Ecuacion de Laplace - usando matlab Física Pontificia Universidad Javeriana 4 pag.
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Ecuación de Laplace Abril 2020 Sergio Venegas Mancera
Resumen – El siguiente documento tiene la finalidad de resolver un problema practico de electrostática en los que solo se conocen el potencial en algunas fronteras y se desea hallar E y V en toda la región. Para esto, primero se resolverá el ejercicio analíticamente por medio de la ecuación de Laplace posteriormente se medirá en el laboratorio diferentes valores de potencial en el montaje para hacer las respectivas comparaciones.
I. SOLUCION ANALITICA DEL EJERCICIO
Figura 2. Potencial electrostático representado en tres dimensiones.
Figura 1. Problema bidimensional electrostático con condiciones de frontera.
Desarrollando todo el proceso analítico por medio de la ecuación de Laplace (Ver Anexo) se obtiene que el potencial V(x, y) es igual a:
Figura 3. Potencial electrostático representado en tres dimensiones; en esta cara se puede observar que este tiene un comportamiento similar a una rampa.
(1) Con el potencial hayado se obtiene las siguientes representaciones por medio de la herramienta MATLAB (tomando n desde 1 hasta 151):
Figura 4. Potencial electrostático representado en dos dimensiones
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2 II. SOLUCION EXPERIMENTAL DEL EJERCICIO
Figura 5. Líneas equipotenciales, en la gráfica claramente se puede observar que a lo largo de x, V varia de 0 (en x=0) a 0 (en x=a), requisito que solo una función seno puede satisfacer. Por otro lado a lo largo de y, V varia varia de 0 (en y=0) a Vo (en y=a), circunstancia que solo una función de seno hiperbólico puede satisfacer. Era de esperar entonces una solución como la ofrecida por la ecuación (1).
Figura 7. Montaje usado para medir el potencial en el interior de las placas.
Figura 6. Campo eléctrico en el interior de las placas, se puede observar como las líneas de flujo son simétricas respecto al eje y, además las líneas que inician en el centro de la placa ubicada en y=a tienen a terminar en la placa ubicada en y=0 sin embargo a medida que se avanza respecto a x estas tienen a terminar en la placa ubicada al costado más cercana.
Figura 8.Conexion entre la fuente de voltaje (10 VDC) y el voltímetro.
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Figura 9. Potencial eléctrico (en voltios) en diferentes puntos del ejercicio, estos valores se tomaron para cada centímetro de la configuración. Figura 12. Representación de los valores tomados de la fig. 9. Potencial eléctrico en 2D. Se observa que el comportamiento es muy similar a la figura 4.
Figura 10. Potencial electrostático representado en tres dimensiones. Figura 13. Líneas equipotenciales del ejercicio, que cumplen con el mismo comportamiento descrito en la figura 5; sin embargo se observa que el potencial V(x=0.19, y) difiere un poco al teórico, una posible explicación podría ser algún error humano en la toma de medidas en esos puntos.
Figura 11. Potencial electrostático representado en tres dimensiones; en esta cara se puede observar al igual que en la fig. 3 que este tiene un comportamiento similar a una rampa.
Figura 14. Campo eléctrico en el interior de las placas que cumple el mismo comportamiento descrito en la figura 6.
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V. CONCLUSIÓNES La solución de los problemas del tipo donde existen ciertas distribuciones de cargas sobre S1 las cuales suelen llamarse «externas», porque no se encuentran en el interior de R, que no se conocen explícitamente y que por tanto no pueden integrarse, pero que se
especifican indirectamente mediante las denominadas condiciones de borde, se reduce a resolver la ecuación de Laplace, lo cual será posible analítica o
numéricamente según sea la geometría de R (en este caso analiticamente analiticamente por la simetria del ejercicio). Al comparar las diferentes gráficas (potencial eléctrico, líneas equipotenciales y líneas de flujo del campo eléctrico) se observa que tienden a ser muy similares por ende se puede concluir que la solucion analitica esta bien planteada. Para mejorar los resultados experimentales la mejor forma es tomar una mayor cantidad de datos sin embargo se observa que apenas con los datos obtenidos se cumple con condiciones mínimas por lo tanto se puede concluir que es una buena aproximación.
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