divisibilidad

Divisibilidad Olimpiada Mexicana de Matem´aticas en Guanajuato

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Introducci´ on Divisibilidad y n´ umeros primos

La aritm´etica es una parte fundamental en las matem´aticas y es por ello que muchos de los problemas de la olimpiada est´ an basados en ella. Uno de los conceptos m´as b´asicos en ´esta ´area es el de divisibilidad: Definici´ on Decimos que un n´ umero d divide a otro n´ umero n si podemos encontrarnos un entero k tal que d = nk. En otras palabras, cuando d 6= 0, decimos que d divide a k si el resultado de la divisi´ on de k entre d es exacto. Tambi´en expresamos esto con la frase ”n es m´ ultiplo de d”. Desde esto, podemos observar que el 1 es divisor de cualquier n´ umero. As´ı tambi´en tenemos que todo n´ umero se divide a s´ı mismo. Finalmente, el 0 es m´ ultiplo de cualquier entero. Desde este concepto podemos extender naturalmente el de un n´ umero primo: Definici´ on Decimos que un n´ umero p > 1 es primo si solamente es divisible por s´ı mismo y 1. El 1 no se considera primo. La importancia de los n´ umeros primos radica en gran parte en el siguiente teorema: Teorema Fundamental de la Aritm´ etica Todo n´ umero entero mayor a 1 puede ser expresado de manera u ´nica como producto (o multiplicaci´on) de n´ umeros primos (salvo en el orden). Algunos ejemplos del teorema anterior son 144 = 24 × 32 , 2010 = 2 × 3 × 5 × 67 y 31 = 31. A esta descomposici´ on de los n´ umeros se les llama ”descomposici´on en factores primos”.

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Criterios de Divisibilidad

A veces es muy sencillo decir cu´ ando un n´ umero es divisible por otro. Esto es gracias a los llamados ”criterios de divisibilidad”. Los m´ as conocidos se enuncian a continuaci´on: Criterio de divisibilidad por 2 y 5 Un n´ umero es divisible por 2 si su u ´ltima cifra es divisible por 2. De igual manera es divisible por 5 si su u ´ltima cifra es divisible por 5. Criterio de divisibilidad por 3 y 9 Un n´ umero es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3. De igual manera es divisible por 9 si la suma de sus cifras es divisible por 9. Criterio de divisibilidad por 4 y 25 Un n´ umero es divisible por 4 si el n´ umero formado por sus dos u ´ltimas cifras es m´ ultiplo de 4. De igual manera es divisible por 25 si el n´ umero formado por sus dos u ´ltimas cifras es m´ ultiplo de 25. ¿Puedes inferir un criterio similar para el 8? Criterio de divisibilidad por 11 Para decir si un n´ umero es m´ ultiplo de 11 hacemos lo siguiente: Sumamos los d´ıgitos que est´ an en posici´on par. A continuaci´on sumamos de forma separada los que est´ an en posici´ on impar. Extraemos la resta entre estas dos sumas. Si dicha resta es m´ ultiplo de 11, el n´ umero original tambi´en lo es.

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¿Puedes explicar por qu´e funcionan estos criterios? La clave para hacer esto est´a en observar la manera en la que representamos los n´ umeros funciona con potencias de 10. Por ejemplo 4266 = 4 × 1000 + 2 × 100 + 6 × 10 + 6.

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Ejercicios 1. Encuentra el mayor entero menor a 10000 que es cubo y cuadrado perfecto a la vez. Por ejemplo, 64 es cubo y cuadrado perfecto pues 64 = 43 y 64 = 82 . 2. ¿Cu´ antos n´ umeros con exactamente tres divisores hay entre el 1 y el 1000? 3. ¿Cu´ al es el mayor n tal que

2010! 7n

es un entero?

4. ¿Existe alg´ un entero n tal que n! termine en exactamente 11 ceros en su representaci´ on decimal? 5. ¿Puede un n´ umero con 100 d´ıgitos iguales a 0, 100 d´ıgitos iguales a 1 y 100 d´ıgitos iguales a 2 ser un cuadrado perfecto? 6. ¿Cu´ ales son los dos u ´ltimos d´ıgitos de 112010 ?

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Problemas 1. Encuentra el menor entero positivo tal que el producto de sus cifras es 189000. 2. Encuentra el menor entero positivo tal que la suma de sus cifras es 2004 y el producto de sus cifras es 2753 . 3. ¿Cu´ anto suman los u ´ltimos 2005 d´ıgitos del n´ umero 20042005 × 20052004 ? 4. Tres hermanos heredan n piezas de oro, con pesos 1, 2, 3...n. ¿Para qu´e n pueden repartirse las piezas? 5. Un n´ umero de 6 d´ıgitos est´ a representado por el n´ umro 1vwxyz, donde 1, v, w, x, y, z son sus d´ıgitos. Si este n´ umero se multiplica por 3 se obtiene el n´ umero vwxyz1. Encuentra dicho n´ umero. 6. Encuentra los d´ıgitos c y d tales que hacen verdadera la expresi´on 2c 9d = 2c9d, donde 2c9d representa un n´ umero de cuatro d´ıgitos. 7. Encuentra una infinidad de enteros tales que la suma de sus d´ıgitos es igual al producto de ellos. 8. Se eligen 128 potencias de 2. Demuestra que hay dos cuya diferencia es m´ ultiplo de 1000. 9. Encuentra todos los n´ umeros primos p tales que p + 77 tiene exactamente 5 divisores.

10. Se tiene una fila de focos numerados del 1 al 2010. Inicialmente se encuentran todos apagados. Se realiza el siguiente proceso: primero se cambia el estado del foco con el n´ umero 1 as´ı como el de todos sus m´ ultiplos. A continuaci´on se le cambia el estado al foco 2 y el de todos sus m´ ultiplos. Luego el de el 3 y todos sus m´ ultiplos, y as´ı sucesivamente hasta que se llega al foco 2010 y se le cambia a ´este su estado. ¿Cu´antos focos terminan prendidos al final del proceso?

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Problemas Avanzados 1. Dado un entero k de dos o m´ as cifras, se genera un nuevo entero m insertando un cero entre el d´ıgito de las unidades y el d´ıgito de las decenas de k. Encuentra todos los n´ umeros k tales que m resulta ser m´ ultiplo de k. 2. Encuentra todas las ternas de d´ıgitos (a, b, c) tales que ab y ac son n´ umeros de dos d´ıgitos, cab es un n´ umero de tres d´ıgitos y adem´as ab × ac = cab.

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