Division Algebraica

 

DIVISIÓN ALGEBRAICA Definición.-  Es la oper Definición.-  operación ación algebraica algebraica que tiene por finalidad una expresión llamada cociente y como consecuencia el resto.

 x

4



4 x 2  8 x   4

 x

Notación D  Dividendo d  divisor   Q, q R, r  Cociente  Residuo

2



x   1

Solución:

Completando el dividendo, el esquema sería: 4 3 2   x +ox  +4x  +8  + 8x-4 4

D iv id e n d o

D

 

D iv is o r

d

C o c ie n te

R   q

Propiedades de la División Algebraica En toda división de polinomios el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor . o

o

  D    d 

o

En toda división de polinomios el grado del resto es igual al grado del divisor menos uno.

 R

o

2

X -x+4

o

2. Método de Coeficientes Separados El procedimiento es análogo al anterior, con la única diferencia que para este método trabajaremos trabajaremos con los coeficientes coeficientes del dividendo y divisor. 3. Metodo de Horner: 1.El pol polino inomio mio div divide idendo ndo y div diviso isorr deb deben en est estar ar com comple pletos tos y ordenados en forma decreciente

o

  d    1

Observación: Siempre el  D    d 

2.Se trabaja solamente solamente con los coeficientes coeficientes del divide dividendo ndo y divisor 

o

Para la división algebraica hay que tener presente: 1. Conociendo el grado de cualquier polinomio con una variable, se le puede dar la forma del mismo, es decir: Grado 1 2 3 . . .

2

-  /x -- x - x   2 +8x x 3  +3x 3   x  + x2  + x   / 4x 2 +9x-4   -4x  2 -4x-4   / 5x-8 2  q(x) = x -x+4   R(x) = 5x-8

R e s to

 q

3

2 x +x+1

Forma ax+b 2 ax +bx+c 3 2 ax +bx  +cx+d . . .

3.Los coeficientes del dividendo se escriben en línea horizontal con su propio signo 4.Los coeficientes coeficientes del diviso divisor, r, se escriben en línea vertical a la izquierda izquie rda del prime primerr coefi coeficiente ciente del divid dividendo, endo, teniendo en cuenta cue nta que el pri primer mer coeficien coeficiente te del divisor divisor no cam cambia bia de signo   cam signo cambiá biándo ndosele sele de sig signo no a los coe coefici ficient entes es que continúan. 5.Se comienza a dividir el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor, de esta manera se obtiene el primer coeficiente del cociente.

2. Para la solución de problemas hay que tener presente el algoritmo de la división: D = dq + R Para Pa ra la di divis visió ión n de po polin linom omio ios s se ut utili ilizan zan lo los s sig sigui uien ente tes s

6.Este coeficiente multiplica a los coeficientes del divisor a partir  del segundo, y el resultado se escribe dejando una columna en línea horizontal

métodos:

7.Se suma o se resta la segunda columna y se divide entre el primer pri mer coeficien coeficiente te del divisor divisor y así se obt obtien iene e el seg segund undo o coeficiente del cociente

1. Método Clásico a)Los polinomios dividendo y divisor deben ser dos polinomios completos y ordenados en forma descendente. b)El po poli lino nomi mio o di divi vide dend ndo o y di divi viso sorr se co colo loca can n en lí líne nea a horizontal, horiz ontal, con las líneas de separ separación ación respectivas. respectivas. (ver  esquema en el ejemplo) c)Se comienza a dividir el primer término del dividendo entre el primer pri mer tér términ mino o del div divide idendo ndo ent entre re el pri primer mer tér términ mino o del divisor y así se obtiene el primer término del cociente. d) El primer primer término del cociente se multiplica por cada cada uno de los términos del divisor y cada producto producto se coloca debajo debajo de cada término semejante con signo cambiado. e) Se divide el primer término del resto obtenido obtenido entre el primer  término del divisor y así se obtiene un segundo término del cociente. f)Se f)S e pro proced cede e com como o el pas paso o núm número ero 4 y así se con contin tinua ua la oper op erac ació ión n ha hast sta a qu que e se lle llegu gue e a la úl últi tima ma co colu lumn mna a de dell dividendo.   Ejemplo: Hallar el cociente y el resto de:

8.Se procede como el paso numero “6” y asi sucesivamente hasta que el ultimo producto coincida con el ultimo coeficiente del dividendo. Método de Ruffini La regla de Ruffini es una consecuencia del método de Horner, por lotanto, presenta el mismo procedimiento. Este método es limitado debido a que solamente se emplea para divisores de grado gra do uno uno,, per pero o es muy útil par para a un método método imp import ortant ante e de factorización. La regla de Ruffini presenta tres casos: c asos: PRIMER CASO:

Cuando el divisor es de la forma x+b. Ejemplo: Hallar el cociente y el resto de: 5 x 4  x 3  7x 2  9

 x   1

 

Solución: Comple Com pletan tando do el div divide idendo ndo e iguala igualando ndo el divisor divisor a cer cero, o, el esquema sería: divisor = 0 x+1 =0 x = -1 5 -1 7 0 -9 -1 -5 6 -13 13 5 -6 13 -13 4 2 3 q(x)= 5x -6x  +13x-13 R(x)= 4

3. Se reemplaza el valor de “x” en el polinomio o dividendo, y el valor numérico obtenido viene a ser el residuo de la división.   b   Dividendo P ( x )  P     R  Residuo  a

1. Si al div divid idir ir 5x3 + 6x4 – 1 entre x + 3x 2 – 2 se obtiene un resto de la forma mx + n. Calcular m - n

SEGUNDO CASO 

a) –4

Cuando el divisor sea de la forma ax+b. Ejemplo: Hallar el cociente y el resto de:

b) –1

c) 0

d) 5

e) 4

2. sea sea Q( Q(x) x) = ax2 + bx + c el cociente de la división de 2x4 + 3 3x  – 8x2 + 1 – 4x entre x 2 – (x + 1). 1). Calcular (a - b + c)

6 x 4  25 x 3  17 x 2  24 x   12 12 2 x   5

a) –3

b) –4

c) 1

d) 2

e) 3

Solución: -5 2 2

6

25 -15 10 5

6 3

17 -25 -8 -4

-24 20 -4 -2

-12 10 -2

3 q(x)= 3x -5x  2 – 4x-2 R(x)= -2

TERCER CASO 

Cuando el divisor sea de la forma ax n +b, para aplicar este caso los exponentes del dividendo respecto a la variable tienen que

3. En el esqu esquema ema de Horn Horner er mo mostrad strado, o, det determin erminar ar el val valor or de (m + n+p) – (a + b +c) l 3 a 1 b c m 9 d 2 e f  g h n -2 p 4 -3 a) 20

b) 18

c) 15

d) 5

e) -3

4. Hallar Hallar m + n sa sabie biendo ndo q que ue la di divis visión ión::

ser múltiplos del exponente del divisor  Ejemplo: Hallar el cociente y el resto de:

3 x5



mx 3



nx 2  x  2

x2  3 da un residuo de 5x - 10

6 x

40

 31x

30

 47 x

20

10

 56x   57 a) 11

10

2 x   7 Solución: Para Pa ra es este te ca caso so,, lo pr prim imer ero o qu que e se ha hace ce es un ca camb mbio io de variable y luego se aplica el primer caso o segundo caso. Haciendo que x 10 = y, la división sería:

6y

4



31y

3



47y

2



56 y



5  7

47 -35 12 6

-56 42 -14 -7

57 -49 8

 Al formar el cociente y el resto se reemplaza “y” por x  10 y se obtiene: q(x)= 3x 30-5x 20+6x 10-7 R(x)= 8

2x119

d) 7

e) 4



1

2

x  x 1 b) 4 – 2x e) 3 - x

c) 3 – 2x

6. Al efectu efectuar ar la div divisió isión: n: 5 8 x  14 x 4  5 x 3  16 x 2  3x  2

4x2  x  3 se obtiene su residuo: (5m + 4n)x 4n)x + (m + 2n) m

Encontrar el valor de m n a) 2 b) ½ c) 4

d) –1/4

e) 1/4

7. Ha Halla llarr el rres esid iduo uo e en: n:

3  ( x  3)

3n  3

; es: x 3  26  27 x  9 x 2 b) 2 c) 4 d) 5

TEOREMA DEL RESTO O DE DESCARTES a) 3 Tie iene ne co como mo fi fina nalid lidad ad ha hall llar ar el re resid siduo uo de un una a división, sin efectuar la operación. Hay que tener en cuenta que el divisor para esta parte es generalmente de la forma ax+b.

c) 1

5. Hallar Hallar el rrest esto o al div dividir idir::

a) x – 3 d) 2x – 3

2y   7  Aplicando el segundo caso: 7 6 -31 2 21 6 -10 2 3 -5

b) 5

e) 6

Finalidad : 

8. Ha Halla llarr el el rres esto to en en::

xx

199

1

x 1 5

Procedimiento:

x 1

1. Se iguala el divisor a cero. div=0 ax+b=0 2. Se despeja la variable “x”. ax+b=-b b  x  

a

a) x2(x - 1) d) –x2(x + 1)

b) x3(x - 1) e) x4(x + 1)

c) x(x - 1)

9. Halla Hallarr el v valor alor de a + b + +c c si el resto de la divisió división n ind indicada icada siguiente: ax 5



bx 4

2x

3





x

cx3 2





5x  3

x 2

  es 7x2 + 8x – 3

 

a) 21

b) 20

c) 30

d) 40

e) 50

10. Calcular “n” si el re residuo siduo de la d división: ivisión: n n ( x  3) ( x  1)  nx ( x  1) ( x  5)  1 2 ( x  2)

da un cociente que evaluado en x = 2 es 39; además { a;b}  Z+ a) 6

b) 4

c) 5

7 7 ( x  1)  ( x  2)  1

x 2  3x  2

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

11. En la la división división siguie siguiente: nte:

2x5  3 x 4  bx3  6bx 2  x  a x2  x  b

b) 9

c) 7

a) x – 1 d) 0

b) x – 2 e) -1

c) 1

20. Al efectu efectuar ar la división división::

(x

Se sabe que el resto es: 2x + 3; además la suma de coeficientes del cociente es mayor que 15. calcular a.b a) 4

e) -6

19. Calcular el re residuo siduo de la división siguiente:

es 2(1 – 18x); n es par. a) 5

d) 1

d) 2

e) 8

2

5

3

 1)   ( x  1)  3x

x3  x2  x  1 Se obtuvo un resto R(x) R ( 1) Según ello, hallar el valor de R ( 1)

12. Hallar el valor de “a” si al dividir a) 5/7

b) 7/5

c) 8/7

d) 7/8

e) 1/7

xa+17 + xa + 16 + xa+15 + ...+ x 3 + x2 + x + 1 Entre x – 1, se observa que la suma de los coeficientes del cociente es igual a 90 veces su re resto. sto. a) 13

b) 155

c) 160

d) 163

e) 165 a) x + 5 d) 2x – 1

13. Del esquema esquema de Paolo Ruffini Ruffini..  

-1

 A 1 e

B 1 d

C 3 c

D 5 b

E 7 a

F 9 0

Determina Determ inarr la sum sumato atoria ria de coe coefici ficient entes es del pol polino inomio mio dividiendo: a) 100 b) –50 c) 50 d) –25 e) 0 14. Si P(x)= P(x)= a ax x4 + bx3 + cx2 + 3x + 1 se divide entre x2 – x + 1 se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es 22 y un  - 1 1.. Hallar a + c resto R(x) = 10x 10x a) 77

b) 78

21. Al dividir un polinom polinomio io P(x) entre el prod producto ucto de ((x x + 1) (x+ 3) (x - 2) , el resto obtenido es x2 – 5x + 1 Encontrar el resto que se obtiene al dividir P (x) entre x2 – x – 2

c) 79

d) 80

e) 57

b) –2 x + 3 e) –4 x

22. En la s siguien iguiente te divisió división: n: 12

3x

b) 12x + 3 e) –3x + 10

c) –20x + 11

16. Si se sabe sabe que en la di división visión de: F(x) = axn + (3a - b)x n-1 + (5a – 3b)xn-2 + (7a - 5b)xn-3 +...(n+1)  

Términos  entre ax Términos  ax – b es residuo residuo es 11a, (a  b) Hallar el valor de “n” a) 5

b) 6

c) 4

d) 3

a) a = 1; b = 5 d) a = 3; b = 6

b) a = 3; b = 5 e) a = 2; b = 6

ax 4  bx 3  cx 2  x  3 3x 2  x  1

4

b) –4

c) –1

d) –6

e) 6

4

b) |b| = 2 e) ab > 0

c) |a| - |b| = 13

24. Halla Hallarr el resto de la división división:: 35 28 17 ( x  1)  7 ( x  1)  3 ( x  1)  3

x 2  2x  2 b) 2x – 12 c) 2x + 5 e) 2x + 7

25. Sabie Sabiendo ndo que al dividir el polin polinomio omio P(x) entr entre e x 2 – (1 + 2 b)x + b y x  – b(b + 2)x + 2b se s e obtuvo por restos 7x – 4 y 5x  – 8 respectivamente. Calcular la suma de coeficientes del resto de dividir P(x) e entre ntre x3 – (b + 3)x 2 + (3b +2)x – 2b a) 3

18. Calcular Calcular b – a si la divisió división: n: 5

a) c – a = 9 d) |b - c| > 9

2

x2  x  1 de modo que su resto sea idéntico a 3x + 4. a) 4

se obtuvo como residuo 2x + 1 Según ello, determinar la relación relación cor correcta recta si el producto de los coeficientes coeficientes del cociente es 8.

a) 2x d) 2x + 12

x  px  q

c) a = 3; b = 3

23. Al efectu efectuar ar la división división::

e) 7

17. Que valor valor toma p. p.q q en:

 5x10  3x 3  3x 2  5x  5 ax 2  b

Determinar el valor en entero tero y positivo de a y b para que dicha división sea exacta siendo a < 4.

15. Al dividir F(x) F(x) entre (4x2 - 9)(x + 3) se obtuvo como residuo 2(x - 3)2. hallar el residuo de d dividir ividir F( F(x) x) entre 2x2 + 9x + 9 a) –21x + 9 d) 2x + 1

c) –4x + 3

3

2

ax  2 ( 3  a ) x  ( 1212  a) x  ( 6  b ) x  b ( 2x  1) x  2x  1

b) 1

c) 4

d) 2

e) 0

26. Si a all divid dividir: ir:

abx 5



b2 x 4  bcx 3  abx  a ac cx 2  c 2 ax 2  bx  c

 

se obtiene un resto acx. Calcular:

a) 0

b) –1

35. Halla Hallarr el resto en:

b ( a  c)

1  x  x  x  ...  x 2

ac

c) –2

d) –3

e) 1

x3 b) 76x + 2 e) 3x - 1

28. El cociente de dividir un polinomio polinomio de tercer grad grado o entre (2x 2 - 1) es (x  + 2x - 3) 3) y el rresiduo esiduo al divi dividir dir di dicho cho polino polinomio mio entre 2x + 1 es 1. hallar el re resto sto obtenido al dividir el mismo polinomio entre 2 2x x – 1.

)

(

)

abcx 3  a2c  b2a  c 2b x 2  a2b  b2c  c 2a x  abc

� a �� c � �x  ��x  � � b �� a � exacta si abc 0 deter determinar minar el valor de x, que anule al cociente de la misma. c a b b a) b) c) 1 d) e) b b a c 30. Dar la suma de co coeficientes eficientes del co cociente ciente de la división indicada.

x 6 -14x 4



29 x 2



36

b) 12

c) 18

)

(

(

)

24 x2

c) 3

d) 4

c) 33

d) 36

e) 7

33. Determinar la suma de coeficientes del cociente q que ue se obtiene al dividir: 4x 80  2x 79  x  b

x 1 b) 162 e) 161

c) 163

34. Hallar el valor numérico del polinomio:

(

)

P( x )  x 4  3 3 5. 3 x 2  5  3 5  2 3 x  3 25  4

a) –1 + d) 7

3

5

3



7 x 4  3x3  5x  1

x3  3x 2  4x  k Se obtiene un residuo de primer grado. Hallar el residuo. a) 14x + 1 d) 14x - 2

b) 14x + 3 e) 14x + 2

c) 3 x + 14

)

(

)

( ax  1) ( bbxx  1) a) an/2 + bn/2

b) an-1 + bn-1

n 1 2

n 1 2

5 3

b) 0 e) 2 3 25 25  7



b

n 1 2

e)

a

b

c) a + b

n 1 2

40. Al dividi dividirr P(x) ent entre re (x2 + x + 1) se obtuvo por residuo (x + 1) y al dividir P(x) entre (x2 – x + 1) el resto es (x - 1). Calcular el resto de di dividir vidir P(x) + (x4 + x2 + 1)

2x2  x  4 Deja como residuo 3x - 5 Según esa información, hallar el valor de a + b.

cuando x toma e ell valor de

2x5

e) 5

ax 4  bx3  16x  2 25 5

a) 165 d) 164

38. Al efectu efectuar ar la divisió división n siguie siguiente: nte:

d) a

32. Si la divisió división: n:

b) 11

37. Si el pol polinomio inomio 2 2x x5 + x4 + ax2 + bx + c es divisible por x 4 –1, ab hallar ab a) 3/2 b) –3/2 c) 2/3 d) –2/3 e) -1

e) 6

x  2 1

a) 2

c) VFFF

tal que ab  0

)

b) 2

b) FVFV e) FFFF

(

d) 24

2  1 x4  2 2  2 x3 

a) 1

Su res to es pol polino inomio mio const constant ante e Su resto re rest sto oe es s xun +2 La div divisió isión n es exa exacta cta Su resto resto es x - 2

ab an  bn xn 2  ab anb 1  bna 1 xn 1  abx 2  1

31. Hallar el resto resto en la división división::

(

c) 0

39. Averiguar el coeficiente de aquel único termino central que ofrece en su desarrollo la división de:

( x  1) ( x  2 ) ( x  3 ) a) 13

I. II. II. III. III. IV IV..

a) VVFF d) FVVV

c) 4,5

29. Dada la divisió división: n:

(

b) (4n – 1 )x + n e) x2  - x + 1

x2  1 Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

c) 7x + 6

b) –1,5 e) 5

a) (10 - n)x + 4 d) 2x + 4n

36. Al efe efectuar ctuar la divi división sión siguie siguiente: nte: 19 16 12 x  x  2x  7 x 5  9 x  1

( x  1) ( x  2)

a) –6,5 d) 4

4n 1

( 1  x ) ( 1  x 2 )

27. Hallar el resto en la divisió división: n:

a) 7x + 5 d) 6x – 1

3

c) 2 3 25

b) x3  e) x3 - 1

a) x + 1 d) x3 + x

c) x3 - x

41. Hallar el residuo de dividir p(x) entre x2 + x + 1, si al dividir p(x) entre x3 – 1 se obtiene como residuo x2 + 3x + 2. a) x + 1 d) 2x + 1

b) x – 1 e) 2x - 1

c) x + 2

42. Calcu Calcular lar a, si llos os po polinom linomios: ios: P(x) = x3  +ax2 – 5x - 6 Q(x) = x3 + (a - 3)x2 – 17x - 15 Son divisibles por un polinomio lineal común de coeficientes enteros. a) 2

b) 7

c) 5

d) 3

e) 8

43 43.. esta establ blec ecer er el valo valorr de verd verdad ad de cada cada un una a de la las s proposiciones: I. Si el p polin olinomi omio o c(x) d divid ivide e sep separa aradam dament ente e a los po polin linomi omios os f(x), g(x), h(x) entonces c(x) divide también al residuo de f(x).g(x) entre h(x) II. x3 + 2x2 – x + 6 es divisible por x2 – x + 2

 

III. III. Si divid dividimo imos s mx4 + nx3 + 1 entre x 2 + 1 y x2 – 1 se obtienen restos que suman 4, entonces m e es s 1. a) VVV d) FVV

b) VVF e) FFV

a) 11

c) VFV

44. De un polinomio de octavo grado P(x) se conoce conoce dos de sus raíces que son 2 y 3 además es divisible por ((x x  4 + 1) y (x + 1). Determinar Determinar el rresto esto de dividi dividirr P( P(x) x) entre entre (x+ 2) 2) si la su sum ma de s sus us c co oef efic icie ient ntes es es 32 y su tter ermi mino no independiente es 66. a) –8500 b) 6500 c) 8500 d) 6000

e) 7000

45. Hallar un polinomio P(x) de segundo grado divisible por ((2x 2x + 1); sabiendo además que su primer coeficiente es 4 y que al ser dividido por (x - 2) el resto es 5, reconocer el menor coeficiente de P( P(x). x). a) –4

b) –3

c) –5

d) 4

e) 2

46. Si el residuo de la división del p polinomio olinomio P(x) entr entre e (x + 4) es 7 y la suma de los coeficientes del cociente es 6, ha hallar llar el residuo de dividir P(x) entre ((x x - 1) a) 0

b) 30

c) 7

d) 37

e) 51

47. Al dividir dividir P(x) entre x2 + x + 1 se obtuvo como residuo x+1 y al dividir P(x) entre x2 – x + 1el 1el resto es x – 1. calcular el resto de dividir P(x), entre x4 + x2 + 1. a) x3 b) x c) x3 – x d) x3 + x e) x + 1 48. Luego de efectuar la división:

x

64



x

72

x

60

a) 1 d) 2x4 + 1

 

x

4

x

56



1



....  1

c) x4 - 1

b) 2 e) 2x2 + 1

a) 2

b) 1

c) –2

d) 6x

e) 6x - 10

50. En el cociente notable generado por:

x 2n  x 2

3n



3



, calcular la suma de valores para n  3  33, 3, tal que

x9  z4 d) 17



y100

x 4  y4 b) 2500 e) 2800

a) 2400 d) 2700

a) 90

b) 94

c) 96

d) 86

e) 64

51. Hallar el numero numero de té términos rminos que te tendrá ndrá el co cociente ciente notable generado por: x5m 10  y5m50 ; {m, n}  N, m < 32 x 2n 9  y 2n 5 a) 12

b) 13

c) 14

d) 15 n

x2

e) 16

n



y2

, se obtiene como m m x3 1  y3 1 residuo como segundo termino en su cociente a x 16y8. ¿De cuantos términos esta compuesto su cociente no notable? table?

52. Sabiendo Sabiendo que al dividir





a) 4 b) 3 c) 5 d) 7 e) 6 53. Hallar el lugar que ocupa el termino de grado 101 en el desarrollo de:

e) 19

 es: c) 2600

55. Hallar el termino independiente respecto a x en el cociente notable generado por:

(

xy

n

)

 yn

x a) y4

b) y8

, si t10 n  y 9n

c) 3y4

d) 5y4

e) –3y4

56. Un pol polino inomio mio monico de nov noveno eno grad grado o tiene tiene ra raíz íz cúb cúbica ica exacta, además es divisible separadam separadamente ente por (x-1) y (x2). Hallar Hallar el resid residuo uo de dividir el polinom polinomio io entre (x-4) si el termino independiente de dicho polinomio es –216. a) 35

b) 72

c) –72

d) 216

e) -48

57. Dete Determina rminarr un polin polinomio omio mon monico ico de cuar cuarto to grad grado o que sea 2 2 2 divisible separadamente separadamente por x  – 3x + 2; x  – 4; x  + x- 2 y al ser dividido dividido entre x- 3 dej deja a un rresto esto ig igual ual a 1 100, 00, lue luego go indique el residuo de dividir dicho polinomio entre x + 1. b) 34

c) 36

d) 72

e) 48

58. Si un polinomio del cociente notable gener generado ado por  xn  yn  p  es x18, hallar el valor de (n-p) x 3 y n  3  y n 2 b) 9

c) 10

d) 11

e) 17

59 59.. Si A es el penú penúlt ltim imo o term termin ino o de dell C.N. C.N. ge gene nera rado do po por  r 

x 40  y10 x4  y

, hallar el termino A.

a) x9y8 d) x8y9

b) –x4y8 e) –x8y9

c) x4y8

60 60.. Si xpy28 ; x16y2(p - 6) son términos equidistantes de los x m  yn extremos en el co cociente ciente notable de 4 7 , calcular



x x existen 13 términos enteros en su desarrollo.

z80

c) 15

x100

a) 16 49. Un polinomio de cuarto grado cuyo coeficiente coeficiente principa principall es 3, divisib divisible le ent entre re x2  + 1 y a ade demá más s la suma suma de sus sus coeficientes es nula. Si al dividir P(x) entre (x - 2) se obtuvo como residuo 50. Hallar el resto de dividir P(x) en entre tre (x2 - 1)

b) 013



54. La suma de tod todos os los exponentes de la las s variables del desarrollo de:

a) 18 , calcular su resto .

x180

M(x,z) =

x

(m+n+p) a) 225

b) 235

c) 245



y

d) 257

e) 322

61. Al dividir un polinomio P(x) entre (x+1)4 se obtuvo como residuo x3 + 2 – 3x. Calcular el residuo de dividir P(x) entre x 2 + 2x + 1 a) x + 1 d) 4

b) 3x + 1 e) –3

c) 3x - 1

62. Un polin polinomio omio P(x P(x)) se ha dividi dividido do separ separadame adamente nte por x + 1, x – 1, 2x – 1 ob obte teni nién éndo dose se como como res resto tos s 7,. 7,. –1 y 1 independientemente. Hallar el termino independiente del residuo de dividir P(x) entre (x + 1)(x - 1)(2x - 1) a) 2

b) 3

c) 4

d) –2

e) -3

63. Un polinomio F(x) al ser dividido por (x + 1)n deja  deja rresiduo esiduo x + 1 y un cociente Q(x). Si la suma de coeficientes de F(x) F(x) es 98 y de Q(x) es 3. ¿Cuál ¿Cuál es el valor de n? a) 3

b) 4

c) 6

d) 5

e) 2

 

C  A

64. Dado P(x) P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 es divisible por (x - a), (x - b) y (x - c) Calcular el residuo de dividir: P(x) + [x + (a-1 b-1 + a-1 c-1 + b-1 c-1)] Donde a; b; c son diferentes entre si. a) –24

b) 24

c) 0

d) 12

e) -12