documentslide.com_trabajo-algebra-momento-4.pdf

ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA TRABAJO COLABORATIVO, MOMENTO 4

PRESENTADO A: MARIO JULIAN DIAZ.

INTEGRANTES: JOHN ENEIDER ANACONA. 108170322 EDWIN FERNANDO DIAGO.10302156 CARLOS ALFREDO IMBAQUIN. 1085260650 JUAN CARLOS RAMIREZ. 6 105724 DAMARIS YULIET SILVA. 1086549128

GRUPO: 301301_399

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD” COLOMBIA ABRIL 3 DE 2015

INTRODUCCIÓN En el presente trabajo analizaremos y desarrollaremos los temas de la unidad 2 del módulo de algebra cada integrante del grupo de trabajo aporto sus conocimientos de los procedimientos que se deben tener en cuenta y puntos de vista para el desarrollo de los problemas planteados, describiendo e interpretando analítica y críticamente los diversos tipos de funciones, trigonométricas e hipernometricas, atreves del estudio teórico y análisis de casos modelos con los cuales podemos utilizarlos como herramientas matemáticas en la solución a posibles situaciones en el campos socia y académico. Identificaremos los conceptos y los fundamentos de las funciones de trigonometría e hipernometría, así mismo explicaremos y analizaremos estos fundamentos y conceptos.

EJERCICIO 1

𝐹(𝑋) =

√4𝑋 − 3 𝑋2 − 4

4𝑋 − 3 ≥ 0 4𝑋 ≥ 3 𝑋≥

3 4

3 𝐷𝐹: 𝑋 ∈ [ , ∞) 4

𝑋2 − 4 ≠ 0 𝑋2 ≠ 4 𝑋 ≠ √4 𝑋≠2

DF: X lR − {2}

3

DF: X ∈ [4 , 2) ∪ [2, ∞)

Comprobación Geógebra

𝐹(𝑋) =

√4𝑋 − 3 𝑋2 − 4

Ejercicio 2

2) determinar el rango de la función

𝑓(𝑥) =

X+6 √X − 5

Como f(x)=y Y=

X+6 √X−5

Y* √X − 5 = X+6 [Y* √X − 5]2 = [X+6]2 𝑌 2 * √X − 5 = 𝑋 2 + 12𝑋 + 36

(A+B) = 𝐴2 + 2𝐴𝐵 − 𝐵 2

𝑌 2 * (X-5) = 𝑋 2 + 12𝑋 + 36 𝑌 2 X -5𝑌 2 = 𝑋 2 + 12𝑋 + 36 0=𝑋 2 + 12𝑋 + 36−𝑌 2 X +5𝑌 2 0=𝑋 2 + 12𝑋−𝑌 2 X + 36 +5𝑌 2 𝑋 2 + 12𝑋−𝑌 2 X + 36 +5𝑌 2 = 0 𝑋 2 + (12 − 𝑌 2 )𝑋 + (36 + 5𝑌 2 ) = 0 A𝑋 2 + BX+C =0 A=1

B=12-𝑌 2 C=36 + 5𝑌 2

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥= 2𝑎 −(12 − 𝑌 2 ) ± √(12 − 𝑌 2 )2 − 4(1)(36 + 5𝑌 2 ) 𝑥= 2(1) 𝑥=

−12 + 𝑌 2 ± √144 − 24𝑌 2 + 𝑌 4 − 144 − 20𝑌 2 ) 2

𝑥=

𝑥=

−12 + 𝑌 2 ± √𝑌 4 − 44𝑌 2 2

−12 + 𝑌 2 ± √𝑌 2( 𝑌 2 − 44) 2

−12 + 𝑌 2 ± Y√𝑌 2 − 44 𝑥= 2 𝑌 2 − 44 ≥ 0 2

𝑌 2 − √44 ≥ 0 𝑌 2 − (2√11)2 ≥ 0 (𝑌 − 2√11)(𝑌 + 2√11) ≥ 0

y − 2√11 > 0

√44 = √22 ∗ 11 = 2√11

y > 2√11

2√11

0

y + 2√11 > 0 Y > −2√11

−2√11

2√11

0

(Y-2√11 )(Y+2√11) −2√11 S=(−∞, −2√11]𝑈 [2√11 , +∞)

Rg= (−∞, −2√11]𝑈 [2√11 , +∞)

Comprobación Geógebra

0

2√11

3 EJERCICIO

𝑓(𝑥) =

2𝑥 − 1 ; 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 2 2

a) (𝑓 + 𝑔)(2) (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)(2) =

2𝑥 − 1 +2 2

2(2) − 1 4−1 3 12 + 3 15 = +22 + 2 = +4+2= +6 = = 2 2 2 2 2

Comprobación Geógebra

b) (𝑓 − 𝑔)(2) (𝑓 − 𝑔)(𝑥) =

2𝑥 − 2 − (−𝑥 2 + 2) 2

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = (𝑓 − 𝑔)(2) =

2𝑥 − 1 − 𝑥2 − 2 2

2(2) − 1 4−1 3 3 − 12 9 = −(2)2 − 2 = −4−2= −6= =−− 2 2 2 2 2

Comprobación Geógebra

C) (𝑓 ∗ 𝑔)(3) 2𝑥 − 1 (𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥) = ( ) (𝑥 2 + 2) 2 2(3) − 1 6−1 5 55 (𝑓 ∗ 𝑔)(3) = ( ) (32 + 2) = ( ) (9 + 2) = ( ) (11) = 2 2 2 2 Comprobación Geógebra

𝑓

d) (𝑔) (−3) 2𝑥 − 1 𝑓 ( ) (𝑥) = 2 2 𝑔 𝑥 +2 2(−3) − 1 𝑓 2 ( ) (−3) = 𝑔 −32 + 2 −6 − 1 2 = 9+2 −7 −7 7 = 2 = =− 11 22 22 Comprobación Geógebra

EJERCICIO 4

𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2

𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1

a) (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) (𝑓 𝑜 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = √ 𝑔(𝑥 + 2) = √𝑥 2 − 1 + 2 = √𝑥 2 + 1

Comprobación en Geogebra

b) (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = (𝑓(𝑥))2 − 1 = (√𝑥 + 2)2 − 1 = 𝑥 + 2 − 1 = 𝑥 + 1 Comprobación en Geogebra

c) (f+g)(x)

(f +g)(x)= 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2 + 𝑥 2 − 1 Comprobación en Geogebra

d) (f- g)(x) (f-g)(x) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2 − (𝑥 2 − 1) = √𝑥 + 2 − 𝑥 2 − 1 Comprobación en Geogebra

EJERCICIO 5

2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑥 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1) = 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 − (1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1) 𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1) = = 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 − 1𝑠𝑒𝑛2 𝑥 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 =

Solución: 𝑐𝑜𝑡𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = = 𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 𝑠𝑒𝑛𝑥

Ejercicio 6 Demuestre la siguiente identidad, usando las funciones de las diversas identidades hiperbólicas fundamentales.

𝑡𝑎𝑛ℎ𝑥

= 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 =

1−𝑡𝑎𝑛ℎ2 𝑥

𝑡𝑎𝑛ℎ𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 1 − (𝑡𝑎𝑛ℎ𝑥)2

𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥2 1− 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥2

= 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥

𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥− 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 1 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥

= 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥

𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 = 1

= 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥

senhx∗𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 coshx

= 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥

𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 ≠ 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥

Se utilizaron las definiciones de las identidades hiperbólicas fundamentales pero no se cumple ninguna igualdad.

Ejercicio 7

Un avión que pasa 60 metros sobre la azotea de un edificio de 40 metros de altura, desciende 200 metros hasta tocar tierra en un lugar A. ¿Con que ángulo descendió? ¿Qué distancia hay entre la base del edificio y el lugar A? ¿Con que ángulo descendió?

Avión 60mts

Azotea 40mts

θ?

200mts

30ᵒ A?

X 60° por que. Solución

𝑐𝑜𝑠𝑥 =

100 1 = 200 2

1 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( ) = 60° 2 Respuesta: desciende con un Angulo de 60° Solución pregunta 2

√(200)2 (100)2 = √30000𝑚2 = 100√3 = 173𝑚 Respuesta: la distancia que hay entre la base del edificio y el lugar A es 173m.

Ejercicio 8

Desde lo alto de un globo se observa una ciudad A con un ángulo de 50°, y otra ciudad B, situada al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60°. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros de la ciudad A y a 4 kilómetros de la ciudad B. Determine la distancia entre las ciudades A y B. 𝐶𝑂𝑆 60° =

𝑋1 4

𝑋1 = 4 . 𝐶𝑂𝑆 60° 𝑋1 = 2 Km

𝐶𝑂𝑆 50° =

𝑋2 6

𝑋2 = 6 . 𝐶𝑂𝑆 50° 𝑋2 = 3,85 Km 𝑋1 + 𝑋2 = 2 Km + 3,85 Km X = 5,85 Km

Respuesta= La Diferencia entre las 2 Ciudades es de 5.85 km

B

A

C

Ejercicio 9 2𝑐𝑜𝑠 2 x + √3 senx = −1

Como: 𝑠𝑒𝑛2 x + 𝑐𝑜𝑠 2 x = 1 𝑐𝑜𝑠 2 x = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 x Entonces: 2[1-𝑠𝑒𝑛2 x]+ √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −1 2-2𝑠𝑒𝑛2 x+ √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0 -2𝑠𝑒𝑛2 x+ √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3 = 0 -2𝑠𝑒𝑛2 x+ √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3 = 0 𝑎𝑥 2 +bx+c=0 A=-2

sea X=senx

b=√3

c=3 𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 2

−√3 ± √(√3) − 4(−2)(3) 𝑥=

2(−2) 𝑥=

−√3 ± √3 + 24 −4

𝑥=

−√3 ± √27 −4

𝑥=

−√3 ± 3√3 −4

𝑥=

−√3 + 3√3 −4

𝑥=

2√3 −4

𝑥1 = −

√3 2

𝑥=

−√3 − 3√3 −4

𝑥=

−4√3 −4

𝑥2 = √3 COMO X = sen x Sen x = −

√3 2

X = 𝑠𝑒𝑛−1 (−

sen x = √3 √3 2

)

sen x = 1.73 no tiene solución

porque el

1,73 se sale del rango den senx que es [−1,1]

X = −600

X=180+600

v

𝑥 = 3600 − 600

X=2400

v

x =3000

Cs = {2400 , 3000 }

CONCLUCIONES.

Al finalizar nuestro trabajo nos damos cuenta de que como estudiantes podremos interpretar analítica y críticamente los diversos tipos de funciones, trigonometría e hipermetropía, a través del estudio teórico y el análisis de casos modelos, estos nos permitieron prepararnos para poder enfrentar futuros relacionadas con esta área y poder resolverlos por medio de los conocimientos adquiridos El software GeoGebra es una herramienta q con el conocimiento adecuado nos ayuda a entender y analizar mejor este tipo de problemas ya que nos grafica las funciones y nos da un concepto más amplio y claro de las funciones trigonometría y hipernometria Se diferencia y se identifican conceptos sobre dominio y rango e identidades así como también trigonometría y hipernometria.

BLIBLIOGRAFIA

Geogebra. Herramienta online para graficar y comprobar ecuaciones y funciones. Recuperado el 3 de abril de 2015 de: https://login.geogebra.org/user/signin/caller/web?clientinfo=startup&url=http://web.geogebra.o rg/chromeapp/ Objeto de información: funciones. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de: http://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/AVA_-_301301/funciones_presentacion.ppt Objeto de información: trigonometría. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de: http://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/AVA_-_301301/funciones_presentacion.ppt Tangente hiperbólica. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de: https://www.youtube.com/watch?v=IIU2DlBrqQg Dominio de funciones. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de: :https://www.youtube.com/watch?v=qOCMPXoxJyg Clases de funciones. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de https://www.youtube.com/watch?v=oo-OlMQI7nI Funciones exponenciales Recuperado el 28 de marzo de 2015 de https://www.youtube.com/watch?v=8IU7RKr80gI Rango de una función racional. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de https://www.youtube.com/watch?v=0lMR7K5GOlo Dominio y rango de una función racional con radical en el denominador. Recuperado el 28 de marzo de 2015 de https://www.youtube.com/watch?v=XPDYguWEBdM