Documento Fisica II pt4

Nombre: Claudio Garcia Garcia

ID: 1090287

Asignatura: Laboratorio de Física Mecánica II

Sección: CBF211L-08

Tema: Amortiguamiento dinámico

Profesor: Héctor Ramon Lee Contreras

AMORTIGUAMIENTO DINÁMICO 1. OBJETIVO. Observar los efectos de la amortiguación sobre un movimiento oscilatorio y reconocer los tres tipos de amortiguamiento:   

Sub-amortiguado Amortiguamiento crítico Sobre-amortiguado

y determinar la constante de amortiguamiento de un MAS amortiguado en los diferentes niveles de amortiguamiento.

2.

INTRODUCCIÓN.

El modelo de un oscilador mecánico sometido exclusivamente a la ley de Hooke no es realista pues no toma en cuenta que siempre hay rozamiento, sea este debido al aire, a un líquido, etc. Esto conduce a que la amplitud de la oscilación va disminuyendo debido a la pérdida de energía pues la fuerza de rozamiento que experimenta el resorte se opone siempre a la velocidad de éste (si la masa va hacia la derecha, la fuerza apunta hacia la izquierda y viceversa). En primera aproximación esta fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad por lo que se puede escribir: ⃗⃗⃗ 𝐹𝑟 = −𝑏𝑣 Por lo tanto, si debemos describir la ecuación de Newton para un oscilador que se mueve en una sola dirección con una fuerza de fricción podemos escribir: 𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑚𝑎 = −𝑘𝑥 − 𝑏𝑣 Con lo cual tenemos 𝑚𝑎 + 𝑘𝑥 + 𝑏𝑣 = 0 𝑚

𝑑2𝑥 𝑑𝑥 +𝑏 + 𝑘𝑥 = 0 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑 2 𝑥 𝑏 𝑑𝑥 𝑘 + + 𝑥=0 𝑑𝑡 2 𝑚 𝑑𝑡 𝑚 𝑘

Si denominemos con 𝜔0 = √𝑚 la frecuencia propia del oscilador que equivale a la frecuencia 𝑏

natural con la que oscilaría el resorte si no tuviera rozamiento y con 𝛽 = 2𝑚 la constante de amortiguamiento que mide la magnitud de la fricción, siendo esta mayor cuando más intensa es esta, tenemos: 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2

𝑑𝑥

+ 2𝛽 𝑑𝑡 + 𝜔02 𝑥 = 0

(1)

La solución de esta ecuación bajo las condiciones iniciales de tener posición 𝑥0 = 0 𝑚 y velocidad 𝑚 𝑣0 = 0 𝑠 en el instante 𝑡 = 0 𝑠 Es: 𝑥 = 𝑘𝑒 𝜆𝑡 de donde

𝑥̇ = 𝑘𝜆𝑒 𝜆𝑡 𝑥̈ = 𝑘𝜆2 𝑒 𝜆𝑡

Que sustituyendo en la ecuación diferencial obtenemos: (𝜆2 + 2𝛽𝜆 + 𝜔02 )𝑒 𝜆𝑡 = 0 y puesto que el exponencial no puede anularse debe cumplirse que: (𝜆2 + 2𝛽𝜆 + 𝜔02 ) = 0

(2)

Esta ecuación de segundo grado no da dos soluciones posibles de λ. Por lo tanto, las soluciones son: 𝜆1 = −𝛽 + √𝛽 2 − 𝜔02

𝜆2 = −𝛽 − √𝛽 2 − 𝜔02

Vemos que hay tres posibilidades, dependiendo del signo de lo que hay dentro de la raíz cuadrada:   

Si 𝛽 > 𝜔0 las dos soluciones son reales y diferentes (caso sobre-amortiguado). Si 𝛽 = 𝜔0 existe una solución real doble (amortiguamiento crítico). Si 𝛽 < 𝜔0 las dos soluciones son complejas conjugadas (caso sub-amortiguado).

Caso sub-amortiguado (𝜷 < 𝝎𝟎 ) Este caso lo obtenemos cuando el amortiguamiento es débil (incluyendo el caso en que no hay rozamiento). Si se denomina a

podemos escribir las dos soluciones de la ecuación de segundo grado como complejos conjugados

siendo entonces

la unidad imaginaria. La solución general de la ecuación diferencial queda

Aquí podemos extraer como factor común la parte real de la exponencial y escribir

Para ver que esta solución representa oscilaciones amortiguadas aplicamos la fórmula de Euler

que transforma la solución en

con

Esta combinación de senos y cosenos puede reducirse a uno solo, como se hace el caso del oscilador sin rozamiento, y escribir la solución en la forma

Podemos leer esta solución como una oscilación sinusoidal

con una amplitud que decae exponencialmente

Este comportamiento se dice cuasi-periódico, porque no llega a repetirse (al completar una oscilación no se encuentra en la misma posición que al iniciarla). El cuasi-período es mayor que el del oscilador sin rozamiento

El tiempo que tarda en decaer la amplitud nos los da el factor de decaimiento β. En un tiempo

la amplitud se reduce en un factor e (a un 36.8% de la que tuviera). Tenemos entonces dos escalas de tiempo: T0 nos mide el tiempo que tarda en oscilar, τ el tiempo que tarda en amortiguarse. El cociente adimensional

nos mide la importancia del amortiguamiento pues nos da el número de oscilaciones en un tiempo típico de decaimiento. Si este número es grande quiere decir que el oscilador es muy poco amortiguado. Comparando las oscilaciones con y sin rozamiento vemos que si éste es pequeño se nota un cambio apreciable en la amplitud, pero muy pequeño en el período

3.

EQUIPO A UTILIZAR.

Phet simulador resorte https://phet.colorado.edu/sims/html/masses-and-springs/latest/masses-and-springs_es.html

4.

PROCEDIMIENTO. 

Como primera medida poner el resorte a oscilar con una masa de 100 g y con una constante elástica como mostrada en la imagen sin 𝑘

amortiguamiento para determinar su frecuencia propia 𝜔0 = √𝑚 =

2𝜋 𝑇0

usando el cronómetro para medir 10 oscilaciones. Repetir la medida unas cinco veces llenando la tabla 1. Tabla 1. Tiempo 10 oscilaciones

8.15

8.12

8.13

8.10

8.10

Período (s)

0.815

0.812

0.813

0.810

0.810

𝑇0 = (0.812 ± 0.001) s. Por lo tanto, la frecuencia propia del sistema es: 𝜔0 = (7.73913 ± 0.01) 𝑠 −1

Recopilación de datos para analizar el amortiguamiento: 1.

Colocar el amortiguador en la primera posición.

2.

Colocar la referencia móvil en la posición del resorte cuando no tiene peso suspendido.

3.

Colocar la pesa de 200 g y poner la marca correspondiente a la posición de equilibrio.

4.

Con el celular tomar un video y poner a oscilar el resorte. La cinta métrica te servirá para calibrar el tracker cuando hagas correr el video y obtengas como cambia la amplitud con el tiempo.

5. Con la gráfica del tracker determinar los valores que permitan obtener la variación de la amplitud en el tiempo para determinar los valores de 𝛽. Tiempo

0.736 1.886 3.0345 4.185 5.332 6.471

Amplitud 0.333 0.296 0.265

0.239 0.218 0.199

6. Con esos datos, en Excel realizar una gráfica de la amplitud en función del tiempo, y al comprobar fácilmente que tiene un comportamiento logarítmico, linealizarla haciendo una gráfica de logaritmo de la amplitud en función del tiempo y determinar la ecuación de la onda y el valor de 𝛽.

Gráfica del MAS en función del tiempo

Ln(a) 0 0

2

4

6

8

10

12

-0,5 -1 -1,5 -2 -2,5

y = -0,0754x - 1,0914 R² = 0,9866

Gráfica Ln (amplitud) en función del tiempo para determinar 𝛽

Repitiendo el experimento, ¿para cuál posición del amortiguamiento esperas que el amortiguamiento sea crítico y sobre-amortiguado? Conclusiones. El amortiguamiento es crítico si 𝛽 tiene un valor de 7.73913, que es el valor de w. Para que sea sobre amortiguado necesitamos un 𝛽 mayor de 7.73913.

TAREA DE PRACTICA O5 AMORTIGUAMIENTO DINAMICO ID: 1096364

Nombre: Elian Canela

FECHA DE ENTREGA DE LA PRACTICA: 7/12/2020

Sección: CBF211L-08

PROBLEMAS 13.56. Una masa de 2.20 kg oscila sobre un resorte cuya constante de fuerza y periodo son de 250 N/m y 0.615 s, respectivamente. a) ¿Se trata de un sistema amortiguado o no? ¿Cómo lo sabe? Si es amortiguado, calcule la constante de amortiguamiento b. 𝑁 𝑘 √250.0 𝑚 𝑟𝑎𝑑 𝜔=√ = = 10.66 𝑚 2.20𝑘𝑔 𝑠 𝜔′ < 𝜔 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑜 𝑘 𝑏2 𝜔′ = √ − 𝑚 4𝑚2 𝑁 250.0 𝑚 𝑘 𝑟𝑎𝑑 2 𝑘𝑔 2 √ ′ √ 𝑏 = 2𝑚 − 𝜔 = 2(2.20 𝑘𝑔) − (10.22 ) = 13.3 𝑚 2.20𝑘𝑔 𝑠 𝑠

b) ¿El sistema es no amortiguado, subamortiguado, críticamente amortiguado o sobreamortiguado? ¿Cómo lo sabe? Ya que el movimiento tiene un periódico, el sistema oscila y es subamortiguado. 𝑏 = 2√𝑘𝑚 = 2√(250.0

𝑁 𝑘𝑔 ) (2.20𝑘𝑔) = 46.9 𝑚 𝑠

B es menos que su valor crítico en este problema. 13.57. Un ratón de 0.300 kg, nada contento, se mueve en el extremo de un resorte con constante de fuerza k = 2.50 N/m, sometido a la acción de una fuerza amortiguadora Fx  bvx . a) Si la constante b = 0.900 kg/s, ¿qué frecuencia de oscilación tiene el ratón? 𝑘𝑔 𝑁 2 2.50 𝑚 (0.900 𝑠 )2 𝑘 𝑏 𝑟𝑎𝑑 )−( 𝜔′ = √( ) − ( 2 ) = √( ) = 2.47 2 𝑚 4𝑚 0.300 𝑘𝑔 4(0.300 𝑘𝑔) 𝑠 𝑟𝑎𝑑 ′ 2.47 𝑠 𝜔 𝑓′ = = = 0.393 𝐻𝑧 2𝜋 2𝜋 b) ¿Con qué valor de b el amortiguamiento será crítico? 𝑏 = 2√𝑘𝑚 𝑏 = 2√(2.50

𝑁 𝑘𝑔 )(0.300 𝑘𝑔) = 1.73 𝑚 𝑠

El valor de b en la primera parte es menor que el valor crítico de amortiguamiento encontrado en la segunda parte. Sin amortiguación, la frecuencia es f = 0,459 Hz; la amortiguación reduce la frecuencia de oscilación. 13.58. Un huevo duro (cocido) de 50.0 g se mueve en el extremo de un resorte cuya constante de fuerza es k = 25.0 N/m. Su desplazamiento inicial es de 0.300 m. Una fuerza amortiguadora Fx  bvx actúa sobre el huevo, y la amplitud del movimiento disminuye a 0.100 m en 5.00 s. Calcule la constante de amortiguamiento b. ln(𝑒 −𝑥 ) = −𝑥

𝑏=

2𝑚 𝐴1 2(0.050 𝑘𝑔) 0.300 𝑚 𝑘𝑔 ln ( ) = ln ( ) = 0.0220 𝑡 𝐴2 5.00 𝑠 0.100 𝑚 𝑠

13.59. El movimiento de un oscilador subamortiguado está descrito por la ecuación (13.42). Sea el ángulo de fase  = 0. a) Según la ecuación, ¿cuánto vale x en t = 0? Cuando 𝜑 = 0, 𝑥(0) = 𝐴 b) ¿Qué magnitud y dirección tiene la velocidad en t = 0? ¿Qué nos dice el resultado acerca de la pendiente de la curva de x contra t cerca de t = 0? 𝑣𝑥 =

𝑏 𝑑𝑥 𝑏 = 𝐴𝑒 −(2𝑚)𝑡 [− 𝑐𝑜𝑠𝜔′ 𝑡 − 𝜔′ 𝑠𝑒𝑛𝜔′ 𝑡] 𝑑𝑡 2𝑚

𝑡 = 0, 𝑣𝑥 = −

𝐴𝑏 2𝑚

Pendiente hacia abajo c) Deduzca una expresión para la aceleración ax en t = 0. ¿Para qué valor o intervalo de valores de la constante de amortiguamiento b (en términos de k y m) en t = 0, la aceleración es negativa, cero o positiva? Comente cada caso en términos de la forma de la curva de x contra t cerca de t = 0. 𝑎𝑥 =

𝑏 𝑑𝑣𝑥 𝑏2 𝜔′ 𝑏 = 𝐴𝑒 −(2𝑚)𝑡 [( 2 − 𝜔′ 2 ) 𝑐𝑜𝑠𝜔′ 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛𝜔′ 𝑡] 𝑑𝑡 4𝑚 2𝑚

𝑡 = 0,

𝑏2 𝑏2 𝑘 ′2 𝑎𝑥 = 𝐴 ( 2 − 𝜔 ) = 𝐴( 2 − ) 4𝑚 2𝑚 𝑚

El gráfico en los tres casos será curvado hacia abajo, no curvado o curvado hacia arriba, respectivamente. Corresponde a la situación de amortiguamiento crítico 34. Demuestre que la relación de cambio con el tiempo de la energía mecánica para un oscilador amortiguado no impulsado se conoce por dE/dt = -bv2 y por eso siempre es negativa. Para hacerlo, derive la expresión para la energía mecánica de un oscilador, E = mv2/2 + kx2/2, y use la ecuación 15.31.

1 1 𝐸 = 𝑚𝑣 2 + 𝑘𝑥 2 2 2

𝑑𝐸 𝑑2𝑥 = 𝑚𝑣 2 + 𝑘𝑥𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑚𝑑 2 𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑏𝑣 𝑑𝑡 2 𝑑𝐸 = 𝑣(−𝑘𝑥 − 𝑏𝑣) + 𝑘𝑥𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝐸 = −𝑏𝑣 2 < 0 𝑑𝑡 Hemos demostrado que la energía mecánica de un oscilador amortiguado siempre está disminuyendo. 35. Un péndulo con una longitud de 1.00 m se libera desde un ángulo inicial de 15.0°. Después de 1,000 s, su amplitud se reduce por fricción a 5.50°. ¿Cuál es el valor de b/2m? 𝜃 = 15.0° 𝜃(𝑡 = 1,000) = 5.50° 𝑏𝑡

𝑏(1000) 𝐴𝑒 −2𝑚 5.50 𝑥= = = 𝑒 − 2𝑚 𝐴 15.0

ln (

5.50 𝑏(1000) ) = −1.00 = − 15.0 2𝑚 ∴

𝑏 = 1.00𝑥10−3 𝑠 −1 2𝑚

36. Demuestre que la ecuación 15.32 es una solución de la ecuación 15.31 siempre que b2 < 4mk. 𝑥 = 𝐴𝑒 −𝑏𝑡/2𝑚 cos(𝜔𝑡 + ∅) −𝑘𝑥 − 𝑏

𝑑𝑥 𝑑2𝑥 =𝑚 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑘 𝑏 𝜔 = √ − ( )2 𝑚 2𝑚 𝑏𝑡 𝑏𝑡 𝑑𝑥 𝑏 = 𝐴𝑒 −2𝑚 (− ) cos(𝜔𝑡 + ∅) − 𝐴𝑒 −2𝑚 𝜔sin(𝜔𝑡 + ∅) 𝑑𝑡 2𝑚

𝑏𝑡 𝑏𝑡 𝑑2𝑥 𝑏 𝑏 − − 2𝑚 (− 2𝑚 𝜔 sin(𝜔𝑡 + ∅)] ( ) = − [𝐴𝑒 ) cos 𝜔𝑡 + ∅ − 𝐴𝑒 𝑑𝑡 2 2𝑚 2𝑚 𝑏𝑡

𝑏𝑡

𝑏

− [𝐴𝑒 −2𝑚 (− 2𝑚) ωsin(𝜔𝑡 + ∅) + 𝐴𝑒 −2𝑚 𝜔2 cos(𝜔𝑡 + ∅)] 𝑏𝑡

𝑏2

-k𝐴𝑒 −2𝑚 cos(𝜔𝑡 + ∅) + 2𝑚 𝐴𝑒 −𝑏𝑡/2𝑚 cos(𝜔𝑡 + ∅) + 𝑏𝜔𝐴𝑒 −𝑏𝑡/2𝑚 sin(𝜔𝑡 + ∅) 𝑏𝑡 𝑏𝑡 𝑏 𝑏 = − [𝐴𝑒 −2𝑚 (− ) cos(𝜔𝑡 + ∅) − 𝐴𝑒 −2𝑚 𝜔 sin(𝜔𝑡 + ∅)] 2 2𝑚 𝑏𝑡 𝑏 −𝑏𝑡 𝐴𝑒 2𝑚 𝜔 sin(𝜔𝑡 + ∅) − 𝑚𝜔2 𝐴𝑒 −2𝑚 cos(𝜔𝑡 + ∅) 2

−𝑘 +

𝑏2 𝑏 𝑏 𝑏2 𝑘 𝑏2 𝑏2 = − (− ) − 𝑚𝜔2 = −𝑚( − ) = −𝑘 + 2𝑚 2 2𝑚 4𝑚 𝑚 4𝑚2 2𝑚 𝑏𝜔 =

𝑏 𝑏 (𝜔) + (𝑤) = 𝑏𝜔 2 2

37. Un objeto de 10.6 kg oscila en el extremo de un resorte vertical que tiene una constante de resorte de 2.05 x 104 N/m. El efecto de la resistencia del aire se representa mediante el coeficiente de amortiguamiento b = 3.00 N*s/m. a) Calcule la frecuencia de la oscilación amortiguada. 𝑏 2 1 2 3𝑘𝑔 2 √ √ 𝜔 = 𝜔 − ( ) = (44 ) − ( ) 2 𝑠 𝑠2 10.6𝑘𝑔 = √1933.96 − 0.02 = 44.0 𝑓=

1 𝑠

𝜔 44.0 = = 𝟕. 𝟎𝟎𝑯𝒛 2𝜋 2𝜋 𝑠

b) ¿En qué porcentaje disminuye la amplitud de la oscilación en cada ciclo? 𝐴0−𝐴0 𝑒 −𝜋𝑏/𝑚𝜔 𝐴0

𝜋3

= 1 − 𝑒 −10.6440 = 1 − 𝑒 −0.02002 = 1 − 0.97998 = 0.0200 = 𝟐. 𝟎𝟎%

c) Encuentre el intervalo de tiempo que transcurre mientras la energía del sistema cae a 5.00% de su valor inicial. 1 1 𝐸 = 𝑘𝐴2 = 𝑘𝐴20 𝑒 −2𝑏𝑡/2𝑚 = 𝐸0 𝑒 −𝑏𝑡/𝑚 2 2 0.05𝐸0 = 𝐸0 𝑒 −3𝑡/10.6 0.05 = 𝑒 −3𝑡/10.6 𝑒 3𝑡/10.6 = 20 3𝑡 = 𝑙𝑛20 = 3.00 10.6 𝒕 =10.6s