Dosen Pengampu: Fima Ratna Sari, S.Pd

Dosen Pengampu : Fima Ratna Sari, S.Pd.

Dosen Pengampu : Fima Ratna Sari, S.Pd.

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

2

KATA PENGANTAR Assalamualaikum Wr.Wb. Dengan memanjatkan Puji dan Syukur kehadirat Allah SWT atas Rahmat dan Hidayah_Nya yang telah memberi kesehatan, baik kesehatan jasmani maupun kesehatan rohani, sehingga penyusun telah berhasil menyusun “ Modul Kalkulus II” ini. Modul ini tidak akan terselesaikan tanpa bantuan dari pihak lain, maka dari itu penyusun mengucapkan banyak terima kasih kepada Ibu Fima Ratna Sari, S.Pd. yang telah memberi kesempatan dan kepercayaan kepada penyusun untuk menyelesaikan tugas ini. Serta bantuan temanteman Mahasiswa/i Program Studi Teknik Informatika semester II, akhirnya pembuatan tugas ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Penyusun menyadari bahwa dalam modul ini masih banyak kekurangan dan kelemahan

dikarenakan kemampuan penyusun yang

terbatas. Untuk itu, kritik dan saran yang konstruktif sangat kami harapkan dari semua pihak yang membaca. Semoga ini bermanfaat khususnya bagi penyusun sendiri dan bagi para pembaca umumnya serta semoga dapat menjadi bahan pertimbangan untuk mengembangkan ilmu pengetahuan maupun wawasan di masa yang akan datang. Akhir kata, penyusun ucapkan terima kasih.

Wassalamualaikum Wr.Wb. Palembang, 9 Mei 2013

Penyusun Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

3

DAFTAR ISI

COVER ........................................................................................

1

KATA PENGANTAR .................................................................

3

DAFTAR ISI ................................................................................

4

BAB 1.

Vektor ....................................................................

5 - 27

BAB 2.

Fungsi Transenden ...............................................

28 - 40

BAB 3.

Turunan Parsial ....................................................

41 - 76

BAB 4.

Integral Lipat ........................................................ 77 - 106

BAB 5.

Persamaan DIferensial Orde II ........................... 107 - 122

BAB 6.

Fungsi Gamma & Fungsi Beta ............................ 123 - 137

BAB 7.

Deret Tak Hingga ................................................ 138 – 156

REFERENSI ...............................................................................

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

157

4

BAB I VEKTOR 1. Pengertian Vektor Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna. a. Berapa jauh perpindahannya (jarak) b. Ke arah mana perpindahannya. 2. Kesamaan Dua Vektor a. Dua buah vector dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika AB # CD dibaca ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB = CD. b. Panjang dua buah vector yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan. c. Jika dua buah vector yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vector yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain. 3. Vector Nol Suatu vector disebut vector nol apabila panjangnya nol. Arah vector nol tak tentu, misalnya AA, BB,CC, dan semacamnya disebut vector nol. 4. Vector Posisi Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vector OP = P disebut vector posisi dari titik P. 5. Vector Satuan Vector satuan adalah vector yang panjangnya satu satuan. 6. Vector dalam Ruang a. Vector di Ruang R2 Vector dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2 atau R2. b. Vector di R3 Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

5

Vector dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3 atau R3. R3 ditandai dengan tiga buah sumbu yang saling berpotongan.

7. Vector Basis a. Vector Basis di R2 Diberikan titik P (x1, y1). OP merupakan titik terminal/ ujung dari vector posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat. b. Vector Basis di R3 Jika R (x1, y1, z1) adalah sembarang titik dan r adalah vector posisi R, maka komponen –komponen r dapat dinyatakan sebagai: x1 i (searah dengan OX ) y1 j (searah dengan OY ) z1 k ( searah dengan OZ ) 8. Panjang Suatu Vektor Besar vector P , apabila digambarkan akan membentukruas garis berarah dengan panjnag ruas garis yang mewakili besar vector itu. Panjang vector P ditulis dengan P . Contoh Soal : 1. Nyatakan titik berikut dengan vector posisi dalam bentuk komponen vector kolom! a. A (2,3) dan B ( -1,4)

b. P (2,1,4) dan Q (3,2,-5)

Jawab : a. a=

2

b = -1

3

4

b. p = 2

q= 3

1

2

4

-5

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

6

2. Nyatakan vector-vektor a = linear dari i , j ,dan k

2

dan c = -1

3

0

1

3

sebagai kombinasi

Jawab : a =2i

+3j +k

c = -i + 3 k 3. Diketahui p = i

-2j

+2k

dan q = 3 i

+j

- 2 k carilah

a. P b. Q c.

P+Q

d. vector satuan dari p

Jawab : P= 1

q = 3

-2

1

2

-2 = √ 12 + (-2)2 + 22 = √ 1 +4 + 4 = 3

a.

P

b.

Q = √ 32 + 12 + (-2)2 = √ 9 + 1 + 4 = √14

c. Untuk menghitung P + Q , tentukan dulu p +q ;p +q = 1 -2 2

P+Q

3 +

1

4 =

-2

-1 0

= √ 42 + (-1)2 + 02 = √ 16 + 1 = √ 17

d. Vector satuan dari p = p = i P

-2j

+2k 3

= 1 i - 2 j + 2k 3 3 3

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

7

4. Jika v = (1,-3,2) dan w = (4,2,1), maka V + w = (5, -1,3), 2v = (2,-6,4), -w = (-4,-2,-1), V – w = v + (-w) = (-3,-5,1)

OPERASI ALJABAR VEKTOR 1. Penjumlahan vector Diberikan dua vector a dan vector b . vector ketiga yaitu vector c diperoleh dengan menjumlahkan vector a dan vector b . Jadi, c = a + b . vector c dapat ditentukan dengan cara segitiga dan jajargenjang. a. Cara Segitiga b. Cara Jajar Genjang Sifat-sifat Penjumlahan pada Vektor 1. Komutatif 2. Asosiatif 3. Mempunyai elemen identitas, yaitu vector O (vector nol) sebab untuk semua vector a berlaku a + o = o + a = a 4. Lawan suatu vektor 2. Pengurangan vector Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b . misalkan selisih vektor a dengan vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan lawan vektor b. 3. Hasil kali bilangan dengan vektor Hasil kali bilangan real k dengan vektor a

adalah suatu vektor yang

panjangnya k kali panjang vektor a dan arahnya adalah a. Sama dengan arah vektor a jika k> 0 b. Berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0 c. Sama dengan nol jika k = 0

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

8

Sifat-sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka: 1. K (-a ) = - (ka ) = - k a 2. K (l a ) = (kl) a 3. (k + l) a = k a + l a 4. K (a + b ) = k a + k b Contoh soal : 1. ABCD adalah jajar genjang dengan AB = u , AD = v , titik E dan F masing-masing titik tengah DC dan BC. Nyatakan vektor-vektor berikut dalam u dan v a. AE

b. EF

c. AF

Jawab : a. AE = AD + DE =v +1u =1u +v 2 2 b. EF = EC + CF =1u -1v 2 2 c. AF = AB + BF =u+1v 2 2. Diketahui A (1,1), B (4,2), dan C (10,4) tunjukkan titik A,B,dan C segaris (kolinear) dan carilah AB : BC Jawab : AB = b – a =4 - 1 = 3 2 1 1 AC = c – a = 10 4

1 = 9 1

3

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

9

3. Diketahui titik-titik A (-2,5,4), B (2,-1,-1), dan C (p,q,l). jika A,B, dan C segaris, carilah nilai p dan q. Jawab : AB = b – a = 2

-2

-1 - 5 -2 BC = c – b = p

4 = -6

4 2

-6 p-2

q - -1 = q + 1 l

-2

3

karena A,B, dan C segaris maka: AB = m . BC 4

p-2

-6 = m q + 1 , diperoleh m = -2 -6

3

4 = -2 ( p – 2 )

-6 = -2 (q + 1)

4 = -2p + 4

3 =q+1

2p = 0

q=2

P=0 4. Norma vektor v = ( -3,2,1) adalah v = √ (-3)2 + (2)2 + ( 1 )2 = √ 14

RUMUS JARAK Diberikan titik A(x1 + y1 + z1) dengan vektor posisi a = x1 + y2 + z2 ) dengan vektor posisi b

= x2

y1

y2

z1

dan titik B (x2

z2 jarak antara titik A dan B adalah panjang vektor AB, yaitu

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

10

AB AB = b - a

=

x2

x1

x2 - x1

y2

- y1

= y2 - y1

z1

z2 - z1

z2

Rumus Pembagian a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n Misalkan suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m : n sedemikian rupa sehingga AP : PB = M : n b. Rumus Pembagian dalam bentuk Vektor Jika p adalah vektor posisi titik P yang membagi AB perbandingan m : n, P antara A dan B, maka p = mb + na m+n

dengan

contoh Soal : 1. Sebuah pesawat terbang tinggal landas dari bandara Adi Sucipto menuju bandara Soekarno-Hatta. Berapakah jarak yang ditempuh pesawat terbang tersebut bila pesawat tersebut bergerak dari titik x ( 100, 60, 8) km menuju kota Jakarta sebelum mendarat yang berposisi di titik y ( 300,30,18) km ? Jawab : Jarak yang ditempuh pesawat terbang yang tinggal landas menuju Jakarta di hitung dengan rumus jarak: r =  ( x2 – x1 )2 + ( y2 – y1)2 + ( z2 – z1 )2 posisi awal pesawat terbang adalah x ( 100, 60, 8 ) km dengan titik tujuannya adalah y ( 300, 20, 8 ) km. Jadi jarak yang ditempuh pesawat tersebut adalah r =  (300-100)2 + (20-60)2 + (10-8)2 Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

11

=  (200)2 + (40)2 + (2)2 =  40000 + 1600 + 4 =  41604 = 203,97 km 2. Hitung jarak antara titik –titik berikut! a. O (0,0,0) dan P ( 4,4,2)

Jawab : O= 0

P= 4

0

4

0

4

OP = 4

0

4

- 0

4

0

OP = √ ( 4 – 0 )2 + ( 4 – 0 )2 + ( 4 – 0 )2 = √ 16 + 16 + 16 OP = √ 48

3. Tunjukkan bahwa P ( 3.4.-1), Q ( -9,-2,3), dan R ( 9,8,11) adalah titiktitik sudut segitiga sama kaki! Jawab : r

= √ (x2 – x1 )2 + ( y2 – y1)2 + ( z2 – z1 )2

PQ

= √ (-9 – 3 )2 + ( -2 – 4)2 + ( 3 – 1 )2 = √ 144 + 36 + 16 = √196 = 14

PR

= √ (-9 – 3 )2 + ( 8 – 4)2 + ( 11 – 1 )2 = √ 36 + 14 + 144 = √ 196 = 14

QR = √(-9 – 9 )2 + ( 8 – 2)2 + ( 11 – 3 )2 = √324 + 100 + 81 = √506 = 22.49 Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

12

Dari hasil yang diperoleh , dengan menerapkan teorema phytagoras diperoleh PQ2 = 14

PR2 = 14

QR2 = 22,5

Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC, maka segitiga itu adalah sama kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut berlaku teorema phtyagoras yang menyatakan PQ2 + PR2 = QR2. Jadi, segitiga ABC siku-siku di B dan sama kaki

4. Pergunakan rumus p = mb

+na

untuk menyatakan vektor-vektor

posisi dari titik berikut dengan a dan b a. C membagi AB dengan perbandingan 3 : 2 b. D membagi AB dengan perbandingan 3 : -2 Jawab : a. Untuk C, m : n = 3 : 2

b. Untuk D, m : n = 3 : -2

Maka p = mb + na m+n =3b +2a 3+2 =1(3b +2a )

Maka q = mb + na m+n =3b +2a 3–2 =(3b -2a

)

Hasil Kali Skalar Dua Vektor Hasil kali scalar dari vektor a dan b vektor nol dinyatakan dengan a . b

yang masing-masing bukan

( dibaca a dot b ). Perkalian scalar dari

vektor a dan b adalah suatu bilangan real yang didefinisikan oleh: a.b

= a b cos θ

θ adalah sudut antara a dan b, dengan 0 ≤ B ≤ jika a = 0 atau b = 0 maka a . b = 0 dan sudut θ tidak tertentu.

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

13

Bentuk Komponen Perkalian Skalar Misalkan A(a1,a2,a3) dan B (b1,b2,b3), maka: OA = √ AB = √(

)

(

)

(

)

Besar Sudut Antara Dua Vektor Jika dua vektor a dan b bertemu pada satu titik, maka sudut antara dua vektor tersebut adalah sudut yang dibentuk oleh kaki vektor a dan kaki vektor b. sudut yang diambil adalah sudut terkecil.

Sifat-sifat Perkalian Skalar a. Sifat – sifat yang berlaku pada perkalian scalar b. Hal-hal mengenai Perkalian scalar Hal-hal mengenai perkalian scalar yang perlu diketahui adalah sebagai berikut. 1. Tidak tertutup, sebab a . b bukan vektor 2. Tidak mempunyai elemen identitas, sebab a . c = a tidak mungkin 3. Tidak memiliki elemen invers, sebab a . c bukan vektor 4. Tidak asosiatif, sebab a . ( b + c ) dan ( a . b ) . c tidak berarti.

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada vektor lain a. Proyeksi scalar ortogonal Proyeksi scalar ortogonal biasanya disingkat dengan proyeksi scalar saja atau sering dikatakan dengan panjang proyeksi vektor. b. Proyeksi vektor orthogonal Proyeksi vektor OA pada OB adalah OC = c Vektor satuan dari c = c c

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

14

atau c =

c , karena vektor c searah dengan vektor maka vektor

satuan dri b maka vektor satuan dari c adalah juga vektor satuan dari b sehingga OC = c = c vektor satuan dari b =a.b .b =(a.b) b b b jadi, proyeksi vektor orthogonal a pada b adalah c=(a.b) b Perkalian silang dua vektor Perkalian silang vektor a dan b ditulis dengan a x b ( dibaca a kros b ) yang hasilnya adalah merupakan sebuah vektor. Bila c = a x b, harus dipenuhi syarat: 1. c a 2. c b 3. arah putaran dari a ke b menuju c 4.

c = a b sin θ, di mana θ sudut antara a dan b

contoh soal : 1. Jika P pada AB, carilah koordinat P, jika: a. A(-2,-3), B(3,7), dan AP : PB = 3 : 2 b. A(-3,-2,-1), B(0,-5,2), dan AP : PB = 4 : -3 Jawab : a. Titik P membagi di dalam Xp =

=

=1

Yp =

=

=3

Jadi koordinat P( 1,3 )

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

15

b. Titik P membagi di dalam (

Xq = Yq =

)

) (

(

Zq =

)(

(

=

)(

)(

)

)

=9 =

=

= -14 = 12

Jadi koordinat Q (9,-14,12) 2. Carilah a.b jika : a. a = 2i + j + k dan b = 3i + 2j – k b. a = 5i + 4 j dan b = 2i – 2j + 4 k jawab : a. a = ( ) b = (

)

a.b=( ) .(

) = (2)(3)+(1)(2)+(10(-1) = 7

b. a = ( ) b = (

a.b=( ).(

)

)

= (5)(2) + (4)(-2) + (0) (4) = 2

3. carilah besar sudut AOB jika titik pangkal untuk masing-masing soal berikut ini ! a. A(1,0,0) dan B (1,1,0) Jawab : a=( );b=( )

a.b=( ).( )=1 cos  =

=

√(

)(

)

=

√

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

16

 = arc cos ( ) = 120° 4. Jika a = (

) , b = ( ) , dan c = ( ) carilah x bila

a.(b+c)=a.a jawab : a=(

(

) b = ( ) , dan c = ( ) carilah x bila a . (b + c ) = a . a

) . (( ) ( )( )

( ))=(

).( )

(−1)(6) + (1)(x)

−5 + x −x = -5 x=5

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

17

Geometri Dalam Ruang, Vektor 1. Kooordinat Cartesius Dalam Ruang Dimensi Tiga Rumus jarak pandanglah dua titik P1(X1,Y1,Z1) dan (X2,Y2,Z2) dalam ruang dimensi tiga (X1 ≠ X2, Y1 ≠ Y2, Z1 ≠ Z2). Mereka menentukan suatu balok genjang (paralelepipedum), dengan

dan

sebagai titik

sudut yang berlawanan dan dengan sisi-sisi sejajar terhadap sumbusumbu koordinat .Menurut teorema Pythagoras. | P1 P2 |2 = | P1Q|2 + |QP2|2 Dan

| P1Q|2 = |P1R|2 + |RQ|2

Jadi

| P1 P2 |2 = |P1R|2 + |QP2|2 = (X2 – X1)2 + (Y2 – Y1)2 + (Z1 – Z2)2

BOLA DAN PERSAMAANNYA dari rumus jarak ke persamaan sebuah pola merupakan suatu langkah kecil. Dengan sebuah bola, kita maksudkan himpunan titik berjarak konstan dari suatu titik tetap. Kenyataannya, jika(X,Y,Z) pada bola dengan radius r berpusat pada(H,K,L) (x – h)2 + (y – k)2 + (z – l)2 = r2

Ini kita sebut persamaan baku sebuah bola. Dalam bentuk terurai, persamaan dalam kotak tersebut dapat dituliskan sebagai X2 + y2 + z2 + Gx +Hy + Lz + J = 0

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

18

GRAFIK DALAM RUANG DIMENSI TIGA adalah wajar untuk pertama-taman memandang persamaan kuadrat karena hubungannya dengan rumus jarak. Tetapi agaknya suatu persamaan linier yakni, persamaan berbentuk

Ax + By + Cz = D,

A2 + B2 + C2 ≠

Jika suatu bidang memotong ketiga sumbu, yaitu kasus yang akan sering kali terjadi, kita mulai dengan mencari titik-titik potong ini, yakni kita cari perpotongan x,y, dan z. ketiga titik ini menentukan bidang dan memungkinkan kita menggambar jejak, yang berupa garis-garis perpotongan dengan bidang-bidang koordinat. Kemudian dengan sedikit berseni, kita dapat mengasir bidang tersebut.

Contoh 1. gambarkan grafik dari 3x + 4y + 2z =12 Penyelesaian : untuk menemukan perpotongan x, tetapkan y dan z sama dengan nol dan selesaikan untuk x, diperoleh x = 4. Titik yang berpadanan adalah (4,0,0). Secara serupa, perpotongan y dan z adalah (0,3,0) dan (0,0,6). Lalu tarik ruas-ruas garis yang menghubungkan titik-titik ini untuk memperoleh jejak.

Contoh 2 gambarlah grafik persamaan liniear 2x + 3y = 6 Dalam ruang dimensi tiga. Penyelesaian : perpotongan x dan y masing-masing adalah (3,0,0) dan (0,2,0) dan titiktitik ini menentukan jejak di bidang xy. Bidang ini tidak pernah memotong sumbuh z (x dan y keduanya tidak dapat sama dengan nol), sehingga bidang ini adalah sejajar sumbu z. Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

19

2. Vektor dalam ruang dimensi tiga Vector- vector dapat ditambahkan, dikalikan dengan scalar, dan dikurangkan sama seperti pada bidang, dan hukum-hukum aljabar yang dipenuhi sesuai dengan yang telah dipelajari terdahulu. Hasil kali titik dari u = dan v = didefinisikan sebagai

U.V = U1V1 + U2V2 + U3V3 dan mempunyai tafsiran geometri yang telah dinyatakan terdahulu, yakni

U.V = |U||V|cos Ѳ di mana Ѳ adalah sudut antara u dan v. akibatnya, masih tetap benar bahwa dua vector saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil kali titiknya nol.

Contoh 1 cari sudut ABC jika A = (1, -2, 3), B = (2,4,-6), dan C = (5, -3, 2)

Penyelesaian

pertama kita tentukan vector-vektor u dan v (berasal dari

titik asal), setara terhadap BA dan BC. Ini dilakukan dengan cara

mengurangkan koordinat-koordinat titik-titik awal dari titik-titik ujungnya, yakni U = = < -1, -6, 9> V = =

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

20

Contoh 2 nyatakan u = sebagai jumlah suatu vector m yang sejajar v = dan suatu vector n yang tegakan v.

Contoh 3 cari vektor yang panjangnya 5 satuan yang mempunyai α = 32° dan β = 100° sebagai dua dari ketiga sudut arahnya. Penyelesaian pertama kita perhatikan bahwa sudut arah ketiga, y harus memenuhi Cos2 y = 1 - Cos2 32° - 100° = 0,25066 Cos y = ± 0,50066 Dua vektor memenuhi persyaratan soal. Keduanya adalah 5 = 5 = Dan

Bidang satu cara yang mengutungkan untuk melukiskan suatu bidang adalah dengan menggunakan bahasa vektor. Andaikan n= sebuah vektor tak nol tetap dan P1(X1,Y1,Z1) adalah titik tetap. Himpunan semua titik P(X,Y,Z) yang memenuhi P1P.n = 0 adalah bidang yang melalui P1 dan tegak lurus n. karena tiap bidang mengandung sebuah titik dan tegak lurus terhadap suatu vektor, maka tiap bidang dapat dicirikan dengan cara ini. Untuk memperoleh persamaan cartesius dari bidang itu, tulis vektor P1P dalam bentuk komponen yakni, P1 P =

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

21

Maka, P1 P. n = 0 setara terhadap A(x – x1) + B(y – y1) +C(z – z1) = 0 Persamaan ini (di mana paling sedikit salah sat A, B, C, tidak nol) disebut bentuk baku persamaan bidang. Jika tanda kurung kita hilangkan dan disederhanakan, persamaan dalam kotak akan berbentuk persamaan linier umum Ax + By + Cz = D,

A2 + B2 + C2 ≠ 0

3. Hasil kali silang Hasil kali titik dari dua vektor adalah sebuah scalar. Kita telah menggali beberapa penggunaannya pada pasal sebelumnnya. Sekarang kita perkenalkan hasil kali silang(hasil kali vektor atau cross product); ini juga akan banyak penggunaannya. Hasil kali silang u x v untuk u = (U1,U2,U3) dan v = (V1,V2,V3) didefinisikan sebagai U x V = (U2V3 – U3V2, U3V1 – U1V3, U1V2 – U2V1) Teorema A Andaikan u dan v vektor-vektor dalam ruang dimensi tiga dan Ѳ sudut antara mereka maka: 1. u .(u x v) = 0 = v .(u x v) – yakni u x v tegak lurus terhadap u dan v; 2. u, v, dan u x v membentuk suatu system tangan kanan rangkap tiga. 3. |u x v | = |u||v| sin Ѳ.

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

22

Bukti andaikan u = dan v = .

1. u . (u x v) = u1(u2v3 – u3v2) +u2 (u3v1 – u1v3) + u3 (u1v2 – u2v1). pada waktu kita menghilangkan tanda kurang, ke enam suku saling menghapuskan dalam pasangan. Hal yang serupa terjadi pada waktu menguraikan v.(u x v).

2. arti system tangan kana untuk rangkap tiga u, v, u x v diilustrasikan pada gambar. Di sana Ѳ adalah sudut antara u dan v, dan tangan dikepalkan pada arah rotasi melalui Ѳ yang membuat u berimpit dengan v. kelihatannya sukar dikembangkan secara analistis bahwa, rangkap tiga yang ditunjukkan adalah system tangan kanan, tetapi anda boleh memeriksanya dengan sedikit contoh. Perhatikan secara khusus bahwa karena i x j = k, ganda tiga i, j, i xj adalah tangan kanan.

3. Kita memerlukan kesamaan langrange Contoh soal: |u x v|2 = |u|2|v|2 – (u.v)2 |u x v|2 = |u|2|v|2 – (|u||v| cos Ѳ)2 = |u|2|v|2 (1 – cos2 Ѳ) = |u|2|v|2 sin2 Ѳ Karena 0 ≤ Ѳ ≤ , sin Ѳ ≥ 0. Jadi, dengan mengambil akar kuadrat yang utama menghasilkan

|u x v| = |u||v| sin Ѳ

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

23

4. Garis dan kurva dalam ruang dimensi tiga Garis dari semua kurva, yang paling sederhana adalah sebuah garis. Garis ditentukan oleh suatu titik tetap P0 dan suatu vektor v = ai + bj + ck. Garis adalah himpunan semua titik P sedemikian sehingga P0 P adalah sejajar terhadap v – yakni, yang memenuhi

P0 P = tv

Contoh 1 cari persamaan parameter untuk garis yang melalui (3, -2, 4) dan (5, 6, -2)

Penyelesaian sebuah vektor yang sejajar terhadap garis yang diberikan adalah V = (5 – 3, 6 + 2, -2 -4) = (2, 8, -6)

Jika kita pilih (X0, Y0, Z0) sebagai (3, -2, 4), kita peroleh ppersamaan parameter X = 3 + 2t,

y = -2 + 8t,

z = 4 – 6t

Perhatikan bahwa t = 0 menentukan titik (3, -2, 4), sedangkan t =1 memberikan (5, 6, -2). Sebenarnya, 0 ≤ t ≤ 1 berpadanan dengan ruas garis yang menghubungkan kedua titik ini.

Contoh 2 cari persamaan simetri dari garis yang sejajar vektor Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

24

(4, -3, 2) dan melalui (2, 5, -1) Penyelesaian X–2=Y–5=Z+1 4

-3

2

Contoh 3 cari persamaan simetri dari garis potong bidang-bidang 2x – y – 5z = -14 dan 4x + 5y + 4z = 28

Penyelesaian kita mulai dengan pencarian dua titik pada garis. Sebarang dua titik akan memenuhi, tetapi kita pilih untuk mencari titik di mana garis menembus bidang yz dan xz. Yang terlebih dahulu di peroleh dengan menentapkan x = 0 dan menyelesaikan persamaanpersamaan yang dihasilkan –y – 5z = -14 dan 5y + 4z = 28 secara serentak. Ini menghasilkan titik (0,4,2). Prosedur serupa dengan y = 0, memberikan titik (3, 0, 4). Akibatnya, sebuah vektor yang sejajar terhadap garis yang disyaratkan adalah (3 – 0, 0 – 4, 4 – 2) = (3, -4, 2)

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

25

Contoh 4 cari persamaan simterik untuk garis singgung pada kurva ditentukan oleh 2

3

R(t) = ti + t j + t k Di P(2) = (2,2, ) Penyelesaian r’(t) = i + tj + t2k dan r’(2) = i + 2j + 4k sehingga garis singgung mempunyai arah (1, 2, 4). Persamaan simetriknya adalah

x -2 = y – 2 = z -

1

2

4

garis singgung pada kurva r = r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k

5. Kecepatan, percepatan, dan kekurangan Semua yang kita lakukan pada gerak kurvilinear pada bidang dirapatkan secara alamiah ke ruang dimensi tiga. Andaikan. R(t) = f(t)I + g(t)j + h(t)k, a ≤ t ≤ b

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

26

Adalah vektor posisi untuk titik p = p(t) yang menjelajahi kurva selama t bertambah besar. Kita misalkan r’(t) ada dan kotinu dan r’(t) ≠ 0, pada kasus yang demikian kurva itu disebut mulus.

Contoh 1 untuk gerak yang di uraikan, hitung percepatan a pada t = 2 . Penyelesaian V(t) = r’(t) = - a sin ti + a cos tj + ck A(t) = r’(t) = -a cos ti – a sin tj A(2 ) = = -ai

Contoh 2 Penyelesaian lintasan terbang lebah terdiri dari satu bagian spiral dan satu bagian garis lurus yang panjangnya masing-masing adalah L1 dan L2. Pada bagian spiral, r’(t) = (cos t – t sin t)i + (sin t + t cos t)j + k dan |r’(t)| = [(cos t – t sin t)2 + (sin t + t cos t)2 + 1]1/2 =√

2

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

27

BAB II FUNGSI TRANSENDEN •

Fungsi invers

•

Fungsi logaritma dan eksponen

•

Turunan dan integral fungsi eksponen dan logaritma

•

Fungsi invers trigonometri

•

Turunan dan integral fungsi invers trigonometri

Fungsi Invers Definisi Jika fungsi f dan g memenuhi dua kondisi setiap x dalam domain g f ( g ( x)) untuk x setiap x dalam domain f g ( f ( x)) untuk x Maka dikatakan bahwa f adalah invers dari g dan g adalah invers dari f, atau f dan g adalah fungsi-fungsi invers.

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

28

Definisi Jika fungsi f mempunyai invers, maka dikatakan bahwa y  f (x)

dapat

diselesaikan untuk x sebagai fungsi dari y dan dikatakan penyelesaian dari y  f 1 ( xmerupakan )

y  f (x)

untuk x sebagai fungsi y.

Teorema Jika f fungsi satu-satu, maka grafik dari

y dan f (x)

x  adalah f 1 ( y)

pencerminan dari fungsi satu dengan fungsi yang lain terhadap garis

yx Contoh suatu fungsi dan inversnya:

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

29

Contoh:

f ( x)  3 x  2

Carilah invers dari

y  3x  2 , kemudian x dan y ditukar x  3y  2 x2  3y  2

y Maka



1 2 x 2 3

 



1 2 x 2 , x >0 3

f 1 ( x) 

Turunan fungsi invers Andaikan dapat diturunkan, monoton murni pada interval I, dan bila f’(x) ≠ 0 pada suatu titik x dalam interval I, maka invers f dapat diturunkan di titik y = f(x) dan berlaku

( f 1 )' ( y ) 

1 f ' ( x)

1. Jika f ( x)  x 5  2 x  1 maka tentukan  f

1

 ' (4)!

2. M isal f ( x)  x 3  2 maka tentukan  f

1

 ' (6)!

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

30

Logaritma Sifat satu kesatu yang mengakibatkan fungsi f ( x)  a x untuk

a  0 dan a  1 mempunyai invers, yang dinamakan fungsi logaritma dengan bilangan dasar a, dan ditulis y  f 1 ( x)  a log x

berdasarkan sifat invers y  f 1 ( x)  x  f ( y) diperoleh definisi logaritma berikut. y  a log x  x  a y , a  0, a  1 Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

31

Sesuai dengan daerah asal dan daerah eksponen, untuk y  a log x berlaku kondisi a  0 dan y  R . Karena grafik fungsi dan inversnya simetri terhadap garis y = x, maka grafik fungsi logaritma diperoleh dengan mencerminkan kurva f (x) = ax terhadap garis y = x.

a. Logaritma Natural Logaritma natural adalah logaritma yang berbasis e, dimana e adalah

2.718281828459...

(dan

seterusnya).

Logaritma

natural

terdefinisikan untuk semua bilangan real positif x dan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bukan 0. Aturan pangkat, tidak dapat memberikan fungsi yang antiturunannya adalah 1/x. Tetapi, dengan

menggunakan

Teorema

Dasar

Kalkulus

kitadapat

mendefinisikan fungsi melalui integral yang turunannya adalah 1/x.Fungsi ini kita sebut logaritma natural dari x, ditulis ln x. Dapat dibuktikan, tapi tidak diberikan pada kuliah ini, bahwa fungsi ini sama dengan fungsi logaritma berbasis e yang telah kita kenal di SMA. Fungsi logaritma natural didefinisikan sebagai : x

1 ln x   dt , x  0 t 1

ln x  e log x

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

32

Notasi  Ahli matematika biasanya menggunakan "ln(x)" atau "log(x)" untuk menotasikan loge(x), atau logaritma natural dari x, dan menggunakan "log10(x)" untuk menotasikan logaritma berbasis 10 dari x.  Insinyur, ahli biologi, dan orang dalam bidang-bidang lain, hanya menggunakan "ln(x)" atau kadang-kadang (untuk supaya lebih jelas) "loge(x)" untuk menotasikan logaritma natural dari x, dan "log(x)" digunakan untuk logaritma berbasis 10, log10(x) atau, dalam konteks teknik komputer, log2(x).  Kebanyakan bahasa komputer, termasuk C, C++, Fortran, dan BASIC, "log" atau "LOG" berarti logaritma natural.  Pada kalkulator, tombol ln berarti logaritma natural, sedangkan tombol log adalah untuk logaritma berbasis 10. Sifat-sifat logaritma natural Pada contoh sebelumnya telah kita lihat bahwa turunan dari ln5x sama dengan turunan dari lnx yaitu 1/x. Fakta ini berguna untuk membuktikan teorema berikut. Teorema Jika a dan b  0 dan r bilangan rasional, maka



ln 1  0



ln ab  ln a  ln b



ln



ln a r  r ln a

a  ln a  ln b b

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

33

b. Ln sebagai invers fungsi eksponensial natural Fungsi ln adalah invers dari fungsi eksponensial: e ln(x )  x untuk semua x yang positif dan

 

ln e x  x

untuk semua x yang real.

Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya e, dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain. c. Mengapa

disebut "natural"

Sekilas, tampaknya yang lebih "natural" tentunya adalah logaritma yang berbasis 10, karena basis angka yang digunakan umumnya juga 10. Namun, ada dua alasan mengapa ln(x) disebut logaritma natural: pertama, persamaan-persamaan yang variable tak diketahuinya merupakan pangkat dari e jauh lebih sering dijumpai dibanding yang merupakan pangkat dari 10 (karena sifat-sifat

"natural" dari

fungsi

eksponensial

yang dapat

menggambarkan growth/pertumbuhan dan decay/penurunan), dan kedua, karena logaritma natural dapat didefinisikan dengan mudah menggunakan integral yang dasar atau Deret Taylor (lihat penjelasan di bawah), dan logaritma berbasis lainnya tidak dapat didefinisikan seperti ini. Sebagai contoh, lihat turunan dibawah ini: d 1 log b x   dx x  ln b Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

34

Jika basis b adalah e maka turunan yang didapat adalah 1/x dan jika x=1, kemiringan kurva adalah 1. d. Logaritma Umum Sifat-sifat logaritma : 1. b log 1  0 2. b log b  1 3. b log ac  b log a  b log c 4. b log

a b  log a  b log c c

5. b log a r  r b log a 6. log a 

c

b

c

log a log b

e. Turunan logaritma natural Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kita peroleh bahwa x

d 1 d 1 dt  ln x  , x  0  dx 1 t dx x

Secara umum, dengan menggunakan Dalil Rantai kita peroleh bahwa:

d 1 d ln u x   u x  dx u x  dx

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

35

Eksponen a. Fungsi Eksponensial Natural Fungsi eksponensial natural, y=exp(x), adalah inverse dari logaritma natural.x=exp(y)  y=ln x. Bilangan basis fungsi ini, ditulis e=exp(1) sehingga ln e=1. Ekspansi desimal bilangan iniadalah e≈2,71828182845…

Dengan demikian, e

1

 t dt  1 1

Dari definisi langsung diperoleh bahwa 1. exp(ln x)=x, bila x>0. 2. ln(exp(x)) =x.

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

36

Perlu dicatat, bahwa e adalah bilangan transenden (dibuktikan oleh Euler), yaitu tidak ada polinom p(x) sehingga p(e)=0. Kita dapat mengkonfirmasikan (saat ini untuk bilangan rasional r), bahwa y=exp(x) adalah sebuah fungsi eksponesial. er=exp(ln er)= exp(rln e)= exp(r) Sejauh ini kita telah mendefinisikan bilangan pangkat dengan pangkat rasional. Untuk x irrasional, kita kembali pada definisi fungsi eksponesial, yaitu e x  exp x 

Jadi, untuk selanjutnya. 1. e ln x  x , untuk x>0.

 

2. ln e x  x , untuk tiap x. b. Turunan dari exp(x) Misalkan y=ex. Karena ln x dan exp(x) saling inverse, maka x=ln y. Apabila kedua sisi didiferensialkan, dengan menggunakan Aturan Rantai, diperoleh bahwa 1=(1/y)Dxy atau Dxy =y . Teorema

 

d x e  ex dx

Sebagai akibat kita peroleh Teorema

e

x

dx  e x  C

c. Fungsi Logaritma dan Eksponesial Umum Kita telah berhasil mendefinisikan e x untuk tiap bilangan real x, termasuk e  . Namun bagaimana dengan  e ? Kita akan memanfaatkan hubungan x=exp(ln x). Definisi Jika a  0 dan adalah sebarang bilangan real, maka Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

37

a x  e x ln a

Dengan demikian, kita peroleh bahwa

 





ln a x  ln e x ln a  x ln a

Catatan: definisi di atas memungkin kita untuk memperluas aturan

 





ln a r  ln e r ln a  r ln a yang sebelumnya hanya berlakuuntuk r rasional.

d. Sifat-sifat a x Sifat-sifat Fungsi Eksponen Diberikan a  0, b  0, dan x, y sebarang bilangan real. 1. a x a y  a x  y

 

2. a x

y

 a xy

x

ax a 3.    x b b 4.

ax  a x y y a

5. ab  a x b x x

Teorema fungsi eksponensial Dx a x  a x ln a

a

x

dx 

1  C, a  0 ln a x

e. Fungsi log a x Pada bagian ini kita akan membangun fungsi logaritma berbasis bilangan positif a≠1, logax. Fungsi ini didefinisikan sebagai inverse dari fungsi eksponensial a x . Definisi Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

38

Misalkan a  0, a  1 , maka y  log a x  x  a y Catatan: ln  log a x Hubungannya dengan logaritma biasa dapat diperoleh secara berikut. Misalkan y  log a x sehingga x  a y .

ln x  ln a y  y  ln a sehingga log a x 

ln a ln x

Fungsi Invers Trigonometri Definisi Fungsi invers sinus, dinotasikan sin 1, didefinisikan sebagai invers dari fungsi

sin x,   / 2  x   / 2

Fungsi invers cosinus, dinotasikan cos 1, didefinisikan sebagai invers dari fungsi

cos x, 0  x  

Fungsi invers tangen, dinotasikan tan 1 , didefinisikan sebagai invers dari fungsi tan x,   / 2  x   / 2

Fungsi invers secan, dinotasikan sec 1 , didefinisikan sebagai invers dari fungsi sec x, 0  x   / 2 atau   x  3 / 2 Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

39

Teorema  1  x  1 y  sin 1 x  sin y  x jika    / 2  y   / 2  1  x  1 y  cos 1 x  cos y  x jika  0  y       x   y  tan 1 x  tan y  x jika    / 2  y   / 2 x 1 x  1   y  sec 1 x  sec y  x jika  atau  0  y   / 2   y  3 / 2

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

40

BAB III TURUNAN PARSIAL Turunan Parsial adalah sebuah perubahan nilai dari suatu fungsi yang mempunyai dua variabel atau lebih secara sebagian atau tidak seluruhnya akan diturunkan

satu – persatu. Jika pada fungsi z = f(y,x) kita turukan

terhadap variabel x maka y akan dianggap sebagai konstanta dan bisa disebut kita mencari turunan turunan parsial z terhadap x.

1.

Fungsi dua Peubah atau Lebih Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit

atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka penulisannya

secara umum dinyatakan dengan

z  F ( x, y) .

Sebaliknya jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk implisit, maka penulisannya dinyatakan dengan F ( x, y, z )  0 Contoh: 1. z  2 x  y  F ( x, y)  2 x  y 2. z  ln x  2 y 2

3. z  1  2

4

 F ( x, y)  ln x 2  y 2

1 2 sin x  sin y

4. xy  xz  yz  0 5. xy  e x sin y  0 6. ln x 2  y 2  arctan 7. arctan

y 0 x

y  2z  0 x

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

41

Berdasarkan contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak semua fungsi dalam bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit. Untuk menggambar kurva fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z, sehingga pada sumbu tersebut membentuk ruang dan masing-masing ruang disebut oktan . Oktan I adalah ruang dengan x>0, y>, dan z>0 Oktan II adalah ruang dengan x>0, y0 Oktan III adalah ruang denganx0 Oktan V adalah ruang dengan x>0, y>, dan z0, y 1 deret divergen

(iii)

Jika ρ

, pengujian tidak membirikan kepastian.

CONTOH 8

Apakah deret ∑

Penyelesaian

=

=

konvergen atau divergen ?

(

)

=

=0

Meenurut Uji Hasilbagi deret itu konvergen 11.5 Deret Ganti Tanda , Kekonvergen Multak Kita teleh membahas deret-deret yang suku-sukunya tidak negatif dalam dua pasal terakhir. Persyaratan tak negatif ini kita hapus, sehingga dalam suatu deret suku-sukunya dapat negetif . Khususnya kita memperhatikan deret-deret yang suku-sukunya berganti-ganti tandanya (alternating series) –yakini , deret yang bentuknya ∙∙∙∙ Suatu deret ganti-tanda dengan an > an+1 > 0. Apabila

an = 0, maka

deret konvergen. kesalahan yang dibuat apabila jumlah S diaproksimasi dengan jumlah n suku pertama Sn , tidak akan melebihi an+1

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

148

Dengan an > 0 untuk semua n . contoh penting adalah deret harmonik ganti tanda ∙∙∙∙

1

Kita tahu bahwa deret harmonik itu divergen ; kita akan melihat dalam waktu singkat bahwa deret harmonik ganti tanda itu konvergen. Teorema A (Uji Pembandingan Mutlak) . Andaikan ∑ 𝑢𝑛 sebuah deret yang sukusukunya tak nol.

𝐥𝐢𝐦

Andaikan

𝐧

𝐮𝐧 𝟏 𝐮𝐧

=𝛒

(i)

Jika ρ < 1 ,deret konvergen mutlak (jadi konvergen ).

(ii)

Jika ρ > 1 , deret divergen .

(iii)

Jika ρ = 1, pengujian ini tidak dapat memberikan kepastian.

Teorema B (Uji Kekonvergenan Mutlak). Apabila ∑

konvergen maka ∑

konvergen. Teorema C (Teorema Penukaran Tempat). Suku-suku suatu deret yang konvergen mutlak dapat diubah-ubah kedudukannya tanpa mempengaruhi kekonvergennya atau jumlahnya. CONTOH 9 Buktikan bahwa ∑ =

=

(

(

)

konvergen mutlak.

)

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

149

=

=0

Menurut Uji Hasilbagi Mutlak , deret ini konvergen mutlak (jadi konvergen juga). 11.6

Deret Pangkat

Hingga saat ini kita telah mempelajari deret-deret yang terdiri atas konstanta-konstanta yang berbentuk ∑

. dengan

sebuah bilangan.

Sekarang kita akan mempelajari deret fungsi deret yang berbentuk ∑

(x).

Suatu contoh adalah deret ∑

∙∙∙∙

=

Deret pangkat x ∑ (

∙∙∙∙

=

kita anggap sebagai

, juga apabila x = 0). Untuk deret pangkat ini,

kita dapat menjawab dua pertanyaan di atas. CONTOH 10 Untuk nilai-nilai x manakah deret pangkat ∑

= a + ax +

+

+∙∙∙∙

Konvergen dan berapakah jumlahnya. Penyelesaian

Deret tersebut telah kita pelajari dalam pasal 11.2 (pada

saat tersebut kita pakai huruf r untuk c ). Deret itu dinamakan deret geometri. Deret tersebut konvergen untuk -1 < x < 1 dengan jumlah S(x) yang memenuhi hubung? Anggap a ≠ 0an S(x) =

, -1 < x < 1

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri

150

CONTOH 11 Tentukan himpunan kekonvergen deret ∑ Penyelesaian

=

(

)

|

(

|=

)

.

=

≠

Jadi deret konvergen hanya untuk x = 0 11.7

Operasi-operasi pada Deret Pangkat Dari pasal sebelumnya, kita mengetahui bahwa himpunan

kekonvergen daret pangkat ∑

adalah sebuah selang l . selang ini

adalah asal sebuah fungsi baru S(x),yaitu jumlah deret pangkat itu . Pertanyaan yang wajar ialah, apakah kita dapat menyusun rumus sederhana untuk S(x) tersebut. Hal ini telah kita lakukan untuk deret geometri, yaitu ∑

=

1