Divisibilidad y Cocientes Notables

DIVISIBILIDAD Y COCIENTES NOTABLES

⇒

separadamente por ( x −a ) , ( x −b ) y

DIVISIBILIDAD Dados dos polinomios  D ( x )  y de grados no nulos, se dirá

(a ≠ b ≠ c ) ,

d ( x )

 D ( x )

es

Q ( x ) , tal que la división es exacta. Es

decir:

divisible por ( x −a )( x − b)( x −c )

Un polinomio  P ( x )  de grado no nulo  x =a

si y solo si

divisible

( x −a ) ,

se anula para es

( x −a )

por

es un fcator de

 P ( x ) .

⇐

 P ( x  x )

es div divisib isible le por por es

divisible  F ( x )

es

por

G ( x )

 H ( x ) ,

divisible

por

por

y

G ( x )   son divisibles

 H ( x ) , ento ntonce nces la suma uma y la

diferencia de

 F ( x )

divisible por  H ( x ) .

TEOREMA 3

será

( x −a ) ,

COCIENTES NOTABLES (C.N.) #lamaremos cocientes notables $%.&.' a aque aquello llos s coci cocien ente tes s que que obti obtien enen en en forma directa, directa, es decir, sin la l a necesidad efectuar el proceso de la división.

m

 p

a

b

la cual cual gene genera ra un coci cocien ente te nota notabl ble e $%.&.' si se cumple la siguiente:

CONDICIÓN SUFICIENTE

NECESARIA

Y 

m  p  = =n a b

TEOREMA 2  F ( x )

entonces

y

 H ( x ) .

i

es div divisib isible le por por el prod produc ucto to

( x −b )  y ( x −c ) . ( a ≠ b ≠ c )

 x ± y

entonces

producto

!ec"p ec"prrocam ocamen ente te si el poli polino nomi mio o

 x ± y

TEOREMA 1

G ( x )

el

es

  En forma general se tendrá divisiones de la siguiente manera:

TEOREMAS DE DIVISIBILIDAD

 F ( x )

 P ( x )

divisi divisible ble separ separada adame mente nte por

TEOREMA DEL FACTOR

i

entonces

( x −a ) ( x −b ) ( x − c ) ,

 D ( x ) ≡ d ( x ) ⋅ Q ( x )

entonces

los binomios ( x −c )   tal que

d ( x )   si existe un único

divisi divisible ble por

 P ( x )

 i el polinomio  P ( x )  es divisible

y

G ( x )

donde ( n ( es el número de t)rminos del cociente notable $ n ≥ 2, n ∈ Z  '.

es

TEOREMA DEL TÉRMINO GENERAL i un cociente notable consta de ( n ( elem lemento ntos y se quie quierre calc calcul ula ar un

t)rmino de lugar ( k  (, se utili*ará la siguiente expresión: Caso 1 m

 p

 x ± y a b  x − y

T  k  = ( x

Entonces:

a n−k 

⏟

) ( y b )k −

i el polinomio

Prob!"# 1.

1

lugar

 P ( x ) ¿ x + 3 x + x + ! 3

2

 Caso 2 m

es

 p

 x ± y a b  x + y

divisible

( x + 4 ) ( x −2 ) ,

entre

entonces el valor de   − !  es T  k  = (−1 )

Entonces:

k + 1

⏟

( x a )n−k  ( y b ) k −

1

+' −2

' −1

D'

E'/

%'-

lugar

SOLUCIÓN

( n→impar )

TÉRMINO CENTRAL n−1

T central =T n+1 = ( x

a

)

2

n−1

( y ) b

3

2

3

2

 x + 3 x + x + !  x + 3 x + x + ! ∧  x + 4  x −2

2

2

CASOS PARTICULARES

0or teorema del resto

$.  x =−4 ⟹ ( −4 ) + 3 ( −4 ) +  (−4 )+ ! =0 3

+ continuación mostraremos un cuadro resumen de los cocientes notables que se obtienen de las divisiones de la forma:

2

−64 +48 − 4  + !=0 ⟹ 4  

 xⁿ ± yⁿ  x ± y

−! =−16

x =2 ⟹ 2 + 3 ( 2 ) +  ( 2 )+ ! =0 3

$$.

2

8 + 12 + 2  + !=0 ⟹ 2 

+ ! =−20

#uego

{

−! =−16 ⟹  =−6 ∧ !=−8 2  + !=−20

4  

∴ 

sea divisible entre 3 u + ' + ( 4

− !=−6 −(−8 )=2

Prob!"# 2. i el polinomio

 P ( x ) = 2 x + x + a x + bx + c 5

es

4

divisible

por

( x −1 ) 4

,

E' −3

SOLUCIÓN 3

%' −2

D'-

E' −1

3

3

 #e$t%=3 u'( + ku'( =0

#uego '

⟹ ku'(

=−3 u'(

=−3

∴ k 

Prob!"# %. El polinomio

SOLUCIÓN

5

4

3

2

 x −2 x −6 x + mx + nx + p

#a división 5

D'/

%'

u + ' + ( =0 ⟹ u + ' + ( =3 u'(

 a + b a −b

+'1

2 x

' −1

2

determine el valor de  " =

+'1

4

2

+ x + a x + bx + c  x −1

es

4

es exacta y por teorema del resto 4

4

 x − 1 =0 ⟹ x =1  #e$t% =2 (1 ) x + 1+ a x + bx + c =0 2

divisible

( x −3 ) ( x 2−1 ) ,

por

( m+ n + p )  es

luego el valor de +'15

'16

D'6

E'-

%'5

SOLUCIÓN 2 x + 1 + a x

2

+ bx + c =0

%omo

( 2 +b ) x + ax 2+ ( c + 1 ) =0 ⟹a

5

4

3

2

 x −2 x − 6 x + mx + nx + p

divisible

( x −3 ) ( x + 1 ) ( x −1 )

por

entonces es divisible por ( x −1 )

= 0, b =−2, c =−1

es

y

por teorema del resto ∴ "

=

a + b −2 = =−1 a− b 2

 #e$t% =1 −2 ( 1 ) − 6 (1 ) + m ( 1 ) + n ( 1 ) + p =0 5

Prob!"# 3. 2alle el valor de 3 k  4

para que el polinomio

∴m

 P (u & ' & ( ) =u + ' + ( + ku'( 3

3

⟹1

3

4

3

−2−6 + m+ n + p=0

+n + p =7

2

Prob!"# &. Un polinomio

 F ( x )  al ser

( x + 1)n

de7a como

dividido por

( x + 1)

residuo

y

un

cociente

Q ( x ) . i la suma de coe8cientes  F ( x )  es

de

/. 9%uál es el valor de 3 n 4 ';

D'=

E'

4

0or el teorema del resto P (−1 )=( 2 (−1 ) −3 ) ( a (−1 )+ b ) =7 4

$.

− b=7

⟹a

Q ( x )  es

98  y de

+'/

 P ( x )= ( 2 x −3 ) ( ax + b )

P (2 )= ( 2 ( 2 ) − 3 ) ( a ( 2 ) + b ) =232 4

$$.

%'<

⟹ 2a

{

+ b= 8

+ b= 8 ⟹ a =5 ∧ b =−2 a −b =7

2a

SOLUCIÓN 0or el algoritmo de la división

∴

n

 F ( x )= ( x + 1 ) Q ( x )+ x + 1

∑ c%e) * [ P ( x ) ]=−3

Prob!"# . Un

∑ c%e) Q ( x )=Q ( 1 )=3

polinomio

grado es divisible entre tiene ra"* cuadradas

 F ( 1 ) =2 Q (1 ) + 1 + 1 =98 n

( x −2 )

dividirlo entre ⟹2

n

.3 + 2 =98 ⟹ 2

n

de cuarto

=32=25

( x + 2) ,

exacta. +l y

( x + 1)

los restos obtenidos son iguales a 1