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��������� �� ����������� PROBLEMA 1
Una instalación de telefonía está compuesta por un cuadripolo transmisor, transmisor, un generador y un receptor a) Calcular la impedancia impedancia del receptor de forma que reciba reciba la máxima potencia potencia b) Determinar dicha potencia c) Hallar los parámetros de impedancia i mpedancia del cuadripolo 600Ω
2140Ω I 1 100
1
Ω
2140Ω I 2 100
Ω
2
�
E = 1/ 0º V
16100
V 1
Ω
V 2
Z
2´
1´
Sustituyendo la fuente de tensión por una fuente de corriente
La impedancia de Thévenin es
Según el Teorema de máxima transferencia
b)
µ
c)
PROBLEMA 2
�
��������� �� �����������
Obtener los parámetros de impedancia del cuadripolo de la figura
1
I 1
��Ω
��Ω
��Ω
�Ω
I 2
2 2
V 1
��Ω
��Ω
��Ω
V 2
2´
1´
SOLUCION Teniendo en cuenta las ecuaciones de parámetros de impedancia
Calculemos los parámetros de impedancia este parámetro es la resistencia de entrada o resistencia de
Thévenin vista desde la entrada. 1
I 1
��Ω
��Ω
��Ω
2
V 1
��Ω
��Ω
��Ω
1´
Este circuito es equivalente al 1
I 1
��Ω
V 1
1´
1 I 1
��Ω
V 1
����Ω
��Ω
��Ω
�����
1´ Así pues hallando las sucesivas equivalencias llegamos a que
Para hallar esta relación se resuelve el siguiente circuito
obtenido del inicial
1
�
I 1
��Ω
��Ω
��Ω
��Ω
��Ω
��Ω
�
��������� �� �����������
Siendo
Para obtener la impedancia de salida del cuadripolo, con la entrada abierta se opera de la misma forma. El circuito visto desde la salida es ��Ω
��Ω
�Ω
I 2
1
2 2
� ��Ω
��Ω
��Ω
V 2
2´
PROBLEMA 3
Calcular los parámetros de admitancia en corto circu 1 ito de V 1 los cuad ripol 1´ os A yB
I 1
�Ω
I 2
1
2
I 1
�Ω
2
I 2 2
V 2
�Ω
V 1
2´
V 2
�Ω
�Ω
2´
1´
2´
�
��������� �� �����������
C
Cuadripolo A
Cuadripolo B
SOLUCIÓN
Teniendo en cuenta las ecuaciones de parámetros de admitancia
Cortocircuitando la salida del cuadripolo A se obtiene las siguientes relaciones
Cortocircuitando la entrada del cuadripolo A se obtiene las siguientes relaciones
Cortocircuitando la salida del cuadripolo B se obtiene las siguientes relaciones
Cortocircuitando la entrada del cuadripolo B se obtiene las siguientes relaciones
PROBLEMA 4
Consideremos un cuadripolo en T simétrico, esquematizado en la figura. Las impedancias son respectivamente . Determinar 1º) La matriz de parámetros de impedancia
2º) La matriz de parámetros de transmisión 3º) El cuadripolo en π equivalente 4º) El cuadripolo en X simétrico equivalente 5º) La impedancia característica
�
��������� �� �����������
6º) El dominio de pulsaciones para los cuales la impedancia característica es real ( Siendo una inductancia pura L=0,2H y un condensador C=10F) 1
2
2´
1´
º
2º) Mediante la tabla de conversión sacamos
3º) El cuadripolo en π equivalente será
1
1´
2
2´
�
��������� �� �����������
4º) Cuadripolo en X equivalente 1
2
1´
2´
º
6º)
Para que sea real
PROBLEMA 5
El cuadripolo en X de la figura se alimenta de una tensión impedancias son iguales. a) Calcular la diferencia de potencial b) Se conecta una impedancia impedancia
senoidal. Las
cuando la salida 22´permanece abierta
entre 2 y 2´. Calcular la d.d.p. en esta
c) Demostrar que si R es variable el cuadripolo actua como desfasador. 1
R
I 1
I 2
2
C
Z
V 2
V 1 Z
1´
2´
�
��������� �� �����������
a) De acuerdo con el circuito la tensión de salida en vacio es la mitad de la tensión de entrada V 1 / 2
I
1´
V 1 / 2
V 1
1
φ V C
V 22´
V R
b) La impedancia de salida del cuadripolo es
La tensión en la impedancia de la carga
´
c) Si R varia la tensión de salida en vacio no varía en modulo porque es el radio de la circunferencia, solo varia el desfase con relación a la tensión de alimentación
PROBLEMA 6
Dado el cuadripolo de la figura a) Determinar su matriz de parámetros mediante la asociación de dos cuadripolos en cascada
b) Cual debe ser la frecuencia de trabajo para que la tensión de salía oposición de fase con
esté en
c) En las condiciones del apartado anterior cuanto vale la ganancia de tensión �
��������� �� �����������
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
��
a) Matriz de parámetros del cuadripolo enT
Matriz de parámetros del cuadripolo en π
Por razones de cálculo llamamos
Entonces la matriz de parámetros de transmisión del cuadripolo son
b) Tomando
. De las ecuaciones del cuadriolo se obtiene
por tanto
º para ello
c) En las condiciones del apartado anterior la ganancia es
�
��������� �� �����������
PROBLEMA 7
Un cuadripolo tiene los siguientes parámetros:
Se pide hallar sus equivalentes en T y en
π
SOLUCIÓN
Como el cuadripolo es reciproco formado por tres impedancias
el cuadripolo equivalente en T está
= 2
El cuadripolo equivalente en T �
1 I 1
I 2
��
V 1
V 2
2´
1´
Conociendo el equivalente en T podemos calcular el equivalente en
impedancias
π de
mediante las relaciones siguientes
�
��������� �� �����������
Que representando esquemáticamente los valores resulta:
�
1 I 1
���� I 2
�
� V 1
2
��
V 2
���
1´
2´
PROBLEMA 8
El circuito de la figura es un ejemplo de realimentación positiva con cuadripolos asociados en serie-paralelo . 1º Obtener los parámetros hibridos del cuadripolo de la figura, en función de los parámetros hibridos de los cuadripolos A y B. 2º Obtener la ganancia de tensión de cuadripolo resultante El cuadripolo A es un amplificador operacional. El cuadripolo B es una asociación de impedancias en paralelo. Datos R B=200Ω R A=5Ω Ri=106Ω A=100 R0=3Ω
1
1
I 1
´
´
RO I 2
I 1
2
I 2 2
+ ´
V i
V 1
´
Ri
V 2
AV i ´
V 2
2´
I 2
1´
2´ I 2
V 1
1
´´ I 1
R B
´´
I 2
´´
´´
V 1
´´ I 1
1´
��
V 2
R A
I 1
1´
2
´´
I 2
2´
��������� �� �����������
Los parámetros hibridos directos del cuadripolo A son
´
´
´
Los parámetros hibridos directos del cuadripolo inferior B son
´´
´
´´
Como en esta asociación de cuadripolos se verifica que ´
´´
´
´´
Sumando los parámetros hibridos del cuadripolo A y B se obtienen las ecuaciones del cuadripolo equivalente:
Como se puede comprobar este sistema realimentado es aproximadamente equivalente al siguiente circuito. 1 I 1
=
R B
0
V i V 1
1´
2
+
R A I 1
I 2
AV i
V 2
I 2
2´ ��
��������� �� �����������
Dado que la resistencia Ri es muy grande se puede sustituir por un circuito abierto. Debido a que la resistencia R0 es muy pequeña se puede sustituir por un corto circuito. De esta forma el circuito equivalente realimentado se simplifica con la finalidad de obtener la amplificación
La corriente en R A es por tanto
La ganancia de tensión directa es
PROBLEMA 9
Los parámetros de impedancia de una línea de transmisión son:
º
º
La carga en el extremo receptor es de 4000w a 230V con un factor de potencia de 0,9 en retraso. Hallar la magnitud de la tensión y la corriente en el extremo distribuidor
1
I 1
I 2
2
V 2
V 1
1´
2´
Tomar la tensión de salida en el origen SOLUCION
La corriente a la salida es ��
��������� �� �����������
De las ecuaciones del cuadripolo se obtiene
º
º
=
º
º
De este sistema de ecuaciones se obtiene la tensión y la corriente en el extremo distribuidor 23
PROBLEMA 10
Un cuadripolo simétrico esta alimentado por una tensión E y la carga a la salida es una resistencia de 6Ω. La resistencia del cuadripolo R2 es cuatroveces la resistencia R1. Obtener cual debe ser el valor de R1 para que la resistencia de entrada (vista desde la alimentación) sea tambien de 6 Ω . Hallar las potencias a la entrada y en el receptor para determinar la ganancia de tensión 1 I 1
V 1
��
��
I 2
V 2
��
Z
. 1´
2´
��������
���� ����
La condición de igualdad de impedancias implica la siguiente relación en función de los parámetros del cuadripolo
��
��������� �� �����������
� �
��� �����
La ganancia de tensión
PROBLEMA 11
En el cuadripolo activo de la figura: 1º) Calcular las ecuaciones del cuadripolo activo en función de los parámetros de admitancia. 2º) Dibujar el circuito conductivo equivalente al cuadripolo de la figura 3º) Obtener la ganancia de tensión en función de los parámetros del cuadripolo, sin carga en la salida 2, 2´, siendo la tensión de entrada entre 1 y 1´ V 1 = 50 / 0º 1
I 1
4Ω
2 jΩ
I 2
2
− 2 jΩ �
V 1
V 2
2 20/ − 30º
2´
1´ SOLUCION:
1º Calculo de los parámetros del cuadripolo pasivo 1
I 1
4Ω
2 jΩ
I 2
2
− 2 jΩ
V 1
1´
V 2
2´
��
��������� �� �����������
Al cortocircuitar el condensador queda I 2 condensador es nula Y 11
=
I 1 V 1
V 2
1
=
0=
1 4 + 2 j
4Ω
I 1
Y 21
=
I 2 V 1
V 2
=
= − I 1 .
0=−
La corriente en el
1 4 + 2 j
2 jΩ
2
I 2
− 2 jΩ
V 2
2´
1´
La tensión en el condensador es la de salida del cuadripolo por lo que está en oposición a la corriente de entrada Y 22
=
I 2 V 2
V 1
=
0=
1 1 + 4 + 2 j − 2 j
=
4 4 − 8 j
Y 12
=
I 1 V 2
V 1
=
0=−
1 4 + 2 j
Calculo de los parámetros de cortocircuito 1
4Ω
I 10
2 jΩ
2
I 20
− 2 jΩ
V 1
=
0
�
2 20/ − 30º
V 2
=
0
2´
1´
Por estar la salida y la entrada cortocircuitada I 10
=
0
��
��������� �� �����������
I 20
=−
2 20/ − 30º 2/ − 90º
=−
2 10/ 60º = 2 10/ 240º
2º El circuito equivalente con fuentes dependientes
1
I 2
I 1
2 jΩ
−
Y 12 V 2
4Ω
2
2 jΩ I 20
Y 21 V 1
V 2
4Ω 2´
1´ 3º Las ecuaciones del cuadripolo activo son: I 1
=
1 1 V 2 50/ 0º − 4 + 2 j 4 + 2 j
I 2
=
0=−
1 4 V 2 − 2 10 / 60º 50/ 0º + 4 + 2 j 4 − 8 j
Calculo de la ganancia de tensión: 4 1 V 2 = 50/ 0º + 2 10/ 60º 4 − 8 j 4+2j 4 V 2 = 0,45/ 85,63º V 2 = 0,22/ − 29,45º 50/ 0º + 2 10/ 60º 8,94/ − 85,63º V 2
=
0,22/ − 29,45º 50/ 0º 2 10/ 60º + 0,45/ 85,63º 0,45/ 85,63º
=
0,49 / − 115´08º +31,42 / − 25,63º
PROBEMA 12
Una línea eléctrica suministra energía a un centro de consumo de P =25Mw con un factor de potencia 0,85 inductivo, siendo el voltage a la entrada al centro K v
La línea se puede representar por un cuadripolo de parámetros
��
��������� �� �����������
1º) Se pide calcular la tensión en el origen de la línea 2º) Calcular la potencia activa suministrada a la línea En el extremo receptor de la línea se conecta un transformador cuyo esquema equivalente es A cuyo secundario se le conecta la misma carga que en el caso anterior 1 I 1
3+40jΩ
I 2
�����������
V 1
V 2
2´
1´
3º) Que tensión existe en el origen de la línea, referida a la tensión en bornes de la carga 4º) Si el secundario del transformador está en vacio y a la tensión de 127Kv. ¿ Cual es la tensión en el origen de la línea? SOLUCIÓN
1º) Calculemos la intensidad en la carga
Calculemos
tomando como referencia º
º
La tensión en el origen de la línea se calcula con las ecuaciones de parametros
º
º
º
º
º
kV
2º) Calculando la corriente en la cabecera de la línea y con la tensión obtenida se podra calcular la potencia en ella �
3º) Como el transformador está representado por un cuadripolo en L, calculamos la matriz de parámetros. Del cuadripolo se obtienen las ecuaciones:
��
��������� �� �����������
La matriz de transferencia será:
º
º
º
Al conectarle a la línea el transformador estamos realizando una asociación de cuadripolos en cascada. Así pues la matriz de transmisión será el producto de las matrices de transmisión de ambos cuadripololos
º
º
º
º
º
º
=
��
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