Docsity Solucionario Matematicas 3o Eso SM Tema 5

September 18, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A

Share Embed Donate

Report this link

Short Description

Download Docsity Solucionario Matematicas 3o Eso SM Tema 5...

Description

[JCQKGJIERGJ LETALETGKE[ ;¿ A[J [L TALE 1 Letalåtgkes Jrgaitedes e ces Aisaõeizes Ekedçlgke 42 pe`.

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

1 Akuekgjias y sgstales RANCA]GJIE W RA[VJIDA Lgre ac tìtucj dac cgbrj ec qua partaiaka asta taxtj? Kgikj akuekgjias qua kelbgerji ac luidj. Ac eutjr engrle qua ases akuekgjias kelbgerji ac luidj. ºUuç qugara dakgr kji ase nresa: ºVgaises qua uie akuekgûi puada kelbger ac luidj: Raspuaste cgbra.

Ce ÿctgle da ces kgikj akuekgjias dac cgbrj as qugzås ce lås neljse da ce mgstjrge da ce kgaikge? A   < l ° k 2. º[ebas qugçi nua su eutjr:, ºy quç sgìgngke: ºKraas qua ase akuekgûi kelbgû ac luidj ai ac sg`cj ]]: 2

Ac eutjr da ce akuekgûi A   < < l ° k nua Ecbart Agistagi. Ce akuekgûi sgìgngke qua ce aiar`ìe da ui kuarpj ai rapjsj (A (A ) as gùec e su lese (l (l) luctgpcgkede pjr ce vacjkgded da 2 ce cuz ec kuedredj (k (k ).

BQ[KE GINJRLEKGÛI W EIECG_E Buske ginjrlekgûi sjbra ces nakmes y cjs eutjras dac daskubrglgaitj da Qreij y Iaptuij. ºAs kgartj qua Iaptuij nua daskubgartj `rekges e uie akuekgûi: Iaptuij nua daskubgartj pjr @ecca ai 5=4>, y Qreij nua daskubgartj pjr Marskmac ai 50=5. Ce epcgkekgûi da ce akuekgûi `revgtetjrge da Iawtji parlgtgû daskubrgr Iaptuij.

ºE quç nûrluce sa rangara ac eutjr kueidj mebce da ce –akuekgûi `revgtetjrge da Iawtji“: ºVjr quç jtrj ijlbra sa ca kjijka: ºVjr quç ce akuekgûi da Iawtji me sgdj tei glpjrteita ai ce mgstjrge da ce muleigded: Ce nûrluce e ce qua sa rangara ac eutjr kueidj mebce da ce akuekgûi `revgtetjrge da Iawtji as e N < @

l5 ⋁ l2

. [gìgngke r 2 qua ce nuarze aoarkgde aitra djs kuarpjs da leses l5 y l2, saperedjs uie dgsteikge r , as dgraktelaita prjpjrkgjiec ec prjduktj da sus leses a givarselaita prjpjrkgjiec ec kuedredj da ce dgsteikge qua cas sapere. Ce kjisteita @ as kjijkgde kjlj ce kjisteita da `revgtekgûi uigvarsec. Ce akuekgûi `revgtetjrge da Iawtji as kjijkgde kjlj cay da ce `revgtekgûi uigvarsec.

Ektgvgdedas prjpuastes 5.

Ektgvgded rasuacte.

2.

Axprase ladgeita akuekgjias ces ginjrlekgjias sgùgaitas. e) Ce sule da djs iÿlarjs peras kjisakutgvjs as 2;4. b) Ac årae da ui trgåiùcj kuye ecture as ce lgted da ce besa as 46 kl2. k) Ac vjculai da ui prgsle kuedredj y da ecture ac trgpca d dac ac cedj da ce besa as 572 kl;. d) Ce dge`jiec da ui kuedredj veca 51 kl. e) [gaidj [gaidj x x  ui ui iÿlarj kuecqugare, 2 x  + + (2 x  + + 2) < 2;4 x ⋁ 2 x b) Cceleidj Cceleidj x x  e e ce ecture dac trgåiùcj, t rgåiùcj, E ( x ) < < x 2 < 46 2

2 ; k) Cceleidj Cceleidj x x  ec ec cedj da ce besa, ^ (  x x ) 4. ºDa quç iÿlarj sa trete:

56>

Qigded 1| Akuekgjias y sgstales Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

4.

Kjlpruabe sg cjs vecjras da x prjpuastjs sji sjcukgûi da ce akuekgûi ai kede kesj. e) ; x  ‛ ‛ 1(2 x  ‛ ‛ 5) < ‛2 x  + + 56 b) 2 ; x − 5 − k) x −

x 5

2 x 2 ;

;

x  < < ‛5

< ;x − 0

< ‛2 x  <

< 1 − x + 5

< x   <

d) > x 2  x 2 − 0 < −5;  

2 ⋁ ; ⋁ ( −2 ) − 5 −

5 ;

k) x    x 2 < ;  5 2 >  < >⋁ < <  5   5 4    4 2 2 ⇒ >   < + 5 2 5 ; 2 +5<   2 2

5

  x 2 < 2

2 5 > ;  5 2 > −  < > ⋁ < <  5   5 4 4 2  ⇒ >  − 2  ≦ − 2 + 5  2 5 5   − +5<   2 2 

1.

Askrgba akuekgjias aqugvecaitas e 2(;x ‛ ;) + 2x ‛ 1 < 2x + 4. e) [uleidj ai cjs djs lgalbrjs ac iÿlarj 1. b) Rasteidj ai cjs djs lgalbrjs ac iÿlarj 4. k) Luctgpcgkeidj kede lgalbrj pjr ac iÿlarj ‛5. d) Dgvgdgaidj kede lgalbrj pjr ac iÿlarj 2. e) 2(; x  ‛ ‛ ;) + 2 x  < < 2 x  + + 7

k) −2(; x   ‛ ‛ ;) − 2 − 2 x + 1 < −2 x  ‛ ‛ 4

b) 2(; x  ‛ ‛ ;) + 2 x  ‛ ‛ 7 < 2 x

d) ; x  ‛ ‛ ; + x + x −

1 2

.

Gidgke quç akuekgjias sji da prglar `redj. e) b)

0.

2 x ; < 2 x 4

k) ; x 2 ‛ x  <   x  < < ; x  ‛ ‛ 1

b) ; x  ‛ ‛ 2 ‛ x  < < 7 ‛ 2 x

k) 56 ‛ ; x   < ) < 42

k) ‛(‛2 x  ‛ ‛ 5) ‛ ( x x  + + ;)

b) 2(‛; x  + + ;) ‛ ;(  x + 1) x  ‛ ‛ 2 x 2 x  +

e) ;(; x  ‛ ‛ 1) + ;(2 x  ‛ ‛ >) < 42 ⇒ 7 x  ‛ ‛ 51 + > x  ‛ ‛ 5= < 42 ⇒ 7 x  + + > x  < < 42 + 51 + 5= ⇒ 51 x  < < 01 ⇒ x x  < < 1 b) 2(‛; x  + + ;) ‛ ;( x  + + 1) ‛ ; x  ‛ ‛ 51 ‛ 51 ‛ 55 x  + + ; x  ⇒ ‛26 < 56 x  ⇒ ‛ 2 x  ‛ ‛ 2 x + ; x  + + 2 x ⇒ 26 < 7 x  ⇒ x   < <

7.

Mecce ce sjcukgûi da ces sgùgaitas akuekgjias da prglar `redj kji daijlgiedjras. e) ; x 2 <

;

e) ; x − 2 <

;

b)

56=

5 ; x + 2 4

2

2 <

x

b)

5 2

x ⇒ >x − 4 < ;x ⇒ >x − ;x < 4 ⇒ ;x < 4 ⇒ x <

1−

; 4

x

⇒

2x + ; < 26 − ; x

⇒

2x + ; x

<

;

x

4

4 ;

5>

<

x

x

=

4

d)

>

b) 1(  x x  + 2) < 5; ‛ 4(;x ‛ 5) k)

x

;

2x

0 x

1

51

;

<

1

x

1

x

<

7

x

55

;

a) ;= x  ‛ ‛ 47 + 2(; x  ‛ ‛ 5) < 0 x  ‛ ‛ =

e) x + x < x + x + > ⇒ = x + x < 2x + 4x + 7> ⇒ =x + x − 2x − 4x < 7> ⇒ ; x < 7> ⇒ x < ;2 2

5> 5>

=

4

b) 1(  x x  + + 2) < 5; ‛ 4(;x ‛ 5) ⇒ 1 x  + + 56 < 5; ‛ 52 x  + + 4 ⇒ 1 x  + + 52 x  < < 5; + 4 ‛ 56 ⇒ 50 x  < < 0 ⇒ x  < <

0 50

7 5 k) x + 2x + 0x < ; ⇒ 1 x + > x + 0x < 7 ⇒ 5 < 5= =x < 7 ⇒ x < ;

1

51

1

5=

2

471 d) x − x < x − 55 ⇒ 7 x − 1x < 51 < 41 5 1x − 47 471 ⇒ 4 47 71 < 51x − 7x + 1x ⇒ 471 < 55x ⇒ x < 1

7

;

55

a) ;= x  ‛ ‛ 47 + 2(; x  ‛ ‛ 5) < 0 x  ‛ ‛ = ⇒ ;= x  ‛ ‛ 47 + > x  ‛ ‛ 2 < 0 x  ‛ ‛ = ⇒ ;= x  + + > x  ‛ ‛ 0 x  < < ‛= + 47 + 2 ⇒ ;0 x  < < 4; ⇒

4; ;0

55. Rasuacva ces sgùgaitas akuekgjias. e)

;

x

x 5

5 =

2

=

a) 4

b) ; ⋁ x ;  − x < − >7 51  1  51 k) d)

4 2 x

x

;

−

; x 5

5

2

x

;

n) ; 2 x 1

< 1 x

`)

;



x −

x

<

x

4

=x

><

x

2

2

5

1 x ;

5

5   − ; x + 5 < 2  x + 4   

2

1; < 2  − x +  52  

2x 5 >

e) x − ; − x − 5 < 5 ⇒ 4 x  ‛ ‛ 52 ‛ x ‛ x  + + 5 < 5 ⇒ 4 x   ‛ x ‛ x  < < 5 ‛ 5 + 52 ⇒ ; x  < < 52 ⇒  x x  < < 4 2

=

=

>7 ;x + 7 x >7  x + ;  x 7 − 51 1 51 51  1  51

b) ; ⋁  k)

4 ( 2 x − 5) +

−

; x + 5 ;x + 5 < −1 x − ; ⇒ −=x + 4 + < −1 x − ; ⇒ ‛5> x  + + = + ; x  + + 5 < ‛56 x  ‛ ‛ > ⇒ 51 < ; x  ⇒  x x  < < 1 2 2

d) x − 2x − 5 < 2  − x + 1;  ⇒ x − 2x − 5 < −2x + 1; ⇒ 2 x   ‛ 2 x   + 5 < ‛52 x   + 1; ;



>

52 x  < < 12

= x  < < ‛7> ⇒ x x  < < ‛52

⇒

  x   <

⇒

52 

12

5;

<

52

;

;

>

>

2 x   ‛ 2 x   + 52 x   < 1; ‛ 5

⇒

⇒

a) 4 ( x − ; ) + x < − ( x − 4 ) + 5 ⇒ 4 x − 52 + x < −x + 4 + 5 ⇒ = x  ‛ ‛ 24 + x + x  < < ‛2 x  + + = + 2 ⇒ = x   + x + x  + + 2 x  < < 24 + = + 2 ⇒ 2

55 x  < < ;4

x  < <

⇒

2

;4 55

x − 1x − ; ⇒ 52 x ‛ ;6 + 5> x   ‛ 52 < x   ‛ 56 x   ‛ > 2 ;> 52 x + 5> x  ‛ x ‛ x  + + 56 x  < < ;6 + 52 ‛ > ⇒ ;0 x  < < ;> ⇒ x  < < ;0

n) ; ( 2 x − 1 ) + =x − > <

 

5

x

2

 

− ( 1x + ;) ⇒ >x − 51 + =x − > <

5

5

⇒

5

`)  x −  − ; ( x + 5) < 2  x +  ⇒ x − − ;x − ; < 2x + ⇒ 2 x  ‛ ‛ 5 ‛ > x  ‛ ‛ > < 4 x  + + 5 ⇒ ‛= < = x ⇒ x x  < < ‛5 2 4 2 2 



Akuekgjias y sgstales | Qigded 1 567

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

52. Mecce ces sjcukgjias da ces sgùgaitas akuekgjias. x e) 2 ;

b)

4 x > 4 4( 2 x 1

x

k) x − d)

5 2

<

( 4 x 2) < 2( x ;) 56

5)

>(5 x ) + ;(4 − 2x ) 1

1 x 5    2  

x

e) 2 x − ; < 5 4 x − >

2

1 x > 2

5 < ;  x +  − 2 > 

5  5 2x x <  ;  2 ;

4 x  ‛ ‛ > < 4x ‛ >

⇒

5 1 x 2 >

4 x  ‛ ‛ 4 x  < < > ‛ >

⇒

6 < 6 Gingigtes sjcukgjias

⇒

b) x − 4 − 4(−2 x + 5) − (−4x + 2) < 2( x − ;) + 1x + > ⇒ 2 x   ‛ = + =6 x   ‛ 46 + 4 x   ‛ 2 < 26 x   ‛ >6 + 21 x   + ;6 1

56

‛= ‛ 46 ‛ 2 + >6 ‛ ;6 < 26 x  + + 21 x  ‛ ‛ 2 x  ‛ ‛ =6 x  ‛ ‛ 4 x ⇒ ‛26 < ‛45 x  ⇒ x   < <

k) x −

>(5 − x ) + ;(4 − 2x ) 1

26 45

⇒

2

5 > − >x + 52 − >x 5  < ; x +  − 2 ⇒ x − < ;x + − 2 ⇒ 56 x  ‛ ‛ 52 + 52 x  ‛ ‛ 24 + 52 x   < < ;6 x   + + 1 > 1 2 

‛ 26 ⇒ 56 x  + + 52 x  +52 +52 x  ‛ ‛ ;6 x  < < 1 ‛ 26 + 52 + 24

4 x  < < 25

⇒

x  < <

⇒

25 4

2 2 2 d)  1 x − 5   x + 5  − 5 − 2x < x − 5 − 1x ⇒ 1x + 4 x − 5 − 5 − 2x < x − 5 − 1x ⇒ 1 x 2 + 4 x  ‛ ‛ 5 ‛ ; + > x   < 2 x  ‛ ‛ 5 +



2

2

 ; 

2

2

;

>

>

2

1 x ⇒ 1 x + 4 x  + + > x  ‛ ‛ 2 x  ‛ ‛ 1 x < ‛ 5 + 5 + ;

2

= x  < < ; ⇒ x  < <

⇒

;

; =

>

5;. Ektgvgded rasuacte. 54. Mecce djs iÿlarjs kjisakutgvjs tecas ac trgpca dac prglarj laijs ac djbca dac saùidj sae 557. Cjs iÿlarjs sji x sji x   y x y x  + + 5. ; x  ‛ ‛ 2 ° ( x  + + 5) < 557 ⇒ ; x  ‛ ‛ 2 x  ‛ ‛ 2 < 557 ⇒ x  < < 557 + 2 ⇒ x  < < 525 Cjs iÿlarjs sji 525 y 522.

51. Keckuce tras iÿlarjs kjisakutgvjs tecas qua ce sule dac prglarj laijs ac trgpca dac saùidj lås ce lgted dac tarkarj dç kjlj rasuctedj 2>. Cjs iÿlarjs sji x sji x , x  + + 5 y x y x  + + 2. x − ; ⋁ ( x + 5) +

x + 2

2> ⇒ x − ;x − ; +

< −

2 ⇒ 4= < ; x ⇒ 5> < x

x + 2 2

2> ⇒ 2x − >x − > + x + 2 < − 1 12 2 ⇒ −> + 2 + 12 < − 2x + >x − x

< −

Cjs iÿlarjs sji 5>, 50 y 5=.

5>. Ai uie kcesa da 2= eculijs da ;¿ A[J mey djbca da eculijs elargkeijs qua enrgkeijs y ac djbca da aurjpajs qua da elargkeijs. e) Acgà uie gikûìgte y pceitae uie akuekgûi qua rancaoa ac aiuikgedj. b) ºKuåitjs eculijs mey da kede kjitgiaita: e) Mey Mey x x  eculijs eculijs enrgkeijs, 2 x  elargkeijs elargkeijs y 4 x  aurjpajs. aurjpajs. x  + + 2 x  + + 4 x  < < 2=

b) x  + + 2 x  + + 4 x  < < 2= ⇒ 0 x  < < 2= ⇒   x x  < < 4 Mey 4 eculijs enrgkeijs, = elargkeijs y 5> aurjpajs.

556

Qigded 1| Akuekgjias y sgstales Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

50. Jbsarve ce beceize. Aikuaitre ui vecjr da ce gikûìgte tec qua ce beceize? e) [a gikcgia e ce darakme. b) [a gikcgia e ce gzqugarde. k) Kjisgè ac aqugcgbrgj. d) Uua ac pasj ai ac cedj darakmj sae ac djbca qua ai ac gzqugardj. e) [g x [g x  < < 5, ac pcetgccj da ce gzqugarde pase ‛; y ac da ce darakme ‛2. b) [g x [g x < 0, ac pcetgccj da ce gzqugarde pase 25 y ac da ce darakme 5>. [g x < 2, elbjs pcetgccjs pasei 5. k) [g x

d) [g x    ; 5 µ 55

Akuekgjias y sgstales | Qigded 1 555

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

25. Gidgke ac iÿlarj da sjcukgjias da ces sgùgaitas akuekgjias sgi rasjcvarces. e) x 2 + 1 < 6

b) ‛2 x 2 ‛ ; x  + 1 < 6

k) 4 x 2 ‛ 26 x  + + 21 < 6

e) x 2 + 1 < 6 ⇒ D < 6 ‛ 4 ° 5 ° 1 < 6 ‛ 26 < ‛26 3 6 ⇒ Ij tgaia sjcukgûi. 2 b) ‛2 x 2 ‛ ; x  + + 1 < 6 ⇒ D < (‛;) ‛ 4 ° (‛2) ° 1 < 7 + 46 < 47 9 6 ⇒ Tgaia djs sjcukgjias raecas. 2 k) 4 x 2 ‛ 26 x  + + 21 < 6 ⇒ D < (‛26) ‛ 4 ° 4 ° 21 < 466 ‛ 466 < 6 ⇒ Tgaia uie sjcukgûi raec.

22. Mecce ces sjcukgjias da ces sgùgaitas akuekgjias da saùidj `redj gikjlpcates. e) 4 x 2 < 6 b) 2 x 2 ‛ 52 x  < 6

k) 56 x 2 ‛ 76 < 6 < 6 d) ‛52 x 2 + = x  <

2 e) 4 x 2 < 6 ⇒   x x < 6 ⇒   x x  < < 6 (Djbca)

x  < 6 b) 2 x 2 ‛ 52 x  < < 6 ⇒ 2 x (x (x ‛ >) < 6 ⇒

{ x − > < 6 ⇒ x < >

2 k) 56 x 2 ‛ 76 < 6 ⇒ 56 x 2 < 76 ⇒   x x < 7 ⇒   x x   < < µ;

 4 x < 6 ⇒ x < 6

 2 d) ‛52 x 2 + = x  < < 6 ⇒ 4 x (‛;x (‛;x + 2) < 6 ⇒   −; x + 2 < 6 ⇒ x < 

;

2;. Ektgvgded rasuacte.

24. Rasuacva ces sgùgaitas akuekgjias. e) ; x (  x x  ‛ ‛ 1) + (2 x  ‛ ‛ ;)(  x x  ‛ ‛ ;) < 00 b) (2 x  ‛ ‛ ;)(; x  ‛ ‛ 5) ‛ (  x + ;)(  x ‛ 2) < > x   x  + x  ‛ k) 2(  x x  ‛ ‛ 2)2 ‛ (2 x  ‛ ‛ 1)(2 x  + + 1) < 4 x  + + 5 d) 2 x (‛ (‛ x  + + 1) ‛ x (; (; x  ‛ ‛ 2) < ; x 2 ‛ = 2 2 2 e) ; x (  x x  ‛ ‛ 1) + (2 x  ‛ ‛ ;)(  x x  ‛ ‛ ;) < 00 ⇒ ; x ‛ 51 x  + + 2 x ‛ > x  ‛ ‛ ; x  + + 7 < 00 ⇒ 1 x ‛ 24 x  ‛ ‛ >= < 6

⇒ x <

24 µ 10> + 5 5; ;>6 56

<

24 µ 4 44 4 56

 −2   <  ;4  >= <  1  56

2 2 2 b) (2 x  ‛ ‛ ;)(; x  ‛ ‛ 5) ‛ (  x x  + + ;)(  x x  ‛ ‛ 2) < > x ⇒ > x ‛ 2 x  ‛ ‛ 7 x  + + ; ‛ x ‛ x + 2 x  ‛ ‛ ; x  + + > < > x   ⇒ 1 x ‛ 5= x  + + 7 < 6 6 ⇒

; 5= µ ;24 − 5 5= =6 5= µ 5 52 2   x < < <  56 56  > < ;  56 1  2 2 2 2 2 k) 2(  x x  ‛ ‛ 2) ‛ (2 x  ‛ ‛ 1)(2 x  + + 1) < 4 x  + + 5 ⇒ 2(  x x ‛ 4 x  + + 4) ‛ 4 x + 21 < 4 x  + + 5 ⇒ 2 x ‛ = x  + + = ‛ 4 x + 21 < 4 x  + + 5 ⇒ 2 2 2 2 2 x ‛ = x  + + = ‛ 4 x + 21 ‛ 4 x  ‛ ‛ 5 < 6 ⇒ ‛2 x ‛ 52 x  + + ;2 < 6 ⇒ x + > x  ‛ ‛ 5> < 6

−> µ ;> + >4

⇒ x <

2

<

−> µ 56 −= < 2

{2

2 2 2 2 2 2 2 d) 2 x (‛ (‛ x  + + 1) ‛ x ‛ x (; (; x  ‛ ‛ 2) < ; x ‛ = ⇒ ‛2 x + 56 x  ‛ ‛ ; x + 2 x  < < ; x ‛ = ⇒ ‛2 x + 56 x  ‛ ‛ ; x + 2 x  ‛ ‛ ; x + = < 6 ⇒

2

‛= x + 52 x  + + = < 6 ⇒ 2 x ‛ ; x  ‛ ‛ 2 < 6 ⇒ x < 2

2

; µ 7 + 5> 4

<

 ; µ 1  4

<  − 2 < − 5  4  2

21. Ektgvgded gitarektgve.

552

Qigded 1| Akuekgjias y sgstales Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

2>. Rasuacva ces sgùgaitas akuekgjias. e) x ; ‛ 2 x 2 ‛ x  + 2 < 6

b) x 4 + 0 x ; ‛ x 2 − 0 x  < 6

k) 2 x 4 + ; x ; ‛ 55 x 2 ‛ > x  < < 6

e) x ; ‛ 2 x 2 ‛ x ‛ x  + + 2 < 6 5 5 5 2 5 ;

‛2

‛5

2

5

‛5

‛2

‛5

‛2

6

2

2

5

6

2

x ‛ 2 x ‛ x ‛ x  + + 2 < (  x x  ‛ ‛ 5) ° ( x  ‛ ‛ 2) ° ( x  + + 5) < 6 Ces sjcukgjias sji x sji x  < < 5, x 5, x < 2 y x y x  < < ‛5 2 b) x 4 + 0 x ; ‛ x ‛ x ‛ 0 x  < < 6 4

;

2

;

2

x + 0 x ‛ x ‛ x ‛ 0 x    < 6 2 2 x < t ⇒ t ‛ 1t 1t  + + > < 6 ⇒ t <

1 µ 21 − 24 2

<

1 µ 5 ;  x 2 < ; ⇒ x < µ ; < ⇒  2 2 x < 2 ⇒ x < µ 2 2 

{

k) 4 x 4 ‛ ;0 x 2 + 7 < 6 7    x 2 < 7 ⇒ x < µ; ;0 µ 5;>7 − 5 54 44 ;0 µ ; ;1 1   2 2 x < t ⇒ 4t ‛ ;0t ;0t  + + 7 < 6 ⇒ t < < x . x  + + 2 x  + + > x  < < 5=6 ⇒ 7 x  < < 5=6 ⇒ x  < < 26 Ac åiùcj laijr ladgrå 26 `redjs, ac ladgeij ladgrå 46 y, ac leyjr, 526.

;6. Keckuce ces cji`gtudas da cjs cedjs da ui trgåiùcj raktåiùcj sg sji tras iÿlarjs ieturecas kjisakutgvjs. [g ac ketatj laijr lgda x lgda x , ac ketatj ladgeij ladgrå x ladgrå x  + + 5 y, ce mgpjtaiuse, x mgpjtaiuse, x  + + 2. 2 2 2 2 2 2 2 x + (  x x  + + 5) < (  x x  + + 2) ⇒   x x + + x x + 2 x  + + 5 . Rasuacva astjs sgstales pjr ac lçtjdj da sustgtukgûi. e) b)





4 x 2y < 5> 4 x y < 22

k)

; x 2y < ;0 4 x

d)

1y < 57





4 x 2y < 5= ; x

y

< 2>

2 x >y < 6 ; x 4y < 1

x

a)



n)



;y < 1

2 x 4 y < 2

2 x 0y < 1 2 x

;y < 5

e) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 1, y  < < ‛2). 5> − 2y       4 x + 2y   5> − 2y  ⇒  x < ⇒ −4 ⋁    + y < −22 ⇒ −5> + 2y + y < −22 ⇒ y < −2 ⇒ x < 1    4 22 4  −4 x + y − ;x ) < 5= ⇒ 4x − 12  y < 2> − ;x ; x + y < 2>

{

d) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < ;, y  < < 5). 2 x − >y ). 1

x < 1 + ;y  x − ;y < 1 56 6 + >y + 4y < −2 ⇒ > y + 4y < −2 − 56 ⇒ 5 56 6 y < −5 2 ⇒ ⇒ 2 ⋁ ( 1 + ; y ) + 4 y < −2 ⇒ 5  2 x + 4y < −2 2 x + 4y < −2

{

⇒y

n) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 5, y  < < 5). 0y − 1  −54y + 56 2 x − 0y < −1  x <  0y − 1  ⇒ + ;y < 5 ⇒ −54y + 56 + >y < 2 ⇒    + ;y < 5 ⇒ 2 ⇒ −2 ⋁  2 ; 5 x y − + < 2 2      −2 x + ;y < 5 56 − 2 < 54y − >y ⇒ = < =y ⇒ 5 < y ⇒ x < 5

;0. Ce sule dac djbca da ui iÿlarj lås ac kuådrupcj da jtrj as 554. [g ec prglar iÿlarj sa ca sulei tras uigdedas y ec saùidj sa ca rastei ; uigdedas, cjs iÿlarjs rasucteitas sji gùecas. Keckuce cjs djs iÿlarjs. [ae x [ae x  ac ac prglar iÿlarj a y  ac ac saùidj.

2 x + 4y < 5 54 ⇒ 2x + 4y < 554 ⇒ 2 ⋁ ( y − > ) + 4y < 554 ⇒ 2y − 52 + 4y < 554 ⇒ 2y + 4y < 55 4 + 52 ⇒  x < y − >  x + ; < y − ; >y < 52> ⇒ y < 25⇒ x < 25− > < 5 51 1 ⇒ Cjs iÿlarjs sji 51 y 25.

{

;=. Keckuce pjr sustgtukgûi? e) Djs iÿlarjs qua sulai 0= y kuye dgnaraikge sae =. b) Djs iÿlarjs tecas qua sulai 5;6 y qua ac djbca dac prglarj lås ac trgpca dac saùidj sae ;46. e) [aei [aei x x  a a y  cjs cjs djs iÿlarjs.  x + y < 0= x + y < 0= ⇒ ⇒ y + = + y < 0= ⇒ y + y < 0= − = ⇒ 2y < 06 ⇒ y < ;1 ⇒ x < ; 1 + = < 4;  x < y + = = x y − < 

{

b) [aei [aei x x  a a y  cjs cjs djs iÿlarjs.  x + y < 5;6 x < 5;6 − y ⇒ ⇒ 2 (5;6 − y ) + ;y < ;46 ⇒ ; y − 2y < ;46 − 2>6 ⇒ y < =6 ⇒ x < 16  2 x + ;y < ;46 2 ; ; 4 6 + < x y 

{

55>

Qigded 1| Akuekgjias y sgstales Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

;7. Rasuacva cjs sgùgaitas sgstales pjr ac lçtjdj da gùecekgûi. e) b)

x

2y <

x

;y < 5>





4

; x 0y < 554 4 x ;y < 0>

k)



; x y < 4 4 x

y

> + ;y ⇒ −4 − 5> < 2y + ;y ⇒ −26 < 1y ⇒ −4 < y ⇒ x < 5> − 52 < 4 ⇒  x < 5> + ;y x y ; 5> − < 

{

b) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 56, y  < < ‛52) 554 + 0y   x <     ; 554 + 0y 0> + ;y ; x − 0y + 2=y < 22= + 7y ⇒ 2=y − 7y < 2 2= − 41> ⇒  x y − < 4 ; 0 > ; 4   0> + ;y  x <  4 5 54 + 0 ⋁ ( −52 ) 554 − =4 =4 ;6 < < < 56 57y < −22= ⇒ y < −52 ⇒ x < ; ; ;

k) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < ‛5, y  < < ‛5) ; x + y < −4 y < −4 − ;x ⇒ ⇒ −4 − ; x < ; + 4x ⇒ −4 − ; < 4x + ;x ⇒ −0 < 0x ⇒ −5 < x ⇒ y < −4 − ; ⋁ ( −5) < −5  y < ; + 4x x y − + < 4 ; 

{

d) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < ‛1, y  < < 4) − x − 5   y < 21

− 2 x − ;y < ;5

b) 

1 x ;y < 5; ; x

1y < 5

e) Ac sgstale ij tgaia sjcukgûi. [gstale gikjlpetgbca gikjlpetgbca.. 21 − >y   x < 21 − >y    4 −;y − ;5 4 x + >y < 21  ⇒ ⇒ < ⇒ 16 − 52y < −52y − 524 ⇒ 6y < −504 ⇒ [gi sjcukgûi.  4 2 −2 x − ;y   < ;5  −;y − ;5  x < 2 

b) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < ‛2, y  < < ‛5). [gstale kjlpetgbca. −5; − 1 x  y <    ; −5; − 1x 5 + ;x 1 x + ;y 1 − 21 x < ; + 7x ⇒ −>= < ;4x ⇒ −2 < x ⇒ y < −5  ; 1 −; x + 1y   < 5 x 5 ;  +  y < 1 

45. Keckuce djs iÿlarjs qua kulpcei qua su dgnaraikge veca 56 y qua ac djbca dac prglarj lås ac djbca dac saùidj as 5>6. [ae x [ae x  ac ac prglar iÿlarj a y  ac ac saùidj.

 x − y < 56  x − y < 5 6 ⇒ ⇒ x < 56 + y ⇒ 56 + y < =6 − y ⇒ y + y < =6 − 56 ⇒ 2y < 06 ⇒ y < ;1 ⇒ x < 4 1  x < =6 − y 2 2 5 > 6 = 6 x y x y + < + <  

{

Cjs iÿlarjs sji 41 y ;1.

Akuekgjias y sgstales | Qigded 1 550

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

42. Keckuce djs iÿlarjs tecas qua ac djbca dac prglarj lås ac trgpca dac saùidj vecè 0= y qua sg ec prglarj sa ca sulei > uigdedas quade gùecedj ec saùidj. [ae x [ae x  ac ac prglar iÿlarj a y  ac ac saùidj.

2 x + ;y < 0= ⇒   x + > < y

0= − 2 x  0= − 2x     y < ⇒ < x + > ⇒ 0= 0 = − 2x < ;x + 5 5= = ⇒ > 6 < 1 x ⇒ 52 < x ⇒ y < 52 + > < 5= ;  ;   x + > < y

Cjs iÿlarjs sji 52 y 5=.

4;. Ce dgnaraikge aitra ce ecture da Kceudge y su marleij Oevgar sji 6,21 l. y ce sule dac djbca da ce ecture da Kceudge lås ce ecture da Oevgar as 4,06 l. ºKuåitj lgdai Kceudge y Oevgar: [ae x [ae x  ce ce ecture da Kceudge a y  ce ce ecture da Oevgar.

 x − y < 6, 21  x − 6, 21 < y 46 6 ⇒ ⇒ x − 6, 21 < 4, 06 − 2x ⇒ ; x < 4, 71 ⇒ x < 5, >1 ⇒ y < 5, >1 − 6, 21 < 5, 4  2 x y 4 , 0 6 + <   y < 4, 06 − 2x Kceudge lgda 5,>1 l y Oevgar 5,46.

44. Ladgeita ac lçtjdj da radukkgûi rasuacva cjs sgstales? e)



b) 

2 x ;y < 5 ; x 2y < 1

1 x + 4y < 1 2 x + ;y < 2

k)



2 x y < 56 ; x

2y < 5>

4 x + 1y < 2= d)  − ; x + 2y < 2

a) n)



; x

4y < 1

2 x

;y < 7

− ; x + 4y < − 57  1 x + >y < 57

e) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 5, y  < < 5). 2 x − ;y < −5  4 x − >y < −2 ⇒ ⇒ x < 5 ⇒ ; ⋁ 5 + 2y < 1 ⇒ 2y < 2 ⇒ y < 5  51 ; x + 2y < 1  7x + >y < 51 < 5; 5; x

b) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 5, y  < < 6). 1 x + 4y < 1  −56 x − =y < −56 ⇒ ⇒ y < 6 ⇒ 1x + 4 ⋁ 6 < 1 ⇒ 1x < 1 ⇒ x < 5  2 x + ;y < 2  56 x + 51y < 56 0y < 6

k) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 4, y  < < 2). 2 x + y < 56  4 x + 2y < 26 ⇒ ⇒ x < 4 ⇒ 2 ⋁ 4 + y < 56 ⇒ = + y < 56 ⇒ y < 2   −; x − 2y < −5>  −; x − 2y < −5> x < 4

d) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 2, y  < < 4). 51 1y < =4  4 x + 1 y < 2=  52 x + 5 ⇒ ⇒ y < 4 ⇒ 4 x + 1 ⋁ 4 < 2= ⇒ 4 x < = ⇒ x < 2   −; x + 2y < 2  − 52x + =y < = 2;y < 72

a) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < ‛;, y  < < 5). 51  −; x − 4y < 1  −7x − 52y < 51 ⇒ ⇒ x < −; ⇒ −; ⋁ ( −; ) − 4y < 1 ⇒ 4 < 4y ⇒ y < 5   −2 x + ;y < 7  −=x + 52y < ;>

− 50 x

< 15

n) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 1, y  < < ‛5).  −; x + 4y < −57 ⇒  57  1 x + >y < 57

55=

 −51x + 26y < −71 ⇒ y < −5 ⇒ −; x + 4 ⋁ ( −5) < −57 ⇒ −4 + 57 < ;x ⇒ x < 1   51x + 5=y < 10 ;=y < −;=

Qigded 1| Akuekgjias y sgstales Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

Djwicjedad by? ceure kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

41. Rasuacva, sg as pjsgbca, cjs sgùgaitas sgstales da akuekgjias. x

e)



b)



0y < 52

; x 4 y < 55

; x 2y < = 51 x 56y < 27

k)



5> x ;y < 25 2 x

x

0y < 52

=y <

;

d)  ; x 52y < 6

− 2 x + y < − 2 a)  − 4 x − 2y < − 52 n)



4 x 2y < > > x

;y < 7

4;y < − = − 1 x + 4; `)  > x + 52y < 7

m) 

1 x − 4y < − =6 ; x + 1y < 2>

e) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 1, y  < < ‛5). 52  x − 0y < 52  −;x + 25y < −;> ⇒ ⇒ y < −5 ⇒ x − 0 ⋁ ( −5) < 52 ⇒ x + 0 < 52 ⇒ x < 52 − 0 ⇒ x < 1  ; x + 4y < 55  ; x + 4y < 55 21y < − 21

b) Ac sgstale ij tgaia sjcukgûi. As ui sgstale gikjlpetgbca.  ; x − 2y < =  −51 x + 56y < −46 ⇒ ⇒ 6y < −5 5 ⇒ Ij a xg xgsta sj ccu u kg kgû i  − < x y 5 1 56 5 6 2 7 56y < 27   51 x − 56 6y < − 55

k) Ce sjcukgûi dac sgstale as  x < 555 , y

25 221 5> x − ;y < 25  5> x − ;y < 25 −01  −01  ⇒ ⇒ y < ⇒ 5> x − ; ⋁  < 25 ⇒ 5>x + < 25   1; 1;  1;   −2 x + 0y < −52  −5> x + 1>y < −7> 1;y < − 01

⇒ =4= x + 221 < 5 55 55; ⇒ =4=x < 555; − 2 22 21 ⇒ =4=x < === ⇒ x <

=== =4=

<

555 56>

d) Ce sjcukgûi dac sgstale as  x < −5, y < 5  

4

7 5 5  x − =y < −;  −;x + 24y < 7 ⇒ ⇒y < < ⇒ x − = ⋁ < −; ⇒ x − 2 < −; ⇒ x < −5  ;> 4 4 ; x + 52y < 6  ; x + 52y < 6 ;> y < 7

a) Ce sjcukgûi dac sgstale as ( x  < < 2, y  < < 2).  −2 x + y < −2 ⇒   −4 x − 2y < −52

 4 x − 2y < 4 ⇒ y < 2 ⇒ −2x + 2 < −2 ⇒ 4 < 2x ⇒ 2 < x   −4 x − 2y < −52 − 4y < − =

n) Ac sgstale tgaia gingigtes sjcukgjias.  4 x + 2y < −>  52x + >y < −5= ⇒ ⇒ Gingigtes sjcukgjias   −> x − ;y < 7  − 52x − >y < 5= < 6

`)

6 5>5 5  Ce sjcukgûi dac sgstale as  x < , y < −  56> 56>   4;y < −= 21 1=y < −4= −; −5 52  −1 x + 4;  −;6 x + 2  −5  ⇒ ⇒ y < < ⇒ > x + 52 ⋁  < 7 ⇒ > x − 56 >  5 6>   > x + 52y < 7  −;6 x + >6y < 41 ;5=y < − ;

>;> x − 52 < 7 71 14 ⇒ >;>x < 714 + 52 ⇒ >;>x < 7>> ⇒ x <

7>> >;>

<

5>5 56>

m) Ce sjcukgûi dac sgstale as ( x  < < ‛=, y  < < 56). 52y < 246 1 x − 4 y < −=6  −51 x + 52 ⇒ ⇒ y < 56 ⇒ 1x − 4 ⋁ 56 < −=6 ⇒ 1x < −46 ⇒ x < −=  x y x + < + ; 1 2 > 5 1 2 21 1y < 5 5; ;6   ;0y < ;06

Akuekgjias y sgstales | Qigded 1 557

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl

Djwicjedad by? ceure kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

4>. Gitaite rasjcvar cjs sgùgaitas sgstales da akuekgjias cgiaecas y kjlpruabe qua sji gikjlpetgbcas.

− 2y < − 5 2 x − 4y < 2

x

e) 

k) 

2 x ;y < 5

b)  2 x ;y < 5

d) 

2 x y < 56 4 x

2y < >

2 x 4y < > 1 x

56y < 7

Igi`ÿi sgstale tgaia sjcukgûi pjrqua ai tjdjs sa jbtgaia ce akuekgûi 6 < e, sgaidj e ui iÿlarj kuecqugare.

e) [gstale gikjlpetgbca

k) [gstale gikjlpetgbca

 x − 2y < −5  −2x + 4y < 2 ⇒ ⇒ [gi sjcukgûi  − < x y 2 4 2   2x − 4y < 4 6

2 x + y < 56 ⇒  −4 x − 2y < >

b) [gstale gikjlpetgbca

 4x + 2y < 26 ⇒ [gi sjcukgûi   −4 x − 2y < > 6 < 2>

d) [gstale gikjlpetgbca

2 x − ;y < −5  2x − ;y < −5 ⇒ ⇒ [gi sjcukgûi  2 x − ;y < 5  −2x + ;y < − 5 6 < −2

 56 x − 26y < ;6  2 x − 4y   < >  ⇒ ⇒ [gi sjcukgûi   −56 x + 26y < 5= −1 x + 56 y < 7  6 < 4=

40. Ektgvgded rasuacte. 4=. Buske djs iÿlarjs tecas qua su sule sae 11 y su dgnaraikge ;1. [aei x [aei x  a a y  cjs cjs djs iÿlarjs.

 x + y < 11 ⇒ x < 41 ⇒ 41 + y < 11 ⇒ y < 56   x − y < ;1 2 x < 76 Cjs iÿlarjs sji 41 y 56.

47. Ai uie pepacarìe sa mei vaidgdj ai uie terda 16 cåpgkas y kuedarijs. [g kede kuedarij kuaste 4 ₣ y kede cåpgz ladgj aurj y sa mei rakeudedj 71 ₣ ai tjtec, ºkuåites uigdedas sa mei vaidgdj da kede jboatj: [ae x [ae x  ac ac iÿlarj da kuedarijs qua sa mei vaidgdj a y  ac ac iÿlarj da cåpgkas. 266  x + y < 16  − 4 x − 4y < − 26 ⇒ ⇒ y < ;6 ⇒ x + ;6 < 16 ⇒ x < 26  71 1 71  4 x + 6, 1y < 7  4x + 6, 1y <

− ;, 1y < − 561

[a mei vaidgdj 26 kuedarijs y ;6 cåpgkas.

16. Kji ces sgùgaitas akuekgjias pceitae ui sgstale qua taiè pjr sjcukgûi ( x < ‛2, y  < < 5). x  < e) 4 x   ‛‛ y  < ‛7

k) 1 x  ‛ ‛ y  < < 0

b) ; x  ‛ ‛ 1y  < 2

d) x   +> +>y  < < 4

x + y < − 5 e) Raspuaste ljdacj? 

4 x − y < − 7

b) Ij axgsta igi`ÿi sgstale pjrqua (  x x  < < ‛2, y  < < 5) ij vargngke ce akuekgûi ; x  ‛ ‛ 1y 1y  < < 2. k) Ij axgsta igi`ÿi sgstale pjrqua (  x x  < < ‛2, y  < < 5) ij vargngke ce akuekgûi 1 x   ‛ ‛ y  < < 0 x + y < − 5 d) Raspuaste ljdacj? 

 x + >y < 4

15. Ektgvgded gitarektgve.

526

Qigded 1| Akuekgjias y sgstales Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl

Djwicjedad by? ceure kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

12. Rasuacva pjr ac lçtjdj `rångkj cjs sgùgaitas sgstales da akuekgjias. e)

b)





; x 2y < 5;   x

2y < 5



; x 4y < 55

x

1 x ;y < 5; ; x

k)

1y < 5

d)

>y < 55

; x 4 y < 1 2 55 y < ; ;

    x  

e) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < ;, y  < < 2).

k) Ce sjcu sjcukgûi kgûi da dacc sgstale as ( x x  < < ‛5, y  < < 2).

b) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < ‛2 y  < < ‛5).

d) Ce sjcukg sjcukgûi ûi dac sgstale as ( x x  < < ; y  < < ‛5).

1;. Ektgvgded rasuacte. 14. Rasuacva pjr ac lçtjdj `rångkj cjs sgùgaitas sgstales da akuekgjias. e)

b)



2 x 4 y < 2   x

x



2y < 5

;y < 5

; x

7y < ;

k)

d)

; x 4y <  4  x y <  ; 

55 55 ;

; x 4 y < >   ; x 2y < ;   2

e) Ac sgstale tgaia gingigtes sjcukgjias.

k) Ac sgstale tgaia gi gingigtes ngigtes sj sjcukgjias. cukgjias.

b) Ac sgstale tgaia gingigtes sjcukgjias.

d) Ac sgstale tgaia gingi gingigtes gtes sjcukgjias. sjcukgjias.

11. Ektgvgded rasuacte.

Akuekgjias y sgstales | Qigded 1 525

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl

Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

1>. Rasuacva, sg as pjsgbca, pjr lçtjdj `rångkj cjs sgùgaitas sgstales da akuekgjias cgiaecas. e)



b)



2 x y < 56 ; x

2y < 5>

2 x 1y < ;4 4 x

;y < 2>

k)



d)



; x

4y < 57

> x =y < 57

1 x y < ; 56 x 2y < >

e) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 4 y  < < 2)..

k) Ac sgstale ij tgaia sjcukgûi.

b) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 2 y  < < ‛>)..

d) Ac sgstale tgaia gingi gingigtes gtes sjcukgjias. sjcukgjias.

10. Gidgke sg cjs sgùgaitas sgstales da akuekgjias sji gikjlpetgbcas j kjlpetgbcas. e)

k)

b)

d)

e) Raktes sakeitas. [gstale kjlpetgbca. Ce sjcukgûi dac sgstale as ( x x  < < ‛2, y  < < 6) b) Raktes perecaces. [gstale gikjlpetgbca. gikjlpetgbca. Ac sgstale ij tgaia sjcukgûi. k) Raktes kjgikgdaitas. [gstale kjlpetgbca. Ac sgstale tgaia gingigtes sjcukgjias. d) Raktes sakeitas. [gstale kjlpetgbca. Ce sjcukgûi dac sgstale as ( x x  < < 5, y  < < ;) 1=. Ce aded da Ojrà as ac trgpca da ce da su mgoj ai asta ljlaitj. Meka dgaz eõjs sulebei aitra cjs djs 2= eõjs. ºUuç aded tgaiai ektueclaita kede uij:

 x < ;y ⇒   y − 5 6 + x − 56 < 2=

Aded ektuec

Aded meka 56 eõjs

Ojrà

x

x  ‛ ‛ 56

Mgoj

y

y  ‛ ‛ 56

 x < ;y 4= − y ⇒ ;y + y < 4= ⇒ 4y < 4 4= = ⇒ y < 52 ⇒ x < ; ⋁ 52 < ;> ⇒ ;y < 4=   x < 4= − y

Ojrà tgaia ektueclaita ;> eõjs y su mgoj tgaia 52.

522

Qigded 1| Akuekgjias y sgstales Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl

Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

17. Ai uie bjdaè sa qugara raecgzer uie lazkce da 52 C da ekagta. [a ouiterå ekagta da ecte kecgded qua sa vaida e =₣/C y ekagta da kecgded ginargjr qua sa vaida e 1 ₣/C. Ce lazkce sa qugara vaidar e >,21 ₣/C, ºkuåitjs cgtrjs da kede tgpj sa dabaråi lazkcer: Ekagta ecte kecgded kecgded

x

= ₣/C

Ekagta kecgded ginargjr

y

1 ₣/C

Lazkce

52

>,21 ₣/C

 x + y < 52  x + y < 5 2 ⇒ ⇒  = x + 1y < >, 21 ⋁ 52 = x + 1y < 01

  −= x − =y < −7>  = x + 1 y < 01 ⇒ y < 0 ⇒ x < 1   − ;y < −25

[a dabaråi lazkcer 1 cgtrjs da ekagta da ecte kecgded kji 0 cgtrjs da ekagta da kecgded ginargjr.

>6. Axprase ladgeita akuekgjias ces sgùgaitas ginjrlekgjias. e) Ac prjduktj da djs iÿlarjs kjisakutgvjs as ;42. b) Ce sule da ui iÿlarj y su kuerte perta as 5=6. k) Ac årae da ui raktåiùcj kuye ecture as ui tarkgj da ce besa as 4= kl2. d) Ac vjculai da uie pgrålgda da besa kuedrede y da ecture ac djbca dac cedj da ce besa as 5= kl2. e) [gaidj [gaidj x x  y x y x  + + 5 cjs iÿlarjs kjisakutgvj kjisakutgvjs, s, x x   °° (  x x  + + 5) < ;42. b) [gaidj [gaidj x x  ui ui iÿlarj, x +

x 4

< 5=6

k) [gaidj [gaidj x x  ce ce ecture dac raktåiùcj, x raktåiùcj, x   °° ; x  < < 4=. x 2 ⋁ 2x [gaidj x x  ac ac cedj da ce besa, d) [gaidj

< 5=

;

>5. Kjlpruabe, ai kede kesj, sg ac iÿlarj qua sa saõece as sjcukgûi da ce akuekgûi dede. e) ; x  ‛ ‛ 2

2 e) (  x x  + + ;) ° (  x x  ‛ ‛ 4) < 6 ⇒   x x ‛ ‛ x x  ‛ ‛ 52 < 6

5 7 1 b)  x −  ( x + 1 ) < 6 ⇒ x 2 + x − < 6 ⇒ 2x 2 + 7x − 1 < 6



2

2

2

2 k) (  x x  + + >) ° (  x x  + + 1) < 6 ⇒   x x + 55 x  + + ;6 < 6

2 5 5 5 d)  x +   x −  < 6 ⇒ x 2 + x − < 6 ⇒ 5=x 2 + 7x − 2 < 6 ; > 2 7







>>. Rasuacva ces sgùgaitas akuekgjias da prglar `redj. ; x 5

e) 2 x  ‛ ‛ ; ‛ ;(1 x  ‛ ‛ >) ‛ x  < >6

k)

b) 4(; x  ‛ ‛ 1) ‛ 4(1 x  ‛ ‛ 2) + ; < x  + ;>

d)

4

55 2 x <

4

4 x 2 x − 1 − x < ; >

+

2 ;

e) 2 x   ‛ ; ‛ ;(1 x   ‛ >) ‛ x   < >6 ⇒ 2 x   ‛ ; ‛ 51 x  + + 5= ‛ x  < < >6 ⇒ ‛; + 5= ‛ >6 < ‛2 x   + 51 x   + x   ⇒ ‛41 < 54 x   ⇒ x < x  ‛ ‛ 52 x  + + 26 x   ⇒ ‛41 < 7 x   ⇒ x  < < ‛1

k) d)

524

; x − 5 4 4 x − 2 ;

− 2 x < − x

−

<

55 4

x − 1 >

⇒ ;x − 5 − =x < −55 ⇒ −5 + 55 < =x − ;x ⇒ 56 < 1x ⇒ 2 < x

+

2 ;

⇒

=x − 4 − >x

<

x − 1 + 4 ⇒ = x − >x − x

1 + 4 + 4 ⇒ x < ;

< −

Qigded 1| Akuekgjias y sgstales Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl

Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

>0. Kjlpruabe qua ces sgùgaitas akuekgjias sa kjivgartai ai akuekgjias da prglar `redj y rasuçcvaces. e) (2 x  ‛ ‛ ;)(  x + 1) ‛ 2 x (  x x  + x  ‛ ;) < 1

k)

b) (2 x  + + 5)2 ‛ (2 x  ‛ ‛ 5)2 < 5>

d)

x 2

5

;

−

2 x − 4

2 x x 5 > 2

< − x + 1

   = x x + ; 4 x x − 2 − < ;

;

2 2 e) (2 x  ‛ ‛ 51 ‛ 2 x + > x  < < 1 ⇒ 0 x  + + > x  < < 1 + 51 ⇒ 5; x  < < 26 ⇒   x x   < < ‛ ;)(  x x  + + 1) ‛ 2 x (  x x  ‛ ‛ ;) < 1 ⇒ 2 x + 0 x  ‛ 2

2

2

26 ;

2

+ 5) ‛ (2 x  ‛ ‛ 5) < 5> ⇒ 4 x + 4 x  + + 5 ‛ 4 x + 4 x  ‛ ‛ 5 < 5> ⇒ = x  < < 5> ⇒ x x  < < 2 b) (2 x  +

k)

x 2 − 5 ;

−

2 x ( x − 5) >

0

⇒ ; x < 0 ⇒ x < 2

d) ( 2 x − 4) −

;

< − x + 1 ⇒

x2 − 5 ;

−

2x 2 − 2x >

< −x + 1 ⇒ 2x 2 − 2 − 2x 2 + 2x < −x + 1 ⇒ 2x 2 − 2x 2 + 2x + x < 2 + 1

= x ( x + ; ) ;

<

4x ( x − 2 ) ;

   =x 2 + 24x 4x 2 − =x ⇒ 4x 2 − 5>x + 5> − < ⇒ 52x 2 − 4=x + 4= − =x 2 − 24x < ;

;

< 4 x 2 − =x ⇒ 52x 2 − 4=x + 4= − =x 2 − 24x − 4x 2 + =x < 6 ⇒ −>4x + 4= < 6 ⇒ 4= < >4x ⇒ x <

4= >4

<

; 4

>=. Rasuacva ces sgùgaitas akuekgjias da saùidj `redj kjlpcates. e) 2 x 2 ‛ ;x ‛ 2 < 6

+ 10 < 6 k) ‛1 x 2 + 4 x  +

b) ‛56 x 2 ‛ 0 x  + 5;2 < 6

d) ; x 2 ‛

5

‛ 5== < 6 x  ‛

2

e) 2 x 2 ‛ ; x  ‛ ‛ 2 < 6 x <

; µ 7 + 5> 4

k) ‛1 x 2 + 4 x  + + 10 < 6  2  ; µ1  < <  4 − 2 < − 5   4 2

b) ‛56 x 2 ‛ 0 x  + + 5;2 < 6

x <

0 µ 47 + 1 12 2=6

−26

 57 −4 µ 5> + 5546 −4 µ ;4  x < < x ‛ ‛ x x  ‛;0> ‛;0> < 6

⇒

5 µ 71 52

 =   <   − 40  > 

>7. Rasuacva ces sgùgaitas akuekgjias da saùidj `redj gikjlpcates. e) 2 x 2 ‛ =x < 6 k) ; x 2 ‛ 4= < 6 d) ‛1 x 2 + 26 < 6

b) ‛ x 2 + 51 x  < 6

2 x < 6 ⇒ x < 6 e) 2 x 2 ‛ = x < 6 ⇒ 2 x (x (x ‛ 4) < 6 ⇒ x − 4 < 6 ⇒ x < 4

{

x  < 6 b) ‛ x 2 + 51 x  < < 6 ⇒   x x (‛x (‛x + 51) < 6 ⇒

{− x + 51 < 6 ⇒ x < 51

2 k) ;x 2 ‛ 4= < 6 ⇒ ; x 2 < 4= ⇒   x x < 5> ⇒   x x   < < µ4 2 d) ‛1 x 2 + 26 < 6 ⇒ 1 x 2 < 26 ⇒   x x < 4 ⇒   x x   < < µ2

06. Ektgvgded rasuacte.

Akuekgjias y sgstales | Qigded 1 521

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl

Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

05. Rasuacva ces akuekgjias da saùidj `redj? e) (; ‛ >x ) ° (4x + ;) < 6 b)

;

2

k) (2x ‛ 2) ° (;x + 5)< 6

 

x − ;  (4 x + 1) < 6

d)



;−

  2 x − 5  < 6  1  ; 7 ;

x   −

; 5  ; − > x < 6 ⇒ ; < >x ⇒ x < > < 2  e) (; ‛ >x ) ° (4x + ;) < 6 ⇒   ;  4 x + ; < 6 ⇒ 4x < −; ⇒ x < − 4 

> ;  2 x − ; < 6 ⇒ ;x − > < 6 ⇒ x < ; < 2  ;  b)  x − ;  (4x + 1) < 6 ⇒  2   1  4 x + 1 < 6 ⇒ 4x < −1 ⇒ x < −  4

 2 x − 2 < 6 ⇒ 2x < 2 ⇒ x < 5 5 ; x + 5 < 6 ⇒ ;x < −5 ⇒ x < −  ;

k) (2x ‛ 2) ° (;x + 5)< 6 ⇒ 

; 51  ; − 1 x < 6 ⇒ 51 − ;x < 6 ⇒ 51 < ;x ⇒ x < ; < 1 ;  2 5   d)  ; − x   − x −  < 6 ⇒  1  ; 7   2 5 5 − x − < 6 ⇒ −>x − 5 < 6 ⇒ −5 < >x ⇒ x < − 7 >  ;

02. Vere kede uie da ces sgùgaitas akuekgjias da saùidj `redj, mecce su axprasgûi keiûigke y rasuçcvaces. e) 2 x (; (; x  ‛ ‛ 1) + 0 x  < >; b)

x

; x x − 5

2

k)

< ;=

d)

2 x

x

5

x 5

; x

2

x

2

>

2x 2

<

5 52

; x 4

x <

6

2 2 2 2 + 0 x  < < >; ⇒ > x ‛ 56 x   + + 0 x   < < >; ⇒ > x ‛ ; x  ‛ ‛ >;< 6 ⇒ 2 x ‛ x  ‛ ‛ 25 < 6 e) 2 x (; (; x  ‛ ‛ 1) + 0 x  < < >; ⇒ > x ‛ 56 x   +

⇒ x < b)

x 2

5 µ 5 + 5>=

<

4

+ ; x ( x − 5) < ;= ⇒

x <

1 µ 21 + 5=24

<

52

k)

;

4 x 2

>

<

−5 52

 54 0 <  <  4 2 −;

;= ⇒ x + >x 2 − >x < 0 0> > ⇒ x + >x 2 − >x − 0> < 6 ⇒ >x 2 − 1x − 0> < 6 ⇒ + ;x 2 − ;x < ;=

1µ4 4; ; 52

2 x ( x − 5 ) x − 5

−

5 µ 5;

⇒

4   <  ; = 5 7 −

2x 2 − 2x ;

−

x − 5 >

<

−5 52

⇒ = x 2 − =x − 2 x + 2 < −5 ⇒ =x 2 − =x − 2 x + 2 + 5 < 6 ⇒

 52 ; <  56 µ 566 − 7> 7> 56 µ 2  5> 4 2 = x − 56x + ; < 6 ⇒ x < < 5> = 5 <   5> 2

d)

52>

x 2 + x 2

−

2x 2 − ;x 4

+ x < 6 ⇒ 2x 2 + 2x − 2x 2 + ;x + 4x < 6 ⇒ 7x < 6 ⇒ x < 6

Qigded 1| Akuekgjias y sgstales Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl

Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

0;. Astudge ac sgìj dac dgskrglgieita y dakgda ac iÿlarj da sjcukgjias raecas qua tgaiai ces sgùgaitas axprasgjias. + 4 < 6 a) ‛; x 2 ‛ > x  +

e) 2 x 2 + 1 x  ‛ ; < 6

5 2 51 x < 2 4 `) ‛; x 2 < 6 k) 7 x 2 + ;6 x  + 21 < 6 5 2 ; 7 5 m) < 6 d) 4 x 2 2x < 6 x x 4 1 21 4 e) 2 x 2 + 1 x  ‛ ‛ ; < 6 ⇒ D < 21 ‛ 4 ° 2 ° (‛;) < 21 + 24 < 47 9 6 ⇒ Tgaia djs sjcukgjias raecas.

b) ; x 2 + > x  + 50 < 6

n)

2

2

+ 50 < 6 ⇒ D < > ‛ 4 ° ; ° 50 < ;> ‛ 264 < ‛5>= 3 6 ⇒ Ij tgaia sjcukgûi. b) ; x + > x  + 2 2 k) 7 x + ;6 x  + + 21 < 6 ⇒ D < ;6 ‛ 4 ° 7 ° 21 < 766 ‛ 766 < 6 ⇒ Tgaia uie sjcukgûi raec.

5

d) 4 x 2 − 2x +

4

2

< 6 ⇒ D < ( −2 ) − 4 ⋁ 4 ⋁

5 4

< 4 − 4 < 6 ⇒ Tgaia uie sjcukgûi raec.

2 a) ‛; x 2 ‛ > x  + + 4 < 6 ⇒ D < (‛>) ‛ 4 ° 4 ° (‛;) < ;> + 4= < =4 9 6 ⇒ Tgaia djs sjcukgjias raecas.

n)

5

51

2

4

− x 2 <

⇒−

5 2

x2 −

51 51  5   51  < 6 ⇒ D < 6 − 4⋁− ⋁−  < 6 −

2

;

‛5

6

;

2

2 ; ‛2

4

‛5

‛5

1

‛;

;

‛>

;

2

‛5

6

‛5

5

‛; ‛5 5 ‛5

; x ‛ x ‛ x ‛ 52 x + 4 x    −>

d) x 4 + 2 x 2 + 5 < 6 2 2 x < t ⇒ t + 2t 2t  + + 5 < 6 ⇒ t <

−2 µ 4 − 4 2

<

−2 µ 6 2

< −5 ⇒ x 2 < −5 ⇒ Ij tg tgai aia a sjcu sjcukg kgûi ûi raec raec..

0>. Ektgvgded rasuacte. 00. Ai kede kesj, keckuce ac vecjr j vecjras da h   pere pere qua kede uie da ces sgùgaitas akuekgjias da saùidj `redj taiè uie ÿigke sjcukgûi raec. + h  < < 6 e) x 2 + 56 x   + b) hx 2 + 24 x  + + 5> < 6 k)

5 2 + 7 < 6 x ‛ hx  + 4

d) 7 x 2 + hx  + + 5> < 6 + 55 < 6 a) hx 2 + 52 x  + n)

2

x

;

‛ hx  + + ; < 6

e) x 2 + 56 x  + 4 h  < < 6 ⇒ h  < < 21 + h  < < 6 ⇒ D < 566 ‛ 4h b) hx 2 + 24 x  + >4 h  < < 6 ⇒ h  < < 7 + 5> < 6 ⇒ D < 10> ‛ >4h + 7 < 6 ⇒ D < h 2 ‛ 7 < 6 ⇒ h   < < µ ; k) 5 x 2 ‛ hx  + 4

2 d) 7 x 2 + hx  + + 5> < 6 ⇒ D < h ‛ 10> < 6 ⇒ h   < < µ 24

a) hx 2 + 52 x  + + 55 < 6 ⇒ D < 544 - 44h 44h  < < 6 ⇒ h   < < n)

52=

x 2 ‛ hx  + + ; < 6 ;

⇒

2

D < h ‛ 4 < 6

⇒

;> 55

h   < < µ2

Qigded 1| Akuekgjias y sgstales Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl

Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

0=. Rasuacva pjr ac lçtjdj da sustgtukgûi cjs sgùgaitas sgstales da akuekgjias. e) 

− x + 2y < − 0 4 x − ;y < 5=

d) 

1 x − 4y < 41 b)  − 4 x + 1y < − 41

k) 

a) 

4 x − y < 4

− 52 x + 2y < − ;

n)

; x 1y < 0 2 x

y

< 7

− 2 x + 7y < = 4 x − y < − 5>

2 x − ;y < 4  − > x + >y < − 55

x  < < ;, y  < < ‛2) e) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x

− x + 2y >y < −221 + 5=6 ⇒ y < −1 ⇒ x < 1    −5=6 − 5>y + 2

 

1

 

k) Ce sjcukgûi dac sgstale as  x < − , y < −7  4

4 x − y < 4 y < 4x − 4 ⇒ ⇒ −52 x + 2 ⋁ ( 4x − 4 ) < −; ⇒ −52x + =x − = < −; ⇒ −= + ; < 52x − =x ⇒  −52 x + 2y < −; 5 2 2 ; x y − + < − 

{

1

−1 < 4 x ⇒ x < − 4 ⇒ y < −7

d) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 4, y  < < ‛5) ; x + 1y < 0 ;x + 1y < 0 ⇒ ⇒ ; x + 1 ⋁ ( 2x − 7 ) < 0 ⇒ ;x + 56x − 41 < 0 ⇒ ;x + 56x < 41 + 0 ⇒ 5;x < 12 ⇒  y < 2x − 7 −2 x + y < −7

{

x < 4 ⇒ y < −5

Ce sjcukgûi dac sgstale as ( x  < a) < ‛4, y  < < 6) −2 x + 7y   < = −2x + 7y < = ⇒ ⇒ −2 x + 7 ⋁ ( 4x + 5> ) < = ⇒ −2x + ;>x + 544 < = ⇒ −2x + ;>x < −544 + = ⇒  y < 4x + 5> 4 x − y < −5> ;4 x < −5;> ⇒ x < −4 ⇒ y < 6

{

 

;

5

n) Ce sjcukgûi dac sgstale as  x < , y < −  2 ; 

4 + ;y     2 x − ;y ⋁  2  + >y < −55 ⇒ −52 − 7y + >y < −55 ⇒ −52 + 55 < 7y − >y ⇒ x  ⇒  ⇒ − − + < − > > 5 5 x y    −> x + >y < −55

−5 < ;y ⇒ y < −

5 ;

⇒ x <

; 2

Akuekgjias y sgstales | Qigded 1 527

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl

Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

07. Qtgcgze ac lçtjdj da gùecekgûi pere meccer ce sjcukgûi da cjs sgùgaitas sgstales da akuekgjias cgiaecas.

+ ;y < − 5 − x − 2y < −5

x

e) 

b) 

2 x − y < − 0

− 1 x + 4y < 22

x

k) 

0y < ;2

; x 2y < 26

d) 

; x =y < 55 4 x

;y < 0

e) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 1, y  < < ‛2)  x + ;y < − 5 x y ⇒ < −5 − ; ⇒ −5 − ;y < 5 − 2y ⇒ −5 − 5 < −2y + ;y ⇒ −2 < y ⇒ x < 1  < − x y 5 2 x y 2 5 − − < − 

{

b) Ce sjcukgûi dac sgstale as ( x  < < ‛2, y   − 26 < 25y − 2y ⇒ 0> < 57y ⇒  x < 26 − 2y ⇒ ;  ; 

y < 4 ⇒ x < 4

d) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 5, y  < < 5) 55 − =y   x <     ; 55 − =y 0 − ;y ; x + =y < 55 2 ;y ⇒ ⇒ ⇒ < ⇒ 44 − ;2y < 25 − 7y ⇒ 44 − 25 < ;2y − 7y ⇒ 2; < 2;  0 ; y − ; 4 −4 x − ;y   < −0  x   <  4 y < 5 ⇒ x < 5

=6. Rasuacva pjr ac lçtjdj da radukkgûi cjs sgùgaitas sgstales da akuekgjias cgiaecas. e) 

; x + 2y < 56

− 2 x − ;y < − 1

b) 

4 x 1y < 54 ; x

0y < 55

k) 

; x 0y < 27 4 x y < 5;

d) 

4 x y < 52

x

1y < ;

e) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 5, y  < < 5). ; x + 2y < 56 ⇒   −2 x − ;y < −1

 > x + 4y < 26 ⇒ y < −5 ⇒ −2x − ; ⋁ ( −5) < −1 ⇒ −2x < − = ⇒ x < 4 ⇒ y < −5   −>x − 7y < −51 − 1y < 1

b) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < ‛5, y  < < ‛2).  4 x + 1y < −54 ⇒   −; x + 0y < −55

 52x + 51y < − 42 ⇒ y < −2 ⇒ 4 x + 1 ⋁ ( −2 ) < −54 ⇒ 4 x < −4 ⇒ x < −5   −52x + 2=y < −44 4;y < −=>

k) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 2, y  < < 1). ; x − 0y < −27 ⇒   4 x + y < 5;

 ;x − 0y < − 27 ⇒ x < 2 ⇒ 4 ⋁ 2 + y < 5; ⇒ y < 1  2= x + 0y < 75 ;5 x

< >2

d) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < ‛;, y  < < 6).  4 x + y < −52 ⇒   x − 1y < −;

5;6

 4 x + y < − 52 ⇒ y < 6 ⇒ x − 6 < −; ⇒ x < −;   −4 x + 26y < 52 25y < 6

Qigded 1| Akuekgjias y sgstales Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl

Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

=5. Epcgke ac lçtjdj `rångkj pere rasjcvar cjs sgùgaitas sgstales da akuekgjias cgiaecas. e) 

2 x + ;y < 5>

x − ;y < − 56

b) 

2 x + 1y < − ;

− 2 x + ;y < −1

1 x y < ;

k)  ; x 4y < 55 d) 

; x

2y < 50

4 x 1y < =

e) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 2 y  < < 4)

b) Ce sjcukgûi dac sgstale as ( x  < < 5 y  < < ‛5).

k) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < ‛5 y  < < ‛2)

d) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < ‛; y  < < 4)

=2. Gidgke sg cjs sgùgaitas sgstales sji kjlpetgbcas datarlgiedjs, kjlpetgbcas gidatarlgiedjs j gikjlpetgbcas. e)

b)

e) Raktes perecaces. [gstale gikjlpetgbca. gikjlpetgbca. Ac sgstale ij tgaia sjcukgûi. b) Raktes sakeitas. [gstale kjlpetgbca datarlgiedj. datarlgiedj. Ce sjcukgûi dac sgstale as ( x  < < 5, y  < < 5)

Akuekgjias y sgstales | Qigded 1 5;5

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl

Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

=;. Qtgcgze ac lçtjdj qua kjisgdaras lås edakuedj pere rasjcvar cjs sgùgaitas sgstales da akuekgjias cgiaecas. e)  b)  k)

− 0 x + 2y < 5; 4 x − 2y < − 56

d) 

− y < 7 − > x + y < − 56

a)

1 x

4 x

− 2y < 5>

n)

 − 2 x + 4y < − 54



0 x + y < 7

− 52 x + 7y < −>7 4 x

7y < 57

1 x 7y < 50

− x − 2y < −1  − 1 x − ;y < ;

e) [a rasuacva ac sgstale pjr ac lçtjdj da sustgtukgûi. Ce sjcukgûi dac sgstale as ( x  < < ‛5 y  < < ;). 5; ; 5; ; 5; ;  −0 x + 2y < 5  −0x + 2y < 5  −0x + 2y < 5 ⇒ ⇒ ⇒ −0 x + 2 ⋁ ( 2x + 1 ) < 5; ⇒ −0x + 4x + 56 < 5; ⇒   4 x − 2y < −56  2 x − y < −1  y < 2x + 1 −0 x + 4x < −56 + 5; ⇒ −;x < ; ⇒ x < −5 ⇒ y < ;

b) [a rasuacva ac sgstale pjr ac lçtjdj da gùecekgûi. Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 5 y  < < ‛4).

1 x − y < 7 y < 1x − 7 ⇒ ⇒ 1 x − 7 < >x − 56 ⇒ −7 + 56 < >x − 1x ⇒ 5 < x ⇒ y < −4  y < >x − 56 −> x + y < −56

{

k) [a rasuacva ac sgstale pjr ac lçtjdj da sustgtukgûi. Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < ; y  < < ‛2).

 4 x − 2y < 5> 2x − y < = 2x − y < = − 54 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2 ⋁ ( 0 + 2y ) − y < = ⇒ 5 4 + 4y − y < = ⇒ 4 y − y < =   −2 x + 4y < −54  x − 2y < 0  x < 0 + 2y ;y < −> ⇒ y < −2 ⇒ x < ;

d) [a rasuacva ac sgstale pjr ac lçtjdj da sustgtukgûi. Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 2 y  < < ‛1).

0 x + y < 7 y < 7 − 0x ⇒ ⇒ −52 x + 7 ⋁ ( 7 − 0x ) < −>7 ⇒ −52x − >;x < −>7 − =5 ⇒ −01x < −516 ⇒  5 2 x + 7y < −>7 −  −52 x + 7y < −>7

{

x < 2 ⇒ y < −1

a) [a rasuacva ac sgstale pjr ac lçtjdj da radukkgûi. Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < ‛2 y  < < ‛;).

 − 4 x + 7y < −57 ⇒ x < −2 ⇒ −4 ⋁ ( −2 ) + 7y < −57 ⇒ = + 7y < −57 ⇒ 7y < −20 ⇒ y < −;   1 x − 7y < 50 x

< −2

n) [a rasuacva ac sgstale pjr ac lçtjdj da sustgtukgûi. Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < ‛; y  < < 4).

− x − 2y

k) 

1 x + ;y

− y − 2x < − 47 − 2 2 x − y + 2y < − 26

d) 

4 x − ;y

− 2 y + 4 < =2 − ; x + 5 − ;x − 4y < − 1; 0 − 2( 2(5 − ; x )

< 4 x − (2y − 0) ( x + 2)(2y − ;) < −2 − (; x − 2xy )

e) [a rasuacva ac sgstale pjr ac lçtjdj da sustgtukgûi. Ce sjcukgûi dac sgstale as ( x x  < < ; y  < < 2).  2 ( x + 4 ) + 2 ( y − ; ) < 5 2 ⇒  2x + 2y < 56 ⇒   x + y < 1 ⇒   x < 1 − y ⇒ 4 ⋁ ( 1 − y ) − y < 56 ⇒ y < 2 ⇒ x < ;  x y x y − < − < = 2 2 6 4 5 6 x y 4 2 ; 2 5 > − − + < ( ) ( )   4x − y < 56  

b) [a rasuacva ac sgstale pjr ac lçtjdj da gùecekgûi. Ce sjcukgûi dac sgstale as ( x x  < < 5 y  < < ‛4 ). 47 7 0 x + 54  5 4y < −47 1 ( x + ;y ) − ( y − 2 x ) < −4 x < −0 − 2y ⇒ ⇒ ⇒ −0 − 2y < y + 1 ⇒ y < −4 ⇒ x < 5  x < y + 1 −4 x + 4y < −26  −2 ( 2 x − y ) + 2y < −26

{

k) [a rasuacva ac sgstale pjr ac lçtjdj da radukkgûi. Ce sjcukgûi dac sgstale as ( x x  < < 1 y  < < ‛1 ).  4 ( x − ;y ) − 2 ( y + 4) < =2  ⇒   −; ( x + 5) − ( ;x − 4y ) < −1 ; 

54y < 76  4x − 54 ⇒   −> x + 4y < −16

 52 x − 42y < 206   −52 x + =y < −566   − ;4y < 506

d) [a rasuacva ac sgstale pjr ac lçtjdj da sustgtukgûi. Ce sjcukgûi dac sgstale as ( x x  < < 6 y  < < 5 ). 0 − 2(5 − ; x ) < 4x − (2y − 0)  2x + 2y < 2  x + y < 5 ⇒ ⇒ ⇒ x + 5 < 5 ⇒ x < 6  ( x + 2)(2y − ;) < − 2 − (;x − 2xy )  4y < 4  y < 5

=1. Qtgcgze ac lçtjdj lås edakuedj pere rasjcvar cjs sgùgaitas sgstales da akuekgjias cgiaecas. x + y y − x 2 x − 4 y + ;  x − 2y < − 56  x − y < ; ;  ; − 7 2 2 e) [a rasuacva ac sgstale pjr ac lçtjdj da sustgtukgûi. Ce sjcukgûi dac sgstale as ( x x  < < > y  < < >).

 x  ; − 2y < −56  x − >y < −;6  x < >y − ;6  ⇒ ⇒ ⇒ > ⋁ ( >y − ;6 ) − y < ;6 ⇒ ;>y − 5=6 − y < ;6 ⇒ y < > ⇒ x < >  y − 4 > x − y < ;6 >x − y < ;6 ; x − < 50   2

b) [a rasuacva ac sgstale pjr ac lçtjdj da radukkgûi. Ce sjcukgûi dac sgstale as ( x x  < < ; y  < < ‛= ).  x y  4 x − ;y < ;>  −

k) [a rasuacva ac sgstale pjr ac lçtjdj da sustgtukgûi. Ce sjcukgûi dac sgstale as  x < , y < −  . 7 ;    2 x − 4 y + ; − 5; 5;  > x − y < 51  y < >x − 51  ; 7 ⇒ ⇒ ⇒ ; x + 4 ⋁ ( >x − 51 ) < −52 ⇒ x < < ⇒ y < −  x y x y x y 52 52 20 7 ; ; + 4 < − 52 ; + 4 < − 52  ; + < − ;   = 2 2

d) [a rasuacva ac sgstale pjr ac lçtjdj da gùecekgûi. Ce sjcukgûi dac sgstale as ( x x  < < 4 y  < < 4 ).  x + y y − x = + ;y  − ; >

Akuekgjias y sgstales | Qigded 1 5;;

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

=>. Rasuacva ces sgùgaitas akuekgjias. 2 ‛ 5) ‛ 2(; ‛ x 2) < ‛4 e) x ; ‛ x (  x x + 2 x  ‛

b) k)

1 x

;

−

2 2 ;

2

d)

5

x 2

7 2

; x

x 5

= 5

x + 5 >

7

<

6

+ 2 x < ‛4 ⇒ x x  < < > ‛ 4 ⇒   x x  < < 2

b)

k)

1 ( x − ; )

−

x − 5

6 − 24 + >6 − 5 ⇒ 21x < −21 ⇒ x < −5 2 ;

x 2 +

5 7

x+

2

5

;

>

d) − x 2 +

5 7

−

;x + 52 4

⇒ 26 x − >6 − x + 5 < −>6 − >x − 24 ⇒

−5 µ 5 − 24 Ij tgaia sjcukgûi raec. < 6 ⇒ >x 2 + x + 5 < 6 ⇒ x < 52

< 6 ⇒ −4x 2 + 5 < 6 ⇒ x 2 <

5 4

⇒ x < µ

5 4

y < − ;2  1 x + ;y < −5>  ⇒ ⇒ x < −1 ⇒ y < ;  2 5 > 5 2 ; x y − < −  0 x − 2y ⇒ k < 2 ⇒ D < 515 ⇒ 02k + 0 + k < 51; ⇒ 02k + k < 51; − 0 ⇒ 0;k < 54  D < 02k + 0 Ac dgvgdaidj as 515 y ac kjkgaita 2.

5;4

Qigded 1| Akuekgjias y sgstales

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

76. Keckuce ac dgvgsjr y ac kjkgaita da uie dgvgsgûi sg? e) Ac dgvgsjr as uie uigded leyjr qua ac kjkgaita. y ac dgvgdaidj as 5456 y ac rastj 4. b) Ac kjkgaita as uie uigded leyjr qua ce lgted dac dgvgsjr, dgvgsjr, ac dgvgdaidj veca =7 y ac rastj 1. [ae d ac dgvgsjr y k ac kjkgaita.

e) Ac dgvgsjr veca ;= y ac kjkgaita ;0.    −5 µ 5 + 1>24 −5 µ 01 ;0 d < 5 + k ⇒ 5456 < (5 + k ) ⋁ k + 4 ⇒ 6 < k 2 + k − 546> < 6 ⇒ k < < < ⇒  −;= d k 5 4 5 6 4 < ⋁ + 2 2 

{

⇒ d < ;= b) Ac dgvgsjr veca 52 y ac kjkgaita 0. d  d d 2 k < 5 +  2 2 2  ⇒ =7 < d ⋁  5 + 2  + 1 ⇒ =7 < d + 2 + 1 ⇒ 50= < 2d + d + 56 ⇒ d + 2d − 5>= < 6 ⇒    < d ⋁ k + 1 =7

d<

−2 µ 4 + >02 2

<

−2 µ 2> 52 < ⇒ k < 0 −54 2

{

75. Ektgvgded rasuacte, 72. [a kjisgdarei cjs iÿlarjs E < ‛; y B < 4. e) Keckuce [   < y kuyj prjduktj sae 1. 2

[g E E   y B sji iÿlarjs raecas, aitjikas ce akuekgûi x ‛ [ ° x   + V   < 6, kji [ < E E   + B y V   < E E   ° B, tgaia pjr sjcukgjias E sjcukgjias E y y B. 2

Aitjikas,  ce akuekgûi x Aitjikas, akuekgûi x ‛ > x  + + 1 < 6 vargngke qua ce sule da sus sjcukgjias as > y su prjduktj 1.

77. Mecce tras iÿlarjs kjisakutgvjs tecas qua ce sule dac djbca dac prglarj lås ac saùidj lås ce qugite perta dac tarkarj dç kjlj rasuctedj 511. Tras iÿlarjs kjisakutgvjs sa puadai askrgbgr kjlj? x kjlj? x , x  + + 5 y x y x  + + 2. 2 x + x + 5 +

x + 2 1

0> >= ⇒ x < 4= < 511 ⇒ 56x + 1x + 1 + x + 2 < 001 ⇒ 56x + 1x + x < 001 − 1 − 2 ⇒ 5>x < 0

Cjs iÿlarjs buskedjs sji 4=, 47 y 16.

566. Keckuce djs iÿlarjs kjisakutgvjs tecas ac prglarj lås ac kuedredj dac saùi saùidj dj dç kjlj rasuctedj 161 Djs iÿlarjs kjisakutgvjs sa puadai askrgbgr kjlj? x kjlj? x   y x y x  + + 5. −; µ 7 + 265> −; µ 41 −24 2 x + ( x + 5) < 16 1 61 ⇒ x + x 2 + 2x + 5 < 161 ⇒ x 2 + ;x − 164 < 6 ⇒ x < < < 25 2 2

Cjs iÿlarjs buskedjs sji 25 y 22 j ‛24 y ‛2;.

565. Ektgvgded rasuacte. 562. Keckuce tras iÿlarjs peras kjisakutgvjs tecas qua su sule sae 56= Tras iÿlarjs peras kjisakutgvjs sa puadai askrgbgr kjlj? 2 x , 2 x  + + 2 y 2 x  + + 4. 2 x  + + 2 x  + + 2 + 2 x  + + 4 < 56= ⇒ 2 x  + + 2 x  + + 2 x  < < 56= ‛ 2 ‛ 4 ⇒ > x  < < 562 ⇒ x x  < < 50 Cjs iÿlarjs buskedjs sji ;4, ;> y ;=.

5;>

Qigded 1| Akuekgjias y sgstales

{

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

56;. Keckuce kuetrj iÿlarjs peras kjisakutgvjs tecas qua ce sule da cjs djs prglarjs lås ac djbca dac tarkarj lås ce lgted dac kuertj dç kjlj rasuctedj =1 Kuetrj iÿlarjs peras kjisakutgvjs sa puadai askrgbgr kjlj? 2 x , 2 x  + + 2, 2 x  + + 4 y 2 x  + + >. 2 x + > 2 x + 2x + 2 + 2 ⋁ ( 2x + 4 ) + < =1 ⇒ 2x + 2x + 2 + 4x + = + x + ; < =1 ⇒ 2x + 2x + 4x + x < =1 − 2 − = − ; ⇒ x < = 2 Cjs iÿlarjs buskedjs sji 5>, 5=, 26 y 22.

564. Ektgvgded rasuacte. 561. Keckuce tras iÿlarjs glperas kjisakutgvjs tecas qua su sule sae 247 Tras iÿlarjs glperas kjisakutgvjs sa puadai askrgbgr kjlj? 2 x  ‛ ‛ 5, 2 x  + + 5 y 2 x  + + ;. 2 x  ‛ ‛ 5 + 2 x  + + 5 + 2 x  + + ; < 247 ⇒ 2 x  + + 2 x  + + 2 x  < < 247 + 5 ‛ 5 ‛ ; ⇒ > x  < < 24> ⇒ x x  < < 45 Cjs iÿlarjs buskedjs sji =5, =; y =1.

56>. Keckuce kuetrj iÿlarjs glperas kjisakutgvjs tecas qua ce sule da cjs djs prglarjs lås ac djbca dac tarkarj lås ac kuertj dç kjlj rasuctedj 05 Kuetrj iÿlarjs glperas kjisakutgvjs sa puadai askrgbgr kjlj? 2 x  ‛ ‛ ;, 2 x  ‛ ‛ 5, 2 x  + + 5 y 2 x  + + ;. 2 x  ‛ ‛ ; + 2 x  ‛ ‛ 5 + 2 ° (2 x  + + 5) + 2 x  + + ; < 05 ⇒ 2 x  ‛ ‛ ; + 2 x  ‛ ‛ 5 + 4 x  + + 2 + 2 x  + + ; < 05 ⇒ 56 x  < < 06 ⇒ x x  < < 0 Cjs iÿlarjs buskedjs sji 55, 5;, 51 y 50.

560. Buske djs iÿlarjs tecas qua ce sule dac prglarj lås ac trgpca dac saùidj sae >0 y ce dgnaraikge dac trgpca dac prglarj y ac djbca dac saùidj sae 55;. [ae x [ae x  ac ac prglar iÿlarj a y  ac ac saùidj.

 x + ;y < >0 x < >0 − ;y ⇒ ⇒ ; ⋁ ( >0 − ;y ) − 2y < 55; ⇒ 265− 7y − 2y < 55; ⇒ y < = ⇒ x < 4;  ; x − 2y < 55; ; 2 5 5 ; x y − < 

{

Cjs iÿlarjs buskedjs sji = y 4;.

56=. Ac iÿlarj da gidgvgdujs qua mey ai uie kjclaie da ebaoes as ac kuådrupca dac qua mey ai jtre kjclaie vakgie. [g ai tjtec sa astgle qua mey >2166 ebaoes, ºkuåites mey ai kede kjclaie: [ae x [ae x  ac ac iÿlarj da ebaoes qua mey ai uie kjclaie, a y  ac ac iÿlarj da ebaoes ai ce kjclaie vakgie.

 x < 4y ⇒ 4y + y < >2 166 ⇒ 1y < >2 166 ⇒ y < 52 166 ⇒ x < 16 666   x + y < >2 166 Ai uie kjclaie mey 52 166 ebaoes y, ai ce kjclaie vakgie, 16 666.

567. Oucge tgaia ac trgpca da cgbrjs dg`gtecas qua su marleij Narieidj y asta 56 laijs qua su jtrj marleij Vadrj. [g aitra cjs tras tgaiai =1 cgbrjs. ºKuåitjs cgbrjs tgaiai kede uij: [ae x [ae x  ac ac iÿlarj da cgbrjs qua tgaia Narieidj. Aitjikas Oucge taidrå ; x  cgbrjs cgbrjs y Vadrj x Vadrj x  + + 56. x  + + ; x  + x + x  + + 56 < =1 ⇒   x x  + + ; x   + x + x  < < =1 ‛ 56 ⇒ 1 x  < < 01 ⇒   x x  < < 51 Narieidj tgaia 51 cgbrjs, Oucge 41 y Vadrj 21.

556. [g taialjs 406 aurjs ai bgccatas da 16 y da 26 ₣ y ai tjtec mey 5> bgccatas. bgcc atas. ºKuåitjs sji da 16 y kuåitjs da 26: [ae x [ae x  ac ac iÿlarj da bgccatas da 16 ₣ a y  ac ac iÿlarj da bgccatas da 26.

 x + y < 5> x < 5> − y =6 6 − 1y + 2y < 40 ⇒ ;y < ;; ⇒ y < 55 ⇒ x < 1   ⇒ ⇒ 1 ⋁ (5> − y ) + 2y < 40 ⇒ =  1 x + 2y < 40 1 6 2 6 4 0 6 x y + < 

{

Mey 1 bgccatas da 16 ₣ y 55 bgccatas da 26 ₣.

Akuekgjias y sgstales | Qigded 1 5;0

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

555. Tarase rjlpa ce mukme djida ùerde sus emjrrjs y kuaite ui tjtec da ;4 ₣ ai ljiades da 5 ₣ y da 6,16 ₣. Ai tjtec mey 16 ljiades. ºKuåites sji da 5 ₣ y kuåites da 6,16 ₣: [ae x [ae x  ac ac iÿlarj da ljiades da 5 ₣ a y  ac ac iÿlarj da ljiades da 6,16.

 x + y < 16 x < 16 − y ⇒ ⇒ 16 − y < ;4 − 6, 1y ⇒ 16 − ;4 < y − 6, 1y ⇒ 5> < 6, 1y ⇒ y < ;2 ⇒ x < 5=  x < ; 4 − 6,1y 6 , 1 ; 4 + < x y 

{

Mey 5= ljiades da 5 ₣ y ;2 ljiades da 6,16 ₣.

552. [g sa kjlprei 4 aitredes dac kgia y 2 bjcses da pecjlgtes sa peèi 20 ₣ parj sg sa kjlprei > aitredes dac kgia y 4 bjcses da pecjlgtes sa peèi 4; ₣. ºKuåitj kuaste kede aitrede dac kgia y kede bjcse da pecjlgtes: [ae x [ae x  ac ac prakgj da ce aitrede dac kgia a y  ac ac prakgj da ce bjcse da pecjlgtes. 20  4 x + 2y < 20 2x + y < 5;, 1  y < 5;, 1 − 2x ⇒ ⇒ ⇒ ; x + 2 (5;, 1 − 2x ) < 25, 1 ⇒ 1, 1 < x ⇒ y < 2, 1  > x + 4y < 4; ;x + 2y < 25, 1 ;x + 2y < 25, 1 Qie aitrede dac kgia kuaste 1,16 ₣ y uie bjcse da pecjlgtes 2,16 ₣.

55;. Ce dge`jiec da ui raktåiùcj kuyes dglaisgjias sji uie ac djbca da ce jtre as da 1 kl. Keckuce ces dglaisgjias dac raktåiùcj, su parìlatrj y su årae. [aei x [aei x  y y 2 x  ces ces ladgdes dac raktåiùcj. 2

x 2 + ( 2x ) < 12 ⇒ x 2 + 4x 2 < 21 ⇒ 1x 2 < 21 ⇒ x 2 < 1 ⇒ x < µ 1

Ces ladgdes dac raktåiùcj saråi [u parìlatrj sarå V  < < 2 °

1 kl y 2 1 kl.

1 + 2 ° 2 1 < > 1 kl y, su årae, E årae, E < <

2

1 ° 2 1 < 56 kl .

554. Qie tgaia Keckuce njrle da cedjda leyjr lgda ui latrj lås qua su cedj laijr y ce dge`jiec lgdamuarte 27 latrjs. ac raktåiùcj. parìlatrj y [u ac årae ce muarte. [g ac cedj leyjr da ce muarte lgda x lgda x  latrjs, latrjs, aitjikas ac cedj laijr ladgrå ladgrå x x  ‛ ‛ 5 latrjs. 5 µ 5 + 5>=6 25 2 x 2 + ( x − 5) < 2 27 72 ⇒ x 2 + x 2 − 2x + 5 < =45 ⇒ 2x 2 − 2x − =46 < 6 ⇒ x 2 − x − 426 < 6 ⇒ x < < −26 2 Ces ladgdes ce muarte saråi 25 l y 26 l.

{

2

[u parìlatrj sarå V  < < 2 ° 26 + 2 ° 25 < =2 l y, su årae, E årae, E < < 26 ° 25 < 426 l .

551. Jbsarve aste kjivarsekgûi aitra Acaie y Oevgar.

e) ºKuåitj dgiarj tgaiai Oevgar y Acaie: b) ºKuåitjs aurjs dabarå derca Acaie e Oevgar pere qua çc taiè uie vaz y ladge ac dgiarj qua acce: e) [ae [ae x x ac dgiarj qua tgaia Oevgar a y ac dgiarj qua tgaia Acaie.  x < y + 56 56  x − 1 < y + 1  x < y + 5 6 ⇒ ⇒ ⇒ y + 56 < 2y − ;6 ⇒ y < 46 ⇒ x < 16 Oevgar tgaia  x y  x < 2y − ; 6  + 56 < 2 ⋁ ( − 56 )  x + 56 < 2y − 26 16 ₣ y Acaie 46 ₣.

b) [ae [ae x x ac dgiarj qua Acaie tgaia qua derca e Oevgar. 16 + x + x  < < 5,1 ° (46 ‛ x ‛ x ) ⇒ 16 + x + x  < < >6 ‛ 5,1 x   ⇒   x x  + + 5,1 x  < < >6 ‛ 16 ⇒ 2,1 x  < < 56 ⇒ x x  < < 4 Acaie tgaia qua derca e Oevgar 4 ₣.

5;=

Qigded 1| Akuekgjias y sgstales

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

55>. Ektgvgded rasuacte. 550. Cjs kuetrj åiùcjs da ui kuedrgcåtarj vargngkei qua, kjcjkedjs ai jrdai krakgaita, kede uij as ac djbca dac eitargjr. Keckÿcecjs. Cceleljs x Cceleljs x , 2 x , 4 x  y y = x  e e ces ladgdes da cjs åiùcjs dac kuedrgcåtarj. x  + + 2 x  + + 4 x  + + = x  < < ;>6 ⇒ 51 x  < < ;>6 ⇒   x x  < < 24 Cjs åiùcjs lgdai 24¿, 4=¿, 7>¿ y 572¿.

55=. Qi maxå`jij vargngke qua tgaia tras da ceKeckuce lgsleceelpcgtud y qua tras telbgçi sji gùecas aitra accjs parj ;6¿ leyjras qua cjsåiùcjs eitargjras. ladgde da cjs cjs sagsjtrjs åiùcjs. Cceleljs x Cceleljs x , x , x , x  + + ;6, x ;6, x  + + ;6 y x y x  + + ;6 e ces ladgdes da cjs åiùcjs dac kuedrgcåtarj. ; x  + + ; ° ( x  + + ;6) < 026 ⇒ > x  < < >;6 ⇒   x x  < < 561 Ac maxå`jij tgaia tras åiùcjs da 561¿ y jtrjs tras da 5;1¿

557. Qi kgrkugtj da bgkgkcate da 556 hl sa raecgze ai kuetrj atepes. Ai ce saùide atepe sa rakjrra ac djbca da hgcûlatrjs qua ai ce prglare y ai ce tarkare atepe ce lgted da cjs qua sa mebìe rakjrrgdj ai ces djs prglares. [g ai ce kuerte atepe sa rakjrrai 26 hl. ºKuåitj sa rakjrra ai kede atepe: Ai ce prglare atepe rakjrra x rakjrra x  hl, hl, ai ce saùide 2 x  y y ai ce tarkare

x  + + 2 x  + +

; x 2

; x

. 2

+ 26 < 556 ⇒ 2 x  + + 4 x  + + ; x  + + 46 < 226 ⇒ 7 x  < < 5=6 ⇒   x x  < < 26

Ai ce prglare atepe rakjrra 26 hl, ai ce saùide 46 y ai ce tarkare ;6.

526. Vere axkever ui tÿiac da ;,1 hl sa givgartai kuetrj lasas. Ac prglar sa axkeve ce lgted da cj qua sa axkeve ai ac saùidj, parj ac djbca da cjs qua sa axkeve ai ac tarkarj. Ac ÿctglj las sa axkeve ce kuerte perta da cj qua sa mgzj ai cjs tras eitargjras. ºKuåitjs latrjs sa axkeve kede las: Ai ac prglar las sa axkevei 2 x  hl, hl, ai ac saùidj 4 x , ai ce tarkarj x tarkarj x  y, y, ai ac kuertj,

2 x  + + 4 x  + x + x  + +

0 x 4

0 x 4

< ;,1 ⇒ = x  + + 5> x  + + 4 x  + + 0 x  < < 54 ⇒ ;1 x  < < 54 ⇒ x x  < < 6,4

Ai ac prglar las sa axkevei 6,= hl, ai ac saùidj 5,>, ai ce tarkarj 6,4 y, ai ac kuertj, 6,0.

525. [a qugara kjistrugr ui mjtac kji mebgtekgjias sglpcas y mebgtekgjias djbcas. [a dakgda qua ac iÿlarj da mebgtekgjias sglpcas daba sar ce lgted qua ac da mebgtekgjias djbcas. Ce suparngkga da kede mebgtekgûi sglpca as da 52 l 2 y ce da kede mebgtekgûi djbca da 26 l2. Ce suparngkga tjtec dac mjtac as da 5262 l 2, da cjs qua >;6 l2 kjrraspjidai e dapaidaikges kjluias dgnaraitas da ces mebgtekgjias. ºKuåites mebgtekgjias da kede tgpj sa vei e kjistrugr: [g x [g x  as as ac iÿlarj da mebgtekgjias sglpcas, aitjikas 2 x 2 x  as as ac iÿlarj da mebgtekgjias djbcas. 52 x  + + 26 ° 2 x  < < 5262 ‛ >;6 ⇒ 52 x  + + 46 x  < < 102 ⇒ 12 x  < < 102 ⇒ x x  < < 55 [a vei e kjistrugr 55 mebgtekgjias sglpcas y 22 djbcas.

522. Oevgar y Jcè tgaiai `rebedes keikgjias ai su dgspjsgtgvj da laljrge. Ai tjtec, tgaiai `rebedes 466 keikgjias y sg Oevgar bjrrere 21 keikgjias y sa ces pesere e Jcè, Oevgar taidrìe ce tarkare perta da keikgjias qua Jcè. ºKuåites keikgjias tgaiai kede uij ai ui prgikgpgj: [ae x [ae x  ac ac iÿlarj da keikgjias qua tgaia Oevgar a y  ac ac iÿlarj da keikgjias qua tgaia Jcè.

 x + y < 466 y < 466 − x ⇒ ⇒ 466 − x < ; x − 566 ⇒ 166 < 4 x ⇒ x < 521 ⇒ y < 201  y < ; x − 566 2 1 ) < y + 21 ; ( x − 21

{

Oevgar tgaia, ai ui prgikgpgj, 521 keikgjias y Jcè 201.

Akuekgjias y sgstales | Qigded 1 5;7

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

52;. Keckuce ac vecjr da x .

 x ⋁ y < 26  x y 26 x y 26 x y 26  x y 26 2 6 ⇒ ⋁ < ⇒ ⋁ < ⇒ ⋁ < ⇒⇒ ⋁ < ⇒ ( 7 − y ) y < 26 ⇒  5 ; 6 2 6 5 ; 6 7 7 xy x y x y x y x y + + + < + + + < + < < − x y 5 5 ; 6 + + < ( ) ( )   

{

{

7 µ =5 − =6 7 µ 5 1 4 7y − y 2 < 26 ⇒ y 2 − 7y + 26 < 6 ⇒ y < < < ⇒x< 4 1 2 2

{

{

[g y  < < 4, aitjikas aitjikas x x  < < 1. [g y  < < 1, aitjikas x aitjikas x  < < 4.

524. Qi cedj da ui raktåiùcj lgda djs kl lås qua ac djbca dac jtrj cedj. [g ec cedj leyjr sa ca qugtei ; kl qua sa eõedai ec cedj leyjr, ac raktåiùcj sa treisnjrle ai ui kuedredj. Mecce ac årae da asta kuedredj. [g x [g x  as as ui cedj dac raktåiùcj, aitjikas ac jtrj cedj lgda 2 x  + + 2. 2 x  + + 2 ‛ ; . [eitge`j y Dga`j tgaiai ai ce ektuecgded 52 y ;2 eõjs raspaktgvelaita. ºKuåitjs eõjs mei da peser pere qua ce aded da [eitge`j sae ce lgted da ce da Dga`j: Aded ektuec

Aded daitrj da da x x  eõjs eõjs

[eitge`j

52

52 + x

Dga`j

;2

;2 + x

;2 + x + x  < < 2 ° (52 + x + x ) ⇒ ;2 + x + x  < < 24 + 2 x   ⇒ ;2 ‛ 24 < 2 x   ‛ x ‛ x   ⇒ = 6 ⇒   x x  < < ;>6

Ac saùidj kjkma eckeizerå ec prglarj e ;>6 hl da E da E,, y terderå ; mjres dasda qua me secgdj.

5;5. Meka 4 eõjs ce aded da Eie are ac djbca da ce da Rjkìj. Daitrj da > eõjs, ces djs suleråi 1> eõjs. ºUuç adedas tgaiai ai ce ektuecgded Eie y Rjkìj: Aded meka 4 eõjs

Aded ektuec

Aded daitrj da > eõjs

Eie

2 x

2 x  + + 4

2 x  + + 56

Rjkìj

x

x  + + 4

x  + + 56

2 x  + + 56 + x + x  + + 56 < 1> ⇒ 2 x   + x + x  < < 1> ‛ 56 ‛ 56 ⇒ ; x  < < ;> ⇒ x x  < < 52 Ektueclaita, Eie tgaia 2= eõjs y Rj Rjkìj kìj 5>.

5;2. Meka sags eõjs Rjdrg`j y Vgcuke sulebei 21 eõjs y daitrj da 4 eõjs ce aded da Vgcuke sarå oustj ce lgted qua ce da Rjdrg`j. ºUuç aded tgaia kede uij ai ce ektuecgded:

Rjdrg`j Vgcuke

Aded meka > eõjs

Aded ektuec

Aded daitrj da 4 eõjs

x   21 ‛ x

x  + + > ;5 ‛ ‛ x x

x  + + 56 ;1 ‛ x ‛ x

x  + + 56 < 2 ° (;1 ‛ x ‛ x ) ⇒   x x  + + 56 < 2 ° (;1 ‛ x ‛ x ) ⇒   x x  + + 56 < 06 ‛ 2 x   ⇒ 2 x + x  < < 06 ‛ 56 ⇒ ; x < >6 ⇒   x x < 26 Ektueclaita, Rjdrg`j Rjdrg`j tgaia 2> eõ eõjs js y Vgcuke 55.

5;;. [a nuidai 5666 `r. da jrj kji uie puraze dac 76% kji jrj da puraze 01%. Ce puraze da ce lazkce as dac =1%. ºUuç keitgded da jrj da puraze 01% sa me eõedgdj e ce lazkce: Jrj da puraze 76%

5666

6,76

Jrj da puraze 01%

x

6,01

Lazkce

5666 + x

6,=1

6,7 ° 5666 + 6,01 x  < < 6,=1 ° (5666 + x + x ) ⇒ 766 + 6,01 x  < < =16 + 6,=1 x ⇒ 766 ‛ =16 < 6,=1 x  ‛ ‛ 6,01 x   ⇒ 16 < 6,5 x   ⇒   xx < 166 [a mei eõedgdj 166 `r da jrj da puraze 01% e ce lazkce.

Akuekgjias y sgstales | Qigded 1 545

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

5;4. Cjraie me kjlpredj cgbrjs, tjdjs dac lgslj prakgj, pjr vecjr da 526 aurjs. Ac cgbrarj ca raèce tras cgbrjs pjr cj qua ai raecgded kede cgbrj ca kuaste 2 aurjs laijs. ºKuåitjs cgbrjs me kjlpredj: Cceleljs x Cceleljs x  ec ec iÿlarj da cgbrjs qua me kjlpredj Cjraie a y  ec ec prakgj da kede cgbrj.  x ⋁ y < 526  x ⋁ y < 526  x ⋁ y < 526 ⇒ ⇒ ⇒  526 − 2x + ;y − > < 526 ( x + ; ) ⋁ ( y − 2 ) < 5 26  xy − 2x + ;y − > < 526

⇒ 246 − ;y 2 < −>y ⇒ ;y 2 − >y − 246 < 6 ⇒ y 2 − 2y − =6 < 6 ⇒ y <

2 µ 4 + ;26 2

526  < 526  x ⇒ 2⋁ − ;y < −> y  y 2 x − ;y < −> 

<

2 µ 5= 56 < ⇒ y < 56 ⇒ x < 52    −= 2

{

Cjraie me kjlpredj 52 cgbrjs, parj sa me ccavedj 51.

5;1. Keckuce ac vecjr da x ?

;x 2 ;x 2 ;x 2 ;x 2  ;x  + 44 < ( x + 2) ⋁  + 2 ⇒ + 44 < + 2x + ;x + 4 ⇒ 44 − 4 < + 2x + ;x − ⇒ 44 − 4 < 2x + ;x ⇒ 2 2 2 2 2  2  46 < 1 x ⇒ x < =

x ⋁

; x

5;>. Astabei ca dgka e Ojequìi qua rasta ; da ui kgartj iÿlarj y qua dgvgde ac rasuctedj aitra 7. Ojequìi, qua ij jya bgai, ca raste 7 e asa iÿlarj y dgvgda ac rasuctedj aitra ;, jbtaigaidj 4;. ºUuç mebrìe raspjidgdj Ojequìi sg jyare bgai: E. 51

B. ;4

K. 15

D. 5;=

[ae x [ae x  ac ac iÿlarj qua me paisedj Ojequìi. x − 7 ;

< 4; ⇒ x − 7 < 527 ⇒ x < 527 + 7 ⇒ x < 5;=

Ojequìi me paisedj ac iÿlarj 5;=. Vjr teitj, Ojequìi taidrìe qua mebar kjitastedj

5;= − ; 7

< 51

Ce raspuaste kjrrakte as ce E.

5;0. Qi evgûi da uie ai besa eçrae eda cesgde =.66, su dastgij y ratjrieaigiladgetelaita, ccaèidj ces 55?;6. [g ceseca vacjkgded ac kelgij nua ccaè da 7>6e hl/m y ce vacjkgded ac kelgij da vuacte nua dae 026 hl/m, ce dgnaraikge da cjs tgalpjs alpcaedjs ai uij y jtrj nua da? E. ;6 lgiutjs

B. 56 lgiutjs

K. 51 lgiutjs 15

D. >6 lgiutjs

Cceleljs t  ec ec tgalpj alpcaedj ai ac vgeoa da gde. Ai tjtec ac evgûi me astedj ;,1 mjres ai nuikgjielgai n uikgjielgaitj. tj. Vjr teitj, Ac aspekgj rakjrrgdj ai ac vgeoa da gde me sgdj a < 7>6t 7>6t y ac aspekgj rakjrrgdj ai da vuacte a < 026 ° (;,1 ‛ t ) Kjlj ac aspekgj ai ac vgeoa da gde me sgdj ac lgslj qua ai ac vgeoa da vuacte? 7>6t 7>6 t  < < 026 ° (;,1 ‛ t ) ⇒ 7>6 7>6t t  < < 2126 ‛ 026t 026t   ⇒ 7>6 7>6t t  + + 026t 026t  < < 2126 ⇒ 5>=6 5>=6t t  < < 2126 ⇒ t < 5,1 mjres. Ai ac vgeoa da gde me terdedj 5,1 mjres y ai ac da vuacte 2 mjres. Ce dgnaraikge da cjs tgalpjs nua da ladge mjre8 as dakgr, ;6 lgiutjs. Ce raspuaste kjrrakte as ce E.

542

Qigded 1| Akuekgjias y sgstales

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

5;=. Ouei tgaia ; mgojs, djs igõjs àlacjs y uie igõe. Ce sule da sus adedas as 4; y ce dgnaraikge 1. Ac prjduktj da ces adedas da cjs tras as? E. 501

B. 57;>

K. 2=5>

D. 56 744

Cceleljs x e ce aded da cjs àlacjs a y e ce aded da ce igõe.

2 x + y < 4;  y < 4; − 2x ⇒ ⇒ 4; − 2 x < x − 1 ⇒ 4; + 1 < x + 2x ⇒ 4= < ;x ⇒ x < 5> ⇒ y < 55   x − y < 1  y < x − 1

Cjs àlacjs tgaiai 5> eõjs y ce igõe 55. Ac prjduktj da ces adedas as 2=5>. Ce raspuaste kjrrakte as ce K.

5;7. Qi iÿlarj da ; kgnres vargngke? e) As lÿctgpcj da 78 b) Ce kgnre da ces dakaies as 1 y k) [g parluteljs ces kgnres da ces kaitaies y ces uigdedas, ac iÿlarj dgslgiuya ai 270. ºKuåc as ac prjduktj da sus kgnres: E. 46

B. Ij axgsta

K. 266

D. Igiùie da ces eitargjras

Qi iÿlarj da tras kgnres, kuye kgnre da ces dakaies sae 1, sa puada askrgbgr kjlj 566 x  + + 16 + y . Vere qua sae lÿctgpcj da ; ce sule da sus kgnres, ec sar sus kgnres kgnres x x , 1 a y , tgaia qua sar 7 û 5=.

566 x + 16 + y < 566y + 16 + x + 270  x − y < ; ⇒ ⇒ x < ;,1 Ij puada sar pjrqua x as uie kgnre da ui iÿlarj.   x + 1 + y < 7  x + y < 4 566 x + 16 + y < 566y + 16 + x + 270 x − y < ;  y < x − ; ⇒ ⇒ ⇒ x − ; < 5; − x ⇒ 2x < 5> ⇒ x < = ⇒ y < 1   x + 1 + y < 5=  x + y < 5;  y < 5; − x

Ac iÿlarj buskedj as =11. Ac prjduktj da sus kgnres as 266. Ce raspuaste kjrrakte as ce B.

546. Ce dge`jiec da ui raktåiùcj, da årae ;>6 l2, lgda 45 l. Ce dgnaraikge aitra sus dglaisgjias as? E. 2= l

B. 27 l

K. ;6 l

D. ;5 l

[aei x [aei x  a a y  ces ces dglaisgjias dac raktåiùcj.

 x 2 + y 2 < 5>=5 2  x 2 + y 2 < 452  ;>6  527 >66  2 ⇒ ⇒ + y 2 < 5>=5 ⇒ 527 >66 + y 4 < 5>=5y 2 ⇒ ;>6     + y < 5>=5 ⇒ 2 x < x y ⋁ < ;>6 y y     y  5>=5 5>= 5 µ 515 5157 7  y 4 − 5>=5y 2 + 527 >66 < 6 =5 ⇒ t 2 − 5>=5t + 527 >66 < 6 ⇒ t < < ⇒ y 4 − 5>=5y 2 + 527 >66 < 6 ⇒  2 5>66 < y t 2 

{

t < =5 ⇒ x 2 < 7 ⇒ x < µ; ⇒ y < µ 526 Ij as sjcukgûi t < 5>66 ⇒ x 2 < 5>66 ⇒ x < µ46 ⇒ y < 7 Ce Ce ÿigke sjcukgûi pjsgbca as x < 46 a y < 7

{

Ces dglaisgjias dac raktåiùcj sji 46 y 7 l. Ce dgnaraikge aitra sus dglaisgjias as ;5. Ce raspuaste kjrrakte as ce D.

545. Ce sjcukgûi da ce akuekgûi

2 x

x 2

;

4

=

< 57 e) 4 x  ‛ ‛ > ‛ x  ‛ ‛ 2 < 55 ⇒ ; x  <

x <

<

57 ;

55 =

as? b) 4 x  ‛ ‛ > ‛ x  + + 2 < 55 ⇒ ; x  < < 51

x <

51 ;

− x + 2 < 55

Ce raspuaste b as kjrrakte.

Akuekgjias y sgstales | Qigded 1 54;

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

VJITA E VRQABE Kjisulj da èsjgc Ektgvgded rasuacte. Njrleidj kuedredjs [a mei kjcjkedj 5>7 bjces ia`res jrdaiedes ai ngces y kjculies. Ac iÿlarj da ngces as gùec ec da kjculies.

•

[a qugarai eõedgr bjces `rgsas e ce astrukture parj da njrle qua ac iÿlarj da ngces sgè sgaidj gùec ec

•

iÿlarj da kjculies. Vere ce axpeisgûi da aste astrukture sa dgspjia da ui låxglj da 0;1 bjces `rgsas.

•

5.

º[a puadai utgcgzer tjdes ces bjces `rgsas j sjbrerå ecùie: Kjlj mey 5>7 bjces, y ac iÿlarj da ngces tgaia qua sar gùec ec iÿlarj da kjculies, sa pjdråi kjcjker 5; bjces ai kede ngce y ai kede kjculie. Cceleljs x Cceleljs x  ec ec iÿlarj da bjces qua sa eõedai ai kede ngce y ai kede kjculie. 2

(5; + x + x ) ‛ 5>7 3 0;5. 2

[g sa eõedgarei 50 bjces, kjlj (5; + 50) ‛ 5>7 < 0;5, sa utgcgzerìei 0;5 bjces. 2

[g sa eõedgarei 5= bjces, kjlj (5; + 5=) ‛ 5>7 < 072, sa utgcgzerìei lås bjces da ces dgspjigbcas. [a utgcgzerìei 0;5 bjces y sjbrerìei 4 bjces.

2.

ºKuåc sarå ac iuavj iÿlarj da ngces y da kjculies dac iuavj kuedredj sg as ac leyjr pjsgbca: E. 20

B. 2=

K. 27

D. ;6

Kjlj sa dabai eõedgr 50 bjces, ac kuedredj taidrå ;6 ngces y ;6 kjculies. Ce raspuaste kjrrakte as ce D.

Ai ac perqua da Dji Oevgar Ai ac perqua Dji Oevgar sa mei cjkecgzedj ac lgslj iÿlarj da påoerjs ai ac pgij qua ai ac kmjpj y, aitra ac pgij, ac kmjpj y uie ljrare sulei 555 påoerjs. [g sa kelbgerei = påoerjs dac pgij y jtrjs = påoerjs dac kmjpj e eigder ai ce ljrare, cjs tras årbjcas taidrìei ac lgslj iÿlarj da påoerjs. 5.

[g sa supjia qua mey x  påoerjs påoerjs ai ac pgij, Astebcaka, ai nuikgûi da x , ac iÿlarj da påoerjs qua mey gigkgeclaita ai ac kmjpj y ai ce ljrare.

•

Qtgcgzeidj aste gikûìgte, askrgba ac iÿlarj da påoerjs qua mebgterìei ai kede årbjc daspuçs da ce

•

lg`rekgûi.

Vceitae y rasuacva uie akuekgûi pere keckucer kuåitjs påoerjs vgvìei gigkgeclaita ai kede årbjc.

•

Ac iÿlarj da påoerjs qua mey ai kede årbjc daspuçs da ce lg`rekgûi as?

•

E. 46 •

B. ;7

K. ;=

D. ;0

Ai ac kmjpj mey mey x x  påoerjs påoerjs y ai ce ljrare 555 ‛ 2 x  påoerjs. påoerjs. Daspuçs da ce lg`rekgûi, mebrìe x mebrìe x  ‛ ‛ = påoerjs ai ac pgij, pgij, x x  ‛ ‛ = ai ac kmjpj y 520 ‛ 2 x  ai ai ce ljrare.

•

Tres ce lg`rekgûi, lg`rekgûi, mebrìe ac lgslj i iÿlarj ÿlarj da p påoerjs åoerjs ai a acc pgij qu qua a ai ce ljrare. ljrare.

•

x  ‛ ‛ = < 520 ‛ 2 x   ⇒   x x  + + 2 x  < < 520 + = ⇒ ; x  < < 5;1 ⇒   x x  < < 41 Gigkgeclaita, mebrìe 41 påoerjs ai ac pgij y ai ac kmjpj. Ai ce ljrare mebrìe 25 påoerjs. Vjr teitj, daspuçs da ce lg`rekgûi, mebrìe ;0 påoerjs ai kede årbjc. Ce raspuaste kjrrakte as ce D.

544

Qigded 1| Akuekgjias y sgstales

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

2.

[g sa supjia qua mey x  påoerjs påoerjs ai ac pgij y ai ac kmjpj a y  ai ai ce ljrare. Vceitae y rasuacva ui sgstale da akuekgjias pere keckucer kuåitjs påoerjs vgvìei gigkgeclaita ai kede

•

årbjc. Kjlpruabe qua ces sjcukgjias jbtaigdes kjgikgdai kji ac epertedj 5.

•

•

{ x2 x− =+ ⇒ {yy ; ;> 20 7 −

4= 4= −> < 2 x ⇒ x < −;

5>

4=

4=

4=

4=

4=

4=

24 4 x − =x − 24 < 5 56 6= − 52x −5=x − > ⇒ 526 − 2 24 4 − 56= + > < 24x + =x − 52x −5= x ⇒ ⇒ 526 − 2

Akuekgjias y sgstales | Qigded 1 541

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

;.

Rasuacva ces sgùgaitas akuekgjias da saùidj `redj. e) ‛2 x 2 + 4 x  + + ;6 < 6 b) 2 x (  x ‛ ;) + 1(  x + 5) < 0 ‛ x   x  ‛ x  + k) 4 x (2 (2 ‛ x ) + x  < < 6 2 µ 4 + >6

2 e) ‛2 x 2 + 4 x  + + ;6 < 6 ⇒   x x ‛ 2 x  ‛ ‛ 51 < 6 ⇒ x <

<

2

2µ= 1 < −; 2

{

2 2 2 b) 2 x (  x x  ‛ ‛ ;) + 1( x  + + 5) < 0 ‛ x ⇒ 2 x ‛ > x   + + 1 x  + + 1 < 0 ‛ x   ⇒ 2 x ‛ > x   + + 1 x  + + 1 ‛ 0 + x   < < 6 ⇒ 2 x ‛ 2 < 6 ⇒

2 x < 2 ⇒   x x < 5 ⇒   x x  < < µ5 2

2

 x < 6

 2 2 k) 4 x (2 (2 ‛ x ‛ x ) + x + x  < < 6 ⇒ = x  ‛ ‛ 4 x + + x x  < < 6 ⇒ ‛4 x + 7 x  < < 6 ⇒ x x  ° ° (‛4 x  + + 7) < 6 ⇒ 

7

−4 x + 7 < 6 ⇒ x < 4

4.

[gi iakasgded da rasjcvarces, gidgke ac iÿlarj da sjcukgjias raecas qua ttgaiai gaiai kede uie da ces sgùgaitas akuekgjias da saùidj `redj. e) ; x 2 + 1 x  ‛ 56 < 6

+ 26 < 6 k) ; x 2 + 1 x  +

b) ‛7 x 2 ‛ ; x  + 56 < 6

+ 21 < 6 d) 7 x 2 ‛ ;6 x  +

2 e) ; x 2 + 1 x  ‛ ‛ 56 < 6 ⇒ D < 1 ‛ 4 ° ; ° (‛56) < 21 + 526 < 541 9 6 ⇒ Tgaia djs sjcukgjias raecas. 2 b) ‛7 x 2 ‛ ; x  + + 56 < 6 ⇒ D < (‛;) ‛ 4 ° (‛7) ° 56 < 7 + ;>6 < ;>7 9 6 ⇒ Tgaia djs sjcukgjias raecas. 2 k) ; x 2 + 1 x  + + 26 < 6 ⇒ D < 1 ‛ 4 ° ; ° 26 < 21 ‛ 246 < ‛251 ⇒ Ij tgaia sjcukgûi raec. 2 d) 7 x 2 ‛ ;6 x  + + 21 < 6 ⇒ D < (‛;6) ‛ 4 ° 7 ° 21 < 766 ‛ 766 < 6 ⇒ Tgaia uie sjcukgûi raec.

1.

Acaie tgaia 5= eõjs y su ledra ;=. ºKuåitj meka qua ce aded da ce ledra are axektelaita ac trgpca qua ce da ce mgoe: Aded ektuec

Aded meka x meka x  eõjs eõjs

Acaie

5=

5= ‛ x

Ledra

;=

;= ‛ ;= ‛ x

;= ‛ x ‛ x  < < ; ° (5= ‛ x) ⇒ ;= ‛ x ‛ x  < < 14 ‛ ; x   ⇒ ‛ ‛ x x  + + ; x  < < 14 ‛ ;= ⇒ 2 x  < < 5> ⇒ x  < < = Meka = eõjs ce aded da ce ledra are axektelaita ac trgpca qua ce da su mgoe.

>.

Rasuacva kede uij da cjs sgùgaitas sgstales ladgeita ac lçtjdj qua sa gidgke? e) b)

2 x − y < ; (@rångkj) ; x + 2y < 5 x 2y < 25 ; y < 50 4 x

k)

(Radukkgûi)

; x

2 x

2y < = ;y < 2

y d) 2; x ; 2y < 2y ⇒ y < −;  = x + 2y < ;4 55 x

54>

Qigded 1| Akuekgjias y sgstales

< 11

Djkulait smerad ji www.djksgty.kjl Djwicjedad by? ceure-kjiùg (ceuèrvar=4F`legc.kjl) (ceuèrvar=4F`legc.kjl)

k) Ce sjcukgûi dac sgstale as (  x x  < < 4, y  < < ‛2) = − 2y   x < ; = − 2y 2 − ;y =+4  −; x − 2y < −= ⇒ ⇒ < ⇒ 5> − 4y < > − 7y ⇒ 1y < − 5 ⇒ y < −2 ⇒ x < 2

0.

Rasuacva cjs sgstales? e)



2( x y ) ;(2 x

y )

x 2 x − y  ; < 2 − y b)   x − y < 1  ; ;

< 54

1 x 4y < 5;

e) [a rasuacva ac sgstale pjr ac lçtjdj da radukkgûi.  −26x + 2 21 1y < 06 2( x + y ) − ;(2x − y ) < 54 2x + 2y − >x + ;y < 54 −4x + 1 y < 54  ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ y < 2 ⇒ x < −5  5; ; 5; ; 5; ; 2 6 5 > 1 12 2 x y − < − 1 x − 4y < −5 1x − 4y < −5 1x − 4y y 4x − ;x − 2y + >y < 6 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ; ⋁ ( −4y ) − y < 1 ⇒  ; x − y < 1 ;x − y < 1 ;x − y < 1 ;x − y < 1 y 1  x   − <  ; ;

{

{

−52y − y < 1 ⇒ −5;y < 1 ⇒ y < −

 

Ce sjcukgûi dac sgstale as  x <

=.

1 5;

26 5;

{

{

26

⇒x<

, y < −

5;

1   5; 

Keckuce djs iÿlarjs tecas qua ce sule da ce lgted dac prglarj lås ce tarkare perta dac saùidj dç kjlj rasuctedj 5> y qua ac djbca dac prglarj laijs ce lgted dac saùidj dç kjlj rasuctedj 42. Cceleljs x Cceleljs ec prglar iÿlarj a y  ec ec saùidj. x  ec

 x + y < 5> 2 ; ; x + 2 y < 7>  ⇒ ⇒  y 4 x − y < =4  2 x − < 42  2  ⇒ 55 x < 2>4 ⇒ x < 24 ⇒ y < 52 Cjs iÿlarjs sji 24 y 52.

7.

;x + 2 y < 7> 7> ⇒ ;x + = x < 7> + 5>= ⇒ ; x + 2 ( 4x − =4 ) < 7> ⇒ ; x + = x − 5>= < 7>   y < 4 x − =4

Ai ui teccar qua erra`cei ruades mey 56 vamìkucjs aitra kjkmas y ljtjs. Ac tjtec da ruades qua tgaiai astjs vamìkucjs, sgi kjiter ces da rapuastj, as ;2. ºKuåitjs kjkmas y kuåites ljtjs mey: Cceleljs x Cceleljs x  ec ec iÿlarj da kjkmas a y  ec ec iÿlarj da kjkmas.

 x + y < 56  x + y < 56 ⇒ ⇒   4 x + 2y < ;2  2x + y < 5>

 y < 56 − x ⇒ 56 − x < 5> − 2x ⇒ − x + 2x < 5> − 56 ⇒ x < > ⇒ y < 4   y < 5> − 2x

Ai ac teccar mey > kjkmas y 4 ljtjs.

Akuekgjias y sgstales | Qigded 1 540

Docsity Solucionario Matematicas 3o Eso SM Tema 5

Short Description

Description

Comments

We need your help!