División Algebraica - Teoría y Problemas

División Algebraica Definición: Operación que se realiza entre polinomios que consiste en hallar dos polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO conociendo otros dos polinomios llamados DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra ligados por la relación: D(x) = d(x) . q(x) + r(x) Donde: D(x): Dividendo d(x): Divisor q(x): Cociente r(x): Residuo Propiedades de la División 1. Gdo. D(x) ≥ Gdo. d(x) 2. Gdo. q(x) = Gdo. D(x) – Gdo. d(x) 3. Gdo. r(x) < Gdo. d(x) Además: Gdo. Máx. r(x) = Gdo. d(x) - 1

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA INGENIEROS UNI

Docente: Lic. Carlos K. Villegas Rosales

4

Dividir:

12 

3

4 x2  3x  1

17

9

-3

-1



-6 

2

-9

2 6

-2

3

-2

2

10

-11

x2

x

T.I

x

T.I

q(x) = 3x2 – 2x + 2 R(x) = 10x - 11

6

5

-6

-2

-3

3

1

2

1

-3 1 -4

q(x) = 2x + 1 R(x) = -4 c) Método de Paolo Ruffini: Se utiliza cuando el divisor es de primer grado o transformable a esta forma.

Dividir:

2x5  15x3  20x  8 x3

2

x3 0 3

0

6 2 6

x4 x3

15

0

20

8

18 3

9 9

27 7

 21  13

x2

x

T.I

q(x) = 2x4 – 6x3 + 3x2 – 9x + 7 R(x) = -13

12x 4  17 x3  17 x2  2x  9

-17

6 x2  5x  3 3x  1

Dividir:

3 -3



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



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Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Principales Métodos de División Me a) Método de William Guillermo Horner: Es un método sistematizado de coeficientes separados. Nota: Todos los polinomios tanto dividendo, divisor, cociente y residuo, deben ser polinomios completos y ordenados con respecto a la variable en referencia. Si faltase algún término, se completara pero con coeficiente cero.

b) Método de Coeficientes Separados: Se trabajan solo con los coeficientes.

d) Teorema del Resto: Se utiliza para obtener el resto de una división sin la necesidad de efectuar dicha operación. Consiste en igualar a cero al divisor y despejar la mayor potencia de la variable, para que sea reemplazada en el dividendo. Nota: Después de realizar el reemplazo, debe comprobarse que el grado del polinomio obtenido sea menor que el grado del divisor. Ejemplo:

 i) ii) iii)

2x 5  3x3  3x  6 x2  1 x2 + 1 = 0 x2 = - 1 Observo que: D(x) = 2(x2)2x + 3(x2)(x) + 3x – 6 Reemplazando: x2 = - 1 R(x) = 2(-1)2x + 3(-1)(x) + 3x – 6 R(x) = 2x – 3x + 3x – 6 R(x) = 2x - 6

Ejercicios de la Clase 1. Hallar el valor de AB si la división es exacta. Ax 4 + Bx 3 + 7x 2 + 4x + 3 3x 2 + x + 3 a) 71 d) 100

b) 81 e) 27

c) 90

2. Si la división: x 4 − 2x 3 + kx 2 + x + k x+2 Es exacta. Hallar la suma de los coeficientes del cociente. a) -4 d) 3

b) 4 e) 5

c) -3

3. Si el polinomio: p(x)=3nx4+n(10-3n)x3+(m-n2)x2+(3n2+3m-mn)x+20 se divide por d(x)=x-n+3, el residuo es 2 y la suma de los coeficientes del cociente es 24, hallar el mayor valor de “n” a) 14 b) 28 c) 20 d) 18 e) 15

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11. Si el polinomio:

c) 17

5. hallar el resto de la división: (x + 1)7 − 2(x − 2)2 (x + 4)2 x − 10(x + 2)x − 12x x 2 + 2x − 3 a) 2x+34 d) 2x-4

b) 2x-34 e) 2x+4

c) x-3

6. Hallar la suma de coeficientes del residuo que se obtiene al dividir p(x) = x70 + x69 + 1 por d(x) = x2 + x + 1 a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 7. Si al dividir p(x)=xn-2 + x + n + 2; n par; n ≥ 6 por un polinomio q(x) = x + 1, se obtiene que la suma de los coeficientes del cociente es n2 – 195 y el término independiente del cociente es cero, hallar el grado de p(x). a) 7 b) 10 c) 12 d) 14 e) 15

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b) 13 e) 26

c) 17

9. Si el polinomio p(x) se divide por (x-10), el cociente es x2 + x + 1 y el residuo es r. Pero si p(x) se divide por (x-12), el residuo es (-r). Determine el valor de r. a) 100 b) 157 c) 237 d) -157 e) 34 10. Al dividir un polinomio p(x) por q(x) = x4 – 1, se obtiene como resto 2x3 + mx2 + nx + 12, además el resto de dividir p(x) por d(x) = x2 – 1 es cinco veces el resto de dividir p(x) por h(x) = x2 + 1, hallar el valor de m + n. a) 9 b) 10 c) 11 d) 13 e) 15

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b) 13 e) 16

b) 1/2 e) 8

c) 2

12. Hallar la suma de los coeficientes del cociente que se obtiene al dividir el polinomio p(x) = 2x25 – 8x15 – x10 + 3 por d(x) = x5 – 2. a) 12 b) 10 c) 3 d) 6 e) 4 13. Determinar el valor de abc, sabiendo que el polinomio: p(x) = a + c + (b + c)x + (a + b)x2 – 6x3 – 2x4 es divisible por d(x) = (x - 3) (x2 - 1) a) -50 b) -74 c) 40 d) 1460 e) 2720

15. Al dividir el polinomio: p(x) = amx3 + (an + bm)x2 + (ac + bn)x + bc , a ≠ 0 la suma de los coeficientes del cociente es igual al resto, calcular el valor de: m+n m+c n+c U= + + c n m a) -5 d) -1

b) -3 e) -4

16. Hallar el resto en la división: [3 + (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)]4 x(x + 5) + 5 a) 4 b) 8 d) 12 e) 16 17. Determine el resto de dividir: p(x) = x100 + 1 por d(x) = x3 – x2 + x - 1 a) 2x b) -2 d) x+1 e) x-1

c) -2

c) 10

c) 2

18. Si p(x) = 2x4 – bx3 – 14x2 – 5x + e, es divisible por x – 3 y ̅̅̅̅̅̅ 2x – 1, halle la suma de cifras de 𝑏𝑒𝑏𝑒 a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

8. Dado el esquema de la división efectuada según el método de ruffini, halle el valor de an + b + c + m + n + p + q.

a) 11 d) 20

a) 1 d) 4

14. Un polinomio mónico de grado n es divisible por (xn-1 + 2) y la suma de sus coeficientes es igual a 12. Si se divide p(x) por (x - 4) el resto que se obtiene es 7182, hallar el valor de n. a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 11

4. Si al dividir p(x) = mx3 – nx2 + x + 2 por d(x) = x2 – x + 1 se obtiene como resto r(x) = 2x – 4, hallar m2 + n2. a) 8 d) 25

mx 2n + − 2 ; mn ≠ 0 2n m Es divisible por x + 1, hallar el valor de: 8mn(m4 + 16n4 ) 64n6 + m6 p(x) = 2x 4 + 5x 3 − 3x −

18. Sean p(x) y q(x) polinomios tales que el grado del polinomio p5(x).q2(x) es 23 y el de p2(x).q(x) es 10. Halle el grado del polinomio q(x). a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8