Divisibilidad Scribd

1

Divisibilidad Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de las condiciones que debe reunir un número para que sea divisible por otro (llamado módulo), es decir, cuando lo contiene un número entero de veces o en otras palabras cuando su división es exacta.

Múltiplo: Un número “A” es múltiplo de otro “B” cuando A contiene a B un cierto número exacto de veces.

Divisor: Se dice que un número “B” es divisor o divide a “A”, cuando está contenido un número entero y exacto de veces.

A contiene a B A es múltiplo de B B es divisor de A B es factor de A A y B son números divisibles A es divisible por B

Operaciones con los múltiplos: 1. El resultado de sumar varios números múltiplos de “n” también será un múltiplo de “n”. 0

0

0

0

0

n n n n  n 2. La diferencia de dos números múltiplos de “n” también será un múltiplo de “n” 0

0

0

n n  n 3. El resultado de sumar varios números múltiplos de “n” también será un múltiplo de “n”. 0

0

0

0

0

n n  n  n  n 4. El producto de un número múltiplo de “n” por otro número cualquiera también será múltiplo de “n”. 0

0

n k  n 5. Al elevar un número múltiplo de “n” a cualquier número, el resultado será también múltiplo de “n”.

k 0 0 n   n   6. Dado un número positivo “n” y otro múltiplo de “n”,. si dividimos el mayor entre el menor, el cociente obtenido será un número entero0

n k n

Representación: 0

n  múltiplo de "n" 0

n + rd  múltiplo de "n"+ residuo por defecto 0

n + re  múltiplo de "n"+ residuo por exceso

ejemplo:

Exacta

Propiedades: 1. Todo número es múltiplo de los factores que lo forman o de alguna combinación de estos factores.

30 =2×3×5 Luego : 0

0

0 0

0

0

0

0

30  1, 2 , 3, 5, (2  3) ,(2  5), (3  5), (2  3  5), Por defecto

Por exceso

Aritmética

2. Todo número entero es divisible por la unidad y sí mismo. 3. Si dos números enteros son divisibles por un número o modulo “n”, entonces la suma de éstos también será divisible por dicho número. 4. Cero es múltiplo de todo número.

2 5. Si dos números enteros son divisibles por un número o modulo “n”, entonces la diferencia de éstos también será divisible por dicho número. 6. Si un número A es divisible por otro B, entonces todo múltiplo de a será también divisible por B. 7. Si A es divisible por otro B, entonces será divisible por cualquier divisor de B. 8. Si un número es divisible por varios números simultáneamente, entonces, será divisible por el MCM de dichos números. 9. Principio de Arquímedes: dados dos números enteros cuyo producto es divisible por un cierto modulo, si uno de tales números no admite divisores comunes con el modulo, aparte de la unidad, entonces el otro número será divisible por dicho modulo.

Criterios de divisibilidad: Llamamos criterios de divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral, permitirán determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por dos, cuando acaba en cifra par. o

abcd  2  d  0 , 2, 4, 6, 8 Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4, cuando las dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4. o

o

Divisibilidad por 8: Un número es divisible por 8, cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8. o

abcd  8  bcd  000 , 8 Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5, cuando su última cifra es cero o cinco. Aritmética

Divisibilidad por 25: Un número es divisible por 25, cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 25. o

o

abcd  25  cd  00 ,25 es decir cd  00 , 25, 50, 75 Divisibilidad por 125: Un número es divisible por 125, cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 125. o

o

abcd  125  bcd  000 ,125 es decir bcd  000 ,125,250, 375, 500 , 625, 750, 875, Divisibilidad por 3: Un número es divisible por tres, cuando la suma de todas sus cifras da por resultado un múltiplo de 3. o

o

abcd  3  a  b  c  d  3 Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9, cuando la suma de todas sus cifras da un múltiplo de 9. o

o

abcd  9  a  b  c  d  9 Divisibilidad por 6: Un número es divisible por 6, cuando es divisible por 2 y por 3. o

o

o

abcd  6  abcd  2  abcd  3

abcd  4  cd  00 , 4

o

o

abcd  5  d  0 , 5

Divisibilidad por 10, 100, 1000: Un número es divisible por 10, 100, 1000 cuando termina en 0, 00, 000 respectivamente. Divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7, cuando al multiplicar a cada una de las cifras (empezando en el primer orden) por: 1; 3; 2; –1; –3; –2; 1; 3; 2; ....... y luego efectuar la suma algebraica, el resultado es un múltiplo de 7. Divisibilidad por 11:

3 Un número es divisible por 11, cuando la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar y la suma de sus cifras de orden par es divisible entre 11.

13. Hallar m n p, si se cumple que: mnp  5  m  n  p

1.

14. Para qué valor de “n” el número capicúa 3n3 al ser dividido entre 23, el resto que se obtiene es 5.

Ejercicios para la clase

Del 1 al 400 averiguar: a) ¿Cuántos son múltiplos de 7? b) ¿Cuánto son múltiplos de 12?

2. Entre 60 y 300, ¿Cuántos son múltiplos de 12?

o

valores toma “x”, si 4xx8  7 ?

15. ¿Cuánto debe ser el valor de “x” para que: 1c11c111c...... de 20 cifras, sea múltiplo de 9?

16. ¿Cuál es el resto

3. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 7?,

252525252.........252525 50 cifras

?

4. ¿Cuántos son múltiplos de 7 y terminan en 1?

Ejercicios para la casa

5. ¿Por qué número es siempre divisible un número de 3 cifras iguales?

1.

6. La diferencia entre un número de 3 cifras y el que resulta de invertir el orden de sus cifras siempre es múltiplo de: 7. En un salón de 36 alumnos se observa que la séptima parte de las mujeres son rubias y que la onceava parte de los hombres usan anteojos. ¿Cuántos hombres no usan lentes? 8. Hallar el valor de “a” en cada caso: a)

¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 25? A) 20 B) 24 C) 26 D) 28 E) 22

2. ¿Cuántos números de 3 cifras que terminan en uno existen, tales que al ser divididos entre 17 dan como residuo uno? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 3. Del 1 al 600: o

a) ¿Cuántos son 15 ?

o

443a6  4

o

o

b) ¿Cuántos no son 15 ?

o

c) ¿Cuántos son 15 y 9 ?

b) 324a1  3 c)

o

535a5  5

9. Hallar “p” si 4p8p6 es divisible entre 11. 10. Hallar el valor de “k” si se sabe:

o

4. Entre 300 y 700, ¿cuántos números terminan en 8 y son divisibles entre 12? A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 11 5. ¿Cuántos números de la forma abab son múltiplos de 7? A) 12 B) 14 C) 13 D) 15 E) 9

o

mn  5 o

nm  9

o

6. Calcular “a”, si: 4a3  21

o

mnk  8

A) 2

11. Hallar m  n  p, si se tiene: o

mnp  45 o

pm  8 12. ¿ Cuántos Aritmética

3

B) 3

C) 5

D) 8

E) 7

7. Un día el colegio fue de paseo por Chosica y un alumno muy curioso queriendo saber cuántas chicas fueron, observó lo siguiente: la quinta parte fueron con falda, la séptima parte fueron con pantalón y la onceava parte fueron con ropa deportiva. Si en total fueron

4 700 alumnos. ¿Cuántas chicas con falda observó este curioso alumno? A) 35 B) 55 C) 70 D) 77 E) 385 o

8. ¿Cuánto vale “a” si se sabe: 6a03  17 ? A) 2

B) 4

C) 1

D) 8

E) 5

9. El número (2a)a(2b)b es siempre divisible por: A) 2 B) 4 C) 5 D) 7 E) 13 10. Hallar el valor de “x” para que el número 14xx sea divisible entre 12. A) 2 B) 4 C) 5 D) 8

E) 7

11. La suma de un número de tres cifras con el número que resulta de invertir el orden de sus cifras es 1252. Hallar la suma de las cifras de dicho número, sabiendo además que es múltiplo de 5. A) 12 B) 14 C) 16 D) 13 E) 15 12. ¿Cuántos números enteros pares y positivos que sean múltiplos de 7, hay entre 200 y 500 A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 13. ¿Cuál es el mayor número positivo que es menor que 560, es además múltiplo de 7, 5 y 10 a la vez? A) 490 B) 492 C) 494 D) 496 E) 448 14. Determina cuántos números desde el 80 hasta el 4000, son: a) Divisibles por.4 b) Divisibles por 10 c) Divisibles por 4 y 10. d) Divisibles por 4 pero no de 10. e) Divisibles por 10 pero no de 4. o

15. Hallar “a”, si: 8a21  19 A) 1

B) 3

C) 7

D) 9

E) 2

16. Se desea saber cuántos hombres hay en un salón de 40 alumnos, si se sabe que las mujeres son mayoría y además que la quinceava parte de estas son jugadoras de vóley. A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 17. Determinar cuántos números hay desde 150 Aritmética

hasta 100 que sean múltiplos de 5. A) 170 B) 171 C) 172 D) 173

E) 174

18. ¿Cuántos números de 4 cifras hay, tal que al disminuirle 5 resulten ser múltiplos de 4? A) 2100 B) 2150 C) 2200 D) 2250 E) 2300 19. Determinar cuántos múltiplos de 19 hay entre 100 y 800 y que además terminen en 7 A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 20. Hallar la suma de todos los múltiplos de 45 que tengan 3 cifras y que sean menores que 400. A) 1480 B) 1485 C) 1490 D) 1495 E) 1470 21. ¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 17 y terminan en 2? A) 51 B) 52 C) 53 D) 54 E) 55 22. Calcular “m”, si el número 7m5 es múltiplo de 17. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 23. ¿Cuántos valores puede tomar “x”, si la expresión E es múltiplo de 9? x23x23x23x23..... 179 cifras

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

24. ¿Por qué número es siempre divisible un número de la forma a(2b)ba ? A) 2

B) 3

C) 5

D) 7

E) 11

25. A un concurso de baile asistieron provincianos y limeños. Entre los limeños se observó que los 5/8 son “merengueros”, los 9/14 son “salseros” y los 8/15 son “rockeros”. ¿Cuántos provincianos se presentaron, si en total asistieron 1400 concursantes? A) 390 B) 490 C) 510 D) 590 E) 810

5

Ejercicios para la clase 1.

¿Cuántos

valores

puede

Ejercicios para la casa

tomar

“a”,

si:

o

a(2a)b(2b)  3 ? o

1.

Si

o

(2a)(3a)a  3 ,

tomar “a”? A) 0 B) 1

2. Hallar el menor valor de a  b en aab  20 3. ¿Cuántos números de la forma 2n5m3 son múltiplos de 77? 4. ¿Cuántas cifras “cinco” se deben colocar a la derecha del número 37, para obtener por primera vez un múltiplo de nueve? 5. Hallar cuántos números de cuatro cifras existen, tales que sean divisible entre 13 y terminen en 94. 6. Hallar a  b  c, si se cumple: abc  ab  bc  ca 7. Determinar la suma de todos los números de cinco cifras de la forma 27a4b , de modo que estos sean divisibles por 4 y 9 a la vez. 2

8. Si n es un número divisible entre 3 y además el resto de dividir “n” entre 3 es “r”, cuál de las alternativas se cumple: f)

o

2

+ 2r

j)

r 2r

o

3

2

9. Un número de 3 cifras es múltiplo de 8. Si el número se invierte, es múltiplo de 5. Si el o

número de 3 cifras es abc y ab  17 . hallar el valor numérico de (a  b  c) 10. Si un número capicúa de 3 cifras es divisible por 17. ¿Cuáles son los números que cumplen con esta condición? 11. En un barco viajaban 100 personas y ocurre un naufragio. De los sobrevivientes se observa que la onceava parte son niños y que la quinta parte de los muertos eran casados. ¿Cuántos murieron?

Aritmética

E) 4

o

expresión E= m  n  p  q? A) 23 B) 24 C) 28

D) 30

E) 36

3. ¿Cuántos números de la forma 18a5b son múltiplos de 33? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4. ¿Cuántas cifras “siete” se deben colocar a la derecha del número 48 para obtener por primera vez un número múltiplo de nueve? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 5. Hallar cuántos números de 4 cifras existen tales que sean divisibles por 11 y terminen en 29. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 o

o

o

B) 180

C) 200

D) 210

E) 240

7. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 8 y terminan en 4? A) 20 B) 24 C) 26 D) 28 E) 22

h) r  r = 2 2

D) 3

puede

2. Si. mnpq  25 ¿Cuál es el máximo valor de la

A) 175

2

g) r  2 es impar.

r

C) 2

valores

6. Si xyz  9 ¸ ¸. zx  8 yxz  5 Hallar x  y  z

2r + 1  3

i)

¿Cuántos

8. ¿Cuántos números de 4 cifras divisibles por 13 existen, sabiendo que empiezan en 5 y terminan en 3? A) 3 B) 4 C) 7 D) 9 E) 11 9. Hallar un número capicúa de 4 cifras que sea múltiplo de 105. Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 20 B) 24 C) 26 D) 28 E) 22 10. Si es el menor posible y además a  b  c =17. Hallar a  2b  3c A) 27 B) 32 C) 36 D) 38 E) 41 11. Hallar el valor de “b” si: ababab..... 21 cifras

A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

6 12. ¿Cuántos números de cuatro cifras existen, tales que sean múltiplos de 29 y terminen en cinco? A) 28 B) 29 C) 30 D) 31 E) 32 13. A un congreso de jóvenes personalidades asisten peruanos y argentinos. Entre los peruanos los 2/7 son médicos, los 5/14 son ingenieros y los 8/15 son abogados. ¿Cuántos argentinos presentaron si en total asistieron 348 jóvenes? A) 210 B) 140 C) 310 D) 128 E) 138 14. El número mm , siempre es divisible por: A) 11 B) 10 C) 9 D) 12 E) 13 15. El número que resulta de efectuar: 23 por 23, es divisible por: o

o

A) 5 4

o

B) 5 1

o

C) 5 2

o

D) 5  1

E) 5  2

16. Del 1 al 900. ¿Cuántos números no son múltiplos de 3 ni de 4? A) 300 B) 350 C) 400 D) 450 E) 600 o

17. Sabiendo que: (2a)9a39  7 . Hallar el valor de “a” A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

D) 08

E) 20

o

18. Calcular a  b, si 4ab58a  56 A) 02

B) 04

C) 06

19. Hallar el valor de “a” si se tiene que: o

aaaa.....  9  2 40 cifras

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 8

20. ¿Cuál es el resto de dividir: ’ 44444.....  7 200 cifras

A) 2

B) 4

C) 6

D) 3

E) 0

21. Sabiendo que el número de la forma 4a23b45 es divisible entre 99. ¿Cuál será el residuo de dividir dicho número entre 7? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 0 Aritmética

22. Se sabe que el número 213m2 es divisible entre 13. ¿Cuál es el residuo de dividir el número mmm entre 11? A) 2 B) 3 C) 4

D) 5

E) 7