División Algebraica

 

DIVISIÓN ALGEBRAICA  Definición : División algebraica es la operación que consiste en obtener una expresión llamada cociente y otra llamada residuo, conociendo otras dos llamadas dividiendo y divisor. d q  

nomenclatura de  de grados es : Nota Importante: En toda división la nomenclatura 1.

D° = grado de de di dividendo

2.

d° = grado de divisor

.

q° = grado de cociente

!.

r° = gr gra ado de res resid idu uo o res estto

Propiedades fundamentaes 1.

"i la la divis división ión es exac exacta ta,, se obti obtiene ene un coc cocien iente te exac exacto to y el el resid residuo uo de de la división es un polinomio id#nticamente id#nticamente nulo.

D = dq ó r=$ 2.

"i la div divisi isión ón es inex inexact acta a se obtie obtiene ne un coci cocien ente te compl completo eto y el el resid residuo uo de la la división no es un polinomio id#nticamente id#nticamente nulo. D = d . q % r ó D = q % r&d

r'$

Propiedades de a di!isión

 

1.

En toda toda div divisi isión ón el el grado grado del coc cocien iente te es es igual igual al gra grado do del del divid dividend endo o menos menos el grado del divisor. q° = D° ( d°

2.

En toda toda div divisi isión, ón, el grad grado o del div divide idendo ndo es es mayor mayor o igual igual que el grado grado del divisor : D° ) d°

.

En toda toda div divisi isión ón el el grado grado del div diviso isorr es ma mayor yor que el grad grado o del res resto. to. d° * r°

!.

En toda toda divi divisió sión n el grado grado m+xi m+ximo mo del del rest resto o es igual igual al al grado grado del del diviso divisorr menos 1 r maximo = d° ( 1

.

.

En el el caso caso de pol polino inomi mios os -om -omog# og#neo neoss el grad grado o del res resto to es es mayor mayor que el grado del divisor : r° * d° En el ca caso so de pol polino inomi mios os -o -omog mog#ne #neos os no se cum cumple ple la propiedad propiedad !  !

Casos de a Di!isión "#

Di!isión Di!isi ón de os monom monomios ios

o

"e aplica la regla de los signos signos  en la división de signos.

o

"e dividen los coe/icientes

o

"e dividen las letras aplicando teor0a teor0a de  de exponentes. Eemplo :

Dividir :

"#

e/ectuando tenemos : " = (x y 2 32

Di!isión Di!isi ón de un Poin Poinomio omio por un $onomi $onomio o "e divide cada uno de los t#rminos del polinomio por el monomio, separando los coe/icientes parciales en sus propios signos. Eemplo :

Dividir :

 

"olución : Dividiendo cada t#rmino del dividendo entre el divisor, tenemos :

E/ectuando tenemos : 4 = 5 x2 y 2 6 x! y ! 32 % 11x1$ y 7 3!

%#

Di!isión de de os Po Poinomios En este caso se pueden usar cualquiera de los siguientes m#todos m#todos :  :

)#

1.

8#todo cl+sico o normal

2.

8#todo de coe/icientes separados

.

8#todo de 9orner

!.

8#todo de u//ini

ES&'DI( DE CADA 'N( DE L(S SIG'IEN&ES $E&(D(S $*todo C+sico o Norma ;ara dividir mediante este  este m#todo m#todo se  se debe seguir los siguientes pasos :

!.

"e or orde dena na lo loss pol polin inom omio ios, s, ge gene nera ralm lmen ente te en /o /orm rma a dec decre reci cien ente te..

.

"e es escr crib ibee en l0 l0ne nea a -or -ori3 i3on onta tall uno uno a co cont ntin inua uaci ción ón de otr otro o util utili3 i3an ando do el el signo de división aritm#tica.

.

"e di divi vide de el el pri prime merr t#r t#rmi mino no del del div divid iden endo do,, ent entre re el el pri prime merr term termin ino o del del divisor, obteni#ndose el primer t#rmino del cociente.

7.

Este t# Este t#rm rmin ino o se se mul multi tipl plic ica a por por ca cada da un uno o de de los los t# t#rm rmin inos os de dell div divis isor or y se pasan a restar con los correspondientes t#rminos del dividendo.

.

"e di divi vide de el pr prim imer er t# t#rm rmin ino o del del re rest sto o obt obten enid ido o ent entre re el pr prim imer er t#rmino del divisor y se obtienen el segundo t#rmino del cociente.

5.

"e pr proc oced edee com como o en en el el pas pasa a ! y as0 as0 su suce cesi siva vame ment ntee -as -asta ta te term rmin inar ar la división.

E,empo : 9allar el cociente en la siguiente división :

 

"olución : = 2x 6 7 esiduo  r > = (1x % 25x2 6 2x % 1!

"-## "-

$*to $* todo do de Co Coef efic icie ient ntes es Se Sepa para rado doss

En este:caso, adem+s de los consideraciones anteriores se debe tener en cuenta 11.

"e tra traba baan an sol solame amente nte co con n los los coe coe/ic /icien ientes tes y sus sus cor corres respon pondie dient ntes es signos del dividendo y divisor.

12.. 12

En el ca caso so de /a /alt ltar ar un t# t#rm rmin ino o con con un una a potencia potencia de  de la variable se coloca en su lugar cero, en el divisor.

1.. 1

De est esta a mane manera ra se se obti obtien enee los los coe/ coe/ic icie ient ntes es con con sus sus sig signo noss del del polinomio cociente.

1!.. 1!

;ara det ;ara deter ermi mina narr el gr grad ado o del del coci cocien ente te y res resto to se se apli aplica can n las las propiedades : q° = D° ( d r° = d 6 1 1.

Este m#t Est #tod odo o es re reco com mend ndab ablle pa parra pol olin inom omio ioss de un una a sol ola a  variable.

E,empo : E/ectuar la siguiente división :

"olución : es de grado : q° = D° ( d° =  6 2 =   El cociente es q = 2x 6 x2 6 7x % 

∴

el de grado : r° = d° ( 1 = 2 6 1 = 1 El resto  r > es de grado r = x 6 1

".#

$*todo de /orner

Este m#todo es un caso particular del m#todo de coe/ientes separados y se emplea para la división de dos polinomios de cualquier grado.

Procedimiento : •

"e escribe los coe/icientes del dividendo en una /ila con su propio signo

•

"e escribe los coe/icientes del divisor en una columna a la i3quierda del primer t#rmino del dividendo@ el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signo cambiado.

•

El primer t#rmino del dividendo se divide entre el primer t#rmino del divisor, obteni#ndose el primer t#rmino del cienote.

•

"e multiplica este t#rmino del cociente solamente por los t#rminos del divisor los cuales se cambio cambio de  de -acia signo,lacoloc+ndose segundaa /ila, corriendo un lugar derec-a. los resultados a partir de la

 

•

"e reduce la siguiente columna y se coloca el resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coe/iciente del divisor y obtener el segundo termino del cociente.

•

"e multiplica este cociente por los t#rminos del divisor a los cuales se cambió de signo, coloc+ndose el resultado en la tercera /ila y corriendo un lugar -acia la derec-a.

•

"e continuar0a este procedimiento procedimiento -asta  -asta obtener el t#rmino debao del Altimo termino del dividendo, separando inmediatamente inmediatamente los t#rminos del cociente y resto.

•

;ara obtener los coe/icientes del residuo se reducen directamente cada una de las columnas que pertenecen.

E,empo E/ectuar la división polinómica expresada por :

"olución : ?os grados del cociente y residuo ser+n : q° = D° ( d° = " 6 2 =  r° = d° ( 1 = 2 6 1 = 1 ;rocedimiento ;rocedimien to :  

Fila

Coeficiente que si se les cambia de s

 

 

E0picación "e divide  entre !, igual a 2, este resultado es el primer coe/iciente del cociente 2 se multiplica por los t#rminos del divisor, a los cuales se le cambió de signo  (1@ (>, dando como resultado : (2@ ( que se colocan en la /ila corriendo un lugar -acia la derec-a. "e suma a la segunda columna  correspondiente al dividendo> y el resultado se divide entre ! igual a , este valor es el segundo coe/iciente del cociente. , se multiplica por  (1@ ( > y da la tercera /ila : ( @ ( 5, corriendo un lugar -acia la derec-a. "e suma la tercera columna, da 6 !, se divide entre !, da 6 1@ este resultado es el tercer coe/iciente del cociente. (1, se multiplica por  (1@ (> y da la /ila : %1@ %, corriendo un lugar a la derec-a. "e suma la cuarta columna, da %, se divide entre !, da 2, este resultado es el cuarto coe/iciente del cociente. 2, se multiplica por  (1> y (> y da la /ila : (2 y ( como el Altimo t#rmino de este producto queda debao del Altimo coe/iciente del dividendo 2, se separa con una l0nea los t#rminos obtenidos los cuales pertenecen al cociente. "e reducen las siguientes columnas, da ! y (! y se baa directamente, y se baan directamente y vienen a ser los coe/icientes del resto. Entonces : Bx> = 2x % x2 6 x % 2  cociente obtenido> obtenido> x> = !x 6 !  residuo obtenido> obtenido>

2. Dividir : "olución : q° = D° ( d°

 

q° =  6 2 =  r° = d 6 1 = 2 6 1 = 1 "olución :  

3 1

 

-1

 

B x> = 2x 6 x2 6 7x %   cociente obtenido >  x > = x 6 1  residuo obtenido>

"#

Re1a de R'22INI

Esta regla, es un caso particular del m#todo de 9orner. "e aplica en general para dividir un ;x> entre un divisor que tenga o adopte las siguientes /ormas : x C b @ ax C b y axn C b "e estudian  casos : •

Cuando e coeficiente de primer t*rmino de di!isor es diferente de cero# su /orma general : x C b . se opera as0 : 1.

"e escrib ibeen lo los co coe/ e/iicie ien ntes de dell di divi vide den ndo en l0n l0nea ea -or ori3 i3on onta tall@

 

2.

"e escrib ibee el el t# t#rmin ino o ind indep epeendi dien entte del del div ivis isor or,, con con si sign gno o cambiado, un lugar a la i3quierda y abao del coe/iciente del primer t#rmino del dividendo@

.

"e div ivid idee com como o en en el el ca caso de de 9o 9orn rner er,, te teni nieendo pr pres esen entte que que el primer coe/iciente del cociente es igual al primer coe/iciente del dividendo.

!.

;ara obt ;ara bten ener er el cocie ien nte, se se sepa para ra la Alti tim ma col colu umna que vi vien enee a ser el resto.

E,empo : 1.

: q° = D° ( d° =  6 1 = ! r° = d° ( 1 = 1 6 1 = $ Cocientes del di

 

 

-1

 

Coeficiente del c

 

ermino ndependiente del divisor con signo cambiado

 

Entonces : Bx> = 2x! 6 2x % x2 6 x %   cociente obtenido> x> = !  residuo obtenido>

2.

E/ectuar : "olución : ordenando y completando el polinomio dividiendo tenemos :

, como en el primer caso.

•

•

?os coe/icientes del cociente obtenido se dividen entre el primer coe/iciente del divisor. El resto obtenido no su/re alteración

E,empo : 9allar cociente y resto en :

Soución : a> "e /actori3a  as0 :  b> Dividiendo entre entre x % 2& c> ;reviamente se completa el dividendo con cero

(peramos as3 : soles Ianco I :  x % 7x 6 > soles Ianco F : 2x! 6 2x2 % x > soles Ianco D :  ( 2x! 6 x % > soles "i quisiera repartir entre x2 % x % 1> personas entre partes iguales. Kcu+nto le tocar+ a cada unoL

7.

Dividir :

a>

 b>

c>

d>

PR(BLE$AS RES'EL&(S .

E/ectuar por el m#todo de 9orner

Soución :

 

2 12

 

2

Bx> : ! x2 % 2 x 6  x> :  x 6 1 5.

9allar Fo Fociente y esto po por u//ini

Soución : 9aciendo : !x %  = $ ! x = ( x = ( &! -13 -15 - 28

Bx> = x2 6 7 x % 2 x> =  1$.

9allar  a % b > si la la división

es exacta ;or m#todo de 9orner

 

- 13 - 15   24

 

-2

"i es exacta  = $ a 6  = $ a =  ( b % 1$ = $  b = 1$ a % b = 78 rpta#  11.

9alla larr el el re resto por m#t #tod odo o de de 9or 9orn ner

a+b -b  -a

 

0

esto = $ 12.

Falcular Jm JmJ si si la di división

dea ! de resto

 

3–5

73 – 2

m 6 7 = $ m = 7

-6 3 – 232 + m – 16

 

- 12  + 20