Divisibilidad Uni
July 22, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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A R I T M É T I C A
unidad
4
Divisibilidad
DIVISIBILIDAD DE NÚMEROS Un número entero es divisible entre otro positivo (Módulo), cuando al dividir el primero entre el segundo el cociente es entero y el residuo res iduo cero. A
A B 0 K
B
K
División Entera por exceso: A = B x ( K + 1) - r e
A=
A: número entero Donde: B: número entero positivo (Módulo) (Módulo) K: número entero A es divisible divisible entre B Entonces B es divisor de A B divide a A
2. MULTIPLICIDAD DE NUMEROS Un número entero es múltiplo de otro positivo (Módulo), cuando es el resultado de multiplicar dicho entero positivo por un entero cualquiera. A = B x K
3.2.Si A no es múltiplo de B (o no es divisible, que es lo mismo), entonces por el Teorema Fundamental de la división entera: División Entera por defecto: A = B x K + r d
r e
N Cant. de #s = Parte entera de:
n
4. PRINCIPIOS OPERATIVOS
n + n +
conceptos equivalentes en el conjunto de los enteros, con la restricción hecha sobre el módulo. Así:
4.4. Potenciació Potenciación:
n
n - n
n
n
m
=
n
.K=
n = n
+ . . . . +
4.3. Multiplicació Multiplicación:
n
n
5. TEOREMA DE ARQUIMEDES - E EUCLIDES UCLIDES “Si un módulo divide al producto de dos enteros y no tiene divisores comunes (aparte de la unidad) con uno de ellos, entonces divide al otro número”. número”. Ejemplos:
9xA=
7
A=
7
13 x B = 5 B =
3.1. A A es múltiplo B =
-
4.2. Sustracción:
A = mB
B
son n , en la secuencia consecutiva desde 1 hasta el número N, está dada por:
Podemos observar entonces que la multiplicidad es la expresión del teorema fundamental de la división por lo tanto la Divisibilidad y la Multiplicidad de números son
3. NOTACIÓN Y REPRESENTACIÓN GENERAL
=
Observación.- La cantidad de números que
NOTA:
A es divisible entre entre B B es divisor de A A es múltiplo B, e entonces: ntonces: B divide a A B es sub múltiplo de A B es factor a A
r d
“Si un número entero no es divisible entre cierto módulo, entonces se puede expresar de dos formas respecto a múltiplos de él, como un múltiplo del módulo más cierto resto o como múltiplo del módulo menos cierto resto, la suma de los restos debe ser igual al módulo empleado”. empleado”.
4.1. Adición:
Si:
+
NOTA:
A: número número entero B: número número entero positivo positivo (Módulo) (Módulo) K: número entero
A es múltiplo de B Entonces: B es sub múltiplo de A B es factor a A
B
5
Observación.- Si en el producto de los dos enteros, uno de los factores admite divisores comunes con el módulo (aparte de la unidad),
A =
mB = B = B x K
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B
entonces para poder usar eltales teorema, primero se deberá simplificar elementos comunes, tanto en el factor como en el módulo. 1
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6.4. Criterio de Divisibilidad entre 11
6. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un numeral es divisible entre 11 empezando de derecha a izquierda, diferencia entre la suma de sus cifras orden impar y la suma de sus cifras orden par es divisible entre 11.
Definición: Son ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral permitirán determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo.
6.1. Criterios de Divisibilidad potencias de 2:
entre
abcde
*
abcde
abcde
2
2
e = 0,
e = 00,
4
a - b + c - d + e = 11
Ejercicio: ¿Cuál es el valor de “X” para que el numeral 4X17 sea divisible entre 11?
4 X17
Solución:
e = 000, 8
8
11
4
abcde
=
si la de de
11
=
*
Entonces: - 4 + X - 1 + 7 =
Ejercicios: ¿Qué valor debe asignarse a “X” para que el numeral entre 8?
X+2= X=9
21327 X sea divisible
Un numeral es divisible entre 7 si al multiplicar cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; . . . . y luego de efectuar, la suma algebraica resultante es divisible divisibl e entre 7.
21327 X = 8
27 X =
6.2. Criterios de potencias de 5.
abcde
abcde
abcde
5
25
*
12 125 5
8
X=2
Divisibilidad
1 2 3 12 3 1
entre
a bcd e fg = + -
e = 0,
e = 00,
*
5
25
Hallar: m + n ; si:
10363 mn
Ejercicio: ¿Cuál es el valor de “a” si el numeral divisible entre 7? 13a372 372 es divisible 2 3 12 3 1
Entonces: - 2 - 9 - a + 6 + 21 + 2 =
125
18 - a = 7 a=4
3mn = 375 m=7
6.6. Criterio de Divisibilidad entre 13:
n=5
Un numeral es divisible entre 13 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por: 1; -3; -4; -1; 3; 4; 1; -3; -4; . . y luego efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre 13.
m + n = 12
6.3. Criterio de Divisibilidad entre 3 ó 9 abcd 3
a+b+ c+d=
abcd
9
7
3mn = 125
13a372 = 7 - +
Resolución:
-2b-3c-d +2e +3f +g = 7
+
e = 000, 125
7 a
Ejercicios:
Solución:
11
6.5. Criterio de Divisibilidad entre 7
Solución:
11
a + b + c+ d=
14 3 14 31
+ -
*
Hallar: “X”, si: 13X52
a - + 4b + 3c - d -4e - 3f + g = 13
9
* Ejercicio:
abc def g = 13
3
+
Ejercicio: ¿Qué valor debe tomar “b” en el numeral 128 128b306 306 si es divisible entre 13.
9
14 3 14 3 1
Solución: 1 + 3 + X + 5 + 2 = 9
Resolución: 128 b30 6 = +
-
13
+
11 + X =
9
Entonces: 1 + 8 + 24 - b - 12 - 0 + 6 =
13
X=7
2
27 - b =
13
b=1
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A R I T M É T I C A 6.7. Criterio de Divisibilidad entre 33 y 99 Se descomponen el numeral de derecha a izquierda en bloques de 2 cifras y la
suma de ellos es
*
8.3. Para un numeral escrito en base “n”: “n”:
99
abcdef abcdef
33 o
n a n b n c n a . b . c
ab cd ef 33
n e
ab cd ef 99
abcde ( n)
Ejercicio: ¿Cuál es el valor de “a+b” si el numeral
n2 de (n)
3
n
13ab54 es 99 ?
Resolución: 13ab54 : 13 +
54 = 99
ab = 99
- 67
cde ( n)
PROBLEMAS PROPUESTOS
ab +
1. * ¿Cuántos ¿Cuántos múltiplos de 13 hay en la secuencia. 1; 2; 3; … ;300 ? ?
0
ab = 99
+ 32 a + b = 5
7. DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON 7.1. Primer Caso k
n r n r k
7.2. Segunda Caso
k
n r k
n r
, si “k” es par. par.
k
n r , si “k” es impar. impar.
8. PROPIEDADES 8.1. Si un número es múltiplo de varios módulos, entonces es múltiplo del MCM de dichos módulos; es decir si:
Na
3. El número de alumnos inscritos en el ciclo 2006-I del CPU esta comprendido entre 850 y 950. Si se cuentan de 12 en 12 sobran 5, de 15 en 15 sobran 8 y de 18 en 18 sobran 11. Halla el número de alumnos inscritos. a) 891 b) 893 893 c) 853 d) 892 e) 873 4. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. I. El cero es un divisor de todo número y la unidad es múltiplo de todo número. II. II. Un numero entero negativo puede ser múltiplo de un numero entero positivo III. III. Un numero A es divisible entre otro numero B; si al dividir A entre B la división es exacta. Además : AZ;
b
N
mcm(a, b, c )
c) FFV
d) FVF
e) VFV 0
5. Si N es un numero entero tal que: 5N + 3 = 7 Calcular la suma de cifras del máximo valor de N de 2 cifras. a) 15 b) 14 c) 13 d) 16 e) 11
Nc
2. En Una conferencia de prensa a donde asistieron 83 personas; se sabe que los 7/17 de los varones son solteros y los 5/8 de las damas tenían automóvil. ¿Cuál es la diferencia del número de damas y varones? a) 32 b) 51 c) 37 d) 41 e) 19 19
B Z, Kb) Z. a) VVV FVV
N
* Del 240 al 1500. ¿Cuántos números son 15 ? Dar como respuesta la suma de ambos resultados a) 113 b) 72 c) 108 108 d) 126 e) 94
En general:
0
N a r
N b r
N mcm( a, b, c )
r
N c r
8.2. Si con respecto al módulo “n”, los
números n a ,
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9 . Hallar: “a” “a” d) 9 e) 5
7. Un numero de la forma: ab(2a )(2b) por que numero no necesariamente es divisible: a) 17 b) 6 c) 51 d) 34 e) 9 8. ¿Cuántos números de 2 cifras cumplen con que al ser
n b y n c se
multiplican; multipli can; entonces:
6. Si: 1a 2a 3a ... 10a a) 6 b) 7 c) 8 8
divididos entre 5 y 9 dejan como residuo 4 y 6 respectivamente? 2 b) 4 c) 6 d) 3 e) 5 a) 2
3
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9. Hallar el residuo de dividir E7 donde: E = 1 x 8 + 2 x 82 + 3 x 83 + 4 x 84 +…+ 100 x 8100 a) 33 b) 1 c) 5 d) 7 e) 9 ( 2) x pp31( 4) 10. Sabiendo que: N = cpu3( 8) x cc 101
Calcule el residuo al dividir N entre 8 a) 1 b) 2 c) 33 d) 4 0
11. Si 6m35
0
9 y
4(m 2 )n5 11
¿Cuál será el residuo al dividir: a) 22
b) 4
e) 5
mmnn entre
d) 6
e) 7
b 56 . Calcular: (a+b) 12. Si: 89a 46 a) 4 b) 5 c) 8 d) 7
e) 9
0
c) 5
25?
puc
2. En una batalla se observa que de los sobrevivientes los 5/6 son casados y los 2/9 resultaron ilesos. ¿Cuántos soldados murieron, sabiendo que inicialmente en total eran 60 soldados, además la cuarta parte de los
3. Determine cuantas soluciones tiene
e) 47
mn ,
si: 0
0
14. Si: cpu 9 3
1. ¿Cuántos números que terminan en 9 son múltiplos de 13? a) 3 b) 5 c) 7 7 d) 9 e) 8
sobrevivientes eran veteranos? a) 36 b) 24 24 c) 45 d) 38
13. Si un numeral de 3 cifras e igual a 12 veces la suma de sus cifras. Calcule el producto de las cifras de mayor y menor orden de dicho numeral. a) 88 b) 16 c) 10 d) 12 e) 9 0
Tarea Domiciliaria
5
mn + 2 mn + 3 mn + … + 10 mn =
a) 2
b) 3
c) 5
d) 7
715 e) 8
0
4. Si se cumple que: aba2b Hallar : “b - a” a” a) 4 b) 5 c) 6 6
99 d) 7
e) 3
0
cup
5. Sabiendo que: abcd ( 8) .55( 8)
12
Calcule la suma de valores de S = c + p + u a) 30 b) 31 c) 32 d) 34 e) 33 33 0
15. Si: abcd
37
dcba
a) 60 e) 12
0
16. Si: a 441b78 c 6 es 33 . Hallar el máximo de : d) 99
18. Calcular el residuo al dividir: E = 613! + 714! + 519! x 719! entre 9 c) 3 d) 4 a) 1 b) 22
e) 108
e) 8
19. Si se cumple que:
6b8(11) C.A a1b3c 8
C.A
0
0
12 4
ababab( 8)
7
0
99 13 Determinar: a . b . c a) 180 b) 168 c) 240 d) 294 294
e) 504
0
20. Si
ababb( 7)
55 9 ; determine el residuo
generado al dividir entre 63 el numeral ababab( 8) a) 20 b) 21 21 c) 22 d) 8 e) 40
4
c) 80 80
d) 90
e) 100
7. Si se cumple. 0
abcd
0
9
bcad
7 0
0
cabd
17. Hallara el residuo de dividir 559403 entre 11. Dar respuesta el residuo por exceso. a) 3 b) 5 c) 88 d) 9 e) 7
b) 70
adbc 11
c) 93
e) 35
a + b + c = 12
( cb + a) a) 27 b) 60
d) 42
6. Si: abc 70 ; además: Calcular: a2 + b2 + c2
9
cdab 11 Calcular el mínimo valor de “(b + c)” c)” a) 55 b) 2 c) 1 d)
c) 40
nmm3n
0
0
0
Calcular: “m . n” n” a) 56 b) 45
5
Calcule: (ab + cd) máximo a) 25 b) 38 38 c) 18 d) 20 e) 30 8. * a3b67( 8)
0
0
7 2 ;
* 437ab ( 8)
9 2
Calcule el residuo al dividir: abab entre 11 a) 66 b) 8 c) 10 d) 5 e) 2 9. Desde el primer día de julio se observa que un caño averiado arroja: 8; 15; 22; …. Gotas respectivamente. Si el caño fue arreglado el 31 de agosto. ¿En qué día arrojo por tercera vez una cantidad de gotas múltiplo de 13 mas 5? a) 8 de julio d) 22 de julio b) 21 de julio e) 3 de agosto agosto e) 9 de agosto 10. Siendo:
a(a
2)mma(a 2)mm...ma(a 2)m ( 7)
mn
0
5 3
(5a + 2) cifras Calcule: a + m ; si mn es múltiplo de 11 y máximo. a) 9 b) 6 c) 11 d) 12 e) 10
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