Divisibilidad
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matematica...
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MULTIPLO: Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto y entero de veces.
APRENDIZAJES ESPERADOS
Representación: Si N es múltiplo de n.; N =
1. Determina cifras desconocidas en un numeral aplicando criterios de divisibilidad. 2. Determina el residuo de dividir un número entre otro, sin efectuar la operación. 3. Resuelve una ecuación con más de dos variables donde todos los valores desconocidos son números enteros (Ecuación diofántica). 4. Obtiene los múltiplos de un determinado módulo y que reúnan ciertas condiciones. 5. Aplica correctamente los principios de la divisibilidad en la solución de problemas concretos
0 n ; N = m x n, si m
es entero. El múltiplo de un número es el resultado de multiplicar dicho número por un número entero. DIVISOR, FACTOR O SUBMÚLTIPLO: Se dice que un número es divisor de otro cuando está contenido en él un número exacto y entero de veces. PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD:
COMENTARIO PREVIO
01. Operaciones entre múltiplos
La aritmética es la disciplina matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de los números (etimológicamente, arithmos significa número en griego). En realidad desde su nacimiento, su objeto primordial es el número natural, ello es lógico si se piensa que éste es el concepto matemático fundamental. La aritmética fundamental (la que los griegos llamaban logística) se ocupa de los sistemas de numeración y de los algoritmos de cálculo. Por el contrario, la llamada aritmética superior o más frecuentemente; teoría de números, se dedica a problemas de aspecto inocente, a veces con apariencia de juegos infantiles, en torno a cuestiones de divisibilidad, descomposiciones de los números o ecuaciones con soluciones enteras, pero cuya dificultad es enorme y que, por otra parte, resultan insospechadamente conectados con las ramas más abstractas y sofisticadas de la matemática. La belleza, la profundidad y el interés de esos problemas han atraído durante siglos, junto a grandes matemáticos a multitud de aficionados. Gauss (1777-1855) quien ha sido llamado príncipe de los matemáticos” y cuya excelsa labor en teoría de números sólo admite comparación con sus realizaciones en geometría, análisis o física matemática, llegó a decir que “la matemática es la reina de las ciencias y la teoría de los números es la reina de la matemática”. Pero, ¿de qué se ocupa la teoría de los números?, básicamente de las cuestiones que giran entorno a la divisibilidad y temas conexos (Números primos, máximo común divisor, mínimo común múltiplo). La Divisibilidad de los números es conocida desde tiempos remotos. Así, los hindús ya conocían la divisibilidad por tres, siete y nueve y los egipcios conocían los números pares e impares. El matemático griego Euclides demostró los teoremas básicos de la divisibilidad de los números enteros. Ya posteriormente, el matemático Francés Pascal (1623 – 1662) propuso las reglas para conocer la divisibilidad de cualquier número.
a) o
o
b)
o
o
n n n
Ejemplo: 45
0
81
9
72
0
9
o
Ejemplo:
36
o
n n n
0
0
9
16
0
8
8
d)
c) o
k o o n n
o
n xk n
Ejemplo:
Ejemplo:
64
48
5
0
6
x
5
240
0
6
0
1296
4
3
0
3
02. División: a) División por Defecto: d
D
q
r
D = d.q + r
CONTENIDO TEÓRICO
D=d + r
TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD DEFINICIÓN: Es la parte de la Aritmética que estudia las condiciones que debe tener un número para ser divisible entre otro. Estas condiciones se denominan caracteres o Criterios de Divisibilidad. Se dice que un número entero “A” es divisible entre otro número entero positivo “B” cuando el residuo de dividir A entre B es CERO y el cociente es entero. Se dice entonces que A es múltiplo de B o que B es un divisor de A.
Ejemplo: 9 6
61 = 9 + 7
6 3
d
re
q+1
D = d(q + 1) - r e D = d - re Ejemplo:
61 7
b) División por exceso:
D
61 2
56
9 7
61 = 9 -2
0
8
03.
0
2 21 8 + (5 ) . 5
N=a
0
N= b
21
8 + r
=
8 + r
=
8 + r
0
0
8 + ( 8 + 1).
0
5
N= a+r N = MCM(a, b) + r
N = b +r5
0
8 +5
Ejemplos:
0
r = 5; El residuo es 5
N=8
RESTOS POTENCIALES
N = MCM(8,12) = 24
N = 12
Se llaman restos potenciales de un entero "E" respecto a un módulo "m" al residuo que deja cada una de las potencias naturales de "E" al ser divididos entre el módulo "m". Es decir: RP E m Ejemplo: Calcular los restos potenciales de 3 respecto al módulo 5. Resolución
N = 20 + 5 N = MCM(20,30) + 5 = 60 + 5
N = 32 + 5
0
30 = 5 + 1
04. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES: Dos números enteros cuyo producto es divisible por un cierto módulo, si uno de tales números no admite divisores comunes con el módulo, aparte de la unidad, entonces el otro número será divisible por dicho módulo. Ejemplo: 0
=
.5
0
8n = 9
8 + r
0
8 + ( 8 + 1)
N = MCM(a, b)
0
=
31 = 5 + 3 0
0
3
0
3 = 5 + 2
Ejemplo: 0
21. b 35 0
0
0
0
( a b) k a b k
El resto se determina en los ( a b) k a b k ; 0
0
0
5
RP 3 5 =
Si “K” es impar.
0
0
43 8 +5
RP 3 5 {1; 3; 4; 2}
+1 n=
0
4
5
0
+3 n=
0 4 +1
0
+4 n=
0 4 +2
0
+2 n=
0 4 +3
5
Ejemplo: Hallar el residuo de dividir 4365 43 entre 8. Resolución
( 8 + 5 )43
g=4
Si “K” es par
( a b) k a b k ;
4365 43
37 = 5 + 2
g=4
GAUSSIANO (g): Se llama así a la menor cantidad de restos diferentes posibles que forman el periodo. En el ejemplo anterior: g = 4. Se tiene en general: 3 n : 5 Re sto ¿?
DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON 0
0
36 = 5 + 4
"Observe que los restos potenciales empiezan a repetirse en forma ordenada y periódica. Al tomar una potencia cualquiera luego de 4 potencias sucesivas se obtendrá el mismo resto que deja la potencia tomada".
(7x3) b = 7 x 5 x k 3 b = 5 b 5
0
0
35 = 5 + 3
32 = 5 + 4
n= 9
0
0
34 = 5 + 1
0
5
0
=
8 + r
=
8 + r
=
8 + r
Ejemplo: Hallar el resto de dividir: 340001 entre 5. 0
0
0
0
0
0
3 40 001 5 r ; 3 4 1 5 r 5 + 3 = 5 + r r =3
0
6 4
0
30 =
5
31 =
5
0
+1 +3
g=4
0
32 =
5
33 =
5
34 =
5
35 =
5
36 =
5
7
3 =
0 0 0 0 0
5
325 125 475 123450 246825 son divisibles por 25 pues el número formado con sus 2 últimas cifras son múltiplos de 25 ó son ‘ceros”.
+4 +2
6. Divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7 si de derecha a izquierda y cifra por cifra se multiplique por los factores: 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, ..... y así sucesivamente; luego efectuamos la suma algebraica debemos obtener cero o múltiplo de 7.
+1 +3
g=4
+4 +2
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
3y =
0 4 +1
3y – 1 – 8 = y– 3=
0
4
0 0 4 – 4
e
f
g
h
3
1
2
3
1
2
3
1
3y – 1 =
3(y– 3)=
y=
=
0
7
o
7
OTRA FORMA: Un número es divisible por 7 si al número se le quita y resta la última cifra multiplicado por 2 así sucesivamente y al final se debe de obtener un múltiplo de 7. Ejemplos: 1582 es divisible por 7 pues: Separamos la última cifra 2 y le restamos el doble 158 - 2(2) = 154 hacemos lo mismo: 15 - 2(4) = 7 y como 7 es divisible por 7 entonces 1582 es divisible por 7.
0
4
d
Entonces: (h + 3g + 2f) – (e + 3d + 2c) + (b + 3a) =
0 0 0 4 + 4 +3y= 4 +1
0
c
Ejemplo: Determine los valores de "x" e "y" sabiendo que son número enteros 4x + 7y = 225 Resolución Criterio: Divisibilidad por 4 4x + 7y = 225
b
Son aquellas ecuaciones insuficientes en las cuales los coeficientes y las variables son números enteros.
0 0 4 + (4 + 3) y = 4 + 1
a
4 0
4
7. Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras es un número múltiplo de 9.
+3
72 es divisible por 9 pues 7 + 2 = 9. 234 es divisible por 9 pues 2 + 3 + 4 = 9. 5445 es divisible por 9 pues 5+ 4 + 4 + 5 = 18.
Luego y = 3; y = 7; y = 11; y = 15: y = 19; y = 23; y = 27; y = 31 Reemplazando en la ecuación inicial: x = 51; x = 44; x = 37; x = 30; x = 23; x = 16; x = 9; x = 2
8. Divisibilidad por 11: Un número es múltiplo por 11 si la diferencia de la suma de las cifras de orden impar y la de orden par es múltiplo de 11. Es decir: Sea N a b c d e f es divisible por 11 sí
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 1. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si su última cifra es un número múltiplo de 2. 12 28 36 450 12345678 son divisibles por 2 pues su última cifra es un número múltiplo de 2.
abc d e f
2. Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de todas sus cifras es un número múltiplo de 3. Ejemplos: 12 es divisible por 3 pues 1+2 = 3. 234 es divisible por 3 pues 2+3+4 = 9 5775 es divisible por 3 pues 5 + 7 + 7 + 5 = 24.
Suma de cifras de orden par: a + c + e Suma de cifras de orden impar: b + d + f
3. Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si el número formado con sus dos últimas cifras es múltiplo de 4. 112 128 12300 456 24680 12345688 son divisibles por 4 pues las dos últimas cifras son múltiplos de 4. 4. Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si su última cifra es 5 ó 0. 35 125 1230 455 12345 24680 son divisibles por 5, pues la última cifra es 5 ó 0.
1 2 3 4 6 4 (1 + 3 + 6) – (2 + 4 + 4) = 0
Luego se tiene: (a + c + e) – (b + d + f) =
0
11
123 464 es divisible por 11 pues:
72567 es divisible por 11 pues: (7 + 5 + 7) – (2 + 6) = 11.
EJERCICIOS RESUELTOS
5. Divisibilidad por 25: Un número es divisible por 25 si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 25. Ejemplos:
01. Hallar “x” si se cumple A) 2
6 5
B) 3
º
513x ( 8) 13x 5( 8) 8 C) 4
D) 5
E) 6
RESOLUCIÓN º
º
1000 16,6666 16 números 60
513x ( 8) 13 x 5( 8) 8 º
º
Finalmente la cantidad de números solicitados será
(8 x) (85)8 º
º
8x58
cantidad de números divisibles entre 60 será
º
x58
66 16 = 50 números
x3
Clave E 04. En una fiesta donde asistieron 280 personas entre damas, caballeros y niños, la cantidad de caballeros que no bailaban en un momento dado era igual a la cuarta parte del número de damas, la cantidad de niños asistentes era igual a la séptima parte del número de damas. Si la quinta parte de las damas están casadas ¿Cuántas damas no bailaban en dicho momento?
Clave B 02. Sabiendo que
º
3A 7
y
º
5 A 8 ¿Cuál es el menor
valor de “A” si es de 3 cifras A) 108 D) 112
B) 136 E) 142
C) 134
A) 55 D) 62
RESOLUCIÓN
B) 81 E) 50
RESOLUCIÓN
Aplicando teorema de Arquímedes: º
3A 7 º
5A 8
º
Sean D = Número de damas C = Número de caballeros N = Número de niños
A7 º
A8
Por condición del problema se tiene que:
º
Con lo cual se deduce que A mcm ( 7 ; 8) º
A 56
º
A 56 .K
D + C + N = 280 ..........(1)
A min 112
Según Los datos: Caballeros que no bailaban:
Clave D 03. ¿Cuántos números enteros positivos no mayores que 1000 son múltiplos de 3 y 5 a la vez, pero no de 4? A) 55 D) 62
C) 64
B) 81 E) 50
Los niños son: N
C) 64
D 7
Damas que están casadas:
D 4
D7
D 5
D4
D5
De lo cual deducimos que:
RESOLUCIÓN
A partir del dato se tiene que: 1, 2, 3, ....., 1000 En un diagrama de Ven Euler:
D 475
De
deducimos
(1)
Divisibles por 15
N Divisibles por 5
y
(2)
D 140 .........( 2)
que:
D 140
140 20 7
En (1): C 120
Divisibles por 3
Divisibles por 60
También: caballeros que no bailaban:
140 35 4
Entonces: caballeros que bailaban 120 35 = 85
Divisibles por 4
Luego: damas que bailaban = 85 Para calcular lo que nos piden (la región sombreada) se debe restar la cantidad de números divisibles entre 3, 5 y 4, es decir entre 60, de la cantidad de números divisibles entre 15
Damas que no bailaban. 140 85 = 55 Clave A
cantidad de números divisibles entre 15 será
05. Si el número 8 xyx 5y es divisible entre 88, dar el valor numérico de x.y
1000 66,666 66 números 15
A) 5
6 6
B) 8
C) 6
D) 2
E) 7
2 x 10 = 20 números Clave B
RESOLUCIÓN
07. Cuántos números de la forma 5 x 7y son divisibles por 36
Para que 8 xyx 5y sea divisible entre 88 debe ser divisible entre 11 y entre 8
8 xyx5y 11
8 x y x 5 y 11
2 x 13 11
8 xyx5y 8
Entonces
A) 3 D) 6
15y 8
y2
El número debe ser múltiplo de 4 y 9
Por 4:
¿Cuántos valores puede tomar
B) 20 E) 42
C) 24
76 y 6
5 x 72 9
x4
El número: 5472
Si y = 6 5 x 76 9
RESOLUCIÓN
x0
ó
9
El número: 5076 y 5976
De acuerdo con el dato se sabe que: 577 aba 11 4
Los números serán: 5472 , 5076 , 5976
577
11
Clave A
5
52
08. El número de la forma aa0bbc al ser dividido entre 4 , 9 y 25 deja como residuo 2 , 4 y 7 respectivamente. Hallar “a”
De la división se concluye:
RP577 11 RP 5 11
A) 6 D) 0
Analizando los restos potenciales de 5 respecto al módulo 11 se tendrá: 0
0
5 3 11 4 4
C) 2
En el problema se tiene: º
0
5 2 11 3
B) 4 E) 3
RESOLUCIÓN
51 11 5
5
7y 4
Por 9: Si y = 2
aba ?
A) 18 D) 32
72 y 2
x .y = 2
577 aba 11 4
C) 5
RESOLUCIÓN
x 1
Clave D
06. Si:
B) 4 E) 8
g=5
4 2
aa0bbc
(*)
º
9 4 º
0
25 7
11 9
Se suma números que son múltiplos del módulo
0
5 5 11 1 0
51 11 5
aa0bbc
Como: 577 aba 11 4 de (*) se deduce que: aba 5 3 (**)
º
º
º
º
4 2 80 4 82 25 7 75 25 82
Ordenando se tiene: º
De (**) podemos afirmar que “a” solo puede ser 3 u 8, mientras que “b” puede tomar cualquier valor. A continuación se muestran todos los posibles valores para generar el número aba a 3 8
a a0b b c
aa0b bc
MCM( 4;25) 82
c 2
b8
b 0 1 2 3 9
Reemplazando
º
aa08 8 2 9 4
Criterio de divisibilidad por 9 º
aa0882 9 4 º
2a 18 9 4
6 7
º
100 82
a) ¿Qué es múltiplo de un número? º
º
º
2a 9 9 4 a 9 2 a 2
b) ¿Cuántos múltiplos tiene un número? Clave C
c) ¿Por qué se dice que 18 es múltiplo de 9? d) ¿Cuál es el múltiplo más pequeño de cada número natural?
2000 x ( 7) , hallar “x” 09. Sabiendo que 3
A) 1 D) 5
B) 4 E) 6
e) ¿Qué nombre reciben los múltiplos de 2? ¿Y los que no lo son?
C) 2
f) ¿Qué es divisor de un número?
RESOLUCIÓN
g) ¿Cuántos divisores tiene un número natural? h) ¿Cuál es el mayor divisor de un número distinto de cero?
Potencias de 3: o
3 0 7 1
02. Halle usted todos los factores o divisores de:
o
1
3 7 3 3
2
3
3
a) 10
o
7 2 7 6 o
3 4 7 4 o
3 5 7 5
)
b) 28 es múltiplo de 6.
(
)
c) 0 es múltiplo de 7.
(
)
d) 308 es múltiplo de 4.
(
)
e) 111 es divisible por 3.
(
)
o
f) 1050 es divisible por 125.
(
)
o
g) 4 + 6 es un número par.
(
)
h) 15 – 11 es un número impar.
(
)
3 7 {1; 3; 2; 6; 4; 5}
RP
Exponente de 3
n6 n 6 1 o
Resto = 2
n 6 2 n 6 3
Resto = 4
n 6 4
a) El conjunto de todos los múltiplos de 7 menores de 100.
o
b) El conjunto de todos los múltiplos de 14 menores que 125.
o
Resto = 5
3
04. Halle usted:
o
Resto = 6
2000
e) 60
(
o
Resto = 3
d) 17
a) 30 es múltiplo de 3.
3 6 7 1
Resto = 1
c) 35
03. Clasifique usted como verdadera o falsa cada una de las siguientes afirmaciones:
Gaussiano = 6
o
b) 18
n 6 5
c) El conjunto de todos los múltiplos de 2 elevada al exponente 3.
º
º
7 x Como 2000 6 2 x 2
d) Pruebe usted que la suma de tres números naturales consecutivos es siempre divisible por 3.
Clave C
e) ¿Cuál es la intersección del conjunto de los números pares
º
10. ¿Cuántos valores puede tomar “a” 353 66a 7 2 A) 1 D) 5
B) 4 E) 6
y el conjunto de los números impares?.
C) 2
f) Pruebe usted que la suma de dos números impares es un número par.
RESOLUCIÓN
RP353 7 RP 3 7 {1; 3; 2; 6; 4; 5} ,del
05. Responda a las siguientes preguntas:
ejercicio anterior Resto = 2
a) ¿Qué es la divisibilidad? º
º
b) ¿Qué entiende por criterios de divisibilidad?
66a 6 2 a 6 2
c) ¿Puede un número ser divisible por 10 y no por 5?, ¿Por
a = {2 ; 8 } 2 valores
qué?
Clave C
d) El producto de 6 x 30 x 5, es divisible por 4?, ¿Por qué?
PRÁCTICA DE CLASE
06. Completa una tabla y además marca con una aspa los casilleros respectivos (la flecha se lee “es divisible por”)
01. Responda a las siguientes preguntas:
6 8
2
3
4
5
6
7
8
9
d) 15
11
e) N.A
12. ¿Cuál es el residuo de dividir 370 entre 7?
18 21
a) 4 d) 1
33
b) 2 e) N.A
c) 5
13. ¿Cuál es el resto que se obtiene al dividir: 2 3K+1 + 2 6K+4 + 23 entre 7?
25 17 125
14. Hallar el residuo que resulta de dividir 155 154 entre 8.
485 521
15. ¿Cuántos numerales de dos cifras son múltiplos de 8 y terminan en 6?
127
16. ¿Cuántos numerales de 4 cifras múltiplos de 7 terminan en 3?
130
0
17. ¿Cuántos números de 5 cifras son tales que son 23 5 y terminan en la cifra tres .
333 07. Conteste lo siguiente:
a) 300 d) 541
a) ¿Cuál es el menor número de tres dígitos que es divisible
0
b) ¿Cuál es el menor dígito que debe escribirse a la derecha de 752 para que resulte un número divisible por 3; 4 y 11?
a) 529 d) 300
c) Cambia el orden de los dígitos del número 4370 a fin de que resulte un número divisible por 2; 4; 5 y 11. que resulte un número divisible por 9?
a)7 d)9
e) ¿Cuál es el menor número que debe aumentarse a 2573 para que el resultado sea divisible por 8?
b) 45 e) NA
c)8
21. Se compran panetones y tortas a $ 4 y $ 7 respectivamente. Si el gasto fue de $ 123 en total. Determinar la suma del número de panetones más el de tortas, si el producto de estos números es lo máximo posible. a) 10 b) 35 c) 24 d) 26 e) NA
a) ¿Cuáles son divisibles por 2? b) ¿Cuáles son divisibles por 7? c) ¿Cuáles son divisibles por 11? d) ¿Cuántos son divisibles por 5? e) ¿Cuántos son divisibles por 8?
22. La suma: ab ba es siempre divisible por:
09. Desarrolle los siguientes planteamientos:
a) 1 y 9 d) 1 y 99
a) Determinar una pareja (a; b) si: 2ab80 es múltiplo de
b) 1 y 11 e) N.A.
c) 2 y 8
23. La diferencia: ab ba es siempre divisible por: a) 1; 3 y 9 b) 3; 9 y 11 c) 9 y 11 d) sólo 9 e) N.A. 24. La diferencia: abc cba es siempre divisible por: I) 2 II) 3 III) 1 IV) 9 V) 11 VI) 7 Son ciertas:
72. b) Determinar una pareja (a; b) si: a96b 4 es múltiplo de 12. 10. ¿Cuál es el residuo de dividir 260 entre 7? c) 5
a) Sólo I, II y III b) sólo II, IV, y VI d) todas excepto I y VI
11 .¿Cuál es el residuo de dividir 250 entre 17 ? b) 13
c) 534
20. Cual es el menor número de tres cifras, múltiplo de 7 que como resto la unidad al ser dividido por 3 u 11? a) 130 b) 133 c) 150 d) 145 e) NA
08. Considerando los números siguientes: 116; 204; 380; 465; 720; 657; 1080; 453 y 2346. Indica lo siguiente:
a) 4
b) 625 e) NA
19. Cuantos números de 3 cifras múltiplos de 9 existen de tal manera que la cifra central sea igual a la suma de las laterales.
d) ¿Cuál es el menor número que debe restarse de 4370 a fin
b) 6 e) N.A
c) 391
18. ¿Cuántos números 17 4 de cinco cifras terminan en la cifra 2?
por 2; 3 y 5?
a) 1 d) 2
b) 400 e) NA
c) sólo II, III y V e) Todas
25. El producto de 3 números consecutivos es siempre múltiplo de:
c) 8
6 9
a) 1; 2; 3 y 4 d) 2 y 5
b) 2; 3; 4; 5 y 6 e) 1; 3; 7 y 11
c) 1; 2; 3; y 6
S/. 0,345. ¿Cuántos folletos de Aritmética adquirió, si el total de folletos es el mayor posible? a) 40 d) 55
26. El número de la forma a ( 3b) ( 2a) es siempre divisible por: a) 1; 2; 3 y 4 d) 1; 2; 3; 4; 6
b) 1; 2; 3 y 5 e) N.A.
b) 1 y 5 e) N.A.
a) 27 d) 52
c) 1 y 6
b) A, B y D e) N.A.
a) 40 d) 42
c) B, C y D
b) 13 e) 60
b) 21 e) 33
c) 50
a) 60 d) 30
c) 20
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
a) 15 d) 19
01. Un ratoncito sale de su hueco, hacia el hueco de su ratoncita, dando saltos de 11 cm, luego regresa dando saltos de 7 cm, pero habiendo recorrido 1,23 m ; se detiene a descansar. ¿ Cuánto le falta para llegar a su punto de partida ?. b) 0,53 m e) N.A.
b) 9 e) 20
c) 0,63 m
a) 42 d)21
b) 60 e) 90
c) 45
b) 16 e) 20
c) 18
b) 37 e)32
c)58
10. Camilo tiene 83 amigos, los 3/4 del total de mujeres fuman y los 2/9 del total de hombres son “Aliancistas”. ¿Cuántas amigas tiene Camilo? a) 65 b) 56 c) 63 d) 39 e) 52 11. En una academia hay 510 alumnos y en una encuesta se determina que de los hombres los 5/12 postulan a la UNS, los 2/5 postulan a la UPSP y los 4/9 a la ULADECH. Si el número de mujeres está comprendido entre 100 y 200. Hallar el número de alumnos que postulan a la UNS.
c) 10
03. Un comerciante compró medias, camisetas y pantalones. Si cada par de medias costó 2 soles, cada camiseta 20 soles y cada pantalón 40 soles y además compró un total de 100 artículos gastando para ello 400 soles. ¿Cuántos pares de medias compró? a) 45 d) 75
b) 50 e)N.A.
09. En un viaje de excursión donde viajaban 100 alumnos ocurrió un accidente y se sabe que los 2/7 de los sobrevivientes son “Asmáticos” y los 5/9 de los sobrevivientes son “Alérgicos”. ¿Cuántas personas murieron?
02. Un comerciante vende el kilo de manzanas a 24 soles y el kilo de naranjas a 14 soles. Una persona compra algunos kilos de manzanas y naranjas teniendo como importe 366 soles. Calcular cuantas manzanas compró esta persona si es un número máximo. a) 3 d) 17
c) 38
08. Un depósito de licores recibió 6 barriles de vino, cuyos contenidos eran: 15, 16, 18, 19 y 31 litros; luego se presentaron dos clientes: uno compra dos barriles y el otro dos, con la particularidad de que el segundo compró la mitad de litros que compró el primero. Si no hubo que destapar ningún barril a l momento de venderlos. ¿Cuál era la capacidad del barril que no se vendió?
EJERCICIOS PROPUESTOS
a) 0,58 m d) 0,45
b) 46 e) 36
07. En un barco donde iban 100 personas ocurre un naufragio. De los sobrevivientes: la onceava parte son niños y la quinta parte de los muertos eran casados. ¿Cuántos murieron?
30. ¿Cuántos múltiplos de 19 hay entre 50 y 450? a) 19 d) 32
c) 45
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
29. ¿Cuántos múltiplos de 13 hay entre 100 y 755? a) 20 d) 51
b) 38 e) 64
06. Raquel dispone de S/. 604, para adquirir artículos de diferentes cualidades, cuyos precios por unidad son S/. 13 y S/. 17. Hallar cuántos artículos ha comprado si estos tienen la misma preferencia.
28. En una tienda hay artículos A, B, C, D y F cuyos precios son: 2; 3; 5; 7 y 11 nuevos soles respectivamente. Si tengo S/. 231 y no me debe sobrar nuevos soles. ¿Qué artículos puedo comprar? a) A, B y C d) B, D y E
c) 49
05. Óscar comprando artículos en el mercado ha gastado S/. 8 156. Si ha pagado S/. 217 y S/. 125 por cada uno de los artículos diferentes que ha llevado, hallar cuántos artículos ha comprado.
c) 1; 2; 3 y 6
27. La suma de: ab ( 2a) bba ba, siempre el divisible por: a) 1 y 7 c) 1; 2 y 11
b) 44 e) 63
a)180 d) 90
c) 70
b) 140 e) N.A.
c) 150
12. El número de alumnos que se encuentran en un aula es menor que 240 y mayor que 100; se observa que los 2/7 de total usan
04. Jaimito va a una librería con S/. 19,68 y compra cierta cantidad de folletos; cada folleto de Física le costó S/.0,555 y los de Aritmética
7 0
anteojos y los 5/13 usan reloj. ¿Cuál es la diferencia de los alumnos que usan reloj y Anteojos? a) 6 d) 18
b) 9 e) N.A.
o
02. Si a b y 7a5b63 99 ¿Cuántos números cumplen la igualdad?
c) 15
a) 1 d) 4
BINOMIO DE NEWTON
b) 2 e) 5 o
o
a) 18 d) 11
ab
b5
ba
b) 15 e) 14
a) 8 d) 2
o
b) 2 e) 5
a) 4 d) 7
c) 3
b) 7 e) 9
c) 5
a) 0 d) 6
b) 7 e) 2
b) 2 e) 5
a) 2 d) 3
b) 1 e) 3
a) 6 d) 8
entre 11
20. Calcula el resto de dividir 6 a) 8 d) 3
b) 2 e) 5
13
b) 3 e) 6
a) 25 d) 35
c) 4
o
b) 28 e) 45 0
0
c) 30 0
10. Si ab 5 ; ba 9 ; abc 4 . Halle el mayor valor de a + b + c. a) 10 b) 11 c) 12 d) 15 e) 18
TAREA DOMICILIARIA
11. Al dividir un número entre 56 el residuo el residuo es 37. ¿Cuál es el residuo al dividir dicho número entre 14? o
01. Sabiendo que: abc 8 ; cba 5 ; ab 17 Hallar el valor de: “a + b + c” b) 9 e) 10
c) 7
09. El triple de la edad de Juan es múltiplo de 5, y el doble de dicha edad es múltiplo de 14. Halle dicha edad si es menor que 50.
21. Cual es el residuo de dividir: 108 88 7 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
a) 5 d) 8
b) 10 e) 11
a) 2 d) 5
c) 4
o
c) 1
08. Si ab37 es múltiplo de 9, calcule el residuo de dividir ab21 entre 9.
c) 1 500
b) 0 e) 4
07. Si a2a3aba 45 . Halle b + a
c) 8
b) 3 e) 5
c) 4
0
c) 3
98
b) 2 e) 5
Entre
06. Calcule el residuo al dividir aaa5 entre 3.
c) 5
19. Halla el residuo de dividir E 11 si: E = 32n + 2 + 26n + 1 + 3 a) 2 d) 4
c) 6
0
18. Cuál es el residuo de dividir 68UNT a) 2 d) 7
b) 5 e) 8
05. Si MARELLO 9 . Calcule El residuo al dividir: MARELLO 2005 MARELLO 2006 9.
17. Hallar el residuo de la siguiente división 3828 7 a) 4 d) 1
c) 4
04. Si babababab 15 , donde a < b. Hallar a + b
16. Hallar el residuo que deja la siguiente división 167667 11 a) 6 d) 3
b) 6 e) 0
c) 13
15. Donde 62403 15 dar como respuesta el residuo a) 6 d) 8
o
o
10 (b a)
14. Hallar el residuo en 436543 8 a) 1 d) 4
o
03. Si ab 5 ; ba 9 ; abc 8 . Hallar: “C”
13. Hallar el mayor valor posible de (a + b), sabiendo que
ab 4 y además: ab
c) 3
a) 10 d) 9
b) 12 e) 2
c) 8
12. En un salón de clases donde hay 61 alumnos, se observa que: La séptima parte de los hombres usan reloj La décima parte de las mujeres usan lentes ¿Cuántas mujeres no usan lentes?
c) 11
7 1
a) 12 d) 36
b) 20 e) 30
a) 22 d) 12
c) 40
b) 1 e) 4
c) 18
24. El número de alumnos que se encuentra en un aula es menor que 240 y mayor que 100; se observa que los 2/7 del total usan anteojos y los 5/13 son alumnos de la especialidad de ciencias. ¿Cuál es la suma de los alumnos de la especialidad de ciencias con los alumnos que usan anteojos?
13. Calcule el residuo al dividir: E = 11 + 13 + 21 + 23 + 31 + 33 + … + 111 + 113 Entre 5 a) 0 d) 3
b) 21 e) 10
c) 2 a) 130 d) 182
b) 125 e) 105
c) 122
14. Calcule la suma de los valores enteros y positivos de x menores 25. En un corral hay cierto número de gallinas que no pasan de 368 ni bajan de 354. Si las gallinas se acomodan en grupos de 2; 3; 4 ó 5 siempre sobra 1; pero si se acomodan en grupos de 7, sobran 4. ¿Cuántas gallinas hay en el corral si se añaden 6 más?
0
que 40, si x 5 7 . a) 117 d) 116
b) 81 e) N.A.
15. Sabiendo que 2a 9a39 a) 0 d) 3
c) 127
7
b) 1 e) 4
a) 361 d) 367
. Hallar: “a” c) 2
b) 8 e) N.A
a) 210 c) 128
c) 7
444..... 4 17. ¿Cuál es el resto de dividir entre 7? 200 cifras
a) 0 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
18. Calcular a b si: 89a 46b 56
a) 1 d) 7
b) 5 e) 9
c) 6
19. ¿Cuántos de los números de 1 al 180 son múltiplos de 3 y 4 pero no de 7? a) 12 d) 9
b) 11 e) N.A.
c) 10
20. Hallar a sabiendo que 4aa5a2 es divisible entre 7 a) 1 d) 4
b) 6 e) 5
c) 8
21. Hallar: a + b + c, si: o
o
3a26 7
19b82 11
a) 14 d) 18
b) 16 e) Más de 19
o
14c 6c 9 c) 17
22. Hallar (x + y), donde el numeral 51x 7y es múltiplo de 77 a) 14 d) 11
b) 12 e) 13
c) 365
26. A un congreso de informática asistieron personalidades Europeas y Americanas; entre los Europeos los 2/7 son médicos, los 5/14 son ingenieros y los 8/15 son abogados. ¿Cuántos americanos se presentaron si en total asistieron 348 personalidades?
16. Sabiendo que 4ab58a 56 . Hallar: a b a) 9 d) 6
b) 363 e) 369
c) 10
o
23. Si 4ab1 63 . Dar como respuesta ab ( 5) expresado en base decimal
7 2
b) 140 d) 138
c) 310
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