lineales 10.

1 2 x + = −1 5 5

11. −5t + 3 = 4(t − 6)

65 14.

1 1 3 1 s+ = − s 4 2 2 4

15. 0,2x + 1,2 = 0,5 16. −3,6z + 1,3 = 0,2(z − 3)

12.

2 4 1 (t − 2) + t = 2t + 3 3 3

17.

13.

4 1 (u − 3) = 2u − 2 3

18. p2 + 6p − 1 = p2 − p + 6

√ √ 1 2x − √ = 8x 2

III. En los problemas 1 a 44, construya y resuelva una ecuación a partir de las palabras dadas. 1. Problemas de números Encuentre dos números enteros cuya suma sea 50 y cuya diferencia sea 26. 2. El cociente de dos números es 4. Un número es 39 menos que el otro. Halle los dos números. 3. Encuentre tres números enteros consecutivos cuya suma sea 48. 4. La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 92. Halle los dos números. 5. Problemas de edad En 5 años Bryan tendrá tres veces la edad que tenía hace 7 años. ¿Cuántos años tiene? 6. La firma sanitaria Papik e Hijo anuncia “30 años de experiencia” en higiene sanitaria. Si el padre tiene 16 años más de experiencia en higiene sanitaria que su hijo, ¿cuánto tiempo de experiencia en higiene sanitaria tiene cada cual? 7. Problemas de inversión Una pareja tiene 40 000 dólares para invertir. Si invierte $16 000 a 12 % y $14 000 a 8 %, ¿a qué porcentaje debe invertir el resto para tener un ingreso de 4 000 proveniente de sus inversiones? 8. Janette tiene tres inversiones, de las que recibe un ingreso anual de 2 780 dólares. Una inversión de $7 000 está a una tasa de interés anual de 8 %. Otra inversión de $10 000 está a una tasa de interés anual de 9 %. ¿Cuál es la tasa de interés anual que

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recibe sobre la tercera inversión de 12 000 dólares? 9. La señora Beecham invirtió parte de 10 000 dólares en un certificado de ahorros a 7 % de interés simple. El resto lo invirtió en un título que producía 12 %. Si recibió un total de 900 de interés por el primer año, ¿cuánto dinero invirtió en el título? 10. Los Wilson tienen 30 000 dólares invertidos a 12 % y otra suma invertida a 8.5 %. Si el ingreso anual sobre la cantidad total invertida equivale a un porcentaje de 10 % sobre el total, ¿cuánto invirtieron a 8.5 %? 11. Problemas de velocidad Un auto viaja de A a B a una velocidad promedio de 55 mph, y regresa a una velocidad de 50 mph. En todo el viaje se lleva 7 horas. Halle la distancia entre A y B. 12. Un jet vuela con el viento a favor entre Los Ángeles y Chicago en 3.5 h, y contra el viento de Chicago a Los Ángeles en 4 h. La velocidad del avión sin viento es de 600 mi/h. Calcule la velocidad del viento. ¿Qué distancia hay entre Los Ángeles y Chicago? 13. Una mujer puede caminar al trabajo a una velocidad de 3 mph, o ir en bicicleta a 12 mph. Demora una hora más caminando que yendo en bicicleta. Encuentre el tiempo que se tarda en llegar al trabajo caminando. 14. Un niño sale del punto P en bicicleta y avanza a una velocidad de 15 km/h. Al

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Capítulo 3. Álgebra

66 cabo de treinta minutos otro niño sale del punto P en una bicicleta y avanza a diferente velocidad. Alcanza al primer ciclista 1 2 horas después. Calcule la velocidad 2 del segundo ciclista. 15. Un hombre recorre 280 km en automóvil y luego recorre otros 50 km en bicicleta. El tiempo total del viaje fue de 12 h y 1 la velocidad en la bicicleta fue de de 4 la velocidad en automóvil. Calcule cada velocidad. 16. Un cohete llevó una cápsula a la atmósfera. La cápsula aterrizó 72 minutos más tarde, después de hacer un controlado descenso con una velocidad vertical promedio de 420 km/h. Si el cohete tenía una velocidad vertical promedio de 1 010 km/h desde el despegue hasta que se lanzó la cápsula, ¿a qué altura se lanzó la cápsula? 17. Problemas de mezclas El radiador de un automóvil contiene 10 cuartos [de galón] de una mezcla de agua y 20 % de anticongelante. ¿Qué cantidad de esta mezcla debe vaciarse y reemplazarse por anticongelante puro para obtener una mezcla de 50 % en el radiador?

Determine cuántos galones de cada clase de gasolina se compraron. 21. Un carnicero vende carne molida de res de cierta calidad a $3.95 la libra y de otra calidad a $4.20 la libra. Quiere mezclar las dos calidades para obtener una mezcla que se venda a $4.15 la libra. ¿Qué porcentaje de carne de cada calidad debe usar? 22. Problemas de trabajo Si Meagan puede completar una tarea en 50 minutos trabajando sola y Colleen puede hacerlo en 25 min, ¿cuánto tiempo tardarán trabajando juntas? 23. Si Karen puede recoger un sembradío de frambuesas en 6 horas y Stan puede hacerlo en 8 horas, ¿cuán rápido pueden recoger el sembradío juntos? 24. Con dos mangueras de distinto diámetro se llena una tina en 40 minutos. Una manguera llena la tina en 90 minutos. Determine en cuánto tiempo la llenaría la otra manguera. 25. Margot limpia su habitación en 50 minutos ella sola. Si Jeremy la ayuda, tarda 30 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará Jeremy en limpiar la habitación él solo?

18. Una podadora de césped funciona con una mezcla de combustible compuesta por 23 partes de gasolina y 1 parte de petróleo. ¿Cuánta gasolina debe añadirse a un litro de una mezcla compuesta por 5 partes de gasolina y 1 parte de petróleo para obtener la mezcla correcta?

26. Un tubo de escape puede vaciar un tanque en 4 horas. El tubo estuvo abierto durante 1.5 horas y luego fue cerrado. En ese momento se abrió un segundo tubo y tardó 2 horas en terminar de vaciar el tanque. ¿Cuánto tiempo le habría tomado al segundo tubo solo vaciar el tanque?

19. Cierta marca de tierra para macetas contiene 10 % de humus y otra marca contiene 30 %. ¿Cuánto de cada tierra debe mezclarse para producir 2 pies cúbicos de tierra para macetas compuesta por 25 % de humus?

27. Problemas de dimensionesEl perímetro de un rectángulo es de 50 cm y el ancho 2 es de la longitud. Encuentre las dimen3 siones del rectángulo.

20. El jefe de una estación de servicio compró 15 000 galones de gasolina corriente y de primera calidad por 37 000 dólares. El precio mayorista fue de $2.40 por galón para la gasolina corriente y $2.60 por galón para la gasolina de primera calidad.

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28. El área de un trapecio es de 250 pies cuadrados y la altura es de 10 pies. ¿Cuál es la longitud de la base mayor si la base menor mide 20 pies? 29. El lado mayor de un triángulo es 2 cm más largo que el lado menor. El tercer lado tiene 5 cm menos que el doble de la longitud

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3.1 Ecuaciones lineales del lado menor. Si el perímetro es 21 cm, ¿cuál es la longitud de cada lado? 30. El área de un círculo es 80p cm2 menor que el área de uno cuyo radio es 4 cm mayor. Encuentre el radio del círculo más pequeño. 31. Dosis de un medicamento La regla de Friend para convertir la dosis para adulto de un medicamento en una dosis infantil supone una relación entre la edad y la dosis y se emplea para niños menores de 2 años: edad en meses/150 × dosis para adultos = dosis infantil

32. Joshua se esfuerza por pasar de año Joshua presentó un examen. Si debe obtener 99 puntos en un segundo examen para tener un promedio de 73 en ambos exámenes, ¿cuánto obtuvo en el primero? 33. Intento para obtener 80 Antes del examen final un estudiante tiene calificaciones en las pruebas parciales de 72 y 86. Si el examen final representa la mitad de la calificación final, ¿qué calificación debe obtener en el examen este estudiante para terminar el curso con un promedio de 80? 34. Política de clase Judy venció a John en una rigurosa elección de presidente del salón de los de último año, donde se registraron 211 votos. Si cinco estudiantes hubieran votado por John en vez de Judy, John habría ganado por un voto; ¿cuántos estudiantes votaron por Judy? 35. ¿Cuántos. . . ? En la escuela de la avenida Cayley, 40 alumnos más de la mitad son niños. Si la cantidad de niñas que van a la escuela es dos menos la mitad del número de niños, ¿cuántos alumnos asisten en total a la escuela? 36. Problema monetario Kurt tiene cuatro monedas más de 10 centavos que de 5 centavos. Si el valor total de estas monedas es de $2.35, halle cuántas monedas de 10 y de 5 centavos tiene Kurt.

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67 37. Otro problema monetario Heidi tiene $4.65 en monedas de cinco, diez y veinticinco centavos. Tiene cuatro monedas más de veinticinco centavos que de diez centavos y cinco monedas más de cinco centavos que de veinticinco centavos. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene Heidi? 38. Juego de números El dígito correspondiente a las unidades de un número de dos dígitos es cinco más que el dígito que corresponde a las decenas. Si el número original se divide por el número que se forma al invertir los dígitos del primero, el 3 resultado es . Halle el número original. 8 39. Más juegos de números El denominador de una fracción es dos más que el numerador. Si tanto el numerador como el denominador se aumentan en una unidad, la 2 fracción resultante es igual a . Encuentre 3 el número original. 40. ¿Soborno? El señor Chaney y su hijo Ryan acordaron que el señor Chaney daría a Ryan 5 dólares por cada problema de palabras que Ryan resolviera correctamente, pero que éste pagaría a su padre 5 dólares por cada solución incorrecta. Después de que Ryan hubo completado 70 problemas, ninguno le debía nada al otro. ¿Cuántos problemas resolvió correctamente Ryan? 41. Obtener un aumento Un trabajador obtuvo 6 % de aumento, lo que representa 480 dólares. ¿Cuál era el antiguo salario? ¿Cuál es el nuevo salario? 42. ¿Se paga solo? Una empresa de gas vende una manta aislante para un calentador de agua en $20. Asegura que la manta reduce los costos de combustible en 10 %. Si el costo promedio mensual de combustible que consume el calentador de agua es de $20, ¿cuándo se “pagará sola” la manta? 43. Pago de impuestos En un banquete, el administrador de un restaurante alquila un bar con bebidas valuadas en cifras redondas para simplificar las transacciones. Se

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Capítulo 3. Álgebra

68 incluye 5del impuesto de ventas en los precios redondeados. Al final del banquete, el administrador encuentra exactamente 200 dólares en la registradora. Sabe que 10 dólares son mucho dinero para el impuesto, pero es incapaz de deducir la cantidad correcta que se debe pagar.

44. Empleado necesita más capacitación Para un descuento de 25 % en las ventas, un tendero siempre calcula primero el descuento y luego añade 6 % del impuesto de ventas. Otro empleado en el mismo almacén siempre añade primero el impuesto de ventas y luego aplica el descuento. ¿Hay alguna diferencia?

Explique por qué 10 dólares son demasiado impuesto.

¿Puede demostrar que éste siempre es el caso para cualquier descuento d % y cualquier impuesto de venta t %?

Halle la cantidad correcta de impuesto de venta (hasta el último centavo).

3.2

Ecuaciones cuadráticas En la sección anterior vimos que una ecuación lineal es la que puede escribirse en la forma estándar ax + b = 0, con a ̸= 0 La ecuación ax + b = 0, con a ̸= 0 es un tipo especial de ecuación polinomial. Una ecuación polinomial de grado n es una ecuación de la forma an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 = 0, con an ̸= 0

(3.4)

donde n es un número entero no negativo y ai , i = 0, 1 . . . , n, son números reales. Una ecuación lineal corresponde al grado n = 1 en la ecuación (3.4). Salvo por los símbolos, que son diferentes, ax + b es lo mismo que a1 x + a0 . La solución de una ecuación polinomial se llama raíz de la ecuación. Por ejemplo, sabemos 2b es la única raíz de la ecuación polinomial lineal de primer grado ax + b = 0. que a En esta sección examinamos las ecuaciones polinomiales de segundo grado o ecuaciones cuadráticas. Definición 3.2.1 Una ecuación cuadrática es una ecuación polinomial que puede escribirse en la forma estándar: ax2 + bx + c = 0, con a ̸= 0

(3.5)

Método de factorización

Este método se basa en la propiedad de la multiplicación por cero. si a y b representan números reales y a · b = 0, entonces a = 0 o b = 0. La técnica se ilustra en el ejemplo que sigue. ■

Ejemplo 3.12 — Solución por factorización. Resuelva 2x2 + 5x − 3 = 0

Solución: La ecuación ya está en la forma estándar. Al factorizar su miembro izquierdo obtenemos la ecuación equivalente (x + 3)(2x − 1) = 0 Si aplicamos la propiedad de la multiplicación por cero concluimos que x+3 = 0

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o

2x − 1 = 0

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3.2 Ecuaciones cuadráticas

69

1 Las soluciones de estas ecuaciones lineales son x = −3 y x = , respectivamente. El hecho de que 2 éstas sean raíces de la ecuación dada puede comprobarse por sustitución. ■ ■

Ejemplo 3.13 — Solución por factorización. Resuelva 12x2 + 15x − 18 = 0

Solución: Como planeamos usar el método de factorización, debemos empezar por escribir la ecuación en la forma estándar ax2 + bx + c = 0: 12x2 + 15x − 18 = 0 Al eliminar el factor común 3 por división se simplifica la ecuación 3(4x2 + 5x − 6) = 0 a

4x2 + 5x − 6 = 0

Así la factorización resulta

(4x − 3)(x + 2) = 0

Mediante la propiedad de la multiplicación por cero, igualamos cada factor a cero para obtener 3 4x − 3 = 0 y x + 2 = 0. Al resolver cada una de estas dos ecuaciones resulta x = y x = −2. Las 4 3 raíces de la ecuación cuadrática son y −2. ■ 4 2 ■ Ejemplo 3.14 — Solución por factorización. Resuelva 4x + 4x + 1 = 0 Solución: El miembro izquierdo de la ecuación se factoriza fácilmente así: (2x + 1)(2x + 1) = 0 1 1 y x=− 2 2 1 Decimos que x = − es una raíz repetida o una raíz de multiplicidad 2. Al contar las raíces, 2 dichas raíces deben contarse dos veces. ■ Por tanto, x = −

Método de la raíz cuadrada

Si una ecuación cuadrática tiene la forma especial x2 = d, con d ≥ 0

(3.6)

la resolvemos factorizando: x2 −  d = 0 √  √ x− d x+ d = 0



√ √ lo que da por resultado x = d o x = − d. Otro método para resolver la ecuación (3.6) es obtener la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación. Esto se resume como el método de raíz cuadrada: √ Si x2 = d, con d ≥ 0, entonces x = ± d ■

Ejemplo 3.15 — Solución por el método de la raíz cuadrada. Utilice el método de la raíz

cuadrada para resolver

70

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Capítulo 3. Álgebra

70 a). 2x2 = 6 b). (y − 3)2 = 5 Solución: a). Multiplicamos ambos miembros de 2x2 = 6 por

1 para obtener la forma especial (3.6): 2

1  2 1 2x (6) = 2 2 2 x = 3 √ x = ± 3 b). Observamos que para x = y − 3 y d = 5, la ecuación (y − 3)2 = 5 tiene la forma especial (3.6). Entonces, obtenemos la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación: 5√ (y − 3)2 = y−3 = ± 5 √ √ Esto produce dos ecuaciones √ lineales, y − √3 = − 5 y y − 3 = 5. Al resolver cada una de ellas encontramos y = 3 + 5 y y = 3 − 5, respectivamente. ■

Método de completar el cuadrado

Cuando una expresión cuadrática no puede factorizarse fácilmente y la ecuación no tiene la forma especial (3.6), podemos hallar las raíces completando el cuadrado. Esta técnica se aplica a la expresión cuadrática de la forma x2 + Bx +C; es decir, la expresión cuadrática debe tener 1 como su coeficiente principal. Reescribimos la ecuación x2 + Bx +C = 0

(3.7)

de modo que los términos que tengan la variable x queden en el miembro izquierdo de la ecuación: x2 + Bx = −C  2 B a ambos miembros de esta última ecuación: Luego agregamos 2 x2 Bx +

 2  2 B B = −C + 2 2

, Ahora, el miembro izquierdo de la ecuación resultante es un cuadrado perfecto: 

B x+ 2



 2 B −C = 2

. Ahora es fácil despejar x con el método de la raíz cuadrada. Este procedimiento se ilustra en el siguiente ejemplo.

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3.2 Ecuaciones cuadráticas ■

71

Ejemplo 3.16 — Solución con el método de completar el cuadrado.

Resuelva 2x2 + 2x − 1 = 0 completando el cuadrado. Solución: Comenzamos por dividir ambos lados de la ecuación entre 2, el coeficiente de x2 , para obtener la forma (3.7):

Ahora escribimos esta ecuación como

x2 + x −

1 =0 2

1 2 sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x (en este caso es 1) a ambos miembros de la ecuación:  2  2 1 1 1 = ++ x2 + x + 2 2 2 Entonces, tenemos   1 2 3 x+ = 2 4 Al obtener la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación queda: √ 1 1 1√ 3 x+ = ± o x=− ± 3 2 2 2 2 √ √ 1 1 1 1 3y− + 3, respectivamente. ■ Las dos soluciones son entonces − − 2 2 2 2 x2 + x =

La fórmula cuadrática

La técnica de completar el cuadrado en una expresión cuadrática es muy útil en otras situaciones. La veremos de nuevo en los capítulos 4, 5 y 11. Por ahora, nos ayudará a deducir una fórmula que exprese las raíces de ax2 + bx + c = 0, con a ̸= 0, en términos de los coeficientes a, b y c. Primero escribimos la ecuación de modo que su coeficiente principal sea 1: b c x2 + x + = 0 a a Luego completamos el cuadrado y despejamos x:

Si a > 0, entonces

√

b c x2 + x = − a a  2  2 b c b b = − + x2 + x + a 2a a 2a   b 2 b2 − 4ac x+ = 2a 4a2  b2 − 4ac b = x+ 2a 4a2 √ ± b2 − 4ac b √ = x+ 2a 4a2 4a2 = |2a| = 2a y tenemos √ −b ± b2 − 4ac x= 2a

El resultado se llama fórmula cuadrática. Si a < 0, entonces simplificar, vemos que el resultado en (3.8) aún es válido.

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(3.8) √

4a2 = |2a| = −2a y después del

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Capítulo 3. Álgebra

72

Teorema 3.2.1 — Raíces de una ecuación cuadrática. Si a ̸= 0, entonces las raíces x1 y x2

de ax2 + bx + c = 0 están dadas por √ −b − b2 − 4ac x1 = 2a

y

x2 =

−b +

√ b2 − 4ac 2a

(3.9)

El discriminante

El discriminante Las raíces x1 y x2 de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 están determinadas por el radicando b2 − 4ac en la fórmula cuadrática (3.5). La cantidad b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación cuadrática. El discriminante debe ser positivo, cero o negativo. Estos tres posibles casos se sintetizan en la tabla siguiente. Discriminante

Raíces

b2 − 4ac > 0

Dos raíces reales diferentes

b2 − 4ac = 0 2

b − 4ac < 0

■

Raíces reales pero iguales No hay raíces reales

Ejemplo 3.17 Solución por la fórmula cuadrática

Solución: En este caso, identificamos a = 3, b = −2 y c = −4. El discriminante positivo b2 − 4ac = 13 implica que la ecuación dada tiene dos raíces reales. De la fórmula cuadrática (3.8) tenemos  −(−2) ± (−2)2 − 4(3)(−4) x = 2(3) √ 2 ± 52 = 6√ 2 ± 2 13 = 6√ 1 ± 13 = 3 1 1√ 1 1√ 13 y + 13. ■ Entonces, las raíces son − 3 3 3 3 2 ■ Ejemplo 3.18 — Raíces repetidas. Resuelva 9x + 16 = 24x Solución:Para utilizar la fórmula cuadrática primero debemos escribir la ecuación en la forma 9x2 − 24x + 16 = 0. La fórmula cuadrática  −(−24) ± (−24)2 − 4(9)(16) x = 2(9) √ 24 ± 576 − 576 = 18 24 = 18 4 = 3

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3.2 Ecuaciones cuadráticas

73

4 es una raíz repetida o una raíz de multiplicidad 2. 3 2 ■ Ejemplo 3.19 — Sin raíces reales. Resuelva 3x − x + 2 = 0 muestra que

■

Solución: Como el discriminante b2 − 4ac = (−1)2 − 4(3)(2) = −23 es negativo, concluimos que la ecuación dada no tiene raíces reales.

■

3.2.1 Aplicaciones de ecuaciones cuadráticas ■

Ejemplo 3.20 Problemas de rectángulos

■

138cm2 .

El área de un rectángulo es de El largo es 5 cm más que 3 veces el ancho. Halle las dimensiones del rectángulo. Solución: Empezamos por dibujar y marcar un rectángulo como se muestra en la figura Sea a = ancho del rectángulo en centímetros Entonces 3a + 5 = largo del rectángulo en centímetros y a(3a + 5) = 138 Para utilizar la fórmula cuadrática reescribimos esta ecuación en la forma estándar: 3a2 + 5a − 138 = 0 23 De la fórmula cuadrática, encontramos que a = − o a = 6. Como el ancho de un rectángulo 3 23 debe ser positivo, descartamos la solución a = − . En consecuencia, aceptamos que a = 6. Así, 3 la longitud es 3(6) + 5 = 23, y las dimensiones del rectángulo son 6 cm por 23 cm. Comprobación: Como 23 = 3(6) + 5 y 6(23) = 138, la respuesta es correcta. Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es uno de los más usados de la geometría. Muchas de sus aplicaciones implican ecuaciones cuadráticas. A pesar de que se llama así en honor del matemático griego Pitágoras, que vivió alrededor de 540 antes de la era cristiana, el resultado se conocía antes de esa época. El teorema postula que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados (catetos). Para un triángulo rectángulo tenemos la fórmula:

74

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Figura 3.1: Triángulo Rectángulo

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Capítulo 3. Álgebra

74 a2 + b2 = c2 ■

Ejemplo 3.21 Problema de las aceras

En un parque, dos aceras forman un ángulo recto con el patio P, el puesto de refrigerios R y el estacionamiento E, como se muestra en la FIGURA 3.2 La longitud total de las aceras es 700 m. Al caminar diagonalmente a través del pasto (línea punteada roja) directamente del estacionamiento al patio, los niños acortan la distancia 200 m. ¿Cuál es la longitud de cada acera? Solución: Si designamos

■

Figura 3.2: Aceras y atajo diagonal

x = longitud de la acera del punto P a R entonces 700 − x = longitud de la acera R a E Como la distancia de P a E es 200 metros menor que la longitud total de las dos aceras, tenemos 700 − 200 = 500 = distancia de P a E Por el teorema de Pitágoras obtenemos esta relación: x2 + (700 − x)2 = (500)2 Reescribimos esta ecuación y resolvemos por factorización: 2x2 − 1400x + 240000 = 0 x2 − 700x + 120000 = 0 (x − 400)(x − 300) = 0 De la última forma de la ecuación vemos de inmediato que x = 400 o x = 300. Si nos remitimos a la FIGURA 3.2, si utilizamos x = 400 encontramos que la longitud de la acera desde el patio hasta el puesto de refrigerio es 400 m y la longitud de la acera desde el punto de refrigerio hasta el estacionamiento es 700 − 400 = 300 m. De x = 300, encontramos que estas distancias están invertidas. Entonces, hay dos soluciones posibles a este problema. Comprobación: La solución es correcta porque 700 = 300 + 400 y (500)2 = (300)2 + (400)2 ■

Ejemplo 3.22 Botellas de vino

■

Un comisionista de vinos gastó 800 dólares en algunas botellas de vino añejo cabernet sauvignon de California. Si cada botella hubiera costado 4 dólares más, el comisionista habría obtenido 10 botellas menos por los $800. ¿Cuántas botellas se compraron? Solución: La solución de este problema se basa en la relación siguiente: (costo por botella)(número de botellas) = 800

(3.10)

Para la compra real, si designamos x = número de botellas compradas

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75

3.2 Ecuaciones cuadráticas

75

entonces 800 = costo por botella x Al precio más alto, x − 10 = número de botellas compradas y 800 + 4 = costo por botella x Con esta información en la relación (3.10), obtenemos la ecuación   800 + 4 (x − 10) = 800 x , Con la cual despejamos x como sigue: (800 + 4x)(x − 10) = 800x 4x2 − 40x − 8000 = 0 x2 − 10x − 2000 = 0 La fórmula cuadrática da x=

−(−10) ± 2

√

8100

=

10 ± 90 2

y, por tanto, x = 50 o x = 240. Como debemos tener un número positivo de botellas adquiridas, se compraron 50 botellas de vino. Comprobación: Si se compraron 50 botellas por 800 dólares, el costo por botella fue de $800/50 = 16. Si cada botella costara 4 dólares más, entonces el precio por botella habría sido de 20 dólares. A este precio más alto precio, sólo 800/20 = 40 botellas se habrían comprado por 800 dólares. Como 50 − 10 = 40, la respuesta es correcta. 3.2.2 Ejercicios propuestos de Aplicaciones Cuadrática 1. Juego con números La suma de dos números es 22, y la suma de sus cuadrados es 274. Halle los números.

una hora 40 minutos menos de tiempo que el otro chico, halle cuánto tiempo toma a cada muchacho hacer la caminata

2. Juego con números El producto de dos números es 1 más que 3 veces su suma. Halle los números si su diferencia es 9.

5. Plantar un jardín Bárbara ha planeado hacer un huerto de legumbres rectangular con un perímetro de 76 m y un área de 360m2 . Determine las dimensiones del huerto.

3. Área de un triángulo La base de un triángulo es 3 cm más larga que la altura. Si el área del triángulo es 119cm2 , halle la base y la altura. 4. ¿Qué distancia? En una caminata de 35 1 km un muchacho hace kilómetro por ho2 ra más rápido que otro. Si hace el viaje en

76

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6. Distancia Un diamante de béisbol es un cuadrado que mide 90 pies de lado. Calcule la distancia de la tercera a la primera base. 7. Área Un campo de juego cuadrado tiene una diagonal que mide 100 pies. Calcule

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Capítulo 3. Álgebra

76 el área del campo. 8. Cercar un jardín Un jardín de flores tiene la forma de un triángulo rectángulo isósceles con una hipotenusa de 50 pies. ¿Cuántos pies de madera se necesitan para cercar el jardín? 9. Longitud de los lados Suponga que la hipotenusa de un triángulo es 10 cm más larga que uno de los lados y ese lado es 10 cm más largo que el otro. Halle la longitud de los tres lados de este triángulo rectángulo. 10. ¿Cuán lejos? Una escalera de 17 pies se coloca contra el costado de una casa de modo que su base está a 8 pies de la casa. Si se resbala hasta que su base esté a 10 pies de la casa, ¿cuánto resbala hacia abajo la parte superior de la escalera? 11. Distancia Dos lanchas de motor salen del muelle al mismo tiempo. Una se dirige al Norte a una velocidad de 18 mi/h y la otra avanza en dirección Oeste a 24 mi/h. Calcule la distancia entre ellas después de 3 horas. 12. Velocidad Un motociclista viaja a velocidad constante de 60 mi. Si hubiera ido 10 mi/h más rápido, habría reducido el tiempo de viaje en 1 h. Calcule la velocidad del motociclista. 13. ¿A qué velocidad? James tardó 1 h más que John en realizar un viaje de 432 millas en automóvil a una velocidad promedio de 6 mi/h menos que John. ¿A qué velocidad iba conduciendo cada uno de ellos? 14. ¿Cuántos? Un grupo de mujeres planea compartir por partes iguales el costo de $14000 de una lancha. En el último minuto, tres de las mujeres se echan para atrás, lo cual eleva la parte que corresponde a cada una de las mujeres restantes en $1500. ¿Cuántas mujeres había en el grupo original? 15. ¿Cuántos? El señor Arthur compra algunas acciones en $720. Si hubiera comprado las acciones el día anterior, cuando el

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precio por acción era de $15 menos, habría comprado cuatro acciones más. ¿Cuántas acciones compró el señor Arthur? 16. Cálculo de dimensiones Un jardín rectangular está rodeado por un sendero de grava que mide 2 pies de ancho. El área que cubre el jardín es de 80 pies cuadrados, y el área que abarca la acera es de 108 pies cuadrados. Calcule las dimensiones del jardín. 17. Ancho Un área cubierta de césped de 50 m por 24 m está rodeada por una acera. Si el área que abarca la acera es de 480m2 , ¿cuánto mide de ancho? 18. Construcción de una caja abierta Se hace un recipiente con una pequeña hoja de estaño cuadrada cortando un cuadrado de 3 pulgadas de cada esquina y doblando los lados. La caja va a tener un volumen de 48 pulgadas cúbicas. Halle la longitud de uno de los lados de la hoja de estaño original.

19. Construcción de una caja abierta María tiene una hoja de cartulina con el largo igual al doble de su ancho. Si recorta un cuadrado de 2 pulgadas cuadradas de cada esquina y dobla los lados hacia arriba para formar una caja sin tapa, tendrá una caja con un volumen de 140 pulgadas cúbicas. Halle las dimensiones de la hoja de cartulina original. 20. Longitud Un alambre de 32 cm de longitud se cortó en dos pedazos, y cada parte se dobló para formar un cuadrado. El área total encerrada es de 34 cm2 . Determine la longitud de cada pedazo de alambre. 21. ¿Cuán lejos? Si se lanza desde el suelo un objeto hacia arriba con un ángulo de 45° y una velocidad inicial de v0 metros por segundo, entonces la altura y en metros arriba del suelo a una distancia horizontal

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77

3.2 Ecuaciones cuadráticas

77 22. ¿Cuán lejos? Si una fuente arroja agua con un ángulo de 45◦ y una velocidad de 7 m/s, ¿a qué distancia del chorro caerá el agua sobre la pileta? Vea el problema 87.

de x metros desde el punto del lanzamiento está dada por la fórmula: 9,8 y = x − 2 x2 v0 Si se lanza un proyectil con un ángulo de 45◦ y una velocidad inicial de 12 m/s, ¿a qué distancia del punto de lanzamiento aterrizará?

3.2.3 Ejercicios propuestos de Ecuaciones lineales y cuadráticas I. Resuelva las siguientes ecuaciones −3 7 5x + 4 + = x + 4 x − 4 x2 − 16

1. 7x − 5x + 15 = x + 8

19.

2. 2x + 4 − x = 4x − 5

20. x(x − 5) = 14

3. 12x + 15x − 9 + 5 = −3x + 5 − 9 4. 2(x + 3) = −4(x + 1) 5. 4(x − 9) = 8(x + 3) 6. 3(2x + 1) − 2(x − 2) = 5 7. 4(x − 2) + 2(x + 3) = 6 8. (2x + 9)(4x − 3) = 8x2 − 12 9. (2x + 3)(x − 4) = 2(x − 3) 10. (6x − 3)(5x + 2) = 4(1 − x) 11. (3x − 2)2 = (x − 5)(9x + 4) 12. (4x − 7)(2x + 3) − 8x(x − 4) = 0

21. 3x2 − 10x = 8

22. 2(x + 3) + 3(x − 1) = 4(x + 2) 23. x2 − 2x − 35 = 0

1 (16x − 8) = 10 4 5 8 −2 = + 12 25. 3x 3x 3 2 26. + 6 = −5 − 4x 3x

24.

27. 5 = 2(x − 3) + 3x + 1 28. −2(3x + 4) = 16 29. 2(t − 5) = 3 − (4 + t) 30. (x + 6)(x) = 40

13. −[2x − (5x + 2)] = 2 + (2x + 7)

31. 2(x + 2) = 4(x + 1)

14. −[6x − (4x + 8)] = 9 + (6x + 3)

32. x2 − x = 12

15. (3x − 4) − (5x − 8) = −(x + 12) − 6x + 1 33. x(x + 24) = 81 16.

78

3 9x = 2+ 3x − 1 3x − 1

17.

4x + 1 x + 5 x − 3 = + 3 6 6

18.

2x + 5 3x + 1 −x + 7 = + 5 2 2

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34. 3x2 − 11x + 10 = 0 35. 4x2 − 12x + 9 = 0 36.

x + 4 5x − 14 = 7 2

37.

x2 x 3 − = 5 2 10

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Capítulo 3. Álgebra

78 38. (x + 3)(x − 9) = 0

47. 4(x + 7)2 = 13

39. (2x − 7)(5x + 1) = 0

48.

1 9 x + −4 = 2 x+3 x x + 3x

49.

5x 3 −6 + +2 = 2 x−2 x x − 2x

50.

4 900 5x + = x − 3 x − 3 x2 − 9

51.

1 −4 3x + = x − 2 x + 2 x2 − 4

52.

1 1 2 − (3x + 6) = (10x − 15) 2 3 5

40.

12x2 + 4x

=1

41. (x − 1)(3x + 2) = x 42. 2x2 = 2x + 1 43. 4x(x − 1) = 19 44. x2 + 6x + 9 = 0 45. 9x2 − 30x + 15 = 0 46. (x − 3)2 = 17 II. Resolver los siguientes Problemas 1. Hallar el número que disminuido en sus 3/8, equivale al doble disminuido en 11.

¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

2. En tres días un hombre ganó $175, si cada día ganó la mitad de lo que ganó el día anterior. ¿Cuánto ganó cada día?

8. ¿Cuántos litros de una solución de ácido nítrico al 60 % deben añadirse a 10 litros de una solución al 30 % para obtener una solución al 50 %?

3. El salario neto que un trabajador lleva a su casa es de $270, después de restar deducciones que totalizan 40 % del mismo. ¿Cuál es el salario bruto? 4. El tiempo de una ingeniera consultora se factura a $60 por hora y el de su asistente se factura a $20 por hora. Un cliente recibe una cuenta por $580 por cierto trabajo. Si la asistente trabajó 5 horas menos que la ingeniera, ¿cuánto tiempo facturó cada una en el trabajo? 5. Un estudiante en un curso tiene calificaciones de examen de 69 y 79. ¿Qué calificación en un tercer examen dará al estudiante un promedio de 80? 6. dividir 48 en tres partes tales que la primera sea el triple de la segunda y la tercera igual a la suma de la primera y la segunda. 7. En el estadio de hockey de la liga menor local, los boletos de la fila 1 cuestan $35 cada uno y los boletos de la fila 2 cuestan $30 cada uno. Los 105 asientos de estas filas se vendieron para toda la temporada. Los ingresos totales fueron de $3420.

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9. La fórmula D = 100t − 13t 2 proporciona la distancia en pies que un automóvil a 68 millas por hora aproximadamente se derrapa en t segundos. Calcule el tiempo necesario para que el automóvil derrape 190 pies . (Sugerencia: Considere que su respuesta debe ser una cifra menor que el tiempo que tarda el auto en detenerse, el cual es de 3,8 segundos) 10. Orlando Osmar está volando una cometa que se encuentra a una distancia horizontal de 30 pies respecto de su mano. La cuerda que hay entre su mano y la cometa mide 150 pies de longitud. ¿A qué distancia vertical está la cometa arriba de su mano? 11. El patio de Noel mide 20 por 30 metros, él desea poner un jardín de flores a la mitad del patio, dejando una franja de pasto de ancho uniforme alrededor del jardín. Noel tiene 184 metros cuadrados de pasto. En estas condiciones, ¿qué longitud y ancho debe tener el jardín? 12. Una escalera de 13 pies está recargada contra una casa. La distancia de la parte

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79

3.3 Sistemas de ecuaciones lineales inferior de la escalera a la casa mide 7 pies menos que la distancia de la parte superior de la escalera al suelo, ¿ a qué distancia se

3.3

79 encuentra la parte inferior de la escalera de la casa?

Sistemas de ecuaciones lineales Una ecuación lineal con dos variables x y y es cualquier ecuación que puede escribirse en la forma ax + by = c, donde a y b son números reales distintos de cero. En general, una ecuación lineal con n variables x1 , x2 , . . . , xn es una ecuación de la forma a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b

(3.11)

donde los números reales a1 , a2 , . . . , an no todos son cero. El número b es el término constante de la ecuación. La ecuación en (3.11) también se llama ecuación de primer grado porque el exponente de cada una de las n variables es 1. En ésta y en la próxima sección examinaremos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones. Definición 3.3.1 Un sistema de ecuaciones consta de dos o más ecuaciones y cada una de ellas tiene por lo menos una variable. Si cada ecuación del sistema es lineal, decimos que se trata de un sistema de ecuaciones lineales o, simplemente, de un sistema lineal. Siempre que sea posible, utilizaremos los símbolos ya conocidos x, y y z para representar variables en un sistema. Por ejemplo,  

2x + y − z = 0 x + 3y + z = 2  −x − y + 5z = 14

(3.12)

es un sistema lineal de tres ecuaciones con tres variables. La llave en (3.12) es sólo una forma de recordar que estamos tratando de resolver un sistema de ecuaciones y que éstas han de resolverse simultáneamente. Una solución de un sistema de n ecuaciones con n variables está formada por valores de las variables que satisfacen cada ecuación del sistema. Una solución de tal sistema se escribe también como una n−ésima tupla ordenada. Por ejemplo, como vemos que x = 2, y = −1 y z = 3 satisfacen cada ecuación del sistema lineal (3.12):  

2x + y − z = 0 x + 3y + z = 2  −x − y + 5z = 14

sustituyendo x = 2, y = −1, z=3

 3 = 4−4 = 0  2 · 2+ (−1)− 2+ 3(−1)+ 3 = 5−3 = 2  −2− (−1)+ 5 · 3 = 16 − 2 = 14

y, por tanto, estos valores constituyen una solución. Por otra parte, esta solución también puede escribirse como la tripleta ordenada (2, −1, 3). Para resolver un sistema de ecuaciones hallamos todas sus soluciones. A menudo, para ello realizamos operaciones en el sistema para transformarlo en un conjunto de ecuaciones equivalente. Se dice que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen exactamente los mismos conjuntos solución. Sistemas lineales con dos variables

El sistema lineal más sencillo consta de dos ecuaciones con dos variables:  a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2

(3.13)

Debido a que la gráfica de una ecuación lineal ax + by = c es una línea recta, el sistema determina dos líneas rectas en el plano xy.

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Capítulo 3. Álgebra

80 Sistemas consistentes e inconsistentes

Como se muestra en la Figura 3.3, hay tres casos posibles para las gráficas de las ecuaciones en el sistema (3.13): Las rectas se intersecan en un solo punto. (Figura 3.3a) Las ecuaciones describen la misma recta. (Figura 3.3b) Las dos rectas son paralelas. (Figura 3.3c)

Figura 3.3: Dos rectas en un plano En estos tres casos decimos, respectivamente: El sistema es consistente y las ecuaciones son independientes. Tiene exactamente una solución, es decir, el par ordenado de números reales correspondientes al punto de intersección de las rectas. El sistema es consistente, pero las ecuaciones son dependientes. Tiene infinitas soluciones, esto es, todos los pares de números reales correspondientes a los puntos de una recta. El sistema es inconsistente. Las rectas son paralelas y, por consiguiente, no hay soluciones. Por ejemplo, las ecuaciones del sistema lineal  x−y = 0 x−y = 3 son rectas paralelas [figura 3.3c]. Por tanto, el sistema es inconsistente. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales podemos usar el método de sustitución o el de eliminación. Método de sustitución

La primera técnica de resolución que estudiaremos se llama método de sustitución. Reglas 3.3.1 — Método de sustitución.

❶ Use una de las ecuaciones del sistema para resolver una variable en términos de las otras. ❷ Sustituya esta expresión en las otras ecuaciones. ❸ Si una de las ecuaciones obtenidas en el paso 2) contiene una variable, re suélvala. De lo contrario, repita 1) hasta obtener una ecuación con una sola variable.

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3.3 Sistemas de ecuaciones lineales

81

❹ Por último, use la sustitución inversa para hallar los valores de las variables restantes. ■

Ejemplo 3.23 Método de sustitución

■

Resuelva el sistema 

3x − 4y = −5 2x − y = 4

Solución: Al resolver la segunda ecuación para y obtenemos y = 2x − 4 Sustituimos esta expresión en la primera ecuación y despejamos x: 3x + 4(2x − 4) = −5

o

11x = 11

o

x=1

Entonces, trabajando hacia atrás, sustituimos este valor en la primera ecuación 3(1) + 4y = −5

o

4y = −8

o

y = −2

Así, la única solución del sistema es (1, −2). El sistema es consistente y las escuaciones son independientes. Sistemas lineales con tres variables

En cálculo se demuestra que la gráfica de una ecuación lineal con tres variables, ax + by + cz = d , donde a, b y c no son todos cero, determina un plano en el espacio tridimensional. Como vimos en (3.12), una solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas   a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2  a3 x + b3 y + c3 z = d3

(3.14)

es una tripleta ordenada de la forma (x, y, z); una tripleta ordenada de números representa un punto en el espacio tridimensional. La intersección de los tres planos que describe el sistema (3.14) puede ser Un solo punto. Una cantidad infinita de puntos. Ningún punto. Como antes, a cada uno de estos casos le aplicamos los términos consistente e independiente, consistente y dependiente e inconsistente, respectivamente. Cada uno se ilustra en la Figura 3.4.

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Capítulo 3. Álgebra

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Figura 3.4: Tres planos en tres dimensiones Método de eliminación

En el método siguiente que ilustramos se utilizan operaciones de eliminación. Cuando se aplican a un sistema de ecuaciones, estas operaciones producen un sistema de ecuaciones equivalente. Reglas 3.3.2 — Método de eliminación.

❶ Intercambie dos ecuaciones cualesquiera en un sistema. ❷ Multiplique una ecuación por una constante que no sea cero. ❸ Sume un múltiplo constante que no sea cero de una ecuación del sistema a otra ecuación del mismo sistema. A menudo agregamos un múltiplo constante que no sea cero de una ecuación a otras ecuaciones del sistema con la intención de eliminar una variable de ellas. Por conveniencia, representamos estas operaciones por medio de los símbolos siguientes, donde la letra E significa la palabra ecuación: Ei ↔ E j : kEi : kEi + E j :

intercambiar la i-ésima ecuación con la j-ésima ecuación. multiplicar la i-ésima ecuación por una constante k. multiplicar la i-ésima ecuación por k y agregar el resultado a la ecuación j.

Al leer un sistema lineal de arriba abajo, E1 representa la primera ecuación, E2 la segunda y así sucesivamente. Con el método de eliminación es posible reducir el sistema (3.14) de tres ecuaciones lineales con tres variables a un sistema equivalente en forma triangular:   a′1 x + b′1 y + c′1 z = d′1 b′2 y + c′2 z = d′2  c′3 z = d′3

Se puede obtener fácilmente una solución del sistema (si acaso existe) por medio de la sustitución hacia atrás. En el ejemplo que sigue se ilustra el procedimiento. ■

Ejemplo 3.24 Eliminación y sustitución hacia atrás

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■

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3.3 Sistemas de ecuaciones lineales

83

Resuelva el sistema   x + 2y + z = −6 4x − 2y − z = −4  2x − y + 3z = 19

Solución: Primero eliminamos x de la segunda y tercera ecuaciones:   x + 2y + z = −6 4x − 2y − z = 4  2x − y + 3z = 19

−4E1 + E2 −2E1 + E3

  x + 2y + z = −6 −10y − 5z = 20  −5y + z = 31

Luego eliminamos y de la tercera ecuación y obtenemos un sistema equivalente en forma triangular: 1 E2 + E3 2

  x + 2y + z = −6 −10y − 5z = 20  −5y + z = 31

   x + 2y + z = −6 −10y − 5z = 20 7   z = 21 2

Llegamos a otra forma triangular equivalente al sistema original si multiplicamos la tercera 7 ecuación por : 2    x + 2y + z = −6 −10y − 5z = 20 7   z = 21 2

2 E3 7

  x + 2y + z = −6 −10y − 5z = 20  z = 6

En este último sistema es evidente que z = 6. Utilizamos este valor y lo sustituimos hacia atrás en la segunda ecuación para obtener 1 1 y = − z − 2 = − (6) − 2 = −5 2 2 Por último, sustituimos y = −5 y z = 6 en la primera ecuación para obtener x = −2y − z − 6 = −2(−5) − 6 − 6 = −2 Por tanto, la solución del sistema es (−2, −5, 6).

■

Ejemplo 3.25 Eliminación y sustitución hacia atrás

■

Resuelva el sistema  

x+y+z = 2 5x − 2y + 2z = 0  8x + y + 5z = 6

Solución: Usamos la primera ecuación para eliminar la variable x de las ecuaciones segunda y tercera y obtenemos el sistema equivalente

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Capítulo 3. Álgebra

84  

x+y+z = 2 5x − 2y + 2z = 0  8x + y + 5z = 6

−5E1 + E2 −8E1 + E3

  x+y+z = 2 −7y − 3z = −10  −7y − 3z = −10

Este sistema, a su vez, equivale al sistema en forma triangular:   x+y+z = 2 −7y − 3z = −10  −7y − 3z = −10

  x+y+z = 2 7y + 3z = 10  0z = 0

−E2 −E2 + E3

En este sistema no podemos determinar valores únicos para x, y y z. Cuando mucho, podemos resolver dos variables en términos de la restante. Por ejemplo, de la segunda ecuación obtenemos y en términos de z: 3 10 y = − z+ 7 7 Sustituimos esta ecuación por y en la primera ecuación para despejar x y obtenemos   10 4 4 3 +z = 2 o x = − z+ x+ − z+ 7 7 7 7

Así, en las soluciones de y y x podemos elegir el valor de z arbitrariamente. Si denotamos z con el símbolo α, donde α representa  un número real, entonces  las soluciones del sistema son 4 4 3 10 todas tripletas ordenadas de la forma − α + , − α + , α Hacemos hincapié en que para 7 7 7 7 cualquier número real α, obtenemos una solución lineal. Por  del sistema  ejemplo,   si asignamos a α 4 4 4 10 un valor de 0, 1 y 2, obtenemos las soluciones , , 0 , (0, 1, 1) y − , , 2 , respectivamente. 7 7 7 7 En otras palabras, el sistema es consistente y tiene una cantidad infinita de soluciones. ■

Ejemplo 3.26 Sin solución

Resuelva el sistema

■

  2x− y −z = 0 2x+ 3y = 1  8x −3z = 4

Solución: Por el método de eliminación,   2x− y −z = 0 2x+ 3y = 1  8x −3z = 4   2x − y − z = 0 4y + z = 1  4y + z = 4

−E1 + E2 −41 + E3

−E2 + E3

  2x − y − z = 0 4y + z = 1  4y + z = 4   2x − y − z = 0 4y + z = 1  0z = 3

se demuestra que la última ecuación 0z = 3 nunca se satisface con ningún valor de z, puesto que 0 ̸= 3. Por tanto, el sistema es inconsistente y no tiene soluciones.

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85

3.4 Aplicaciones de sistemas de dos ecuaciones con dos variables

85

3.3.1 Ejercicios propuestos Sistemas de Ecuaciones Lineales En los problemas 1 a 24 resuelva el sistema lineal dado. Diga si el sistema es consistente, con ecuaciones dependientes o independientes, o si es inconsistente.   2x + y = 2  2x + y + z = 1 1. 3x − 2y = −4 x − y + 2z = 5 15.  3x + 4y − z = −2  2x − 2y = 1 2.  3x + 5y = 11 x + y − 5z = −1   4x − y + 3z = 1 16. 4x − y + 1 = 0  3. 5x − 5y + 21z = 5 x + 3y − 1 = 0   x − 4y + 1 = 0  x − 5y + z = 0 4. 10x + y + 3z = 0 17. 3x + 2y − 1 = 0  4x + 2y − 5z = 0  x − 2y = 6 5.  −0,5x + y = 1  −5x + y + z = 0  4x − y = 0 18. 6x − 4y = 9  6. 2x − y + 2z = 0 −3x + 2y = −4,5   x−y = 2   x − 3y = 22 7. y + z = −3 x+y = 1 19.   1 x + 2z = 3  2x + y = 4 3 8. 2x + y = 0   2x − z = 12  −x − 2y + 4 = 0 x+y = 7 20. 9.  5x + 10y − 20 = 0 5x + 4z = −9   7x − 3y − 14 = 0  −x + 3y + 2z = 2 10.   x+y−1 = 0  1 3 x − y − z = −1  21. 2 2  x + y − z = 0   2 2 1   − x+y+ z = x−y+z = 2 11. 3 3 3  2x + y − 4z = −8   x + 6y + z = 9  x + y + z = 8  3x + y − 2z = 7 22.  x − 2y + z = 4 12. −6x + 3y + 7z = −2  x + y − z = −4   x+y−z = 0   2x + 6y + z = −2 2x + 2y − 2z = 1 23. 3x + 4y − z = 2 13.   5x + 5y − 5z = 2 5x − 2y − 2z = 0   x+y+z = 4 x + 7y − 4z = 1   2x − y + 2z = 11 24. 2x + 3y + z = −3 14.   4x + 3y − 6z = −18 −x − 18y + 13z = 2

3.4

Aplicaciones de sistemas de dos ecuaciones con dos variables

Los sistemas de ecuaciones lineales son una herramienta importante para la resolución de problemas que involucran a más de dos variables, cuya aplicación es frecuente en la economía, administración, física, etcétera.

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Ejemplo 3.27 En un parque acuático nicaragüense 6 entradas de adulto y 8 de niño cuestan 880 córdobas y 4 entradas de adulto y 5 de niño, 570 córdobas, ¿cuál es el precio de entrada por un adulto y por un niño? ■

Solución: Se plantea con dos variables los precios de las entradas: x : precio de una entrada de un adulto y : precio de una entrada de un niño Con los datos del problema se plantean las ecuaciones simultáneas: Se multiplica el número de numero entradas por el precio de cada unas y la suma será la cantidad a pagar.  6x + 8y = 880 4x + 5y = 570 Esta ecuación se resuelve por cualquiera de los métodos anteriores, en este caso por el de reducción; multiplicamos por dos la primera ecuación y por menos 3 la segunda ecuación para eliminar la variable y:  2(6x + 8y) = 880(2) −3(4x + 5y) = 570(−3) Sumando las ecuaciones resulta:



12x + 16y = 1770 −12x − 15y = −1710 y = 50

Para encontrar el valor de la otra variable se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema. En este caso la sustituimos en la ecuación 1 6x + 8y 6x + 8(50) 6x + 400 6x 6x

880 880 880 880 − 400 480 480 x = 6 x = 80 = ≡ = = =

Conclusión: El precio de la entrada de un adulto es 80 córdobas y el precio de entrada de un niño es de 50 córdobas. ■ Ejemplo 3.28 Una colección de monedas antiguas de 5 centavos y 10 centavos, suman la cantidad de 85 centavos. Si hay 12 monedas en total, ¿cuántas monedas de 10 centavos hay?

■

Solución: Se plantea con dos variables, las monedas de las dos denominaciones: x :

monedas de 5 centavos

y : monedas de 10 centavos Con los datos del problema se plantean las ecuaciones simultáneas: Para la primera ecuación el número de monedas 5 centavo más el número de monedas de 10 centavos es igual total de monedas. Para la segunda ecuación,se multiplica el número de monedas por cada denominación y la suma es igual a la cantidad de dinero.

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3.4 Aplicaciones de sistemas de dos ecuaciones con dos variables  x + y = 12 5x + 10y = 85

87

Esta ecuación se resuelve por cualquiera de los métodos anteriores, en este caso vamos a utilizar el método de sustitución. Despejamos x en la primera ecuación. x + y = 12 → x = 12 − y Sustituimos el resultado del despeje en la segunda ecuación. 5x + 10y 5(12 − y) + 10y 60 − 5y + 10y 5y 5y

85 85 85 85 − 60 25 25 y = 5 y = 5 = ≡ = = =

Para encontrar el valor de la otra variable se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema. En este caso la sustituimos en la ecuación 1, donde tenemos el despeje. x+y x+5 x x

= = = =

12 12 12 − 5 7

Conclusión: Tenemos 7 monedas de 5 centavos y 5 monedas de 10 centavos.

■

Ejemplo 3.29 Carlos y Gabriel fueron al supermercado a comprar lo necesario para una reunión con amigos del colegio, llevaban un total de 5000 córdobas para gastar. Carlos gastó dos terceras partes de su dinero, mientras que Gabriel tres quintas partes, regresaron a casa con un total de 1800 córdobas, ¿cuánto llevaba cada uno al ir al supermercado?

■

Solución: Se plantea con dos variables, con la cantidad de dinero que llevaban Carlos y Gabriel. x : Cantidad de dinero que llevaba Carlos y : Cantidad de dinero que llevaba Gabriel Con los datos del problema se plantean las ecuaciones simultáneas: Para la primera ecuación, entre Carlos Gabriel llevaban 5000 córdobas. Para la segunda ecuación,se estudia la razon que gastó cada uno y la suma de las razones es igual a 5000-1800   x + y = 500 x + y = 500 −→ 2 3 3 2 x + y = 5000 − 1800 x + y = 3200 3 5 3 5 Esta ecuación se resuelve por cualquiera de los métodos anteriores, en este caso vamos a utilizar el método de sustitución. Despejamos x de la primera ecuación. x + y = 5000 → x = 5000 − y

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Capítulo 3. Álgebra

88 Sustituimos el resultado del despeje en la otra ecuación. 2(5000 − y) 3y + = 3200 3 5 10000 − 2y 3y + = 3200 3 5 5(10000 − 2y) + 3(3y) = 3200 15 Reduciendo términos semejantes tenemos que: 50000 − 10y + 9y −y −y (−1)(−y) y

= ≡ = = =

48000 48000 − 50000 −2000 (−2000)(−1) 2000

Para encontrar el valor de la otra variable se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema. En este caso la sustituimos en la ecuación 1 x = 5000 − y x ≡ 5000 − 2000 x = 3000 Conclusión: Carlos llevaba 3000 córdobas mientras que Gabriel llevaba 2000 córdobas.

■

Ejemplo 3.30 El perímetro de un triángulo isósceles es de 48 cm, cada lado igual excede en 9 cm al largo de la base. Determine las dimensiones del triángulo.

■

Solución: Se plantea con dos variables, las dimensiones de los lados y la base triángulo isósceles. x :

La dimensión de cada lado del triángulo

y : La dimensión de la base del triángulo Con los datos del problema se plantean las ecuaciones simultáneas: Para la primera ecuación, se suman los lados mas la base y el resultado es igual al perímetro. Para la segunda ecuación,cada lado igual excede en 9 cm al largo de la base.  x + x + y = 48 x−9 = y

Esta ecuación se resuelve por cualquiera de los métodos anteriores, en este caso vamos a utilizar el método de igualación.Primero reducimos términos semejantes. 

x + x + y = 48 x−9 = y



2x + y = 48 x−9 = y

Despejando y en cada ecuación tenemos que: y = 48 − 2x

y = x−9

Igualamos resultados para encontrar el valor de x.

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3.4 Aplicaciones de sistemas de dos ecuaciones con dos variables 48 − 2x −2x − x −3x 3x

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x−9 −9 − 48 −57 57 57 x = 3 x = 19 = = = =

Para encontrar el valor de la otra variable se sustituye el valor encontrado en una de las ecuaciones despejada. y = 48 − 2(19) y = 48 − 38 y = 10 Conclusión: Cada lado del triangulo mide 19 cm y la base mide 10 cm.

■

Ejemplo 3.31 Un orfebre tiene dos aleaciones, una que contiene 35 por ciento de plata y la otra contiene 60 por ciento de plata. ¿Cuánto de cada una debe fundir y combinar para obtener 100 gramos de una aleación que contenga 50 por ciento de plata?

■

Solución: Se plantea con dos variables, aleación al 35 por ciento de plata y aleación al 60 por ciento de plata. x :

Aleación al 35 por ciento de plata

y :

Aleación al 60 por ciento de plata

Con los datos del problema se plantean las ecuaciones simultáneas. Para la primera ecuación, la suma de las dos aleaciones es 100 gramos. Para la segunda ecuación,la cantidad de cada aleación por su porcentaje que debe fundir y combinar para obtener 100 gramos de una aleación que contenga 50 por ciento de plata.   x + y = 100      35 x + 60 y = 50 (x + y) 100 100 100

Ordenando un poco la segunda ecuación, multiplicamos por 100 para eliminar los denominadores.   x + y= 100 x + y = 100  → 60 50 35 100 x+ y = (x + y)(100) 35x + 60y = 50(x + y) 100 100 100 Esta ecuación se resuelve por cualquiera de los métodos anteriores, en este caso vamos a utilizar el método de sustitución. Despejamos x en la primera ecuación y la sustituimos en la segunda. x 35(100 − y) + 60y 3500 − 35y + 60y 25y 25y

100 − y 50(100 − y + y) 5000 5000 − 3500 1500 1500 y = 25 y = 60

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= = = = =

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Capítulo 3. Álgebra

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Para encontrar el valor de la otra variable se sustituye el valor encontrado en la ecuación donde se realizó el despeje. x = 100 − y x = 100 − 60 x = 40 Conclusión: Para obtener una aleación al 50 por ciento de plata se tiene que fundir y combinar 40 gramos de plata al 35 por ciento y 60 gramos de plata al 60 por ciento ■ Ejemplo 3.32 — Planeación de producción . . Una pequeña empresa de muebles manufactura sofás y divanes. Cada sofá requiere 8 horas de mano de obra y 180 dólares en materiales, mientras que un diván se puede construir por 105 dólares en 6 horas. La compañía tiene 340 horas de mano de obra disponibles por semana y puede permitirse comprar 6750 dólares de materiales. ¿Cuántos divanes y sofás se pueden producir si todas las horas de mano de obra y todos los materiales deben emplearse?

■

Solución: Se plantea con dos variables, cantidad de sofá y cantidad de diván x :

Número de sofás a construir

y :

Número de divanes a construir

Con los datos del problema se plantean las ecuaciones simultáneas: Para la primera ecuación, número de horas por la cantidad de sofás mas numero de horas por el numero de divanes es igual a números de horas disponibles para la fabricación de ambos muebles . Para la segunda ecuación,precio de cada sofá por la cantidad de sofás mas precio de cada diván por el cantidad de divanes es igual a la cantidad de dinero disponibles para la fabricación de ambos muebles.  8x + 6y = 340 180x + 105y = 6750 Esta ecuación se resuelve por cualquiera de los métodos anteriores, en este caso vamos a utilizar el método de reducción. Antes utilizar el método hacemos algunas simplificaciones para. La primera ecuación le sacamos mitad a toda la ecuación. A la segunda ecuación la dividimos entre 15 a toda la ecuación.    1 1   (8x + 6y) = 340    2 2 4x + 3y = 170 →    12x + 7y = 450  1 1   (180x + 105y) = 6750 15 15 Multiplicamos por menos 3 la primera ecuación para eliminar x.  −3 (4x + 3y) = 170(−3) 12x + 7y = 450  −12x − 9y = −510 12x + 7y = 450 −2y = −60 60 y= = 30 2

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3.4 Aplicaciones de sistemas de dos ecuaciones con dos variables

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Para encontrar el valor de la otra variable se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones. tomaremos la ecuación 1 simplificada. 4x + 3y 4x + 3(30) 4x − 90 4x 4x

170 170 170 170 − 90 80 80 x = 4 x = 20 = = = = =

Conclusión: Con el numero de horas disponibles y cantidad de dinero se puede construir 20 sofás y 30 divanes. ■ 3.4.1 Ejercicios propuestos de Sistemas de ecuaciones Lineales Resuelva aplicando sistemas de ecuaciones lineales 1. El hermano de Antonio es 3 veces más grande que él, hace 3 años su hermano era 6 veces más grande que Antonio, ¿cuáles son sus edades actualmente? 2. Una agenda electrónica y un traductor cuestan 1300 dólares. Si la agenda electrónica tiene un costo de 200 dólares más que el traductor, ¿cuánto cuesta cada artículo? 3. La suma de 2 números es 52, su diferencia, dividida entre el menor da 5 como cociente y 3 como residuo, ¿cuáles son los números? 4. Si al dinero que tiene Alejandra se le añaden 30 córdobas, tendrá el triple de lo que tiene Beatriz, y si a Beatriz se le agregan 10 córdobas, tendrá la mitad de lo que tiene Alejandra, ¿cuánto dinero tiene Alejandra y Beatriz? 5. Un señor de León Nicaragua se dedica a la venta de libros de ciencias, un lunes vendió tres libros de geometría analítica y 5 de álgebra lineal en 8700 córdobas. Al día siguiente, vendió 2 libros de geometría analítica y 3 de álgebra lineal en 5400 córdobas, ¿cuál es el precio de cada libro? 6. Un nicaragüense especialista en mezclas de café desea exportar el grano en bolsas

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que contengan un kilogramo. Debe combinar granos de los departamentos de Ginotega y Matagalpa. El costo por kilogramo de estos tipos de café es 300 cordobas y 240 córdobas, respectivamente. Si la bolsa cuesta 255 córdobas, ¿qué cantidad de cada café lleva dicha mezcla? 7. Un emprendedor nicaragüense posee cierta cantidad de animales, entre gallinas y borregos, de tal forma que al sumar el número de cabezas el resultado es 44 y la suma de las patas es 126. ¿Cuántas gallinas y cuántos borregos tiene? 8. El mismo emprendedor nicaragüense del ejercicio 7 al comprar los borregos y las gallinas pagó un total de 64500 córdobas. Después y al mismo precio, adquirió 10 borregos y 14 gallinas, por los cuales pagó 34200, ¿cuál es el costo de cada borrego y cada gallina? 9. Una lancha viajó corriente arriba 36 km en 4 horas. Si la corriente hubiese sido del cuádruplo, el viaje lo hubiera hecho en 6 horas, ¿cuál es la rapidez de la lancha y de la corriente? 10. El precio de admisión a un juego entre equipos de secundaria fue 30 córdobas para estudiantes y 45 córdobas para no estudiantes. Si se vendieron 450 boletos para un total de 15555 córdobas, ¿cuántos de cada tipo se compraron?

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Capítulo 3. Álgebra

92 11. La asistencia a un juego de béisbol profesional fue de 45,00 personas y el dinero recaudado en la entrada fue de 495,000 córdobas . Si cada persona compró un boleto de 10 córdobas o un boleto de 15 córdobas ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

3.5

12. Una comerciante del mercado la terminal de la ciudad de León, ha invertido 10,000 córdobas en dos fondos que le reditúan tasas de interés simple del 8 por ciento y 7 por ciento respectivamente. Si cada año recibe un interés de 772 córdobas ¿Cuánto tiene invertido en cada fondo?

Sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática Definición 3.5.1 Un sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática, es un par de

ecuaciones de la forma:  ax + by + c = 0 dx2 + exy + f y2 + gx + hy + k = 0 Donde a y b no son ceros a la vez. d, e, f, no son ceros a la vez. Las letras x, y representan cantidades desconocidas. Reglas 3.5.1 — Procedimiento para resolver este sistema.

❶ Se despeja la variable x ó la variable y en la ecuación lineal (según sea lo más conveniente). ❷ Se sustituye la variable obtenida en la ecuación 1, en la ecuación 2 (Resultando una ecuación cuadrática) ❸ Resolvemos la ecuación obtenida en (2). Esto nos dará en general, dos soluciones para una de las variables. Luego sustituimos estos dos soluciones en la ecuación lineal (1) y obtenemos dos partes de soluciones ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) que son las soluciones del sistema. ■

Ejemplo 3.33 — Sistema de de Ecuación Lineal y Cuadrática.



2x + y = 5 x2 + y2 = 1 + 2x

Solución: En este caso despejamos y para mayor facilidad 2x + y = 5 y = 5 − 2x Ahora sustituimos el resultado del despeje en la segunda ecuación x2 + y2 = 1 + 2x x + (5 − 2x)2 = 1 + 2x 2

2

x2 + 25 − 20x + 4x2 = 1 + 2x

x + 25 − 20x + 4x2 − 1 − 2x = 0 Reduciendo términos semejantes 5x2 − 22x + 24 = 0

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3.5 Sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática

93

Aplicamos fórmula general cuadrática para resolver la ecuación resultante. a = 5, b = −12, c = 24  −b ± (−b)2 − 4ac x= 2a Sustituimos los valores en la fórmula general cuadrática.  −(−22) ± (22)2 − 4(5)(24) x = 2(5) √ 22 ± 484 − 480 x = √ 10 22 ± 4 x = 10 22 ± 2 x = 10 22 + 2 24 12 = = x1 = 10 10 5 22 − 2 20 = =2 x2 = 10 10 Ahora sustituimos cada solución de x en la ecuación que despejamos y para sus respectivas soluciones.   12 y1 = 5 − 2 5 24 y1 = 5 − 5 25 − 24 1 = y1 = 5 5 y2 = 5 − 2(2)

El conjunto solución es S = ■



y2 = 5 − 4 = 1   12 1 , , (2, 1) . 5 5

■

Ejemplo 3.34 — Sistema de de Ecuación Lineal y Cuadrática.



4x2 + 3xy − 2y2 − x − y + 1 = 0 x − 2y = −3

Solución: En este caso despejamos x en la segunda ecuación para mayor facilidad x − 2y = −3

x = 2y − 3

Ahora sustituimos el resultado del despeje en la primera ecuación. 2

4x2 + 3xy − 2y2 − x − y + 1 = 0

4(2y − 3) + 3(2y − 3)y − 2y2 − (2y − 3) − y + 1 = 0

4(4y2 − 12y + 9) + (6y − 9)y − 2y2 − (2y − 3) − y + 1 = 0 16y2 − 48y + 36 + 6y2 − 9y − 2y2 − 2y + 3 − y + 1 = 0

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Capítulo 3. Álgebra

94 Reduciendo términos semejantes y simplificando. 20y2 − 60y + 40 = 0

2y2 − 6y + 4 = 0 y2 − 3y + 2 = 0

La ecuación cuadrática se volvió sencilla. Aplicamos descomposición de factores para encontrar soluciones de x. y2 − 3y + 2 = 0

(y − 2)(y − 1) = 0

y−2 = 0 ∧ y−1 = 0 y1 = 1 ∧ y2 = 2

Ahora sustituimos cada solución de y en la ecuación que despejamos x para sus respectivas soluciones. x = 2y − 3

x1 = 2(1) − 3

x1 = 2 − 3 = −1

x2 = 2(2) − 3

x2 = 4 − 3 = 1

El conjunto solución es S = {(−1, 1), (1, 2)}. 3.5.1 Ejercicios Propuestos Sistemas Lineales y Cuadráticas   y−x = 3 x+y = 4 4. 1. x2 + y2 = 9 (x − 2)2 − (y − 3)2 = 4   x2 + y2 = 25 x+y = 1 2. 5. 3 x − y = 0 x2 − 2y = 0 4   y = 2x + 1 x2 + y2 = 61 6. 3. y = x2 xy = 30

■

7.



8.



9.



xy = 3 x+y = 4 xy = 5 x2 + y2 = 10

x3 + 3y = 26 y = x(x + 1)

3.5.2 Aplicaciones de un sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática 2 ■ Ejemplo 3.35 El perímetro de un corral rectangular mide 260pies y su área es de 4000pies . ¿Qué dimensiones tiene? Solución: Se plantea las ecuaciones con las variables dimensiones del rectángulo, base y altura. x :

Base del rectángulo

y :

Altura del rectángulo

Sabemos que perímetro de un rectángulo es dos veces su base más dos veces su altura. El área es base por altura. Se forman las ecuaciones con la información brindada del problema. P = 260 y

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3.5 Sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática

95

A = 4000  P = 2x + 2y A = xy

→



2x + 2y = P xy = A

→



2x + 2y = 260 xy = 4000

Despejamos una de la variable de la primera ecuación. 2x + 2y = 260 x + y = 130 x = 130 − y Sustituimos en la segunda ecuación xy = 4000 (130 − y)y = 4000

130y − y2 = 4000

y2 − 130y + 4000 = 0 La ecuación cuadrática se volvió sencilla. Aplicamos descomposición de factores para encontrar soluciones de y. (y − 80)(y − 50) = 0

y − 80 = 0 ∧ y − 50 = 0 y1 = 50 ∧ y2 = 80

En este caso que los dos son positivo se elije el más pequeño por que lo ancho es menos que lo largo. se toma el valor y = 50. x = 130 − y

x = 130 − 50 = 80

Conclusión: Las dimensiones del rectángulo es 80 pies de largo por 50 de ancho.

■

Ejemplo 3.36 La suma de los radios de dos círculos es 8cm. Obtenga los radios si la suma de las áreas de los círculos es 32πcm2 .

■

Solución: Se plantea las ecuaciones con las variables dimensiones del de los círculos, en este caso el r de cada uno de los círculos. r1 : El radio del primer círculo r2 : El radio del segundo círculo Sabemos que la suma de los dos radios es 8 cm. El área es pi por el radio cuadrado. Se forman las ecuaciones con la información brindada del problema. Se tiene A = 32πcm2   8 = r1 + r2 r1 + r2 = 8 −→ 2 r1 + r22 = 32 32π = πr12 + πr22 Despejamos una de la variable de la primera ecuación. r1 + r2 = 8 r1 = 8 − r2

96

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Capítulo 3. Álgebra

96 Sustituimos en la segunda ecuación (8 − r2 )2 + r22 = 32

64 − 16r2 + r22 + r22 = 32 2r22 − 16r2 + 32 = 0 r22 − 8r2 + 16 = 0

Aplicamos descomposición de factores, para encontrar el valor del radio del segundo círculo r2 . (r2 − 4)(r2 − 4) = 0 Ambas respuestas son iguales, es decir que r2 = 4. Luego las sustituimos para encontrar el radio del primer círculo. r 1 = 8 − r2 r1 = 8 − 4 r1 = 4

Conclusión: Ambos círculos tienen los mismos radios de 4 cm

■

Ejemplo 3.37 Pedro vive a 30km de su oficina. Si maneja a 5km/h mas de lo usual llega, 5 minutos más temprano.¿A qué velocidad maneja normalmente?

■

Solución: Se plantea las ecuaciones con las variables velocidad y tiempo. Recordemos que en física conocemos que la distancia es igual a velocidad por el tiempo x :

Es la velocidad que normalmente se traslada Pedro de su casa a la oficina

y :

Es el tiempo que tarda Pedro en llegar a la oficina cuando va con la velocidad usual.

Velocidad normal y tiempo en llegar xy = 30 Cuando va a 5km/h más rápido llega 5 minutos antes. Es decir 5 física se trabaja con la misma unidad de medida.   1 = 30 (x + 5) y − 12



1 60



=

1 , recordemos que en 12

Formando el sistemas de ecuaciones tenemos que:  xy = 30  1 (x + 5) y − = 30 12  xy = 30 xy − x + 5y − 5 = 30 12 12

Despejamos una de la variable de la primera ecuación. xy = 30 30 y = x

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97

3.5 Sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática

97

Sustituimos en la segunda ecuación x 5 + 5y − 12 12 30 x 30 5 x − +5 − x 12 x 12 x 30 5 30 − + 5 − 12 x 12 xy −

= 30 = 30 = 30

Eliminando los 30 tenemos que −

30 5 x +5× − =0 12 x 12

Sacamos mínimo común denominador. En este caso es 12x. Luego multiplicamos ese mínimo por toda la ecuación.   30  5  x 12x − + 5 = 0 × 12x − 12 x 12 −x2 + 1800 − 5x = 0 x2 + 5x − 1800 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática. Utilizando descomposición de factores tenemos que: x2 + 5x − 1800 = 0

(x + 45)(x − 40) = 0

x + 45 = 0 ∧ x − 40 = 0

x = −45 ∧ x = 40

Tomamos el valor de x positivo y lo sustituimos para encontrar la otra variable. y = y =

30 x 30 3 = 40 4

Conclusión: La velocidad que usualmente lleva cuando se traslada de su casa a su oficina es de 3 40km/h y con esa velocidad se tarda en llegar horas, es decir 45 minutos. Cuando va 5km/h más 4 rápido llega 5 minutos más temprano. Si su velocidad es 45km/h el tiempo que tarda es 40 minutos. ■

3.5.3 Ejercicios propuestos de aplicaciones de sistemas formados por una ecuación lineal y una cuadrática 1. Don Carlos es ciudadano leones y se dedica al cultivo. En el patio de sus casa construyó un huerto familiar de 30 metros de perímetro y 50 metros cuadrado de áreas. ¿Cuáles son las dimensiones del huerto de don Carlos?

98

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2. Determínese las dimensiones de un rectángulo si su diagonal mide 17 centímetros y su perímetro es 46 centímetro. 3. Una excursión a Granada costo 288 dólares . Si hubieran ido 4 estudiantes más el costo por estudiantes había sido 1 dólares

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Capítulo 3. Álgebra

98 menos. ¿Cuántos estudiantes fueron a la excursión?

3.6

es 2 y el residuo es 4. ¿Hallar los números?

4. Un hombre pintó una casa por 800 dólares. El trabajo le llevó 20 horas menos de los que suponía y entonces ganó 2 dólares más por hora de lo previsto. ¿En cuánto tiempo se suponía que pintaría la casa?

6. Un avión vuela entre dos ciudades separadas 300km cuando el avión vuela a favor del viento cuya rapidez es de 30km/h Alcanza su destino 1/2 hora antes que cuando el viento está en calma. ¿Cuál es la velocidad del avión?

5. El producto de dos números es 126, y si el mayor si divide por el menor, el cociente

7. La diferencia entre dos números es 5 y su producto es 24. Encontrar los números.

Desigualdades Las desigualdades o inecuaciones son de gran importancia en matemáticas por sus aplicaciones a problemas de optimización. Definición 3.6.1 Una desigualdad o inecuación lineal es una forma proposicional del tipo

ax + b > 0 donde el símbolo > puede ser sustituido por < , ≤ , o por ≥ . En otras palabras, una inecuación es una desigualdad que contiene incógnitas. La solución de una inecuación se expresa en una de dos formas: notación de intervalo o notación gráfica; pero basta con escribir el intervalo que represente la solución. Para escribir los intervalos solución se revisa si la inecuación es estricta o débil, para inecuaciones estrictas siempre los intervalos son abiertos, sin embargo, si la inecuación es débil los intervalos son semiabiertos (semicerrados). Para las inecuaciones dobles los intervalos solución son abiertos, cerrados o semiabiertos, la siguiente tabla resume la notación de inecuación, tipo de inecuación, notación de intervalo y tipo de intervalo. Inecuación

Tipo

a c, entonces a > c ❷ Si a > b, entonces a ± c > b ± c

❸ Si a > b y c > 0, entonces ac > bc ❹ Si a > b , y c < 0, entonces ac < bc De la misma forma, a, b y c pertenecen al conjunto de los números reales, la relación “a es menor que b” la denotaremos por a < b y satisface las siguientes propiedades: ❶ Si a < b y b < c, entonces a < c ❷ Si a < b, entonces a ± c < b ± c

❸ Si a < b y c > 0, entonces ac < bc ❹ Si a < b , y c < 0, entonces ac > bc El procedimiento para resolver desigualdades lineales, es muy similar al que se sigue para resolver ecuaciones lineales, aunque debe tenerse presente que la multiplicación de los dos miembros de una desigualdad por un número negativo invierte el “sentido de la desigualdad”. 3.6.3

Desigualdades Lineales ■

Ejemplo 3.38 — Desigualdades Lineales. Resolver la desigualdad 3x + 4 < 0

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101

3.6 Desigualdades

101

Solución: Resolviendo la inecuación como una ecuación lineal tenemos: 3x < −4

x < −4/3

Por lo tanto el conjunto solución es {x | x < −4/3} lo que equivale a (−∞, −4/3). La representación gráfica del conjunto solución es, −∞

−4/3

R

■

4x 2x − 3 ■ Ejemplo 3.39 — Desigualdades Lineales. Resolver la desigualdad +6 ≤ 2+ expre4 3 sando su solución en forma de intervalo y gráficamente. Solución: Multiplicando por 12 la inecuación para eliminar denominadores, obtenemos:     4x 2x − 3 + 6 ≤ 12 2 + De donde resulta 12 4 3 3(2x − 3) + 72 ≤ 24 + 16x Que es equivalente a −10x ≤ −39

(−1)(−10x) ≤ (−39)(−1) 10x ≥ 39

x ≥ 39/10

El conjunto solución es S = {x | x ≥ 39/10}, representando en forma de intervalo [39/10, +∞). Y la forma gráfica, es: R

+∞

39/10

■

3.6.4 Desigualdades Simultaneas ■

Ejemplo 3.40 — Desigualdades Simultaneas. Resolver la desigualdad −6 < 2x − 4 < 2

Solución: Un número real x es una solución de la desigualdad dada si y sólo si, es una solución de las dos desigualdades −6 < 2x − 4

∧

−2 < 2x

∧

−6 + 4 < (2x − 4) + 4 −2/2 < 2x/2 −1 < x

∧ ∧

∧

2x − 4 < 2 Sumamos 4

(2x − 4) + 4 < 2 + 4 Simplificamos 2x < 6 Dividimos por 2

2x/2 < 6/2 Simplificamos x b es equivalente a a < −b ó a > b ■

Ejemplo 3.45 Resolver la desigualdad |x − 3| < 1/2

Solución: |x − 3| < 1/2 Aplicamos la propiedad 1

−1/2 < x − 3 < 1/2 Sumar 3

−1/2 + 3 < (x − 3) + 3 < 1/2 + 3 Simplificar 5/2 < x < 7/2

De este modo, las soluciones son los números reales del intervalo abierto muestra en la gráfica.

5/2



5 7 , 2 2



a como se

R

7/2

■ ■

Ejemplo 3.46 Resolver la desigualdad |2x + 3| > 9

Solución: Aplicando la propiedad 2 2x + 3 < −9 ó 2x + 3 > 9 Restando 3

2x < −12 ó 2x > 6 Diviendiendo por 2 x < −6 ó x > 3

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105

3.6 Desigualdades

105

En consecuencia, las soluciones de la desigualdad están formadas por los números en (−∞, −6) ∪ (3, +∞) a como se muestra en la gráfica. R −∞

−6

3

R +∞

■

3.6.7 Desigualdades para Polinomios Un polinomio en x, P(x), de grado n es un polinomio de la forma, P(x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + · · · + a1 x + a0 (1) Donde los ai son números reales, n es el grado del polinomio. ■

Ejemplo 3.47 Las siguientes expresiones son polinomios

1. x2 + 5x + 6 es un polinomio de segundo grado. 2. x5 + 6x3 − x2 + 5x − 5 es polinomio de quinto grado. Los puntos en los que P(x) = 0 se denominan ceros o raíces del polinomio.

■

3.6.8 Signo de un polinomio Todo polinomio del tipo (1.) lo podemos descomponer en factores irreducibles lineales y cuadráticos tipo (ax2 + bx + c) y (x + d); a partir de estos factores podemos determinar las raíces del polinomio, si el exponente del factor (x + d) es uno, la raíz se llama simple; si es mayor que 1, las raíces se llaman raíces múltiples. La multiplicidad de una raíz puede ser par o impar, según el exponente. Las raíces de un polinomio nos permiten determinar su signo para los valores de x en cada uno de los intervalos en que éstas dividen a la recta numérica. Consideremos un polinomio P(x) con raíces simples x0 , x1 , x2 , xk−1 , . . . , xk , ordenadas de menor a mayor. Al ubicarlas en la recta numérica, esta queda dividida en k + 1 intervalos, dentro de los cuales P(x) es continua. Si tomamos un valor m a la derecha de la mayor de las raíces xk , la diferencia m − xi , será positiva para todos los valores de i = 1, 2, . . . , k puesto que m es mayor que todas las raíces, así el producto de los factores de P(x) serán positivos. Esto lo indicamos colocando un signo + al intervalo que está a la derecha de xk . Tomemos ahora un valor n en el intervalo que esté a la izquierda de xk , es decir un valor entre xk y xk−1 , la diferencia n − xk será positiva pero la diferencia n − xk−1 , será negativa para todos los valores de i = 1, 2, . . . , k − 1 así el producto de los factores de P(x) es negativo. Esto lo indicamos colocando un signo − al intervalo (xk−1 , xk ). Siguiendo con este procedimiento, podemos obtener el signo de P(x) en cada unos de los intervalos, los cuales se alternan, comenzando siempre con + por la derecha. Nota: Si el polinomio contiene expresiones del tipo (x − a)n en este caso tendrá signos diferentes a la derecha e izquierda de a para n impar (punto simple) y no cambia de signos al pasar por a para n par (punto doble).

106

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Capítulo 3. Álgebra

106 3.6.9 Método de la Raíz 1. Realizamos las operaciones indicadas y simplificamos.

2. Transponemos todos los término al primer miembro de la desigualdad, con lo que nos quedarán desigualdades del tipo P(x) > 0 ó con Q(x) > 0. 3. Hallamos las raíces, los números que hagan cero a cada factor. Los puntos para los que A(x) = 0 se denominan puntos de discontinuidad. 4. Ubicamos en la recta real estos números (ordenados de forma ascendentes), dividiéndola así en intervalos, dentro de los cuales P(x) ó P(x) = Q(x) son continuas y conservan su signo. 5. Colocamos el signo para cada intervalo, comenzando por la derecha con el signo + y alternando los signos. 6. Se eligen los intervalos de acuerdo con el signo de la desigualdad. Si el producto de los factores es positivo, P(x) > 0 , tome entonces todos los intervalos donde haya signo +, la unión de esos intervalos será la solución de la desigualdad. Si el producto de los factores es negativo,P(x) < 0, tome entonces todos los intervalos donde haya signo −, la unión de esos intervalos será la solución de la desigualdad. Puede, como auxiliar, comenzando sobre la recta numérica, de derecha a izquierda, trazar una curva ondulada que pase por todos los puntos marcados (curva de signos) teniendo en cuenta que al pasar por un punto simple, la curva cortará la recta, mientras que al hacerlo por un punto doble, la curva se queda por el mismo lado de la recta numérica. +

−

x0 x1

−

+

x2

+

x3

x4

Punto simple

Punto doble

■

−

Ejemplo 3.48 — Método de las raíz. 3x2 + 10x − 8 ≥ 0 es una desigualdad cuadrática.

Solución: Factorizando el trinomio, tenemos (x + 4)(3x − 2) ≥ 0 Por lo tanto, las raíces del polinomio son: x1 = −4 y x2 = 2/3 Ubicando las raíces en la recta numérica y colocando los signos para cada intervalo como se indicó en el paso (5), tenemos: + −4

−

+ 2/3

Como el producto de losfactoresdel polinomio debe ser mayor o igual a cero, la solución de la 2 desigualdad es: (−∞, −4] ∪ , +∞ ■ 3 x ■ Ejemplo 3.49 — Método de las raíz. > 2 es una desigualdad racional x−1

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107

3.6 Desigualdades

107

Solución: Trasponiendo y efectuando la resta indicada tenemos Esta desigualdad es equivalente a

2−x >0 x−1

x −2 > 0 x−1

Multiplicando por (-1) tenemos (el coeficiente de x en uno de los factores es negativo): x−2 < 0. Las raíces y puntos de discontinuidad de la desigualdad son, respectivamente: x1 = 2 y x−1 x2 = 1 Ubicando estos puntos en la recta numérica y colocando los signos a cada intervalo, observe que el producto de los factores es menor que cero y que la expresión dada no está definida para x2 = 1, tenemos: + 1

−

+ 2

Por tanto, la solución de la desigualdad es: (1, 2] x−1 x > ■ Ejemplo 3.50 — Método de las raíz. x+1 x+2

■

Solución: La inecuación dada es equivalente a: x x−1 − >0 x+1 x+2

o lo que es lo mismo

2x + 1 >0 (x + 1)(x + 2)

1 y puntos de discontinuidad en 2   1 x2 = −1 y x3 = −2. Así la solución de la desigualdad es (−2, −1) ∪ − , +∞ ■ 2 De donde vemos que la inecuación tiene cero en x1 = −

3.6.10

Ejercicios propuestos de Desigualdades En los ejercicios siguientes, halle el conjunto de solución de la desigualdad indicada e ilustre dicho conjunto en la recta de los números reales. 1. 5x + 2 > x − 6 2. 3 − x < 5 + 3x

1 2 < x + 1 3x − 1 x+1 x < 2−x 3−x

1 2 x− ≤ 0 3 2

12.

4. 3 − 2x ≥ 4 + 4x

13.

x−5 ≤0 x+2

14.

x+3 >0 x−2

15.

x(x + 2) >0 x−5

3.

5. 13 ≥ 2x − 3 ≥ 5 6. −2 < 6 − 4x ≤ 8 7. 2 > −3 − 3x ≥ −7 8. 2 ≤ 5 − 3x < 11 9. 10.

108

11.

2 4 −3 > −7 x x 5 3 < x 4

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16.

x−1 ≥0 (x − 3)(x + 3)

17.

5 2 > x−5 x−2

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III

UNIDAD III

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

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Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 110 Función lineal Función Cuadrática Funciones Racionales Funciones Seccionadas Función Exponencial Función Logarítmo Natural

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109

4. Funciones

4.1

Función lineal Definición 4.1.1 — El plano cartesiano. se forma con dos rectas perpendiculares, cuyo punto

de intersección se denomina origen. La recta horizontal recibe el nombre de eje X o eje de las abscisas y la recta vertical recibe el nombre de eje Y o eje de las ordenadas. El plano cartesiano se divide en cuatro regiones llamadas “cuadrantes”. A cada punto P se le asigna un par ordenado o coordenada P(x, y). Eje x

+

I

II

+

− III

Eje y

IV

− Definición 4.1.2 — Localización de puntos. Para localizar un punto P(x, y) en el plano

cartesiano se toma como referencia el origen, se avanza tanto como lo indica el primer número (abscisa) hacia la derecha o izquierda, según sea su signo, de ese punto se avanza hacia arriba o hacia abajo, tanto como lo indica el segundo número (ordenada) según sea su signo.

110

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4.1 Función lineal

111

Ejercicio 4.1 Localiza en el plano cartesiano y une los puntos:

1. A(3, −1) y B(4, 3)

3. A(0, 5), B(2, 1) y C(−3, −4)

2. A(0, 2) y B(3, 0)

4. A(1, 3), B(−2, 1),C(2, −3) y D(4, 2) ■

Definición 4.1.3 — Función. Es la relación que existe entre dos conjuntos, de manera que a los

elementos de x les corresponde a lo más un elemento de y. Se denota por: y = f (x)

(4.1)

Se lee, y es igual a f de x donde:

x:

variable independiente

y:

variable dependiente

f (x) : regla de correspondencia Definición 4.1.4 — Función Identidad. La Función Identidad, cuya gráfica pasa por el origen (0, 0) . El gráfico de la función identidad es una recta que se pasa por el origen y biseca al I y III cuadrantes. A dicha recta también se le conoce como bisectriz. Definición 4.1.5 — Constante. Es la función que asocia un mismo valor a cada valor de la

variable independiente y=k

(4.2)

La representación gráfica es una línea recta paralela al eje X, sobre la ordenada k. 6 y 4 2 x −6

−4

2

−2

4

6

−2 −4 −6

Figura 4.1: Función Constante f (x) = 1 Una ecuación de la forma x = k no es una función. La representación gráfica de esta ecuación es una recta paralela al eje Y que pasa por el valor de la abscisa k

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111

Capítulo 4. Funciones

112

Definición 4.1.6 — Función lineal. Una función f es una función lineal si y sólo si f (x) puede

escribirse en la forma f (x) = mx + b, donde m, b ∈ R y a ̸= 0. Para cualquier función lineal, el dominio y el recorrido es R. Suponga que y = f (x) = mx + b es una función lineal, entonces y = mx + b es la ecuación de una recta con pendiente m y b es la intersección con el eje y. La gráfica de una función lineal es una recta creciente o decreciente,

❶ La recta es creciente si m > 0, es decir, la pendiente de la función es positiva y

❷ decreciente si m < 0, es decir, la pendiente de la función es negativa.

Ejemplo 4.1 Trace la gráfica de las siguientes funciones mediante tabulación y determine su dominio y rango. f (x) = 5x − 3 ■

Solución: En este caso f es una función lineal con pendiente 2, de modo que su gráfica es una recta creciente. Una recta se determina por medio de dos puntos, por tanto, basta graficar dos puntos y después dibujar una recta que pase por ellos.

20 y 15

x

f (x) = 5x − 3

(x, y)

-3

f (−3) = 5 (−3) − 3 = −18

(-3, -18)

f (−1) = 5 (−1) − 3 = −8

(-1, -8)

f (1) = 5 (1) − 3 = 2

(1, 2)

-2 -1 0 1 2 3

f (−2) = 5 (−2) − 3 = −13 f (0) = 5 (0) − 3 = −3 f (2) = 5 (2) − 3 = 7

f (3) = 5 (3) − 3 = 12

10 5

(-2, -13)

(0, -3)

(2, 7) (3, 12)

Dominio: R Rango: R

x −3

−2

−1

1

2

3

−5 −10 −15 −20

Figura 4.2: f (x) = 5x − 3

■ ■ Ejemplo 4.2 — Gráfica de funciones lineales. Trace la gráfica de las siguientes funciones mediante tabulación y determine su dominio y rango. f (x) = 1 − 2x

112

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4.1 Función lineal

113 y 4

Solución: x

f (x) = 1 − 2x

(x, y)

-2

f (−2) = 1 − 2 (−2) = 5

(-2,5)

-1 0 1 2

f (−1) = 1 − 2 (−1) = 3 f (0) = 1 − 2 (0) = 1

f (1) = 1 − 2 (1) = −1 f (2) = 1 − 2 (2) = −3

2 x

(-1,3)

−3

−2

1

−1

(0, 1)

2

3

−2

(1, -1)

−4

(2, -3)

Dominio: R Rango: R

Figura 4.3: f (x) = 1 − 2x

■

■

Ejemplo 4.3 Trace la gráfica de las funciones dadas. Determine los interceptos con los ejes, el

1 dominio y el rango f (x) = x + 4. 2

Solución: Para calcular el intercepto con el eje y se debe tomar x = 0,

f (0) =

1 (0) + 4 = 4. 2

Entonces, dicho intercepto es el punto P1 (0, 4) . Para calcular el intercepto con el eje x, se debe igualar a cero a la función dada y resolver para x, esto es,

1 1 x + 4 = 0 ⇐⇒ x + 4 − 4 = 0 − 4 2 2 1 ⇐⇒ x = −4 2  1 x = 2 (4) ⇐⇒ 2 2 ⇐⇒ x = −8

Restando 4 a ambos miembros Resolviendo Multiplicando por 2 Resolviendo

Por tanto, el intercepto en x es el punto P2 (−8, 0) . El dominio es R y el rango es, también, R.

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113

Capítulo 4. Funciones

114 10 y 5 x −10

5

−5

10

−5 −10 ■ ■ Ejemplo 4.4 Trace la gráfica de las funciones dadas. Determine los interceptos con los ejes, el dominio y el rango f (x) = −3x + 9. Solución: Intercepto con el eje y. Si x = 0, entonces

f (0) = −3 (0) + 9 = 9 Entonces el intercepto es P1 (0, 9) . Intercepto con el eje x. Igualando la función a cero y resolviendo para x se obtiene −3x + 9 = 0 ⇐⇒ −3x + 9 − 9 = 0 − 9 ⇐⇒ −3x = −9 −3x −9 = ⇐⇒ −3 −3 ⇐⇒ x = 3

Restando 9 a ambos miembros Resolviendo Dividiendo entre − 3 Resolviendo

Por tanto, el intercepto x es el punto P2 (3, 0) . El dominio es R y el rango es R. 10 y 5 x −10

5

−5

10

−5 −10 ■ ■

Ejemplo 4.5 — Gráfica de funciones lineales. Graficar las siguientes funciones lineales

g(t) =

114

15 − 2t 3

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4.1 Función lineal

115

Solución: Observe que g es una función lineal, porque, se puede expresar en la forma g(t) =

15 2t 2t 15 − 2t = − = − +5 3 3 3 3

2 La gráfica de g es una línea recta decreciente, ya que, la pendiente es − < 0. 3 10 y 5 x −10

5

−5

10

−5 −10 En la gráfica se puede observar que cuando t aumenta en 3 unidades, g(t) disminuye en 2.

■

Definición 4.1.7 — La pendiente. La pendiente m es el grado de inclinación de la recta, una recta horizontal tiene pendiente cero (m = 0) y una recta vertical tiene pendiente infinita (m = ∞). Suponga que no se conoce la ecuación de la recta, pero si dos puntos que pertenecen a la misma, P1 = (x1 , y1 ) y P2 = (x2 , y2 ), la pendiente se estima mediante la siguiente ecuación.

a=

∆y y2 − y1 = ∆x x2 − x1

(4.3)

La ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 y P2 se calcula mediante la ecuación puntopendiente. (4.4) y − y1 = m(x − x1 ) ■

Ejemplo 4.6 Determinación de una función lineal

① Suponer que f es una función lineal con pendiente 2 y f (4) = 8. Hallar f (x). Solución: Puesto que f es lineal, tiene la forma f (x) = mx + b, la pendiente es 2, entonces, m = 2 y se tiene: f (x) = mx + b = 2x + b (2) Es preciso determinar el valor de b, como f (4) = 8, se sustituye x = 4 en (2) y se resuelve para b. f (4) = 2(4) + b ⇒ 8 = 8 + b ∴ b = 0

De aquí que, f (x) = 2x.

② Si y = f (x) es una función lineal tal que f (−2) = 6 y f (1) = −3, encontrar f (x).

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115

Capítulo 4. Funciones

116

Solución: Los valores de la función corresponden a puntos sobre la gráfica de f , con estos puntos podemos determinar una ecuación de la recta, y por tanto, de la función lineal. La condición f (−2) = 6 significa que cuando x = −2, entonces y = 6. Por tanto, (−2, 6) pertenece a la gráfica de f , que es una recta. De manera similar, f (1) = −3 implica que (1, −3) también pertenece a la recta. Si hacemos P1 = (x1 , y1 ) = (−2, 6) y P2 = (x2 , y2 ) = (1, −3), la pendiente de la recta está dada por a=

−3 − 6 −9 9 y2 − y1 = = = − = −3 x2 − x1 1 − (−2) 1 + 2 3

Por la ecuación punto-pendiente, la ecuación de la recta es: y − y1 = m(x − x1 )

y − 6 = −3[x − (−2)]

⇒ ⇒

y − 6 = −3(x + 2) = −3x − 6

Despejando y simplificando términos semejantes, resulta: y = −3x. ■

Ejercicio 4.2 Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos:

1. A(−2, 4) y B(6, 12) 2. M(1, 5) y B(2, −7) 3. R(−4, −2) y B(5, 6) ■

En muchos estudios los datos se reúnen y grafican en un sistema de coordenadas. Un análisis de los resultados puede indicar que hay una relación funcional entre las variables involucradas. Por ejemplo, los datos pueden ser aproximados por puntos en una recta, lo que indicaría una relación funcional lineal, veamos el siguiente ejemplo. 4.1.1

Aplicaciones de la función lineal Ejemplo 4.7 — Dieta para gallinas. En pruebas hechas en una dieta experimental para gallinas, se determinó que el peso promedio w (en gramos) de una gallina fue, según las estadísticas, una función lineal del número de días d después de que se inició la dieta, donde 0 ≤ d ≤ 50. Suponer que el peso promedio de una gallina al inicio la dieta fue de 40 gramos, y 25 días después fue de 675 gramos. ■

a) Determinar w como función lineal de d. Solución: como w es una función lineal de d, su gráfica es una línea recta. Cuando d = 0 (al inicio de la dieta), w = 40. Por tanto, (0, 40) pertenece a la gráfica como se muestra a continuación. De manera similar, (25, 675) pertenece a la gráfica. Si hacemos P1 = (d1 , w1 ) = (0, 40) y P2 = (d2 , w2 ) = (25, 675), la pendiente de la recta es: a=

116

w2 − w1 675 − 40 635 127 = = = d2 − d1 25 − 0 25 5

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4.1 Función lineal

117

Por la ecuación punto-pendiente, la ecuación de la dieta es: w − w1 = a(d − d1 )

⇒

w − 40 =

127 (d − 0) 5

∴

w=

127 d + 40 5

b) Determinar el peso promedio de una gallina cuando d = 10. Solución: Sustituyendo d = 10 en la función de w se tiene: w=

127 (10) + 40 = 254 + 40 = 294 5

Así, el peso promedio de una gallina 10 días después del inicio de la dieta es de 294 gramos. ■ ■ Ejemplo 4.8 — Modelo de costos. Por el alquiler de un coche cobran una cuota fija de 20 000 pesos y adicionalmente 3 000 pesos por kilómetro recorrido. Escribe la ecuación que representa esta función y grafícala, ¿cuánto dinero hay que pagar para hacer un recorrido de 125 km? y si page un valor de 65 000 pesos ¿cuántos kilómetros recorrí?

Solución: Primero definimos cual es la ecuación para esto tenemos en cuenta esto: C (x) = mx + b. Así m será 3 000 que es el valor por unidad (kilómetro recorrido) y b es 20 000 que es la cuota fija, quedando la ecuación y = 3 000x + 20 000, ahora podemos realizar la tabla.     x km recorrido y Valor a pagar 0 20 000 10 50 000 20 80 000 30 110 000 Para saber cuánto nos cuesta un recorrido de 125 km usamos la ecuación lineal y cambiamos la variable x por el valor de 125 km, así: y = 3 000 (125) + 20 000 = 375 000 + 20 000 = 395 000 El valor enpesos a pagar por un recorrido  pesos. En este casonos dan el  de 125 km es de 395 000 valor de y valor a pagar 65 000 pesos y nos piden hallar el de x kilometraje recorrido podemos hacerlo de dos maneras: La primera: Reemplazamos el valor dado para y en la ecuación, 65 000 = 3 000x + 20 000 ⇐⇒ 65 000 − 20 000 = 3 000x + 20 000 − 20 000 ⇐⇒ 45 000 = 3 000x 45 000 3 000x = ⇐⇒ 3 000 3 000 ⇐⇒ x = 15

La segunda: Graficando la función y observando el valor para x cuando y es igual a 65 000. En cualquier caso, se confirma que el kilometraje por el cual pagamos 65 000 es 15 km. ■ ■ Ejemplo 4.9 — Modelo de costos. El GRUN por medio del gobierno regional en la costa caribe norte facilitó una cantidad de máquinas para labores de limpieza tras el paso de los potentes huracanes (Eta e Iota en noviembre del año 2020). Si 10 máquinas de estas laboran con un costo

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Capítulo 4. Funciones

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de operación al día de $350, mientras que operar 20 máquinas cuesta $600 del mismo tipo al día. Suponiendo un modelo de costo lineal, determine la relación entre el costo total C (x) de operar x máquinas al día. Solución: Se nos han dado los puntos (10, 350) y (20, 600) que están sobre la gráfica de un modelo de costo lineal. La pendiente de la línea que une estos dos puntos es: m=

y2 − y1 600 − 350 250 = = = 25 x2 − x1 20 − 10 10

Usando la fórmula punto-pendiente, advertimos que la ecuación requerida de la línea recta (del modelo de costo lineal) con pendiente m = 25 y que pasa por el punto (10, 350) es y − y1 = m (x − x1 )

y − 350 = 25 (x − 10) y − 350 = 25x − 250

y = 25x − 250 + 350 y = 25x + 100

Es decir, C (x) = 25 + 100

■

■ Ejemplo 4.10 — Modelo de costos. Una compañía de transporte por la dificultad del camino a la Costa Caribe cobraba C$20 000 por transportar 120 km de un cargamento de queso, al completar las carreteras de Nueva Guinea a Bluefields por la facilidad de acceso ahora cobra C$25 000 en 200 km.

1. Escriba la fórmula del costo en función de la distancia sabiendo que es lineal. 2. ¿Cuánto se paga por transportar el queso 400 km? 3. ¿Cuál es la tarifa básica? ¿Cuál es el costo por kilómetro de recorrido? 4. Si se pagaron C$15 000 de transporte ¿Cuántos kilómetros se recorrieron? Solución: 1. Sea x el número de kilómetros recorridos y y el costo del transporte. m=

y2 − y1 25 000 − 20 000 5 000 = = = 62,5 x2 − x1 200 − 120 80

Al sustituir en la ecuación de la recta,

y − y1 = m (x − x1 )

y − 20 000 = 62,5 (x − 120) y − 20 000 = 62,5x − 7 500

y = 62,5x − 7 500 + 20 000 y = 62,5x + 12 500

2. De cuánto será su costo total por transportar 400 km el mismo producto. y = 62,5x + 12 500 y = 62,5 (400) + 12 500 y = 37 500 Por recorrer 400 km se pagaron $37 500.

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4.1 Función lineal

119

3. La tarifa básica es de C$12 500 y el costo por km es de 62,5. 4. Para encontrar los kilómetros que se recorrieron debemos despejar la ecuación y en términos de x y sustituir el valor y = 15 000. y − 12 500 = 62,5x y − 12 500 =x 62,5 Ahora sustituyendo y = 12 500 en la ecuación 15 000 − 12 500 62,5 2 500 x= 62,5 x = 40 x=

Rta. Con C$15 000 se recorrieron 40 km. ■

Ejercicio 4.3 Analice y resuelva cada una de las siguientes situaciones:

1. Una empresa que se dedica a la producción de piña tiene costos fijos de $3 000 por cosecha y el costo de mano de obra y materiales es de 0,50 por piña. a) Escriba la fórmula del costo en función del número de piñas producidas. b) Calcule el costo de producir 1 000 piñas. c) Construya la gráfica. 2. Una compañía de transporte cobra C$25 000 por transportar 100 km un cargamento de maíz, y C$25 000 por transportarla 200 km. a) Escriba la fórmula del costo en función de la distancia sabiendo que es lineal. b) ¿Cuánto se paga por transportar el maíz 300 km? ¿Por 90 km? c) ¿Cuál es la tarifa básica? ¿Cuál es el costo por kilómetro de recorrido? d) Si se pagaron C$17 300 de transporte ¿cuántos kilómetros se recorrieron? e) Construya la gráfica de la función. 3. El costo de producir 100 toneladas de arroz es de $700,00 y el de 120 toneladas $800. a) Determine la función del costo, suponiendo que es lineal. b) ¿Cuáles son los costos fijos y cuáles los costos variables? c) ¿Cuánto cuesta producir 250 toneladas de arroz? d) Si se invierten $1 200 ¿Cuántas toneladas de arroz se producen? ■

4.1.2

Ejercicios propuestos Función lineal I. Determine la pendiente y la intersección con el eje vertical de la función lineal; haga un bosquejo de la gráfica

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Capítulo 4. Funciones

120 a) y = f (x) = −4x

b) y = f (x) = x + 1

c) g(t) = 2t − 4

d) g(t) = 2(4 − t)

e) h(q) =

2−q 7

f ) h(q) = 0,5q + 0,25

II. Determine f (x), si f es una función lineal con las siguientes propiedades a) a = 4 y f (2) = 8 b) f (1) = 2, f (−2) = 8 c) f (0) = 3, f (4) = −5

  d) f (1) = 1, f (2) = 2 g) a = − 21 , f − 12 = 4 e) f (−2) = −1, f (−4) = −3   f ) a = 0,01, f (0,1) = 0,01 h) a = −4, f 13 = −2

III. Resolver los siguientes problemas

1. La longitud de un muelle cuando de él se cuelgan, pesos de diferentes masas está dado por la ecuación l = 0,2 + 0,29m; “l” en cm y “m” en gramos. a) Determine para esta situación la variable independiente y la dependiente. b) Construya una tabla de datos tomando los valores de las masas con intervalos de 30 gramos. c) Represente gráficamente la funcional. 2. A un precio de $2,50 por unidad, una empresa ofrecerá 8 000 camisetas al mes, a $4 cada unidad, la empresa producirá 14 mil camisetas al mes. Determine la ecuación de la oferta, suponiendo que es lineal. 3. Un fabricante de herramientas puede vender 3 000 martillos al mes a $2 cada uno, mientras que solo pueden venderse 2 000 martillos a $2,75 cada uno. Determine la ley de demanda, suponiendo que es lineal. 4. A un precio de $10 por unidad, una compañía proveería 1 200 unidades de su producto, y a $15 cada unidad, 4 200 unidades. Determine la ecuación de la oferta, suponiendo que es lineal.   5. Agricultura Si las plantas de arroz se siembran con una densidad de x plantas por pie cuadrado, la producción de arroz en cierta plantación está dada por P (x) = x (10 − 0,5x) . ¿Qué valor de x maximiza la producción? ¿Cuál es la producción máxima?

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6. Una compañía que repara copiadoras comerciales, cobra por un servicio una cantidad fija más una tarifa por hora. Si un cliente tiene una factura de $150 por un servicio de una hora y $280 por un servicio de tres horas, determine una función lineal que describa el precio de un servicio, en donde x es el número de horas del servicio. 7. Por razones de comparación, un profesor quiere cambiar la escala de las calificaciones de un conjunto de exámenes escritos, de modo que la calificación máxima siga siendo 100, pero la media (promedio) sea 80 en lugar de 56. a) Determine una ecuación lineal que prediga esto. [Sugerencia: quiere que 56 se convierta en 80 y 100 permanezca como 100. Considere los puntos (56, 80) y (100, 100), y de manera más general, (x, y), donde x es la calificación anterior y y la nueva. Encuentre la pendiente y utilice la forma punto-pendiente. Exprese y en términos de x.] b) Si en la nueva escala 60 es la calificación más baja para acreditar, ¿cuál fue la calificación más baja para acreditar en la escala original? 8. En pruebas realizadas en una dieta experimental para cerdos, se determinó que el peso (promedio) w (en kilogramos) de un cerdo, estadísticamente era una función lineal del número de días, d, después de iniciada la dieta, donde 0 ≤ d ≤ 100. Si el peso de un cerdo al inicio de la dieta fue

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4.2 Función Cuadrática de 20 kg, y a partir de ahí ganó 6,6 kg cada 10 días, determine w como una función de d; calcule el peso de un cerdo para 50 días después que inició la dieta. 9. Los biólogos han encontrado que el número de chirridos por minuto hechos por los grillos de cierta especie están relacionados con la temperatura. La relación es casi lineal. A 68◦ F, los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto. A 80◦ F son alrededor de 172 por minuto. a) Determine una ecuación que dé la temperatura Fahrenheit, t, en términos del número de chirridos, c, por minuto. b) Si usted cuenta los chirridos sólo durante 15 segundos, ¿cómo puede estimar rápidamente la temperatura? 10. El resultado del experimento psicológico de Sternberg sobre la recuperación de información, es que el tiempo de reacción, R, de una persona, en milisegundos, de acuerdo con las estadísticas es una función lineal del tamaño del conjunto de memoria N como sigue: R = 38N + 397 Haga el bosquejo de la gráfica para 1 ≤ N ≤ 5. ¿Cuál es la pendiente? 11. En cierto experimento de aprendizaje que involucra repetición y memoria, se estimó que la proporción p de elementos recordados se relacionaba linealmente con un tiempo de estudio efectivo t (en segundos), donde t está entre 5 y 9. Para un tiempo de estudio efectivo de 5 segundos, la proporción de elementos recordados fue de 0,32. Por cada segundo más en el tiempo de estudio, la proporción recordada aumentaba en 0,059.

4.2

121 a) Determine una ecuación que proporcione p en términos de t. b) ¿Qué proporción de elementos se recordaron con 9 segundos de tiempo efectivo de estudio? 12. En un circuito eléctrico el voltaje, V (en volts), y la corriente, i (en amperes), están relacionados linealmente. Cuando i = 4, V = 2; cuando i = 12,V = 6. a) Determine V como una función de i. b) Encuentre el voltaje cuando la corriente es de 10. 13. La presión, P, de un volumen constante de gas, en centímetros de mercurio, está relacionada linealmente con la temperatura, T , en grados Celsius. En un experimento con aire seco, se encontró que P = 90 cuando T = 40, y que P = 100 cuando T = 80. Exprese P como una función de T . 14. Cuando una gráfica de la diferencia de potencial, V , en volts, de una celda de Daniell se grafica como una función de la corriente, i, en amperes, que se envía a un resistor externo, se obtiene una línea recta. La pendiente de esta recta es el negativo del valor de la resistencia interna de la celda. Para una celda particular con resistencia interna de 0,06 ohms, se encontró que V = 0,6 volts cuando i = 0,12 amperes. Exprese V como una función de i. 15. Una fórmula utilizada en hidráulica es Q = 3,340b3 + 1,8704b2 x, donde b es una constante. a) ¿La gráfica de esta ecuación es una línea recta? b) De ser así, ¿cuál es la pendiente cuando b = 1?

Función Cuadrática Definición 4.2.1 La forma general de una función cuadrática es f (x) = ax2 + bx + c, donde

a, b, c son números reales y a ̸= 0. El dominio es todo el conjunto de los números reales.

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Capítulo 4. Funciones

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La gráfica de una función cuadrática se llama parábola y sus principales características son: 2 y y y = x2 y = −x2 4 1 3 x

2 1 −4 −3 −2 −1 −1

−4 −3 −2 −1

x 1

2

3

1

2

3

4

−1

4

−2

−2 V (h, k) : son las coordenadas del vértice. Dominio: D f = R o bien x ∈ (−∞, ∞)  4ac − b2  Rango: y ∈ ,∞ 4a

Dominio: D f = R o bien x ∈ (−∞, ∞)  4ac − b2  Rango: y ∈ − ∞, 4a

❶ Si a > 0, la parábola es cóncava hacia arriba, de modo que existe un valor x donde la función alcanza su mínimo. ❷ Si a < 0, la parábola es cóncava hacia abajo, de modo que existe un valor x donde la función alcanza su máximo El valor donde la función alcanza su mínimo o máximo se llama vértice. Este punto es muy importante en la construcción gráfica, pues por su abscisa pasa el eje de simetría de la parábola. El vértice de una función cuadrática está dado por el punto    b b (4.5) V (h, k) = V − , f − 2a 2a ❸ Intersección con los ejes: Una parábola siempre interseca al eje y, pero no siempre interseca al eje x. Los interceptos con el eje x son los valores en los cuales la función se anula, es decir, cuando f (x) = 0, o equivalentemente, cuando ax2 + bx + c = 0. Dado que esta ecuación es de segundo grado, pueden ocurrir tres casos: la ecuación tiene dos soluciones, la ecuación tiene una sola solución la ecuación no tiene soluciones. En consecuencia, una parábola puede intersecar al eje x una vez, dos veces o ninguna. Para encontrar el intercepto en y solo se debe hacer x = 0. Pero si f (x) = ax2 + bx + c, entonces f (0) = a (0)2 + b (0) + c = c. Es decir, el intercepto en y es el punto (0, c) . ❹ Intervalos de crecimiento: Si la parábola es cóncava hacia arriba, en el intervalo donde los valores del codominio son menores que la abscisa del vértice, la función es decreciente. Esto significa que cuando mayor es el valor de “x,” menor es el valor de “y.”. En cambio, en el intervalo donde los valores del dominio son mayores que la abscisa del vértice, la función es creciente, de manera que cuanto mayor es el valor de “x”, mayor es el valor de “y”. Si la función es cóncava hacia abajo, ocurre exactamente lo contrario.

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4.2 Función Cuadrática

123

Sea (x, y) el vértice de la parábola, entonces: ➢ Si la función es cóncava hacia arriba (a > 0) , se tiene (−∞, x) es decreciente

y

(x, +∞) es creciente

➢ Si la función es cóncava hacia abajo (a < 0) , entonces se tiene (−∞, x) es creciente

Ordenadas y

y

(x, +∞) es decreciente

Ramas de la par´ abola

Punto de corte en eje y

Eje de simetr´ıa

x Abscisas Puntos de corte con eje x

V´ ertice

■

Ejemplo 4.11 — Gráfica de una función cuadrática. Sea y = −x2 + 4x − 3. Determine: a)

Vértice, Interceptos, Valor máximo o mínimo, b) Intervalos creciente y decreciente, c) Dominio y rango y d) Gráfica. Solución: a) Vértice, Interceptos, Valor máximo o mínimo. De la ecuación se obtiene a = −1, b = 4, c = −3. 1) Vértice Vx = −

4 4 b =− =− =2 2a 2 (−1) −2

Vy = f (2) = (2)2 + 4 (2) − 3 = 1 Por tanto el vértice es el punto V (2, 1) . 2) Interceptos. Puntos de cortes con el eje x. −x2 + 4x − 3 = 0 ⇐⇒ x2 − 4 + 3 = 0

⇐⇒ (x − 3) (x − 1) = 0

⇐⇒ x1 − 3 = 0 ∨ x2 − 1 = 0

⇐⇒ x = 3 ∨ x = 1

Multiplicando por − 1 Factorizando

Igualando cada factor a 0 Resolviendo.

Por tanto, los interceptos en x son los puntos (3, 0) y (1, 0) y el intercepto en y es el punto (0, c) = (0, −3) .

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Capítulo 4. Funciones

124

3) Valor máximo o mínimo. Dado que a = −1, la gráfica de la función es cóncava hacia abajo, por tanto tiene valor máximo en el vértice.

y = −x2 + 4x − 3 y

b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Crece (−∞, 2)

3

Decrece (2, +∞) . 1

c) Dominio: (−∞, 1] .

R.

Rango: −4 −3 −2 −1 −1

d) Gráfica:

x 1

2

3

4

−3 −4 ■ ■

Ejemplo 4.12 Sea f (x) = x2 + 2x − 3. Determine: a) Vértice, Interceptos, Valor máximo o

mínimo, b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, c) Dominio y rango y d) Gráfica. Solución:

a) Vértice, Interceptos, Valor máximo o mínimo. De la ecuación se obtiene a = 1, b = 2 y c = −3. 1) Vértice. Vx = −

2 2 b =− = − = −1 2a 2 (1) 2

Vy = f (−1) = (−1)2 + 2 (−1) − 3 = −4 Por tanto el vértice es el punto V (−1, −4) . 2) Interceptos. Puntos de corte en el eje x. x2 + 2x − 3 = 0 ⇐⇒ (x + 3) (x − 1) = 0

⇐⇒ x + 3 = 0 ∨ x − 1 = 0 ⇐⇒ x = −3 ∨ x = 1

Factorizando Igualando cada factor a 0 Resolviendo

Por tanto, los interceptos en el eje x son los puntos (−3, 0) y (1, 0) y el intercepto en y es el punto (0, c) = (0, −3) . 3) Como a = 1, la parábola se abre hacia arriba y hay valor mínimo.

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4.2 Función Cuadrática

125

b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento Crece (−1, +∞) c) Dominio: R. [−4, +∞) .

Decrece (−∞, −1) . Rango:

d) Gráfica:

y = x2 + 2x − 3 y 4 3 2 1

−5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5

x 1

2

3

4

■ ■

Ejemplo 4.13 Sea f (x) = 2x2 + 8x + 5. Determine: a) Vértice, Interceptos, Valor máximo o

mínimo, b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento c) Dominio y rango, d) Gráfica. Solución: a) Vértice, Interceptos, Valor máximo o mínimo. De la ecuación se obtiene a = 2, b = 8 y c = 5. 1) Vértice. Vx = −

8 8 b =− = − = −2 2a 2 (2) 4

Vy = f (−2) = 2 (−2)2 + 8 (−2) + 5 = −3 Por tanto el vértice es el punto V (−2, −3) .

2) Interceptos. Puntos de corte en el eje x.

2x2 8x 5 + + =0 2 2 2 5 2 ⇐⇒ x + 4x + = 0 2 5 5 5 2 ⇐⇒ x + 4x + − = 0 − 2 2 2 5 2 ⇐⇒ x + 4x = − 2 5 2 ⇐⇒ x + 4x + 4 = − + 4 2 3 2 ⇐⇒ (x + 2) = 2 3 ⇐⇒ x + 2 = ± 2   3 3 ⇐⇒ x = −2∨x = − −2 2 2

2x2 + 8x + 5 = 0 ⇐⇒

Dividiendo entre 2 Resolviendo Restando −

5 2

Resolviendo Sumando 4 Factorizando y resolviendo Aplicando raíz cuadrada Resolviendo

Mediante una aproximación, los interceptos en el eje x son los puntos (−0,8, 0) y (−3,2, 0) . El intercepto en y es el punto (0, c) = (0, 5) . 3) Como a = 2, la parábola se abre hacia arriba y hay valor mínimo.

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Capítulo 4. Funciones

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y = 2x2 + 8x + 5

b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento Crece (−2, +∞) c) Dominio: R. [−3, +∞) .

9

Decrece (−∞, −2) .

y

7

Rango:

5 3

d) Gráfica:

1 −5

−3

−1

x 1

3

−3 4.2.1

7

5

9

■

Aplicaciones de la función cuadrática Ejemplo 4.14 — Función de costo. Una compañía ha determinado que el costo de producir x unidades de su producto por semana está dado por C (x) = 5 000 + 6x + 0,002x2 . Evalúe el costo de producir: ■

1. 1 000 unidades por semana. 2. 2 500 unidades por semana. 3. Ninguna. Solución: ➀ El costo de producir 1 000 unidades se obtiene mediante C (x) = 5 000 + 6x + 0,002x2 ⇐⇒ C (1 000) = 5 000 + 6 (1 000) + 0,002 (1 000)2 = 5 000 + 6 000 + 2 000 = 13 000. Por tanto, dicho costo es de 13 000. ➁ El costo de producir 2 500 unidades se obtiene mediante C (2 500) = 5 000 + 6 (2 500) + 0,002 (2 500)2 = 5 000 + 15 000 + 12 000 = 32 500 Por tanto, dicho costo es de 32 500. ➂ Si no se produce ninguna unidad entonces, C (0) = 5 000 + 6 (0) + 0,002 (0)2 = 5 000. Esto es, el costo de no producir ninguna unidad es de 5 000. ■

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4.2 Función Cuadrática

127

■ Ejemplo 4.15 — Función de Utilidad. El Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional por medio del MTI ha adoquinado, asfaltado y reparado en todo el territorio nacional caminos y carreteras con el propósito de facilitar libre acceso a las personas que se dedican a cosechar y ofertar sus productos en los diferentes mercados de país. Si cierto productor sabe que la utilidad U (x) obtenida por producir y vender x unidades de cierto producto está dado por U (x) = 48x − 2x2 .. Determinar el número de unidades que deben producirse y vender con objeto de maximizar la utilidad. ¿Cuál es esta utilidad máxima? Trace la gráfica e interprétela.

Solución: ➀ Como la gráfica de U (x) es una parábola que abre hacia abajo, el vértice es el punto máximo. Así, b 48 48 x=− =− =− = 12 2a 2 (−2) −4 12 es el número de unidades que se deben producir y vender para maximizar la utilidad. La utilidad máxima está dada por U (12) = 48 (12) − 2 (12)2 = 576 − 288 = 288 es de $288,00 ➁ Gráfica. U (x) = 48x − 2x2 .

Intercepto con el eje y. Es el punto (0, c) = (0, 0) . Intercepto con el eje x. 48x − 2x2 = 0 ⇐⇒ 2x (24 − x) = 0

⇐⇒ 2x = 0 ∨ 24 − x = 0

Factorizando Igualando cada factor a 0

⇐⇒ x = 0 ∨ x = 24

Los interceptos con el eje x son los puntos (0, 0) y (24, 0) . Tomando en cuenta que el vértice es V (12, 288) , la gráfica resulta:

Figura 4.4:

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127

Capítulo 4. Funciones

128

Del gráfico podemos decir que la utilidad aumenta o crece cuando se producen entre 0 y 12 unidades, alcanzándose la máxima utilidad al producirse 12 unidades. Posteriormente, la utilidad decrece y es nula cuando se producen 24 unidades. ■ ■ Ejemplo 4.16 — Área rectangular. Un ganadero desea construir un corral rectangular con 1 000 pies de cercado. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del corral para que el área cercada sea máxima? Solución: Sean x el ancho del corral y y la longitud del corral. El área del rectángulo está dada por A = base × altura = xy. Se sabe que el perímetro es de 1 000, por tanto 2x + 2y = 1 000. Dividiendo la última ecuación entre 2 se obtiene x + y = 500. Se despejará y para sustituir su valor en la fórmula del área.

x + y = 500 ⇐⇒ x − x + y = 500 − x ⇐⇒ y = 500 − x Entonces,

A = xy = x (500 − x) = 500x − x2 .

Hemos podido expresar el área A como una función de la variable x. Para encontrar las dimensiones del corral debemos encontrar los vértices de la función cuadrática. Tenemos una función de la forma f (x) = ax2 + bx + c, entonces de la función A (x) = 500x − x2 se deduce que a = −1, b = 500 y c = 0. Para encontrar el vértice hacemos x=−

b 500 500 =− = = 250. 2a 2 (−1) 2

Sustituyendo A (250) = 500 (250) − (250)2 = 62 500 pies. El vértice es V (250, 62 500) . Por tanto, las dimensiones del corral son de 250 pies por 250 pies y el área máxima es 62 500 pies. ■ ■ Ejemplo 4.17 — Velocidad. Si una pelota es lanzada directamente hacia arriba con una velocidad de 40 pies/s, su altura (en pies) después de t segundos está dada por y = 40t − 16t 2 . ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?

Solución: Ordenando la función de altura se tiene y = −16t 2 + 40t, el valor de a = −16 < 0, por tanto, la gráfica es una parábola que abre hacia abajo. La altura máxima se produce en la ordenada y del vértice, calculando las coordenadas del vértice se tiene: h=− El valor de la ordenada k es: k=

40 −40 5 −b =− = = 2a 2(−16) −32 4

1600 4ac − b2 4(−16)(0) − (40)2 = =− = 25 4a 4(−16) −64

 5 , 25 , es decir, la altura máxima que alcanza la pelota es 25 pies, esto lo logra 4 5 a un tiempo de t = = 1,25 s. ■ 4 El vértice es v =



Ejercicio 4.4 Analice y resuelva cada una de las siguientes situaciones:

1. Un vendedor de bebidas gaseosas en una conocida playa analiza sus registros de ventas y encuentra que si vende x latas de gaseosa en un día, su utilidad (en dólares) está dada por U(x) = −0,001x2 + 3x − 1800

128

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4.2 Función Cuadrática

129

¿Cuál es su utilidad máxima por día, y cuántas latas debe vender para obtener una utilidad máxima? 2. Una empresa que se dedica a la producción de piña tiene costos fijos de $3 000 por cosecha y el costo de mano de obra y materiales es de 0,50 por piña. Sol. Utilidad máx $450 y vende $1 500 latas de gaseosa a) Escriba la fórmula del costo en función del número de piñas producidas. Sol. 0,5x + 3 000 b) Calcule el costo de producir 1 000 piñas. Sol. $3 500 c) Construya la gráfica. ■

4.2.2

Ejercicios propuestos Función cuadrática I. Grafique cada función, obtenga el vértice y las intersecciones, y determine el dominio y rango. 1. f (x) = x + 2 2. y = −

2x 1 − 3 4

3. g (x) = −3x + 4 4. y =

x 1 − 3 2

15. f (x) = −4x2 16. g(x) = −2x2 − 6x 17. f (x) = x2 − 1 18. h(t) = t 2 + 2t + 1

5. f (x) = −2x + 3 6. h (x) = 2x + 7 4x 1 7. y = + 5 3 8. h (x) = 6x + 2 9. g (x) x + 6

19. h(t) = 2t 2 + 3t − 2 20. f (x) = −9 + 8x − 2x2 21. h(x) = 1 − x − x2 22. f (s) = s2 − 8s + 14 23. f (s) = s2 + 6s + 11

10. g (x) = −x + 3 11. f (x) = 7x 12. y = −

14. f (x) = x2 − 6x + 5

24. f (x) = −4x2 + 8x + 7 25. f (x) = 8x2 + 4x − 1

x 4

26. f (x) = x2 + 2x − 8

13. f (x) = 5x2

27. f (x) = 3 + x − 2x2

II. Resolver los siguientes problemas 1. Una compañía de investigación de mercados estima que n meses después de la introducción de un nuevo producto, f (n) miles de familias lo usarán, en donde f (n) =

10 n(12 − n), 0 ≤ n ≤ 12 9

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estime el número máximo de familias que usarán el producto. 2. La utilidad diaria de la venta de árboles para el departamento de jardinería de un almacén está dada por P(x) = −x2 + 18x +

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129

Capítulo 4. Funciones

130 144, en donde x es el número de árboles vendidos. ¿cuántos árboles se deben vender con el fin de maximizar la utilidad?, ¿cuál es la utilidad máxima? 3. Una predicción hecha por la psicología, relaciona la magnitud de un estímulo, x, con la magnitud de la respuesta, y, lo cual se expresa por la ecuación y = kx2 , en donde k es una constante del experimento. En un experimento sobre reconocimiento de patrones, k = 2. Determine el vértice de la función y haga la gráfica de su ecuación (suponga que no hay restricción sobre x). 4. Unos biólogos estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que contenía un 10 % de proteína. La proteína consistía en levadura y harina de maíz. Al variar el porcentaje P de levadura en la mezcla de proteína, el grupo de biólogos estimaron que el peso promedio ganado (en gramos) por una rata en un periodo fue f (P) = −

1 2 P + 2P + 20, 0 ≤ P ≤ 100 50

encuentre el peso máximo ganado. 5. Suponga que la altura, s, de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba desde el piso está dada por s = −4,9t 2 +58,8t, donde s está en metros y t es el tiempo transcurrido en segundos. ¿Al cabo de cuántos segundos la pelota alcanza su altura máxima?, ¿cuál es la altura máxima? 6. Un muchacho que está parado en una colina, dispara una flecha directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies por segundo. La altura, h, de la flecha en pies, t segundos después de que se soltó, se describe por la función h(t) = −16t 2 +80t +32. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la flecha?, ¿cuántos segundos después de que se suelta, alcanza esta altura? 7. Una niña de 6 años de edad que está parada sobre una caja de juguetes lanza una muñeca directamente hacia arriba, con una velocidad inicial de 16 pies

130

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por segundo. La altura h de la muñeca en pies, t segundos después de que se soltó se describe por medio de la función h(t) = −16t 2 + 16t + 4. ¿Cuánto tiempo le toma a la muñeca alcanzar su altura máxima?, ¿cuál es la altura máxima? 8. La forma del cable principal de un puente colgante puede describirse por medio de la función f (x) =

1 2 1 x + x+10, −100 ≤ x ≤ 100 500 250

en donde f (x) es la altura del cable (en pies) por arriba del terraplén, y x es la distancia horizontal (en pies) medida desde el centro del puente. Haga la gráfica de la función y determine su rango. 9. El desplazamiento de un objeto desde un punto de referencia en el tiempo t está dado por s = 3,2t 2 − 16t + 28,7, donde s está en metros y t en segundos. a) ¿Para qué valor de t ocurre el desplazamiento mínimo? b) ¿Cuál es el desplazamiento mínimo del objeto, medido a partir del punto de referencia? 10. Durante una colisión, la fuerza, F (en newtons), que actúa sobre un objeto varía con el tiempo t, de acuerdo con la ecuación F = 87t − 21t 2 , donde t está en segundos. a) ¿Para qué valor de t es máxima la fuerza? b) ¿Cuál es el valor máximo de la fuerza? 11. Cuando una viga horizontal de longitud l es cargada uniformemente, la ecuación wlx wx2 , donde − del momento es M = 2 2 w está relacionada con la carga, y x es la medida desde el extremo izquierdo de la viga. a) ¿Para qué valor de x es M un máximo? (Suponga w > 0.) b) ¿Cuál es el valor máximo de M?

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4.2 Función Cuadrática c) ¿Para qué valores de x se tiene M = 0? 12. Encuentre dos números cuya suma es 40 y su producto es un máximo. 13. El costo de producir 100 toneladas de arroz es de $700,00 y el de 120 toneladas $800. a) Determine la función del costo, suponiendo que es lineal. b) ¿Cuáles son los costos fijos y cuáles los costos variables? c) ¿Cuánto cuesta producir 250 toneladas de arroz? d) Si se invierten $1 200 ¿Cuántas toneladas de arroz se producen? 14. La longitud de un muelle cuando de él se cuelgan, pesos de diferentes masas está dado por la ecuación l = 0,2 + 0,29m; “l” en cm y “m” en gramos. a) Determine para esta situación la variable independiente y la dependiente. b) Construya una tabla de datos tomando los valores de las masas con intervalos de 30 gramos. c) Represente gráficamente la funcional. 15. A un precio de $2,50 por unidad, una empresa ofrecerá 8 000 camisetas al mes, a $4 cada unidad, la empresa producirá 14 mil camisetas al mes. Determine la ecuación de la oferta, suponiendo que es lineal.

131   18. Agricultura Si las plantas de arroz se siembran con una densidad de x plantas por pie cuadrado, la producción de arroz en cierta plantación está dada por P (x) = x (10 − 0,5x) . ¿Qué valor de x maximiza la producción? ¿Cuál es la producción máxima? 19. La temperatura de congelación del agua es 0◦C (ó 32◦ F). La temperatura de ebullición es 100◦C (ó 212◦ F). Utilice esta información para encontrar una relación lineal entre la temperatura en ◦C y la temperatura en ◦ F.   20. Ingreso máximo El ingreso mensual por concepto de la venta de x unidades de cierto artículo está dado por R (x) = 12x − 0,001x2 dólares. Determine el número de unidades que deben venderse cada mes con el propósito de maximizar el ingreso. ¿Cuál es el correspondiente ingreso máximo?   21. Utilidad máxima La utilidad P (x) . obtenida por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por P (x) = 60x − x2 . Determine el número de unidades que deben producirse y venderse con el objetivo de maximizar la utilidad. ¿Cuál es esta utilidad máxima?   22. Costo mínimo El costo promedio por unidad (en dólares) al producir x unidades de cierto artículo es C (x) = 20 − 0,06x + 0,0002x2 . ¿Qué número de unidades producidas minimizarían el costo promedio? ¿Cuál es el correspondiente costo mínimo por unidad?

16. Un fabricante de herramientas puede vender 3 000 martillos al mes a $2 cada uno, mientras que solo pueden venderse 2 000 martillos a $2,75 cada uno. Determine la ley de demanda, suponiendo que es lineal.

23. Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función I (z) = 1000z − 2z2 , donde z es la cantidad de pares de zapatos que fabrica en el mes.

17. A un precio de $10 por unidad, una compañía proveería 1 200 unidades de su producto, y a $15 cada unidad, 4 200 unidades. Determine la ecuación de la oferta, suponiendo que es lineal.

a) ¿Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso?

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b) ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 pares de zapatos?

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Capítulo 4. Funciones

132

h (t) = 80 + 64t − 16t 2 (t en segundos y h en metros).

24. Los ingresos mensuales de un empresario de máquinas electromecánicas están dados por la función: donde x es la cantidad de máquinas que se fabrican en el mes.

a) Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5] .

a) ¿Cuántas máquinas se deben fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso? b) Si decimos que la ganancia fue de mil pesos aproximadamente, ¿cuántas máquinas se fabricaron?

c) ¿En qué instante alcanza su máxima altura?

c) ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican cinco máquinas?

26. La función ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto está dada por g (x) = 180x + 0,01x2 − 200. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿cuál es la máxima ganancia posible? Grafique la función.

25. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula

4.3

b) Halla la altura máxima que alcanza la pelota.

Funciones Racionales En esta sección se abordará el tema de Funciones Racionales, estas son de suma importacia en distintas aplicaciones. Hay una multitud de fenómenos que ligan dos variables, cuya relación es de proporcionalidad inversa. Por ejemplo: La presión y el volúmen de un gas a temperatura constante. El aumento producido por una lupa y la distancia al foco a que se coloca el objeto. La altura alcanzada por un líquido en un tubo capilar y el diámetro de éste. Estos y otros fenómenos son conocidos como funciones de proporcionalidad inversa, cuya k ecuación en general es de la forma: y = y x su gráfica tiene la forma de una hipérbola. Por 1 ejermplo, consideremos k = 1 o sea, y = , tenex mos que su gráfica es: Este tipo de funciones, se ciñe a un par de rectas llamadas asíntotas, en el caso específico del ejemplo anterior, estas asíntotas son los ejes coordenados. Algebraicamente podemos notar que la función no está definida, cuando x es igual a cero, ya que se tendría 10 , que no existe. Afirmaremos más adelante en temas de cálculo que la función es discontinua en el valor x = 0. También son hipérbolas las gráficas de las funciones de la forma: f (x) =

ax + b cx + d

(4.6)

6 y 4 2 x −6

−4

2

−2

4

6

−2 −4 −6

Mencionamos este tipo de funciones pues en principio podemos decir que estas son las que dan origen a las funciones racionales, cuyas ecuaciones son un poco más complejas, esto se refiere a

132

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4.3 Funciones Racionales

133

que los polinomios en el numerador y/o en el denominador son de segundo grado. 4.3.1

Funciones Racionales Definición 4.3.1 Si una función puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales, se le denomina Función Racional. Así, si P y Q son funciones polinómicas y f es la función definida por: P(x) , con g(x) ̸= 0 f (x) = Q(x) Entonces, S es una función racional. El dominio de S es el conjunto de todos los números reales exepto aquellos en los que g se hace cero. Ejemplos de Funciones Seccionadas

Ejemplo T (x) =

x+2 x−3

f (x) =

5x x2 + 2

s(x) =

x2 x−4

Descripción En la función T (x)el dominio son todos los números reales excepto el 3. ¿Porqué? La función T no está definida cuando x = 3, ya que el denominador se hace cero. En la función f (x), si bien es cierto es una función racional, ocurre que esta función está definida para cualquier valor de R, pues el denominador nunca se vuelve cero. En conclución el dominio es el conjunto de los números reales. En la función s(x), la función racional tiene un punto donde g(a) = 0 y f (a) = 0, es decir tanto el numerador como el denominador se hacen cero en el mismo valor del conjunto de los número Reales. Este valor es x = 4, o sea que s(x) no está definida en dicho valor.

Muy bien, ahora concentremos nuestra atención en el primer ejemplo, la gráfica de T (x), tiene la forma: esto se debe a que la función no está definida cuando x = 3, ya que en esta caso el denominador se hace cero y como es sabido la división por cero no está definida en los números reales. Observemos que mientas la función va tomando valores cercanos a 3 por la izquierda, la gráfica se va extendiendo hacia la parte negativa del eje de las y, decimos entonces que la gráfica tiende hacie −∞ (T (x) → −∞) ; por otra parte cuando la función va tomando valores que se acercan a 3 por la derecha, notemos que la gráfica entonces tiende hacia +∞, esto se expresa: T (x) → +∞. Nota: Tomemos en cuenta que los simbolos −∞ y +∞ NO representan números reales, tan sólo especifican ciertos tipos de comportamiento de funciones y variables.

Por último, es necesario señalar que en el valor x = 3, se debe marcar lo que llamamos aspintota vertical (se representa con una recta punteada que pasa por x = 3), esto nos indicará que la función no está definida para este valor. 4.3.2

Asíntota Vertical

Definición 4.3.2 Se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si al menos uno de los siguientes enunciados es verdadero:

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133

Capítulo 4. Funciones

134 a) f (x) → +∞ conforme x se acerca a a por la derecha. b) f (x) → +∞ conforme x se acerca a a por izquierda. c) f (x) → −∞ conforme x se acerca a a por la derecha. c) f (x) → −∞ conforme x se acerca a a por la izquierda.

De acuerdo con lo anterior, la recta x = a es una asíntota vertical para la gráfica de una función racional si f (x) → +∞ o si f (x) → −∞ a medida que x se acerca a a, ya sea desde la izquierda o desde la derecha. Las asíntotas verticales, tienen la siguiente forma: 20 y 15 10 5 x −6

−4

−2

2

4

6

8

10

−5

−10 −15 −20

La regla siguiente indica cómo determinar la ecuación de una asíntota vertical de la función P(x) , donde Q(x) ̸= 0. racional f (x) = Q(x) Reglas 4.3.1 — Para determinar la ecuación de una asíntota vertical. Si x = a es un

número real tal que P(x) es diferente de cero y Q(x) es igual a cero, entonces la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica correspondiente a y = f (x).

Nota: Como hemos observado es posible o no que la función tenga asíntotas verticales, y si las tiene, puede ocurrir que tenga una dos o tres, esto pultimo estará en dependencia de la cantidad de valores del conjunto de los números Reales, donde el denominador se haga cero.

4.3.3

Asíntota Horizontal Si los valores de una función definida por y = f (x) se acercan a un número fijo c cuando x crece o decrece sin límite, entonces y = c es una asíntota horizontal de la gráfica de la función; es decir, la recta y = c es asíntota horizontal de una función racional cuando el valor de f (x) tiende al valor de c a medida que x → +∞ y a medida que x → −∞. Para averiguar si una función racional tiene una asíntota horizontal, el numerador y el

20 y 15 10 5 x −6

−4

−2

2

4

6

8

10

−5

−10 134

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−15 −20

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4.3 Funciones Racionales

135

denominador de la expresión de esa función se Este tipo de asíntotas se producen en algudividen entre la máxima potencia que hay en nas funciones racionales y determinaremos su cualquiera de ellos y después se observa qué su- existencia, haciendo uso del siguiete teorema. cede con la función cuando x → ∞. Cabe aclarar que x → ∞ significa que crece indefinidamente, es decir, sin límite, por ello x es diferente de cero. Las asíntotas horizontales, tienen la siguiente forma: Teorema 4.3.2 Sea:

f (x) =

an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + n0

en la cual an ̸= 0 y bm ̸= 0

(4.7)

1. Sí n < m, entonces el eje x (la recta y = 0) es asíntota horizontal de la gráfica de f . 2. Sí n = m, entonces la recta y = horizontal para la gráfica de f .

an (la relación de los coeficientes iniciales) es una asíntota bm

3. Sí n > m, la gráfica de f no tiene asíntota horizontal. En lugar de ello f (x) → +∞ o bien, f (x) → −∞, cuando x → +∞ o cuando x → −∞. Para ilustrar este teorema, tomamos los siguientes ejemplos: Ejemplo T (x) =

2x + 2 x−3

S(x) =

x2 − 9 x+5

F(x) =

2x x2 + 1

Descripción Observemos que en el caso de la función T (x) el polinimio del numerador tiene el mismo grado que el polinomio del denominador (se cumple el inciso 2. del teorema anterior), por lo cual la asíntota horizontal se obtiene dividiendo el coeficiente de la variable x del polinomio de numerador (que es 2) entre el coeficiente de la x del polinomio del denominador (que es 1), lo que nos da la ecuación de la asíntota horizontal: 2 A.H. y= =2 1 En la función S(x) el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador, por lo tanto esta función no tiene asíntota horizontal. Esto es, n = 2 y m = 1 entonces n > m, pues 2 > 1, así el inciso 3. del teorema anterior nos garantiza que la gráfica de S(x), no tiene asíntotas horizontales. En el tercer ejemplo, la función F(x) el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del denominador, por lo cual la asíntota horizontal tiene la ecuación:my = 0 eje x.

Nota: Las funciones racionales tambien tienen otro tipo de asíntotas, son las llamadas asíntotas oblicuas, que no serán aboradas en este curso pero que te animo a que las investigues por tu cuenta. La gráfica de una función nunca puede ser cortada por la asíntota vertical, pero puede ser cortada por la asíntota horizontal.

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135

Capítulo 4. Funciones

136 4.3.4

Gráfica de una función Racional Para construir la gráfica de una función racional, habrá que analizar detenidamente los siguientes pasos que servirán de guía en la construcción de la gráfica. Es importante que usted realice estos estos pasos muy detenidamente, lea bien las orientaciones a seguir: Reglas 4.3.3 — Procedimiento para trazar la gráfica de una función racional.

① Analice la simetría con respecto al eje y y al origen. ② Determine las asíntotas verticales (si las hay), verificando en que valor el denominador se hace cero. ③ Determine la asíintota horizontal (si la hay), utilice el teorema correspondiente. ④ Determine los interceptos con los ejes coordenados. ⑤ Para hallar la intersección con el eje X se iguala el numerador de la ecuación a cero y se despeja x. ⑥ Hacer una tabla de valores, como complemento de la información anterior, para marcar los puntos correspondientes en el plano. ⑦ Trácese la gráfica, marcando las asíntotas. ■

Ejemplo 4.18 Trace la gráfica y determine: Simetría, Asíntotas, Interseptos, Dominio y Recorrido

de la función: f (x) = Solución:

x+1 x−2

1. Analicemos la simetría con respecto al eje Y y al origen: a) Respecto al eje Y : se cambia x por −x en la ecuación dada, si la ecuación no cambia la función es par entonces hay simetría con el eje Y , observemos que al cambiar x por −x en la ecuación nos quedará: f (x) =

−x + 1 ̸= −x − 2

f (x) =

x+1 x−2

Notemos que la ecuación original es distinta, así que la gráfica no tiene simetría con el eje Y . b) La función es impar si hay simetría con el origen, esto se sabe cambiando y por −y, y a x por −x. −x + 1 −x − 2 −x + 1 −y = −(x + 2)

Tomamos factor común -1, en el denominador.

−y =

⇒

y=

−x + 1 x+2

Comparando con la ecuación original, notamos que no es la misma ecuación, por lo que debemos afirmar que la gráfica no tiene simetría con el origen. a) Determinemos la asíntota vertical: tomamos el denominador de la función y buscamos el valor (o valores) donde se hace cero, para ello igualamos a cero: x−2 = 0

136

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⇒

x=2

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4.3 Funciones Racionales

137

b) Analicemos si la función tiene asíntota horizontal: en este caso notemos que el polinomio del numerador es de primer grado y el del denominador tambien, por tanto, la asíntota horizontal es: 1 y = = 1. 1 c) Para hallar los interseptos: a) Con el eje x: hacemos el polinomio del numerador igual a cero, x+1 = 0

⇒

x = −1

es decir la gráfica corta al eje X en P(−1, 0). b) Con el eje Y : se hace x = 0, esto nos lleva a, 0+1 1 =− 0−2 2   la gráfica intercepta al eje Y en el punto Q 0, − 21 . y=

2. En cuanto a la tabla de valores, se recomienda hacerla tomando como referencia la asíntota vertical, es decir en este caso particular se toman unos tres valores a la izquierda y tres a la derecha de la asíntota vertical y se completan los valores de Y , para luego graficar, veamos: x f (x)

-1 0

0 -0.5

1 -2

2 A. V

3 4

4 2.5

5 2

3. En el plano cartesiano trace las asíntotas con lineas punteadas, ubique los interseptos y los puntos obtenidos en la tabla de valores, la gráfica será de la forma: 6 y 4 2 x −6

−4

2

−2

4

6

8

10

−2 −4 −6

Ahora analizamos el dominio y el rango de la función dada. Notemos que el denominador de f sólo es cero si x = 2, por tanto la función no está bien definida en este punto, así el dominio de f está dado por: {x ∈ R|x ̸= 2}

El recorrido o rango de f es el conjunto de los números Reales excepto el 1, es decir: {x ∈ R|y ̸= 1}

■

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137

Capítulo 4. Funciones

138

Ejemplo 4.19 Trace la gráfica de la función y determine: Simetría, Asíntotas, Interseptos, Dominio y Rango. x f (x) = 2 x +x−6 ■

Solución:

1. Analicemos la simetría con respecto al eje Y , y al origen: a) Respecto al eje Y : se cambia x por −x en la ecuación dada, si la ecuación no cambia la función es par entonces hay simetría con el eje Y , observemos que al cambiar x por −x en la ecuación nos quedará: f (−x) =

−x ̸= x2 − x − 6

f (x) =

x x2 + x − 6

b) La función es impar si hay simetría con el origen, esto se sabe cambiando y por −y, y a x por −x. x −x ⇒ y= 2 −y = 2 x −x−6 x −x−6 en este caso la ecuación sufre un cambio así que no tenemos simetría con el origen.

2. Determinemos la asíntota vertical: tomamos el denominador de la función y buscamos el valor (o valores) donde se hace cero, para ello igualamos a cero: x2 + x − 6 = 0

Factorizando

(x + 3)(x − 2) = 0

x+3 = 0 ; x−2 = 0 x = −3 y x = 2

3. Analicemos si la función tiene asíntota horizontal: en este caso notemos que el polinomio del numerador es de menor grado que el del denominador, así que de acuerdo con el Teorema de las asíntotas horizontales, será la recta y = 0 (eje X). 4. Para hallar los interceptos: a) Con el eje X hacemos el polinomio del numerador igual a cero; en este caso es simplemente x = 0, o sea que la gráfica intercepta la eje X en el punto (0,0), este es el origen del sistema de coordenadas. b) Con el eje Y : se hace x = 0, lo que nos lleva a : f (0) =

(0) (0)2 + (0) − 6

=

0 =0 −6

5. Solo queda hacer la tabla de valores para enmarcar los puntos correspondientes en el plano, se debe considerar que esta vez tenemos dos asíntotas verticales: x f (x)

-6 -0.25

-5 -0.3

-4 -0.6

-3 A.V.

-2 0.5

-1 0.1

0 0

1 -0.25

2 A.V.

3 0.5

4 0.3

5 0.1

Con estos datos se obtiene la gráfica:

138

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4.3 Funciones Racionales

139 10 y 8 6 4 2 x

−6

−4

−2

−2

2

4

−4 −6 −8 −10 Dominio: Todos los números Reales excepto x = −3 y x = 2, esto es: D f = R − {−3, 2}

Rango: El recorrido o Rango es el conjunto de los números reales: R f = R ■

■

Ejemplo 4.20 Determina el dominio, el rango y la gráfica de la función:

y=

x x2 + 1

Solución: Si tratamos de responder a la pregunta: ¿Para qué valores de x el denominador de la función se hace cero?, veremos que: x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = −1 esto nos indica que el denomiador de esta función nunca se hace cero, pues no tiene raices en el Conjunto de los Números Reales. Esto a su vez nos dice que la gráfica de esta función no tiene asíntotas verticales, esto es así porque la función está definida para cualquier valor de x, pero hay algo más en esta función. Observa que el numerdor no es más que el monomio x dado que el denominador siempre es positivo (ya que es una suma de cuadrados), el signo de la función está determinado por el signo de numerador. Cuando x < 0 el signo de y será negativo y cuando x > 0 el signo de y será positivo, más cuando x = 0, todo el cociente se hace cero:

y = f (0) =

(0) 0 = =0 2 (0) + 1 1

Este último dato nos indica que la gráfica pasa por el origen.

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139

Capítulo 4. Funciones

140 0,6

y

0,4 0,2 x −6

−4

2

−2

4

6

−0,2 −0,4 −0,6 ■ ■

Ejemplo 4.21 Determinar el dominio, el rango y obtener la gráfica de la función:

f (x) =

x2 − 5x + 6 x3 − 9x

Solución: Podemos factorizar la función dada para obtener: f (x) =

 − 2) x−2 (x − 3)(x (x − 3)(x − 2)  =  + 3) = x(x + 3) 2 x(x − 9) x (x − 3)(x

Asíntotas Verticales: igualamos el denominador a cero: x(x + 3) = 0 ⇒

x = 0 ; x = −3

Asíntota Vertical: es y = 0, ya que el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador. La gráfica intersepta al eje X en el punto (2, 0) y no intersepta al eje Y ya que es este una de las asíntotas verticales. 10 y 8 6 4 2 x −6

−4

−2

−2

2

4

−4 −6 −8 −10 ■

4.3.5

140

Ejercicios propuestos Función Racional I. Encuentre la asíntota diagonal, las asíntotas verticales y trace una gráfi ca de la función

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4.4 Funciones Seccionadas 1. f (x) =

x−4 x+1

2. g(x) =

3x x2 − 1

141 x2 − 5 x+3 1 4. f (x) = (x + 2)2

3. f (x) =

5. h(x) =

x+1 x2 + 4

6. f (x) =

x+5 x2 − 25

II. Encuentre todas las asíntotas horizontales y verticales (si las hay) 1. r(x) = 2. r(x) =

4.4

5 x−5

2x − 3 x2 − 1

3. r(x) =

6x

x2 + 2 x−1

4. r(x) =

x2 + 2

5. r(x) = 6. r(x) =

8x2 + 1 4x2 + 2x − 6 4x + 1 x−2

Funciones Seccionadas Ahora que ya hemos visto y estudiado las funciones lineales y cuadráticas, surge una nueva idea, que tal si combinamos estos dos tipos de funciones en una sola. De esto se encargan las Funciones Seccionadas, que serán el objeto de estudio en este apartado. Este tipo de funciones tambien es conocida como funciones por partes o funciones a trozos, ya que no está determinada por una sóla función como las que se han estudiado previamente; estas están indicadas por dos o más ecuaciones. Una función seccionada puede estar formada por distintos tipos de ecuaciones, a saber, polinomiales, raíz cuadrada o racionales, o sea que no poseen una forma única.

4.4.1

Funciones Seccionadas El siguiente gráfico describe la temperatura T del agua, que siendo hielo, se echa en una cazuela y se pone al fuego hasta que lleva un rato hirviendo, es una funciòn seccionada. 4 3 2 1 −6

−4

−2

2

4

6

−1 −2 −3 −4

Antes de continuar con más ejemplos se dará una definición de Función Seccionada. Definición 4.4.1 Una función definida por dos o más ecuaciones en un dominio especificado,

recibe el nombre de Función Seccionada. Un ejemplo de una Función Seccionada es la función valor absoluto, como es sabido el valor absoluto toma el valor positivo de un número. Esto se define de la siguiente manera: f (x) = |x| =

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x sí x ≥ 0 −x sí x < 0

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141

Capítulo 4. Funciones

142 4.4.2

Gráficas de Funciones Seccionadas Para graficar una Función Seccionada, se debe analizar una a una cada ecuación que conforma la función “general”, el estudiante deberá recordar las técnicas usadas anteriormente para graficar funciones, pues la idea es exactamente la misma. Ejercicio 4.5 Trace la gráfica de la función que esta dada por la ecuación:

f (x) =



x 1

sí sí

x≤0 x>0 ■

Solución: La primera ecuación es la función identidad (estudiada en temas anteriores). Tomamos en cuenta el hecho de que está definida para x ≤ 0, o sea sólo toma valores negativos inclusive el cero. Así que no le podemos dar valores mayores que cero. 8 y 6 4 2 x −6

−4

−2

2

4

6

−2 −4 −6 −8

La segunda ecuación es una función constante, su comportamiento es el de una recta paralela al eje X o perpendicular al eje Y . Dicha recta intersecta al eje Y en el punto (0,1). 6 y 4 2 x −6

−4

2

−2

4

6

−2 −4 −6

Ahora que se han analizado por separado cada ecuación, procedemos a graficar ambas en el mismo plano, así tenemos como resultado la gráfica de la función dada.

142

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4.4 Funciones Seccionadas

143 6 y 4 2 x

−6

−4

2

−2

4

6

−2 −4 −6

Ejercicio 4.6 Construya la gráfica de la siguiente función:

g(x) =



3x + 1 x2 − 4

sí sí

x≤1 x>1 ■

Solución: Hacemos un análisis similar al anterior. Notemos que la primera ecuación no es más que una ecuación lineal (o de primer grado) que toma valores menores o iguales que 1. Luego, la segunda ecuación es una ecuación cuadrática (o de segundo grado), estas ecuciones (cuadráticas) tienen forma de parábola, en este caso es un parábola abierta hacia arriba ya que el coeficiente del término cuadrático x2 , es positivo. Una buena idea para graficar estas funciones es hacer una tabla de valores para analizar más claramente su comportamiento. 1. Sea g(x) = 3x + 1. Hacemos la tabla para x ≤ 1 x g(x)

-1 -2

0 1

1 4

Cuando x = 1 y g(1) = 4, se tiene el punto P(1, 4) este es un punto cerrado. 2. Para g(x) = x2 − 4 con valores de x > 1, se tiene: 1∗ -3

x g(x)

2 0

3 5

4 12

10 y 8 6 4 2 x −6

−4

−2

2

4

6

−2 −4 −6 −8 −10

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143

Capítulo 4. Funciones

144 4.4.3

Dominio y Rango de Funciones Seccionadas Un dato sumamente importante en el análisis del comportamiento de cualquier función, es determinar el dominio y el rango de estas. Para el caso de las Funciones Seccionadas, el dominio está dado por la unión de los dominios de cada una de las ecuaciones que la conforman y con el rango sucede exactamente la misma situación. Ejercicio 4.7 Grafique la siguiente función y además determine su dominio y rango.

 x+1  f (x) = x2 − 2x + 1  4

sí x ≤ 0 sí 0 < x ≤ 3 sí x > 3 ■

Solución: La primer función es la recta descrita por f (x) = x + 1, para valores menores e iguales que cero. La segunda función es el trozo de la parábola descrita por la función cuadrática f (x) = x2 − 2x + 1, para valores mayores que cero y menores o iguales que 3. Por último, la tercera es la función constante f (x) = 4, para valores mayores a 3. 8 y 6 4 2 x −6

−4

−2

2

4

6

−2 −4 −6 −8

Se le recomienda al lector hacer los cálculos en la tabla de valores, siguiendo el ejemplo anterior. ¡Muy bien! ahora analicemos el dominio y el rango de la función f (x) dada. Este análisis lo haremos por partes: 1. Prestemos nuestra atención en el caso cuando f (x) = x + 1, debido a que este trozo de la función toma valores menores que cero y f (0) = 1, se tiene que: D f = (−∞, 0]

y

R f = (−∞, 1]

2. Cuando f (x) = x2 −2x+1, toma valores mayores que cero y menores o igual que tres, además f (3) = 4 (verifique) y f (x) tiene un mínimo en x = 1 y f (1) = 0 (verifique). Entonces en este caso: D f = (0, 3] y R f = (0, 4]

144

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4.4 Funciones Seccionadas

145

3. Por último, cuándo f (x) = 4 toma valores mayores a 3 y se mantiene constante en todo su rango, así que en este caso: D f = (3, +∞)

y

Rf = 4

Luego: Por otro lado:

D f = (−∞, 0] ∪ (0, 3] ∪ (3, +∞) = (−∞, +∞) R f = (−∞, 1] ∪ (0, 4] ∪ 4 = (−∞, 4]

■

Ejemplo 4.22 Grafique y determine el dominio y rango de la siguiente función definida a trozos:

f (x) =



2x + 4 4 − 2x

sí sí

x>0 x 0, se tiene f (x) = 2x + 4: x f (x)

0 4

1 6

2 8

-1 6

-2 8

3 10

Se le recomienda al lector hacer los cálculos. Para x < 0, se tiene f (x) = 4 − 2x: x f (x)

0 4

-3 10

Se le recomienda al lector hacer los cálculos. Así la gráfica resultante es la siguiente: 14 y 12 10 8 6 4 2 x −6

−4

−2

2

4

6

−2

Para determinar el dominio y el rango, basta con observar que ambas ecuaciones toman valores a la derecha y a la izquierda del cero sin incluirlo y la imagen mínima de cada una es 4 y crecen hasta el infinito, así se tiene: D f = R − {0} ó (−∞, 0) ∪ (0, +∞) y además: R f = (4, +∞) ■

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145

Capítulo 4. Funciones

146 4.4.4

Ejercicios propuestos Función Seccionada

Traza la gráfica de las siguientes funciones y tambien determina el dominio y el rango.  x + 1 sí x ≥ 0 f (x) = x − 1 sí x < 0  2x − 1 sí x ≤ 0 f (x) = 2 x − 1 sí x > 0  3 sí x ≥ 1 f (x) = x sí x < 1  sí x ≤ −3  −2 −3 < x < 3 f (x) = 4 − x2 sí  2 sí x≥3  x sí 0 ≤ x < 2 f (x) = −x + 4 sí 2 ≤ x ≤ 4

1. 2. 3.

4.

5.

4.5

6. f (x) =



7. f (x) =



1 sí x ≥ 3 0 sí x < −3

−x2 sí x < 0 x2 sí x ≥ 0

  2 − x sí x < −1 8. f (x) = 3 sí − 1 < x < 2  x + 1 sí x ≥ 2

 5 sí x < −2  9. f (x) = x2 + 1 sí − 2 < x ≤ 2  2x + 1 sí x > 2

Función Exponencial 1. Si a > 0, entonces la función exponencial f con base a se define como f (x) = ax , donde x es cualquier número real.

Definición 4.5.1 — Función exponencial base “a”.

2. Si a > 1, entonces f (x) = ax es creciente en todo R; si 0 < a < 1, entonces la función es decreciente en R. ■

Ejemplo 4.23 Represente gráficamente las siguientes funciones f (x) = 2x .

Solución: La siguiente tabla muestra las coordenadas de varios puntos de las gráficas. x y=

2x

-3 1 8

-2 1 4

-1 1 2

0

1

2

3

1

2

4

8

 x 1 ■ Ejemplo 4.24 Represente gráficamente las siguientes funciones g(x) = 2

■

Solución: La siguiente tabla muestra las coordenadas de varios puntos de las gráficas. x  1 x g(x) = 2

-3

-2

-1

0

8

4

2

1

1 1 2

2 1 4

3 1 8 ■

En ambos casos el dominio de las funciones son los números reales, y su contradominio es el conjunto de los números reales positivos. Además, el eje x es una asíntota horizontal para las gráficas.

146

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4.5 Función Exponencial 9

147

y

 x 1 g(x) = 2

f (x) = 2x

(−3, 8)

(4, 8)

8 7

7

6

6 5 (−2, 4)

(2, 4)

4 3

-4

-3

(−1, 2)

(1, 2)

0

-1

1

2

3

5x

4

-5

-4

-3

-2

(3, 18 ) 0

-1

-1

■

2

(0, 1) 1

1 (0, 1)

-2

4 3

2

-5

y

8

5

(−3, 18 )

9

1

2

3

4

5x

-1

Ejemplo 4.25 Represente gráficamente las siguientes funciones.

a) f (x) = 1 + 2x

b) g(x) = 2(3−x)

Solución: a) f (x) = 1 + 2x si x = −3 entonces f (−3) = 1 + 2−3 = 1 +

1 1 9 = 1+ = 23 8 8

si x = −2 entonces f (−2) = 1 + 2−2 = 1 +

1 1 = 1 + = 1 + 0,25 = 1,25 2 2 4

si x = −1 entonces f (−2) = 1 + 2−1 = 1 +

1 1 = 1 + = 1 + 0,5 = 1,5 1 2 2

si x = 0 entonces f (0) = 1 + 20 = 1 + 1 = 2 si x = 1 entonces f (1) = 1 + 21 = 1 + 2 = 3 si x = 2 entonces f (2) = 1 + 22 = 1 + 4 = 5 si x = 3 entonces f (3) = 1 + 23 = 1 + 8 = 9 la siguiente tabla muestra las coordenadas de varios puntos de las graficas. x y = 1 + 2x

-3 9 8

-2 5 4

-1 3 2

0

1

2

3

2

3

5

9

Solución: b) g(x) = 2(3−x) si x = −3 entonces g(−3) = 2(3−(−3)) = 2(3+3) = 26 = 64 si x = −2 entonces g(−2) = 2(3−(−2)) = 2(3+2) = 25 = 32 si x = −1 entonces g(−1) = 2(3−(−1)) = 2(3+1) = 24 = 16

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147

Capítulo 4. Funciones

148 si x = 0 entonces g(0) = 2(3−0) = 23 = 8 si x = 1 entonces g(1) = 2(3−1) = 22 = 4 si x = 2 entonces g(2) = 2(3−2) = 21 = 2 si x = 3 entonces g(3) = 2(3−3) = 20 = 1

La siguiente tabla muestra las coordenadas de varios puntos de las gráficas. x y = 23−x

-3 64

-2 32

-1 16

0 8

1 4

2 2

3 1

En ambos casos el dominio de las funciones son los números reales, y su contradominio es el conjunto de los números reales positivos. Además, el eje x es una asíntota horizontal para las gráficas. 18

y

9

g(x) = 23−x (−1, 16) 16

8

14

7

12

6

10

5

8 (0, 8)

4

6

3 (1, 4)

4

0

-2

(2, 5)

(1, 3)

1 (3, 1)

-4

f (x) = 1 + 2x

2 (0, 2)

(−2, 54 )

2

-6

y

2

4

x 6

8

-5

10

-4

-3

-2

0

-1

1

2

3

4

5x

-1

-2

■ ■

Ejemplo 4.26 — Crecimiento de bacterias. Resuelva los siguientes problemas

1. El número de bacterias presentes en un cultivo después de t minutos es N(t) = 300 a) ¿Cuántas bacterias están presentes al inicio?

 4 t 3

.

Solución: Se desea determinar N(t) cuando t = 0, entonces: N(t = 0) = 300

 0 4 = 300(1) = 300 3

Al inicio hay 300 bacterias en el cultivo.

148

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4.5 Función Exponencial

149

b) En forma aproximada, ¿cuántas bacterias están presentes después de 3 minutos? Solución: Sustituyendo t = 3 en la función N(t), se tiene

N(t = 3) = 300

 3   4 19200 64 = = 711,1111111 ≈ 711 = 300 3 27 27

Después de 3 minutos, hay al menos 711 bacterias en el cultivo.

■

Ejercicio 4.8 Cien renos, cada uno de ellos de 1 año de edad, se introducen en una reserva de

caza. El número N(t) de animales vivos después de t años se pronostica que es N(t) = 100(0,9)t . Estime el número de animales vivos después de 5 años. Sol. 59 renos. ■ ■ Ejemplo 4.27 — Publicidad. Una compañía encuentra que la cantidad de dólares y que debe gastar semanalmente en publicidad para vender x unidades de su producto está dada por



400 y = 200 ln 500 − x



a) Calcule el gasto publicitario que se necesita para vender 300 unidades. Solución: El gasto de publicidad se encuentra sustituyendo x = 300 en la función y, es esto es:  400 500 − 300   400 = 200 ln = 200 ln(2) = 200(0,6931471806) = 138,6294361 ≈ 138,63 200

y = 200 ln



Para vender 300 unidades, la compañía debe invertir semanalmente 138.63 dólares. ■

4.5.1

Función Exponencial Natural Uno de los números más útiles como base de una función exponencial es el número irracional denotado por la letra e, en honor al matemático suizo Leonardo Euler (1707-1783): e = 2,71828 . . .. La función exponencial con base e se conoce como función exponencial natural. El número e surge de manera natural en cálculo, análisis económico y problemas que implican crecimiento o decaimiento naturales, como estudios poblacionales, interés compuesto y decaimiento radiactivo. Definición 4.5.2 — . La función exponencial natural f está definida por f (x) = ex , para todo

número real x. La gráfica de y = ex es creciente si x > 0 [Figura 4.5 (a)] y decreciente si x < 0 [Figura 4.5 (b)].

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149

Capítulo 4. Funciones

150 9

y

9 f (x) = e−x

8

y

f (x) = ex

8

(2,7.39)

-5

-4

-3

-2

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

-1

1

2

3

5x

4

-5

-4

-3

-2

(0,1)

0

-1

-1

(1,2.72)

1

2

3

4

5x

-1

(a) f (x) = ex , x < 0

(b) f (x) = ex , x > 0

Figura 4.5: Función exponencial base e ■

Ejemplo 4.28 Represente gráficamente la siguiente función: f (x) = ex−1 .

Solución: La siguiente tabla es de las coordenadas de varios puntos de la función f (x) = ex−1

x y = ex−1

-3 0.018

-2 0.049

-1 0.135

0 0.367

1 1

2 2.718

y

3 7.389

f (x) = ex−1

12

10

8

(3,7.39)

6

4

2 (-2,0.05) -6

-4

(0,0.37) 0

-2

2

x 4

6

8

10

-2

■ ■

150

Ejemplo 4.29 Represente gráficamente la siguiente función: f (x) =

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3e−x .

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4.5 Función Exponencial

151

Solución: La siguiente tabla es de las coordenadas de varios puntos de la función f (x) = 3e−x x f (x) = 3e−x

-3 60.256

-2 22.167

-1 8.154

(-2,22.17) f (x) = 3e−x

0 3

22

1 1.103

2 0.406

3 0.149

y

20 18 16 14 12 10

(-1,8.15) 8 6 4 2 -6

-4

(1,1.1) 0

-2

2

(3,0.15) 4

6

8

x

-2 ■

4.5.2

Función logarítmica base b Definición 4.5.3 — Función logarítmica base b. La función logarítmica con base b > 0,

b ̸= 1, se define por y = logb x si y sólo si x = by . El dominio de la función y = logb x es el conjunto de los números reales positivos (0, +∞) = R+ y el rango es el conjunto de los números reales R.

La gráfica de una función logarítmica es creciente si la base b > 1 [Figura 4.6 (a)] y decreciente si 0 < b < 1 [Figura 4.6 (b)]. y

y

3

3

2

2

1

1 x 1

2

3

4

5

6

x

7

1

-1

-1

-2

-2

-3

-3

(a) y = logb x, b > 1

2

3

4

5

6

7

(b) y = logb x, 0 < b < 1

Figura 4.6: Función logarítmica base b

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151

Capítulo 4. Funciones

152

A toda función logarítmica se le denomina inversa de su correspondiente función exponencial. La siguiente tabla suministra varios ejemplos específicos de la equivalencia entre la forma logarítmica y la exponencial. Función logarítmica logb x = y

Función exponencial x = by

log5 25 = 2

25 = 52

log27 9 =

2 3

9 = 272/3 1 = 6−2 36

log6 1/36 = −2

El dominio de una función logarítmica es el intervalo (0, +∞), esto es, no existe logaritmo de números negativos ni del cero. El logaritmo de 1 es 0, que corresponde a la intersección x (1, 0). Los logaritmos de base 10 son llamados logaritmos comunes, los que se usaban con frecuencia para propósitos de cómputo antes de la época de las calculadoras. En general, de la notación se omite el subíndice 10: log10 x = log x. Propiedades 4.5.1 — Propiedades de la función logarítmica..

Si a ∈ R, a > 0, a ̸= 1 y “U” y “V ” ∈ R+ , entonces: ❶ loga (U.V ) = loga U + loga V ❷ loga U n = n loga U, n ⊂ R   U = loga U − loga V ❸ loga V ❹ loga a = 1 ❺ loga 1 = 0 ❻ loga b = ■

logc b , (b, c ∈ R+ y c ̸= 1) logc a

Ejemplo 4.30 Determine si las gráficas son crecientes o decrecientes: 1) f (x) = log2 x y 2)

f (x) = log1/3 x.

Solución: 1) f (x) = log2 x. Usando la definición f (x) = y = loga x ⇐⇒ ay = x, vemos que a = 2, por lo tanto (2)y = x o bien x = (2)y . Como x toma valores en el intervalo (0, +∞), la siguiente tabla muestra algunos puntos de la gráfica. si y = −2 entonces x = (2)(−2) = si y = −1 entonces x = (2)−1 =

1 1 = = 0,25 22 4

1 = 0,5 2

si y = 0 entonces x = (2)0 = 1

152

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4.5 Función Exponencial

153

si y = 1 entonces x = (2)1 = 2

si y = 2 entonces x = (2)2 = 4

Como la base de la función es a = 2, el valor es mayor que 1, entonces la gráfica de la función es creciente.

x

1/4

1/2

1

2

4

f (x) = log2 x

-2

-1

0

1

2

6

y

4

f (x) = log2 x ,2)

(4

(1,

0)

(2

,1)

2

-4

0

-2 -2

2 (0.5,-1)

4

8 x

6

(0.25,-2)

-4

-6

Solución: 2) f (x) = log1/3 x. Usando la definición f (x) = y = loga x ⇐⇒ ay = x, vemos que  y  y 1 1 a = 1/3, por lo tanto = x o bien x = . La siguiente tabla muestra algunos puntos de la 3 3 gráfica.

x

1/9

1/3

1

3

9

f (x) = log1/3 x

2

1

0

-1

-2

Como la base de la función es 1/3 y este valor está comprendido en el intervalo (0, 1), entonces la gráfica de la función es decreciente.

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153

Capítulo 4. Funciones f (x) = log1/3 x

154

-2

-1

4

y

3 2 (0.11,2) 1

-1

(0.3,1) (1,0) 0 1

x 2

-2

3

4

5

6

7

8

9

(3,-1)

-3

■

■

Ejemplo 4.31 Trace la gráfica de f (x) = log2 (x − 3) y determine su dominio y rango.

Solución: si x − 3 > 0, y resolvemos la desigualdad entonces el dominio de la función es (3, +∞). Tomando algunos valores del dominio, tenemos: a = 2,entonces, 2y = x − 3 ⇒ x = 2y + 3 7 1 si y = −1 entonces x = 2−1 + 3 + 3 = 3,5 2 2

si y = 0 entonces x = 20 + 3 = 1 + 3 = 4

si y = 1 entonces x = 21 + 3 = 2 + 3 = 5

si y = 2 entonces x = 22 + 3 = 4 + 3 = 7

Observemos que el rango de la función es todos los números reales.

154

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x

3.5

4

5

7

y

-1

0

1

2

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4.6 Función Logarítmo Natural

155

y 2

f

3) (x − og 2 l = (7,2) (x)

(5,1) (4,0) -1

0

2

4

6

10 x

8

(3.5,-1) -2

-4

■

Ejercicio 4.9 Determine dominio, rango y grafique

1. f (x) = log2 x

3. f (x) = log5 x

2. f (x) = log2 (x + 3)

4. f (x) = log2 x + 3 ■

4.6

Función Logarítmo Natural La función logarítmica base e es muy importante en el cálculo y se conocen como función logaritmo natural o función logaritmo neperiano que corresponde a la inversa de la función exponencial natural y = ex . Para denotar un logaritmo natural se usa la notación “ln” que se lee: ele ene. Definición 4.6.1 — . ln x = loge x para toda x > 0. El dominio de la función logaritmo natural

es el conjunto de los números reales positivos R+ y el rango es R.

Para aproximar el valor de un logaritmo natural se usa directamente la calculadora, a través de la tecla ln . Propiedades 4.6.1 — Propiedades de la función logarítmica natural.

❶ ln e = 1 ❷ eln x = x ❸ ln ex = x ❹ ln 1 = 0 ■

Ejemplo 4.32 Trace la gráfica de f (x) = ln(x − 2) Determine su dominio y rango.

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155

Capítulo 4. Funciones

156 y

f (x) = ln(x − 2)

2 (4,0.69)

(6,1.38)

(3,0) 0

-2

2

4 (2.5,-0.69)

6

8

x

(2.2,-1.61) -2

-4

Figura 4.7: f (x) = ln(x − 2) ■

Ejercicio 4.10 Determine dominio, rango y grafique

1. f (x) = 2 + ln(x − 1)

4. f (x) = ln x + 2

2. f (x) = ln(x + 3)

5. f (x) = 3 ln x

3. f (x) = ln(x − 3) + 2

6. f (x) = 5 ln x ■

4.6.1

Aplicaciones de Funciones Logarítmicas ■

Ejemplo 4.33 — Crecimiento de Cultivo. Una función exponencial W tal que W = w0 ekt para

k > 0 describe el primer mes de crecimiento de cultivos como maíz, algodón y frijol de soya. El valor de la función W (t) es el peso total en miligramos, w0 es el peso en el día que emergen y t es el tiempo en días. Si para una especie de frijol de soya, k = 0,2 y w0 = 68 mg, prediga el peso al término de 30 días. Solución: El peso se estima sustituyendo t = 30, w0 = 68 y k = 0,2 en W = w0 ekt , obteniendo: W = 68e0,2t = 68e0,2(30) = 68e6 = 68(403,4287935) ≈ 27, 433 Rta. El peso total para la especie de frijol de soya es aproximadamente de 27, 433 miligramos. 4.6.2

■

Aplicaciones en funciones exponenciales Ejemplo 4.34 — Crecimiento Poblacional. En 1966 la Comisión Internacional Contra la Captura de Ballenas protegió a la población mundial de ballena azul contra los barcos balleneros. En 1978 se pensaba que la población en el hemisferio sur era de 5000. Ahora sin depredadores y con abastecimiento abundante de alimentos, se espera que la población crezca exponencialmente de acuerdo con la fórmula N(t) = 5000e0,047t , en la que t está dado en años. ■

156

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4.6 Función Logarítmo Natural

157

Solución: a) Calculamos la población en el año 2000.t = 2000 − 19780 = 22 años N(22) = 5000e(0,047)(22) = (5000)(e1,034 ) = (5000)(2,8123) = 14, 061 ballenas b) Pronostica la población en el año 2007.t = 2007 − 19780 = 29 años N(29) = 5000e(0,047)(29) = (5000)(e1,363 ) = (5000)(3,9078) = 19, 539 ballenas c) Siguiendo el modelo creado y asumiendo que 0 % de natalidad y 1978 como año cero (t = 0), ¿cuándo se duplicará la cantidad de ballenas azules?

10000 = (5000)e0,047t =⇒

10000 = e0,047t 5000

2 = e0,047t aplicando ln(logaritmo natural) a ambos lados queda ln2 = lne0,047t =⇒ ln2 = 0,047t =⇒ t =

ln2 ≊ 15 años. 0,047

Rta. En el año 1993 había el doble de ballenas que en el año 1978.

■

■ Ejemplo 4.35 — Tiempo. La cantidad de madera que produce un bosque joven crece de manera exponencial y se pude aproximar mediante la fórmula V (t) = Vi (1 + 0,035)t , donde t es el tiempo en años y Vi el volumen inicial de madera. Se puede suponer que en un año crece a razón del 3.5 %. Si se mantiene la razón de crecimiento del 3.5 % por un largo período, ¿Cuánto tiempo es necesario esperar para que se duplique la cantidad de madera del bosque?

Solución: si V (t) = 2Vi , entonces 2Vi = Vi (1 + 0,035)t , despejando resulta 2Vi = (1,035)t simplificando Vi , se obtiene Vi 2 = (1,035)t aplicamos logaritmo natural a ambos lados ln2 = ln(1,035)t ln2 = tln(1,035) ln2 = 20,1488 ≈ 20años. t = ln(1,035) Rta. Es necesario esperar 20 años para que la cantidad de madera se duplique.

■

■ Ejemplo 4.36 — Medicina. Se administra 50 miligramos de cierto medicamento a un paciente. La cantidad de miligramos restantes en el torrente sanguíneo del paciente disminuye la tercera parte cada 5 horas. La fórmula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el   t mg 2 5 torrente sanguíneo del paciente es: f (t) = 50 3

a) ¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo después de 3 horas? b) ¿Después de cuánto tiempo quedará solo 1 miligramo del medicamento en el torrente sanguíneo del paciente?

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157

Capítulo 4. Funciones

158

  3 mg 2 5 Solución: a) En la hora t = 3 el paciente tiene f (3) = 50 ≊ 39,2026 mg 3 b) Para que quede solo 1 miligramo (mg) de medicamento en el organismo del paciente hay que resolver la ecuación en donde el valor a sustituir es el de “y” o f (t). f (t) = 1  t 2 5 50 = 1 3  t 1 2 5 = 3 50 Aplicando logaritmo natural a ambos lados:  t 2 5 ln 3  t 2 5 ln 3



1 = ln 50



= ln(50−1 )

Aplicando propiedades de los logaritmos   t 2 = (−1)ln(50) ln 5 3 t −ln(50)   = 2 5 ln 3 −5ln(50)   t = 2 ln 3 t ≊ 48,2412horas ■ ■

Ejemplo 4.37 — Intensidad del Sonido. El oído es sensible a una gama extremadamente

watts amplia de intensidades de sonido. Tomamos como referencia la intensidad I0 = (10)−12 2 a una m frecuencia de 1000 Hertz, lo que mide un sonido que es apenas audible (el umbral de la audición) La sensación psicológica del volumen sonoro varía según el logaritmo de la intensidad (ley de Weber - Fechner) y por lo tanto el nivel de intensidad, medido en decibeles (dB), se define como: β = 10log

I I0

El nivel de intensidad del sonido de referencia apenas audible es: β = 10log

158

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I = 10log1 = 0 I0

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4.6 Función Logarítmo Natural

159

Determine el nivel de intensidad en decibeles de un motor jet durante el despegue, si la intensidad watts watts que se midió fue de 100 2 = 102 2 . m m De la definición del nivel de intensidad, vemos que I = 102 y que I0 = 10−12 : I Sustituyendo en la ecuación β = 10log I0   I 102 β = 10log = 10log I0 10−12 aplicamos las propiedades de los logaritmos      I β = 10log = 10 log 102 − log 10−12 I0 I β = 10log = 10 [2log (10) + 12log (10)] I0 β = 10 [14log(10)] β

= (14)(10)(log10)

β

= (140)(1)

β

= 140dB

Rta. El nivel de intensidad es de 140 dB.

■

■ Ejemplo 4.38 — Sismo. Según la Escala de Ritcher, la magnitud de un sismo de intensidad I puede evaluarse mediante la fórmula:M = log(I/I0 ) en la que I0 , es cierta intensidad mínima. Encuentre la magnitud de un sismo suponiendo que es 1,000 veces la intensidad mínima (I = 1, 000I0 )

Solución: M = log(I/I0 ), como I = 1, 000I0 , entonces   1000I0 M = log I0 M = log(1, 000) M = log(10)3 De acuerdo a las propiedades logaritmo base 10 de 10 es igual a uno (log10 = 1). M = 3log10 M = 3(1) = 3 M = 3 Rta. El temblor fue de magnitud 3 en la escala Ritcher.

■

■ Ejemplo 4.39 — Energía. La energía E (en ergs) liberada durante un terremoto de magnitud R está dada por la fórmula logE =1.4 + (1.5)R. Calcule la energía liberada por un terremoto de 8.4 en la escala Ritcher.

Solución: La fórmula para calcular la energía eslogE=1.4+(1.5)R, al reemplar R, resulta logE = 1,4 + (1,5)(8,4) logE = 14 Expresando en la forma exponencial E = 1014 Rta. La energía liberada fue de 1014 ergs. ■

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159

Capítulo 4. Funciones

160 4.6.3

Ejercicios propuestos de Función exponencial I. Grafique cada función, determine el dominio y recorrido 1. f (x) = 4x

5. f (x) = 2x−1

2. f (x) = 3x

6. f (x) = 2x − 1

10. f (x) =

7. f (x) = 3x−1 − 1

11. f (x) =

3. f (x) = 3(2)x 4. f (x) =

3x+2

8. f (x) =

2−x

II. Resolver los siguientes problemas 1. Telica tenía en 2019 una población de 22,800 habitantes y su tasa de crecimiento anual es de 5 %. El Jicaral en ese mismo año tenía una población de 11,800 habitantes y su tasa de crecimiento es del 2.5 % anual. Considerando que A(t) = A0 (1 + r)t representa el número de habitantes de una ciudad al cabo de t años, donde A0 es la población inicial y r la razón de crecimiento, conteste: a) ¿Cuántos habitantes tendránTelica y el Jicaral respectivamente, en el año 2,025? b) ¿En qué año Telica tenía 30,000 habitantes aproximadamente? c) ¿En qué año El Jicaral tenía 50,000 habitantes aproximadamente? 2. A una cierta temperatura el número de bacterias en la leche se duplica cada 3 horas. Si comenzamos con 500 bacterias en una botella de leche, después de t horas hay A = 500(2t/3 ) bacterias en la leche. ¿Cuántas bacterias habrán después de 12 horas? 3. Si la tasa anual de inflación promedia el 2 % durante los próximos 10 años, los costos aproximados de los bienes o servicios durante cualquier año de esa década se modelarán según C(t) = P(1,02)t dónde t es el tiempo en años y P es el costo presente. El precio de una libra de pinolillo es actualmente de C$50.00. Estime el precio dentro de 10 años.

160

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9. f (x) =

1 5



3x/2  1 x 3



 1 x

12. f (x) = 2

4

 1 x 4

4. (Crecimiento Poblacional) la población de cierta nación en desarrollo se determinóque está dada por medio de la formula p = 15 ∗ e0,02t donde t es el número de años medidos a partir de 1960. determine la ‘población de 1980 y la población proyectada en 2000 suponiendo que esta fórmula continua cumpliéndose hasta entonces. 5. Por medio de un examen a su competidores, una compañía manufacturera concluye que el número N de sus empleados aumente exponencialmente con su volumen de ventas semanales x de acuerdo con la formula N = 100e0,02x ¿Cuál debe ser el volumen de ventas semanales para que el número de empleados aumente a 500? 6. La población proyectada de una ciudad está dada por P = 125, 000(1,11)t/20 , donde t es el número de años a partir de 1995. ¿Cuál es la población estimada para el año 2021? 7. Para cierta ciudad, la población P crece a una tasa de 2 % por año. La fórmula P = 1, 000, 000(1,02)t , calcular la población dentro de 3 años. 8. Cuando cierta droga médica se administra a un paciente, el número de miligramos restante en el torrente sanguíneo del paciente después de t horas se modela con D(t) = 50e−0,2t ¿Cuántos miligramos de la droga quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas?

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4.6 Función Logarítmo Natural 9. Una sustancia radiactiva se desintegra en forma tal que la cantidad de masa restante después de t días está dada por la función m(t) = 13e − 0,015t

donde m(t) se mide en kilogramos. a) Encuentre la masa en el tiempo t = 0 b) ¿Cuánto de la masa resta después de 45 días? 10. Una paracaidista salta desde una altura razonable sobre el suelo. La resistencia del aire que experimenta es proporcional a la velocidad de ella, y la constante de proporcionalidad es 0,2. Se puede demostrar que la velocidad hacia abajo de la paracaidista en el tiempo t está dada por   v(t) = 80 1 − e−0,2t donde t se mide en segundos y v(t) se mide en pies por segundo. a) Encuentre la velocidad inicial de la paracaidista. b) Encuentre la velocidad después de 5 s y después de 10 s. 11. Un barril de 50 galones se llena por completo de agua pura y, a continuación, se le bombea agua salada con concentración de 0,3 lb/gal al barril, y la mezcla resultante se derrama con la misma rapidez. La cantidad de sal en el barril en el tiempo t está dada por   Q(t) = 15 1 − e−0,04t donde t se mide en minutos y Q(t) se mide en libras.

a) ¿Cuánta sal hay en el barril después de 5 minutos? b) ¿Cuánta sal hay en el barril después de 10 minutos? 12. La población de cierta especie de aves está limitada por el tipo de hábitat requerido para anidar. La población se comporta de acuerdo con el modelo logístico de crecimiento siguiente 5600 n(t) = 0,5 + 27,5e−0,044t

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161 donde t se mide en años. Encuentre la población inicial de aves. 13. La tasa de crecimiento relativa de la población mundial ha estado disminuyendo continuamente en años recientes. Con base en esto, algunos modelos de población predicen que la población mundial se estabilizará por último en un nivel que el planeta pueda sostener. Uno de estos modelos logísticos es P(t) =

73,2 6,1 + 5,9e−0,02t

donde t = 0 es el año 2000 y la población se mide en miles de millones. ¿Qué población mundial predice este modelo para el año 2025?, ¿y para el año 2030? 14. Para cierto tipo de árboles, el diámetro D (en pies) depende de la edad t del árbol (en años) de acuerdo con el modelo de crecimiento logístico siguiente: D(t) =

5,4 1 + 2,9e−0,01t

Encuentre el diámetro de un árbol de 20 años de edad. 15. Las poblaciones de animales no son capaces de crecimiento no restringido debido a que el hábitat y la disponibilidad de alimentos son limitados. Bajo estas condiciones, la población sigue un modelo de crecimiento logístico: P(t) =

d 1 + ke−ct

donde c, d y k son constantes positivas. Para cierta población de peces de un pequeño estanque, d = 1200, k = 11, c = 0,2 y t se mide en años. Los peces se introdujeron en el estanque en el tiempo t = 0. a) ¿Cuántos peces fueron introducidos originalmente en el estanque? b) Encuentre la población después de 10, 20 y 30 años.

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161

Capítulo 4. Funciones

162 4.6.4

Ejercicios propuestos de Función logarítmica I. Grafique las siguientes funciones, determine el dominio y recorrido. 1. y = log3 x

5. y = log14 x

2. y = log4 2x

6. y = −2 ln x

10. y = log3 (x − 1) − 2

3. y = log2 (x − 4)

7. y = log13 x

4. y = log2 (−x)

8. y = ln(x + 2)

11. g(x) = log3 (x2 − 1)   12. g(x) = ln x − x2

II. Resolver los siguientes problemas. 1. Un espectrofotómetro mide la concentración de una muestra disuelta en agua al hacer brillar una luz a través de ella y registrar la cantidad de luz que emerge. En otras palabras, si sabemos la cantidad de luz que es absorbida, podemos calcular la concentración de la muestra. Para cierta sustancia, la concentración (en moles por litro) se encuentra usando la fórmula   I C = −2500 ln I0

donde I0 es la intensidad de la luz incidente e I es la intensidad de la luz que emerge. Encuentre la concentración de la sustancia si la intensidad I es 70 % de I0 .

2. La edad de un artefacto antiguo puede ser determinada por la cantidad de carbono 14 radiactivo restante en una muestra. Si D0 es la cantidad original de carbono 14 y D es la cantidad restante, entonces la edad A del artefacto (en años) está dada por   D A = −8267 ln D0

Encuentre la edad de un objeto si la cantidad D de carbono 14 que queda en el objeto es 73 % de la cantidad original D0 .

3. Cierta cepa de bacterias se divide cada tres horas. Si una colonia se inicia con 50 bacterias, entonces el tiempo t (en horas) necesario para que la colonia crezca a N bacterias está dado por t =3

162

log(N/50) log 2

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9. y = 1 + ln(−x)

Encuentre el tiempo necesario para que la colonia crezca a un millón de bacterias. 4. La rapidez a la que se carga una batería es más lenta cuanto más cerca está la batería de su carga máxima C0 . El tiempo (en horas) necesario para cargar una batería completamente descargada a una carga C está dado por 

C t = −k ln 1 − C0



donde k es una constante positiva que depende de la batería. Para cierta batería, k = 0,25. Si esta batería está completamente descargada, ¿cuánto tomará cargarla al 90 % de su carga máxima C0 ? 5. La dificultad en “alcanzar un objetivo” (por ejemplo usar el ratón para hacer clic en un icono en la pantalla de la computadora) depende de la distancia a la que está el objetivo y el tamaño de éste. De acuerdo con la Ley de Fitts, el índice de dificultad (ID) está dado por ID =

log(2A/W ) log 2

donde W es el ancho del objetivo y A es la distancia al centro del objetivo. Compare la dificultad de hacer clic en un icono de 5 mm de ancho con hacer clic en uno de 10 mm de ancho. En cada caso, suponga que el ratón está a 100 mm del icono.

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Bibliografía

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BIBLIOGRAFÍA

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