Dong Hoc Nguoc Robot

 

 Động  Độ ng họ học ngượ ngược c robot M ở  ở  đầu

Động học ngượ c: Nhằm tính toán các thông số biến khớ  p  p khi  khi vị trí của đầu cuối công tác đã biết  Phát biểu bài toán

Cho tr ướ  ướ c một ma tr ận biến đổi homogenous 4x4 sau:

⎡ n x o x a x px ⎤ ⎢n o a p ⎥ y y y y⎥   K = ⎢ ⎢ n z oz a z pz ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 1⎦ Tìm một hay tất cả nghiệm

θ 

(1)

  T  = (θ 1 , θ 2 ,..., θ n ) của phươ ng ng trình sau 0 n

T (θ1, K, θn ) = K    

(2)

trong đó 0 n

T (θ1 ,K, θn ) =10 T(θ1 ) Knn −1 T(θn )  

(3)

và K biểu diễn vị trí và hướ ng ng mong muốn của cơ   c cấu tác động cuối Phươ ng ng trình (2) đưa đến việc gi giải 12 phươ ng ng trình phi tuyến vớ i n ẩn sau: Tij

= (θ1 ,K, θn ) = kij ,   i = 1,2,3 ,  j = 1,...,4  

(4)

trong đó Tij , k ij tươ ng ng ứng là 12 phần tử có giá tr ị  của T n0 và K (vì hàng cuối cùng của cà T n0 và ng trình từ (2) sẽ không có giá tr ị). Có 6 phươ ng ng trình K đều là (0,0,0,1) , nên 4 trong số 16 phươ ng quan hệ giàng buộc giữa n x , n y , n z , o x , ... nên chỉ có 6 phươ ng ng trình độc lậ p. Ví dụ 

 

Figure 1: Stanford robot 

c1 [ c 2 (c 4 c5c6 − s 4s6 ) − s 2s5c 6 ] − s1 (s 4c5c 6 + c 4s 6 ) s1 [ c 2 (c 4c5c6 − s 4 c 6 ) − s 2s5s 6 ] + c1 (s 4 c5c 6 + c 4s 6 )

−s 2 ( c 4 c 5 c 6 − s 4 s 6 ) − c 2 s 5 s 6 c1 [ −c 2 (c 4c5c6 + s 4c 6 ) + s 2s5s6 ] − s1 (−s 4c5s6 + c 4 c6 ) s1 [ −c 2 (c 4 c5c 6 + s 4 c 6 ) + s 2s5s6 ] + c1 (− s4c5s6 + c 4 c6 ) s 2 ( c 4 c5 c 6 + s 4 c 6 ) + c 2 s 5 s 6 c1 (c 2 c 4s5 + s 2c5 ) − s1s 4s5 s1 (c 2 c 4s5 + s 2 c5 ) + c1s 4s5 −s c s + c c 2 4 5 2 5 c1s 2 d 3 − s1d 2 + d 6 (c1c 2 c 4s5 + c1c5s 2 − s1s 4s5 ) s1s 2d 3 + c1d 2 + d 6 (c1s 4s5 + c 2 c 4s1s5 + c5s1s 2 ) c 2 d 3 + d 6 (c 2 c5 − c 4 s 2 s 5 )

 

= = = = = = = = = = = =

nx ny nz ox oy oz ax

 

ay a z

px py pz

Các thách thứ c của bài toàn động học ngượ c

−  Các phươ ng ng trình trên r ất khó giải tr ực tiế p, và vấn đề này cũng xảy ra đối vớ i hầu hết các tay máy robot.

−  Vì thế, ta cẩn phải tìm các k ỹ thuật hiệu quả có hệ thống để khai thát cấu trúc động học đặc  biệt của từng tay máy.

 

−  Trong khi vấn đề động học thuận luôn có lờ i giải duy nhất, chỉ đơ n giản thay các giá tr ị biến khớ   p vào các các phươ ng ng trình động học thuận, thì vấn đề  động học ngượ c có thể không có lờ i giải.

−  Ngay  Ngay cả khi tồn tại một lờ i giải, nó cũng có thể không là lờ i giải duy nhất. −  Các phươ ng ng trình động h ọc thuận nói chung là các hàm phi tuy ến phức tạ p đối vớ i biến khớ   p, nghi nghiệm cho bài toán động học ngượ c có thể r ất khó giải đượ c ngay cả khi nghiệm tồn tại. Vấn đề đa nghiệm

Figure 2: 

 

 

Figure 3 

Các phươ ng ng pháp giải

ng pháp hình học −  Phươ ng

−  Phươ ng ng pháp đại số  −  Phươ ng ng pháp số (máy tính)

 

Ví dụ 1

Figure 4: Tay máy 2 khâu ph ẳng

Bảng tham số khâu cho robot 2 khâu đồng phẳng Khâu ai   α i  

d i  

θ i

 

1

a1  

0

0

θ 1  

2

a2  

0

0

θ 2  

⎡⎢cos θ1 − sin θ1 sin θ1 cos θ1 0 ⎢ T = 1 ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎣ 0 ⎡cos θ2 − sin θ2 ⎢ sin θ cos θ 2 2 1 ⎢ 2T = ⎢ 0 0 ⎢ 0 0 ⎣ Ma tr ận biến đổi của khâu cuối so vớ i hệ toạ độ gốc ⎡cos(θ1 + θ2 ) − sin(θ1 + θ2 ) ⎢ 1 2 1 2 0 0 1 T2 =1 T2 T = ⎢ sin(θ + θ ) cos(θ + θ ) ⎢ 0 0 ⎢ 0 0 ⎣ Phươ ng ng trình động học robot n x = cos(θ1 + θ2 ) o x ny

= sin(θ1 + θ2 ) nz = 0

= − sin(θ1 + θ2 ) o y = cos(θ1 + θ2 ) oz = 0

Giải phươ ng ng trình động học ngượ c

0 a1 cos θ1 ⎤ 0 a1 sin θ1 ⎥

⎥  ⎥ 0 ⎥ 1 ⎦ a 2 co cos θ2 ⎤ ⎥ a 2 si sin θ2 ⎥  ⎥ 0 ⎥ 1 ⎦

1 0 0 0 1 0 0

a1 cos θ1 + a 2 cos(θ1 + θ 2 ) ⎤

0 1

a1 sin θ1 + a 2 sin(θ1 + θ2 ) ⎥   ⎥ 0

0

=0 ay = 0 az = 0 ax

⎥

1

⎥ ⎦

= a1 cos θ1 + a 2 cos(θ1 + θ2 ) p y = a1 sin θ1 + a 2 sin(θ1 + θ2 )   pz = 0

px

 

0 2

T(θ1 , θ2 ) = K    

 Nghiệm chỉ tồn tại khi ma tr ận K có dạng

⎡cos ϕ − sin ϕ ⎢ sin ϕ cos ϕ K = ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ 0

⎡cos(θ1 + θ2 ) − sin( θ1 + θ2 ) ⎢ ⎢ sin(θ1 + θ2 ) cos(θ1 + θ2 ) ⎢ 0 0 ⎢ 0 0 ⎣

0 0 1 0

⎣

⎧ sin  2 θ1 + cos 2 θ1 = 1   ⎨ 2 2 θ + θ = s i n c o s 1 ⎩ 2 2 ⎧ x = a1 cos θ1 + a 2 cos(θ1 + θ2 ) ⎪ y = a sin θ + a sin(θ + θ ) ⎪ 1 1 2 1 2   ⎨ 2 2 s i n c o s 1 θ + θ = 1 1 ⎪ 2 2 ⎪⎩  sin θ2 + cos θ2 = 1 cos θ1 + a 2 cos θ1 cos θ2 − a 2 sin θ1 sin θ 2   = a1 co

y = a1 ssiin θ1 + a 2 sin θ1 cos θ2 + a 2 cos θ1 sin θ 2  

= a12 + a 22 + 2a1a 2cosθ2   1

{( x

+ y2 ) − ( a12 + a 22 )} = λ  

cos θ2

=

sin θ2

= ±(1 − λ2 )1/ 2  

2a1a 2

2

0

⎥  0⎥ ⎥

1 0

y⎥

1

⎦ ⎡cos ϕ − sin ϕ ⎥ ⎢ a1 sin θ1 + a 2 sin(θ1 + θ2 ) ⎥ = ⎢ sin ϕ cos ϕ ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎢ 1 0 ⎦ ⎣ 0

Mặt khác ta cũng có

x 2 + y2

x⎤

a1 cos θ1 + a 2 cos(θ1 + θ 2 ) ⎤

⎧ x = a1 cos θ1 + a 2 cos(θ1 + θ2 )   ⎨ y a s i n a s i n ( ) = θ + θ + θ 1 1 2 1 2 ⎩

x

0

0

0 0 1 0

x⎤

⎥ ⎥  0⎥ ⎥ 1⎦ y

 

cos θ1 = sin θ1

=

1 x

2

+y 1

x

2

+y

2

 

2

{x (a

1

{m xa

2

+ a 2λ) ± ya ya 2 (1 − λ 2 )1/ 2 }   (1 − λ 2 )1/ 2 + y(a1 + a 2λ )}  

 

Ví dụ 2

Figure 5: Tay máy 3 kh ớ p

Figure 6 

Figure 7: Chiếu tâm cổ tay lên mặt phẳng x0-y0

Từ phép chiếu trên Figure, ta có θ 1

=  A tan(    xc ,  yc )  

xác định vớ i mọi ( xc ,   yc ) ≠ (0,0) và có nghiệm

(4.8)

 

cos θ1

Các nghiệm

θ 1  đều

=

hợ   p lệ ngoại tr ừ  xc =  y  c

xc x c2 + y c2

; sin θ1

=

yc x c2 + y c2

 

(4.9)

ườ ng ng hợ   p này, này, (4.8) không không xác định và = 0 . Trong tr ườ 

tay máy ở  v  vị trí k ỳ dị (singular configuration), trên hình 4.3  4.3 

 Hình 4.4:

 ỳ d ị (vô số  nghi V ị trí k   nghiệm)

ướ c θ 1 , ta xét mặt phẳng tạo bở i khâu 2 và khâu 3 (hình 4.8). Vi chuyển Để tìm θ 2 , θ 3 khi biết tr ướ  động của khâu 2 và 3 trong mặt phẳng. (còn tiế p, trìn trình h bày bày sau) sau)

 Hình 4.8:

Chiế u lên mặt phẳ ng ng t ạo bở i khâu 2 và 3