Dokumen - Tips - Metodo Analitico Series de Fourier

 

INSTITUTO TECNOLOGICO DE DURANGO

EQUIPO #1

VIBRACIONES MECANICAS

METODO ANALITICO ANALITICO SERIES DE FOURIER 

MECATRONICA 6”V”

 

Series de Fourier  Las series de Fourier son un instrumento indispensable en el análisis de ciertos fenómenos periódicos (tales como vibraciones, movimientos ondulatorios y planeta-rios) que son estudiados en Física e Ingeniería.

 

 

El nombre se debe al matemático francés JeanBaptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

 

Serie trigonometrica de fourier  Algunas funciones periódicas f(t) periódicas f(t) de  de periodo T  pueden  pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie llamada serie trigonométrica de Fourier    w0  t) + a2cos(2w 0t) + ...  f(t) = ½ a0 + a1cos( w  + b1 sen( w  w0  t) + b2 sen(2w 0t) + ... Donde w 0 = 2w  /T se denomina frecuencia fundamental. 

 f  (t )  1 a  2

0

  n  t )   b  sen(n  t )] [a cos(

 n 1

n

0

n

0

 

  Como la función  sen(nw 0t)  es una función impar  para todo n y la función cos(nw 0t) es una función  par para todo n, es de esperar que:  

Si  f(t)  es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n.

 

 f(t) es coseno, Si impar, su de Fourier no contendrá términos porserie lo tanto an= 0 para todo n.

 

Funciones pares e impares  

f(t)

 función Una   si su gráfica es es par  simétrica respecto al eje vertical, es decir f(t) = f(-t)

t 





f(t)

t 





 función impar  si una  si su gráfica es es simétrica respecto al origen, es decir, -f(t) = f(-t)

 

Ortogonalida Se dice que las funciones del conjunto {f k (t)} (t)}   son ortogonales  en el intervalo a < t < b si b si dos funciones cualesquiera f  cualesquiera  f m(t), f n(t) (t) de  de dicho conjunto cumplen:

0  f  m(t)f  n(t)d t     r n  a  b

 para  pa ra m  n  para  pa ra m  n

 

Forma compleja de la serie de fourier  Consideremos para una función la periodo serie deT = Fourier  periódica  periódica f(t),  f(t), con  con 2w  / w  w0  . 

 f  (t )  1 a0  2

 [a

n

cos(   n 0t )   bn sen(n 0t )]

n 1

Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:

cos( n 0t )  (e 1 2

 sen  se n(n  t )  0

1 2i

in 0t 

(e

e

in 0t 

 in 0t 

e

)

i n 0t 

)

 

Sustituyendo: 

 f  (t )  a  1

2

0

1

[a

(e

in 0t 

e  

in    0 t 

 )  b

n 2

 n 1

1

(e

in 0t 

e

in 0t 

)]

n 2i

Y usando el hecho de que 1/i = -i: -i:  1 2

 f  (t )  a0  Y definiendo:

 in 0 t 

 

1 2

n n a ib [ ( )e  n 1

 c0



1 2

a0 , c n



1 2

 f  (t ) 

c e   

n

n  

n n   (a  ib )e

(an    ibn ),  



in 0t 

in 0t 

1 2

c n



1 2

(an  ibn )

2        0 T

]

 

A la expresión obtenida

 f  (t ) 

  

c e

in 0 t 

n

n  

se le llama forma compleja de la serie de Fourier  y  y sus coeficientes cn  pueden obtenerse a partir de los coeficientes an , bn como ya se dijo, o bien: b ien: T 

cn 

1 T 

3 ,...

Para n = 0, 1, 2,  0

   in 0t       f   (t )e dt 

 

Simetria de media onda Una función periodica de periodo T se dice simétrica de media onda, si cumple la propiedad

 f  (t   12  T )    f  (t ) Es decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejo de las  positivas pero desplazadas medio periodo:  

f(t)

t

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Simetrías y Coeficientes de Fourier

Simetría

Funciones en la serie

Coeficientes

Ninguna

an



2 T

 f (t)  cos(n t)dt 0

senos y cosenos

T/2

T/2

b

2 n  T

T / 2

 f (t)sen(n t)dt 0

T / 2

únicamente cosenos

T/2

Par 

an 

4 T

  n t )dt  f (t) cos(

bn= 0

0

0

únicamente senos

T/2

Impar 

an= 0

bn



4 T

  (n t )dt  f (t) sen 0

0

Media onda

Senos y 0 n par  0 n pa par  r      T/2   T/ 2 cosenos an   4 bn   4 f (t ) cos(n   0 t)dt n impar  f (t)sen(n 0t)dt n impar  impares T  T    0  0

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