doc84_COURS_TS_Mr-Brachet_140063e29033cda163954d731f92628f

Kit de survie - Bac S 1 1-1

Inégalités - Etude de signe

Opérations sur les inégalités

Règles usuelles : Pour tout a : Pour tout k  > 0 : Pour tout k  < 0 :

x 0 : Pour x > 0 et y > 0 : Pour tous x et y : Si f  croissante * : Si f  décroissant décroissantee * : (* sur un intervalle contenant x et y)

x

y

même même sens sens même sens sens contraire sens contraire contraire même sens même sens même sens même sens même sens sens contraire contraire

 Exemples :

• Sachant que 3 < x < 5, que peut-on en conclure pour 3 −1 x ? 1 1 3 < x < 5 ⇒ −3 > −x > −5 (sens contraire) < − (sens contraire) contraire) ⇒ 0 > 3 − x > −2 ⇒ contraire) 3−x 2 • Comment montrer que pour tout x > 1, 1x < √x21− 1 ? Pour tout x > 1 : √ √ √ 1 1 > (sens contraire) 0 < x2 − 1 < x2 ⇒ x2 − 1 < x2 ⇒ x2 − 1 < x (car x > 0) ⇒ √ 2 contraire) x x −1 Rappels :

• On peut toujours ajouter membre à membre deux inégalités. • On peut multiplier membre à membre deux inégalités si tous les termes sont positifs. • On ne peut pas soustraire ou diviser membre à membre deux inégalités. Encadrement de x

−y :

• On détermine d’abord un encadrement de −y, puis on effectue la somme membre à membre avec celui de x. −2 < x < 3 ⇒ −2 < x < 3 ⇒ −1 < x − y < 7.  Exemple : −4 < y < −1 1 < −y < 4 (sens contraire) contraire)





Encadrement de

x y

: (les bornes de l’encadrement de x étant de même signe - idem pour y)

• On détermine d’abord un encadrement de 1y , puis il faut s’arranger pour multiplier membre à membre deux encadrements dont

tous les termes sont positifs.  Exemple 1 :

⇒ 2 < xy < 3.  Exemple 2 :



8 0. La suite est croissante. 2-4

Raisonnement par récurrence

Principe général :

Pour montrer qu’une propriété dépendant d’un entier n est vraie pour tout n  n0 : • on vérifie que la propriété est vraie au rang n0 . • on suppose la propriété vraie au rang p (en traduisant ce que cela signifie) et on montre qu’alors la propriété est vraie au rang p + 1. • on conclut en disant que la propriété est donc vraie pour tout n  n0.  Exemple :

√

Montrons par récurrence que la suite (U n ) définie par U 0 = 1 et U n+1 = 2 + U n est positive et majorée par 2 : • 0  U 0  2. La propriété est vraie au rang 0. • On suppose la propriété vraie√au rang p, c’est à dire que 0  U p  2. On a alors : 2  2 + U p  4 ⇒ 2  2 + U p  2 ⇒ 0  U p+1  2. La propriété est alors vraie au rang p + 1. • Elle est donc vraie pour tout n.

 

4

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Kit de survie - Bac S

Limites de suite

2-5

• Une suite (U  ) est dite convergente s’il existe un réel l tel que →lim+∞U  = l. n’admett pas de limite limite ou ou si lim U  = ±∞ • La suite est dite divergente si elle n’adme →+∞ • Les théorèmes sur les opérations avec les limites de fonction restent valables pour les suites. n

n

n

n

n

Pour les suites définies par U n = f (n) : si f  admet une limite en +∞ alor alorss lim lim U n = lim f (x).

→+∞

n

(dans la pratique, on peut continuer à utiliser n comme variable)  Exemple :

n

lim

→+∞ n2 + 1

n

n

= lim

 

→+∞ n2 1 + 1 n2

n

1

car car lim lim

1

Limite de bn : si 1 < b < 1 alors alors

=0

→+∞ n 1 + 1 n2

= 1 et lim lim n 1 + n12 = +∞.

→+∞

n

lim b = 0 . • − +∞ → • si b > 1 alors alors lim b = +∞ . →+∞ • si b < −1 alors la suite de terme général b  Exemples : √ • lim 3 = +∞ car √3 > 1. n

n n

n

n

    · − 

→+∞

   

n

donc lim 1 + n2 n→+∞ →+∞ n2 = 0, donc

n

1

= lim

x

n’admet pas de limite.

n

→+∞

n

•

lim 3

→+∞

n

1 n 2

1

= 3 car

−1 < 12 < 1, donc donc



1 n n→+∞ 2

lim

Théorémes de comparaison :

= 0 et lim lim 1

→+∞

n

−



1 n 2

• si pour tout n  n0 , U   V  et si →lim lim V  = +∞ alor alorss lim lim U  = +∞. → +∞ +∞ lim W  = −∞ alors alors lim U  = −∞. • si pour tout n  n0 , U   W  et si →lim +∞ →+∞ lim V  = lim W  = l (l réel) alors • si pour tout n  n0 , V   U   W  et si →lim +∞ →+∞ n

n

n

n

n

 Exemple :

Pour tout n  1, −

1 n





n

n

1 n

n

1 − →+∞ n =

et lim lim n

n

n

n

n

n

cos n

n

n

n

n

n

n

n

lim

1

→+∞ n

n

= 1.

Donc, lim = 0. Donc,

→+∞

n

cos n n

lim U n = l . +∞ →

n

= 0.

Convergence des suites monotones :

• toutes suite croissante et majorée est convergente. convergente. • toutes suite décroissante et minorée est convergente. Suites adjacentes : Deux suites (U n ) et (V n ) sont dites adjacentes si l’une est croissante, l’autre décroissante et si lim lim U n V n = 0.

•

→+∞

n

−

• Deux suites adjacentes sont convergentes et elles admettent la même limite.  Exemple :

1 n Soit (U n ) et (V n ) les suites définies par U n = 1 − et V n = 1 + 13 . n 1 1 1 − Pour tout n, U n+1 − U n = 1 − 1+ = > 0. (U n ) est croissante. n+1 n n(n + 1) n+1 − 1 − 13 n = 13 n 13 − 1 = − 23 13 n < 0. (V n ) est décroissante. Pour tout n, V n+1 − V n = 1 + 13 1 n De plus, plus, lim U n − V n = − − 13 = 0 (car −1 < 13 < 1). Les suites sont adjacentes.

→+∞

n

Kit de survie - Bac S

 

n

    

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5

2-6

Suites récurrentes : U n+1 = f  (U n )

Si une suite (U n ) définie par U n+1 = f  (U n ) admet une limite réelle l et si la fonction f  est continue sur un intervalle contenant l alors on a l = f (l ). ( l est une solution solution de l’équation l’équation x = f (x) )  Exemple :

Soit (U n ), la suite définie par U 0 = 1 et U n+1 =

U n

4

+3 .

a) Représenter graphiquement les premiers termes de la suite :

x

On trace d’abord la représentation graphique de la fonction f  définissant la relation de récurrence (ici on a f (x) = + 3) et la 4 droite d’équation y = x. On part de U 0 en abscisse : l’ordonnée du point de la courbe correspondant à cette abscisse nous donne U 1 [(1) sur le graphique] . Pour déterminer U 2 = f  (U 1 ), il nous faut rabattre U 1 sur l’axe des abscisses [(2) sur le graphique] en utilisant la droite d’équation y=x. Dès lors, U 2 est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse U 1 [(3) sur le graphique]. Pour poursuivre la construction, on répéte le procédé en rabattant U 2 sur l’axe des abscisses... y=x y= x +3 4

U 2 U 1

(3) (2)

(1)

0

U 0

U  U  1 2

0

b) Montrer par récurrence que la suite est majorée par 4 : au rang 0 : U 0 = 1  4.

U 

on suppose la propriété vraie au rang p, c’est à dire que U p  4. Alors p 4 La propriété est alors vraie au rang p + 1. Elle est donc vraie pour tout n.

1

⇒ U 4

p

+3  4

⇒ U  +1  4. p

c) Montrer que la suite est croissante et conclure sur sa convergence : 3 U  Pour tout n, U n+1 U n = n + 3 U n = (4 U n )  0 car U n  4. La suite est donc croissante et comme elle est majorée, elle

converge.

−

4

−

4

−

d) Déterminer la limite de la suite :

x

La suite converge converge vers un réel l et la fonction f  définie par f (x) = + 3 est continue sur R, donc l est une solution de l’équation 4 3 x x = f (x) ⇔ x = + 3 ⇔ x = 3 ⇔ x = 4. 4 4 L’équation admettant admettant 4 comme unique unique solution, on en en déduit que lim U n = 4 .

→+∞

n

3 3-1

Etude de fonction

Parité - Périodicité

• f  est paire si D est symétrique par rapport à 0 et si f (−x) = f (x) pour tout x ∈ D . La courbe dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. • f  est impaire si D est symétrique par rapport à 0 et si f (−x) = − f (x) pour tout x ∈ D . La courbe dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’origine. • une fonction f  définie sur R est périodique−→de période T  si f (x + T ) = f (x) pour tout x. La courbe dans un repère orthogonal f 

f 

f 

f 

est invariante par la translation de vecteur T  i .

6

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Kit de survie - Bac S

Axe et centre de symétrie

3-2

admet la droite d’équation x = a comme axe de symétrie dans un repère orthogonal si pour tout h tel que a ± h ∈ D f , f (a + h) = f (a − h).

• C 

f  f 

• C 

f  f 

admet le point Ω (a, b) comme centre de symétrie dans un repère orthogonal si pour tout h tel que a ± h

f (a + h) + f (a

2

− h) = b.

∈D, f 

Limites

3-3

+∞

−∞

0

±∞

0

±∞

     ×                 

Les quatres cas de forme indéterminée sont : ( ) + ( ) ;

(

)

(

( (

) ;

) ; )

( (

) )

0

±∞

Polynômes et fonctions rationnelles en ∞ : on met la plus grande puisssance de x en facteur en haut et en bas, puis on simplifie.

±

Situation en +∞ : lim ln x = +∞ ; x

lim e +∞ →

x

→+∞

x

e x

= +∞

• Exemples :

x

α

x

(α>0)

ln x

x

ln x

lim

→+∞ lim

√x = 0 (le plus fort est en bas)

ex

→+∞ x2

= +∞ (le plus fort est en haut)

Méthode générale : Mettre le plus fort en facteur en haut et en bas.  Exemple :

x

lim

ex + ln x x+1

→+∞

= lim x

→+∞

Situation en ∞ : lim ex = 0 ;

−

x

ex

→−∞

x

·  

1 + lnexx = +∞ 1 + 1x

α

x

lim x ∞ →−

·e

x

ex

car car lim lim x

→+∞

x

= +∞ et lim lim x

ln x

→+∞

ex

=0

= 0 (α > 0)

Méthode générale : on essaie de faire apparaître ces limites.

Si cela ne suffit pas, on peut essayer le changement de variable X  = −x Situation en 0 :

lim xα · ln x = 0 (α > 0) ;

lim ln x = −∞ ; x 0 x>0

→

lim

x

→0

sin x x

=1 ;

x 0 x>0

→

lim

x

→0

cos x − 1 x

lim

x

ln(1 + x)

→0

x

lim

x

→0

ex

−1 = 1 x

=0

Méthode générale : on essaie de faire apparaître ces limites.

Si cela ne suffit pas, on peut essayer le changement de variable X  =

Kit de survie - Bac S

=1 ;

1 x

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7

0

• Dans le cas d’une forme indéterminée du type

          

( ) , on peut essayer d’utiliser la propriété suivante : ( ) 0

f (x)

− f (a) = f  (a) . x−a

Si f  est dérivable en a alors lim x→a • Pour les expressions avec racine carrée, on peut essayer de multiplier en haut et en bas par l’expression conjuguée pour lever la forme indéterminée. 3-4

Asymptotes

• Si lim → f (x) = ±∞ alors la droite verticale d’équation x = a est asymptote à C  . • Si →± lim lim f (x) = b alors la droite horizontale d’équation y = b est asymptote à C  . ∞ • Si →± lim lim f (x) − (ax + b) = 0 alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique à C  . ∞ • De façon façon générale, générale, si lim f (x) − g(x) = 0 alors les courbes C  et C  sont asymptotes. →±∞ x

f  f 

a

f  f 

x

f  f 

x

f  f 

x

g

• Pour déterminer la position relative entre deux courbes C  et C  , on étudie le signe de f (x) − g(x) (méthode aussi valable pour les asymptotes horizontales et obliques) : - si f (x) − g(x)  0 pour tout x d’un intervalle I , alors C  est située au dessus de C  sur I . - si f (x) − g(x)  0 pour tout x d’un intervalle I , alors C  est située en dessous de C  sur I . f  f 

g

f  f 

g

f  f 

3-5

g

Dérivabilité - Tangente

f (x) − f (a) • f  est dérivable en a si lim existe et est égale à un réel. → x−a • si la limite n’existe que pour x > a, f  n’est dérivable qu’à droite. • si la limite n’existe que pour x < a, f  n’est dérivable qu’à gauche. x

a

• Si f  est dérivable en a alors une équation de la tangente à C  au point d’abscisse a est :  y = f (a) + f  (a)(x − a) • Pour déterminer les abscisses des éventuels points de C  où la tangente est parallèle à une certaine droite d’équation y = mx + p,  f  f 

f  f 

il suffit de résoudre l’équation f  (x) = m. (les coefficients directeurs devant devant être égaux)

3-6

Continuité - Equation f (x) = k 

• f  est continue en un point a d’un intervalle I  ⊂ D • Si f  est dérivable en a alors f  est continue en a.

f 

si f  admet une limite en a et si lim = f (a). x

→a

• Si f  est continue et strictement croissante ou strictement décroissante sur un interval intervalle le I  et si k  ∈ f (I ) alors l’équation f (x) = k  admet une unique solution x0 dans I . • Pour déterminer une valeur approchée de x0 , on utilise la méthode du "balayage". la fonction f  définie par f (x) = x + ex est continue et strictement croissante sur I  = [ 0, 1] car f  est dérivable et f   (x) = 1 + ex > 0 sur I . De plus 2 est compris entre f (0) et f (1). On peut donc en conclure que l’équation f (x) = 2 admet une unique solution x0 dans [0, 1]. Pour déterminer une valeur approchée de x0 à 10−1 près, on balaye l’intervalle avec un pas de 0 , 1 :  Exemple :

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

f (x)

1

1,2

1,4

1,6

1,9

2,1

0,6

0,7

0,8

0,9

1

On a arrêté les calculs après 0 , 5 car 2 a été "franchi" par f (x). En effet, d’après le tableau, f (0, 4) < 2 < f (0, 5). On peut donc en déduire que : 0 , 4 < x0 < 0, 5. Conclusion : 0 , 4 est une valeur approchée de x0 par défaut à 10 −1 près et 0, 5 est une valeur approchée de x0 par excés à 10 −1 près. 8

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Kit de survie - Bac S

4

• ln x n’existe que si x > 0 • Si a > 0 et b > 0 :

ln(ab) = ln a + ln b ;

• ln e = 1 ;

ln

ln 1 = 0 ;

 1

a

=

Logarithme et Exponentielle

− ln a ;

ln x < 0

ln

 a b

= ln a

si 0 < x < 1 ;

− ln b ;

ln x > 0

ln (aα ) = α ln a ;

√ 1 ln a = ln a 2

si x > 1



• (ln x)  = 1x ; (ln u)  = uu (u > 0) • ln a = ln b ⇔ a = b ; ln a < ln b ⇔ a < b ; • y = e ⇔ ln y = x ; ln (e ) = x ; • Pour tout x, e > 0 ; e0 = 1 ; x

x

x

eln x = x (pour x > 0) e1 = e

• Pour tous réels a et b : e · e = e + ; • (e )  = e ; (e )  = u e •e =e ⇔a=b ; e 0 ⇔ x > −2. Avec cette condition : ln (x + 2)  1 ⇔ x + 2  e ⇔ x  e − 2. S = ]−2; e − 2] • e2 − 2e − 3 = 0 ⇔ X 2 − 2X  − 3 = 0 avec X  = e . ∆ = 16 ; X  = −1 ou X  = 3. D’où, e = −1 (impossible) ou e = 3 ⇔ x = ln3. S = {ln3 ln 3} x

x

x

x

•e

x

x

5 < 5e−x ⇔ ex <

ex

⇔

e2x

ln5 ln 5 < 5 (car e > 0) ⇔ 2x < ln5 ln 5 ⇔ x < . S= 2 x

5

−  ∞;

ln5 ln 5 . 2

Primitives

• F  est une primitive de f  sur un intervalle I  si F  est dérivable sur I  et si pour tout x de I , F (x) = f (x). • Si F 0 est une primitive de f  sur intervalle I  alors toutes les primitives de f  sur I  sont de la forme F (x) = F 0 (x) + C  où C  est une constante réelle. • Toute fonction continue sur un intervalle I  admet des primitives sur I .  Exemple :

Soit f  définie sur R par f (x) = 2x. f  est continue sur R, elle y admet donc des primitives. Une primitive de f  sur R est la fonction F  définie par F (x) = x2 (car pour tout x, F  (x) = f (x)). Les primitives de f  sur R sont les fonctions F  définies par F (x) = x2 + C . La primitive de f  sur R qui s’annule pour x = 1 est la fonction F  définie par F (x) = x2 − 1. Kit de survie - Bac S

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9

Primitives des fonctions usuelles f  définie par

primitives sur I

I 

f (x) = a

F (x) = ax + C 

R

f (x) = xn (n

1

f (x) =

xn

∈ N)

(n ∈ N; n > 1)

f (x) =

√1x

f (x) = cos x f (x) = sin x f (x) =

1 = 1 + tan2 x cos2 x f (x) =

1 x

f (x) = ex f (x) = xα (α

∈ R; α = −1)

xn+1

F (x) =

n+1

+ C 

R

−1 − 1)xn−1 + C  √ F (x) = 2 x + C 

F (x) =

] ∞; 0[ ou ]0; +∞[

−

(n

]0; +∞[

F (x) = sin x + C  F (x) =

R

− cos x + C 

R

−

F (x) = tan x + C 

π

2



π + k π; + + k π (k 

2

F (x) = ln x + C 

]0; +∞[

F (x) = ex + C 

R

F (x) =

xα+1

α+1

∈ Z)

]0; +∞[

+ C 

Primitives : formules générales forme de f 

primitives de f 

exemples

f (x) = αU  (x) + βV   (x)

F (x) = αU (x) + βV (x) + C 

f (x) = 3x2 + 2x + 1 F (x) = x3 + x2 + x + C 

[U (x)]n+1 F (x) = + C  n+1

f (x) = 4(4x + 1)2 (4x + 1)3 F (x) = + C 

f (x) = U  (x) [U (x)]n (n

·

f (x) =

(n

∈

∈ N)

U  (x)

[U (x)]n N; n > 1; U (x) = 0)

f (x) =



U  (x)

 

U (x)

(U (x) > 0)

f (x) = U  (x)

· cos [U (x)]

f (x) = U  (x)

· sin [U (x)]

f (x) =

U  (x) U (x)

(U (x)  = 0)

f (x) = U  (x) · eU (x) f (x) = U  (x) [U (x)]α

(α

10

·

∈ R; α = −1; U (x) > 0)

F (x) =

(n

− 1) [U (x)]n−1 + C 

 

U (x) + C 

F (x) = sin [U (x)] + C 

F (x) =

− cos [U (x)] + C 

F (x) = ln [U (x)] + C  (si U (x) > 0) F (x) = ln [ U (x)] + C  (si U (x) < 0)

−

U (x) +

F (x) = e

3x2 (x3 + 1)2 −1 + C  F (x) = 3 x +1 f (x) =

−1

F (x) = 2

3

C 

[U (x)]α+1 + C  F (x) = α+1

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√3x3+ 2 √ F (x) = 2 3x + 2 + C  f (x) =

f (x) = 4x cos(2x2 + 1) F (x) = sin(2x2 + 1) + C  f (x) = 5sin(5x) F (x) =

− cos(5x) + C 

2x f (x) = 2 x +1 F (x) = ln(x2 + 1) + C  f (x) =

−2xe−x

2

2

F (x) = e−x + C  3 f (x) = 2x(x2 + 1) 2

F (x) =

5 2 2 (x + 1) 2 + C  5

Kit de survie - Bac S

• Recherche pratique d’une primitive :

Pour les fonctions usuelles, on utilise directement les formules. Pour autres fonctions, il faut d’abord identifier la «forme» qui ressemble le plus à la fonction. Si on a la forme exacte, on utilise directement la formule correspondante. Dans le cas contraire, on écrit la forme exacte qu’il faudrait pour la fonction f  et on rectifie en multipliant par le coefficient adéquat.  Exemples : π 1) Soit f  définie par f (x) = cos 4x + . f  est continue sur R, elle y admet donc des primitives. 6 On cherche à utiliser la «forme» u  cos u (dont une primitive est sin u). π π 1 × La «forme «forme exacte» exacte» serait 4 cos 4x + . On écrit donc que f (x) = 4cos 4x + . 6 4 6 

           u

          ×        

cos u

coefficient

1 4

Une primitive de f  sur R est donc F  définie par F (x) =

sin 4x +

coefficient

π

6

formeexacte

.

sin u

ln x

2) Exemple «classique» : primitive sur ]0; +∞[ de f  définie par f (x) = . x 1 u2 Il suffit d’écrire que f (x) = × ln x. On a alors la forme exacte u  u (dont une primitive est ). 2 x (ln x)2 Une primtive de f  sur ]0; +∞[ est donc F  définie par F (x) = . 2

• Détermination d’une primitive dont on connaît la forme :

 Exemple :

Soit f  définie par f (x) = (4x + 1)ex . On demande de chercher une primitive de f  sur R sous la forme d’une fonction F  définie par F (x) = ( ax + b)ex . Il suffit de dire que l’on doit avoir, pour tout x, F  (x) = f (x). Ce qui donne : aex + (ax + b)ex = (4x + 1)ex (pour tout x) ⇔ ax + (a + b) = 4x + 1 (pour tout x) D’où, on doit avoir a = 4 et a + b = 1 (par identification des deux polynômes). On obtient a = 4 et b = −3. Une primitive est donc F  définie par F (x) = ( 4x − 3)ex . 6

Z 

Intégration

Soit f  une fonction continue sur un intervalle I  : b

b a

• Pour tous a et b de I , f (x) dx = [F (x)] = F (b) − F (a) où F  est une primitive de f  sur I . Z  • Pour tout a de I , la fonction F  définie par F (x) = f (t ) dt  est la primitive de f  sur I  qui s’annule pour x = a. a

Z 

a

e

 Exemple :

x

ln x

dx =

x

1

  (ln x)2

2

e

=

(ln e)2

2

1

2

ln 1) − (ln1 2

1 2

= .

Propriétés de l’intégrale : Pour f  et g continues sur un intervalle I  et pour a, b et c de I  :

Z  • Z  • Z 

a

b

f (x) dx =

b

Z 

−

Z 

c

b

f (x) dx .

a

c

Z  • ( f  + g)(x) dx = f (x) dx + g(x) dx (linéarité de l’intégrale) Z  Z  • Pour tout réel k , (k f )(x) dx = k  f (x) dx (linéarité de l’intégrale) Z  • Si a b et si f (x) 0 sur [a, b] alors f (x) dx 0 Z  • Si a b et si f (x) 0 sur [a, b] alors f (x) dx 0 Z  Z  • Si a b et si f (x) g(x) sur [a, b] alors f (x) dx g(x) dx Z  a

f (x) dx +

Z 

Z 

f (x) dx =

b

b

b

a

b

a



a

f (x) dx (Relation de Chasles)

a

b

a

b

a

b





a



b





a



b



b



a

a

• Si a  b et si m  f (x)  M  sur [a, b] alors m(b − a)  Kit de survie - Bac S

b

f (x) dx  M (b

a

− a) (inégalité de la moyenne)

c P.Brachet - www.xm1math.net 

11

Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

Si f  est continue sur [a, b], la valeur moyenne de f  sur [a, b] est égale à Intégration par parties

Z 

Z 

1 b

−a

Z 

b

f (x) dx

a

Pour u et v dérivables dérivables sur un intervalle I  contenant a et b telles que leurs dérivées soient continues sur I  : b

b u(x) v  (x) dx = [ u(x) v(x)] − a

a

b

u  (x) v(x) dx

a

En général, le but de la manoeuvre est de se débarrasser du terme qui gêne pour la recherche d’une primitive. Si f (x) est de la forme (polynˆ polynome oˆ me)ex ou (polynˆ polynome oˆ me) sin x ou (polynˆ polynome oˆ me) cos x, il est conseillé de prendre u(x) = polynˆ polynome. oˆ me.

Z 

 Exemples :

1)

Z 

0

π

π

2x cos x dx = [ 2x sin x ]0 −

π

2 sin x dx = 0 [ 2cos x]π0 = −4

         − − Z  Z   ×    ×   −  ×   u

v

2) Un cas classique : e e ln x dx = ln x 1

Z 

1

u

u

v

0

u

v

1 dx = [ ln x

x ]1e

v

v

u

e

1

1 x

u

x

dx = e

v

e

− [x]1 = e − e + 1 = 1

Calculs d’aires f  et g sont deux fonctions continues sur [a, b]. Si pour tout x [a, b], f (x)  g(x) alors l’aire de la partie du plan comprise entre les courbes de f  et g et les droites d’équation

•

∈

x = a et x = b est égale à

Z 

b

a

g(x)

− f (x) dx en unités d’aire.

(«intégrale de la plus grande moins la plus petite»)

• Si pour tout x ∈ [a, b], f (x)  0 alorsZ  l’aire de la partie du plan comprise entre la courbe de

f , l’axe des abscisses et les droites

b

d’équation x = a et x = b est égale à f (x) dx en unités d’aire. a • Si pour tout x ∈ [a, b], f (x)  0 alors l’aire de la partie du plan comprise entre la courbe de f , l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b est égale à −

Z 

b

f (x) dx

en unités d’aire.

a

 Remarques Remarques :

• Pour avoir l’aire en cm 2 , il faut multiplier le résultat en unités d’aire par la valeur en cm d’une unité sur l’axe des abscisses et par la valeur en cm d’une unité sur l’axe des ordonnées. • Pour déterminer l’aire entre une courbe et l’axe des abscisses, il faut d’abord étudier le signe de la fonction sur l’intervalle en question. • Pour déterminer l’aire entre deux courbes, il faut d’abord étudier leur position relative sur l’intervalle en question. 7

Equations différentielles

• Dire que f  est une solution sur un intervalle I  de l’équation différentielle y  = a y (a = 0) signifie que, pour tout x de I , f  (x) = a f  (x). • Les solutions dans R de l’équation différentielle y  = a y (a = 0) sont les fonctions définies par f (x) = C e où C  est un réel ax

quelconque.  Exemple :

Les solutions dans R de l’équation différentielle y  = −3 y sont les fonctions définies par f (x) = C e−3x .

• Dire que f  est une solution solution sur un intervalle intervalle I  de l’équation différentielle y  = a y + b (a  = 0) signifie que, pour tout x de I , f  (x) = a f  (x) + b.

• Les solutions dans R de l’équation différentielle y  = a y + b (a = 0) sont les fonctions définies par

un réel quelconque. 12

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f (x) = C eax

− ba où C  est

Kit de survie - Bac S

 Exemple :

Les solutions dans R de l’équation différentielle y  = 2 y + 3 sont les fonctions définies par f (x) = C e2x −

3 . 2

• Exemples classiques d’équations différentielles se ramenant aux formes précédentes  Exemple 1 :

1 est une solution de l’équation différentielle (E ) : y  + 2y = 4x + 3. 2 Pour tout x, g  (x) + 2g(x) = 2 + 4x + 1 = 4x + 3. g est bien une solution de (E ). a) Montrer que g définie par g (x) = 2x +

b) Montrer Montrer que dire dire que f est une solutio solution n de (E ) équivaut à dire que ( f    (E  ) : y + 2y = 0. f  solution de (E ) f   (x) + 2 f (x) = 4x + 3 (pour tout x)  f  (x) + 2 f (x) = g  (x) + 2g(x) (pour tout x) car g est une solution de (E ) ( f  g)  (x) + 2( f  g)(x) = 0 (pour tout x) ( f  g) est une solution de (E  ). c) Résoudre Résoudre (E  ) et en déduire les solutions de (E ). Les solutions de (E  ) sont définies par f 0 (x) = Ce−2x . f  solution de (E ) ( f 

⇔ ⇔ − ⇔ −

− g) est une solution de l’équation différentielle

⇔

−

⇔ − g)(x) = f 0(x) (pour tout x).

1 Donc, les solutions de (E ) sont définies par f (x) = f 0 (x) + g(x) = Ce−2x + 2x + . 2  Exemple 2 :

a) Montrer Montrer que dire que f est une solution solution de (E ) : y  + 2y = y2 à valeurs strictement positives équivaut à dire que solution de (E  ) : y  = 2y

− 1.

Comme f  est dérivable à valeurs strictement positives, 1 f 

solution de (E  )

    ⇔ − ⇔− 1

f 

=2 1

f 

1

f   f 2

=

1 f 

2 f 

⇔ − f   = 2 f  − f 2 ⇔ f   + 2 f  = f 2 ⇔ f  solution de (E ).

1 f 

est une

est aussi dérivable. dérivable.

−1

b) Résoudre Résoudre (E  ) et en déduire les solutions de (E ).

1 Les solutions de (E  ) sont définies par f 0 (x) = Ce2x + . 2 1 = Donc, les solutions de (E ) sont définies par f (x) = f 0 (x)

8 8-1

Forme algébrique - Calculs dans

1

. Ce2x + 12

Complexes

C

• Tout complexe s’écrit de façon unique sous la forme algébrique z = a + ib (a et b réels) avec i2 = −1. • a est la partie réelle (notation : Re(z)) et b est la partie imaginaire (notation : Im(z)).  ib a = a • aa+, bib, a= , ba r´+eels ⇔ eels b = b • Le conjugué de z est z = a − ib. • Pour écrire un quotient de complexes sous forme algébrique, on multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur





(s’il n’est pas réel).

• z + z = z + z ;

z z = z z

·

·

;

 z

z

=

z z

(z  = 0).

 Exemples :

2 • 32++2ii = ((32++2ii)()(33−−22ii)) = 6 − 43i2++32i 2− 2i = 813− i • Résolution de l’équation 1 +z iz = −1 + 3i : −1 − 2i = −1 − 2i . 1 Pour z  = 0, on obtient : 1 + iz = (−1 + 3i)z ⇔ 1 = (−1 + 2i)z ⇔ z = = 2 −1 + 2i 1 + 22 5

Kit de survie - Bac S

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13

• Résolution de l’équation (1 + i)z = z − 2 + 3i :

En posant z = x + iy (x et y réels), on a : (1 + i)(x + iy) = x

 ⇔

− iy − 2 + 3i ⇔ (x − y) + i(x + y) = (x − 2) + i(−y + 3)

D’où, z = −1 + 2i.

x y=x 2 x+y = y+3

−

−

−

 ⇔

x= 1 y=2

−

Résolution de az2 + bz + c = 0 (a, b et c réels) √ : ∆ = b2 − 4ac

• Si ∆ > 0, deux solutions réelles : z1 = −b −

2a

∆

√ − b+ ∆ et z2 = . 2a

b

• Si ∆ = 0, une solution réelle double : z1 = − 2a . √ √ − − b − i −∆ b + i −∆ • Si ∆ < 0, deux solutions complexes conjuguées : z1 = 2a et z2 = 2a .  Exempl Exemplee : z2 + z + 1 = 0

∆=

−3 =

√  3i

 Remarque Remarque :

8-2

2

√ √ − − 1−i 3 1+i 3 . Deux solutions : z1 = et z2 = . 2

2

On factorise les polynômes dans C comme dans R.

Forme trigonométrique - Module et arguments

Pour z = a + ib (a et b réels)√: • Le module de z est : |z| = a2 + b2 = √zz. a cos θ = |z| est un argument de z. On note argz = θ + 2k π (k  ∈ Z) • Si z = 0, tout réel θ tel que b sin θ =

 

|z |

• Pour tout θ, on pose e θ = cos θ + i sin θ. eθ  ) 1  2 ( + ) ( + θ θ θ π θ θ θ θ θ θ − − θ |e | = 1 ; ( e ) = e ; e ; θ = e ; θ = e (θ−θ ) ; e θ = e ; e ·e = e e e • Si un complexe non nul admet r  comme module et θ comme argument alors z = r · e θ (forme trigonométrique ou forme exponentielle) • Si z = r · e θ avec r  > 0 alors |z| = r  et argz = θ + 2k π.  θ θ • r · e = r  · e (avec r  > 0 et r  > 0) ⇔ r  = r  et θ = θ + 2k π. i

i

i

i

i

k 

i

i

i

i

i

i

i

i

 i

i

i

n

= einθ

i

i

i

 Exemple de passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique :

  √ | |  √        √

Soit z = 3 + i. z =

( 3)2 + 12 = 2.

cos θ =

√3

2 1 sin θ = 2

⇒ θ = π6 . D’où z = 2e

i π6

.

 Exemple de passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique : iπ

z = 4e

4

= 4 cos

π

4

+ i sin

π

4

=4

√

2 2 +i 2 2



√

√

= 2 2 + i2 2.

 Autres exemples classiques d’utilisation de la forme trigonométrique :

• Calcul de (1 − i)12 . Il est hors de question de faire le calcul sous forme algébrique. On détermine d’abord la forme trigonométrique de z = 1 − i : √ 1 2 cos θ = √ = √ √ √ π 2 2 √ |z| = 12 + 12 = 2. ⇒ θ = − . D’où z = 2 · e− . 4 1 2 sin θ = − √ = − 2 2 12 √ Ainsi, (1 − i)12 = z12 = 2 · e− = 64 · e− 3π = 64 (cos (−3π) + i sin (−3π)) = −64

   

14

i π4

i 124π

i

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Kit de survie - Bac S

• Soit z1 = √2 + i√2 et z2 = √3 + i. Calculer la forme trigonométrique de z1 , z2 et zz12 . En déduire la valeur de cos sin

π



. 12 π π Réponse : En calculant le module et un argument de z1 et z2 , on montre que z1 = 2ei 4 et que z1 = 2ei 6 . π π π 2ei 4 z1 π On en déduit que = i π = ei( 4 − 6 ) = ei 12 . z2 2e 6 √2 + i√2 √2 + i√2 √3 − i √6 + √2 + i √6 − √2 π z1 z1 = = Ainsi est un argument de . Or, = √ . 12 4 4 z2 z2 3+i Donc, cos

      z1 z2

Re

π

=

12

z1

=

√6 + √2

et

4

s in

z2

         √ − √  z1 z2

Im

π

=

12

=

z1

6

 

π

 12

et



2

4

z2

• Résolution de l’équation z3 = 1 : 2k π En posant z = r · e θ , on doit avoir r 3 · e 3θ = 1 · e 0 ⇔ r 3 = 1 et 3θ = 2k π ⇔ r  = 1 et θ = . 3 Les trois solutions sont donc√: √3 1 3 1 1·e 0 = 1; 1·e = − +i et 1 · e = − − i (en prenant k  = 0, k  = 1 et k  = 2). 2 2 2 2 i

i

i 23π

i

i

i 23π n

• Formule de Moivre : (cos θ + i sin θ)

= cos(nθ) + i sin(nθ).

En développant développant le premier premier membre et en identifiant identifiant les parties réelles et imaginaire imaginairess des deux membres, on obtient obtient cos (nθ) et sin(nθ) en fonction de cos θ et sin θ.

• Formules d’Euler : cos θ = e

iθ

+ e−iθ

;

2

eiθ

sin θ =

− e− θ . i

2i

 Exemple : linéarisation de cos 3 x

cos3 x =

8-3



eix + e−ix

2



3

=

ei3x + e−i3x + 3eix + 3e−ix

8

=

2cos(3x) + 6cos(x) 1 3 = cos(3x) + cos(x) 8 4 4

Complexes et géométrie

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct





−→ −→ O, i , j

• L’affixe du point M (x, y) est z = x + iy. • L’affixe du milieu I  de [AB] est z = z +2 z . • L’affixe de G le barycentre de (A, a) (B, b) (C , c) est z = a · z • L’affixe du vecteur −→u (x, y) est z−→ = x + iy. • z−→ = z − z ; z−→+−→ = z→− + z−→ ; z −→ = k · z−→

.

M 

A

I 

B

A +b

G

·z

B +c

a+b+c

·z

C 

(a + b + c  = 0).

u

B

AB

A

u

v

u

v

k  u

−→ −−→ −→ −→

• Si M  est d’affixe z alors |z| = OM  et argz = • Si −→u est d’affixe z alors |z| = −→u  et argz = ¡ 

u

M  z

| z|

arg z j

u

u

i , OM 

(z  = 0).

i,u

= 0). (z 

¥¤

arg z

u

£¢

j O

O

i

• AB = |z − z | ; B

A

Kit de survie - Bac S

−→ −→

i

i , AB = arg (zB

− z ) (avec A = B) ; A

−→ −→   AB, CD = arg

c P.Brachet - www.xm1math.net 

−→ zCD → z− AB

(avec A  = B et C   = D) 15

Conséquences :

//((CD) ⇔ arg • (AB)//

• (AB) ⊥ (CD) ⇔ arg

      −→ zCD → z− AB

−→ zCD → z− AB

= 0 + 2k π ou π + 2k π =

⇔ zz−→ réel (A = B et C  = D) −→

CD AB

π

2

+ 2k π ou

− π2 + 2k π ⇔ zz−→ imaginaire pur (A = B et C  = D) −→

CD AB

• A, B, C  alignés ⇔ arg zz−→ = 0 + 2k π ou π + 2k π ⇔ zz−→ réel (A = B et A = C ) • L’ensemble des points M  d’affixe z tels que |z − z | = r  (r  > 0) est le cercle de centre A et de rayon r . • L’ensemble des points M  d’affixe z tels que |z − z | = |z − z | (z = z ) est la médiatrice du segment [AB]. • L’ensemble des points M  d’affixe−→ z tels que arg (z − z ) = θ + 2k π est la demi-droite partant de A (mais ne contenant pas A) →u tel que i , −→u = θ dirigée par le vecteur − AC 

−→

AC 

−→

AB

AB

A A

B

A

B

A

 

Complexes et transformations : (M  est d’affixe z, M  est d’affixe z et Ω est d’affixe ω) z = z + b M  est l’image de M  par la translation de vecteur u dont l’affixe est b. z ω = eiθ (z ω) M  est l’image de M  par la rotation de centre Ω et d’angle θ. z ω = k (z ω) M  est l’image de M  par l’homothétie de centre Ω et de rapport k .

• • − • − 8-4

−→

⇔ − ⇔ − ⇔

Caractérisation d’un réel et d’un imaginaire pur

= π + 2k π. • z est réel ⇔ Im(z) = 0 ⇔ z¯ = z ⇔ z = 0 ou argz = 0 + 2k π ou argz π • z est imaginaire pur ⇔ Re(z) = 0 ⇔ z¯ = −z ⇔ z = 0 ou argz = 2 + 2k π ou argz = − π2 + 2k π.  Exemples :

• Détermination de l’ensemble E  des points M  d’affixe z tels que (2 + i)z + 3 − 4i soit imaginaire pur. On pose z = x + iy (x et y réels). 2iz + 3 − 4i imaginaire pur ⇔ (2 + i)(x + iy) + 3 − 4i imaginaire pur ⇔ (2x − y + 3) + i(x + 2y − 4) imaginaire pur ⇔ 2x − y + 3 = 0. E  est donc la droite d’équation y = 2x + 3. • Détermination de l’ensemble E  des points M  d’affixe z tels que zz−−2i soit réel. z−i z−i z−i Soit A d’affixe i et B d’affixe 2. réel ⇔ z = i ou arg = 0 + 2k π ou arg = π + 2k π (avec z  = 2). z−2 z−2 z−2 −→ −→ Ce qui équivaut à M  = A ou MB, MA = 0 + 2k π ou π + 2k π (avec M   = B).



 



 

E  est donc la droite (AB) privée du point B.

9 9-1

Probabilités

Généralités

Lors d’une expérience aléatoire : • L’univers Ω est l’ensemble des résultats possibles. • Un événement A est une partie de l’univers. • Un événement élémentaire est un événement ne comportant qu’un seul élément. • L’événement contraire de l’événement A est l’événement noté A formé de tous les éléments de Ω n’appartenant pas à A. • L’événement A ∩ B (noté aussi «A et B») est l’événement formé des éléments de Ω appartenant à A et à B. • L’événement A ∪ B (noté aussi «A ou B») est l’événement formé des éléments de Ω appartenant au moins à l’un des événements A ou B. • Deux événements A et B sont dits incompatibles si A ∩ B = ∅. • Si Ω = {e1 , e2 , · · · , en } et si à chaque résultat possible ei on associe un nombre p(ei) tel que 0  p(ei)  1 et p(e1 ) + p(e2) + · · · + p(en) = 1, on dit que l’on a défini une loi de probabilité sur Ω. • La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent. 16

c P.Brachet - www.xm1math.net 

Kit de survie - Bac S

Pour tous événements A et B : • p (∅) = 0 ; p (Ω) = 1 • 0  p(A)  1 ; p A = 1 − p(A) ; p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) (si A et B sont incompatibles, p(A ∪ B) = p(A) + p(B)) nb d el´ e´ l´ementsdeA ementsdeA nbdecasfavorables • Dans le cas de l’équiprobabilité, p(A) = nb = d el´ e´ l´ementsde ementsde Ω nbdecaspossibles



Tirage au hasard d’une carte dans un jeu de 32 cartes avec les événements : 4 1 8 1 = = p(la carte tirée est un roi ) = p(la carte tirée est un coeur ) = 32 8 32 4 1 1 1 1 11 = p(la carte tirée est un roi et un coeur ) = p(la carte tirée est un roi ou un coeur ) = + − 32 8 4 32 32

 Exemple :

9-2

Variable aléatoire

Une variable aléatoire X  définie sur un univers Ω est une fonction qui à chaque résultat possible associe un réel. Les valeurs possibles de X  sont notées xi . La probabilité que X  prenne la valeur xi est notée p (X  = xi ) ou pi .

• Définir la loi de probabilité de X , c’est donner (sous forme d’un tableau) la probabilité de chacun des événements • Espérance mathématique de X  : E (X ) = =∑1 p x = p1 x1 + · · · + p x • Variance de X  : V (X ) = =∑1 p (x )2 − (E (x))2 = p1(x1 )2 + · · · + p (x )2 − (E (x))2 • Ecart-type de X  : σ(X ) = V (x) n

i i

   

X  = xi .

n n

i

n

i

i

n

n

i

 Exemple : On lance 3 fois de suite un dé. Le joueur perd 3 euros s’il obtient au moins un multiple de 3 et il gagne 6 euros dans le cas contraire. X  est la variable aléatoire égale au gain du joueur. joueur. Loi de probabilité de X  : X  ne peut prendre que les valeurs -3 et 6. 4×4×4 8 19 = On a p(X  = 6) = et p(X  = −3) = 1 − p(X  = 6) = 6 × 6 × 6 27 27 -3 6 x

19 8 27 27 19 8 1 +6× =− ; E (X ) = −3 × 27 27 3 p(X  = x)

9-3

19 8 1 152 + 36 × − = 9 V (X ) = 9 × 27 27 9

et

σ(X ) =

 

√

152 2 38 = 9 3

Probabilités conditionnelles

DÉFINITION

Etant donné deux événements A et B (B  = ∅) d’un univers Ω :

• On appelle probabilité de B sachant A, le réel noté p (B) tel que p (B) = p(pA(∩A)B) A

A

PROPRIÉTÉ

Pour tous événements non vides A et B : • 0  pA(B)  1 ; pA B = 1 − pA(B)



∩B • Dans le cas de l’équiprobabilité, p (B) = nbdecasfavorablespourA nbdecasfavorablespourA • p(A ∩ B) = p(A) × p (B) = p(B) × p (A) A

A

B

PROPRIÉTÉ

Formule des probabilités totales

Si A1 , A2 , · · · , An sont des événements non vides deux à deux incompatibles et dont l’union est égale à Ω (on dit alors qu’ils forment une partition de l’univers) alors pour tout événement B :

• p(B) = p (A1 ∩ B) + · · · + p (A ∩ B) = p(A1 ) × p n

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A1 (B) +

· · · + p(A ) × p n

An (B)

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17

 Représentation à l’aide d’un arbre pondéré

p (B)

B

p (B)

B

A1

p(A1) =

x

p(A1

p (B) A1 B)

U

A1 A1

p(A1)

B

p (B) A2

p(A2)

A2

U

+ p(A2

U

B)

+ p(A3

U

B) B)

= p(B)

p (B)

B

p (B)

B

p (B)

B

A2

p(A3)

p(A1

A3

A3 A3

somme égale à 1  Règles de construction et d’utilisation des arbres pondérés :

• Sur les premières branches, on inscrit les p (A ). • Sur les branches du type A −→ B, on inscrit p (B). • Le produit produit des probabilités probabilités inscrites inscrites sur chaque chaque branche branche d’un chemin chemin donne la probabilité probabilité de l’intersecti l’intersection on des événements événements placés sur ce chemin. • La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1 (loi des nœuds). • La probabilité d’un événement E  est la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à E . i

i

Ai

Un sac contient des jetons de trois couleurs, la moitié de blancs, le tiers de verts et le sixième de jaunes. 50% des jetons blancs, 30% des jetons verts et 40% des jetons jaunes sont ronds. Tous les autres jetons sont carrés. On tire au hasard un jeton.  Exemple :

a) Construction de l’arbre : rond

0,5 B 1

0,5

carré

0,3

rond

0,7

carré

0,4

rond

0,6

carré

2 1 3

V

1 6 J

b) Sachant que le jeton tiré est blanc, quelle est la probabilité probabilité pour qu’il soit carré ? La lecture directe de l’arbre nous donne que pB (C ) = 0, 5. c) Quelle est la probabilité pour que que le jeton tiré soit rond ? p(R) =

1 1 1 5 × 0, 5 + × 0, 3 + × 0, 4 = . 2 3 6 12

d) Sachant qu’il est rond, quelle quelle est la probabilité pour qu’il soit blanc ? 1 0, 5 3 p(B R) = 2 5 = . pR (B) = 5 p(R) 12

∩

18

×

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9-4

Indépendance en probabilité

DÉFINITION

• Deux événements A et B sont dits indépendants si p(A ∩ B) = p(A) × p(B). • Ce qui revient à dire que p (B) = p(B) ou p (A) = p(A) A

B

Si l’on répète n fois dans les mêmes conditions la même expérience et si ces expériences A1 , A2 , · · · , An sont indépendantes, alors la probabilité de l’événement A1 ∩ A2 ∩···∩ An est égale au produit p(A1 ) × p(A2 ) ×···× p(An ).

 Conséquence :

 Exemple :

Si on lance n fois un dé, la probabilité d’obtenir n fois un nombre pair est égal à (0, 5)n .

DÉFINITION

Soit X  et Y  deux variables aléatoires définies sur le même univers. • X  et Y  sont dites indépendantes si pour tous les entiers i et j possibles, les événements (X  = xi) et (Y  = y j ) sont indépendants, c’est à dire si p ((X  = xi ) ∩ (Y  = y j )) = p(X  = xi ) × p(Y  = y j ). On lance deux dés : X  désigne la somme et Y  le produit des 2 nombres obtenus. 1 2 1 (un seul cas favorable : (1,1) et p(Y  = 3) = (deux cas favorables : (1,3) et (3,1) = p(X  = 2) = 36 36 18 1 1 1 Donc, p(X  = 2) × p(Y  = 3) = × = 36 18 648  Exemple :

Or, p ((X  = 2) ∩ (Y  = 3)) = 0 (événements incompatibles). Donc, les variables ne sont pas indépendantes. 10 10-1

Combinatoire

Tirage successif avec remise . p-liste

Une urne contient 3 jetons : un rouge noté R, un vert noté V et un bleu noté B. On tire un jeton, que l’on remet dans l’urne avant de tirer un deuxième jeton. Dans ce genre de tirage, on tient compte de l’ordre (il y a clairement un premier et un deuxième jeton) et un même jeton peut-être tiré plusieurs fois. 1er tirage

2ème tirage

R

V

B

V

R B

R

V

B

R V

B

Par rapport à l’ensemble des 3 jetons {R, V, B}, un résultat de ce tirage ( (V , R) par exemple) est appelé 2-liste. Il y a : 3 × 3 =(nb de choix possibles pour le 1er tirage) × (nb de choix possibles pour le 2ème tirage) = 9 tirages possibles. De façon plus générale : DÉFINITION

• Une p-liste d’éléments d’un ensemble fini E est une liste ordonnée de p éléments de E. • Elle est le résultat de p tirages successifs avec remise d’un élément de E. • Dans une p-liste, un élément de E peut apparaître plusieurs fois ou pas du tout. • Dans une p-liste, on tient compte de l’ordre : (V , R) et (R, V ) sont deux 2-listes différentes. PROPRIÉTÉ

Le nombre de p-listes d’un ensemble E de n éléments est égal à : n p  Exemple 1 :

Si on tire 5 fois de suite et avec remise une carte dans un jeu de 32 cartes, on a 32 5 tirages possibles.

 Exemple 2 :

Un code de carte bancaire comporte 4 chiffres. Le nombre de codes possibles est égal à 10 4 = 10000.

10-2

Tirage successif sans remise . Arrangement . Permutation

Notre urne contient toujours 3 jetons : un rouge noté R, un vert noté V et un bleu noté B. On tire un jeton puis un deuxième sans remettre le premier dans l’urne. Kit de survie - Bac S

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19

Dans ce genre de tirage, on tient compte de l’ordre (il y a clairement un premier et un deuxième jeton) et un même jeton ne peut pas être tiré plusieurs fois. 1er tirage

2ème tirage

V

B

V

R B

R

B

R

V

Par rapport à l’ensemble des 3 jetons {R, V, B}, un résultat de ce tirage ( (V , R) par exemple) est appelé arrangement  de 2 jetons. Il y a : 3 × 2 =(nb de choix possibles pour le 1er tirage) × (nb de choix possibles pour le 2ème tirage) = 6 tirages possibles. De façon plus générale : DÉFINITION

• Un arrangement de p éléments d’un ensemble fini E est une p-liste d’éléments de E deux à deux distincts . • Il est le résultat de p tirages successifs sans remise d’un élément de E. • Dans un arrangement, un élément de E ne peut apparaître au plus qu’une seule fois. • Dans un arrangement, on tient compte de l’ordre : (V , R) et (R, V ) sont deux arrangements différents. • Dans un ensemble comportant n éléments, il ne peut y avoir d’arrangements de p éléments que si p  n. (on ne peut pas faire

plus de n tirages successifs sans remise). PROPRIÉTÉ

Le nombre d’arrangements de p éléments d’un ensemble E comportant n éléments est égal à : n! p An = n × (n − 1) ×···× (n − p + 1) = (n − p)!  Rappel :

pour tout entier n  1, n! = n × (n − 1) ×··· 2 × 1 et par convention, convention, 0! = 1.

Si on tire 5 fois de suite et sans remise une carte dans un jeu de 32 cartes, on a 5 = 32 × 31 × 30 × 29 × 28 = 32! tirages possibles. A32 27!  Exemple 1 :

Dans une course comportant 15 chevaux (on suppose qu’il n’y a pas d’ex-æquo), le nombre de tiercés dans l’ordre que l’on peut former est égal à 3 = 15 × 14 × 13 = 15! . A15 12!  Exemple 2 :

 Remarque : Dans un ensemble E de n éléments, une permutation est un arrangement de n éléments de E (c’est à dire une liste

ordonnée de n éléments de E deux à deux distincts). Le nombre de permutations de E est égal à : n!. 10-3

Tirage simultané . Combinaison

Reprenons une derniére fois notre urne avec ces 3 jetons : un rouge noté R, un vert noté V et un bleu noté B. On tire cette-fois ci 2 jetons simultanément. Il n’y a plus d’ordre. Ce qui compte, c’est de savoir que, par exemple, on a un jeton rouge et un jeton vert. Par rapport au tirage précédent sans remise, (V , R) et (R, V ) représente le même résultat. Il ne reste donc plus que 3 tirages possibles : avoir un jeton rouge et un jeton vert, avoir un jeton rouge et un jeton bleu et avoir un jeton vert et un jeton bleu. Par rapport à l’ensemble E des 3 jetons {R, V, B}, les résultats de ce tirage simultané sont appelés combinaisons de 2 jetons. Ils correspondent aux parties à 2 éléments de E. De façon plus générale : DÉFINITION

• Une combinaison de p éléments d’un ensemble fini E est une partie de E comportant p éléments. L’ordre des éléments n’a aucune importance. • Elle est le résultat du tirage simultané de p éléments de E. • Dans une combinaison, un élément de E ne peut apparaître au plus qu’une seule fois. • Dans un ensemble comportant n éléments, il ne peut y avoir de combinaisons de p éléments que si p  n. (on ne peut pas tirer

simultanément plus de n éléments de E). PROPRIÉTÉ

Le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble E comportant n éléments est égal à : n! n p = p!(n − p)!

 20

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 32 5

32! tirages possibles. 5! · 27!

 Exemple 1 :

Si on tire simultanément 5 cartes dans un jeu de 32 cartes, on a

 Exemple 2 :

Combien de comité de 3 membres peut-on élire parmi une assemblée de 20 personnes ? 20! = 3! · 17!

Réponse : 10-4

 20 3

=

Propriétés des combinaisons - Formule du binôme

PROPRIÉTÉ

Pour tout entier naturel n : n (n1 ) = n ; (nn ) = 1 0 =1 ; Pour p entier tel que 0  p  n, Pour p entier tel que 1  p  n,



• Conséquence : p=0 n=0 1

p=1

+

n=1

1

n=2

1

2

n=3

1

3

n=4 1

4

p=2

       n n p n 1 p 1

− − −

p=3

=

n p

+

n p

−1

=

n p

p=4

1

Calcul des combinaisons combinaisons de proche en proche par le triangle de Pascal

1

+

3

1

6 

4

1

PROPRIÉTÉ

Formule du binôme : Pour tous complexes a et b et pour tout entier n  1,



(a + b)n = n0 an + (n1 ) an−1 b +

··· +

 n p

an− p b p +

n



Avec la notation somme : (a + b)n = ∑

p=0

 Exemple :

n p

··· +

an− p b p

  n n

−1

a bn−1 + (nn ) bn .

(2 + x)4 = 1 24 + 4 23 x1 + 6 22 x2 + 4 21 x3 + 1 x4 = 16 + 32x + 24x2 + 4x3 + x4 .

·

· ·

· ·

· ·

·

 Conséquence :

Le nombre total de parties d’un ensemble de n éléments est égal à 2 n . En effet, ce nombre est égal à la somme : nombre des parties à 0 élément + nombre des parties à 1 élément + · · · + nombre de parties à n éléments = n0 + (n1 ) + · · · + (nn ) = ( 1 + 1)n = 2n



11 11-1

Lois de probabilités

Loi binomiale

DÉFINITION

• On appelle épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire ne présentant que deux issues possibles (contraires l’une de l’autre). • On appelle schéma de Bernoulli toute répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.  Exemples :

• Lancer une pièce avec pour issues contraires «pile» et «face» est une épreuve de Bernoulli. Lancer notre pièce 10 fois est un de Bernoulli (on répète l’épreuve de Bernoulli) . • Jouer au Loto en s’intéressant aux événements contraires «avoir les 6 bons numéros» et «ne pas avoir les 6 bons numéros» est

schéma

une épreuve de Bernoulli. Par contre, si on s’intéresse aux quatres événements «avoir n bons numéros» (3  n  6), ce n’est plus une épreuve de Bernoulli. Kit de survie - Bac S

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21

 Remarques :

• Les deux issues contraires d’une épreuve de Bernoulli se note en général S (pour «succès») et S (ou E  pour «échec»). La probabilité que S soit réalisé est noté en général p (la probabilité de S est alors (1 − p), qui est aussi quelquefois notée q). • Pour s’assurer que l’on a bien affaire à un schéma de Bernoulli, il faut vérifier que chaque expérience prise isolément n’admet que deux issues possibles (contraires l’une de l’autre), que le «succès» a toujours la même probabilité d’apparaître et qu’il y a bien indépendance entre chacune des épreuves de Bernoulli successives. - PROPRIÉTÉS Etant donné une épreuve de Bernoulli où la probabilité d’obtenir un succès S est p et le schéma de Bernoulli consistant à répèter n fois de manière indépendante cette épreuve. Si note X  la variable aléatoire qui à chaque issue possible du schéma de Bernoulli associe le nombre de fois où est apparu un succès S, la loi de probabilité de X  est appelée loi binomiale de paramètres n et p et est notée B (n, p).

DÉFINITION

p

S

1−p

S

p

S

1−p

S

S p

1−p

S

n épreuves



• Probabilité d’obtenir k  succès : p(X  = k ) = p (1 − p) − (k  entier tel que : 0  k   n) • Espérance de X  : E (X ) = np • Variance et écart-type de X  : V (X ) = np (1 − p) ; σ(X ) = np (1 − p) n k 

k 

n k 

 

On lance un dé normal 10 fois de suite et on s’intéresse au nombre X  de fois où l’on a obtenu le chiffre 6. Cela correspond à un schéma de Bernoulli consistant à répéter 10 fois l’épreuve de Bernoulli où S est l’événement «obtenir un 6» et dont la probabilité est p = 16 . X  représente en fait le nombre de fois où est apparu un «succès». La loi de probabilité de X  est donc une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 16 . 1 8 5 2 La probabilité d’obtenir 8 fois le chiffre 6 est donc : p(X  = 8) = 10 8 6 6 1 5 L’espérance de X  (nombre moyen de fois où on obtient le chiffre 6) est : E (X ) = 10 × = 6 3  Exemple 1 :

    

11-2

Exemples de lois de probabilités continues

DÉFINITION

Etant donné f  une fonction définie, continue et positive sur un intervalle I  telle que :

Z  b

• si I  = [a, b] alors

x

alors f (t ) dt  = 1 et si I  = [a, +∞[ alors

a

Z 

Z 

x

lim +∞ →

f (t ) dt  = 1

a

On dit qu’une variable aléatoire X  suit la loi de probabilité continue de densité f  sur I  si pour tous réels x et y de I  : y

• p(x  X   y) =

Z  x

• p(X   x) =

f (t ) dt .

x

f (t ) dt  .

a

• p(X   x) = 1 −

Z  x

f (t ) dt .

a

(on a les mêmes résultats avec des inégalités strictes)  Remarque :

22

la probabilité p(X   x) représente «l’aire sous la courbe» de t  → f (t ) pour t  ∈ [a, x] . c P.Brachet - www.xm1math.net 

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DÉFINITION

• Si la densité f  est définie sur I  = [0, 1] par f (t ) = 1, la loi de probabilité est dite loi uniforme sur [0, 1]. • Si la densité f  est définie sur I  = [0, +∞[ par f (t ) = λe−λ (λ > 0), la loi de probabilité est dite loi exponentielle de paramètre t 

λ sur [0, +∞[.

 Remarque :

On a bien

Z 1 0

Z  x

1 · dt  = 1 et lim lim x

→+∞

λe−λt  dt  = 1.

0

 Exemple 1 :

Une variable aléatoire X  suit la loi uniforme sur [0, 1]. On a alors : 0,3 1 dt  = [t ]00,,31 = 0, 3 − 0, 1 = 0, 2 p(0, 1  X   0, 3) =

Z 

Z 0 5 0 1 1 dt  = 0, 5 p(X  < 0, 5) = 0 Z  06 1 dt  = 1 − 0, 6 = 0, 4 p(X  0, 6) = 1 − Z 0 4 0 ,

,

,



,

p(X  = 0, 4) =

0,4

1 dt  = 0

 Exemple 2 :

La durée de vie X  (en heures) d’un composant électronique suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0, 0006 sur [0, +∞[.

Z 1000

a) La probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie inférieure à 1000 heures est donnée par : p(X  < 1000) =

0

0, 0006e−0,0006t  dt  =

Z 500

−

1000



e−0,0006t 

0

=1

− e−0,6.

b) La probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 500 heures est donnée par : p(X  > 500) = 1

−

12

0

0, 0006e−0,0006t  dt  = 1 −

−

500



e−0,0006t 

0

= e−0,3 .

Statistique Statistique : adéquatio adéquation n de données à une loi équirépartie équirépartie

PROPRIÉTÉ

Soit une épreuve conduisant aux issues a1 , a2 , · · · ,aq . a a a On note N  = a1 + a2 + · · · + aq et f 1 = 1 , f 2 = 2 , · · · , f q = q , les fréquences correspondantes aux différentes issues. N 

On considère alors le nombre

d 2

=

2

N 

− − f 1

1

q

+

f 2

1

q

2

N 

+

··· +

− f q

1

q

2

.

1 ( f i représente la probabilité de l’issue ai et représente ce que serait cette même probabilité si l’expérience était conforme au q modèle de la loi uniforme) Expérimentalement, si on répète n fois cette épreuve (n  100), on obtient obtient une série statistique statistique formée par les n valeurs de d 2 obtenues. En notant D9 le neuvième décile de cette série, on a la propriété suivante : • Si d 2  D9, alors on dit que les données sont compatibles avec le modèle de la loi uniforme avec un risque d’erreur inférieur à 10%. • Si d 2 > D9, alors on dit que les données ne sont pas compatibles avec le modèle de la loi uniforme avec un risque d’erreur inférieur à 10%. (Rappel : On appelle neuvième décile d’une série statistique, le nombre noté D 9 tel que 90% des valeurs de la série statistique soient inférieures ou égales à D 9 )

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23

 Exemple :

Un sac contient plusieurs milliers de pièces de monnaie de 3 types : des pièces de 10 centimes, des pièces de 20 centimes et des pièces de 50 centimes. On effectue, au hasard, 400 prélèvements d’une pièce avec remise et on obtient les résultats suivants : Pièc Piècee

10 cent centim imes es

20 cent centim imes es

50 cent centim imes es

Effectifs

146

118

136

1) La valeur de d 2 associée à cette expérience est : 146 1 2 118 1 2 136 1 2 2 − + 400 − 3 + 400 − 3 ≈ 0, 0025 d  = 400 3



 

 



2) Pour savoir si on peut considérer que le sac contient autant de pièces de chaque type avec un risque d’erreur inférieur à 10%, on procéde à 1000 simulations sur ordinateur de l’opération consistant au tirage avec remise de 400 pièces. A chaque simulation on calcule la valeur de d 2 et on obtient la répartition suivante : Valeur de 400 d 2

[0;0 0; 0, 5[

[0, 5;1 5; 1[

[1;1 1; 1, 5[

[1, 5;2 5; 2[

[2;2 2; 2, 5[

[2, 5; 3[

Effectifs

539

235

122

51

41

12

Cherchons une valeur approchée à 0,5 près par défaut du neuvième décile de la série des 400 d 2 : 539 + 235 + 122 représente moins de 90% de l’effectif alors que 539 + 235 + 122 + 51 représente plus de 90% de l’effectif. Le neuvième décile est donc dans l’intervalle [1, 5;2 5; 2[. Une valeur approchée à 0,5 près par défaut est donc 1 , 5. On en déduit qu’une valeur approchée du neuvième décile de la série des d 2 est D9 =

1, 5 = 0, 00375. 400

Comme d 2  D9 , on peut considérer que les données sont compatibles avec le modèle de la loi uniforme avec un risque d’erreur inférieur à 10% c’est à dire que le sac contient autant de pièces de chaque type avec un risque d’erreur inférieur à 10% .

24

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