Doebelin, Strumenti e Metodi Di Misura Comb Errori

"Strumenti e metodi di misura 2/ed" - Ernest O. Doebelin

Combinazione degli errori nel calcolo dell’incertezza totale dello strumento Un sistema di misura è spesso costituito da una catena di componenti, ognuno dei quali è caratterizzato da una propria accuratezza. Se le singole accuratezze sono note, com’è possibile calcolare l’accuratezza totale? Un problema simile si incontra negli esperimenti in cui si usano i risultati (misurazioni) provenienti da diversi strumenti per calcolare una certa quantità. Se l’accuratezza di ognuno degli strumenti è nota, come viene stimata l’accuratezza del risultato calcolato? Oppure, se si deve avere una determinata accuratezza in un risultato calcolato quali errori sono ammissibili nei vari strumenti? Per rispondere a queste domande, considerate il problema del calcolo di una quantità y che è funzione nota di n variabili indipendenti x1 , x2 , x3 , . . . xn y = f (x1 , x2 , x3 , . . . xn )

(1)

Per piccole variazioni delle variabili indipendenti nell’intorno di determinati “punti operativi” una serie di Taylor può dare una buona approssimazione della corrispondente variazione di y y ≈

∂f ∂f ∂f ∂f · x1 + · x2 + · x3 + · · · + · xn ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ∂ xn

(2)

Si pensi alle derivate parziali come alle sensibilità di y rispetto alle variazioni delle singole x. Quando una derivata parziale ha un valore numerico grande, y risulta essere molto sensibile a quella particolare x. Siccome le derivate parziali vengono valutate numericamente in corrispondenza del punto operativo, esse sono costanti (non funzioni) nell’Equazione 2. In tal modo quest’equazione definisce y come una funzione lineare delle x, sebbene la funzione originale ( f ) possa essere non lineare. Se ora i x vengono considerati come le incertezze u xi per ogni valore misurato xi , allora la corrispondente incertezza U y di y è data da  Uy ≈

∂f · u x1 ∂ x1

2

 +

∂f · u x2 ∂ x2

2

 +

∂f · u x3 ∂ x3

2

 + ··· +

∂f · u xn ∂ xn

2 (3)

Questa relazione è chiamata formula della radice della somma dei quadrati (root-sum-square, rss). Noi non abbiamo, qui, dimostrato la sua validità, ma essa poggia sul fatto che la deviazione standard di qualsiasi funzione lineare di variabili indipendenti è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle singole deviazioni standard. Questo è un risultato approssimato poiché y non è, in realtà, una funzione lineare delle x; è prossima a una funzione lineare solo per piccole variazioni delle x. Dato che U y viene calcolata partendo da incertezze singole, che sono fornite come intervalli di confidenza del 95%, allora il valore di U y ha lo stesso significato e rappresenta l’intervallo al 95% di confidenza per la variabile dipendente y. L’Equazione 3 è la base del calcolo dell’errore di un sistema di misura completo partendo dagli errori dei singoli componenti. Quando pianifichiamo inizialmente un esperimento, dobbiamo decidere quanto accurati debbano essere i risultati finali, per soddisfare gli obiettivi dello studio. Una volta che tale decisione è stata presa, possiamo passare ad analizzare l’accuratezza necessaria in ognuno dei singoli strumenti. Deve essere chiaro che questo tipo di problema non ha un’unica soluzione; esisteranno molte combinazioni di singoli errori che forniranno lo stesso errore totale. Per avviare il discorso su tali questioni, possiamo utilizzare il metodo degli effetti uguali. Se non abbiamo altri elementi per procedere diversamente, sembra ragionevole, almeno inizialmente, forzare tutti gli strumenti a contribuire in modo uguale all’errore totale. Ricorrendo all’Equazione 3 si giunge a dire che Uy μxi ≈ (4) √ ∂f n· ∂ xi

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COMBINAZIONE DEGLI ERRORI NEL CALCOLO DELL’INCERTEZZA TOTALE DELLO STRUMENTO

Questa equazione definisce i valori iniziali per gli errori ritenuti accettabili in ciascuna singola misurazione che contribuisce poi a dare quella di interesse. Dobbiamo poi confrontare queste richieste con la capacità degli strumenti a nostra disposizione. Se riusciamo a trovare strumenti che soddisfino tutte queste richieste, abbiamo almeno una soluzione al nostro problema. Se uno o più requisiti non possono essere soddisfatti non significa che siamo sconfitti. Dobbiamo, a questo punto, controllare se alcuni dei nostri strumenti siano in effetti migliori di quanto richiesto dall’Equazione 4. Se così fosse, possiamo sfruttarli per rilassare vincoli che non siamo in grado di rispettare. Un’attenta analisi di tutte queste possibilità può portare a una combinazione di strumenti che soddisfino comunque la richiesta globale. Può in realtà anche accadere che, qualora l’accuratezza totale richiesta risultasse troppo elevata, non si possa trovare un complesso di strumenti reali che realizzino i nostri obiettivi. Se così è, l’approccio sistematico, qui utilizzato, ci fornisce un’argomentazione convincente nel caso di discussioni del problema con colleghi e superiori. Come esempio delle procedure sopra esposte, considerate un esperimento per misurare, utilizzando un dinamometro, la potenza media trasmessa da un albero rotante. La formula per la potenza può essere così scritta W= dove

2π R F L t

o

hp =

2π R F L 550t

(5)



R = giri dell’albero nel tempo t 

F = forza all’estremità del braccio di torsione, (N)

(6)



L = lunghezza del braccio di torsione, (m) 

t = tempo totale di misura, (s)

FIGURA 1 (a) Configurazione della prova con dinamometro. (b) Errore sul conteggio delle rivoluzioni.

Uno schizzo della preparazione dell’apparato sperimentale è mostrato in Figura 1a. Il contatore di giri è del tipo di quello mostrato in Figura 2.4 e può essere acceso e spento con un interruttore elettrico. Gli istanti di accensione e spegnimento vengono registrati per mezzo di un cronometro. Se si assume che il contatore non perda alcun segnale, l’errore massimo su R è ±1 a causa della natura digitale dello strumento (vedere Figura 1b). Esiste, comunque, un errore commesso nel determinare il tempo t poiché non è possibile la perfetta sincronizzazione tra accensione e spegnimento del contatore ed il cronometro. Anche sapendo che il cronometro è uno strumento abbastanza accurato per la misura del tempo, ciò non garantisce che esso misuri sempre l’intervallo di tempo desiderato. Nell’assegnare un errore a t , allora, non possiamo fare grande affidamento sul costruttore del cronometro, il quale garantisce un’accuratezza dello 0.10%, nel caso in cui il nostro errore di sincronizzazione sia molto maggiore di tale numero.

Conteggi La lettura è sovrastimata di una rivoluzione

Cavo d’alimentazione

Tempo Macchina in prova (condotta) l

F

Partenze dell’orologio

Fermate dell’orologio

Bilancia Tempo

contatore Dinamometro del motore elettrico (conduttore)

(a)

(b)

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Tale errore di sincronizzazione è, certamente, non conosciuto in modo preciso, dato che coinvolge fattori umani. Una prova per determinare le sue caratteristiche per via statistica potrebbe risultare più costosa e impegnativa della misura di potenza di cui è parte. Ci troviamo, quindi, nell’alquanto comune situazione di dover ricorrere all’esperienza ed al buonsenso per stimare il valore numerico appropriato. Incominciamo, così, a renderci conto che le sottigliezze statistiche e i punti fermi della teoria, in precedenza considerati, possono, in certe situazioni, apparire piuttosto accademici. Essi sono sempre utili per quanto concerne la comprensione dei concetti base che essi permettono di sviluppare però non si può far affidamento su di essi per dare risposte chiare e definitive in situazioni in cui i dati di base sono mal definiti. Nel caso in questione si supponga di aver deciso che l’errore totale di partenza e fermata sia assunto pari a ± 0.5 s. Se questo numero vada considerato come limite assoluto o come incertezza a livello di confidenza del 95% è una questione di scelta e di preferenza. La nostra preferenza, come detto prima, è di trattare questo numero come incertezza al livello di confidenza del 95%. La misurazione della lunghezza del braccio di torsione L è anch’essa soggetta a simili problematiche, dipendenti dalla cura con cui si procede alla misurazione. Supponete di utilizzare una procedura abbastanza grossolana e di porre l’incertezza al 95% di confidenza pari a ± 1 mm. Le bilance adottate per misurare la forza F possono essere tarate con dei pesi campione, producendo un insieme di dati analoghi a quelli di Figura 6.10a. Tali dati possono essere trattati per calcolare l’incertezza al 95% di confidenza, come fatto in precedenza. Si supponga che risulti ± 0.2 N. Questa incertezza di taratura deve, comunque, essere trasformata in una corrispondente incertezza di misura, come discusso sopra. Quando le bilance vengono realmente utilizzate sono soggette a vibrazioni (non presenti durante la taratura), che possono ridurre gli effetti d’attrito e far diminuire l’errore (incertezza). Allo stesso tempo, l’indicatore non resta perfettamente fermo sulla scala graduata quando il dinamometro sta funzionando quindi, nel leggere l’indicazione, siamo costretti a procedere a una media a mente, che può introdurre un nuovo errore, non presente in taratura. Tali effetti sono chiaramente difficili da quantificare e dobbiamo nuovamente prendere una decisione basata in parte sull’esperienza e sul buonsenso. Supponiamo di assumere che i due effetti si elidano fra loro e prendiamo, quindi, l’incertezza sulla misura dalla forza pari a 0.2 N. Se, per una determinata prova, i dati hanno questi valori e queste incertezze con un livello di confidenza del 95% R = 1202 ± 1.0 rivoluzioni F = 45 ± 0.2 N

(7)

L = 0.397 ± 0.001 m t = 60 ± 0.50 s allora il calcolo procede così. In unità SI abbiamo W=

FLR 2π R F L =K t t

(8)

Poi, calcolando le varie derivate parziali e considerando tre cifre significative ∂W KLR 2π(0.397)(1202) = = = 49.972 W/N ∂F t 60

(9)

∂W K FL 2π(45)(0.397) = = = 1.871 W/rad ∂R t 60

(10)

∂W KFR 2π(45)(1202) = = = 5664.292 W/m ∂L t 60

(11)

∂W 2π(45)(0.397)(1202) K FLR =− = −37.479 W/s = 2 ∂t t 602

(12)

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COMBINAZIONE DEGLI ERRORI NEL CALCOLO DELL’INCERTEZZA TOTALE DELLO STRUMENTO

Sebbene abbiamo scelto di utilizzare il concetto di incertezza statistica come misura dell’incertezza, sono possibili altri tipi di approcci. Uno di questi tratta singoli errori come limiti assoluti; si assume che la quantità misurata non cada mai al di fuori di questi limiti. Quando combiniamo errori di tal genere, vogliamo ottenere un errore risultante caratterizzato dallo stesso significato. Poiché i singoli errori possono, allo stesso modo, essere positivi o negativi (normalmente non abbiamo informazioni circa il segno), per metterci nel caso peggiore dovremmo utilizzare l’Equazione 2, inserendo il valore assoluto di ogni termine, in modo che i vari termini si sommino nel peggior modo possibile. Se definiamo questo come errore assoluto E a , i calcoli del nostro esempio verranno così svolti ±E a = (49.972)(0.2) + (1.87)(1.0) + (5664.292)(0.001) + (37.479)(0.50)

(13)

±E a = 9.9944 + 1.87 + 5.6643 + 18.7395 = 36.2682 W

(14)

Calcoliamo ora la potenza come W=

2π(45)(0.397)(1202) = 2248.724 W 60

(15)

che arrotondiamo a 2248.72. Poi il risultato può essere espresso come 2248.72 ± 36.27 W o 2248.72 W ± 1.4%. Noi preferiamo trattare i singoli errori come incertezza con livello di confidenza del 95%, esprimendo l’incertezza totale come U=

 (9.9944)2 + (1.87)2 + (5.6643)2 + (18.7395)2 = 22.060 W

(16)

L’incertezza U sarà sicuramente sempre minore del corrispondente errore assoluto E a , come evidenziato dalle due formule. Scegliamo di adottare le incertezze in quanto, a causa della natura casuale dell’errore non è probabile che si presenti effettivamente la peggior combinazione possibile. Tale considerazione rende eccessivamente prudente e penalizzante il metodo dell’errore assoluto. Come ingegneri dobbiamo necessariamente essere cauti ma senza che ciò ci porti a decisioni non realistiche ed inutilmente costose. Infine, dobbiamo ammettere che, poiché i singoli errori sono spesso non calcoli “scientifici”, ma stime basate su dati non certi, la distinzione tra errori assoluti ed incertezze può essere soggetta a contenziosi tra esperti. Tuttavia, il punto di vista basato sull’incertezza è ragionevole e ampiamente accettato, e noi continuiamo a raccomandarlo. Quando si calcolano i valori delle derivate parziali, Eqq. (9) fino a (12), durante la programmazione del software per l’acquisizione dati, può risultare utile adottare un metodo numerico approssimato (invece di quello analitico esatto sopra utilizzato). Calcoliamo semplicemente la variazione di potenza kW causata da piccole variazioni (tipicamente dell’ordine dell’1%) di ognuna delle variabili indipendenti, per esempio F, il rapporto, ∂kW ∂ F per esempio, risulterà molto prossimo a quello calcolato analiticamente come ∂kW . ∂F Si supponga, infine, di voler misurare i kW con un’accuratezza dello 0.5%, nell’esempio precedente. Che accuratezze sono necessarie nelle singole misure? Usando l’Equazione 4, otteniamo F =

(2248.724)(0.005) √ = 0.112 N 4 (49.972)

R =

(2248.724)(0.005) √ = 3.004 rad 4 (1.871)

(2248.724)(0.005) L = √ = 0.001 m 4 (5664.292) t =

(17)

(2248.724)(0.005) √ = 0.150 s 4 (37.479)

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Se si trova che il miglior strumento e la miglior tecnica disponibili per misurare, per esempio, F forniscono al massimo un valore pari a 0.2 N invece che 0.11 N come richiesto dall’Equazione 17, non significa necessariamente che la potenza non possa essere misurata con un’accuratezza dello 0.5%. Piuttosto, questo significa che una o più delle altre quantità R, L e t devono essere misurate più accuratamente di quanto richiesto dall’Equazione 17. Svolgendo una o più di queste misure in maniera più accurata è possibile compensare l’eccessivo errore nella misura di F. Le formule date permettono di verificare se ciò sia possibile.

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