Documento Trabajo Topografía

APUNTES DE TOPOGRAFÍA

UNIDAD I

INTRODUCCIÓN Y GENERALIDADES

OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD 

Que el alumno analice al término de la unidad la importancia de la Topografía en la Ingeniería Civil y la Arquitectura, así como la de sus ramas auxiliares, que interprete los conceptos básicos de la Topografía y resuelva problemas derivados del manejo de los sistemas de unidades empleadas en la asignatura.

TEMAS 1.1 Exposición de los objetivos de la asignatura y su relación con otras materias del plan de estudios. 1.2 Aplicación profesional de la topografía, definición y partes en que se divide para su estudio 1.3 Conceptos de levantamientos topográficos clasificación de los levantamientos topográficos. 1.4 Unidades de medida empleadas en topografía.

INTRODUCCIÓN Y GENERALIDADES El dominio del ser humano sobre la naturaleza se mide por los logros de los ingenieros civiles, las  personas que qu e construyen constru yen puentes, presas, carreteras y ferrocarriles, edificios, que excavan canales can ales y levantan defensas costeras para contener la fuerza del mar. Sus obras, una vez terminadas, apenas reciben atención, a no ser que fallen, en cuyo caso se oye un coro de lamentaciones. Y esto se debe a que, a diferencia de otras formas de ingeniería, se espera que estas obras duren para siempre, que constituyan una modificación permanente del entorno natural. Los ingenieros civiles y los arquitectos no solo trabajan para sus clientes, sino también tienen que hacerlo para la  posteridad. Algunas obras son tan enormes y permanentes que sobreviven incluso a su función original. La gran muralla china, posiblemente la construcción más importante de la historia de toda la civilización, todavía se extiende de colina a colina a través de la inmensidad del país, a pesar de que la amenaza que debía contener hace mucho que desapareció. El canal de Panamá alteró la geografía de manera permanente, aunque es posible que algún día deje de utilizarse. La La presa de Grand Coluleg convirtió en tierra cultivable una extensión desértica del estado de Washington que  jamás había producido nada y la costa co sta de los Países Bajos ha quedado radicalmente modificada y los holandeses confían en que el cambio sea permanente por el Plan Delta Delta A pesar de su permanencia, el trabajo de los ingenieros civiles y los arquitectos nunca termina. En cuanto se concluye un gran proyecto, surge otro aun más ambicioso y se debe a los adelantos que la técnica ha hecho posible y es con el empeño de adoptar y utilizar la naturaleza.

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BREVE RESEÑA HISTORICA En realidad se desconoce el origen de la topografía; se cree que fue en Egipto donde se hicieron los primeros trabajos topográficos, de acuerdo a las referencias de las escenas representadas en muros, tablillas y papiros de hombres realizando mediciones de terreno. Los egipcios conocían como ciencia pura lo que después los griegos bautizaron con el nombre de “Geometría” (medir la tierra) y su aplicación en lo que pudiera considerarse como topografía o quizás mejor dicho etimológicamente “topometría”. Hace 5,000 años existía la división de predios

 para fines de impuestos, a los agrimensores primitivos se las llamaba estiradores de cuerdas,  porque sus medidas las realizaban con sogas que tenían marcas a determinadas distancias correspondientes a las unidades de medida. En base a estos trabajos, los primeros filósofos griegos desarrollaron la ciencia de la geometría, geometría, Heron destaca en forma prominente por haber efectuado la aplicación de la ciencia a la topografía, alrededor del año 120 AC, fue autor de varios tratados importantes de interés para los ingenieros, entre los que se cuenta uno llamado la dioptra, en el cual relaciono los métodos de medición de un terreno, el trazo de un plano y los cálculos respectivos, también se describe el primer instrumento topográfico llamado precisamente dioptra ( ver Fig. 1), otro que le siguió fue el Chorobates (ver Fig. 2)

Fig. 1

Fig. 2

La habilidad técnica de los romanos la demuestran las grandes obras de construcción que realizaron en todo el imperio. La topografía necesaria para estas construcciones origino la organización de un gremio o asociación de topógrafos y agrimensores, usaron y desarrollaron ingeniosos instrumentos, entre los que se encuentran los llamados: groma, que se uso para visar, libella que se utilizaba para nivelar así como el chorobates también servia para nivelar.

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Fig. 3

Fig. 4

En el siglo XIII aparece el astrolabio, el cual contiene un círculo metálico con un índice articulado. La topografía avanzo más rápidamente en los siglos XVIII y XIX, la necesidad de mapas y la fijación de los linderos nacionales, hicieron que Inglaterra y Francia realizaran extensos levantamientos que requirieron de triangulaciones de precisión, por lo que dio origen a los levantamientos geodésicos.

LA TOPOGRAFÍA ES ARQUITECTURA

LA

ESENCIA DE LA INGENIERIA CIVIL

Y LA

La topografía ha sido favorecida por los adelantos de la ciencia, con instrumentos y dispositivos que superan tanto en precisión como en rapidez a los sistemas tradicionales de medición, para lograrlo han combinado las técnicas más avanzadas en óptica y electrónica, y desarrollar los trabajos de campo en forma más rápida y precisa (Distancio metros, Estación Total, niveles electrónicos, niveles con rayo láser y GPS). Lo que ha permitido mejorar las técnicas de elaboración de planos (sistemas de autocad, civil cad, etc.) El ingeniero civil y/o el arquitecto no debe ni puede mantenerse ajeno a estos cambios, mucho menos el estudiante, quien debería ser elemento activo y no solo testigo de este proceso evolutivo. En este tiempo es incuestionable que el ingeniero debe ser polifuncional.

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IMPORTANCIA DE LA TOPOGRAFIA El elemento básico para la ingeniería civil y la arquitectura, ha sido siempre y lo seguirá siendo el  plano topográfico, sin el prácticamente sería imposible cualquier proyecto y obra de ingeniería. La  planeación y ejecución del levantamiento topográfico son actividades de especial importancia dado que el nivel de precisión que se alcance está directamente vinculado con la aplicación  posterior del plano topográfico topo gráfico así como es importante la interpretación de las líneas, direcciones y demás cantidades físicas representadas en un plano, por lo tanto es básica la topografía en la ingeniería civil. Cabe mencionar que no significa que los postulados de la topografía clásica hallan perdido validez a pesar del desarrollo técnico, ya que es fundamental para el ingeniero civil los métodos tradicionales de la topografía puesto que finalmente se emplea para la planificación, construcción y supervisión de obras tales como: edificios, vías férreas, puentes vehiculares, túneles, carreteras, sistemas de transito rápido, mantenimiento de presas, sistemas de drenaje, fraccionamiento de terrenos, líneas de transmisión, etc. La topografía tiene un campo de aplicación extenso, lo que la hace sumamente necesaria para el ingeniero civil y el arquitecto; sin su conocimiento no podría por si solo proyectar alguna obra, sin un buen plano, no podría proyectar debidamente un edificio o trazar un fraccionamiento, sin el levantamiento de secciones transversales no le sería posible proyectar presas, puentes, gasoductos, sistemas de aprovechamiento de agua potable, canales de riego, obras de irrigación o carreteras, sistemas viales de tránsito rápido, tampoco podría señalar una pendiente determinada como se requiere en un alcantarillado, actividades también relacionadas con la geología, la silvicultura, la arquitectura del paisaje y la arqueología. La topografía también se requiere para instalar maquinaría y equipo industrial, por lo que esta en mayor o en menor escala en casi todas las obras que el hombre hace o pretende hacer. La topografía tiene como finalidad

DEFINICIÓN DE TOPOGRAFÍA.- La topografía es el arte y la técnica de representar de modo grafico las formas y los detalles naturales y artificiales de una zona de la superficie terrestre.

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APUNTES DE TOPOGRAFÍA La palabra topografía se deriva de dos voces griegas: TOPO  –   LUGAR y GRAPHOS  –  DESCRIPCIÓN  y nos enseña a representar una porción limitada de la superficie terrestre por medio de una figura geométrica semejante. La topografía determina los límites, el área, las elevaciones y las estructuras en la superficie de la tierra. Con el auxilio de la geometría analítica y el dibujo en la confección de un plano de una determinada zona. Hoy en día esta definición se ha visto enriquecida y beneficiada por teoremas y adelantos computacionales así como vía satélite que ya se aplican en campo y gabinete.

CLASIFICACION DE LOS LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS: a) Levantamientos topográficos de terrenos en general en donde se tiene que señalar o localizar linderos, medir y dividir superficies, localizar terrenos en planos generales o ligas con levantamientos anteriores que pueden ser para regularizar. b) Levantamientos topográficos para obra civil y construcción con datos específicos. c) Levantamientos topográficos para vías de comunicación que serán necesarios para estudiar localizar y trazar carreteras, ferrocarriles, canales, líneas de transmisión, oleoductos, acueductos, etc. d) Levantamientos topográficos de minas, donde se ligan los trabajos topográficos de superficie con los subterráneos. e) Levantamientos topográficos fotogrametrìcos mediante fotografías aéreas. f) Levantamientos topográficos catastrales, se realizan en zonas urbanas, ciudades y municipios para planos reguladores. DIVISIÓN DE LA TOPOGRAFÍA. Para su estudio la topografía se divide en tres partes. TOPOLOGÍA.- Estudia las leyes que rigen las formas del terreno

Topografía

TOPOMETRÍA.- Establece los métodos geométricos de medida

PLANOGRAFÍA .- Representación grafica de los levantamientos (dibujo topográfico)

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APUNTES DE TOPOGRAFÍA La topometría se divide a su vez de la siguiente forma. DISTANCIAS LEVANTAMIENTO DEL PERÍMETRO PLANIMETRÍA

ANGULOS DIRECCION

LEVANTAMIENTO DE DETALLES

RADIACIONES

TOPOMETRIA ALTIMETRÍA

NIVELACIÓN (ELEVACIONES, COTAS O ALTURAS)

AGRIMENSURA

AGRODESIA

DIVISIÓN DE TERRENOS

TAQUIMETRÍA

PLANIMETRÍA Y ALTIMETRÍA SIMULTANEAS

CONCEPTO DE LEVANTAMIENTO Se entiende por levantamiento, al conjunto de operaciones que se ejecutan en el campo, y de los medios puestos en practica para fijar la posición de los puntos y su representación posterior en el  plano Uno de los aspectos más importantes para el levantamiento que el ingeniero debe considerar es el aspecto legal, una vez existiendo toda la libertad de poder ejecutar el levantamiento se realiza un recorrido por el polígono, predio, terreno o zona para materializar los vértices y así poder elegir el equipo y el método más conveniente para ejecutar dicho levantamiento. En la materialización de los vértices se recomienda utilizar estacas, trompos, clavos para concreto o placas metálicas. Atendiendo a su extensión, los levantamientos pueden ser: TOPOGRÁFICOS GEODESICOS.

Y

LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS.- son los que se extienden sobre una porción relativamente pequeña de la superficie terrestre, sin error apreciable, se considera como si fuera  plana. Las dimensiones máximas de las zonas representadas en los planos topográficos no superan en la práctica los 30 km de lado, límites dentro de los cuales se puede hacer abstracción de la curvatura de la superficie terrestre. L evanta evan tam m i entos ent os geodé geod é sicos  sic os    son aquellos que abarcan grandes extensiones y obligan a tomar  son

en cuenta la forma de la tierra, ya sea considerándola como una verdadera esfera, o más exactamente, como un esferoide de revolución. Estos levantamientos se salen de los límites de la topografía y entran en el dominio de la geodesia.

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UNIDADES EMPLEADAS EN TOPOGRAFÍA Y TRANSFORMACIONES. Todos los trabajos y cálculos topográficos se deben expresar en términos términos de unidades específicas, es decir, se requieren mediciones angulares, lineales y de elevación o también las relativas a longitud, área, volumen y direcciones. Existen en la actualidad a nivel mundial dos sistemas de medición para especificar unidades de medida y son: El sistema Ingles y el sistema métrico. La unidad Internacional de medida lineal es el metro, que originalmente al metro se definió como la 1/10, 000,000 del cuadrante meridional de la tierra.

1.- El sistema métrico decimal decimal se clasifica en: a) Unidades lineales. El metro (m) se subdivide a su vez en: 1 mm = 0.001m 1 cm = 0.01m 1 dm = 0.10m 1 Km. = 1000 m

son las unidades que más se emplean en topografía

 b) Unidades de área, se refiere a la superficie de una determinada zona. Metro cuadrado m2, cm2, dm2, m2 la hectárea que es la unidad métrica en Europa y equivale a 10, 000 m2 y para grandes extensiones territoriales el km2 c) Unidades de volumen, las unidades de volumen que se utiliza en México es el m3.

2.- El sistema angular se clasifica en: a) Sistema sexagesimal (DEG) En las unidades sexagesimales para medición angular es el grado, el minuto y el segundo: el valor angular que se extiende alrededor de un punto en un plano equivale a 360°, 1° = 60’ y 1’ = 60”. Por ejemplo: 275° 40’ 56”

 b) Sistema en gradientes (GRAD).-La unidad angular es el grado centesimal, el valor que se extiende alrededor de un punto en un plano es igual a 400G, 1G = 100 minutos centesimales y 1minuto centesimal = 100 segundos centesimales. Por ejemplo: 100G 42´ 88´´ se representa así 100.4288

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APUNTES DE TOPOGRAFÍA c) Sistema en radianes.- Un radián es una medida adimensional, un radián, o 1 Rad., es el ángulo que subtiende a un arco. 1° = π = 0. 0174533 (radianes) 180°

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UNIDAD II PLANIMETRIA OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD Al término de la unidad el alumno: 

   

Aplicará las técnicas correspondientes para la medición de distancias en terreno plano y accidentado, Identificará los errores que se cometen durante las mediciones lineales y aplicará los métodos de campo y cálculo para compensarlos. Explicará que es una poligonal topográfica y clasificará los tipos que existen Analizará los métodos de levantamientos topográficos de poligonales con cinta y balizas Calculará los ángulos internos y la superficie por métodos trigonométricos. Realizará levantamientos topográficos con cinta.

DISTANCIA.-  La distancia es lo que existe entre dos puntos cualesquiera, ubicados en un espacio tridimensional. La medición de distancias es la base de toda la topografía, la distancia entre dos puntos significa su distancia horizontal. Si los puntos están a diferente elevación, su distancia es la longitud horizontal. D.I.= Distancia Inclinada D.N = Distancia Natural D.N

D.I. D.V.

D.V= Distancia Vertical D.H Fig. 6

D.H= Distancia Horizontal

EQUIPO EMPLEADO EN LA MEDICION CON LA CINTA EN TERRENO HORIZONTAL E INCLINADO. 1.- En la medición de distancias entre 2 puntos se emplean generalmente: a) Cinta o longimetro de acero, de lienzo o polyester.  b) Estacas de madera o trompos. c) fichas de alambrón. d) 2 plomadas. e) 2 balizas

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Fig. 7

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Medición en terreno horizontal. En el levantamiento de distancias en donde el terreno es sensiblemente plano (que no exista una pendiente no mayor de 2°), se recomienda no apoyar la cinta sobre el terreno, para que no tome la forma del mismo, es decir se deben elevar los extremos de la cinta y tomar la distancia  por el método de ida y vuelta para lograr su precisión. precisió n.

TERRENO PLANO Sentido de la medición

 DISTANCIA  DISTANCIA

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Medición en terreno inclinado En este caso se sugiere tomar las distancias parcialmente y alineando la cinta entre los extremos o de preferencia tomar el ángulo vertical y la distancia inclinada, para que por medio de la trigonometría se calcule la distancia horizontal. Es más precisa la distancia horizontal cuando se calcula con los elementos anteriores, porque así no se arrastran errores. La precisión de la distancia que se mide con cinta, depende del grado refinamiento con que se tomaron las mediciones. En los trabajos de ingeniería, el ingeniero civil estará sujeto a errores

TERRENO INCLINADO Fig. 9

ERRORES, CLASIFICACIÓN, TOLERANCIA Y PRECISIÓN Las medidas o magnitudes reales en los levantamientos topográficos no existen, son solo medidas o magnitudes probables, para poder llegar a una probable medida real se tendría que medir aproximadamente 900, 000 veces. Al referirnos a las medidas es importante distinguir entre exactitud y precisión.

Exactitud.- Es una absoluta aproximación a sus verdaderos valores de las cantidades medidas o el grado de conformidad con un patrón. Precisión.- Se refiere al grado de refinamiento o consistencia de un grupo de mediciones y se evalúa con base en la magnitud de las discrepancias. El grado de precisión depende de la sensibilidad del equipo empleado y de la habilidad del observador. PRECISION = EL P

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APUNTES DE TOPOGRAFÍA El ingeniero debe conocer las fuentes de error, el efecto de los diferentes errores, en las cantidades que se observan y que este familiarizado con el procedimiento para mantener la  precisión requerida.

.

PRECISOS PERO  NO EXACTOS

NI PRECISOS NI EXACTOS

TANTO PRECISOS COMO EXACTOS

Fig. 10 Las fuentes de error generalmente son: INSTRUMENTALES

FUENTES DE ERROR

PERSONALES

 NATURALES

INSTRUMENTALES.- Se originan por imperfecciones o ajustes defectuosos de los instrumentos con que se toman las medidas. PERSONALES.- Se producen por falta de habilidad del observador para manejar los instrumentos. NATURALES.- Se debe a las variaciones de los fenómenos de la naturaleza como son: la gravedad, temperatura, presión atmosférica, humedad, viento, etc. SISTEMATICOS CLASES DE ERROR ACCIDENTALES

SISTEMÁTICOS.- Para condiciones de trabajo fijo, en el campo son constantes y del mimo signo, por lo tanto son acumulativos; siguen siempre una ley definida matemática o física y se  pueden determinar, deter minar, así como corregir aplicando métodos matemáticos en el trabajo de d e campo o aplicando correcciones a las medidas. APUNTES DE TOPOGRAFIA

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ACCIDENTALES.- Se deben a una combinación de causas que no alcanza el observador a controlar. Para cada observación la magnitud y el signo algebraico del error dependen del azar y no pueden determinarse. Como todos los errores accidentales tienen las mismas probabilidades de ser POSITIVOS (+) que NEGATIVOS (-) existe cierto efecto compensador, solo se puede reducir por medio de un mayor cuidado en las medidas y aumentando el número de ellos. MEDICIONES ELECTRÓNICAS Los avances científicos han conducido al desarrollo de instrumentos electro-ópticos y electromagnéticos que son de gran valor y utilidad para el ingeniero civil en la ejecución de mediciones precisas en distancias. Los primeros instrumentos electrónicos comenzaron a aparecer por el año 1948, el llamado geodimetro, el cual transmitía radiación visible y era capaz de medir distancias hasta 40 Km.  posteriormente en 1957 se diseña el telurómetro el cual transmitía microondas y tenia capacidad para medir hasta 80 Km. De día o de noche. En la década de los 60 se diseñan los instrumentos IEMD, miden distancias, exactas, rápida y fácilmente, largas o cortas, sobre carreteras muy transitadas o terrenos inaccesibles. En estos aparatos aparecen automáticamente en forma digital las distancias, en pies o en metros. En la actualidad la mayoría de los los aparatos tiene microcomputadoras integradas que calculan los los elementos horizontales y verticales. Así mismo estos instrumentos traen integrados teodolitos digitales y microprocesadores o distancio metros, para así formar la estación total. Existen en el mercado distintas marcas tales como: TOPO-CON, SOKIA, LEICA, ZEISS, PENTAX entre otras, pero todas tienen el mismo objetivo, facilitar los trabajos y tener más  precisión y exactitud en los mismos. A continuación se ilustran algunos de ellos.

Fig. 11 A principios de la década de los noventa, entro en México un nuevo sistema para realizar los levantamientos, el cual se denomina: SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL APUNTES DE TOPOGRAFIA

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(GPS), en la actualidad se esta generalizando su uso, ya que estos equipos en forma eficaz y eficiente pueden posicionar puntos sobre la superficie terrestre con gran precisión y exactitud las coordenadas: LATITUD, LONGITUD Y ALTITUD.

Fig. 12 CONCEPTO DE POLIGONAL.-Es una figura geométrica plana de varios ángulos limitada  por líneas rectas o curvas. La poligonación es un método rápido y cómodo para el establecimiento del control horizontal de las obras de ingeniería, también son muy útiles en los levantamientos topográficos, en una  poligonal se parte de alguna posición conocida, así como de un azimut, dirigiéndose hacia otro  punto, midiendo los ángulos y distancias a lo largo de su desarrollo, hasta llagar al punto requerido. Si la poligonal regresa a su punto de partida, se le denomina poligonal cerrada, cuando esto no sucede, se dice que la poligonal es abierta. Las poligonales se trazan con múltiples objetivos, entre los que destacan: La ubicación o establecimiento de límites o linderos en los levantamientos de alguna  propiedad. Para la realización de la localización y del trazo constructivo de carreteras, vías férreas,  puentes vehiculares, construcción de naves industriales, etc.

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POLIGONAL CERRADA Poligonal cerrada  es aquella cuyos extremos inicial y final coinciden; es decir, es un  polígono cerrado.

Poligonal abierta  es una línea quebrada de n  lados o aquella poligonal cuyos extremos no coinciden.

Los levantamientos con cinta son aquellos que se realizan con el uso de la cinta, se aplican generalmente en terrenos de dimensiones reducidas, considerablemente planos y despejados. Los métodos más usuales en los levantamientos con cinta son: Radiaciones, diagonales y lados de liga. Estos consisten en dividir el polígono en triángulos, con el objeto de calcular el área de cada triángulo y la suma de todos los triángulos nos dará la superficie total, así como saber por medio de la formulas trigonométricas los valores de los ángulos. Los trabajos de topografía en general se clasifican en trabajos de campo y trabajos de gabinete. A) trabajo de campo: 1. Reconocimiento del terreno. 2. Elección del método de levantamiento. 3. Materialización de los vértices. 4. Dibujo del croquis y los detalles, detalles, así como indicar hacia donde se encuentra el Norte, además. 5. Medida de los lados del polígono de ida y vuelta  así como las líneas auxiliares (diagonales).

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CONCEPTO DE ESCALA.- La escala es una expresión de lo que existe entre lo real y lo dibujado. La escala de un plano plano es la relación fija que todas las distancias en el plano guardan con las distancias correspondientes en el terreno. Se pueden expresar por relaciones numéricas o gráficamente. Al hablar de un plano topográfico, nos referimos a una hoja de papel en la cual se ha de representar una porción de terreno. Para que este dibujo se pueda interpretar con las características, forma, detalle, dirección, etc., es necesario que sus dimensiones estén en razón con las del terreno. Por lo que se puede decir que “x” unidades de medida en el plano corresponden a “y” unidades de medida sobre el terreno. A esto también se le llama escala.

Existen escalas numéricas y escalas graficas. Escala numérica.- Para el ingeniero civil es importante la correcta interpretación de una escala numérica en cualquier sentido: E= Escala L= Magnitud del plano 1 l  Fórmula de la escala topográfica L= Magnitud del Terreno  E 



 L

ESCALAS GRAFICAS.- Es una línea subdividida en distancias que corresponden a determinado número de unidades del terreno como módulos comparativos a la misma escala del plano, en la practica es necesario que la escala grafica tenga una representación adecuada, de tal forma que al usarla no represente ningún obstáculo. Esta se representa por una recta dividida en partes iguales, anotando en cada una a partir del cero la magnitud equivalente en el terreno. La longitud de estos segmentos se elige de modo que quede expresado por un número sencillo; así por ejemplo, la escala grafica de 1: 5000 la representaremos dividiendo la recta en dobles centímetros, anotando en estas divisiones, de izquierda a derecha, cero metros, 100 metros, 200 metros, etc. A la izquierda del cero se lleva otra división más subdividida en diez partes iguales, cada una de las cuales representa 10 metros

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Dibujo.-  es el procedimiento utilizado para representar la topografía, trabajos de ingeniería, edificios y que consiste en un dibujo normalizado. La utilización del dibujo es importante en todas las ramas de la ingeniería, en la industria, también en arquitectura, geología así como en la topografía. Hay una serie de normas establecidas para la realización de mapas topográficos, planos arquitectónicos y otros dibujos técnicos que se utilizan para proporcionar información a los  posibles usuarios de d e los mismos. En el dibujo topográfico se utilizan signos especiales para diferenciar tipos de suelo, elevaciones, depresiones construcciones, obras inducidas, etc. La mayor parte del dibujo se realiza hoy con computadoras, ya que es más fácil modificar un dibujo sobre la pantalla que sobre el papel. Las computadoras también hacen más eficientes los  procesos de diseño tal es el caso del Autocad y Civil Cad.

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UNIDAD III : LEVANTAMIENTOS CON TRÁNSITO Y CINTA. OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD El alumno operará correctamente el transito y ejecutará levantamientos planimétricos de poligonales topográficas, realizando los cálculos correspondientes. La orientación es la acción y efecto de determinar la posición de una obra de ingeniería como  puede ser: un levantamiento topográfico, fraccionamiento, carretera, gasoducto, aeropuerto,  presa, ferrocarril, fe rrocarril, sistemas sis temas de riego, etc. en relación con los puntos cardinales cardi nales o con objetos o accidentes topográficos que rodean a esa obra de ingeniería.

Orientación quiere decir encontrar el oriente, es decir, el punto por donde aparece el sol en las mañanas. Fijando este punto por observación directa del astro rey, sabemos inmediatamente donde se encuentran los cuatro puntos cardinales. Hombres y animales poseen un más sentido o instinto de orientación que les ayuda a localizar con facilidad un punto determinado ya sea en el aire, en el mar o en la superficie terrestre, por lo que es importante saber siempre hacia donde nos dirigimos. Todas las obras de ingeniería civil deben estar referidas a un meridiano, ya sea magnético o astronómico, y es con la finalidad de dar permanencia a las direcciones de las líneas de un levantamiento así como relacionar un levantamiento o una obra con proyectos futuros, comprobar los ángulos de poligonales abiertas, etc. Dirección de una línea.- Para obtener la dirección de una línea cualquiera con respecto a una  magnética, puede definirse por medio del azimut o el rumbo. meridiana magnética, La dirección de cualquier cualquier línea se determina por el ángulo horizontal que forma con alguna referencia (astronómica o magnética) La orientación topográfica tiene por objeto dar a las líneas de un plano la misma dirección que guardan sus homologas en el terreno.  N MERIDIANA ASTRONOMICA.- ESTA DADA POR LA DIRECCIÓN NORTE SUR Y SE DA POR LA IN TERSECCIÓN DEL PLANO MERIDIANO ASTRO NOMICO CON EL HORIZONTE.

Fig. 17

MERIDIANA MAGNETICA.- ES LA LÍNEA PARALELA A LAS LÍNEAS MAGNÉTICAS DE FUERZA DE LA TIERRA SU DIRECCIÓN ES LA QUE TOMA UNA AGUJA MAGNÉTICA SUSPENDIDA LIBREMENTE. DECLINACIÓN MAGNÉTICA .- ANGULO HORIZONTAL ENTRE LA MERIDIANA ASTRONOMICA Y LA MERIDIA NA MAGNÉTICA (  ) EN MÉXICO LA DECLINACIÓN ES ORIENTAL.

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AZIMUT DE UNA LÍNEA.- Es el ángulo horizontal que existe entre el meridiano y una línea, se mide a partir del NORTE, en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj y su valor varia de 0° a 360° o más y pude ser astronómico o magnético.

Toda línea tiene 2 azimutes y son: DIRECTO E INVERSO AZIMUT DIRECTO.- se mide en el origen de la línea. AZIMUT INVERSO.- se toma en el extremo final de la línea.  N 0°  N 0° az. Directo

Fi . 19

1 az. Inverso 2

1 = Origen de la línea 1-2 2 = Extremo final de la línea 1 - 2 APUNTES DE TOPOGRAFIA

180° 20

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INSTRUMENTOS MODERNOS.

A continuación se ilustran alguno de ellos.

Fig, 28 TEODOLITO DE LECTURA ELECTRÓNICA Este tipo de teodolitos cuentan con un dispositivo electrónico que permite leer los ángulos horizontales y verticales en una pantalla (display) en forma digital, y también se caracterizan  por su aproximación ya que existen de 1”,5” y 10” 1 0” y algunos se identifican por el color y la

marca. Ángulos horizontales, medición simple por repeticiones y por reiteraciones. Medición de ángulos por repeticiones. APUNTES DE TOPOGRAFIA

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APUNTES DE TOPOGRAFÍA Por medio de un tránsito para ingeniero o teodolito de repetición puede acumularse mecánicamente un ángulo horizontal y la suma puede leerse con la misma precisión que el valor sencillo. Cuando esta suma se divide entre el número de repeticiones, el ángulo resultante tiene una  precisión que excede el valor nominal de la aproximación del instrumento Casi todos los constructores de aparatos manejan 2, 4, 6, 8 hasta 16 veces este sistema de repeticiones, con el objeto de obtener las medidas angulares al segundo, esta aproximación también se puede obtener con el tránsito tradicional con aproximación de 1’

Por ejemplo un ángulo cuyo valor real se encuentra entre 30° 00’ 30” y 30° 01’ 30” se leerá como 30° 01’ y los límites de error posible serán de + 30”. Si el ángulo se acumula 6 veces en el circulo horizontal, la suma, aproximada también al minuto, podría ser 180° 04’, y su valor verdadero estar comprendido entre 180° 03’ 30” y 180° 04’ 30”; los límites de error posibles, relacionados con la lectura del circulo horizontal, serán también de + 30”. Dividiendo la suma observada de 180° entre 6, el valor sencillo es de 30° 00’ 40” para el cual los límites de el  posible “error” de lectura son + 30”/6 = 05”.

5

Fi . 30 1 2 MÉTODO DE REITERACIONES. Este método presenta muchos errores proporcionales, por lo que en la actualidad en los levantamientos no es muy recomendable ya que las precisiones quedan cerca de la tolerancias, además que el trabajo de campo se incrementa considerablemente. La ventaja del método de reiteraciones es que se eliminan errores en la línea de colimación. 2 c

1

Fi . 31  b 3 a Levantamiento de poligonales con tránsito y cinta de acero Los levantamientos con tránsito y cinta se clasifican de la siguiente manera. APUNTES DE TOPOGRAFIA

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APUNTES DE TOPOGRAFÍA a).- Por ángulos interiores  b).- Por ángulos exteriores poligonales cerradas c).- Por ángulos de deflexión d).- Poligonales abiertas por deflexiones e).- Poligonales de apoyo con radiaciones.

ANGULOS INTERIORES 1

2

5

Fi . 32

3

4

En todos los levantamientos de poligonales se dividen en: trabajos de campo y trabajos de oficina TRABAJOS DE CAMPO. 1. 2. 3. 4.

Reconocimiento del terreno Materialización de los vértices del polígono. Dibujo del croquis del polígono (libreta de campo) Orientación del lado de partida (en este caso es en forma magnética).

Explicación de la orientación magnética. a) se centra y se nivela el instrumento en la estación de partida “1”.  b) Se pone en coincidencia los ceros del limbo horizontal y del vernier A y se fija el movimiento particular. c) Se deja en libertad la aguja de la brújula y con el movimiento general se hacen coincidir el punto cardinal N (0°)  de la punta Norte  de la aguja y se fija el movimiento general. d) Se afloja el movimiento particular y se observa con el anteojo la señal colocada en vértice “2”

e) Se hace la lectura del azimut magnético del lado 1-2 de la poligonal en el vernier A. f)  Nuevamente se pone en coincidencia 0° del vernier A  del tránsito para medir el ángulo interior, exterior o la deflexión, según sea el método a elegir. elegir. 5. Explicación para la medida de ángulos en el tránsito de 1’ o 20” APUNTES DE TOPOGRAFIA

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APUNTES DE TOPOGRAFÍA a) Se dirige el anteojo hacia la señal de atrás “5” fijando el tornillo del  movimiento general, para afinar posteriormente con el tornillo del movimiento tangencial.  b) Una vez que se ha visado el vértice anterior se afloja el tornillo de presión del movimiento particular y se dirige la visual hacia el vértice de adelante, cuando se tiene en forma aproximad localizada la señal, se aprieta el tornillo y se afina con el tornillo de movimiento fino. c) Es necesario tomar de preferencia el doble ángulo para tener un promedio y sea más exacto el valor del ángulo. 6. Se toma la distancia del lado 1-2 de ida y vuelta para tener mayor exactitud en el levantamiento. 7. Se recorre el perímetro del polígono y al finalizar el levantamiento se verificara la tolerancia Angular TA = + a N. 8. Se comparara con el error angular (EA) con la (TA), si es mayor el error se procederá a repetir la medida de los vértices donde exista duda. TRABAJO DE OFICINA. Se entiende por trabajo de gabinete a la ordenación de los datos obtenidos en campo y los cálculos que con ellos se ejecutan, con el objeto de obtener los elementos necesarios para la construcción del plano. Las operaciones se ejecutan en el orden siguiente. Compensación angular: es la distribución del error angular entre los ángulos medidos en los vértices de la poligonal. Para determinar la corrección que se aplicará en las medidas angulares se divide el error angular EA entre el número de vértices C = EA N También la compensación angular se puede realizar aplicando el método de mínimos cuadrados  Cálculo de los azimutes de los lados.  Cálculo de las proyecciones de los lados de la poligonal sobre los ejes E-W y N- S.  Cálculo de los errores EX y EY, aplicando la regla del transito.  Calculo del error de cierre lineal EL.  Comparación de EL y TL.  Cálculo de la precisión obtenida en el levantamiento.  Cálculo de los factores unitarios de corrección K X y K Y.  Cálculo de las correcciones que deben aplicarse a las proyecciones.  Obtención de las proyecciones corregidas.  Cálculo de las coordenadas de los vértices de la poligonal.  Cálculo de la superficie de la poligonal, en función de las coordenadas de sus vértices.  Dibujo del polígono en papel albanene por medio de sus coordenadas. 

Los elementos obtenidos en el cálculo de la poligonal se anotan en una planilla de cálculo. APUNTES DE TOPOGRAFIA

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POLIGONAL ABIERTA.- Se origina en un punto de posición conocida y termina en un  punto de posición desconocida. descono cida. En este tipo de d e poligonal no es posible la revisión con cálculos destinados a detectar errores, las distancias deben medirse dos veces en caso que se realice con cinta de acero, la medida de los ángulos debe realizarse por repeticiones, conocer sus rumbos de cada línea y efectuar orientaciones astronómicas periódicamente para tener mayor control en el levantamiento. La aplicación de una poligonal abierta es muy variadísima en el área de la ingeniería civil, tal es caso en el estudio de un camino, en la introducción de agua potable, sistemas de alcantarillado, líneas eléctricas, gasoductos, etc.

fig.39 S

ESTA CIÓN CIÓN TOTA L La estación total es uno de los aparatos topográficos de mayor difusión en la actualidad. Su  potencia, flexibilidad, precisión, sencillez de manejo y posibilidades de conexión con ordenadores personales son los principales factores que han contribuido a su gran aceptación. Las estaciones totales han venido, desde hace ya varios años, a facilitar enormemente la toma de datos en campo, mediante procedimientos automáticos. Todo ello ha contribuido a una notable mejora en las condiciones de trabajo de la ingeniería civil, así como a un mayor rendimiento en los levantamientos y el replanteo posterior.

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APUNTES DE TOPOGRAFÍA A la hora de elegir una estación total debemos tener en cuenta nuestras necesidades actuales y futuras, así como la rentabilidad que vamos a obtener del aparato. FUNCIONES BASICAS DE LA ESTACION TOTAL

En esencia, una estación total permite efectuar las mismas operaciones que se efectuaban antes con otros aparatos como los taquímetros o teodolitos. La gran diferencia es que ahora se aprovechan más las grandes posibilidades que nos brinda la microelectrónica. De esta manera la medida indirecta de distancias se convierte en un proceso sencillo en el que basta pulsar una tecla tras haber hecho puntería sobre un prisma situado en el punto de destino. Tampoco es necesario efectuar tediosos cálculos para determinar las coordenadas cartesianas de los puntos tomados en campo, sino que en forma automática, la estación nos proporciona dichas coordenadas. Para realizar todas estas operaciones las estaciones totales disponen de programas informáticos incorporados en el propio aparato. Todas las funciones del mismo, así como la información calculada, son visibles a través de una pantalla digital y un teclado. Mediante una estación total podemos determinar la distancia horizontal o reducida, la distancia geométrica, el desnivel, la pendiente en % , los ángulos horizontales y vertical, así como las coordenadas cartesianas X, Y,. Z del punto de destino, estas últimas basadas en las que tienen asignadas el aparato en el punto de estacionamiento. Para ello basta con estacionar el aparato en un punto cuyas coordenadas hayamos determinado  previamente o sean conocidas de antemano, por pertenecer a un sistema de referencia ya establecido, y situar un prisma, en el punto que deseamos determinar, a continuación se hace  puntería sobre el prisma, enfocándolo adecuadamente según la distancia a que q ue nos encontremos del mismo y se pulsa la tecla correspondiente para iniciar la medición.

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UNIDAD IV ALTIMETRIA Objetivos particulares de la unidad Al término de la unidad el alumno:  Aplicará los procesos de campo, cálculo y dibujo, efectuará la nivelación de polígona, las cerradas y abiertas  Determinará la posición vertical de bancos de nivel para apoyos topográficos y Aplicará métodos de configuración para obtener un plano 

GENERALIDADES

La ALTIMETRIA  es la parte de la topografía de superficie, que trata de los métodos de campo y gabinete, necesarios para obtener la posición altimétrica de puntos del terreno. (COORDENADA “Z”)

A los puntos del terreno con posición ALTIMETRICA  se refiere a elevaciones, alturas o cotas. Una elevación es una distancia vertical medida desde un plano horizontal hasta un punto o  banco de nivel del terreno.  Nivelación es un término genérico que se aplica a cualquiera de los diversos d iversos procedimientos a través de los cuales se determinan elevaciones o diferencia entre las mismas. Es una operación fundamental para tener los datos necesarios para la elaboración de planos de configuración y en  proyectos de obras de ingeniería y de construcción. Los resultados r esultados de la nivelación se utilizan en: el proyecto de carreteras, vías férreas, canales, suministro de agua potable, obras de drenaje, cálculo de volúmenes, estudio del escurrimiento pluvial de una región, etc. El plano de referencia debe ser el nivel medio del mar, pero algunas veces se maneja un plano convencional o arbitrario.

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APUNTES DE TOPOGRAFÍA La altimetría se trabaja en campo mediante nivelaciones, la diferencia de elevaciones o desniveles, pueden medirse utilizando los siguientes métodos.

IDA REGRESO DIFERENCIAL DIRECTA

METODOS

DOBLE ALTURA DE APARATO DOBLE PUNTO DE LIGA

DIRECTAS DE PERFIL  NIVELACIONES BAROMÉTRICA.- Se realiza con un barómetro o altímetro INDIRECTAS

INDIRECTA.- Se realiza con un transito o teodolito Por medio de la trigonometría.

Nivelación directa, diferencial o de burbuja.- Es con la que se mide en forma directa las distancias verticales, este método es el más preciso para la determinación de las elevaciones y es el que más se utiliza con mayor frecuencia para el control vertical de obras de ingeniería civil como puede ser el caso de una nave industrial, introducción de agua potable, un sistema de alcantarillado, etc. Nivelación de perfil.- es una aplicación generalmente de la nivelación diferencial, en donde se determinan las elevaciones de los puntos a intervalos a cada 20 m por lo regular, sobre una  poligonal abierta en donde se requiere conocer la forma que va adquiriendo el relieve del terreno natural ya sea en forma longitudinal o en forma transversal. Este método es muy útil en el estudio de las vías terrestres. Nivelación barométrica.- en este caso se miden las diferencias en la presión atmosférica en varias estaciones por medio de un barómetro. Nivelación trigonométrica.- En la nivelación trigonométrica se requiere la observación del ángulo vertical y de la distancia horizontal o inclinada existente entre dos puntos, por lo que  puede calcularse la distancia vertical.

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EQUIPO NIVELES.- Establecen puntos horizontales sobre el terreno y sirven para tener el control de una obra de ingeniería civil en forma altimétrica. De albañil De manguera Tipo Americano

NIVELES

De mano Fijos o montados Basculante Tipo Ingles o europeo Automáticos, Electrónicos y  Laser

Entre los niveles de albañil se encuentra el de manguera, que se llena de agua la cual permite llevar una marca fija a otro lugar cualquiera a la misma altura, este nivel se usa por lo regular en obras de pequeñas dimensiones, como puede ser una casa habitación en donde el error es inapreciable, regularmente lo utilizan utilizan para la excavación de cimentaciones, desplante de muros, niveles de losas, niveles de piso terminado, etc.

NIVEL DE MANO Consiste en un tubo de aproximadamente 15 cm. , sin lentes, con un pequeño nivel cuya  burbuja puede verse por el interior del tubo mediante un espejo o prisma que ocupa la mitad del tubo. Por la otra mitad se ve el exterior para dirigir la visual mediante un alambre que atraviesa el tubo. tubo. Este aparato sirve para dirigir visuales horizontales y se sostiene con la mano, es muy útil en terreno accidentado y nos puede servir para obtener las elevaciones de cota redonda en la configuración de una vía de comunicación.

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NIVEL FIJO O MONTADO. En la actualidad existen varios tipos de niveles con estas características, los hay del tipo “dumpy”, niveles basculantes y niveles automáticos y todos tienen como características

esenciales una línea de visual y un tubo de nivel de burbuja, o algún otro medio de hacer que la línea de visual sea horizontal. Su uso es muy común en obras de mayores dimensiones, en donde se requiere mayor precisión en el control vertical de las mismas.

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MIRAS O “ESTADALES” PARA LA NIVELACION Estos son barras de sección rectangular, graduados por medio de los cuales se mide la diferencia de elevación, existen estadales de madera, aluminio y de fibra de vidrio, su extensión varía de 4 a 7 mts; generalmente es de 6 mts.

NIVELACION DIFERENCIAL SIMPLE La nivelación diferencial es simple cuando el desnivel entre dos puntos puede obtenerse haciendo únicamente una estación con el aparato. Este caso se presenta cuando los puntos extremos cuyo desnivel se desea conocer no se encuentran a una distancia mayor de 200 m y son visibles desde el aparato.

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APUNTES DE TOPOGRAFÍA Estadal

Estadal Lectura 3.322(-)

Lectura 1.322(+)

Altura de Aparato Desnivel

B

Desnivel = 3.322   1.322   2.000

A

ALTURA DE INSTRUEMNTO.- Se entiende por altura de instrumento a la elevación de la línea de colimación colimación con respecto al plano de comparación que regularmente es el nivel medio del mar.

NIVELACION DIFERENCIAL COMPUESTA La nivelación diferencial compuesta  se presenta o se usa cuando los puntos extremos se encuentran muy separados uno del otro o existen obstáculos intermedios, por lo que es necesario utilizar PUNTOS DE LIGA, en donde se hacen lecturas atrás y lecturas adelante, estos puntos de liga deben de estar bien definidos y establecidos, utilizando clavos para concreto, varillas, placas metálicas, estacas, troncos, etc. Es importante mencionar que la nivelación diferencial compuesta no es exclusiva para conocer el desnivel entre un punto y otro, también la podemos aplicar para tener el control vertical de cualquier obra de ingeniería. La nivelación diferencial requiere de cierta precisión y tolerancia tolerancia en los errores cometidos durante la ejecución de la nivelación y para garantizar los trabajos de ingeniería.

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CONFIGURACIÓN TOPOGRÁFICA Uno de los aspectos importantes que el ingeniero debe considerar es que en un plano topográfico no solo se muestran detalles naturales y artificiales del terreno o zona de estudio, también debe incluir su relieve o configuración ya que es importante para el proyecto de las obras de ingeniería. La configuración o relieve del terreno.- es la forma que adopta la superficie del terreno o suelo en la zona donde se trabaja o donde de realiza un estudio de ingeniería. La configuración o relieve del terreno se puede clasificar de la siguiente manera: LLANO SINUOSO TERRENO QUEBRADO ESCARPADO O MUY QUEBRADO Los accidentes topográficos naturales que dan lugar a esta clasificación son variadísimos y los  principales son: a).- Elevaciones.- son una montaña, monte, cerro, cordillera, sierra, etc. b).- Depresiones.- Cuenca, valle, cañada, cañón, caudal, etc. La representación de una zona o del relieve relieve del terreno, con todas sus formas y accidentes naturales o artificiales, tanto en su posición horizontal como en sus elevaciones, la podemos realizar mediante sus curvas de nivel y esto nos sirve para representar en planta y elevación en forma simultanea la forma o configuración de terreno. Si un terreno es cortado por una serie de planos paralelos con respecto al plano de comparación (NMM) y equidistantes entre si, estos planos determinan por sus intersecciones con el terreno una serie de curvas que reciben el nombre de curvas de nivel. Una curva de nivel es una línea imaginaría, cerrada que une puntos de igual cota, elevación o altura. Las curvas de nivel representadas en un plano, son trazas de superficies de nivel de diferentes elevaciones del relieve del terreno.

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PLANOS HORIZONTALES

EQUIDISTANCIA

La equidistancia tendrá un valor en metros que dependerá de la zona en estudio o de las normas que se establezcan para configurar la zona. Las equidistancias más usuales son de 0.50, 1, 2, 5, 10, 20 m

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APUNTES DE TOPOGRAFÍA CARACTERÍSTICAS DE LAS CURVAS DE NIVEL 1.- Toda curva de nivel cierra sobre si misma. 2.- Todas líneas curvas de nivel tienen la misma elevación, cota o altura en cualquier punto. 3.- Las curvas de nivel nunca se cortan entre si, solo en voladizos, escarpadura o socavón. 4.- Las curvas de nivel nunca se ramifican en otras de la misma cota. 5.- En los parte aguas las curvas se cierran hacia adentro. 6.- Las laderas con pendiente uniforme se representan con curvas de nivel equidistantes.

METODOS PARA OBTENER CURVAS DE NIVEL Para obtener las curvas de nivel de una zona en estudio se aplican los métodos siguientes. a) Secciones transversales de topografía (cota redonda) y de perfil  b) Método estadimetrico c) Fotogrametría a) Secciones transversales de topografía: Este método es muy útil en el estudio de una vía de comunicación, la finalidad es de dar el tipo de terreno o características de la zona APUNTES DE TOPOGRAFIA

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APUNTES DE TOPOGRAFÍA donde se pretende trabajar. El procedimiento para levantar las curvas de nivel es por cota redonda, se escoge una equidistancia de curvas. Si el terreno es accidentado las curvas se cierran, en cambio si el terreno no es accidentado las curvas tienden a abrirse. Apoyándose en la elevación del perfil longitudinal se procede a tomar la equidistancia que sea múltiplo de esas elevaciones. Se presentan dos casos: terreno ascendente y terreno descendente.

TERRENO ASCENDENTE

En el caso de terreno ascendente el seccionador se coloca sobre la línea que marque la dirección normal al trazo en la estación por levantar; el estadalero deberá colocarse en el trompo de la estación 1+ 020, con elevación 1257.10, por el hecho de estar en terreno ascendente la cota redonda inmediata superior múltiplo de 2 m es de 1258 (equidistancia de 2 m) La altura del ojo del observador es h = 1.61, al sustituir este valor en su expresión correspondiente se tendrá L = 1.61 + 1258  –   1257.10 =2.51; valor que deberá leerse en el estadal para fijar en el primer punto de cota redonda. APUNTES DE TOPOGRAFIA

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APUNTES DE TOPOGRAFÍA Para determinar las demás elevaciones o cota redonda, la operación se facilita para el operador ya que se concretará a ir leyendo sobre el estadal las marcas: TERRENO DESCENDENTE

Para el caso del terreno descendente el observador se coloca sobre el trompo Las secciones transversales de topografía tienen como finalidad obtener los los elementos necesarios para formar la configuración de una faja de terreno donde se requiere alojar en ella una obra de ingeniería que puede ser un camino, introducción de agua potable, líneas de transmisión, gasoductos, etc. Estas secciones generalmente se levantan en ambos lados del eje, apoyándose siempre en los trompos del trazo y demás puntos convenientes como PI y PST. Con la única variante de que en los PI se sigue la dirección que marca la bisectriz del ángulo de las dos tangentes. En fin es necesario hacer todo el levantamiento de los detalles que se encuentren a nuestro paso como son: direcciones de los cauces de los ríos y arroyos, caminos, vías de ferrocarriles linderos de  propiedad, canales, etc.

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Trazo de curvas de nivel.- El trazo de curvas de nivel se refiere a unir todos los puntos que tienen la misma elevación, cota o altura. El trazo de curvas de nivel se ejecuta en gabinete una vez que se han graficado los puntos del control horizontal y los detalles, el plano debe tener los detalles planimétricos. Las curvas de nivel se dibujan en las elevaciones que son múltiplos de la equidistancia de las mismas. Se trazan en forma de líneas finas, suaves a mano, con ancho uniforme. Cada quinta línea se dibuja más gruesa que las demás (curva maestra). Las elevaciones de las curvas de nivel se indican con números colocados a intervalos apropiados; generalmente solo se indica la elevación de la quinta curva es decir la más gruesa, la línea se interrumpe para dejar el espacio del numero y debe ir orientado para que pueda ser identificado desde uno o dos lados. La interpolación es el proceso de distribuir la separación de las curvas de nivel de cota redonda conocida situados en el plano. El trazado de las curvas pude ser por: interpolación aritmética o grafica en forma tradicional o por medios electrónicos (civil cad o surfer 8), entre otros.

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