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División Sintética y Regla de Ruffini Página 1 de 5

División Sintética y Regla de Ruffini Página 2 de 5

DIVISION SITETICA. por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el La división sintética se realiza para simplificar la signo negativo, también se puede lograr una forma división de un polinomio entre otro polinomio de la más compacta al mover los números hacia arriba, forma x – c, logrando una manera más compacta y nos queda de la siguiente forma÷ sencilla de realizar la división. Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo÷ Comenzamos dividiéndolo normalmente Si ahora insertamos a la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.

7) Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso. Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado sultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentes. Para generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo. Para el uso de este método puede ser positivo o negativo. METODO DE RUFFINI

Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos . al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda÷

Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así÷

Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c,

Esta última forma se llama división sintética, pero ¿cómo hacerla sin tanto paso?, ahora les presentamos los pasos para llevar a cavo la división sintética÷ 1. Se ordenan los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta 2. Después escribimos “c” en la parte derecha del renglón 3. Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón. 4. Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener el primer número del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada). 5. Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo número del tercer renglón. 6. Con este último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo. Ejemplos÷

Donde -108 es el residuo

Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini Ruffini.

Volvemos a repetir.

8) El último número obtenido obtenido, 56 , es el resto. 9) El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido. x3 + 3 x2 + 6x +18

Resolver por la regla de Ruffini la división división÷

(x4 −3x2 +2) ÷ (x −3) 1) Si el polinomio no es completo, lo co completamos añadiendo los términos que faltan con ceros. 2) Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea. 3) Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor. 4) Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5) Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

6) Sumamos los dos coeficientes.

EJERCICIOS PROPUESTOS: PROPUESTOS

1. (x3 + 2x +70) ÷ (x+4) 2. (2x4+ 6x3+3x2-x+6) ÷(x+ 3) 3. (3-3x3+6x4 ) ÷ ( x-2) 2) 4. (2x5+20 )÷ ( x+2) 5. (2x4- 5x3-2x2+x-4) ÷ ( x-3) 6. (8 x5 +3 x4 -2 x3 +4x--6) ÷( x+1) 7. (5x4 + x 2 - 2x – 4) ÷ (x - 2) 8. (3x2-2x+1) ÷ (x-2) 9. (5x3+3x2+x-2) ÷ (x+3) 10. (x4-7x3+6x2-2x+1) ÷ (x+1) 11. (x4-6x2+3) ÷ (x+5) 12. (x6-1) ÷ (x+1) 13. (x3-3x2+2) ÷ (x+3) 14. (x4-6x3+3x2-1) ÷ (x+2) 15. (3x3-x+5) ÷ (x-2) 16. (6x4-3x2+9) ÷(x-9)

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TEORIA DEL RESIDUO El residuo de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

P(x) ÷ Q(x) P(x)= x4 − 3x2 +2

P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

4

3

2

2. (2x − 2x + 3x + 5x +10 ) ÷ (x + 2) R (−2) = 2 · (−2)4 − 2 · (−2)3 + 3 · (−2)2 + 5· (−2) + 10 = = 32 + 16 + 12 − 10 + 10 = 60 Indica cuáles de estas divisiones son exactas: 1. (x3 − 5x − 1) ÷ (x − 3) P (3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0 No es exacta. 2. (x6 − 1) ÷ (x + 1) P (−1) = (−1)6 − 1 = 0 Exacta 3. (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) ÷ (x − 1) P (1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1=0 Exacta 4. (x10 − 1024) ÷ (x + 2) P (−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0 Exacta Realiza:

sólo es divisible por 1.

2

Calculo el resto de la división por el teorema del resto

Halla el resto de las siguientes divisiones: 1. (x5 − 2x2 − 3) ÷ (x −1) R (1) = 15 − 2 · 12 − 3 = −4

5. Un polinomio primo es aquel que...

(x + 2) es un factor. Calculo las raíces del polinomio:

Q(x)= x − 3

Ejercicios

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TEOREMA DEL FACTOR El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(x = a) = 0. Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x). Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio.

Q(x) = x − x − 6 Los divisores del término independiente son ±1, ±2, ±3. Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0 Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0 Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0 Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 +2 +6 = 0 Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0 x = −2 y x = 3 son las raíces o ceros del polinomio: P(x) = x2 − x − 6, porque P(−2) = 0 y P(3) = 0. P(x) = (x + 2) · (x − 3)

1. Si x = 5 es raíz del polinomio P(x) entonces...

Ejercicio

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican: 1. (x3 − 5x − 1) tiene por factor (x − 3) (x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0. P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0 (x − 3) no es un factor.

P(5) = 0

6

2. (x − 1) tiene por factor (x + 1) (x6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0. P(−1) = (−1)6 − 1 = 0 (x + 1) es un factor. 3. (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1) (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) es divisible por (x − 1 ) si y sólo si P(x = 1) = 0. P(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1=0 (x − 1) es un factor. 4. (x10 − 1024) tiene por factor (x + 2) (x10 − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = − 2) = 0. P(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0

no puede descomponerse en factores. 6. El grado del polinomio que tiene por factorización (x − 4) (x − 5)2 (x2 + 1) es... 5 4 3 7. De los siguientes polinomios aquel que tiene por raíces −4, 4 y −5 es...

Elige la opción correcta y explícala:

P(x) es divisible por (x + 5)

sólo puede descomponerse en un factor de la forma (x − a).

(x2 − 4)(x − 5) 7(x2 − 4)(x + 5) 10(x2 − 16)(x + 5)

Las dos respuestas anteriores son correctas. 2. Hallar las raíces de un polinomio consiste en...

Escoge la opción correcta: 8. A(x) = x2 − 3x + 2 tiene...

hacer la raíz cuadrada de dicho polinomio.

una raíz doble x1 = 1 y otra simple x2 = 2

buscar los números x = a tales que P(a) = 1

dos raíces simples x1 = 3 y x2 = 2

buscar los números x = a tales que P(x) es divisible por (x − a) 5

siempre tiene alguna raíz. todas sus raíces serán divisores de k. todas sus raíces son divisores de c. 4. Dado un polinomio del tipo P(x) = ax3+ bx2 + cx, podemos afirmar que...

todas sus raíces son divisores de c. todas sus raíces son divisores de a.

9. P(x) = 2x3 − 2x2 − 10x − 6 tiene...

3

3. Dado un polinomio del tipo P(x) = x + kx − 2x + c, podemos afirmar que...

una de sus raíces es x = 0.

dos raíces simples x1 = 1 y x2 = 2

una raíz doble x1 = −1 y otra simple x2 = 3 una raíz simple x1 = −1 y otra doble x2 = 3 una raíz doble x1 = 1 y otra simple x2 = 3 10. Un ejemplo de polinomio que admite el cero como factor es... (x + 3) (x − 2) (x + 4) x (x − 2)(x3 - 1) 2x3 − 3x + 5