HYDRAULIQUE EN CHARGE Ecoulement en régime permanent des fluides incompressibles
Roland O. YONABA ING. M. Sc. Eau & Environnement Assistant d’Enseignement et de Recherche Département Hydraulique et Assainissement/LEAH - 2iE Email:
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v1.1.1
OBJECTIFS DE COURS ~ HEC ■ Comprendre et maîtriser les lois essentielles régissant la dynamique des écoulements en charge ■ Equation de continuité ■ Equation des quantités de mouvement ■ Equation de l’énergie ■ Maîtriser la résolution des problèmes types en HEC : ■ Calcul de débit, de diamètre, de rugosité, de longueur,… ■ Comprendre le comportement énergétique des machines hydrauliques génératrices (pompes) et réceptrices (turbine) ■ Maîtriser le calcul des réseaux ramifiés et maillés 27.03.15
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PLAN DE COURS I.
Généralités sur les écoulements en charge
II.
Energie des écoulements
III. Etude des pertes de charge IV. Pompes et turbines V.
Théorème des quantités de mouvement
VI. Procédés de calcul de l’écoulement en charge
VII. Calcul des réseaux
27.03.15
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BIBLIOGRAPHIE ■
Biaou, Chabi Angelbert. 2009. Cours d'Hydraulique en Charge. Ouagadougou : 2iE, 2009.
■
Carlier, Michel. 1972. Hydraulique Générale et Appliquée. Paris : Eyrolles, 1972.
■
Class, Holger et Walter, Lena. 2011. Environmental Fluid Mechanics - Part I : Hydromechanics. Stuttgart : Universität Stuttgart, 2011.
■
Dufresne, Matthieu et Vazquez, José. 2013. Hydraulique pour le technicien et l'Ingénieur. Strasbourg : ENGEES, 2013.
■
Graf, Walter et Mustafa, Altinakar. 1998. Hydraulique Fluviale. Lausanne : Presses Polytechniques Romandes, 1998.
■
Idel'Cik. 1969. Memento de pertes de charges. Paris : Eyrolles, 1969.
■
Lencastre, A. 1996. Hydraulique Générale. Paris : Eyrolles, 1996.
■
Mar, Amadou Lamine. 2003. Cours d'Hydraulique - T1: Ecoulements en Charge. s.l. : Groupe des Ecoles EIER-ETSHER, 2003. Vol. 1.
■
Mounirou, Adjadi Lawani. 2014. Essentiel d'Hydraulique Générale. Ouagadougou : 2iE, 2014. 27.03.15
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Chapitre I
GENERALITES SUR LES ECOULEMENTS EN CHARGE
01. GENERALITES Domaines d’application
■ Réseaux de distribution d’eau potable (AEP : Adduction en Eau Potable) ■ calcul, conception, dimensionnement ■ gestion, optimisation, maintenance ■ Pompes et stations de pompage ■ Irrigation (sous pression) ■ Le système californien ■ L’irrigation localisée goutte à goutte ■ L’irrigation par aspersion
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01. GENERALITES Définition d’un écoulement en charge
■ Ecoulement en charge : écoulement à section pleine. La section intérieure droite de conduite est entièrement remplie par la veine liquide. Paroi de conduite
Section d’écoulement
■ Formes rencontrées : circulaire, rectangulaire, triangulaire... ■ La forme circulaire est optimale et plus répandue : répartition homogène de la pression à l’intérieur du tube.
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01. GENERALITES Classification des EC (Ecoulements en Charge)
■ Variables caractéristiques des EC : débit 𝑄 et vitesse moyenne 𝑈 ■ Au sens large, on admet dans l’étude des EC : ■ L’unidimensionnalité ■ 𝑄 = 𝑓 𝑥, 𝑡 et 𝑈 = 𝑓(𝑥, 𝑡) ■ Types d’écoulements ■ Ecoulements permanents ■ Eclt. Uniforme (et conservatif) : 𝑄 = 𝐶𝑡𝑒 et 𝑈 = 𝐶𝑡𝑒 ■ Eclt. Variés : ■ EGV, EBV (conservatifs) : 𝑄 = 𝐶𝑡𝑒, 𝑈 = 𝑓(𝑥) ■ Eclt. Non conservatifs : 𝑄 = 𝑓 𝑥 , 𝑈 = 𝑓(𝑥) ■ Ecoulements non permanents (transitoires) 27.03.15
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01. GENERALITES Eléments de géométrie pour la section circulaire
■ Section mouillée : 𝑆 = 𝜋𝑅2 = 𝜋𝐷 2 /4 D
■ Périmètre mouillé : 𝑃 = 2𝜋𝑅 = 𝜋𝐷 R
■ Rayon hydraulique : 𝑆 𝜋𝑅2 𝑅 𝑅ℎ = = = 𝑃 2𝜋𝑅 2
D = Diamètre intérieur R = Rayon Intérieur
■ Diamètre hydraulique : 𝑅 𝐷ℎ = 4𝑅ℎ = 4 = 2𝑅 = 𝐷 2 27.03.15
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02. REGIME D’ECOULEMENT Viscosité dynamique
■ Viscosité: résistance à l’écoulement uniforme et non turbulent : traduit la capacité du fluide à s’écouler → 𝑓 𝑇𝑒𝑚𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒
F 𝑑𝑉 𝑑𝑉 =𝜏=𝜂 =𝜇 A 𝑑𝑦 𝑑𝑦
• Le facteur 𝜇 (aussi noté 𝜂), observé pour les fluides newtoniens est appelé viscosité dynamique • Unité: poiseuille (PI) ou 𝑃𝑎. 𝑠 ou 𝐾𝑔/(𝑚. 𝑠) 27.03.15
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02. REGIME D’ECOULEMENT Viscosité cinématique
■ Viscosité cinématique : notée 𝜈, s’exprime en 𝑚2 . 𝑠 −1 Quelques valeurs de viscosité pour l’eau pure (ASCE)
Viscosité Masse Temp (°C) volumique dynamique (PI) (Kg/m3) 1,972E-03 999,9 0 1,140E-03 999,1 15 1,005E-03 998,2 20 8,940E-04 997,1 25 5,490E-04 988,1 50 2,840E-04 958,4 100
𝜇 𝜈= 𝜌
Viscosité cinématique (m²/s) 1,972E-06 1,141E-06 1,007E-06 8,966E-07 5,556E-07 2,963E-07 27.03.15
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02. REGIME D’ECOULEMENT Expérience de Reynolds : dispositif expérimental Osborne Reynolds 1842 - 1912
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02. REGIME D’ECOULEMENT Expérience de Reynolds : observations
𝑄, 𝑈 𝑡𝑟è𝑠 𝑓𝑎𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 Ecoulement en minces filets parallèles
𝑄, 𝑈 ± 𝑓𝑎𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 Filets de courant sinueux
𝑄, 𝑈 é𝑙𝑒𝑣é𝑠 Apparition de turbulence 27.03.15
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02. REGIME D’ECOULEMENT Nombre de Reynolds
■ Nombre adimensionnel, représente le rapport entre les forces d’inertie et de viscosité 𝐹 𝐼 𝜌𝑈 2 𝐿2 𝜌𝑈𝐿 𝑈𝐿 𝑅𝑒 = 𝜈 = = = 𝐹 𝜇𝑈𝐿 𝜇 𝜈 𝑈𝐷ℎ 4𝑄 𝑅𝑒 = = 𝜈 𝜋𝐷ℎ 𝜈 ■ Permet la caractérisation du régime d’écoulement d’un fluide ■ 𝑅𝑒 < 2300 : régime laminaire ■ 2300 < 𝑅𝑒 < 4000 : régime transitoire (instable) ■ R𝑒 > 4000 : régime turbulent
27.03.15
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03. PROFIL DE VITESSE Vitesse moyenne temporelle dans une conduite d’écoulement
𝑣 𝑡 = 𝑉 + 𝑉′
1 𝑉(𝑟, 𝜃) = 𝑇
27.03.15
𝑡+𝑇
𝑣 𝑡 𝑑𝑡 𝑡
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03. PROFIL DE VITESSE Expression algébrique du profil de vitesse
Ecoulement laminaire Profil parabolique Ecoulement idéal 𝑈 = 𝐶𝑡𝑒
𝑢(𝑟) = 𝑈0
𝑟2 1− 2 𝑅
Ecoulement turbulent Profil parabolique (Pernès, 2004) 𝑢(𝑟) = 𝑈0
𝑟 1− 𝑅
1/𝑛
Avec 𝑈0 = 2𝑈 27.03.15
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04. CAVITATION Tension de vapeur ℎ𝑣
Pression à laquelle la phase gazeuse d’une substance est en équilibre avec sa phase liquide et solide, à une température donnée.
27.03.15
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04. CAVITATION Condition de cavitation
■ Formation de cavités (ou poches) remplies de vapeur et de gaz dans un fluide en mouvement Il y a cavitation lorsque : 𝑃𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑒,𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 < ℎ𝑣
27.03.15
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Chapitre II
ENERGIE DES ECOULEMENTS
01. CHARGE HYDRAULIQUE Expression de l’énergie en un point d’écoulement
■ Charge : énergie mécanique totale exprimée pour une masse fluide en mouvement, en un point de l’écoulement : ■ Energie de pression : p𝒱 ■ Energie de potentielle : 𝜌𝑔𝒱𝑧 ■ Energie cinétique : (1 2)𝜌𝒱𝑉 2 ■ Energie par unité de poids
𝑝 𝑉2 𝐻= +𝑧 + 𝜌𝑔 2𝑔
27.03.15
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01. CHARGE HYDRAULIQUE Charge moyenne dans une section (1/2)
■ Dans une section droite de conduite: 1 𝑃 𝑉2 𝐻𝑚 = +𝑧+ 𝑑𝑄 𝑄 𝜌𝑔 2𝑔 ■ Le terme 𝑃/𝜌𝑔 + 𝑧 est constant dans la section ■ Mais le terme 𝑉 2 /2𝑔 varie (cf. profils de vitesse) ■ On substitue à l’écoulement réel un écoulement fictif à vitesse 𝑈 constante dan la section et l’on définit un coefficient 𝛼 tel que: 𝛼𝐸𝑐𝑓𝑖𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 = 𝐸𝑐𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒
1 𝛼= 3 𝑈 𝑆
𝑉 3 𝑑𝑆
𝛼 est appelé coefficient de Coriolis. 27.03.15
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01. CHARGE HYDRAULIQUE Charge moyenne dans une section (2/2)
■ La charge moyenne s’écrit donc :
𝑃 𝑈2 𝐻= +𝑧+𝛼 𝜌𝑔 2𝑔 Valeurs de 𝛼 en fonction du nombre de Reynolds
Régime
Reynolds
α
Laminaire
𝑅𝑒 < 4 000
2
𝑅𝑒 ≈ 4 000
1,076
𝑅𝑒 ≈ 100 000
1,058
𝑅𝑒 ≈ 2 000 000
1,030
Turbulent
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02. FLUIDE PARFAIT – FLUIDE REEL Définition
■ Fluide parfait : mouvement descriptible sans prise en compte des effets de viscosité et de conductivité thermique ■ 𝐹 𝜈 = 𝜇𝛻𝑉 → 0 ⇒ 𝑅𝑒 = 𝐹 𝐼 𝐹 𝜈 → ∞ ■ Concept : aucun fluide existant n’est parfait ■ Fluide s’écoulant sans perte d’énergie ■ Fluide réel: fluide ayant une viscosité. Leur mouvement est assujetti aux frottements ■ Contre la paroi d’écoulement ■ Intermoléculaires (internes) Ces frottements induisent des pertes d’énergie. 27.03.15
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03. THEOREME DE BERNOULLI Théorème de Bernoulli pour les fluides parfaits (1/2)
■ Daniel Bernoulli (1700 – 1782) ■ Médecin, physicien, mathématicien suisse ■ Hypothèses : ■ Fluide incompressible ■ Régime d’écoulement permanent ■ Ecoulement non tourbillonnaire ■ Fluide supposé parfait ■ Aucune machine hydraulique impliquée
Daniel Bernoulli (1700-1782)
■ Application du théorème de l’énergie cinétique : ∆𝐸𝑐1→2 =
𝑊𝑓𝑐𝑒𝑠 = 𝑊𝑓𝑐𝑒𝑠.𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 + 𝑊𝑓𝑐𝑒𝑠.𝑠𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒 27.03.15
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03. THEOREME DE BERNOULLI Théorème de Bernoulli pour les fluides parfaits (2/2)
Enoncé du principe Pour un fluide parfait en mouvement entre deux sections d’écoulements, l’énergie mécanique se conserve
𝑃1 𝑈12 𝑃2 𝑈22 𝐻1 = 𝐻2 → + 𝑧1 + 𝛼 = + 𝑧2 + 𝛼 𝜌𝑔 2𝑔 𝜌𝑔 2𝑔 27.03.15
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03. THEOREME DE BERNOULLI Lignes de charge et ligne piézométrique
■ Ligne piézométrique : 𝐻𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 =
𝑃 𝜌𝑔
+𝑧
■ Ligne de charge : 𝐻 = 𝐻𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 + 𝐻𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 = 𝑈2 𝛼 2𝑔 𝑃 𝜌𝑔
𝑃 𝜌𝑔
+𝑧+
𝑈2 𝛼 2𝑔
Ligne de charge Ligne piézométrique
𝑧
27.03.15
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03. THEOREME DE BERNOULLI Mise en évidence de la perte de charge de charge pour les fluides réels
■ Vanne fermée (𝑄 = 0). La ligne de charge est horizontale
■ Vanne ouverte (𝑄 > 0). L’écoulement se fait avec des frottements induisant une perte d’énergie ∆𝐻. La ligne de charge adopte une pente J 27.03.15
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03. THEOREME DE BERNOULLI Théorème de Bernoulli pour les fluides réels (1/2)
■ RFD sur le volume 𝑑𝒱 en mouvement :
𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚a
■ Section de conduite constante : 𝑎 = 0 𝐹𝑃1
𝜏0
1
𝐹𝑃2 2
𝑥
𝑑𝑥
𝑧1
𝑃 = 𝜌𝒱 𝑔
𝑧2
𝑖 Référence
𝑃1 𝑈2 𝑃2 𝑈2 𝜏0 + 𝑧1 + 𝛼 − + 𝑧2 + 𝛼 = 𝑑𝑥 𝜌𝑔 2𝑔 𝜌𝑔 2𝑔 𝜌𝑔𝑅ℎ 27.03.15
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03. THEOREME DE BERNOULLI Théorème de Bernoulli pour les fluides réels (2/2)
■ En définissant 𝐽 la perte de charge unitaire (pente de la ligne d’énergie)
𝑑𝐻 𝜏0 𝐽=− = 𝑑𝑥 𝜌𝑔𝑅ℎ ■ La contrainte de frottement à la paroi est alors donnée par :
𝜏0 = 𝜌𝑔𝐽𝑅ℎ = 𝜌𝑔𝜑(𝑈)
■ Quelle est la relation : 𝜏0 ∝ 𝜑(𝑈) ? (Cf. Etude des pertes de charge) 27.03.15
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Chapitre III
ETUDE DES PERTES DE CHARGE
01. PERTE DE CHARGE Définition et types de perte de charge
■ Tout fluide réel qui s’écoule perd de l’énergie ■ frottement contre les parois de la section d’écoulement ■ action des forces de viscosité ■ turbulence ■ obstacles induisant une courbure prononcée des lignes de courants,… ■ La perte d’énergie, ou perte de charge, peut être : ■ Linéaire (ou régulière) : frottement du fluide contre la paroi interne de la conduite, sur une longueur 𝐿 ■ Singulière (ou locale) : du fait de singularités (variation brusque du diamètre, changement de direction, robinetterie,…)
27.03.15
31
02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE Formulation générale
■ La perte de charge linéaire se met sous la forme
∆𝐻 = 𝐽𝐿
■ 𝐽 est la perte de charge unitaire : pente de la ligne d’énergie.
𝑑𝐻 𝜏0 𝐽=− = 𝑑𝑥 𝜌𝑔𝑅ℎ 𝜏0 = 𝜌𝑔𝐽𝑅ℎ = 𝜌𝑔𝜑(𝑈) 27.03.15
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02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE Formule de Chézy
■ Postulat de Chézy (1775)
𝑈2 𝜑 𝑈 = 2 𝐶 ■ 𝐶 est le coefficient de Chézy
𝑈 = 𝐶 𝑅ℎ 𝐽 𝑈2 𝐽= 2 𝐶 𝑅ℎ
Antoine de Chézy (1718 – 1798)
27.03.15
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02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE Formulation moderne de Darcy-Weisbach
■ Analyse dimensionnelle, couplée à des travaux expérimentaux ont permis d’identifier la fonction 𝜆
𝑘 𝜆=𝑓 , 𝑅𝑒 𝐷
Henry Darcy (1803 – 1858)
■ Cette fonction permet le calcul de la perte de charge par la formule de Darcy et Weisbach
𝜆 𝑈2 𝐽= 𝐷 2𝑔 Julius Ludwig Weisbach (1806 – 1871) 27.03.15
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02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE Calcul de 𝜆: cas du régime laminaire
■ En régime laminaire, la loi de Hagen (1839) et Poiseuille (1841) lie la chute de pression aux paramètres de l’écoulement :
Jean-Louis Marie Poiseuille (1797-1869)
128𝜈 𝑄 𝐽= 𝑔𝜋 𝐷4 ■ On en déduit pour 𝑅𝑒 < 2000
64 𝜆= 𝑅𝑒 Gotthilf Hagen (1797-1884) 27.03.15
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02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE Calcul de 𝜆: cas du régime turbulent lisse
■ Le régime d’écoulement est turbulent, mais les effets de la rugosité de la conduite sont négligeables : « tuyau lisse » ■ 𝜆 est exprimé par la formule de Prandtl-Von Karman 1 2,51 = −2 log10 𝜆 𝑅𝑒 𝜆
Ludwig Prandtl (1875-1953)
■ Formulation implicite en 𝜆 ■ Approximation de Blasius (1911) 0,3164 𝜆= 𝑅𝑒 1 4 Pour 104 < 𝑅𝑒 < 105
Théodore Von Karman (1881-1963) 27.03.15
Heinrich Blasius (1883-1970) 36
02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE Calcul de 𝜆: cas du régime turbulent rugueux
■ Le régime d’écoulement est turbulent, mais les effets de la rugosité de la conduite sont prédominants ■ 𝜆 est exprimé par la formule de Nikuradse 1 Johann Nikuradse (1894-1979)
𝜆
= −2 log10
𝑘 3,71𝐷
■ Rugosité ∝ hauteur des aspérités de conduites ■ 𝑘 est la hauteur des aspérités : rugosité absolue, en [mm]. ■ 𝜖 = 𝑘/𝐷 est la rugosité relative 27.03.15
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02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE Calcul de 𝜆 : généralisation de Colebrook-White
■ Colebrook et White proposent une généralisation des formules de Prandtl-Von Karman et Nikuradse en 1839, applicable aux régimes transitoires et turbulents
1
𝜆
= −2 log10
𝑘 2,51 + 3,71𝐷 𝑅𝑒 𝜆
Cyril Frank Colebrook (1910-1997)
■ Implicite en 𝜆, résolution par recherche itérative ■ Méthode trial & error ■ Méthode de convergence (Newton-Raphson,…) ■ Méthode de l’abaque: diagramme de Moody-Stanton ■ Approximations : Moody (1947), Swamee et Jain (1976), Haaland (1983), Chen (1984)…
Cedric Masey White (1898-1993)
27.03.15
38
02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE Calcul de 𝜆 : diagramme de Moody et Stanton (1944)
27.03.15
39
02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE Formules empiriques : formule de Gauckler-Manning-Strickler
■ Plus couramment appelée « formule de Manning-Strickler » ■ Très employée dans l’étude des écoulements à surface libre ■ Réécriture du coefficient de Chézy ■ Initialement proposée par Philippe Gauckler (1867) 1 𝑛
1/6
■ Redécouverte par Manning (1885) : 𝐶 = 𝑅ℎ 1/6
■ Puis par Strickler : 𝐶 = 𝐾𝑠 𝑅ℎ
■ On en déduit, pour une conduite en charge
𝐽=
10 4 3 𝑄2 16 2 3 2 𝜋 𝐾𝑠 𝐷
10,29𝑄2 ≈ 2 5,33 𝐾𝑠 𝐷
Robert Manning (1816-1897) 27.03.15
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02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE Formules empiriques : formule de Hazen et Williams
■ Très employée aux USA ■ Introduction d’un coefficient de rugosité noté 𝐶𝐻𝑊
𝐽=
Allen Hazen (1869-1930)
10,675𝑄1,852 1,852 4,87 𝐶𝐻𝑊 𝐷
Gardner Stewart Williams (1866-1931)
27.03.15
41
02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE Formules empiriques : formule de Calmon et Lechapt (1965)
■ Formule de type monôme d’expression simplifiée
■ Traduit les influences relatives des paramètres 𝑄, 𝐿, 𝐷 sur la perte de charge
■ Le triplet de coefficients {𝑎, 𝑛, 𝑚} représente la rugosité de conduite
𝑄𝑛 𝐽=𝑎 𝑚 𝐷
27.03.15
42
02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE Correspondances entre facteurs de rugosité
Correspondances entre 𝐾𝑠 , 𝑘, 𝐶𝐻𝑊
Correspondances entre 𝑘 𝑒𝑡 {𝑎, 𝑛, 𝑚}
27.03.15
43
03. PERTE DE CHARGE SINGULIERE Notion de singularité (1/2)
• Courbure des lignes de courant, qui décollent de la paroi • Formation de zones de recirculation 27.03.15
44
03. PERTE DE CHARGE SINGULIERE Notion de singularité (2/2)
Comportement des lignes de courant au passage à travers une vanne (Idel’Cik, 1986)
27.03.15
45
03. PERTE DE CHARGE SINGULIERE Expression de la perte de charge singulière
■ La perte de charge singulière (ou locale) est liée à la charge cinétique de l’écoulement, prise en une section de référence
𝑈2 ∆𝐻𝑠 ∝ 2𝑔 ■ On définit un coefficient adimensionnel 𝐾, appelé coefficient de débit, dont la valeur dépend de la singularité.
𝑈2 8𝐾𝑄2 ∆𝐻𝑠 = 𝐾 = 2𝑔 𝑔𝜋 2 𝐷4 ■ On peut assimiler une perte de charge singulière à une perte de charge linéaire de longueur équivalente 𝐿𝑒 = 𝐾𝐷/𝜆 27.03.15
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Chapitre IV
POMPES ET TURBINES
01. POMPE Définition
■ Pompe : générateur d’énergie, permet de déplacer un liquide d’un point d’énergie faible à un point d’énergie plus élevé. 𝑃ℎ
𝑃𝑒𝑙
P 𝑃ℎ = 𝜂𝑝 . 𝑃𝑒𝑙 = 𝜌𝑔𝑄𝐻𝑝 𝐻𝑝 = 𝐻𝑀𝑇 = 𝐻𝑠 − 𝐻𝑒 = 𝐻𝑔𝑒𝑜 + ∆𝐻
𝐻𝑝 = 𝑍2 − 𝑍1
𝑃2 − 𝑃1 + + 𝜌𝑔
∆𝐻𝑎𝑠𝑝 + ∆𝐻𝑟𝑒𝑓 27.03.15
48
02. TURBINE Définition
■ Turbine : consommatrice d’énergie, prélève de l’énergie à l’écoulement pour transformer (production d’électricité). 𝑃𝑒𝑙
𝑃ℎ
T
𝐻𝑇 = 𝐻𝑒 − 𝐻𝑠 𝑃𝑒𝑙 𝑃ℎ = = 𝜌𝑔𝑄𝐻𝑇 𝜂𝑝 27.03.15
49
03. EQUATION D’ENERGIE GENERALISEE Théorème de Bernoulli généralisé aux machines hydrauliques
■ Entre les sections 1 et 2 de l’écoulement : 1 𝐻1 + 𝐻𝑝 = 𝐻𝑇 + 𝐻2 + ∆𝐻1−2 + 𝑔
2 1
𝜕𝑉 𝑑𝑠 𝜕𝑡
Représente les forces d’inertie par unité de poids
■ En régime permanent : 𝐻1 − 𝐻2 + 𝐻𝑝 − 𝐻𝑇 = ∆𝐻1−2
27.03.15
50
04. POMPE ET CAVITATION Hauteur maximale d’aspiration d’une pompe de surface
■ La hauteur maximale d’aspiration pour une pompe de surface est donnée par la condition de non cavitation à l’entrée de la pompe 𝑃1 𝑍𝑒 − 𝑍1 < − ∆𝐻1−𝑒 − ℎ𝑣 𝜌𝑔 ■ En pratique, la valeur de 7 m est utilisée, en admettant que le plan d’eau à l’aspiration est libre. ■ Cette condition n’est pas limitante pour les pompes aspirant en charge 27.03.15
51
Chapitre V
THEOREME DES QUANTITES DE MOUVEMENT
01. QUANTITE DE MOUVEMENT Théorème de Quantité de Mouvement (ou Théorème d‘Euler) (1/2) ■
S’applique aux changement de direction d’un écoulement
■
Calcul action eau/joint ■ Norme, direction et sens
■
S’applique au calcul de butée
Leonhard Euler 1707-1783
27.03.15
53
01. QUANTITE DE MOUVEMENT Théorème de Quantité de Mouvement (ou Théorème d‘Euler) (2/2)
■ Soit 𝑰 le vecteur impulsion (quantité de mouvement) d’une masse fluide en mouvement : 𝐼 = 𝑚𝑈 = 𝜌𝒱𝑈 ■ Le théorème d’Euler énonce alors que: ∆𝐼 = 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 + 𝐹𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 − 𝑅 ∆𝑡 ■ Pour un système à plusieurs branches (entrées et sorties) : 𝜌𝑄𝑖 𝑈𝑖 𝑛𝑖 = 𝑖
𝐹𝑖 + 𝜌𝑑𝒱𝑔 − 𝑅 𝑖
27.03.15
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02. APPLICATION Cas d’un coude
𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 = 𝑃𝑒𝑓𝑓 𝑆
𝑅
𝑃𝑒𝑓𝑓 = 𝑃𝑎𝑏𝑠 − 𝑃𝑎𝑡𝑚
𝑛2
𝐹2
𝑦
𝑅𝑥 = −𝜌𝑄𝑈2 − 𝐹2
𝑈2 𝐹1
𝑈1
𝑅𝑦
𝑅𝑦 = 𝜌𝑄𝑈1 + 𝐹1
𝑅 𝜃
𝑅𝑥 𝑛1
𝑥
𝑅 =
𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2
𝑅𝑦 𝜃 = atan 𝑅𝑥 27.03.15
55
Chapitre VI
PROCEDES DE CALCUL DE L’ECOULEMENT EN CHARGE
01. SYSTÈME D’ECOULEMENT Définition
■ Système d’écoulement : ensemble de nœuds (ou sommets) connectés par des tronçons de conduite (arcs)
■ Modélisable par un graphe
■ Le réseau hydraulique est un système d’écoulement dans lequel ■ Les nœuds sont des points de desserte (distribution) ■ Les tronçons sont des conduites qui transitent la demande au nœuds.
27.03.15
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01. SYSTÈME D’ECOULEMENT Lois applicables
■ Loi des nœuds : conservation de masse
𝑄𝑠1
𝑄𝑒1
𝑄𝑒 =
𝑄𝑠
𝑄𝑠2 𝑄𝑒2
■ Loi des tronçons : traduit la conservation de l’énergie mécanique (théorème de Bernoulli)
𝑖
𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 = 𝑓𝑖𝑗 𝑄𝑖𝑗 𝑗 27.03.15
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02. NORMES DE CALCUL DES RESEAUX Conditions les plus défavorables
■ Réseau conçu avec l’esprit du « qui peut le plus peut le moins ».
■ Dimensionnement mené en situation de pointe (situation la plus défavorable) ■ Débits maximaux écoulés dans les tronçons ■ Pressions minimales à tous les nœuds de distribution
■ Possibilité de concevoir avec une qualité de service (loi de Clément) ■ Mais nécessité de connaitre les fréquences d’occurrence des débits de pointe 27.03.15
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02. NORMES DE CALCUL DES RESEAUX Conditions de vitesse
■ Si la vitesse d’écoulement est trop forte ■ Pertes de charge élevées ■ Seuil limite pour le matériau canalisant l’écoulement
■ Si la vitesse d’écoulement est trop faible ■ Risque de dépôts (loi de décantation de Stokes)
■ Nécessité de définir une plage admissible de vitesses, selon les domaines d’applications ■ AEP : 0,5 𝑚/𝑠 − 1,5 𝑚/𝑠 (vitesse économique 1 𝑚/𝑠)
27.03.15
60
02. NORMES DE CALCUL DES RESEAUX Conditions de pression (1/3)
Conduite en dépression 27.03.15
61
02. NORMES DE CALCUL DES RESEAUX Conditions de pression (2/3)
Problème de cavitation 27.03.15
62
02. NORMES DE CALCUL DES RESEAUX Conditions de pression (3/3)
Profil idéal 27.03.15
63
03. PROCEDES DE CALCUL Association de conduites en série
∆𝐻𝑒𝑞 = JL =
𝐽𝑖 𝐿𝑖
𝑄𝑒𝑞 = 𝑄𝑖 = 𝑄
𝑖 27.03.15
64
03. PROCEDES DE CALCUL Association de conduites en parallèle 𝐿1 , 𝐷1 , 𝑄1
∆𝐻1 = ∆𝐻2 = ⋯ = ∆𝐻𝑛
𝐴
𝐵
𝐿2 , 𝐷2 , 𝑄2
𝑛 𝐿3 , 𝐷3 , 𝑄3
𝑄𝑒𝑞 =
𝑄𝑖 𝑖
𝐿𝑖 , 𝐷𝑖 , 𝑄𝑖
𝐿𝑛 , 𝐷𝑛 , 𝑄𝑛 27.03.15
65
03. PROCEDES DE CALCUL Desserte de débits unitaires égaux à égales distance (1/2)
27.03.15
66
03. PROCEDES DE CALCUL Desserte de débits unitaires égaux à égales distance (2/2)
𝑄0
𝑑
𝑞
𝑞
𝑑 ∆𝐻 = 𝑎 𝑚 𝐷
𝑑
𝑑
𝑞
𝑞
𝑑
𝑄1
𝑑
𝑞
𝑞
𝑞
Si 𝑄1 = 0, ∆𝐻 = 𝑓 𝑄 2 et 𝑁 assez grand, alors :
𝑁
𝑄1 + 𝑖𝑞 𝑖
𝑑
𝑛
𝑄𝑒𝑞 ≈
1
3
𝑄0
27.03.15
67
03. PROCEDES DE CALCUL Desserte en route
𝑄0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
…...
…...
…...
…...
…...
…...
𝑞
𝑞
𝑄𝑒𝑞 = Si 𝑸𝟏 est nul :
𝑄𝑒𝑞 =
1
𝑛+1
1 𝑄0 𝑛
𝑞
𝑞
𝑞
𝑄0𝑛+1 − 𝑄1𝑛+1 𝑄0 − 𝑄1 (𝑛 + 1)
𝑞
𝑄1
𝑞
1 𝑛
Si 𝒒 ≪ 𝑸𝟎 , 𝑸𝟏 :
𝑄𝑒𝑞 = 0,55𝑄0 + 0,45𝑄1 27.03.15
68
03. PROCEDES DE CALCUL Méthode des approximations successives
𝐿1 , 𝐷1 , 𝑄1
Objectif : trouver les 𝑄𝑖 Données : Le débit total 𝑄, les 𝐿𝑖 , 𝐷𝑖 , 𝑟𝑢𝑔𝑜𝑠𝑖𝑡é𝑠 Critère d’arrêt: 𝜀 ≈ 10−1 , 10−2 , 10−3 , …
𝑄 Algorithme :
𝐿2 , 𝐷2 , 𝑄2 𝐿3 , 𝐷3 , 𝑄3 𝐿𝑖 , 𝐷𝑖 , 𝑄𝑖 𝐿𝑛 , 𝐷𝑛 , 𝑄𝑛
Répéter: Fixer 𝑄′1 Calculer ∆𝐻1 Calculer les 𝑄′𝑖 𝑖≠1 (les ∆𝑯𝒊 sont égaux) Calculer 𝑄 ′ = 𝑄′𝑖
Jusqu’à ce que 𝑄′ − 𝑄 < 𝜀
27.03.15
69
Chapitre VII
CALCUL DES RESEAUX
01. RESEAUX HYDRAULIQUES Fonctions des réseaux hydrauliques
■ Acheminer le fluide d’un réservoir vers des abonnés
■ Doit satisfaire des exigences ■ Débits demandé par l’abonné ■ Pression de service ■ Vitesse d’écoulement dans la gamme de valeurs admise
27.03.15
71
01. RESEAUX HYDRAULIQUES Typologie des réseaux hydrauliques
Réseau ramifié
Réseau maillé 27.03.15
72
01. RESEAUX HYDRAULIQUES Problèmes types de calcul
■ Objectif : calculer les charges et les pressions à tous les nœuds
■ Objectif : calculer la côte du plan d’eau au réservoir
■ Calcul amont-aval
■ Calcul aval-amont
27.03.15
73
02. RESEAUX RAMIFIES Calcul amont-aval (1/2)
■
Evaluer les débits de dimensionnement par tronçon en situation de pointe
■
Choisir les diamètres de conduite (sur la base d’une vitesse idéale) 𝐷𝑡ℎ =
■
4𝑄𝑑𝑖𝑚 𝑒𝑡 𝐷𝑠𝑡𝑑 ≥ 𝐷𝑡ℎ 𝜋𝑈𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙
Calculer les pertes de charge par tronçon ∆𝐻𝑖𝑗 = 𝑓 𝑄𝑖𝑗 , 𝐿𝑖𝑗 , 𝐷𝑠𝑡𝑑𝑖𝑗 , 𝑘𝑖𝑗
27.03.15
74
02. RESEAUX RAMIFIES Calcul amont-aval (2/2)
■
Evaluer les charges sur chaque nœud par le Théorème de Bernoulli 𝐻𝑗 = 𝐻𝑖 − ∆𝐻𝑖𝑗 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑄𝑖→𝑗
■
Calculer les pressions statiques (ou maximales) et dynamiques (ou réelles) 𝑈𝑖2 𝑃𝑚𝑎𝑥,𝑖 = 𝐻𝑅é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑜𝑖𝑟 − 𝑍𝑖 et 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 = 𝐻𝑖 − 𝑍𝑖 − 2𝑔 Terme souvent négligé pour son ordre de grandeur dans les réseaux
■ S’assurer qu’en tout point 𝑖, 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 ≥ 𝑃𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑒,𝑖 27.03.15
75
02. RESEAUX RAMIFIES Calcul aval-amont (1/3)
■
Evaluer les débits de dimensionnement par tronçon en situation de pointe
■
Choisir les diamètres de conduite (sur la base d’une vitesse idéale)
𝐷𝑡ℎ =
■
4𝑄𝑑𝑖𝑚 𝑒𝑡 𝐷𝑠𝑡𝑑 ≥ 𝐷𝑡ℎ 𝜋𝑈𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙
Calculer les pertes de charge par tronçon ∆𝐻𝑖𝑗 = 𝑓 𝑄𝑖𝑗 , 𝐿𝑖𝑗 , 𝐷𝑠𝑡𝑑𝑖𝑗 , 𝑘𝑖𝑗 27.03.15
76
02. RESEAUX RAMIFIES Calcul aval-amont (2/3)
■
Calculer la charge minimale imposée au réservoir par chaque nœud de desserte 𝑟é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑜𝑖𝑟 𝑚𝑖𝑛,𝑖𝑚𝑝
𝐻𝑖
= 𝑃𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑒,𝑖 + 𝑍𝑖 +
∆𝐻 𝑖
■
On retiendra comme ligne de charge la valeur maximale 𝑚𝑖𝑛,𝑖𝑚𝑝 des charges 𝐻𝑖 𝑚𝑖𝑛,𝑖𝑚𝑝
𝐻𝑟é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑜𝑖𝑟 = max(𝐻𝑖
)
27.03.15
77
02. RESEAUX RAMIFIES Calcul aval-amont (3/3)
■
On effectue un calcul retour (amont aval) afin de retrouver les charges et pressions (dynamiques et statiques)
𝐻𝑗 = 𝐻𝑖 − ∆𝐻𝑖𝑗 (𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑄𝑖→𝑗 ) 𝑃𝑚𝑎𝑥,𝑖 = 𝐻𝑅é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑜𝑖𝑟 − 𝑍𝑖 et 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 = 𝐻𝑖 − 𝑍𝑖
■ Vérifier aussi qu’en tout point 𝑖, 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 > 𝑃𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑒,𝑖 . 27.03.15
78
03. RESEAUX MAILLES Problématique de calcul
■ Dans le cas des réseaux ramifiés, le sens d’écoulement est implicite ■ Les débits en tronçon sont facilement déterminés ■ Mais pas dans le cas des réseaux maillés ■ Sens d’écoulement en tronçon ? ■ Débits fictifs de dimensionnement ? ■ Résolution des boucles ■ Méthodes itératives, méthodes matricielles 27.03.15
79
03. RESEAUX MAILLES Méthode de Hardy Cross
■ Hardy Cross : méthode itérative de calcul de réseau maillé en régime permanent ■ Relativement simple à mettre en œuvre ■ Convergence rapide (selon la graine initiale) ■ Facile à implémenter (programmation)
■ Deux approches ■ Approche aux nœuds : égalisation des débits ■ Approches aux boucles : égalisation des charges
Hardy Cross 1885-1950
■ Autres méthodes itératives : Newton-Raphson, Wood-Charles, … 27.03.15
80
03. RESEAUX MAILLES Hardy Cross : méthode d’égalisation des charges (1/3)
■ Objectif : pour une maille, ou plusieurs mailles contiguës, retrouver les débits de dimensionnement dans les tronçons et leur sens d’écoulement en régime permanent ■ Principe : trouver une répartition de débits qui annule la perte de charge dans la maille 𝑄4
𝑎𝐿𝑖 𝐷𝑖𝑚
𝑄3
𝑁
𝑄𝑖𝑛−1 𝑄𝑖 = 0
𝐼𝐼 𝐼
𝑖=1
𝑄1 𝑄2 27.03.15
81
03. RESEAUX MAILLES Hardy Cross : méthode d’égalisation des charges (2/3)
■ ■ ■ ■
Identifier et numéroter les mailles Fixer une convention de parcours de parcours de maille Répartir arbitrairement les débits par tronçon Evaluer une correction 𝑑𝑞 telle que
𝑎𝐿𝑖 𝐷𝑖𝑚
𝑁
𝑄𝑖 + 𝑑𝑞
𝑛−1 (𝑄 𝑖
+ 𝑑𝑞) = 0
𝑖=1
Soit donc : 𝑁 𝑖=1 ∆𝐻𝑖
𝑑𝑞 = − 𝑛
𝑁 ∆𝐻𝑖 𝑖=1 𝑄 𝑖 27.03.15
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03. RESEAUX MAILLES Hardy Cross : méthode d’égalisation des charges (3/3)
■ Calculer les débits corrigés 𝑄′𝑖 = 𝑄𝑖 + 𝑑𝑞 ■ Pour les tronçons appartenant à deux mailles, effectuer une double correction. ■ Reprendre la procédure en itération 𝒏 + 𝟏 avec les nouveaux débits 𝑄′𝑖 ■ critère d’arrêt des itérations : 𝑑𝑞 < 10−1 ~ 10−3 𝑙 𝑠 ■ Conduire alors un calcul amont-aval ou aval-amont suivant les paramètres recherchés ■ Calcul de charges réelles, pressions,… 27.03.15
83
04. CORRECTION DE PRESSION Méthodes de correction des insuffisances de pression
■ Problème: 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 < 𝑃𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑒,𝑖
■ Quelques moyens de correction ■ Augmenter les diamètres de conduite, ■ Choisir des conduites de plus faible rugosité, ■ Relever la ligne de charge (surélévation du radier du réservoir, surpresseurs,…)
■ Retenir une ou plusieurs solutions selon ■ La facilité de mise en œuvre, le coût… 27.03.15
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QUELQUES LOGICIELS…
LOGICIELS Outils de simulation des réseaux en charge
27.03.15
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