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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA CENTRO PREUNIVERSITARIO – CEPUNC

ARITMÉTICA

EJERCICIOS DE MCD Y MCM 1. Determinar dos enteros sabiendo que la suma de sus cuadrados es 3 492 y su producto es 216 veces su MCD. Dar su diferencia como respuesta. A) 30 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15 2. Determinar dos enteros sabiendo que el cociente de su suma por su MCD es 8 y el cociente de su producto por su MCD es 840, dar el número de soluciones. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. Determinar la superficie del menor terreno rectangular que puede ser dividido en lotes rectangulares de 12m por 10m, 20m por 8m y 16m por 24m, sabiendo que las primeras dimensiones representan el largo y las segundas el ancho. A) 28 800 m2 B) 14 400 m2 C) 25 000 m2 D) 72 000 m2 E) 57 600 m2 ̅̅̅̅̅) es: (𝑐 + 2)5. Luego el valor de ̅̅̅̅̅ 4. El MCD de los números ̅̅̅̅̅ 1𝑎𝑏 y ̅̅̅̅̅ 2𝑐𝑑 es ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 2𝑐𝑑 − 2(1𝑎𝑏 A) 0 B) – 45 C) 45 D) – 35 E) 35 5. Arnaldo, Miguel y Claudio van de visita a la casa de Pepe cada 8, 9 y 12 días respectivamente. Si visitaron a Pepe el 25 de Febrero de 1990, ¿cuál será la fecha más próxima en que volverán a visitarlo juntos? A) 25 de marzo de 1990

B) 3 de abril de 1990

D) 8 de mayo de 1990

C) 2 de mayo de 1990

E) 10 de junio de 1990

6. De un terreno rectangular que mide 360 m de largo y 240 m de ancho, se quieren hacen lotes cuadrados, lo más grandes posibles. ¿Cuántos lotes saldrán? A) 10

B) 9

C) 8

D) 7

E) N.A

7. En un corral hay cierto número de gallinas que no pasan de 368 ni bajan de 294. Si las gallinas se acomodan en grupos de 2, 3, 4, ó 5 siempre sobra 1; pero si se acomodan en grupos de 7 sobran 4. ¿Cuántas gallinas hay en el corral si se añaden 6 más? A) 361 B) 363 C) 365 D) 367 E) 359 8. Hallar la suma de dos números enteros cuyo M.C.M es 22 400 y tales que en el cálculo del M.CD. mediante divisiones sucesivas se obtuvieron 2, 5 y 3 sucesivamente como cocientes. A) 2 040 B) 2 240 C) 2 050 D) 2 250 E) 2 060 9. Hallar dos números a y b primos entre sí, tales que el mínimos común múltiplo de a y b es 330 y a – b = 7. A) 22 y 29 B) 55 y 46 C) 18 y 25 D) 22 y 15 E) 14 y 21 10. El número de divisores comunes de los números: 1 760 913 y 83 853 es: A) 20 B) 23 C) 24 D) 27 E) 28 11. El M.C.D. de 2 números es 8 y el cocientes de las divisiones sucesivas para obtener dicho número son: 2, 2, 1, 1 y 7. Hallar los números. A) 136 y 184 B) 248 y 328 C) 296 y 736 D) 304 y 728 E) 312 y 744

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12. Calcular el MCD de dos números, uno de la forma 𝑁1 = 2 . 3 . 5 y el otro 𝑁1 = 2𝑎 . 3𝑏 . 5𝑐 , sabiendo que el número de divisores comunes a los dos números es 9. A) 100 B) 150 C) 210 D) 98 E) 180 13. ¿Cuál es el menor número no divisible por: 4; 6; 9; 11 y 12 que al ser dividido entre éstos se obtiene restos iguales? A) 215 B) 317 C) 397 D) 428 E) 459 14. ¿Cuántos divisores tiene el MCD de A, B y C, si:A = 123 . 104 ; B = 184 . 152 ; C = 102 . 303 ? A) 16 B) 20 C) 60 D) 46 E) 72 15. Si: M.C.D (3A; 24C) = 18p, M.C.D(2C; B) = 2p, cifras de “p”. A) 8 B) 6 C) 9 D) 10 A 2A 6A

16. Si MCD ( , 7

A) 10

3

B) 12

,

5

M.C.D(A; 4B; 8C) = 210, calcular la suma de las E) 12

) = 26, evaluar la suma de cifras del valor que toma “A” C) 13

D) 18

E) 21

17. Al calcular el M.C.D. de dos números primos entre si mediante el algoritmo de Euclides se obtuvo como cocientes sucesivos: 2, 1, 3, 3 y 2. La diferencia de los números es: A) 7 B) 30 C) 83 D) 53 E) 23 18. Al calcular el M.C.D. de dos números por el algoritmo de Euclides se obtuvo por cocientes sucesivos: 1, 1, 2, 3 y 4. Determinar la diferencia de esos números si su M.C.D. es 56. A) 840 B) 1 120 C) 560 D) 2 040 E) 1 680 19. Dados dos números, uno con 21 divisores y el otro con 10 divisores, tienen un MCD igual a 18. Se pide calcular la diferencia de ellos. A) 2 868 B) 414 C) 684 D) 522 E) 594 20. Calcular la suma de dos números enteros sabiendo que la suma de los cocientes obtenidos al dividir a cada uno de ellos entre su M.C.D. es 9 y que su producto dividido entre el mismo M.C.D. da como resultado 180. A) 49 B) 81 C) 63 D) 101 E) 64 21. ¿Cuántos pares de números suman 476 y tienen como M.C.D. a 28? A) 16 B) 1 C) 6 D) 8 E) 9 22. El MCD de dos números es 9 y el cuadrado del primero mas el segundo es 486. ¿Cuál es la suma de los números? A) 414 B) 405 C) 426 D) 477 E) 423 23. Los cuadrados de dos números difieren en 3 375 y su M.C.D. es 15. Diga cuál de las siguientes no es uno de los posibles números. A) 60 B) 120 C) 15 D) 75 E) 105 24. Determinar dos números sabiendo que su producto es 30 veces su M.C.D. y que la suma de sus cuadrados es 87 veces su M.C.D. Dar como respuesta el menor de los números. A) 10 B) 6 C) 15 D) 27 E) 25 25. Dados los números A, B, C y D, se cumple: MCD(4A, 2B, 12C) = 144 ; MCD(3B, 18C, 15D) = 432. Halle el MCD (2A, B, 6C, 5D) A) 144 B) 36 C) 72 D) 18 E) 54 PROF. ULISES C. MARTINEZ

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26. Al hallar el MCD de dos números por divisiones sucesivas se obtuvieron los siguientes cocientes: 4, 2, 3 y 5. Si el MCD es 24, ¿cuál es la suma de las cifras de la suma de los números, si se conoce que la segunda división fue por exceso? A) 10

B) 9

C) 12

D) 15

E) 16

27. Si se tienen los números: A  260  349  560  712 y B  249  367 ¿En qué número termina el MCD de A y B? A) 1 B) 5 C) 4 D) 2 E) 6 28. Halle dos “a” y “b”, primos entre sí, tales que su M.C.M. es 378 y su diferencia es 13. A) 14 y 27 B) 15 y 28 C) 17 y 30 D)27 y 40 E)42 y 9 29. Halle el mayor de dos números cuyo MCD es 18 y que el primero tiene 10 divisores y el segundo 15 divisores. A) 152 B) 144 C) 205 D) 172 E) 162 1. Calcule el mayor de dos números si se sabe que al calcular su M.C.D. que es 8 por divisiones sucesivas se obtuvieron los cocientes 2, 2, 1, 1, 7. A) 528 B) 254 C) 889 D) 728 E) 648  33 ( 4) y 77  77 (8) en base 4. Dé como respuesta la suma de sus cifras. 2. Encuentre el M.C.D. de: 33       234 cifras

A) 24

B) 15

C) 21

378 cifras

D) 27

E) 30

3. Halle cuántos divisores comunes tienen los números 1848 y 1188. A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 16 30. La suma de dos números es a su diferencia como 8 es a 3. Si el MCD es 21, calcular la diferencia de dichos números. A) 143 B) 144 C) 132 D) 125 E) 126 31. Determinar cuántos pares de números comprendidos entre 500 y 700 existen tales que su MCD sea 32 A) 14 B) 12 C) 11 D) 19 E) 10 ̅̅̅ ; ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑎 + 1)(𝑏 + 1)] = 132 32. Dar el valor de “a + b” si: mcm [𝑎𝑏 A) 14 B) 12 C) 11 D) 19 E) 10 33. Se tiene dos números que son los mayores posibles en el sistema Heptanario, cuya suma de cifras son 216 y 364 respectivamente. Calcular la suma de las cifras del M.C.D de dichos números expresados en el sistema de base 49. A) 432 B) 324 C) 423 D) 342 E) 454 34. Calcular el valor de “n” si el mcm. de los números: A = 12n . 45 y B = 12. 45n , tiene 450 divisores. A) 4 B) 5 C) 6 D) 2 E) 7 n n 35. Calcular “n” si el m.c.m. de: A = 28. 32 y B = 28 . 32 tiene 72 divisores. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 36. Si M.C.D(3A; 3B) = 3 y m.c.m (4A, 4B ) = 572, calcular A.B PROF. ULISES C. MARTINEZ

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A) 110

B) 121

C) 132

D) 143

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E) 154

37. Determinar el mínimo común múltiplo de 5 números si su MCD es 210 y los cocientes de dividir cada número entre el MCD son: 2, 4, 6, 7 y 8. A) 564 480 B) 282 240 C) 35 380 D) 70 560 E) 35 280 38. El mcm de las edades de Don Ramón y Doña Clotilde es el doble de la edad de Don Ramón; y el MCD de dichas edades es la tercera parte de la edad de don Ramón. Si don Ramón nació 24 años antes que Doña Clotilde, ¿Cuál es la edad de don Ramón? A) 48 B) 60 C) 54 D) 72 E) 26 39. Un vehículo se desplaza con velocidad constante, recorriendo primero 180 km y luego 240 km. Si el mcm de los tiempos empleados es 96 horas, ¿Cuántas horas se ha demorado en total? A) 24 B) 37 C) 28 D) 56 E) 25 40. Se han plantado árboles igualmente espaciados en contorno de un campo triangular cuyos lados miden 144 m, 180m y 240m. Sabiendo que hay un árbol en cada vértice y que la distancia entre 2 árboles consecutivos está comprendida entre 4m y 10 m, calcular el número de árboles plantados. A) 88 B) 94 C) 90 D) 95 E) 96 41. Si tenemos que llenar 4 cilindros de capacidades 72, 24, 56 y 120 galones respectivamente, ¿Cuál es la capacidad del balde que puede usarse para llenarlos exactamente si está comprendido entre 2 y 8 galones? A) 6 B) 4 C) 5 D) 3 E) 7 42. Se han dividido 3 barras de acero de longitudes de 540, 480 y 360 cm, en trozos de igual longitud, siendo esta la mayor posible. ¿Cuántos trozos se han obtenido? A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 43. Si se dispone de un terreno de forma rectangular de 540 x 120m el cual se ha dividido en parcelas cuadradas todas exactamente iguales. Determinar el número de parcelas si se puede obtener entre 400 y 500 parcelas. A) 422 B) 450 C) 458 D) 445 E) 472 44. Los grupos de estudios de aritmética, razonamiento verbal y ciencias se reúnen cada 3, 4 y 5 días respectivamente. Si la primera reunión simultanea fue el 31 de octubre del 2010. Entonces: ¿En qué fecha más próxima del 2011 se encontraran los estudiantes de estos tres grupos simultáneamente? A) 27 de febrero B) 1 de marzo C) 28 de febrero D) 2 de marzo E) 29 de febrero 45. Dadas las siguientes proposiciones: I. Todo número primo mayor que 3 al ser dividido entre 6 deja residuo 1 ó 5. II. A.B = MCD(A,B). MCM(A,B) III. Si al numerador y al denominador de una fracción se le aumenta en 1. La fracción aumenta en su valor Entonces: A) Sólo I es verdadero. B) Sólo II es verdadero. C) I y III son verdaderos. D) I y II son verdaderos E) I es falso.

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NUMEROS RACIONALES NÚMERO RACIONAL a Es aquel número que puede expresarse como: b

PROPIEDAD 3. Son posibles las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de los números racionales (salvo la división por cero). PROPIEDAD 4. Todo numero racional se puede expresar como una fracción decimal, exacta o periódica.

Donde: a  Z  b  Z* El conjunto de los números racionales se denota con la letra Q. a Q = { / a  Z  b  Z∗ } ; Z∗ = Z − {0} b

Ejemplos de pertenencia y no pertenencia al conjunto Q.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS RACIONALES El conjunto Q es infinito y cumple con las siguientes propiedades:

*

4

y

En efecto

4 5

entre ellos está la fracción

3 4 + 4 5

2

31

3

= 40  4 <

31 40

31 40

*

√5 3

Q

*4 Q

*Q

̂ Q * 0,345

* 31  Q

*eQ

*−35  Q

*

−9

*

15 5

Q

√6 √17

Q

−8

NÚMERO FRACCIONARIO Se denomina así a todos aquellos números racionales que no representan a números enteros. De acuerdo a la definición si denotamos por f al número fraccionario, tendremos:

PROPIEDAD 2. Es un conjunto DENSO, pues dados dos números racionales distintos existe por lo menos un numero racional entre ellos, es decir siempre es posible encontrarlo. Ejemplo. 3

Q

7

PROPIEDAD 1. Es un conjunto ORDENADO, pues dados dos números racionales a y b siempre ss posible establecer si son iguales o si uno es mayor que otro.

Dados

9 5

f=

.

a donde b

Ejemplos:

0

a  b ; b ≠ 0; a Z  b Z 1

4

11

< 5.

;

−13 17

54

31

401

; 37 ; 100 ; 1543;…

FRACCIÓN Una fracción es un número fraccionario de términos positivos. Ejemplos:

Luego un conjunto A es denso con la relación de orden ≤ , dados dos elementos a y b de A, tales que a < b, existe un elemento c  A, tal que a < c < b. De lo anterior podemos afirmar que entre 2 números racionales hay infinitos números racionales; pese a esto, los números racionales no cubren totalmente la recta real. Dichos vacios serán cubiertos por los números irracionales.

6

16

45

4

7

; ; ; ; ..... 19 49 278 3 3 CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES Hay varios criterios para clasificar las fracciones. A continuación les mencionamos los más importantes A Sea la fracción f = B; (B ≠ 0). Recuerde A y B  Z

Ejemplo: 3 √3; −√2; √11; ; etc. son números irracionales.

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b) Ordinaria: Cuando el denominador no es una potencia de 10. Si b ≠ 10k  k  Z+; entonces f es una fracción decimal. Ejemplos: 3 5 45 2315 ; ; ; 11 24 326 5304

I. Por la comparación de su valor con respecto a la unidad: A a) Propia: f = B es propia  A < B. Su valor es menor que la unidad f < 1 Ejemplos: 2

6

5

4

1

; ; ; ; .....etc 5 23 7 53 4

III. Por razón de igualdad o desigualdad entre sus denominadores: Considerando solamente a las fracciones ordinarias podemos clasificarlas en homogéneas y heterogéneas de acuerdo a la relación de igualdad o desigualdad entre sus denominadores, respectivamente. a) Homogéneas: Dadas dos o más fracciones comunes, el grupo de ellas será llamado cuando todas ellas tengan el mismo denominador. Ejemplo:

A

b) Impropia: B es impropia  A > B. Su valor es mayor que la unidad. f > 1 Ejemplos: 6

; 5

11 9

;

453 28

82

7

; 65 ; 2.....

Observación: A Una fracción impropia B puede convertirse a número mixto efectuando la división entera: A r

B q

ARITMÉTICA

 La número mixto es : q r B

Las

3

; 7

fracciones

41 7

;

13 25 7

;

7

son

homogéneas. Ejemplo:

16 3

es 5

1

b) Heterogéneas: Si tenemos dos o más fracciones ordinarias observamos que al menos una de ellas tiene un denominador distinto a los denominadores de las demás de las fracciones, entonces al conjunto de ellas se les denominará fracciones heterogéneas. Ejemplos:

3

Porque: 16 3 1 5 Todo número mixto q r

como: q + B

r B

se puede expresar

Las fracciones q r q r B B

a

b

1

; ; 5 2

4

9

; son heterogéneas. 13 7

IV. Por los divisores de sus términos: Los términos de una fracción (el numerador y denominador) pueden tener divisores comunes o no. Según esto ocurra, las fracciones se clasifican en reductibles o en irreductibles.

II. Por su denominador: Se clasifica también las fracciones atendiendo el hecho de que los denominadores son o no potencias de 10. Sea

3

una fracción: a) Fracciones Reductibles: a Una fracción: es reductible si sus términos

a) Decimal: Cuando el denominador es una potencia de 10. Si b = 10k  k  Z+; entonces f es una fracción decimal. Ejemplos: 13 39 143 47 ; ; ; 100 10 1000 10 000

b

poseen divisores comunes, entonces a y b no son PESI. Ejemplos: 3 6

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6

;

21 18

;

4

;

25

64 150

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i) f1 > f2  a.d > b. c ;  a; b; c; d  Z

b) Fracciones Irreductibles: a Una fracción: b es irreductible si sus términos no poseen divisores comunes, entonces a y b son PESI. Ejemplos:

31 55

;

23 17

;

11

;

ARITMÉTICA

ii) f1 < f2  a.d < b. c;  a; b; c; d  Z+ 4. Si la suma de dos fracciones irreductibles resulta un número entero, entonces sus denominadores son iguales. FRACCIONES CONTINUAS Una expresión de la forma:

25

13 176

FRACCIONES EQUIVALENTES Son aquellas fracciones que utilizando términos diferentes expresan una misma parte de la unidad; por ejemplo:

b

a

c

d e  .....

Se denomina fracción continua. 1 2

<

FRACCIÓN CONTINUA SIMPLE: Es aquella fracción continua de la forma:

2 4

>

Las dos fracciones representan la mitad del todo.

a1 

1 2 3 4 1 1k     …   ; k = 1; 2; 3; … 2 4 6 8 2 2k

1

2

a

Sea: f = b ¡Simplificar! Bueno, primero calculemos al M.C.D. de a y b entonces: 𝐟=

𝐌𝐂𝐃(𝐚;𝐛) 𝐛 𝐌𝐂𝐃(𝐚;𝐛)

3

1

se representa [2 ; 3 ; 4 ; 5].

41 5

MAXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO PARA FRACCIONES

p = ; donde: 𝐩 y 𝐪 son PESI q

a

c

Sean b ; d ;

e

fracciones irreductibles.

f a

c

e

M.C.D(a;c;e)

a

c

e

M.C.M(a;c;e)

I. M. C. D ( b ; d ; f ) = M.C.M(b;d;f)

Ampliación de una fracción

II. M. C. M ( b ; d ; f ) =

p

Sea f = q una fracción irreductible, la fracción pk

equivalente se obtiene: fe = qk con k  Z+

M.C.D(b;d;f)

Ejemplo: Encuentre el M.C.D. y el M.C.M. de: 36 14 10 ; ; 35 25 16 Resolución

PROPIEDADES 1. Si a ambos términos de una fracción propia se le agrega una misma cantidad positiva, la fracción resultante es mayor que la original.

M. C. D (

2. Si a ambos términos de una fracción impropia se le agrega una misma cantidad positiva, la fracción resultante es menor que la original. a

1 a 3  ......

La cual representaremos como: [a1 ;a2 ;a3; ….] Ejemplo:

Simplificación de una fracción

𝐚

1 a2 

M. C. M (

c

3. Sea f1 = b y f2 = d entonces: PROF. ULISES C. MARTINEZ

7

36 14 10 M. C. D(36; 14; 10) ; ; )= 35 25 16 M. C. M(35; 25; 16) 2 1 = = 2800 1400

36 14 10 M. C. M(36; 14; 10) ; ; )= 35 25 16 M. C. D(35; 25; 16) 1260 = = 1260 1

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RELACIÓN PARTE – TODO Se denomina así a la comparación geométrica de una cantidad asumida como PARTE, respecto de otra cantidad asumida como TODO.

f=

Lo que hace de PARTE Lo que hace de TODO

es; son, representa. de; del, respecto de.

Ejemplos. * ¿Que parte de 15 es 5?

 f = 15 = 3

* ¿Que parte es 18 de 7?

 f=

5

* ¿Que parte más es 15 de 8?

1

7 15−8 8

7

=8

8 13

5 13

8 13

x n

n−x n

x n

n+x n

Resolución Considerando que cada que gasta tenemos:

 f=

* ¿Que parte menos es 12 de 15? 15−12 3 1 = 15 = 5 15

5 13

Ejemplo. Erick se dirige a una librería con S/. 360 y compra libros de aritmética gastando en el primero 1/2, 1/3, 1/4 del dinero que le iba quedando. ¿Con cuanto se quedó después de compra de los libros?

18

f=

ARITMÉTICA

3

GANANCIAS Y PÉRDIDAS SUCESIVAS Con respecto a un total (unidad), es posible que se gane o se pierda una parte (fracción), quedando entonces aumentada o disminuida nuestra cantidad inicial. PIERDO

QUEDA

GANO

TENGO

1 2

1 2

1 2

1 2

3 5

2 5

3 5

8 5

8 17

9 17

8 17

25 17

2

1

3 2 1

Queda { 4 [ 3 ( 2 (360))]} = 4 . 3 . 2 . (360) = 90

NÚMEROS DECIMALES Números decimales es la expresión en forma lineal de una fracción, que se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador de una fracción irreductible. Así, tenemos: *

3

= 0,3 5

*

13 3

*

8 200

= 0,04

*

17 90

= 0,18888…

CLASES DE NÚMEROS DECIMALES Los números decimales se clasifican en 2 grandes grupos: números decimales limitados o exactos, e ilimitados o inexactos.

= 4,33333…

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Se dice que es Periódico Puro cuando la parte decimal consta de una cifra o un grupo de cifras que se repetirá indefinidamente (a estas cifras que se repiten se les denomina periodo) y se las indica con un arco encima. Origen: Una fracción irreductible originará un decimal Periódico Puro cuando el denominador sea diferente de un múltiplo de 2 y/o múltiplo de 5. Ejemplos 7 * = 2,3333…. = 2, 3̂

Dec. Exa cto Número Decima l

Periódico Puro Dec. Inexacto Periódico Mixto

Decimal Exacto Posee una cantidad limitada de cifras en la parte decimal. Una fracción irreductible dará origen a un decimal exacto, cuando el denominador es una potencia de 2, potencia de 5 o producto de potencias de 2 y 5 únicamente. Origen: Una fracción irreductible dará origen a un decimal exacto cuando el denominador esté conformado por sólo factores 2, factores 5 o ambos. Observación: El número de cifras decimales de un decimal exacto estará dado por el mayor exponente de 2 ó 5 que tenga el denominador de la fracción irreductible. Ejemplos: De las fracciones anteriores notamos que son fracciones irreductibles y además generan: * *

7  7  0, 28 25 5 2

3

31

*

11

̂ = 2,818181…. = 2, 81

1

*

333

= 0,00030003…. = 2, 3̂

El número de cifras del periodo está dado por la cantidad de cifras del menor número formado por cifras 9 que contengan exactamente al denominador de la fracción generatriz. Ejemplos: 1 * = 0, 3̂ {Al denominador lo contiene “9” 3

(un nueve), entonces tiene una cifra en el periodo}

(2 cifras decimales)

8

̂ {Al demoninador lo contiene * 11 = 0, 72 “99” (dos nueves), entonces tiene una cifra en el periodo} DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA DE LOS NÚMEROS DE CIFRAS 9 Para un fácil manejo del cálculo del número de cifras de un decimal periódico puro, es recomendable recordar la siguiente tabla: 9 = 32 99 = 32 . 11 999 = 33 . 37 9999 = 32 . 11. 101 99999 = 32 . 41. 271 999999 = 32 . 7. 11. 13. 37

11  11  1,375 (3 cifras decima les) 8 23

9

ARITMÉTICA

9

* 40  3  0,255 (3 cifras decimales) 5 2 CONVERSIÓN DE DECIMAL EXACTO A FRACCIÓN: Fracción Generatriz La fracción generatriz de un decimal exacto será igual al número formado por las cifras decimales, dividida entre la unidad, seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número decimal. Ejemplo: 0 , abcd  abcd 10000

Si el denominador de la fracción irreductible es el producto de varios factores primos diferentes, el número de cifras periódicas está dado por MCM de la cantidad de cifras de los menores números formados por cifras 9 que contengan a los factores primos indicados.

A) Decimal Inexacto Son números decimales inexactos aquellos que tienen una cantidad de cifras decimales ilimitados. Decimal Inexacto Periódico Puro: PROF. ULISES C. MARTINEZ

9

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Ejemplo. Hallar cantidad de cifras periódicas 1 que tiene: 37.41 Resolución

*

37 es contenido en 999 (tres cifras periódicas) 41 es contenido en 99999 (cinco cifras periódicas)  MCM (3,5) = 15

7

= 22 .11

13 148

7

= 22 .37

=

̂ 0, 159090909… = 0,1590

=

̂ 0, 08783783… = 0,08783

La cantidad de cifras no periódicas del decimal inexacto periódico mixto está dado por la regla para el número de cifras decimales de un decimal exacto, y el número de cifras del periodo está dado por la regla del número de cifras de un D.I. Periódico Puro.

 Tendrá quince cifras periódicas

CONVERSIÓN DE DECIMAL INEXACTO PERIÓDICO PURO A FRACCIÓN: Fracción Generatriz La fracción generatriz de un D.I. Periódico Puro está dado por el número formado por las cifras del periodo, dividido entre tantos nueves como cifras tenga el periodo. ̂ entonces: Sea: 0, abc 0, abc =

*

7 44

ARITMÉTICA

Ejemplos: 95  95  0,64189 148 2 2  37

El denominador, el exponente del factor 2 que es "2" genera 2 cifras no periódicas y el factor 37 está contenido por 999 (tres "9") por lo que genera 3 cifras periódicas. Conversión de un D.I. Periódico Mixto a fracción: Fracción Generatriz La fracción generatriz de un D.I.P. Mixto estará dado por el número formado por la parte no periódica, seguida de la parte periódica, menos la parte no periódica, todo entre el número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros como cifras tengan la parte no periódica.

abc 999

Decimal Inexacto Periodo Mixto: Una expresión decimal es periódica mixta cuando después de la coma decimal el periodo se inicia después de una cifra o grupos de cifras. Al grupo inicial anterior al periodo se le llama parte no periódica. Ejemplos: * 0, 53333…. = 0,53̂ ̂ * 1, 47373…. = 0,473 Origen: Una fracción irreductible dará origen a un decimal inexacto periódico mixto cuando al descomponer el denominador en sus factores primos se encuentran potencias de 2 y/o 5 y además, algún otro factor necesariamente diferente: Ejemplos:

̂= 0, mbc

̅̅̅̅̅̅−m mbc 990

Ejemplo: 0,29545454... 0 ,2954  2954  29  2925  13 9900

9900

Dos nueves Dos ceros

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10

44

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ARITMÉTICA

EJERCICIOS DE FRACCIONES 14 13 ; B= . Halle la suma de cifras de la suma de la parte periódica y la parte no periódica de 625 111 A+B A) 26 B) 25 C) 27 D) 24 E) 28

4. Si: A=

𝑎

𝑎+2

𝑎

̂ y a+2= e + f. Halle: 5. Si: 𝑏 = 0, 𝑎̂ ; 𝑏+2 = 0, 𝑒𝑓 𝑏 A) 0, 9̂

B) 0, 6̂

C) 0, 7̂

E) 0, 5̂

D) 0, 3̂

̅̅̅̅̅ 𝑚𝑛

𝑎

6. Si: 𝑛𝑚 = 0, (2𝑎)𝑎(𝑎 + 2)(𝑎 − 2); halle la última cifra del período generado por 𝑛 ̅̅̅̅̅ A) 5

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

5𝑛+17 representan número fraccionarios mayores que 7? 3𝑛−8 D) 4 E) 5

7. Para cuántos valores de n(nZ+) la expresión: A)1

B) 2

C) 3

𝑁 (a + 2)(a + 3)(a + 2)(a + 3) … . Calcule N máximo y dar como respuesta la suma de 8. Si: 33 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ a(a + 1), ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ sus cifras. A) 20 B) 18 C) 25 D) 12 E) 22 8 9. Determine la suma de las dos últimas cifras del período originado por la fracción . 23 A) 9 B) 6 C) 4 D) 8 E) 10

̅̅̅̅̅ , 32̂(8). Calcule: (x + y + z + m + n) – (a + b + c) 10. Si se cumple que: 342, 𝑥𝑦𝑧 ̅̅̅̅̅𝑚𝑛 ̂ (6) =𝑎𝑏𝑐 A) 6 B) 11 C) 22 D) 5 E) 24 11. ¿Cuál es el menor número par, tal que la suma de su séptima y tercera parte es un número que posee una cantidad par de divisores propios? A) 720 B) 210 C) 840 D) 420 E) 350 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑚 𝑛+1 12. Si: 37 = 0, ( 2 ) (𝑛 + 1)𝑛, Calcule: (m + n) A) 12

B) 13

C) 8

D) 9

E) 11

1. Calcule la suma del numerador y denominador al simplificar la expresión: 1 1 1 1 F     ...... 4 28 70 130 30 sumandos

A) 142

B) 121

C) 102

D) 113

E) 32

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11

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2.

Si la función: F=

280 403𝑛 .34 𝑛+5

. Genera 72 cifras en la parte no periódica. Calcúlese la suma de cifras 𝑛−3

del período que genera la fracción:( A) 31

B) 30

ARITMÉTICA

𝑛

)

C) 27

D) 29

E) 28

Si la fracción: f  12  54  16  58  110  ...es irreductible, halle la diferencia de sus términos

3.

3

A) 21

3

B) 23

3

3

C) 27

3

D) 33

E) 30

̅̅̅̅

ab ̅̅̅; ̅̅̅ Si: MCD(ab ba)= 9.Además: ̅̅̅̅ = 0,5mnpqrs5mnpqrs … .Calcule: (b + a + r)

4.

ba

A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

E) 17

̅̅̅̅̅ mn

5.

Si la fracción irreductible a(3a+1) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ da origen a un número decimal de la forma

0, cb.  a  1

Calcule (a + b + c + m + n) A) 15 6.

B) 16

E) 19

𝑛+1

𝑛+1

̅̅̅̅̅̅ 𝑚3𝑐

Si: 𝑎(𝑏+1)(𝑐+3) 𝑝𝑞 ̂ , Siendo a < b < c y a2 c es PESI con 154. Calcule: (a + b + c + m + p + q). ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅= 0, ̅̅̅2𝑎(2𝑏) A) 20

9.

D) 18

Si f es irreductible, además: f = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ =0, 𝑝𝑞𝑟 ̂ . ¿Cuántas cifras periódicas origina: ? (𝑛−1)(𝑛+3) ̅̅̅̅̅ 𝑞𝑝𝑟 A) 2 B) 3 C) 4 D)5 E) 6

7.

8.

C) 17

B) 21

C) 22

D) 18

E) 19

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 15 Si: 0, ( 𝑥 ) (𝑥 )(𝑥 2 + 1)(14) = 𝑑, ̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐(7). Calcule cuantas cifras genera en el período la fracción expresa en base 6. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E)5

𝑎 ̅̅ ̅̅ 𝑏𝑐

cuando se

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

6(𝑏+𝑐)𝑏 Calcule (a . b . c ) si: 0, ̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 𝑐000 . Además: a y c son primos y a; b y c son cifras ̅̅̅̅̅̅̅ significativas diferentes entre sí. A) 5 B) 14 C) 30 D) 6 E) 15

10. Si: E=

15273 tiene en el denominador (33n+2) cifras, hallar la última cifra del período generado en 37037037….

E. A) 0 11.

B) 1

C) 2

D) 4

E) 7

Un tanque es llenado por un caño en 4 horas por otro caño en 6 horas. Estando el tanque lleno puede ser vaciado por un desagüe en 8 horas o por otro desagüe en 12 horas. Estando el tanque lleno hasta su octava parte, se abren los caños dos horas y luego los desagües ¿En cuánto tiempo se llenó el tanque?

A) 3 horas

30 min

B) 3 horas 15 min

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12

C) 3 horas

D) 2 horas 12 min

E) 2 horas

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RAZONES Y PROPORCIONES CANTIDAD: Es el resultado de la medición del estado de una magnitud escalar. Ejemplo: La altura del edificio CEPUNC es 24 metros. Magnitud: Longitud Cantidad: 24 metros

En conclusión: Sean a y b dos cantidades:

Se llama magnitud a todo aquello que puede ser medido o cuantificado; además, puede definirse la igualdad y la suma de sus diversos estados.

Términos. a: antecedente b: consecuente d y k: valores de las razones

RAZÓN: Es la comparación que existe entre dos cantidades de una magnitud, mediante las operaciones de sustracción y división, lo cual nos induce a señalar que se tiene dos clases de razón.

Nota: Cuando en el texto se mencione solamente la razón o relación se debe entender que se hace referencia a la razón geométrica.

Razón

PROPORCIÓN ARITMÉTICA Es aquel que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones aritméticas. Ejemplo: Las edades de 4 hermanos son : 24 años, 20 años, 15 años y 11 años; podemos decir :

Razón Aritmética 15 l =

-

Geométrica a =k b

PROPORCIÓN Es la igualdad en valor numérico de dos razones de una misma especie.

RAZÓN ARTIMÉTICA: Es la que se obtiene mediante la sustracción y consiste en determinar en cuanto excede una de las cantidades a la otra. Ejemplo: Dos toneles contienen 20 litros y 15 litros respectivamente, al comparar sus volúmenes.

20 l

Aritmética a–b=d

5l

24 años – 15 años = 9 años 20 años – 11 años = 9 años Se puede establecer la siguiente igualdad:

Valor de la razón Antecedente Consecuente

RAZÓN GEOMÉTRICA: Es la que se obtiene mediante la división y consiste en determinar cuántas veces cada una de las cantidades contiene la unidad de referencia.

Medios 24 - 15 =

20 - 11

Extremos

Ejemplo: Se comparan dos terrenos, cuyas superficies son: 80m2 y 48m2 y así obtenemos: Antecedente Consecuente

80 m 2  5 3 48 m 2

Entonces: 24 + 11 = 20 + 15 Términos = Términos extremos medios Por lo tanto:

Valor de la razón

Suma de términos extremos = Suma de términos medios Razón Geométrica

A la cual se le llama proporción aritmética. PROF. ULISES C. MARTINEZ

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ARITMÉTICA

TIPOS DE PROPORCION ARITMETICA PRO PORCIÓN ARITMÉTICA

DISCRETA: Cuando los valores de los términos medios son diferentes. a–b=c–d

DISCRETA

; b≠c

CONTINUA

a -b= c-d

a -b= b-c

d : cuarta diferencial

b : media diferencial c : tercera diferencial

d: Es la cuarta diferencial de a, b y c. Ejemplo. Halle la cuarta diferencial de las edades de tres personas y que son: 15, 7 y 40. Veamos 15 – 7 = 40 – x x = 32

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA: Es aquel que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones geométricas. Ejemplo: Se tiene 4 terrenos cuyas superficies son 18m2 y 24m2 ; 75m2 y 100m2 ; y al comprarlos se tiene:

CONTINUA: Cuando los valores de los términos medios son iguales

18m2 3 75m2 3 =  = 2 2 24m 4 100m 4 Se puede establecer la siguiente igualdad:

a–b=b–c

18 75 = 24 100

c: Es la tercera diferencial de a y b. b: Es la media diferencial de a y c.

A la cual se le llama proporción geométrica "18 es a 24, como 75 es a 100"

Ejemplo.  Halle la media diferencial de 12 y 40. Veamos 12 – x = x – 40 x=

De donde: (18)(100)

12+40 2

Extremos

(75)(24)

Medios

Producto de extremos = Producto de medios

x = 26  Halle la tercera diferencial de los pesos de dos cerditos y los cuales son: 43kg y 27kg Veamos 43 – 27 = 27 – x x = 11

DISCRETA: Cuando los valores de los términos medios son diferentes. a c = ; b≠c b d d: Es la cuarta diferencial de a, b y c. Ejemplo.  Halle la cuarta proporcional de 15, 6 y 40. Veamos 15 40 = 6 x x = 24

PROPIEDAD En una proporción aritmética continua se cumple: x=

=

a+c 2

Resumiendo: PROF. ULISES C. MARTINEZ

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CONTINUA Cuando los valores de los términos medios son iguales.

ARITMÉTICA

PROPIEDADES DE PROPORCIONES a b

Sea:

a b = b c c: Es la tercera proporcional de a y b. b: Es la media proporcional de a y c. PROPIEDAD En una proporción aritmética continua se cumple:

c

=d

se cumple:

I.

a+b b

=

c+d d

;

a+b a

=

c+d c

II.

a−b b

=

c−d d

;

a−b a

=

c−d c

III.

a+b a−b

= c−d

x = √ac

c+d

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES

Ejemplo:  Halle la media proporcional de las obras realizadas por los obreros y que fueron 15 m 2 y 60 m2. Veamos 15 x = x 60

Sean:

a1 b1

a

a

a

= b2 = b3 = ⋯ bn = k 2

3

n

De donde: a1 = b1 . k ; a2 = b2 . k ; a3 = b3 . k … . ; an = bn . k

Se cumple las siguientes propiedades:

x = √15.60 = √900 x = 30  Halle la tercera proporcional de las de las longitudes de los cuadros y que son: 36m y 240m.

I.

a1 +a2 + a3 + …… + an b1 +b2 + b3 + …… + bn

a

a

a

a

= b1 = b2 = b3 = ⋯ bn = 1

2

3

k II.

Veamos: 36 24 = 24 x

III.

a1 .a2.a3. …… .an b1 .b2.b3. …… .bn

= kn

m m m am 1 + a2 + a3 + …… + an

m m m bm 1 + b2 + b3 + …… + bn

= km

x = 16 Observación: Donde "n" nos indica el número de razones.

Resumiendo: PRO PORCIÓN GEO MÉTRICA DISCRETA

a  c b d d : cuarta proporcional

CONTINUA

a  b b c b : media proporcional c : tercera proporcional

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15

n

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ARITMÉTICA

EJERCICIOS DE RAZONES Y PROPORCIONES 1. En una proporción geométrica continua, la suma de los antecedentes es 20 y la suma de los consecuentes es 30. Halle la tercera proporcional de la proporción. A) 18 B) 15 C) 12 D) 9 E) 21 2. La media proporcional de “a” y “b” es “c”, la tercera proporcional de “b” y “c” es “d”. Luego, ¿cuál es la cuarta proporcional de “a”, “b” y “d”? A) a B) b C) a . b D) a / b E) c 3. En una serie de razones iguales donde el producto de los consecuentes es 598752, los antecedentes son: 2; 3; 7 y 11. Halle el menor consecuente. A) 6 B) 18 C) 24 D) 10 E) 12 4. Sea la proporción: a  c  k . Además: a  1  c  3 . Luego, el valor de “k” es: b

A) 2

C) 3

2

5. Se conoce que:

b3

d

B) 1/2 2

2

d9

D) 1/3

E) 1/5

2

a b c d    12 27 48 75

; además se sabe que:

(d  b)  (c  a )  140 .

Halle el valor de: a + b + c +

d. A) 920

B) 820

C) 790

6. Si: a  b  c . Además: 3

A) 54

12

27

B) 58

D) 890

a  b  c  12 .

C) 60

E) 980

Halle el valor de: E  a  b  c

D) 56

E) 64

7. La suma del antecedente y consecuente de una razón geométrica es 26. ¿Cuál es su diferencia, si la razón es 0,04? A) 12 B)6 C)24 D)16 E) 9 8. En una proporción geométrica continua, la suma de los términos extremos es 20 mientras que su diferencia es 16. ¿Cuál es la media proporcional respectiva? A) 10 B) 18 C) 4 D) 9 E) 6 9. En una serie de razones geométricas iguales, los antecedentes son 1; 3; y 5; además el producto de los consecuentes es 405. ¿Cuál es la razón de la serie? A) 1/2

B) 1/5

C) 1/4

D) 1/6

10. Sabiendo que: a  2 . Determine el valor de : E  b

A)

104 171

3

108

107

B) 271

C) 702

D)

102 171

E) 1/3

a b 2

b2

2



E)

a

3

b3  a 3 105 109

11. Si la cuarta proporcional de 48; “a” y “a  20” es la media proporcional de 10 y 250, ¿cuál es la suma de las cifras del valor “a”? A) 3 B)5 C)8 D)6 E)4

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12. Si la razón aritmética de dos números, que son entre sí como 13 es a 9, es 60; ¿cuántos “tercios” hay en la suma de dichos números? A) 330 B) 660 C) 990 D) 440 E)880 13. Dos números enteros son entre sí como 9 es a 5; la diferencia que existe entre el cuadrado de su suma y la suma de sus cuadrados es 5760. Halle al suma de las cifras del mayor de los números. A) 5 B) 7 C) 9 D) 12 E)15 14. El producto de los 4 términos enteros de una proporción geométrica es 900 y se sabe que la suma de un antecedente con su respectivo consecuente es 9. Si la constante de proporcionalidad es menor que 1, ¿cuál es la suma de los términos? A) 12 B) 24 C) 48 D) 64 E)72 15. Si: a  b  c . Además 3

24

375

3

a  3 b  3 c  8.

Halle el valor de: a  b  c

A) 154 B) 148 C)729 D)256 E)134 16. Se conoce que la suma de los 4 términos de una proporción geométrica continua es 50. Halle la diferencia de los términos extremos. A) 60 B) 30 C) 40 D)50 E)20 17. En una proporción geométrica continua, el producto de sus 4 términos es 1296 y el producto de sus antecedentes es 12. Luego, la tercia proporcional es: A) 16 B) 20 C) 12 D)18 E)10 18. En un recipiente hay 15 litros de agua y 12 litros de vino, se extrae 9 litros del contenido y se añade al recipiente 6 litros de agua. Calcule cuántos litros de vino se debe añadir para que la relación de agua y vino sea la inversa de la que había inicialmente. A) 15 B) 20 C)16 D)10 E) 12 19. Amelia tuvo a su hijo a los 18 años, ahora su edad es a la de su hijo como 8 es a 5. ¿Cuántos años tiene la madre? A) 52

B)48

C) 60

D)36

E)30

20. El producto de los 3 términos diferentes de una proporción geométrica continua es 4096. Si la suma de los 2 términos de la primera razón es 20, ¿cuál es la suma de los 2 términos de la segunda razón? A) 58

B) 49

C) 72

D)76

E)80

21. La cuarta proporcional de tres números a, b y c proporcionales a 6, 9 y 15 es 270. La media geométrica de b y (a + 2c) es: A) 36 B) 108 C) 180 D) 216 E) 225 22. La razón de una proporción geométrica es igual a la media proporcional y la suma de los cuatro términos es 361. Determine la diferencia de los extremos. A) 312 B) 318 C) 320 D) 323 E) 324 PROF. ULISES C. MARTINEZ

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23. En una proporción geométrica se cumple que la suma de los términos de la primera razón es 45, la de la segunda es 15 y la de los consecuentes es 16. Entonces, la suma de las cifras del primer antecedente es. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 24. Una proporción geométrica continua de términos enteros positivos y razón entera, es tal que la suma de sus términos es 36. ¿Cuántas proporciones con éstas características existen? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 a b 1 1 1 7 . Calcular la media geométrica de a y c.  ; a + b + c = 28 y    a b c 16 b c A) 8 B) 12 C) 6 D) 4 E) 3

25. Si

26. Tres números que están en progresión aritmética, aumentados en 3, 4 y 9 son proporcionales a 10, 25 y 50. El mayor número es: A) 9 B) 10 C) 11 D) 20 E) 33 27. En un conjunto de tres razones geométricas continuas equivalentes la suma de las inversas de los antecedentes es 13/54, además la suma de los consecuentes es 26. Hallar la diferencia de los extremos. A) 15 B) 16 C) 36 D) 48 E) 52 3

28. Si:

3

3

4

4

4

3a  5e  7c c a e a c e es:     3 , entonces el valor de: E = 3 3 3 b d f 3b  5f  7d d4  b4  f 4 A) 81 B) 92 C) 98 D) 104 E) 108

29. A es DP a B y C2; e IP a D y E. Cuando A = 2B, D = 4, C = 2 y E = 3. Calcular E, cuando A = 72, D = 6, B = 2 y C = 3E. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 3

30. Si

A) 6 31. Si

3

3

a bc de f a c e es:    2 , la suma de las cifras de E = 4 4 4 b d f b d f

B) 7

C) 8

D) 16

E) 17

a b c   y a + b + c = 5 887; a, b, c  N. Hallar la suma de cifras de a  b  c n! (n  1)! (n  2)!

A) 43

B) 44

C) 45

D) 46

E) 47

32. Dos números están en la relación de 2 a 5, si se añade 175 a uno y 115 al otro se hacen iguales. ¿Cuál es la diferencia entre estos números? A) 24 B) 18 C) 30 D) 84 E) 60 33. En una reunión, hay hombres y mujeres, siendo el número de mujeres al total de personas como 7 es a 11 y la diferencia entre mujeres y hombres es 21. ¿Cuál es la razón de mujeres a hombres si se retiran 14 mujeres? 5 5 7 4 3 A) 3 B) 4 C) 3 D) 3 E) 2 PROF. ULISES C. MARTINEZ

18

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ARITMÉTICA

34. En un salón de clase el número de varones, es al número de mujeres como 3 es a 5. Si se considera al 2 profesor y una alumna menos, la nueva relación será 3, hallar cuántas alumnas hay en el salón. A) 25 B) 15 C) 20 D) 30 E) 24 2

35. Dos ómnibus tienen 120 pasajeros, si del ómnibus con más pasajeros se trasladan los 5 de ellos al otro ómnibus, ambos tendrían igual número de pasajeros. ¿Cuántos pasajeros tiene cada ómnibus? A) 110 y 10 B) 90 y 30 C) 100 y 20 D) 70 y 50 E) 80 y 40 36. Lo que cobra y gasta un profesor suman 600. Lo que gasta y lo que cobra están en relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 3 a 5? A) 16 B) 24 C) 32 D) 15 E) 20 37. A – B y B – C están en relación de 1 a 5, C es siete veces A y sumando A; B y C obtenemos 100. ¿Cuánto es (A − B)2? A) 3600 B) 2500 C) 3025 D) 2304 E) 3364 38. A una fiesta, asistieron 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas, ¿Cuál es la razón entre el número de mujeres y el número de hombres que se quedan en la fiesta? 2 4 1 3 5 A) 3 B) 5 C) 3 D) 4 E) 3 39. Si: a.b.c = 1 120 y A) 28 40. Si:

m 2

2 a

7

=b=

B) 32 n

p

10 c

. Hallar: a + b + c C) 38

D) 19

E) 26

q

= 5 = 8 = 10 ; además : nq – mp = 306 . Entonces : p + q – m – n es igual a:

a) 11

b) 22

a

b

c

c) 33

d) 44

e) 55

d

41. Si: 3 = 8 = 12 = 15; además : a . b + c . d = 459. Calcule: a + d A) 27

B) 21 3

P

E

R

C) 35

D) 8

E) 32

U

42. Sean: P = E = R = U = 96. Calcular: E A) 12 B) 6 C) 18 D) 24 E) 36 43. Las edades de Ulises; César y Erick son proporcionales a los números 2; 3 y 4. Si dentro de 9 años sus edades serán proporcionales a 7; 9 y 11 respectivamente. Hallar la edad actual de César. A) 15 Años B) 16 Años C) 17 Años D) 18 Años E) 19 Años 44. En una reunión social, se observó en un determinado momento que el número de varones y el número de mujeres estaban en la relación de 7 a 8, mientras los que bailaban y no bailaban fueron unos tantos como otros. Si hubo en ese momento 51 mujeres que no bailaban. ¿Cuántos varones no estaban bailando? A) 45 B) 51 C) 39 D) 26 E) 60

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ARITMÉTICA

45. Se tiene una proporción aritmética continua, donde la suma de sus cuatro términos es 160, hallar el valor de la razón aritmética, sabiendo que los extremos son entre sí como 11 es a 5. A) 15 B) 6 C) 8 D) 50 E) 24 46. Se tiene una proporción aritmética continua, donde la suma de sus cuatro términos es 360. Hallar el valor de la razón aritmética, sabiendo que los extremos son entre sí como 7 es a 2. A) 4 B) 6 C) 8 D) 50 E) 24 47. La diferencia entre el mayor y el menor término de una proporción geométrica continua es 245. Si el otro término es 42. Hallar la suma de los términos extremos. A) 259

B) 6

C) 8

D) 50

E) 24

48. La diferencia entre el mayor y el menor término de una proporción geométrica continua es 64, si el otro término es 24. Hallar la suma de los términos extremos. A) 80

B) 6

C) 8

D) 50

E) 24

49. Si 45 es la cuarta diferencial de a, b y c, además, 140 es la tercera diferencial de 2a y 160. Hallar la media aritmética de b y c. A) 14

B) 67,5

C) 15

D) 12,5

E) 11,5

50. La suma de los cuatro términos de una proporción geométrica es 65; cada uno de los tres últimos 2 términos es los 3 del precedente. El último término es: A) 13 51. Sabiendo que:

B) 8 a b

A) 2

C) 9

D) 15

E) 12

b

= c . Además: a – c = 16  √a + √c = 8. Hallar: "b" B) 24

C) 15

D) 20

E) 64

3

1. La relación de las edades de 2 personas es 5 . Si hace "n" años, la relación de sus edades era como 1 es a 2 y dentro de "m" años será como 8 es a 13. Calcular en qué relación se encuentran: n y m. 2

A) 3

B) 5

7

C) 3

1

D) 3

8

E) 9

52. Dos cirios de igual calidad y diámetro, difieren en 12 cm de longitud. Se encienden al mismo tiempo y se observa que en un momento determinado, la longitud de uno es el cuádruplo de la del otro y media hora después, se termina el más pequeño. Si el mayor dura 4 horas, su longitud era: A) 24

B) 28

C) 32

D) 30

E) 48

53. Se tiene dos cilindros y cada uno recibe 2 litros de aceite por minuto. Hace 3 minutos el triple del volumen del primero era el doble del segundo menos 11 litros. ¿Cuál es la diferencia entre los volúmenes si la suma de ellos en este instante es de 100 litros?

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20

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A) 23 Litros

B) 22 Litros

C) 25 Litros

C) 21 Litros

ARITMÉTICA

E) 24 Litros

54. En un corral, se observa que por cada 2 gallinas hay 3 patos y por cada 5 gansos hay 2 patos. Si se aumentaran 33 gallinas la cantidad de éstas sería igual a la cantidad de gansos, calcular cuántos patos hay en el corral. A) 15 55. Si:

a b

B) 13 c

a m

D) 16

e

E) 18 3

3

= d = f = k; además: (a + b)(c + d)(e + f) = 816. Hallar: √a. c. e + √b. d. f

A) 212 56. Si:

C) 12

=

C) 216

B) 16 b n

=

c

y

p

A) 23

a3 + b3 + c3 m3 + n3+ p3

= 125. Calcule:

B) 24 p

57. Si se sabe que: h =

q 𝑙

D) 220

C) 25 r

=m=

s n

E) 24

a2 m+ b2 n+ c2p m3 + n3 + p3

D) 28

E) 32

y (p + q + r + s) ( h + l + m + n) = 6724 1

Calcular el valor numérico de la expresión. I = 2 (√ph + √q𝑙 + √sn + √mr) A) 82 a

B) 164 c

1

a+1

C) 41

D) 80

E) 40

c+3

58. Si: b = d = k; además: b+2 = d+6. El valor de K es : A) 2

B) 4

C) 6

D) 3

E) 5

59. Un cilindro contiene 5 galones de aceite más que otro. La razón del número de galones del uno al otro es 8 . ¿Cuántos galones de aceite hay en cada uno? 7 A) 28 : 33 A

60. Sea: x =

B y

B) 42 : 47 A2

C

= z = k; si: x2 =

A) 1

B) 2

C) 35 : 40 B2 y2

=

C2 z2

C) 3

D) 21 : 26

E) 56 : 61

A2 + B2 + C2

+ √ x2 + y2+ z2 = 14. Hallar "k" D) 4

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21

E) 5

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MAGNITUDES PROPORCIONALES Observación: La pendiente de la recta es igual a la constante de proporcionalidad. Este valor se puede calcular como la tangente del ángulo agudo que forma la recta con el eje.

MAGNITUD Propiedad de la materia o de un fenómeno físico o químico susceptible de variación, es decir puede aumentar o disminuir.

En general:

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

A D.P. B  Valor de A  constante Valor de B

Suponga que dos magnitudes están relacionadas de modo que al duplicar el valor de una de ellas, el valor de la otra también se duplica; al triplicar la primera, la segunda también queda multiplicada por tres, etc. Siempre que sucede esto, decimos que existe entre ambas magnitudes, una relación de proporción directa. Por ejemplo, si contamos la cantidad de panes que se pueden comprar con cierta cantidad de soles:

Observación: A DP B   se lee A es directamen te proporcio nal a B A  B

Se puede afirmar que el valor de una de las magnitudes depende linealmente de la otra: Constante (pendiente de la recta) f(x) = Kx

SOLES # PANES 1 sol 8 pa nes 2 soles 16 pa nes 3 soles 24 pa nes 4 soles 32 pa nes Además, se cumple que el cociente de los valores correspondientes de las magnitudes es constante

Valor de A

Valor de B

Es importante observar que, al aplicar un modelo matemático para analizar una situación concreta, debemos tener en cuenta los límites de la validez del modelo. En particular, cuando afirmamos que una magnitud A es proporcional a otra magnitud B, debemos dejar claro (explícita o tácitamente) que esto se da dentro de ciertos límites de variación para x e y. Por ejemplo la conocida "Ley de Hooke" dice que la deformación sufrida por un cuerpo elástico (por ejemplo, un resorte) es directamente proporcional a la (Intensidad de la) fuerza empleada.

# panes 8 16 24 32      8 (constante ) soles 1 2 3 4

Si graficamos los valores correspondientes de las magnitudes en el plano. (# de panes) 32

deformación = K  (fuerza)

24 Tg= 8

16

La validez de esta ecuación como modelo matemático para representar al fenómeno está sujeta a restricciones la fuerza no puede ser muy pequeña porque entonces aún siendo positiva, no sería suficiente para deformar el resorte; en este caso tendríamos deformación = 0 con una fuerza > 0, luego no valdría el modelo d = K . F, tampoco se puede tomar F muy grande porque el resorte se

8  1

2

3

4

(S/.)

Los puntos se encuentran sobre una recta que pasa por el origen.

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destruiría y poco antes de eso su deformación no sería proporcional a F.

ARITMÉTICA

Ff(x) (x)  K x

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Consta nte Valor de B

Valor de A

Supongamos que una persona realiza un viaje por automóvil en una distancia de 180km. entre una ciudad y otra. Sea V la velocidad constante del auto y t el tiempo transcurrido en el viaje.

PROPIEDADES I.

Si:

A IP B  A DP

V(Km/H) t(H) 30 6 45 4 60 3 90 2

1 B

II. Si:

Se puede observar que al duplicar la velocidad, el tiempo se divide entre 2, y al triplicar la velocidad, el tiempo se reduce a su tercera parte. Además se cumple que el producto de los valores correspondientes de las magnitudes es constante.

A DP B  B DP C 

A DP C

A DP B  B IP C 

A IP C

A IP B 

B DP C 

A IP C

A IP B 

B IP C 

A DP C

III. Si: A DP B

La gráfica de los valores correspondientes de las magnitudes en el plano es:

A IP B

 An DP B n  Am IP B m

IV. Si:

V(Km/H)

A DP B (Cuando C es constante) El área d e cad a rectángulo que se gen era co n u n p un to de la curva es igua l a la con stante d e pro po rcio nalid ad.

180 90 60 45 30

y

Se cumple: 1

2

3

4

6

A  C  constante B

t(H)

Los puntos se encuentran sobre una rama de hipérbola equilátera. En general:

A IP B

A IP C (Cuando B es constante)

(Valor de A) (Valor de B) = constante

Esta relación se puede expresar:

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EJERCICIOS DE MAGNITUDES PROPORCIONES 1. Si: A, B, C y D son magnitudes proporcionales, además: A2 D.P. B (C; D son constantes) 3 A I.P. √C (B; D son constantes) D2 DP √A (B; C son constantes) Si cuando: A = 2 ; B = 9 ; C = 125 ; D = 2. ¿Cuál es el valor de C, cuando A = 99; B = 121 y D = 6? A) 30 B) 270 C) 2700 D) 900

E) 27000

2. El número A es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número B. Si: A = ¿Cuál es el valor de B, si A = A) 250

1 4

5 7

cuando B = 49.

?

B) 300

C) 500

D) 360

E) 400

3. La presión en un balón de gas es IP a su volumen; es decir a menor volumen mayor presión. Un balón de 240 litros soporta una presión de 4,8 atm. ¿Qué presión soportará un balón de 60 litros? A) 19,2 atm B) 16,4 atm C) 14,4 atm D) 18,2 atm E) 16 atm 4. ¿Cuántos gramos pesará un diamante que vale $ 112,5; si uno de 6 g. vale $ 7,2 además se sabe que el valor del diamante es proporcional con el cubo de su peso? A) 9,2 5g. B) 13,66 g. C) 15,00 g. D) 19,20 g. E) 21,00 g. 5. Según la Ley de Boole, la presión es inversamente proporcional al volumen que contiene determinada cantidad de gas. ¿A qué presión está sometido un gas si al aumentar esta presión en 2 atmósferas, el volumen varía en 40%? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 6. Las magnitudes A, B y C guardan las siguientes relaciones: * Con C: constante: A a B

8a

27a

64 a

b 0,5 b 0,3 b 0,25 b

* Con B: constante: A a 2a C 0,25 c c

3a 4a 2,25 c 4 c

Si cuando A = 4, B = 9 y C = 16. Hallar A cuando B = 3 y C = 4. A) 36

B) 42

C) 48

D) 54

7. Sea f: una función de proporcionalidad tal que: 21 f ( 5 ) f(5)f(7) es: A) 324

B) 2425

C) 1176

E) 60 f(4) + f(6) = 20, entonces el valor de producto:

D) 3675

E) 576

8. Si las ruedas M, C, A y B; donde M y C tienen un eje común, C y A engranan; A y N tienen un eje común. Si la rueda M da 75 revoluciones por segundo y se observa que la rueda N gira en 25 revoluciones por segundo. Determinar el número de dientes de la rueda C si ésta tiene 20 dientes menos que la rueda A. PROF. ULISES C. MARTINEZ

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A) 10

B) 20

C) 30

D) 15

ARITMÉTICA

E) 5

9. Hallar: x + y + z 50 40 z/2 x 24

A) 180

z 60

B) 193

y

C) 200

D) 120

E) 48

10. Si: a + b + c + x = 215 3k 2k k

7

Hallar: b – c + 5a – 4x A) 22 B) 32

C) 43

a

b

D) 12

c

E) 10

11. Un grupo de “X” obreros ( X > 9) trabajando 8 horas diarias pueden terminar una obra en 30 días. Si empiezan y luego de 6 días se retiran 9 obreros y recién 6 días más tarde se la reemplaza por “Y” obreros, logrando todo terminar la obra en el plazo previsto. Hallar “ Y”. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 15 12. En un albergue aprovisionaron víveres esperando recibir a 11 huérfanos durante 20 días; pero el primer día sólo llego un huérfano, el segundo día 2, el tercer día 3 y así sucesivamente ¿Cuántos días duraron los víveres? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 13. Si f es una función de proporcionalidad directa y g es una función de proporcionalidad inversa, donde: f(1) + g(1) = 51 f(3) + g(4) = 150,25 El valor de E = f(5)  g(5) es: A) 50 B) 525 C) 750 D) 1 025 E) 1 250 14. Si f es una función de proporcionalidad directa y g es una función de proporcionalidad inversa, donde: f(1) + g(1) = 39; f(6) + g(6) = 24, f(b) = 3g(b), entonces el valor de E = f(3) + g(3) + b, es: A) 19 B) 25 C) 26 D) 27 E) 29 PROF. ULISES C. MARTINEZ

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15. En la tabla, el valor de a es: A B C A) 4

B) 6

8 2 4

C) 8

12 3 4

a 32 1

D) 10

9 4 3

E) 12

16. Del gráfico calcula b1 + b2 + b3 B R

b3 Q

b2

P

b1 2 0

A) 22

Hipérbola Equilátera

4

6

8

B) 24

C) 26

D) 28

E) 30

17. El área sombreada es 48 u2. El valor de (x + y + z) es: A

AB

16 A

y

1 B 

2 z

A) 21

4

8

B) 22

x

B

C) 23

D) 24

E) 25

18. Se tiene el gráfico Q

PQ B

a

P 9

O

1 Q 

A b

5

c

P

Donde el área triángulo rectángulo OAB es 37,5 entonces a + b + c es: A) 8,1

B) 79 C) 85 3

9

D) 11 E) 12,3

19. Para las magnitudes M y N se tiene que en el intervalo 0; a] presentan proporcionalidad inversa y en [a; u] proporcionalidad directa. Si P = (2, 7), entonces el punto Q es: N S PROF. ULISES C. MARTINEZ

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P

7

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R Q

b

0

a

2

M



B)  5; 5  C)  5; 1  D)  2 5; 7 5  E) 2 5; 7 7 5  5    

A)  2; 7 5  5 

u

10





61. Se tiene dos magnitudes A y B, tal que: Si B  9 si se cumple A DP B, Si 9  B  36 si se cumple A IP B, Si 36  B si se cumple A2 IP B. Cuando A = 8, B = 3 y A = x, B = 81. Si f es una función de proporcionalidad directa, tal que: f(5) + f(x) = 72. Hallar: f(3)  f 3  f 5 4 16 A) 300 B) 360 C) 420 D) 540 E) 600

  

62. Si los registros del comportamiento de dos magnitudes proporcionales resultaron: 18 9 225 x

27 100

45 36

y 25

Entonces (x + y) es igual a A) 360

B) 428

C) 520

D) 954

E) 1 972

63. Si A IP B cuando C es constante y A DP C cuando B es constante; Además: A B C

6 3 3

x 4 4

10 y 5

z+1 z 6

Hallar x + y + z A) 21

B) 22

C) 23

D) 24

64. En el gráfico, calcular U1 – U2 en miles de dólares. U miles ($) 1

c 81 u2

2b

IP

2

9 ULISES C. MARTINEZ PROF. 27 2

a

b

Artículos

E) 25

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DP

A) 8

B) 10

C) 12

D) 14

E) 15

65. Sabiendo que la magnitud A es DP al cuadrado de la magnitud B, determinar en qué fracción de su valor aumentó A si B aumenta en la mitad de su valor. 1 1 3 3 5 A) B) C) D) E) 4 2 4 2 4 66. Una magnitud A varía proporcionalmente con B2 y es inversamente proporcional con la magnitud C. A sí mismo B varía proporcionalmente con D y la magnitud C varía inversamente con la magnitud E. Si cuando A = 40, D = 2 y E = 5. Hallar A cuando D  E = 20 A) 40 B) 50 C) 60 D) 80 E) 100

67. Si f es una función de proporcionalidad directa y g es una función de proporcionalidad inversa, donde: f(1) + g(1) = 51 f(3) + g(4) = 150,25 El valor de E = f(5)  g(5) es: A) 50

B) 525

C) 750

D) 1 025

68. En la tabla, el valor de a es: A B C

A) 4

B) 6

C) 8

8 2 4

12 3 4

D) 10

a 32 1

9 4 3

E) 12

69. El área sombreada es 48 u2. El valor de (x + y + z) es: A

AB

16 A

y

1 B 

2 z

A) 21

4

B) 22

8

x

B

C) 23

D) 24

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28

E) 25

E) 1 250

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20. Una esfera tiene un radio de a centímetros y su volumen es N litros; otra esfera de a decímetros de radio tiene un volumen de N + K litros, entonces K es: A) 99 N B) 199 N C) 399 N D) 499 N E) 999 N 21. Un diamante de n quilates cuesta M soles. ¿Cuántos soles cuesta un diamante de 3n quilates si un quilate es 0,25 gramos y el precio es DP al cuadrado del peso? A) 4 M B) 6 M C) 7M D) 9 M E) 16 M 22. Un depósito cónico de 5 dm de radio está lleno con agua; se desea desalojar un determinado volumen y para esto se hace un agujero en el vértice del depósito y se cierra cuando el radio del nuevo volumen cónico es de 3 dm. Si, el volumen cónico de agua es proporcional al cubo de la profundidad, luego el porcentaje del volumen desalojado fue del: A) 21,6 B) 30,2 C) 35,8 D) 76,6 E) 78,4 23. El número de artículos producidos por un obrero es DP a su salario por hora e IP a la raíz cuadrada del número de horas que trabaja. Si trabajando 4 horas diarias y ganando 600 soles por hora produce 60 artículos. ¿Cuánto más produce si trabaja 9 horas diarias y gana 1 200 soles por hora? A) 10 B) 20 C) 22 D) 25 E) 28 24. Sabemos que el caudal es la constante de proporcionalidad para el área de la sección transversal de una tubería y la velocidad del agua que circula a través de ella y éstas magnitudes son inversamente proporcionales en una tubería de 2 sectores: uno más angosto que el otro. Si los radios están en la relación de 3 a 4 y la velocidad en el sector de radio menor es de 16 m/s, hallar la velocidad en el otro sector en m/s. A) 8 B) 9 C) 12 D) 14 E) 15 25. En un edificio el volumen de agua que se lleva a un cierto piso es IP a Tn, donde T es el tiempo que demora en llegar el agua al piso n. Si cuando se lleva 80 litros al segundo piso la demora es de 4 segundos. ¿Qué tiempo demorará en llevar 5 litros al cuarto piso? A) 4,0 B) 4,5 C) 5,0 D) 6,0 E) 8,0 26. El costo C de un artículo es igual a la suma de los gastos G en materias primas y salarios S. El gasto en materias primas es IP a la cantidad de maquinarias Q que se tiene y el salario es DP al número de horas H trabajadas por día. Si Q = 2 y H = 6, entonces C = 12. Si Q = 4 y H = 9, entonces C = 16. Si C = 23 y Q = 6, hallar H. A) 13,4 B) 13,5 C) 13,6 D) 13,8 E) 13,96 27. El alargamiento que sufre una barra es proporcional a su longitud y a la fuerza que se aplica, e IP a su sección transversal y rigidez. Si a una barra de acero de un metro de longitud y 50 mm 2 de sección se le aplica 2 500 Nt, Sufre un alargamiento de 10–1 mm. Determine el alargamiento en mm que ocasiona 800 Nt aplicado a una barra de aluminio de 75 cm de longitud y 16 mm 2 de sección, sabiendo que la rigidez del aluminio es 50% menos que la del acero. A) 0,12 B) 0,15 C) 0,16 D) 0,18 E) 0,20 28. Para pintar un cubo de 5 cm de arista se gastó 3 soles, y para pintar un cubo de x cm de arista se gastó 27 soles. Hallar la suma de las cifras de x. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

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29. En un prado hay un pequeño corral cuyas dimensiones son de 3 por 4 metros. Si en la esquina de este corral se ata un buey con una cuerda de 3 m, el animal puede alimentarse durante 27 horas del pasto que está a su alcance. ¿Cuántos metros más debe tener la cuerda, para que el alimento le pueda alcanzar para 53 horas más? A) 1,88 B) 1,96 C) 2,00 D) 2,12 E) 2,16 30. Una vaca atada a una cuerda demora 5 horas en comer toda la hierba que está a su alcance. Si la cuerda se acorta en 1/5 de su longitud, se demoraría en horas: A) 2,0 B) 2,5 C) 3,0 D) 3,3 E) 4,2 31. Una gallina y media pone huevo y medio en un día y medio. ¿cuántos huevos pondrán tres gallinas en tres días? A) Absurdo B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 32. Un obrero emplea n minutos en realizar una parte de la obra igual a 1/3 de la obra que aún le falta, y descansa tantos minutos como los que había trabajado, luego reanuda su labor duplicando su rendimiento y así termina toda la obra. ¿Cuántos minutos empleó en toda la obra incluyendo el descanso? A) 4 n B) 5,5 n C) 3,5 n D) 5 n E) 4,5 n 33. Un grupo A, formado por 80 obreros, en 9 días de trabajo hicieron 5/22 de la obra. ¿Cuántos obreros tendrán que contratarse adicionalmente de un grupo B para terminar el resto de la obra en los 15 días siguientes?; Si lo que hace un obrero del grupo B en 5 horas lo hace un obrero del grupo A en 1 hora. A) 410 B) 412 C) 414 D) 416 E) 418 34. Si Juan puede hacer una obra en 2 horas y Juan con Pedro los dos juntos pueden hacer el doble de la obra inicial en 5/3 horas. ¿En qué tiempo haría Pedro la nueva obra? 20 24 29 34 36 A) B) C) D) E) 7 7 7 7 7 35. Treinta obreros trabajando 6 horas por día, durante 16 días, pueden hacer una zanja de 2 m  4 m  1,5 m. z obreros trabajando 12 horas por día durante 9 días hacen una zanja de 1,5 m  2 m  9 m. Hallar z. A) 36 B) 42 C) 48 D) 54 E) 60 36. Cuatro obreros pueden hacer una obra en 40 días. Después de 10 días de trabajo se retira 1 obrero. ¿Con cuántos días de retraso se entregó la obra? A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 37. Un pintor cobra N soles por pintar, pasando 2 manos de pintura, un círculo de r metros. ¿cuántos soles debe cobrar por pintar, pasando 3 manos de pintura, un círculo de 2 r metros? El costo incluye mano de obra y la pintura. A) 6 N B) 3 N C) 9 N D) 8 N E) 10 N 38. Un grupo de 20 obreros han hecho 2/5 de la obra en 24 días. Luego se retiran 4 de ellos y terminan los restantes lo que falta en 30 días. ¿En qué porcentaje deberán aumentar su eficiencia los obreros restantes? A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 39. Un grupo de exploradores pueden realizar una prospección en un terreno de 350 hectáreas en 14 días de 8 horas de trabajo. Si el personal aumenta su eficiencia en 50%. ¿Cuántos días de 6 horas de trabajo sería necesario para realizar dicha exploración en un terreno de 750 hectáreas que es dos veces más dificultoso? A) 53,3 B) 54 C) 60D) 72 E) 80 PROF. ULISES C. MARTINEZ

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40. Cincuenta obreros pueden hacer 150 m de un cerco perimétrico trabajando 40 días en jornadas de 9 horas diarias. ¿Cuánto tardarían si se aumenta 100 obreros 50% más eficientes que los anteriores para hacer 600 m de otro cerco perimétrico cuyo grado de dificultad es el triple del anterior en jornadas de 8 horas diarias? A) 105 B) 115 C) 125 D) 135 E) 150 41. Dieciocho obreros que laboran 10 horas diarias deben entregar una obra en un plazo dado, pero en los últimos 2 días todos deben quedarse n horas de sobre tiempo porque uno de los obreros faltó 3 días y otro de ellos faltó 4 días. Calcular n aproximadamente. A) 1 B) 1,5 C) 2D) 3 E) 3,5 42. Un grupo de 10 alumnos resuelve en 5 horas una tarea consistente en 20 problemas de igual dificultad. Otra tarea consiste en resolver 8 problemas cuya dificultad es el doble de las anteriores. Si no se presentaron dos integrantes del grupo, entonces los restantes alumnos terminarán la segunda tarea en: A) 4 B) 5 C) 6D) 8 E) 10 43. Una vaca y un caballo tardan 20 y 15 días para comer todo el pasto de un pastizal de similar extensión. ¿Cuánto tiempo tardarán en comer todo el pasto ambos la vaca y el caballo? 58 59 60 61 62 A) B) C) D) E) 7 7 7 7 7 44. En un camal hay 35 vacas con alimentos para A días, si luego del primer día se sacrifica una vaca diaria para comercializar la carne en el mercado, entonces los alimentos alcanzan para 6 días más. Hallar A. A) 5 B) 14 C) 15D) 17 E) 22 45. Un grupo de 24 obreros han hecho en 11 días una parte de una obra, y a partir de ese día se aumentó 8 obreros cada día y la obra se terminó cuatro días después. ¿Qué porcentaje de la obra se hizo en los primeros 11 días? A) 40 B) 48 C) 56D) 60 E) 64 46. En un tractor, la longitud de la circunferencia de las ruedas traseras son los 7/5 de la longitud de las circunferencias de las ruedas delanteras. Cuando una de ellas ha dado 468 vueltas más que la otra, el tractor ha recorrido 4 095 metros. La longitud de la circunferencia de una de las ruedas es: A) 2,0 B) 2,5 C) 2,8 D) 3,0 E) 3,2 47. Veinticinco obreros hacen 5/8 de una obra en 10 días. A partir de ese momento se contratan n obreros más cada día, terminándose 2 días antes de la fecha en que terminarían los 25 obreros si hubieran continuado solos. El valor de n es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 48. Un albañil y un ayudante pueden hacer una obra en 12 días trabajando 8 horas diarias. Sabiendo que el trabajo de 3 ayudantes equivale al trabajo de 2 albañiles; el número de horas diarias que deben trabajar 2 albañiles y un ayudante para hacer el doble de obra en 8 días es: A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 49. Una persona puede realizar 1/3 de una labor en 4 días, otra persona hace lo que falta en 1 día. Si el primero aumenta su eficiencia al doble, el tiempo en que acabarían la labor juntos será: 1 1 1 A) 1 B) 1 C) 2 D) 2 E) 3 5 5 2

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7 partes de la obra para ello se 80 despide un obrero cada día a partir del segundo día ¿En cuántos días se hará dicho avance? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

50. Veinte obreros pueden hacer una obra en 60 días, se desea hacer los

51. Seis obreros debían hacer un pozo de forma cilíndrica durante 18 días trabajando 8 horas diarias. Antes de iniciar el décimo día de la jornada observa que han hecho el trabajo con las mismas dimensiones pero en forma cónica, luego el contratista dispone aumentar el número de obreros pero doblemente más eficientes, trabajando junto con los anteriores 1 hora más por día para terminar la obra en 3 días antes de lo que se proyectó. Luego la cantidad de obreros que aumentaron es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 52. Se tienen dos cuadrillas de obreros. Si 6 obreros de la primera cuadrilla pueden realizar una obra en 8 días a razón de 5 horas por día y la misma obra la pueden realizar 8 obreros de la segunda cuadrilla en 5 días, trabajando a razón de 12 horas por día. ¿En cuántos días harían la obra 3 obreros de la primera cuadrilla y 6 obreros de la segunda, trabajando 8 horas por día? A) 3 B) 5 C) 6D) 25 E) 30 53. Veintitrés obreros pueden hacer una obra en 29 días, a 8 h/d. Luego de 13 días, 14 de estos obreros aumentan su eficiencia en 50% solo durante 6 días; después de esto se incorpora un obrero con igual eficiencia que los obreros iniciales. Trabajando todos 6 días pero 2 horas menos por día. Si se acordó trabajar 5 h/d. ¿Cuántos obreros de doble eficiencia se debe contratar para terminar la obra en el plazo fijado? A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

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REPARTO PROPORCIONAL CONCEPTO: Consiste en repartir una cantidad en forma proporcional a ciertos números denominados índices de reparto.

PARTES

2500

A B C

CLASES DE REPARTO:

2500

Luego: A = 6(100) = 600 B = 7(100) = 700 C = 12(100) = 1200

A. Reparto Simple Directo: Al efectuar este tipo de reparto, se obtienen partes que son directamente proporcionales a los índices.

NOTA: Si los índices de reparto se multiplican por una constante, se obtienen las mismas partes, o sea el reparto no varía.

a los índices:

Ejemplo: Si repartimos 200 DP a 2 , 3 y 5

Se cumple que las partes obtenidas: P1 ; P2 ; P3 ; … ; Pn son DP a los índices.

La constante es

P1 P2 P3 Pn = = =⋯= =k a1 a2 a3 an

200 = 20 entonces las (2+3+5)

partes son : 2(20) = 40 ; 3(20) = 60 y 5(20) = 100

Como: N = P1 + P2 + P3 + ⋯ + Pn

Multipliquemos por 2 a todos los índices y hagamos de nuevo el reparto. La constante sería ahora: 200 = 10 (4+6+10)

Partes a 1K  a 2 K   N a 3 K   a K  n

(es la mitad de la constante anterior) Calculemos las partes : 4(10) = 40 ; 6(10) = 60 ; 10(10) = 100 Se puede observar que las partes no han variado.

N = (a1 + a2 + a3 + ⋯ + an )k K =

6K+ 7K+ 12K= 2500

La constante: K = (6+7+12) = 100

1. Reparto Proporcional Simple: Es aquel reparto que se realiza en forma proporcional a un solo grupo de índices, este reparto puede ser de dos tipos:

En general repartir N DP a1 ; a2 ; a3 ; … ; an

D.P.

: 6 : 7 : 12

N (a1 +a2 + a3 +⋯+an)

B. Reparto Simple Inverso: Al efectuar este tipo de reparto, se obtienen partes que son inversamente proporcionales a los índices. a1 ; a2 ; a3 ; … ; an En general repartir N IP a los índices:

La constante de reparto es igual a la relación de la cantidad a repartir y la suma de los índices. Ejemplo: Repartir S/. 2500 DP a las edades de 3 hermanos que son : 6 , 7 y 12 años.

Se cumple que las partes obtenidas: P1 ; P2 ; P3 ; … ; Pn son IP a los índices. P1 . a1 ; P2 . a2 ; P3 . a3 ; … ; Pn . an = k

Resolución:

Como: N = P1 + P2 + P3 + ⋯ + Pn PROF. ULISES C. MARTINEZ

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INVERSOS: Si el reparto se realiza en partes inversamente proporcionales a los índices.

 N  K  K  K  ......  K a1 a 2 a 3 an Partes 1 K a1

MIXTOS: Si el reparto se realiza en partes directamente proporcionales a algunos índices e inversamente proporcionales a otros.

1 K a2 N

Para efectuar un reparto compuesto se siguen los siguientes pasos:

1 K a3

1º Se convierte las relaciones IP a invirtiendo los índices (si los hubiera)

1 K an K

2º Se multiplican los índices correspondientes de cada grupo.

N  1    1  1  ...  1  a  a a a 2 3 n  1

3º Se efectúa el reparto proporcional simple directo resultante.

Ejemplo:

REGLA DE COMPAÑÍA 1

1

Repartir 6300 en partes IP a 4 ; 7 y Resolución: PARTES

6300

A

:

B

:

C

:

DP

1

Es un caso particular del reparto proporcional, consiste en repartir las ganancias o pérdidas que se producen en una sociedad mercantil o compañía, entre los socios de la misma en forma DP a los capitales y a los tiempos que los mismos permanecen en el negocio. Ejemplo:

10

IP DP

1 4 1 7 1 10

4 7 10

1. Tres amigos se asocian para comprar un camión aportando capitales de 16000; 14000 y 10000 dólares. Si por cada mes de alquiler del camión perciben 3700 dólares. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

4K+ 7K+ 10K= 6300

6300  300 4  7  10 Luego: A = 4(300) = 1200 B = 7(300) = 2100 C = 10(300) = 3000 K

Resolución: Como el tiempo es el mismo para todos, entonces se reparte la ganancia DP a los capitales aportados. Entonces: G2 G3 G1  G 2  G3 3700    14000 10000 16000  14000  10000 40000 3700  G  16000   1480 1  40000  G1

2. Reparto Proporcional Compuesto: Este tipo de reparto se realiza proporcional-mente a varios grupos de índices. Los repartos proporcionales compuestos pueden ser:

16000



3700  G  14000   1295 2  40000  3700  G  10000   925 3  40000 

DIRECTOS: Si el reparto se realiza en partes directamente proporcionales a los índices.

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PRÁCTICA DE REPARTO PROPORCIONAL 1. Repartir 8 460 en partes directamente proporcionales a 21, 22, 23 y 24. Dé como respuesta la parte menor. A) 1 974 B)2 126 C)2 256 D)2 265 E)1 994 2. Un comerciante moribundo deja una herencia de s/ 10 080 a su esposa, la cual estaba embarazada, pero bajo la siguiente clausula: si nace varón, se repartirá entre él y la madre en la relación de 2 a 3, respectivamente. Si nace mujer, se repartirá de tal modo que la hija obtenga 5 partes por cada 4 de la madre. Si llegado el alumbramiento nacen mellizos; un varón y una mujer, ¿Cuánto le corresponde a la madre? A) 3000 B) 2456 C) 3456 D) 4000 E) 4325 3. Se reparte 2100 soles entre tres personas en razón directa a los números: a, a 2 , a 3 . Si la menor cantidad recibida es 100 soles, ¿a cuánto asciende la mayor cantidad? A) 1 600 Soles B)1 700 Soles C)1 800 Soles D)1 900 Soles E)2 000 Soles 4. Repartir 2 225 en tres partes que sean DP a los números 3; 5 y 8 e IP a los números 4; 6 y 9.hallar la menor parte. A) 675 B) 2456 C) 3456 D) 4000 E) 4325 5. Un millonario dejó una herencia de 14 400 000 soles, para repartirla proporcionalmente a las edades de sus hijos. Marco, Félix y Alberto. Si la edad de Alberto es el doble de la edad de Marco y a Félix le tocó S/. 4 200 000, y la suma de las 3 edades es 72 años. ¿Cuál es la edad de Marco? A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E)25 6. Dividir 1 320 en forma DP a √𝟏 𝟏𝟖𝟑; √𝟏 𝟑𝟕𝟐√𝟐 𝟎𝟐𝟑 indicar la mayor parte. A) 510 B) 300 C) 450 D) 400 E) 325 7. Un empresario decide repartir una gratificación inversamente proporcional a los años que le faltan a sus tres empleados para jubilarse, los cuales son: 5, 3 y 2 años. ¿Cuánto le corresponde al más antiguo, si la gratificación total haciende a 12 400 soles? A) 5000 B) 4000 C) 3000 D) 6000 E) 2500 8. Se reparte 29 700 DP a todos los números impares de dos cifras. ¿Cuánto le tocó a 51? A) 3000 B) 2456 C) 3456 D) 4000 E) 612 9. Un moribundo deja S/. 111 000 a 2 sobrinos, 3 sobrinas y 5 primos, advirtiendo que la parte de cada 𝟑 𝟒 primo debe ser los 𝟒 de la de una sobrina y la de la sobrina 𝟓 de la de un sobrino. ¿Cuánto le toca a cada uno de los primos? A) 9000 B) 15000 C) 8500 D) 4000 E) 7000 10. Se reparte 364 500 DP a todos los múltiplos de dos de 2 cifras. ¿Cuánto le corresponde al 70? A) 34500 B) 10500 C) 6000 D) 20000 E) 42000 𝟑

11. Cuatro socios reúnen 2 000 000 de soles de los cuales el 1ro pone S/. 400 000; el 2do los 𝟒 de lo que puso el 𝟓

1ro; el 3ro los de lo que puso el 2do y el 4to, lo restante. Explotan una industria durante 4 años. Si hay que 𝟑 repartir una ganancia de S/. 1 500 000. ¿Cuánto le toca al cuarto? A) 300000 B) 250000 C) 400000 D) 200000 E) 600000 PROF. ULISES C. MARTINEZ

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12. Tres amigos se asociaron y formaron una empresa. El primero aportó S/ 60 000 durante 6 meses; el segundo S/ 30 000 durante 8 meses, y el tercero, S/ 90 000 durante 12 meses. Si obtuvieron una ganancia total de S/ 70 000, ¿Cuánto le correspondió al tercero? A) 45000 B) 10500 C) 60000 D) 20000 E) 42000 13. Carmen, Oscar y César obtienen S/ 7400 de utilidad luego de haber trabajado en una empresa que formaron aportando S/2000 S/4500 y S/5000; además permanecieron en el negocio 2 años, 4años y “t” años, respectivamente. Halle “t” si se sabe que la diferencia de las ganancias de Carmen y Oscar es de S/2800. A) 4 B) 5 C) 6 D)3 E) 7 14. Rodrigo forma un negocio con S/ 3000; después de dos meses ingresa carolina aportando S/ 4000, y luego de 5 meses más es aceptada Rocío con S/ 6000. Al final de un año de funcionamiento del negocio se obtuvieron S/ 10 600 de utilidad ¿Cuál es la menor ganancia? A) 3000 B) 2500 C) 4000 D)2000 E)6000 15. Repartir 520 en tres partes de tal manera que la diferencia entre la mayor parte y la menor sea el doble de la parte intermedia. Si la menor recibe 1 sol la intermedia recibe 1,50. Hallar la mayor parte. A) 280

B) 320

C) 370

D) 400

E) 420

16. Dos pastores A y B tienen 8 y 6 panes respectivamente y se los comen en forma conjunta y equitativamente con un tercer pastor quien abona S/. 14 para que se repartan A y B. ¿Cuánto le toca a A? A) S/. 8 B) S/.9 C) S/.10 D) S/.11 E) S/12 17. Al descomponer S/.70 en tres partes cuyos cuadrados sean DP a 0,2; 0,5; 0,4 e IP a 3; 1,2 y como mayor parte: A) 32 B) 33

C) 34

𝟖 𝟑

se obtiene

E) 36

D) 35

18. Una persona A forma una empresa con $42 000, luego de 5 meses aceptó un socio B quien aporta $63000, luego de 4 meses se retira A; 6 meses más tarde vuelve a reingresar A aportando S/. 12000 y 2 meses más tarde acepta un socio C quien aportó $21000. Al año 8 meses de fundada la empresa, ésta se liquida con una ganancia neta de $964 000. Hallar la ganancia de A. A) 278 000 B) 280 000 C) 292 000 D) 294 000 E) 296 000 19. Un tubo de plomo de 658,88 m se dividió en dos partes desiguales. Después se necesita que estas partes 1 fueran iguales y de tamaño conveniente, por lo que de la primera se acortó 5 de su longitud, y de la segunda los 2/9. Hallar la suma de las cifras de la parte menor inicial. A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 20. Al repartir una cantidad DP a ,  y  se observó que el tercero recibió 3000 dólares más que el primero y el segundo recibió 1000 dólares más que el primero. La suma de las edades de los hermanos es 160 siendo la edad del primero el mayor número entero posible. Hallar la suma de las cifras de la cantidad que se repartió. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 21. Se dividen N en tres partes de modo que sus cuadrados son DP a 0,2; 0,5 y 0,4 e IP a 3; 6/5 y 8/3. Si la mayor parte se divide en 2 partes que sean DP a los valores de las otras dos partes. Calcular una de éstas dos partes en tanto por ciento de N A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 51 PROF. ULISES C. MARTINEZ

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22. Si se calcula un reparto en forma DP a los cuadrados de las edades de 3 hermanos, las cuales son proporcionales a 1, 2 y 3 entonces: A) El mayor recibirá 8 veces lo que recibe el menor. B) El mayor recibirá 180% de lo que reciben los otros dos juntos. C) El menor recibirá el 50% de lo que recibe el segundo. D) El segundo recibe (4/9)% de lo que recibe el mayor. E) El mayor recibe 9/13 del total. 23. Dos hermanos se han repartido una herencia en forma inversamente proporcional a ciertos números, uno de los cuales es n% del otro. Uno de los hermanos recibió el 40% de la herencia. ¿En qué porcentaje aumentaría este monto si el reparto se hiciera en forma directa proporcional a los mismos números? A) 25 B) 36 C) 37 D) 42 E) 50 24. Se reparte una cantidad de manera DP a los n primeros enteros positivos, observándose que entre la primera y última parte en conjunto ascienden a la vigésimo quinta parte del total. El número de partes en que se repartió es: A) 45 B) 44 C) 48 D) 50 E) 64 25. Un grupo de obreros compuesto por 20 varones, 15 mujeres y 10 niños, ha ganado S/.12 665, en los lavaderos de oro del departamento de Madre de Dios. Ellos desean repartir la ganancia de acuerdo a la siguiente regla estipulada al comienzo de las operaciones: Lo que gana una mujer es a lo que gana un varón como 3 es a 4; mientras que lo que gana un niño es a lo que gana una mujer como 4 es a 5. Hallar la suma de las cifras de lo que gana un niño. A) 6 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12 26. Dos agricultores riegan sus terrenos de 800 y 1000 m 2 con bombas cuyas eficiencias están en la relación de 1 a 2 respectivamente. Como no pueden terminar el riego de sus terrenos, contratan a otro agricultor, cuya bomba de riego es tres veces la eficiencia de la primera, cobrándoles 180 dólares. ¿Qué tanto por ciento aportó el segundo? A) 40,6̂ B) 41, 3 C) 42, 6̂ D) 44, 4̂ E) 55, 5̂ 27. Entre dos pueblos A y B, alquilan un prado por S/. 49 800 anuales. Los 2 pueblos tienen derecho al pastoreo de 350 y 280 cabezas de ganado vacuno respectivamente. Los pueblos distan del prado 1 500 m y 2 400 m respectivamente. La cantidad que le corresponde abonar a cada pueblo está en razón directa del número de cabezas de ganado y en razón inversa de la distancia entre el pueblo y el prado. El pueblo que más aporta, abona: A) 16 600 B) 33 200 C) 36 000 D) 36 800 E) 36 900 28. Andrés y Edwin se asociaron y formaron un negocio que duró 2 años, el primero aportó al inicio S/. 2 000, 8 meses después S/. 1 500 más, el segundo S/. 5 000 al inicio, luego de 5 meses retira S/. 1 000 y 2 meses después aumentó S/. 500. Si el negocio se liquidó con S/. 21 780. ¿Cuánto de utilidad le corresponde a Edwin? A) 1 800 B) 4 140 C) 8 640 D) 13 140 E) 18 640 29. Tres socios forman una empresa el primero da la idea y por tal motivo se llevará el 5% de la utilidad de la empresa, el segundo socio aporta $10 000 y trabajará como gerente y debido a su trabajo ganará el 10% de la utilidad total aparte de lo que le corresponde y el tercero aportó $20000. ¿Cuánto ganó el que aportó la idea, si el tercero ganó $18600 más que el él?, dar la respuesta en dólares. A) 1 800 B) 1 900 C) 2 000 D) 2 400 E) 2 500 PROF. ULISES C. MARTINEZ

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30. Cierta compañía empezó con un socio y aceptó un socio más en cada mes el cual aportaba el mismo capital que el fundador. El socio fundador debe recibir el n% de la utilidad total, antes de cualquier reparto, por el mérito de ser el de la iniciativa. Si a los 12 meses de iniciada la empresa se realiza un reparto de las ganancias ¿en qué proporción estará lo que reciben el primero y el penúltimo de los socios no fundadores? A) 11,0 B) 11,2 C) 11,4 D) 11,5 E) 11,9 31. Una cierta compañía fue disuelta, por lo que los tres socios retiraron entre aporte y ganancia: el primero $90 630; el segundo, $38 637 y el tercero $11 403. Si la ganancia fue de 15 630, hallar la suma de las cifras de las ganancias del tercero. A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 21 32. Un empresario inició un negocio con 8 000 dólares, cuatro meses después acepta un socio con 12 000 dólares de aporte y dos meses después ingresó un tercer socio con 10 000 dólares de capital. El negocio se liquidó a los 2 años de iniciado y el primero recibió 15 200 dólares menos que los otros dos juntos. ¿Cuál es la ganancia del primer socio aproximadamente? A) 850 B) 860 C) 870 D) 947 E) 1 000 33. Tres socios aportan capitales durante un año de la siguiente manera: el primero el doble que el segundo y este en la proporción de 3 a 2 con el tercero. A los 5 meses el primero retira su capital, tres meses después se retira el segundo y el tercero liquida el negocio repartiendo las utilidades. Si el primero se hubiese quedado un mes más hubiera retirado 68 dólares más. ¿Qué utilidad recibió el segundo socio? A) 348 B) 350 C) 467,5 D) 374 E) 1122 34. Un padre reparte canicas en partes proporcionales a las edades de sus hijos, de la siguiente manera: al primero le da 32; al segundo le da 24, pero antes de darle a los otros, se da cuenta que tiene 20 canicas más de las que pensó, entonces le da 4 más al primero, algunos más al segundo y los restantes a los otros hijos. ¿Cuántas canicas en total tenía el padre? A) 120 B) 160 C) 180 D) 200 E) 240 35. A forma una empresa con un capital de S/.9 000, al mes acepta un socio B el cual aporta S/. 6 000. El socio A será el gerente de la compañía y por esta razón recibirá el 20% de la utilidad total. Si la empresa se liquida a los 10 meses de su fundación, ¿con qué cantidad de dinero se retira A, si la diferencia de las ganancias totales de los 2 socios fue de S/. 4 000? A) 12 000 B) 15 000 C) 16 000 D) 18 000 E) 20 000 36. Tres personas: A, B y C forman un negocio aportando S/.15 000, S/.20000 y S/.30000 respectivamente, al cabo de un año A y B retiran S/.10000 y S/.15000 respectivamente, si el negocio se liquidó después de 2 años de funcionamiento recibiendo el socio A S/.1 100 de ganancia menos, que lo que hubiera recibido si no retiraba parte de su dinero, hallar la ganancia de B. A) 2 500 B) 6 000 C) 6 500 D) 7 000 E) 7 200 37. Varios propietarios se asocian para la explotación de una patente. El primero que es el propietario de la patente cede su explotación con la condición de percibir el 30% del beneficio. El segundo aporta 5/24 de los fondos necesarios. El tercero 4 000 soles menos pero realizará funciones de gerente mediante una remuneración complementaria del 10% de los beneficios. El cuarto aporta 4 000 soles menos que el tercero y así sucesivamente, hasta el último. Si las aportaciones hubieran sido iguales a las más elevada, el total del capital disponible aumentaría 1/4 de su valor. ¿Cuánto aportó el cuarto socio? A) 54 000 B) 56 000 C) 62 000 B) 64 000 E) 68 000

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38. En una muestra donde hay x bacterias, realizamos lo siguiente: 𝑚 I. Dividimos la muestra en m partes y tomamos p de ellas, luego, el resultado es el .100% del total. 𝑝

II. Dividimos la muestra en n partes iguales y tomamos m de ellas, luego, el resultado es el n por m del total.

III. Dividimos en n partes iguales y tomamos m de ellas, entonces el resultado es el m por n del total. IV. Si 5 bacterias representan 25 ppm, luego el total es 200 000 bacterias. Entonces el valor de verdad de cada proposición respectivamente es: A) VFVV B) FFVV C) VVVV D) FVVV E) FFFV 39. Un adicto al cigarro ha fumado durante un año un promedio de 2½ cajetillas diarias, de 20 cigarros cada una. Cada cigarro mide 10 cm, de los cuales el 20% es el filtro, y de la longitud neta, el fumador ha desechado en promedio, el 12,5%. Calcule la longitud de cigarro que fumará (en kilómetros) si mantiene esta adición durante 50 años (considere el máximo de años bisiestos). A) 51,3 B) 61,7 C) 63,9 D) 65,0 E) 67,0 40. Se dispone de varios triángulos equiláteros congruentes de la siguiente manera: la primera fila, 1 triangulo; la segunda, 2 triángulos; la tercera, 3 triángulos y así sucesivamente hasta que la última fila tiene 20 triángulos, todos unidos, formando en conjunto otro triángulo equilátero. Halle el porcentaje que representa la parte vacía del triángulo mayor A) 44,8 B) 45,8 C) 47,5 D) 48,6 E) 49,8 41. Un artículo se vendió con factura a S/. 142,80 y se ganó S/. 15. ¿Cuánto se ganaría si se vendiera con factura a S/.154,70? A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26 42. Si el costo de un producto aumenta 25%, pero el precio de venta se mantiene, la ganancia se reduce en 33, 3̂ %. ¿Qué porcentaje del precio de venta se ganaba inicialmente? A) 25,6 B) 30,0 C) 40,0 D) 42,9 E) 50,0 43. Si el número total de artículos aumenta en 20% y el precio de cada artículo disminuye en 20%, ¿qué se puede afirmar acera del precio total? A) No se altera B) Aumenta 4% C) Disminuye 4% D) Aumenta 8% E) Disminuye 8% 44. Se vende un producto en 500 soles ganando el 25% del costo, pero por el incremento de impuestos el costo del artículo aumenta en un 5%. Para seguir ganando el mismo tanto por ciento, ¿a cómo se debe vender el artículo? A) 510 B) 515 C) 520 D) 525 E) 530 45. Un vendedor decide aumentar en x% el precio de un artículo, pero al momento de venderlo realiza una rebaja del y%, notando ahora que el precio es igual al inicial. Entonces decide rematarlo, para lo cual x y realiza dos descuentos sucesivos del x% y del y%. Si sabe 5 y 5 son números enteros consecutivos, hallar el porcentaje equivalente de descuento. A) 30 B) 34 C) 38 D) 40 E) 44 46. El costo de fabricación de un artículo es de S/. 400. El fabricante lo vende al comerciante ganando un x% y éste al consumidor con una ganancia del 2x% sobre su precio de compra. Si el consumidor paga 750 por el artículo. ¿Cuánto gana el fabricante? A) 75 B) 80 C) 90 D) 96 E) 100 PROF. ULISES C. MARTINEZ

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47. Se vende un artículo con un descuento del 20%, ganando el 30% del costo, si sus gastos representan el 10% de su costo. Si el precio fijado excede en S/.114 a la ganancia, el precio de venta es: A) 57 B) 64 C) 85 D) 93 E) 104 48. Se vende un carro en S/. 7 200. Si el precio de costo representa la suma del 125% de la ganancia más el 60% del precio de venta, ¿cuál es la ganancia, en soles? A) 1 280 C) 1 290 C) 1 300 D) 1 310 E) 1 320 49. Al precio fijado de un artículo se le hizo un descuento de 16, 6̂ % y se ganó S/.20, si se le hubiera hecho un descuento del 10% se ganaría S/.28. ¿A cuánto se debe fijar el precio de venta para que al hacerle un descuento del 20% se gane S/.40? A) 150 B) 160 C) 165 D) 168 E) 170 50. Una persona quiere comprar un artículo, el minorista le ofrece con un descuento del 10%, el mayorista le ofrece dicho artículo con un descuento del 20% del precio que le ofrece el minorista, si va a la fábrica, en ésta le ofrece un descuento del 20% del precio que le ofrece el mayorista. Si al final lo compra a S/.576 de la fábrica. Calcule el precio inicial del minorista. A) 518,4 B) 624,0 C) 728,0 D) 888,0 E) 1 000,0 51. En la venta de un artículo la ganancia neta es el 5% del precio fijado, el descuento es el 10% del precio de costo y los gastos representan el 40% de la ganancia bruta. Calcular el precio de venta, si los gastos y el descuento suman 112 soles. A) 830 B) 880 C) 890 D) 920 E) 940 52. Una persona compró 200 objetos A y los vendió ganando el 10%, con el importe de la venta compró 80 objetos B y los vendió ganando el 15%, con el importe de ésta última venta compró 828 objetos al precio de S/.99 la docena. ¿Cuánto costó cada objeto A? A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 27 53. Para fijar el precio de un artículo un comerciante aumentó su costo en el 65% y al venderlo a un cliente le hizo una rebaja del 20% del precio fijado. ¿Qué porcentaje del costo resultó ganando? A) 30 B) 32 C) 34 D) 35 E) 36 54. José va al mercado mayorista y compra cierto artículo con una rebaja del 25% del precio de lista del mayorista. Cuando José vende dicho artículo lo hace, con un descuento del 20% del precio que fijo para su venta al público y todavía está ganando el 10% del precio de venta. ¿Qué porcentaje del precio que fijó José para la venta del artículo representa el precio de lista del comerciante? A) 80 B) 92 C) 95 D) 96 E) 98 55. Un comerciante compró sacos de arroz y los vende perdiendo el 50% del costo. Luego invierte el total comprando sacos de azúcar y los vende ganando el b% del costo y nuevamente gasta todo el dinero en frijoles que luego los vende perdiendo el 50% del costo. Finalmente con el dinero que le queda compra nuevamente arroz que lo vende ganando el b% del costo. Hallar el valor de b, sabiendo que la primera ganancia es igual a la última pérdida. A) 90 B) 100 C) 120 D) 140 E) 150

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REGLA DE INTERES CONCEPTOS ELEMENTALES CAPITAL (C) Designa un conjunto de bienes o una cantidad de dinero de los que se puede obtener ingresos en el futuro.

Ejemplo: Si un capital de 3000 soles, genera un interés de 500 soles, el monto es: 3000 soles + 500 soles = 3500 soles CLASES DE INTERÉS

INTERÉS (I) Es la ganancia que produce el capital durante un cierto tiempo con la condición de que cien unidades de dinero produzcan una cierta cantidad anual.

INTERÉS SIMPLE Es cuando el interés o ganancia que genera el capital del préstamo no se acumula al capital. En este caso, el capital es constante durante todo el tiempo, el interés es proporcional al tiempo y a la tasa.

Ejemplo: * Si se depositan $1000 en un banco y, después de cierto tiempo y se retira en total $1200, significa que se ha ganado un interés de $200.

Ejemplo: César prestó 4000 soles a Fiorella durante 5 años con una tasa de 2% anual. Calcule el interés generado.

TASA DE INTERÉS (r%) Expresa el tanto por ciento del capital que se paga por la utilización de éste durante un tiempo.

Resolución: Como la tasa es 2% anual, por cada año que pasa se gana el 2% de S/. 4000 = S/. 80, entonces en 5 años se gana 5 veces S/. 80 = S/. 400

Ejemplos: *

Una tasa de 12% mensual significa que se gana el 12% del capital por cada mes.

*

Una tasa de 25% bimestral significa que se gana el 25% del capital por cada dos meses.

Observación: El interés es D.P. al capital, a la tasa y al tiempo

Observación:

Algunas fórmulas para el cálculo del interés simple:

Cuando no se indique la unidad de tiempo referida a la tasa, se asumirá una tasa anual.

TIEMPO (t) Intervalo durante el cual se presta o utiliza el capital. Para calcular el interés se considera generalmente: * * * * *

I = C . r% . t

Cuando la tasa y el tiempo están en las mismas unidades de tiempo.

1 año 12 meses. 1 mes comercial 30 días 1 año comercial 360 días 1 año común 365 días 1 año bisiesto 366 días

INTERÉS COMPUESTO En este caso el interés generado por el capital prestado pasa a formar parte del capital cada cierto tiempo denominado periodo de capitalización, o sea que el capital aumenta cada cierto tiempo.

MONTO (M) Es la suma recibida al final del periodo y es igual al capital más el interés que genera el mismo.

Ejemplo: César prestó 40000 soles a Fiorella durante 4 años con una tasa de 20% anual capitalizable anualmente. Calcule el interés generado.

M=C+I PROF. ULISES C. MARTINEZ

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El monto que se obtiene con un capital C, durante un tiempo t a una tasa r% (r% y t en las mismas unidades de tiempo, o sea, si r% es anual, t en años, etc.)

Resolución: Como la tasa es 20% anual, por cada año que pasa se gana el 20% del capital acumulado al comenzar el año. En 4 años se han realizado 4 aumentos sucesivos del 20%.

M  C.e r% t

1er. año: 120% de S/. 40000 = S/. 48000

Donde: e = 2,71828182...

2do. año: 120% de S/. 48000 = S/. 57600 3er. año: 120% de S/. 57600 = S/. 69120 4to. año: 120% de S/. 69120 = S/. 82944 Al finalizar el 4to. Año, el monto es de S/. 82944; que también se puede calcular : 120% 120% 120% 120% S/.40000 = S/.82944 Entonces el interés en los 4 años es: S/. 82944 – S/. 40000 = S/. 42944 INTERÉS CONTINUO: El interés continuo se obtiene cuando la capitalización es en cada instante, es decir, fraccionando la tasa y el tiempo en un número de partes infinitamente grande.

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REGLA DE INTERÉS 1. Un capital colocado al 0,35% diario durante 20 meses produjo 144 720 soles más que si se hubiera impuesto al 0,45% mensual durante el mismo tiempo. ¿Cuál es el capital? A) 70 970,17 B) 70 977,17 C) 70 980,17 D) 70 981,17 E) 70 988,17 2. El monto de un capital impuesto durante 8 años es 12 400 soles. Si el mismo capital se hubiera impuesto a la misma tasa durante 9 años y 6 meses, el monto sería 12 772 soles. Calcular el interés que produce dicho capital en 5 años al 5% bimestral de interés simple. A) 15615 B) 15618 C) 15620 D) 15624 E) 15630 3. Los dos quintos de un capital se coloca al r 1% y el resto al r2%. Si al cabo de un año producen montos iguales. Hallar r1:r2 si se sabe que r1 + r2 = 80. A) 6:5 B) 4:3 C) 5:3 D) 5:2 E) 17:3 4. Un capital está impuesto al 20% anual y un segundo capital al 30% anual. La suma de dichos capitales es S/.55000. Si el interés semestral que produce el primero es al interés cuatrimestral que produce el segundo como 5 a 6, la diferencia entre estos capitales es: A) 3000 B) 4000 C) 5000 D) 6000 E) 7000 5. Una empresa recibe en depósito los ahorros de sus empleados, por los que paga un interés de 3% hasta los primeros S/.1000; 4% por lo que excede de esta cantidad hasta S/.2000 y 5% por lo que pase de esta cantidad hasta S/.20000. Un empleado cobró en un año un interés simple de S/. 235. Hallar la suma de las cifras de su capital ahorrado. A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 11 6. Calcular la diferencia de dos capitales cuya suma es S/.1200; si dichos capitales son impuestos al 10% y 20% durante 9 y 6 meses respectivamente, producen un interés total de S/.100. A) S/.100 B) S/.200 C) S/.400 D) S/.600 E) S/.800 7. Se deposita un capital al 8% mensual de interés simple. Al cabo de qué tiempo se debe retirar el capital más los intereses para que la suma depositada represente el 75% de lo que retira. A) 1 mes B) 2 meses 10 días C) 4 meses D) 4 meses 5 días E) 5 meses 8. Juan depositó una cantidad C a una tasa del 13% capitalizable bimestralmente. Si a los dos años se convirtió en $9608,21, el valor aproximado de c es: A) 7360,25 B) 7380,75 C) 7400,00 D) 7480,00 E) 7500,00 9. José decide invertir $10 000 por medio año. Coloca una parte en una institución financiera que paga el 18% capitalizable mensualmente y el saldo en otra que paga el 16% capitalizable quincenalmente. Si al final recibe entre las dos entidades $10858,36, aproximadamente invirtió en la primera. A) 5700 B) 5850 C) 6180 D) 6229 E) 6324 10. Una persona coloca en un Banco, 5000 dólares, durante 4 meses al 36% anual capitalizable mensualmente. Retira los intereses y presta a otra persona al 5% mensual a interés simple ; esta persona invierte en su empresa y gana el 10% mensual a interés simple . La segunda persona devuelve lo prestado más los intereses en 3 meses, luego la segunda persona ganó: A) 90,50 B) 94,10 C) 96,20 D) 98,10 E) 100,60

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11. Un capital de 350 000 nuevos soles estuvo impuesto durante cierto número de años, meses y días; por los años se pagó el 32%, por los meses 30% y por los días 24%. Calcular el interés producido por dicho capital, sabiendo que si se hubiera tenido impuesto todo el tiempo al 8% habría producido S/. 23 625 más que si se hubiera tenido impuesto todo el tiempo al 6%. A) 374 500 B) 381 200 C) 385 200 D) 387 200 E) 388 200 12. Una persona tenía colocado su capital al 3 1 % de interés anual. lo retiró para colocarlo al 5 3 % , con lo 4

4

cual cada trimestre percibe S/.275 más que anteriormente. Hallar la suma de las cifras de dicho capital. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 13. Un padre coloca su dinero en un Banco que paga una tasa del 20% bimestral; con capitalización bimestral, retira todo a los 6 meses y reparte el 25% de lo que ganó entre sus tres hijos en forma DP a sus edades que son 15, 9 y 18 años respectivamente. Si a los dos mayores juntos les tocó S/.312 más que al menor. El dinero del padre en soles es: A) 1000 B) 2000 C) 3000 D) 4000 E) 5000 14. Se impone un capital C a interés simple de la siguiente manera: el primer mes al 5% mensual, el segundo mes al 6% mensual y tercer mes al 7% mensual y así sucesivamente durante n meses. Si al cabo de ese tiempo se produjo un interés que es igual al 68% del capital C. Hallar n. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 15. Se tiene tres capitales proporcionales a los números: 2, 3 y 5; son colocados a una misma tasa del 24% y durante dos cuatrimestres, obteniéndose al final un monto total de $34800. La suma de las cifras del capital mayor es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 16. Se deposita un capital C durante un año en un Banco A que paga un interés del 8% anual capitalizable semestralmente, el interés obtenido se deposita, durante otro año, en un Banco B que paga un interés del 10% anual con capitalización continua. Si el interés obtenido en el Banco B fue de 1072,743. Hallar la suma de las cifras de C. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 17. Si un capital de 500 soles depositado en una cuenta de ahorros durante 2 años capitalizable semestralmente produce un interés de 131,24. Hallar la tasa semestral de interés. A) 4% B) 5% C) 6% D) 7% E) 8% 18. ¿Cuántos meses tardará para que 500 soles se convierta en 5000 soles a una tasa semestral del 20% capitalizable cuatrimestralmente?(considere log 1,13 = 0,05307) A) 72,372 B) 73,372 C) 74,372 D) 75,372 E) 76,372 19. Hallar la diferencia de los capitales formados por la imposición de S/.29409 al 4% de interés compuesto durante 5 años, empleando la fórmula corriente y la del interés continuo. A) 139,50 B) 139,70 C) 240,80 D) 630,25 E) 950,45 20. Hallar el capital que prestado al 12% anual con capitalización continua produce en 9 meses un interés de S/.211,9. Dar como respuesta la suma de las cifras de la parte entera del capital. A) 9 B) 12 C) 15 D) 16 E) 18

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21. Un capital colocado hoy, ganará el 60% anual capitalizable bimestralmente. Después de 1,5 años se retira la tercera parte de los intereses ganados hasta entonces y a partir de ese momento los intereses se capitalizan mensualmente. ¿Cuál será el monto total por retirar 2 años después del retiro, sabiendo que este fue de S/.100? A) 1020,16 B) 1240,56 C) 1357,51 D) 1380,21 E) 1440,08 22. La tercera parte de un capital se coloca al 18% de interés simple. ¿A qué tasa anual deberá colocarse el resto para obtener un beneficio total del 20% anual de dicho capital? A) 21%

B) 15%

C) 27%

D) 10%

E) 12%

23. ¿Cuál es la suma que al 5% de interés anual se convierte, en 3 años, en 3 174 soles? A) 2 670 soles

B) 2 076 soles C) 2 676 soles D) 2 760 soles E)2 176 soles

24. ¿A qué tasa anual se han impuesto 75 000 soles que en 24 días han producido 250 soles de interés? A) 7% B) 5% C) 8% D) 2% E) 6% 25. Un señor divide su capital en 3 partes iguales y las coloca al 1% mensual, 5% trimestral y 4% semestral, respectivamente, logrando una renta anual de 10 000 soles. ¿Cuál era su capital? A) 29 000 soles

B) 75 000 soles C) 60 000 soles D) 30 000 soles

E) 45 000 soles

26. Los 5/7 de una fortuna colocados al 3% anual dan anualmente 420 soles más que el resto colocado al 4% anual. ¿Cuál es la fortuna? A) 40 000

B)42 000

C)44 000

D)46 000

E) 50 000

27. Un capital de 2 000 soles estuvo impuesto a una tasa de interés "r". Si el monto después de 9 meses es de 2 120 soles, ¿cuál es el valor de la tasa "r"? A) 5%

B) 6%

C) 7%

D) 8%

E) 9%

28. ¿Durante cuánto tiempo estuvo depositado un capital al 12% anual, si los intereses producidos alcanzan al 60% del capital? A) 4 años B)5 años C) 4 años 6 meses D) 6 años E) 5 años 6 meses 29. Pedro compró un terreno en 7 995 soles: Dio un anticipo de 1 995 soles y acordó pagar el resto en 4 meses, más un cargo adicional de 200 soles. ¿A qué tasa de interés simple pagó? A) 12%

B) 10%

C) 13%

D) 14%

E) 15%

30. Se impone cierta suma al 3% anual y al cabo de 2 años y 18 días se ha convertido en 12 738 soles. ¿Cuál fue la suma impuesta? A) 12 000 soles B) 25 700 soles C) 12 900 soles D) 13 250 soles E) 20 000 soles 31. Se sabe que un capital de 64 000 soles prestados al x% anual, durante “x” meses, se han convertido en 76 000 soles. Halle la suma de las cifras de “x”. PROF. ULISES C. MARTINEZ

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A) 6

B) 3

C) 4

D) 5

E) 7

32. Se han colocado a una misma tasa de interés dos capitales, uno de 12 000 soles durante 60 días y otro de 8 000 soles durante 30 días. El primer capital ha producido 80 soles más que el segundo. Halle la tasa anual a la que fueron colocados. A) 0,02%

B) 3,75%

C) 4%

D) 6%

E) 4,25%

Un artículo vale 180 soles al contado. Un comprador conviene en pagar 80 soles como cuota inicial y el resto a 60 días con un recargo del 5% sobre el precio de contado. ¿ Qué tasa de interés simple anual pagó? A) 58%

B) 57%

C) 55%

D) 56%

E) 54%

33. Si un capital se triplicase y la tasa de interés se cuadriplicase, el i nterés sería 2 200 soles mayor en el mismo tiempo. ¿Cuál es el interés original? A) 2 400

B) 1 800

C) 200

D) 500

E)640

34. Un capital estuvo impuesto al 9% de interés anual y luego de 4 años se obtuvo de 10 200 soles de monto. ¿Cuál es el valor del capital? A) 6 540

B) 8 250

C)7 000

D)7 500

E) 6 400

35. Los capitales de 2 persas suman 27 000 soles. Si la primera pone su capital al 4% anual y la segunda al 5% anual ambos obtendrían el mismo interés en el mismo tiempo, ¿cuál es el capital menor? A) 15 000

B) 14 000

C) 13 000

D)12 000

E)11 000

36. Dos capitales que están impuestos a interés simple: El primero al 24% anual y el segundo al 20% anual, están en la relación de 5 es a 7. Si el segundo capital produce un interés anual de 3 620 soles más que el primero, ¿cuál es el capital menor? A) 126 700

B) 108 600

C) 90 500

D) 84 600

E) 75 500

37. La diferencia entre las fortunas de dos personas es de 8 000 soles; la primera impone su dinero al 4% anual y la segunda al 5% anual. Si los intereses de ambas fortunas son iguales, se desea saber, ¿cuál es la mayor de ellas? A) 40 000

B) 32 000

C) 50 000

D) 23 000

E)51 000

38. Se tiene un capital que es prestado al 5% trimestral y que se capitaliza semestralmente. Si además, dicho capital genera durante dos años S/. 2541 más que si se prestara solo por un año, halle dicho capital. A) S/. 12 000 B) S/. 10 000 C) S/. 5 000 D) S/. 8 000 E) S/. 9 000 39. Un capital de S/. 1 000 se deposita al 10% durante 3 años ¿Cuál es la diferencia de montos al usar interés simple y compuesto con capitalización anual? A) S/. 28 B) S/. 29 C) S/. 30 D) S/. 31 E) S/. 32

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40. Adriano quiere comprar un televisor de S/. 200. Pero como solo tiene S/. 150, decide colocar ese monto en un banco al 4% mensual. Si el costo del televisor aumenta 1% mensual, determine después de que tiempo, en meses, puede retirar su dinero para comprar el televisor. A) 10,5 B) 11,5 C) 12,5 D) 13,5 E) 14,5 41. Si el 6,5 % de un capital se impone al 30% anual y el resto al 20% anual, producirá anualmente S/. 180 más de interés que si el 62,5% de dicho capital se prestara al 20% y el resto al 30% ¿Cuál fue dicho capital? A) S/. 6 400 B) S/. 7 000 C) S/. 6 500 D) S/. 7 500 E) S/. 7 200 42. Cierto capital se deposita al 20% bianual capitalizable anualmente durante 3 años. Del monto obtenido, se deposita solo el 60% en un banco al 50% semestral durante tres meses, para obtener como nuevo monto S/. 199 650. Halle el interés generado en el segundo periodo en la imposición inicial. A) S/. 20 000 B) S/. 22 000 C) S/. 24 000 D) S/. 30 000 E) S/. 32 000 43. Un capital fue impuesto al 5% trimestral con capitalización anual. Calcule dicho capital, si el interés producido en el tercer periodo excede en S/. 88 al interés producido en el periodo. A) S/. 800 B) S/. 900 C) S/. 1 000 D) S/. 1 100 E) S/. 1 200 44. El monto de un capital impuesto durante 8 años es 12 400 soles. Si el mismo capital se hubiera impuesto a la misma tasa durante 9 años y 6 meses, el monto sería 12 772 soles. Calcular el interés que produce dicho capital en 5 años al 5% bimestral de interés simple. A) 15615 B) 15618 C) 15620 D) 15624 E) 15630 45. Los dos quintos de un capital se coloca al r 1% y el resto al r2%. Si al cabo de un año producen montos iguales. Hallar r1:r2 si se sabe que r1 + r2 = 80. A) 6:5 B) 4:3 C) 5:3 D) 5:2 E) 17:3 46. Un capital está impuesto al 20% anual y un segundo capital al 30% anual. La suma de dichos capitales es S/.55000. Si el interés semestral que produce el primero es al interés cuatrimestral que produce el segundo como 5 a 6, la diferencia entre estos capitales es: A) 3000 B) 4000 C) 5000 D) 6000 E) 7000 47. Una empresa recibe en depósito los ahorros de sus empleados, por los que paga un interés de 3% hasta los primeros S/.1000; 4% por lo que excede de esta cantidad hasta S/.2000 y 5% por lo que pase de esta cantidad hasta S/.20000. Un empleado cobró en un año un interés simple de S/. 235. Hallar la suma de las cifras de su capital ahorrado. A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 11 48. Calcular la diferencia de dos capitales cuya suma es S/.1200; si dichos capitales son impuestos al 10% y 20% durante 9 y 6 meses respectivamente, producen un interés total de S/.100. A) S/.100 B) S/.200 C) S/.400 D) S/.600 E) S/.800 49. Se deposita un capital al 8% mensual de interés simple. Al cabo de qué tiempo se debe retirar el capital más los intereses para que la suma depositada represente el 75% de lo que retira. A) 1 mes B) 2 meses 10 días C) 4 meses D) 4 meses 5 días E) 5 meses 50. Juan depositó una cantidad C a una tasa del 13% capitalizable bimestralmente. SI a los dos años se convirtió en $9608,21, el valor aproximado de c es: A) 7360,25 B) 7380,75 C) 7400,00 D) 7480,00 E) 7500,00 PROF. ULISES C. MARTINEZ

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51. José decide invertir $10 000 por medio año. Coloca una parte en una institución financiera que paga el 18% capitalizable mensualmente y el saldo en otra que paga el 16% capitalizable quincenalmente. Si al final recibe entre las dos entidades $10858,36, aproximadamente invirtió en la primera. A) 5700 B) 5850 C) 6180 D) 6229 E) 6324 52. Una persona coloca en un Banco, 5000 dólares, durante 4 meses al 36% anual capitalizable mensualmente. Retira los intereses y presta a otra persona al 5% mensual a interés simple ; esta persona invierte en su empresa y gana el 10% mensual a interés simple . La segunda persona devuelve lo prestado más los intereses en 3 meses, luego la segunda persona ganó: A) 90,50 B) 94,10 C) 96,20 D) 98,10 E) 100,60 53. Un capital de 350 000 nuevos soles estuvo impuesto durante cierto número de años, meses y días; por los años se pagó el 32%, por los meses 30% y por los días 24%. Calcular el interés producido por dicho capital, sabiendo que si se hubiera tenido impuesto todo el tiempo al 8% habría producido S/. 23 625 más que si se hubiera tenido impuesto todo el tiempo al 6%. A) 374 500 B) 381 200 C) 385 200 D) 387 200 E) 388 200 54. Una persona tenía colocado su capital al 3 1 % de interés anual. lo retiró para colocarlo al 5 3 % , con lo 4 4 cual cada trimestre percibe S/.275 más que anteriormente. Hallar la suma de las cifras de dicho capital. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 55. Un padre coloca su dinero en un Banco que paga una tasa del 20% bimestral; con capitalización bimestral, retira todo a los 6 meses y reparte el 25% de lo que ganó entre sus tres hijos en forma DP a sus edades que son 15, 9 y 18 años respectivamente. Si a los dos mayores juntos les tocó S/.312 más que al menor. El dinero del padre en soles es: A) 1000 B) 2000 C) 3000 D) 4000 E) 5000 56. Se impone un capital C a interés simple de la siguiente manera: el primer mes al 5% mensual, el segundo mes al 6% mensual y tercer mes al 7% mensual y así sucesivamente durante n meses. Si al cabo de ese tiempo se produjo un interés que es igual al 68% del capital C. Hallar n. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 57. Se tiene tres capitales proporcionales a los números: 2, 3 y 5; son colocados a una misma tasa del 24% y durante dos cuatrimestres, obteniéndose al final un monto total de $34800. La suma de las cifras del capital mayor es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

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REGLA DE DESCUENTO Es la rebaja o disminución que se hace al valor de un documento de crédito (valor nominal) por haberlo cancelado o hecho efectivo antes de la fecha de vencimiento.

Fórmula General

Var =

1. ELEMENTOS DEL DESCUENTO

1) Dc > Dr

2.1 DESCUENTO COMERCIAL (Dc)

100

Vn =

Dc. Dr Dc − Dr

𝐕𝐧𝐮 . 𝐭 𝐯𝐜 . 𝐫 𝐕𝐧𝟏 . 𝐭 𝟏 . 𝐫 𝐕𝐧𝟐 . 𝐭 𝟐 . 𝐫 𝐕𝐧𝟑 . 𝐭 𝟑 . 𝐫 = + + 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎

Es el interés simple que produce el valor nominal durante el tiempo que falta para el vencimiento de la letra de cambio. 𝐕𝐧. 𝐫. 𝐭 𝐃𝐜 = Fórmula General 𝟏𝟎𝟎

Después de reducir tenemos:

𝐭 𝐯𝐜 =

𝐕𝐚𝐜. 𝐫. 𝐭 𝟏𝟎𝟎 − 𝐫𝐭

𝐕𝐧𝟏 . 𝐭 𝟏 + 𝐕𝐧𝟐 . 𝐭 𝟐 + 𝐕𝐧𝟑 . 𝐭 𝟑 𝐕𝐧𝟏 + 𝐕𝐧𝟐 + 𝐕𝐧𝟑

PRECIO AL CONTADO Los artículos que se venden a plazos tienen un precio al contado y otro a plazos. El comprador generalmente paga una parte al contado, que se llama cuota inicial, y el resto a plazos, con letras de cambio. Los valores nominales de las letras están calculados de tal manera que si se cancelaran en el mismo momento en que han sido firmadas, el monto pagado y la cuota inicial sumarian el precio al contado.

2.2 DESCUENTO RACIONAL Es el interés simple que produce el valor actual de una letra durante el tiempo que falta para el vencimiento de la letra de cambio. También recibe el nombre de descuento interno o matemático.

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Dr .r.t

VENCIMIENTO COMÚN Consiste en reemplazar varias letras de cambio por una sola. Para esto se debe cumplir:  El valor nominal de la letra única reemplazante es igual a la suma de los valores nominales de las letras reemplazadas  Todos los documentos de crédito son descontados comercialmente y a una misma tasa. Si asumimos que son tres documentos de crédito, se debe cumplir: 𝐕𝐧𝐮 = 𝐕𝐧𝟏 + 𝐕𝐧𝟐 + 𝐕𝐧𝟑

2. CLASES DE DESCUENTO

𝐃𝐫 =

2) Dc – Dr =

∑ 𝑉𝑎𝐷𝑜𝑐𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = ∑ 𝑉𝑎𝐷𝑜𝑐𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠

Va = Vn – D

𝐃𝐜 =

𝟏𝟎𝟎+𝐫𝐭

Dos documentos de crédito son equivalentes en una fecha cuando descontadas en dicha fecha tienen igual valor actual; es decir, se recibe lo mismo en cada caso. Generalizando:

1.4 VALOR ACTUAL (Va) Denominado también valor efectivo, es la cantidad de dinero que se debe pagar por hacer efectivo el documento antes de la fecha de su vencimiento. Esto es:

𝟏𝟎𝟎 𝐕𝐚𝐜 𝟏𝟎𝟎 − 𝐫. 𝐭

𝐕𝐧.𝐫.𝐭

CAMBIO DE DOCUMENTO DE CREDITO

1.2 FECHA DE VENCIMIENTO Es la fecha en la cual se debe cancelar el documento de crédito. En esta fecha, el valor actual es igual al valor nominal del documento de crédito.

𝐕𝐧 =

𝟏𝟎𝟎+𝐫.𝐭

Dr =

PROPIEDADES DE LOS DESCUENTOS

1.1 DOCUMENTO DE CREDITO Es todo documento de valor legal mediante el cual una persona llamada deudor se compromete a pagar una suma de dinero a otra persona llamada acreedor. Ejemplo: letra de cambio, pagaré, cheque bancario, etc.

1.3 VALOR NOMINAL (Vn) Llamado también “valor del documento de crédito”; es la cantidad de dinero que se debe pagar en la fecha de vencimiento.

𝟏𝟎𝟎 𝐕𝐧

𝐕𝐚𝐫. 𝐫. 𝐭 𝟏𝟎𝟎 49

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Precio al = Cuota + Contado inicial

Suma de los valores actuales de las letras firmadas

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aritmética

EJERCICIOS DE REGLA DE DESCUENTO 1. ¿Cuánto se debe pagar por una letra de 3600 soles que vence dentro de 5 meses, descontados al 6% anual? A) 3560

B) 3580

C) 3550

D) 3540

E) 3510

2. ¿Cuánto se debe pagar por una letra de 1525 soles descontado racionalmente al 5% anual, si vence dentro de 4 meses? A) 1495

B) 1500

C) 1510

D) 1512

E) 1520

3. ¿Cuál es el valor nominal de una letra cuyo producto de descuentos: comercial y racional es 2400 soles, si descontando racionalmente se recibiría por ella 2 soles más que descontando comercialmente? A) 1200

B) 1800

C) 1842

D) 2400

E) 1624

4. Un comerciante que tiene letras de 700, 800 y 500 soles, decide hacer un solo pago mediante una letra única. ¿Dentro de cuánto tiempo debe realizar su pago, si las letras que tiene vencen en 3, 4 y 5 meses respectivamente? A) 3 meses

B) 3 meses 10 días

C) 3 meses 15 días D) 3 meses 20 días

E) 3 meses 27 días

5. Compre un equipo de sonido de S/. 2 000 al contado, pagando 334 de cuota inicial y firmando cuatro letras mensuales de igual valor con una tasa de descuento de 4% ¿Cuál es el valor nominal de las letras? A) S/. 400

B) S/. 410

C) S/. 415

D) S/. 420

E) S/. 425

6. Se compra una laptop cuyo valor al contado es S/. 1 582, pagando S/. 1 200 como cuota inicial, y se firma dos letras mensuales de igual valor nominal, considerando una tasa de descuento del 3% mensual. ¿Cuál es el valor de cada letra? A) S/. 195

B) S/. 200

C) S/. 205

D) S/. 210

E) S/. 215

7. El valor actual de una letra es de S/. 1440. El valor nominal de la letra y el descuento respectivo suman S/. 1560. ¿Dentro de cuánto tiempo vence esta letra, si es descontada al 8% comercialmente? A) 6 meses

B) 5 meses

C) 4 meses D) 7 meses

E) 8 meses

8. El valor actual de una letra es S/. 1955. La suma del valor nominal y el descuento comercial es S/. 2 045. Si la tasa descontable es 9%. ¿Después de cuantos meses será la fecha de vencimiento? A) 2,2 meses

B) 2,3 meses

C) 2,5 meses

D) 3 meses

E) 2,7 meses

9. Determine el valor actual racional de una letra si descontada comercialmente al 20% anual, faltando 90 días para su vencimiento, se le descuenta S/. 273. A) S/. 5 150

B) S/. 5 200

C) S/. 5 210

D) S/. 5 220

E) S/. 5230

10. Se compra un departamento en 4 000 euros, pagando una cuota inicial de 920 euros y el resto a pagar dentro de 75 días. Indique el valor nominal de la letra que equivaldría a la deuda contraída, sabiendo que se descuenta al 18%. A) S/. 3 190

B) S/. 3 200

C) S/. 3 210

D) S/. 3 220

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E) S/. 3 230

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aritmética

11. Dos empleados de un banco calculan el descuento de una letra pagadera en 9 meses al 12 %. Uno la descuenta comercialmente y el otro racionalmente encontrándose una diferencia de 9 soles. Halle el valor nominal de la letra. A) S/. 1 210,2

B) S/. 1 211,1 C) S/. 1 212,3 D) S/. 1 213,2 E) S/. 1 214,3

12. Un banco descuenta dos letras a una misma tasa anual, la primera por tres meses y la segunda por 4 𝟔 meses. El descuento de la primera es de 420 soles. Si el valor nominal de la segunda es los 𝟕 del valor de la primera, ¿cuánto fue el descuento de la segunda letra? A) 460

B) 470

C) 475

D) 480

E) 485

13. Se tiene una letra de S/. 4 000 que descontándola comercialmente se obtendría por ella S/. 3 800.¿Cuánto se obtendría si fuese el descuento racional? A) 3 805

B) 3 806,5

C) 3 808,5

D) 3 809,5

E) 3 810

14. Dos letras de 3 000 y 4 000 soles son descontadas al 10%, observándose que en cada una se ha descontado la misma cantidad. Si la suma de los vencimientos de ambas letras es de 14 meses, ¿cuánto se recibe por la primera letra? A) 2 800

B) 2 802

C) 2 804

D) 2 805

E) 2 810

15. Una letra de 4 000 se descuenta comercialmente, recibiendo por ella 3 900 faltando dos meses para su vencimiento. Si transcurrieran 36 días, ¿cuánto se recibiría por la letra? A) 3 955

B) 3 960

C) 3 963

D) 3 969

E) 3 972

16. Si se descuenta racionalmente una letra se observa que el valor nominal es el 104% de su valor actual. Si fuera descontada comercialmente se recibiría 4 soles menos que lo recibido inicialmente. Hallar el valor nominal de dicha letra. A) 2 585

B) 2 590

C) 2 600

D) 2 610

E) 2 620

17. Si se calcula los 2 tipos de descuentos que se pueden aplicar a una letra, siendo uno de ellos 10 % menos que el otro, al aplicar el más favorable para el poseedor de la letra, éste recibirá un n % más que con el otro descuento. El valor de n es: A) 1,15

B) 1,25

C) 1,35

D) 1,45

E) 1,5

18. Se firma una letra de S/. 12 400 a 8 % mensual, que vence dentro de 15 meses, si se cancela después de 1 año, ¿cuál será la razón entre el valor actual y su descuento comercial? A) 19/6

B) 19/5

C) 19/4

D) 18/5

E) 17/6

19. Se tiene una letra cuyo valor actual es S/. 1 200, que vence dentro de 6 meses. Si se cancela dentro de 2 meses se pagaría S/. 40 menos que si se cancelara 2 meses antes de la fecha de vencimiento. ¿Cuál es el valor nominal de la letra? A) S/. 1 230

B) S/. 1 315

C) S/. 1 320

D) S/. 1 325

E) S/. 1 330

20. Se tiene una letra cuya fecha de vencimiento se desea hallar, sabiendo que descontada comercialmente el 20 de mayo o el 5 de junio sufre descuentos que son entre sí como 15 es a 11. A) 15 Julio

B) 19 Julio

C) 21 Julio

D) 28 Julio

E) 01 Agosto

21. Un banco negocia una letra que vence en un año, y lo que recibe equivale al 90 % de la letra. ¿Qué tanto por ciento se habría recibido si se negociaba dentro de 6 meses? A) 90%

B) 91%

C) 92%

D) 93%

ULISES C. MARTINEZ

52

E) 95%

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aritmética

22. Una letra que vence dentro de un mes tiene un valor actual de 1 080. Si esta letra se descontara dentro de 10 días, al descuento sería de 80 soles. ¿Cuál es el valor nominal de la letra? A) S/. 1 200

B) S/. 1 210

C) S/. 1 220

D) S/. 1 230

E) S/. 1 240

23. La suma de los valores nominales de dos letras es S/. 2 700, habiéndose recibido por ellas S/. 2 620 descontadas al 5 % semestral, la primera por 3 meses y la segunda por 4 meses. ¿Cuál es el valor nominal de la primera letra? A) S/. 1 190

B) S/. 1 200

C) S/. 1 210

D) S/. 1 215

E) S/. 1 220

24. Una letra de 2 000 soles vence dentro de 2 meses, pero si se hace efectiva dentro de 15 días, la diferencia de los valores actuales que corresponden a ese momento y al actual, sería de 10 soles, ¿Cuánto se recibe por dicha letra si se hace efectiva dentro de 6 días? A) S/. 1 962

B) S/. 1 963

C) S/. 1 964

D) S/. 1 965

E) S/. 1 966

25. Si los descuentos comercial y racional de una letra se diferencian en S/. 10, y el valor nominal de la letra es de 200, halle la suma de cifras del descuento comercial. A) 4

B) 5

C) 6

D) 8

E) 9

26. Faltando 3 meses para el vencimiento de una letra, los descuentos comercial y racional se encuentran en la relación de 5 a 4. Dentro de un mes, ¿en qué relación se encontrarán dichos descuentos? A) 5/4

B) 6/5

C) 7/6

D) 8/9

E) 9/8

27. Una letra de ̅̅̅̅̅̅̅ 𝒂𝒃𝟎𝟎 soles descontada al 12%, 10 meses antes de su vencimiento, tiene un valor actual de ̅̅̅̅̅̅̅̅ soles. Halle a + b + m 𝒎𝒂𝟗𝟎 A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

28. El valor actual de una letra es 2 340 y el descuento comercial es el 2,5 % del valor nominal. ¿Cuánto se recibirá dentro de un mes si ahora faltan 5 meses para su vencimiento? A) S/. 2 348

B) S/. 2 349

C) S/. 2 350

D) S/. 2 351

E) S/. 2 352

29. La suma de los valores actuales de dos letras es 4 086, observándose que los valores nominales están en la relación de 2 a 5. Si ambas han sido descontadas al 12 %, la primera 2 meses antes de su vencimiento y la segunda 3 meses antes , ¿cuál es el valor nominal de la primera letra ? A) S/. 1 200

B) S/. 1 210

C) S/. 1 220

D) S/. 1 232

E) S/. 1 215

30. Una letra es descontada racionalmente 2 meses antes de su vencimiento al 25 %, recibiendo por ella 1 632. ¿Cuánto se recibiría si fuera descontada comercialmente? A) S/. 1 600

B) S/. 1 624

C) S/. 1 628

D) S/. 1 629

E) S/. 1 631

31. Si una letra se cancela 3 meses antes se le descuenta un 2% del valor nominal. Si se paga 2 meses antes, se descuenta S/. 24. ¿Cuál es su valor nominal? A) S/. 1 600

B) S/. 1 680

C) S/. 1 740

D) S/. 1 800

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53

E) S/. 1 820

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aritmética

32. Por una letra de 9000 dólares se ha pagado 8635 dólares sabiendo que faltaban 73 días para su vencimiento. Encuentre la tasa anual descontable. A) 20%

B) 18%

C) 15%

D) 22%

E) 25%

33. Una letra que vence dentro de un mes tiene un valor actual de 1080. Si dicha letra se descontara dentro de 10 días dicho descuento sería de 80 soles. ¿Cuál es valor nominal de la letra? A) 1200

B) 1300

C) 1500

D) 1600

E) 1700

34. Una letra de S/. 36 000 girada el 3 de julio vence el 2 de Agosto. ¿Qué descuento sufrirá el 24 de julio al 5% anual? A) 40

B) 45

C) 50

D) 55

E) 60

35. El valor actual comercial de una letra es 5700 soles y el descuento externo es el 5% del valor nominal. ¿Cuál es el valor nominal de la letra? A) 3300 Soles

B) 6000 Soles

C) 6300 Soles

D) 5900 Soles

E) 6250 Soles

36. El señor Martínez debe pagar en 4 meses una letra de S/.15 000 al 10% de descuento anual. Si renegocia pagando S/. 5 000 y firma una letra pagadera en 10 meses al 12% de descuento anual, entonces el valor nominal de la letra es: A) 10 000

B) 10 650,5

C) 10 555,6

D) 10857,1

E) 11 000

37. La suma de los valores nominales de dos letras es S/. 2 700 y se ha recibido por ellas S/. 2 620 descontadas al 5% semestral, la primera por 3 meses y la segunda por 4 meses. ¿Cuál es el valor nominal de la primera letra? A) 1000

B) 1100

C) 1200

D) 2000

E) 2500

38. Faltan 30 meses para el vencimiento de una letra. El descuento abusivo de la letra es 825 soles y su descuento interno, 550 soles. Luego, ¿cuál es la tasa de descuento? A) 18%

B) 20%

C) 12,5%

D) 25%

E) 24%

39. Una letra de 2000 soles vence dentro de dos meses, pero si se hace efectiva dentro de 15 días, la diferencia de los valores actuales que corresponden a ese momento y al actual, sería de 10 soles. ¿Cuánto se recibe por dicha letra si se hace efectiva dentro de 6 días? A) 2350

B) 1964

C) 1263

D) 1121

E) 1024

40. Se ha hecho efectiva una letra que vence dentro de 15 meses a una tasa de descuento del 6% semestral, pagándose por ella 1190 soles. ¿Cuál es el valor de la letra? A) 1400

B) 1250

C) 1450

D) 1300

E) 1100

41. El valor actual de una letra es de 2340 y el descuento externo es de 2,5% del valor nominal. Dentro de un mes, ¿cuánto se recibirá, si ahora faltan 5 meses para su vencimiento? A) 1450

B) 1275

C) 2352

D) 4800

E) 5536

42. Se conoce que el descuento matemático de una letra es a su valor nominal como 1 es a 4. Si el descuento comercial es 480 soles, ¿cuál es el valor nominal de la letra? A) 1240 Soles

B) 1650 Soles C) 1440 Soles D) 1620 Soles E) 1464 Soles

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43. Se tiene dos letras equivalentes donde una de ellas vence dentro de 8 meses y la otra dentro de 10 meses. Si ambas son descontadas al 6%. Halla la suma de sus valores nominales, sabiendo que se diferencian en S/. 20 A) 1821

B) 2090

C) 2400

D) 3421

E) 3820

44. ¿Cuánto recibe Sarita por una letra de 9600 soles, si la negocia al 24% cuando restan 45 días antes de su vencimiento? A) 9312 Soles

B) 288 Soles C) 9300 Soles D) 9412 Soles E) 300 Soles

45. Cuál es el valor actual de una letra de cambio de 72 000 soles pagadera al 12 de setiembre y que fue descontada el 20 de junio del mismo año al 12 %. El Banco cobró el 1% de Comisión y el 2,5% por cambio de plaza. NOTA: Los descuentos adicionales se realizan sobre el valor nominal A) 66 824

B) 64 000

C) 67 464

D) 66 000

E) 65 000

46. Hallar el valor nominal si su descuento racional es 300 soles se sabe que el descuento comercial de una letra es a su valor nominal como 1 es a 5. A) 1800

B) 1100

C) 11000

D) 2000

E) 6000

47. Yhajaira vende un artefacto cuyo precio al contado es S/. 2 040, dando como pago al contado S/. 1 500 y firmando 6 letras de S/. 300 cada una pagadera en 6 meses a partir del día de la venta. ¿Cuál es la tasa de descuento? A) 10%

B) 50%

C) 20%

D) 30%

E) 40%

48. El banco “XXX” descuenta dos letras, a una misma tasa anual, la primera por 3 meses y la segunda por 4 meses. El descuento de la primera fue de 420 soles. Si el valor nominal de la segunda es los 6/7 del valor de la primera, ¿Cuánto fue el descuento de la segunda letra? A) 200

B) 370

C) 480

D) 520

E) 700

49. El valor nominal, el valor actual comercial, el descuento comercial y el descuento racional de una letra suman S/ 2128. Hallar el valor actual racional de esta letra, sabiendo que los descuentos abusivo y matemático, están en la relación de 9 es a 8. A) 9654

B) 896

C) 689

D) 698

E) 986

50. Lorena deposita S/. 39 000 al 40% de interés simple, y al mismo tiempo firma una letra por S/.80000, pagadera a los 2 años. ¿Dentro de cuántos meses podrá cancelar el valor de las letras (exactamente), si la tasa de descuento es de 5% bimestral? A) 10

B) 15

C) 18

D) 22

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E) 8

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51. El 21 de abril se negocia una letra de 8 000 soles al 27% de descuento, habiéndose recibido por ella 7 802 soles. ¿En qué fecha vence la letra? A) 15 de mayo

B) 24 de mayo

C) 20 de mayo

D) 13 de junio E) 25 de junio

52. Ulises tiene que pagar al banco tres letras. La primera de 80000 soles, pagadera dentro de 30 días, la segunda de 200000 soles, pagadera en 60 días y la tercera, de 400000 soles, con un plazo de de 90 días. ¿Dentro de cuánto tiempo debe ser pagada una letra única cuyo valor nominal sea la suma de los valores nominales de las tres letras, suponiendo que la tasa de interés es constante? A) 120 días

B) 150 días

C) 80 días

D) 74 días

E) 60 días

53. Araceli posee dos letras que ascienden en total a S/ 42 000, las negocia al 6% de descuento y ambas por 5 meses. Si por la primera le han descontado S/ 150 más que por la obra, ¿Cuál es el valor nominal de esta última? A) 21100

B) 18000

C) 23000

D) 5340

E) 7320

54. Una letra que vence dentro de 15 meses, se observa que si se realiza el descuento interno el valor actual hoy y el que tendría dentro de 10 meses estarían en la relación de 11 a 13. Calcular el valor nominal si el valor actual comercial y el valor actual racional hoy suman 3820 soles. A) 2430 B) 2550 C) 2580 D) 2600 E) 2700 55. Se tiene tres letras bimestrales de S/. 220; S/. 360 y S/. 260 que son descontadas racionalmente al 60%. Si estas letras son reemplazadas por dos letras cuatrimestrales descontadas a la misma tasa pero comercialmente. Calcule el valor de esta letra si son iguales. A) 300 B) 400 C) 500 D) 600 E) 700 56. Se tiene una letra cuyo valor nominal es S/. 630 si se calcula el descuento comercial y racional se encuentra que la diferencia de los 2 descuentos es de S/. 3. ¿Cuánto se recibirá por dicha letra si el descuento fuera comercial? A) 560 B) 585 C) 588 D) 592 E) 595 57. El señor Gallo compra una tienda, cuyo valor al contado es $ 20 000, si paga $ 11 590 como cuota inicial y firma 3 letras bimestrales de igual valor nominal, considerando una tasa de descuento del 10% ¿Cuál es el valor de cada letra? (en $). A) 2600 B) 2700 C) 2800 D) 2900 E) 3000

58. Tres letras han sufrido el mismo descuento, teniendo como valores nominales S/. 8000, S/.10 000 y S/.12 000, siendo sus tasas de descuento 5%, 6% y 2,5% respectivamente si los tiempos de descuentos de las tres letras suman 27 meses. Calcular la suma de valores actuales (en soles). A) 29 000 B) 29 100 C) 29 200 D) 29 300 E) 29 400 59. Se compra un artefacto eléctrico, dando una cuota inicial y por el resto se firma 5 letras de igual valor nominal pagaderas cada 2 meses. Si cuando se cancela la segunda letra también se cancela las otras tres que faltan, se logra un descuento de 600 soles. ¿Qué descuento se lograría si las 5 letras se cancelan el día que vence la primera letra? A) 800 B) 900 C) 1000 D) 1200 E) 1250

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60. Omar compra una auto con un 40% de inicial y firmando una letra pagadera en un mes al 60% anual, por el resto del valor del auto, pero el vendedor se equivocó al poner la fecha de vencimiento escribiendo el mes siguiente al realmente calculado, beneficiando a Omar con un n% del precio de contado. El valor de n es: A) 1,8 B) 2,5 C) 3,0 D) 4,0 E) 5,0 61. Se tiene una letra cuya fecha de vencimiento se desea hallar, sabiendo que descontada comercialmente el 25 de octubre o el 10 de noviembre sufre descuentos que son entre si como 15 es a 11. A) 22/12 B) 23/12 C) 24/12 D) 26/12 E) 28/12 62. Se tienen tres letras de igual valor que vencen el 12 de octubre, 1 de noviembre y 11 de diciembre respectivamente, si estas tres letras se cambian por una letra única de valor igual a la suma de los valores de las tres letras originales, ésta debe vencer el: A) 29/10 B) 7/4 C) 8/11 D) 13/11 E) 17/11 63. Una persona adquiere una casa; cuyo precio al contado es S/. 200 000, paga como cuota inicial S/. 53 200 y por el saldo firma letras todas del mismo valor nominal e igual a S/. 16 000 con vencimiento mensual. Si la tasa de descuento es de 18%, ¿cuántas letras firmó? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 64. Se tiene 3 letras de $ 800, $ 1200, $ 1000, la primera vence dentro de 12 días y la tercera vence 13 días después que la segunda. Dentro de cuántos días vence la segunda letra tal que si se reemplaza las 3 letras por una sola en vencimiento común, se encuentra que su vencimiento será dentro de 20 días. A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

65. Se tienen tres letras cuyas fechas de vencimiento son 1 de marzo de 2005, 31 de marzo de 2005 y cuyos valores nominales son S/. 2 000, S/. 1000 y S/. 3000 respectivamente. Se quieren reemplazar estas tres letras por una a vencimiento común. Halle la fecha en que se debe realizar este pago único. A) 03.04.05 B) 04.04.05 C) 05.04.05 D) 06.04.05 E) 05.05.05 66. Una persona debe 3 letras; una por S/.5000, otra por S/. 3000 que vence 20 días después que la segunda. Cuando han transcurrido 5 días después del vencimiento de la primera letra, y no habiendo cancelado ésta decide pagar el importe de las 3 letras juntas. ¿Dentro de cuántos días debe hacerlo? A) 7 B) 8 C) 9 D) 11 E) 14 67. Se tienen tres letras de valores nominales S/. X, S/. 1000, S/. 1200, de fechas de vencimiento 04/10/05, 04/11/05 y 04/12/05, se canjean las tres por una sola letra que vence el 01/11/05. Hallar X. A) 1421,42 B) 1520,32 C) 1521,42 D) 1621,42E) 1720,32 68. Un comerciante debe cancelar las siguientes letras: S/. 8000 dentro de 30 días; S/. 6400 a los 45 días y S/. 9600 a los 50 días. Desea reemplazar estos pagos por un solo, sin perjuicio para él ni para el acreedor. Si este pago lo hizo a los 48 días, con cuántos días de retrazo realizó el pago. A) 2 B) 5 C) 6 D) 15 E) 16 69. ¿Cuál es el valor actual de una letra por S/. 5800 que vence dentro de mes y medio si la tasa de descuento es de 16%? A) 5668 B) 5679 C) 5684 D) 5686 E) 5689

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70. Una letra de 413 600 soles que vence dentro de 80 días es descontada racionalmente al 20%. ¿Cuánto se obtuvo por ella? A) 384 000 B) 390 000 C) 392 000 D) 396 000 E) 402 600 71. Se tiene una letra cuyo valor actual es S/.1500 que vence dentro de 1 año y medio. Si se cancelara dentro de 5 meses se pagaría S/. 300 menos que si se cancelara 3 meses antes de la fecha de vencimiento. El valor nominal de la letra es: A) 1800 B) 1920 C) 2040 D) 2100 E) 2200 72. Se calculan los descuentos comercial y racional de una letra pagadera dentro de cierto tiempo t, y el primero es un 25% más que el segundo. Si transcurrido un tiempo t/2 ocurre la misma situación porque el cálculo se realiza con una tasa de descuento n% mayor que la primera, entonces n es: A) 25 B) 32 C) 42 D) 48 E) 100 73. Si calculamos los 2 tipos de descuentos que se pueden aplicar a una letra y uno de ellos es 20% menos que el otro, al aplicar el más favorable para el poseedor de la letra, éste recibirá un n% más que con el otro descuento; el valor de n es: A) 15 6

B) 5,3

C) 6, 6

D) 7,2

E) 8,01

74. Se tienen dos letras de 1540 soles cada una pagaderas dentro de 30 y 120 días. Calcular el valor nominal de la letra que reemplaza a las anteriores cuyo tiempo que falta para su vencimiento sea la MG de los tiempos anteriores (Considere el descuento interno al 60% anual). A) 3 020 B) 3 025 C) 3 030 D) 3 215 E) 3 205 75. Sabiendo que si en cierto instante las relaciones entre el descuento comercial y el descuento racional de una letra son como 8 a 6. ¿Cuál es el valor actual racional, si en dicho instante el valor actual comercial es 968 soles? A) 1075 B) 1078 C) 1080 D) 1089 E) 1095 76. Se firma una letra de S/. 3900 que vence dentro de 1 año, al 6% mensual, si se cancela la deuda después de 7 meses. La razón entre el valor actual y su descuento comercial es: A)

6 5

B)

7 3

C)

9 5

D)

11 7

E)

13 8

MEZCLAS Y ALEACIÓN

01. Un comerciante tiene dos tipos de vino: uno de 11 soles el litro y otro de 8 soles el litro. ¿Cuántas barricas del segundo se deberán mezclar con 24 barricas del primero, para que agregando 20 litros de agua por barrica de esa mezcla, se obtenga otra mezcla que valga 6 soles la botella de 750 ml? (Considere que cada barrica es de 100 L) A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25 02. Se tiene 2 recipientes iguales, uno lleno de vino de 10° de contenido alcohólico y el otro conteniendo la mitad de gaseosa; con lo del 1° se llena el 2° y luego con lo del 2° se llena el

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aritmética

primero; la operación se realiza 2 veces más. ¿Cuál es el grado alcohólico del 2° recipiente, finalmente? A) 5,66 B) 6,56 C) 7,02 D) 8,09 E) 9,1 03. Se mezclan 500 g de un líquido cuya densidad es 0,60 con 550 g de 0,80 y 400 g de 0,90, durante el proceso de mezclado se pierde el 2% en la masa y suponiendo que el volumen aumenta en 5%, entonces la densidad resultante de la mezcla es: A) 0,46 B) 0,50 C) 0,52 D) 0,56 E) 0,60 04. Un comerciante compra cierta cantidad de vino del cual 1 es vino de S/.20 el litro. Del resto 5

1 es vino de S/.25 el litro y el resto es vino de S/.15 el litro, cuando se hace la mezcla se 5 pierde 1 de su volumen y cuando lo vende lo hace ganando el 25% de su costo. ¿Cuál es el 5

precio de venta de dicha mezcla? A) 22,5 B) 25 C) 27,5

D) 28

E) 29,5

05. Una bebida tiene 30 cm3 de agua, 20 cm3 de ron, 10 cm3 de gaseosa; se extrae del recipiente que los contiene 30 cm3 de mezcla y se reemplaza con agua. ¿Cuál es la razón geométrica del ron con respecto al total en la nueva mezcla? A) 1 5

B) 1 6

D) 1

C) 1

10

8

E) 3 5

06. Se mezclan 70 litros de alcohol de 93° con 50 litros de alcohol de 69°, a la mezcla se le extrae 42 litros y se le reemplaza por alcohol de grado desconocido resultando una mezcla que contiene 28,8 litros de agua. Determinar el grado desconocido. A) 60 B) 61 C) 62 D) 63 E) 64 07. Se mezclan dos clases de café en proporción de 1 a 2, y se vende con un 5% beneficio. Después se mezclan en proporción 2 a 1 y se vende con 10% de beneficio. El precio de venta es igual en ambos casos. Hallar la relación de los precios del café. A) De 11 a 12 B) De 15 a 17 C) De 20 a 23 D) De 21 a 25 E) De 23 a 27 08. Se han mezclado 100 decímetros cúbicos de cemento con 0,3 metros cúbicos de arena. ¿Qué cantidad de cemento se debe agregar para que la cantidad de arena sea 2/3 del total de la mezcla? A) 50 dm3 B) 100 dm3 C) 120 dm3 D) 150 dm3 E) 200 dm3 09. Para preparar sangría se utiliza gaseosa, vino y jugo de naranja. En el tipo A la proporción es de 3, 4 y 5 respectivamente, en el tipo B de 1, 2 y 3. Se desea obtener una mezcla de 126 litros utilizando los dos tipos, en la cual la proporción sea de 2, 3 y 4 respectivamente. ¿Cuántos litros serán necesarios de cada tipo? ULISES C. MARTINEZ

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A) 66 y 60

B) 54 y 72

C) 64 y 62

D) 84 y 42

aritmética

E) 88 y 38

10. Si al mezclar dos productos volátiles hay una merma de 20% de cada uno, el precio medio resultante aumentará n% respecto al que resultaría sin merma. El valor de n es: A) 21,5 B) 22 C) 25 D) 28 E) 31 11. Se tiene en 2 envases iguales, azúcar de precios A y B soles por kg conteniendo el 75% y 50% respectivamente de sus capacidades. Se intercambian x kg de modo que x es 1 de la MH de 2

sus contenidos, entonces se puede afirmar que: A) Los precios no necesariamente son iguales. B) El precio del 1° es mayor C) El precio del 2° es mayor

D)Los precios no se pueden comparar

E) El precio del 1° es (A  B) 2

12. Se tiene alcohol de 20° y 30°. ¿En qué proporción se les debe mezclar para que la media armónica de los grados exceda al grado medio en el 14 2 % de su valor? 7

A) 3:1

B) 5:1

C) 7:1

D) 8:1

E) 9:1

13. Si a una mezcla alcohólica se le agrega 5 litros de alcohol puro se obtiene una mezcla alcohólica de 48°, si a esta mezcla resultante se le agrega 5 litros de agua se obtiene una mezcla alcohólica de 40°. Hallar el grado alcohólico de la mezcla original. A) 25 B) 28 C) 30 D) 35 E) 40 14. Se tiene 40 L de vino de A° y 60 L de vino de B° si se quiere obtener la misma calidad en ambos tipos de vino, ¿Cuántos litros se debe intercambiar? A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30 15. De un recipiente lleno de alcohol puro, se extrae la cuarta parte y se reemplaza por agua, luego se extrae la quinta parte y se vuelve a reemplazar por agua. ¿Cuántos litros de agua se debe agregar a 20 litros de la última mezcla para obtener alcohol de 40 grados? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 16. Se tiene dos tipos de vino, en el primero la relación de vino puro y agua es de 2 a 3 y en el segundo dicha relación es de 1 a 4. Si se desea obtener 60 litros de una mezcla de los dos tipos de vino tal que la relación sea de 7 a 13. ¿Cuántos litros del primer tipo se debe tomar? A) 40 B) 41 C) 42 D) 45 E) 48 17. Las leyes de tres lingotes de plata son: 0,900; 0,820 y 0,760. Si se fundiera el primero con el segundo se obtendría un lingote de 0,880 de ley y si se fundiera el segundo y tercero se obtendría un lingote de 0,80 de ley. Si los tres lingotes en total pesan 27 kg, el peso del tercer lingote en kg es: ULISES C. MARTINEZ

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A) 1

B) 2,5

C) 3

D) 4

aritmética

E) 4,5

18. Se funde 4 lingotes de oro de 12, 14, 16 y 18 quilates, resultando una aleación de 15 quilates. Si por cada dos gramos del primero hay 4 gramos del segundo y 6 gramos del tercero. ¿Cuántos gramos del cuarto habrá en una aleación de dos kilogramos? A) 160 B) 180 C) 200 D) 220 E) 240 19. Se funde 3 lingotes de oro y cobre, cuyas leyes son: 18,5 k; 0,875 y 0,750; y cuyas masas son proporcionales a: 2, 3 y x, obteniéndose una aleación de 19 k. ¿Qué porcentaje de la masa total de la aleación representa la masa del lingote cuya ley es 0,750? A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 65

20. Dos aleaciones de plata y cobre tienen la misma ley. Se funde cada una con una cantidad de cobre igual a la que contiene la otra. Se obtienen dos nuevas aleaciones, cuyos pesos están en la relación 23 , sus leyes en la relación 64 . Hallar la suma de las dos primeras cifras 32

69

decimales de la ley de los dos primeros lingotes. A) 4 B) 7 C) 9 D) 10

E) 12

21. Se tiene 900 gramos de una aleación de oro de 8 k y 600 gramos de otra aleación de oro de 18 k se agrega cierta cantidad de oro puro en uno de ellos y la misma cantidad de cobre en el otro resultando que ambos tiene la misma ley. Hallar la cantidad de oro puro o cobre agregada. A) 150 g B) 200 g C) 300 g D) 450 g E) 500 g

22. Se entrega a un joyero 420 g de oro al 96% de pureza para que confeccione un trofeo. Al recoger el trofeo se desea comprobar si todo el oro entregado fue utilizado. Con este fin se pesa el trofeo obteniendo 522 g, luego se sumerge completamente en un recipiente lleno de agua y se pesa el líquido desplazado obteniendo 39 g. ¿Cuál fue la conclusión? Se sabe que las densidades son 16 g/cm3 para el oro y 9,2 g/m3 para el cobre A) falta 12 g de oro B) falta 19,2 g de oro C) sobra 1 g de oro D) falta 15 g de oro

E) no sobra ni falta oro

23. Se funden dos lingotes de oro uno de 700 g de peso y 920 milésimos de ley y otra de 300 g de peso y 880 milésimos de ley. Se extraen n gramos de ésta aleación que se reemplazan por n gramos de una aleación de 833 milésimos resultando una aleación de 893 milésimos. Hallar n A) 100 B) 200 C) 250 D) 260 E) 300 24. Se funde 240 g de una aleación de oro y cobre con 36 g de cobre para bajar su ley a 800 milésimos. ¿Qué peso de oro de 980 milésimos es necesario adicionar a la última mezcla para que el oro retome su ley original? ULISES C. MARTINEZ

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A) 550

B) 551 C) 552

D) 553

aritmética

E) 554

25. ¿En qué proporción se debe fundir oro de ley 0,2 y oro de ley 0,8 para que agregándole cobre en una cantidad igual al 25% del peso que tenía la aleación se tenga oro de ley 0,48? A) 1 4

B) 1 3

C) 1 2

D) 2 3

E) 4 5

26. Se tiene dos recipientes iguales, no llenos, uno con 250 cc de 60° de alcohol, otro con 200 cc de 80°. Se añade agua a ambos recipientes de modo que ambos tengan el mismo nivel. Si el grado alcohólico de la primera mezcla es 40°, luego el grado alcohólico del segundo es: A) 21,5 B) 22,6 C) 26,6 D) 27,8 E) 42,6 27. Se tiene 2 aleaciones en base a los metales A, B, C y D. La primera contiene sólo los metales A y B en la proporción 2 a 3; la segunda contiene los metales C y D en la proporción 3 a 4. Se funde cierta cantidad del segundo con 25 kg de la primera de modo que si consideramos a C como metal fino la aleación tiene por ley 0,3 . Hallar la cantidad que se tomó de cada ingrediente. A) 10; 15; 20 y 25

B) 10; 15; 37,5 y 50

C) 15; 20; 32,5 y 45

D) 15, 20, 40 y 60 E) 10; 20; 30 y 60

28. Se tiene una joya de 20 quilates cuyo peso es de 32 gramos, en el mercado el oro está cotizado a 60 soles el gramo y el metal ordinario a 5 soles el gramo. ¿A cuánto debe venderse la joya, para tener una utilidad del 20% del precio de costo? A) 1850 B) 1952 C) 1953 D) 1955 E) 1960 29. Tenemos dos aleaciones de plata y cobre de distinta ley. Si mezclamos pesos iguales de ambas aleaciones, obtenemos otra de ley 0,865; pero si mezclamos cantidades de ambas aleaciones que tengan el mismo peso de cobre se obtiene otra de ley 0,880. Hallar la suma de las dos primeras cifras decimales de la ley primitiva de una de las aleaciones. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 30. El peso específico de una joya hecha de oro y plata es 15 y su peso 750 g. Hallar la cantidad de oro que contiene sabiendo que el peso específico del oro es 19,25 y el de la plata 10,5 A) 440 g B) 470 g C) 495 g D) 525 g E) 550 g 31. En una aleación de 6216 g de peso, los 5 de su peso es plata y el resto es de cobre. ¿Qué 6

cantidad de cobre puro se le debe agregar para bajar su ley a 0,7? A) 1084 g B) 1184 g C) 1284 g D) 1384 g E) 1484 g 32. Un joyero cree que la máxima pureza del oro es 25 quilates, tiene una cierta cantidad de oro puro con el cual piensa formar una aleación de oro de 18 quilates, para lo cual se agrega una ULISES C. MARTINEZ

62

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aritmética

cierta cantidad de cobre, utilizando 30 gramos más de cobre de los que debía emplear; si consideraba que la máxima pureza del oro es 24 quilates. La cantidad en gramos de oro puro que contiene la aleación es: A) 320 B) 360 C) 540 D) 720 E) 840

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63

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA CENTRO PREUNIVERSITARIO – PRE UNC 1.

Un comerciante mezcla dos tipos de café: 25 kg de 12 soles el kilogramo y 35 kg de 15 soles el kilogramo. ¿Cuál debe ser el precio de costo de un kilogramo de la mezcla? A) B) C) D) E)

2.

B) C) D) E)

B) C) D) E)

100 kg 120 kg 124 kg 150 kg 160 kg

Se mezclan 25 litros de alcohol de 50° con 100 litros de alcohol de 25°. ¿Cuál es el grado de pureza de la mezcla resultante? A) B) C) D) E)

5.

10,80 soles 21,60 soles 12,40 soles 25,60 soles 24,75 soles

Se mezclan dos tipos de arroz: 100 kg de 2,20 soles cada kilogramo con otra cantidad de arroz de 1,80 soles cada kilogramo. Si se obtiene una mezcla de 2,05 soles cada kilogramo, determine la cantidad total de la mezcla. A)

4.

13,25 soles 13,75 soles 18,75 soles 20,25 soles 20,75 soles

Se mezclan vinos de 10, 12 y 15 soles el litro, cuyos volúmenes son 13, 15 y 22 litros, respectivamente. Si al vender se quiere ganar se quiere ganar el 100% del costo, ¿cuál será el precio de venta de un litro de la mezcla? A)

3.

aritmética

25° 28° 30° 32° 45°

Daniel vierte 40 litros de alcohol de 35° en un recipiente que contiene alcohol. ¿Cuál deberá ser la pureza de este último, si Daniel obtiene 100 litros del alcohol de 39,2°? A) B) C) D) E)

38° 36° 40° 42° 45°

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64

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA CENTRO PREUNIVERSITARIO – PRE UNC 6.

Se mezclan vinos de 43 soles y 27 soles el litro, obteniéndose 128 litros de 32 soles el litro. ¿Qué cantidad se utilizó de cada vino? A) B) C) D) E)

7.

B) C) D) E)

B) C) D) E)

10° 11° 12° 13° 14°

¿Cuántos litros de agua se debe agregar a una mezcla de alcohol de 5 litros al 80% de pureza para obtener una mezcla final de 25%? A) B) C) D) E)

10.

1 550 litros 1 450 litros 1 360 litros 1 000 litros 1 410 litros

A Miguel se le pide que baje el grado de alcohol de un recipiente de 3 litros de 50° para lo cual agrega 2 litros de alcohol de 20°. ¿Cuántos grados disminuye la mezcla original? A)

9.

50 y 78 45 y 83 60 y 68 64 y 64 40 y 88

Una mezcla de vino y agua equivalen a 2000 litros, contiene 90% de vino. ¿Qué cantidad de agua habrá que añadirle a la mezcla para que el 60% se vino? A)

8.

aritmética

9 litros 11 litros 7 litros 12 litros 10 litros

¿A cómo debe venderse el litro de vino que resulta de mezclar 20 litros de 80 soles el litro con 50 y 30 litros de 40 y 70 soles el litro, respectivamente, si no se debe ganar ni perder? A) B) C) D) E)

53 soles 54 soles 60 soles 57 soles 61 soles

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65

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA CENTRO PREUNIVERSITARIO – PRE UNC 11.

Un comerciante tiene vino de 6 soles el litro, le agrega una cierta cantidad de agua y obtiene 60 litros de mezcla que los vende a 351 soles, ganando el 30% del costo. ¿Qué cantidad de agua agregó? A) B) C) D) E)

12.

B) C) D) E)

B) C) D) E)

45 litros 54 litros 56 litros 60 litros 64 litros

Juan desea obtener una mezcla alcohólica de 160 litros de 57,5°. Si tiene alcoholes de 40° y 80°, ¿cuántos litros del alcohol de menor pureza necesitará? A) B) C) D) E)

15.

45° 44° 36° 50° 48°

Se tienen vinos de 14 y 21 soles cada litro. ¿Cuánto se debe tomar del vino más caro para obtener 105 litros de mezcla a 18 soles cada litro? A)

14.

12 litros 14 litros 10 litros 16 litros 15 litros

Se tiene dos recipientes con iguales cantidades de alcohol: uno con alcohol de 40° y el otro de 60°. Si se toma la cuarta parte del primero y la sexta parte del segundo, se obtiene una mezcla con un grado de pureza de: A)

13.

aritmética

55 litros 90 litros 60 litros 95 litros 64 litros

A una solución de 2 litros de alcohol y agua al 20%, se le agrega 1 litro de agua y 1/2 litro de alcohol. ¿Cuál sería la nueva relación entre el volumen de alcohol y el volumen de la mezcla? A) B) C) D) E)

9/35 8/23 14/15 7/35 12/35

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66

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aritmética

Un comerciante tiene 12 litros de vino que cuesta 5 soles el litro, le agrega cierta cantidad de agua y obtuvo un precio medio de 4 soles el litro. Determine qué cantidad de agua le agregó. A) B) C) D) E)

5 litros 6 litros 3 litros 7 litros 8 litro

17. ¿En qué relación es necesario mezclar vino de 100 soles el litro con vino de 40 soles el litro para obtener vino de 65 soles el litro? A) B) C) D) E)

3/2 5/7 6/7 2/3 7/6

18. Se tienen 120 litros de alcohol de 90º del cual se extrae “V” litros, el cual se reemplaza por agua, obteniéndose alcohol de 75º. Luego, el valor de “V” será: A) B) C) D) E)

20  25  30  15  35 

19. Se tiene una aleación a base de oro y cobre cuya ley es “L”, ¿cuál es el porcentaje de cobre que contiene? A) B) C) D) E)

(1L)% (10,01L)% (1L)100% 1000,01L% L%0,1

20. tiene 40 g de una aleación de un determinado número de quilates. Halle éste, sabiendo que si a dicha aleación se le agregara 20 g de oro puro, el número de quilates aumenta en 20%. A) B) C) D) E)

15 18 14 12 16

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aritmética

ESTADÍSTICA CEPRE UNI 2008-II 33. Indique verdadero (V) o falso (F), según corresponda, para una distribución de frecuencias: I. Entre la frecuencia relativa y absoluta existe una relación de proporcionalidad. n

II. Se cumple que ∑ Hi = 1 i=1

III. Si las frecuencias absolutas de los intervalos son iguales entonces es de ancho común. IV. Un histograma es lo mismo que un diagrama de barras. a) VVVV b) VFVV c) VVFF d) FVFF e) VFFF

34. Dada la siguiente ojiva: N° de personas 250 190 178 70 42 Ingresos (S/.) 150 300 450 600 750 900

¿Qué tanto por ciento de las personas tienen un ingreso mayor o igual s/. 500 pero menor a s/. 850? a) 49,2% b) 49,6% c) 50,6% d) 51,4% e) 52%

35. En una empresa se elaboró una tabla de frecuencias en la cual se muestra la cantidad de personas que faltaron a sus actividades en el transcurso de un año y se obtuvo lo siguiente. N° de días de falta 5–9 10 –14 15 – 19 20 – 24

N° de trabajadores 20 10 40 30

25 – 29

15

¿Cuántos trabajadores se estima que faltaron desde 12 días hasta 23 días? a) 30 b) 40 c) 54 d) 65 e) 70 36. Las inversiones de las compañías mineras se clasificaron en una tabla de distribución de frecuencias con amplitud de intervalo de 8 millones de nuevos soles. Si las frecuencias absolutas correspondientes a los intervalos son: 1; 16; 11; 9; 8; 3 y 2; siendo la máxima inversión de 56 millones de nuevos soles. ¿Qué porcentaje de compañías invierten entre 16 y 40 millones de nuevos soles? a) 44% b) 56% c) 62% d) 64% e) 68%

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aritmética

37. Los ingresos mensuales de una muestra de pequeños comerciantes se tabularon en una distribución de frecuencias simétricas de 5 intervalos de clase de igual amplitud, resultando: ingreso mínimo $125, marca de clase del cuarto intervalo de clase: $300. Si el 8% de los ingresos son menores que $165 y el 70% de los ingresos son menores que $275. El porcentaje de ingresos que son superiores a $285 es : a) 0,22 b) 0,24 c) 0,26 d) 0,28 e) 0,32

38. Se tiene el siguiente histograma, se sabe que el tamaño de la muestra es de 57 y que el ancho de clase es constante. ¿Cuántas observaciones se presentan en el intervalo [10; 20>? fi 24

4a 3a 5 9

a) 20

Ii

21

b) 23

c) 27

d) 30

e)32

39. Las notas del examen final de aritmética dieron la siguiente el de frecuencia: El porcentaje de las notas que se encuentran aproximadamente en el intervalo [8; 14] NOTAS [ ; > [6 ; > [ ; > [ ; > [ ; ] a) 38, 4%

xi

hi 0,15

Hi 0,45 0,70

13,5 0,10

b) 39,3%

c) 42,4%d) 46,8%

e) 48,3%

40. Dada la siguiente distribución de frecuencias. INGRESO DEL MUNICIPIO X AÑOS Ingreso (en millones de soles) 2005 100() 2006 120() 2007 180() Se obtuvo:



  ULISES C. MARTINEZ

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aritmética

Hallar | - |

a) 50°

b) 54°

c) 56°

d) 56° e) 62°

41. Se tiene el siguiente histograma de frecuencias relativas. Se sabe que la población es 340, cuantas observaciones hay en el intervalo [a3; a5]. 6x 5x

3x 2x x a1 a) 120

a2 a3 a4

b) 145c) 170

a5 a6

d) 180

e) 240

42. Dada la distribución de los ingresos familiares en miles de soles. Ingresos Familias

0 -10 10

10 - 20 30

20 - 30 40

30 - 40 15

40 - 50 5

Se puede decir que: A) el 50% de las familias tienen una renta máxima de 18 000 soles. B) más de la mitad de las familias superan los 30 000 soles. C) solamente un 40% de las familias no superan los 20 000 soles. D) El número de familias con ingresos superiores a 30 000 soles es 15 E) todas las afirmaciones anteriores son falsas.

43. En la distribución que corresponde al cuadro adjunto, se cumple que: Ii [ 10 ; 20 > [ 20 ; 30 > [ 30 ;40 > [ 40 ; 50 > [ 50 ; 60 > Calcular: A)1

hi 0,07 0,32 0,10

f1 +f2 + f3 f4 + f5

B) 1,2

C) 1,4

D) 1,5

E) 1,6

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70

f2 H1

=

f4 H5 −H4

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aritmética

44. La tabla muestra la tabla de distribución del número de ingresantes que tienen 40 familias. Determinar el número de las familias que tienen menos de 12 integrantes. Ii [ 0;3 >

fi

Fi

[3; 6 >

7

12

hi(%)

[6; 9 >

40

[ 9 ; 12 >

17,5

[12; 15> a) 28

b) 32

c) 35

d) 36

e) 37

45. Los datos de una muestra de tamaño igual a 100 se distribuyen con un ancho de clase común. Las frecuencias absolutas son números primos tales que: d < a < c < b; además: a + c + 1 = b + d Calcular: x1 + h2 + h3 + f4 + H4 Ii [ a; > [ ; > [ ; > [ ; > [ ;b> a) 41,82

fi a

hi 0,23

b c d

b) 42,24 c) 42,58 d) 43,52

e) 43,85

46. Complete la siguiente tabla de distribución de frecuencias con ancho de clase común. Ii [ a; > [ ; > [ ; > [ ; > [ ;b>

xi

fi

Fi

18

10 28

Sabiendo que además las fi son números primos los cuales están en forma ascendente b – a = 20. Halle: a + b + f1 + f4 A) 43 B) 44 C) 45 D) 46 E) 47

47. A través de una encuesta realizada a 200 trabajadores sobre sus ingresos diarios, se puede elaborar la siguiente tabla de distribución de frecuencias de igual ancho de clase. Se sabe que:

[ [

Ii ; > ; >

ℎ3 ℎ4

Xi 24

9 8

= .Calcule: a + b + c fi

Fi

Hi 0,25

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CENTRO PREUNIVERSITARIO – PRE UNC [ a; > [ ; > [ ; > [ ; ] A) 65,8

aritmética

c 118 39

0,875 b

B) 75,5 C) 85 D) 85,4

E) 87,5

48. Se analizó los minutos de tardanza que tienen personas en una cierta empresa y que están mostradas en el siguiente histograma. Halle la mediana. 18 15 14

5

a) 50

30 48 52 64 70 b) 53 c) 56

d) 65

e) 68,5

49. Sean a, b, c y d números enteros positivos de los cuales se sabe que la mediana es igual a 12 y la moda es igual a 14. Calcule el máximo valor que puede tomar el menor de los números. A) 2 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9

50. Se sabe que de 6 datos enteros positivos la moda es 5, la mediana es 6 y la media es 7. Halle el producto de los dos mayores datos, sabiendo que el mayor dato es el máximo posible (de como respuesta la suma de cifras del producto). A) 5 B) 7 C) 9 D) 10 E) 11

51. Si los datos de una tabla de distribución de frecuencias simétrica, con 5 intervalos de ancho de clase común se observó Me= 24, X1= 16, X3=24, f3=2f1 f5=2f2 ¿Qué porcentaje del total son números menores de 30? A) 65% B) 70% C) 75% D) 80% E) 95%

52. En la siguiente tabla de distribución de frecuencias, los intervalos de clase son de la misma longitud. Hallar la media de dicha distribución sabiendo que la diferencia entre la moda y la mediana es 2,5. Intervalos – – 60 – –

fi 10 30

Fi

80 100

A) 62 B) 65 C) 66 D) 67 E) 69 53. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. El rango es igual al tamaño de la muestra. II. La media siempre es mayor que la mediana. ULISES C. MARTINEZ

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aritmética

III. Los intervalos no siempre son de la misma amplitud. a) VFV b) FVV c) FFV d) FFF e) VVV

54. Dadas las siguientes proposiciones, indique si es verdadero o falsa: I.Si el número de intervalos es impar en una distribución simétrica; la marca de clase del intervalo central es la media; mediana y moda. II. Si el número de intervalos es par en una distribución simétrica la media y la moda son diferentes. III.Si el número de intervalos es impar en una distribución simétrica la distribución es bimodal. A) VVV B) VFF C) FVV D) FVF E) FFF

55. En el cuadro se observan las notas promedio obtenidas en 4 salones del CEPUNC. Hallar la nota promedio de la población estudiantil. Aula Alumnos Promedio A1 42 12,5 A2 45 13,2 A3 40 11,8 A4 43 14,5 A) 12,00 D) 13,42

B) 12,50 E) 13,82

C) 13,07

56. En la siguiente distribución de frecuencias, calcule la diferencia de la media y la mediana. Ii

fi

hi

Hi

[ 20 ; > [

;

[

; >

0,60

[ 50 ; >

0,70

[

>

0,25 0,15

; ]

A) 0,3 D) 0,6

B) 0,4 E) 0,7

C) 0,5

57. Una familia está conformada por 8 integrantes (padres e hijos), siendo la media de sus edades 10 y además la mediana al igual que la moda es igual a 7. Halle la máxima edad que puede tener el padre si este es mayor a la madre en 2 años además en la familia hay gemelos. A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 28

58. Las exportaciones de mango piurano los últimos 10 años, en millones de unidades por año se han realizado de la siguiente manera. Año

1°

2°

3°

4°

5°

…

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Exportación

3

5

7

aritmética

…

9

(millones de unidades por año)

Si se mantiene esta tendencia. ¿Cuál será la exportación promedio en los próximos 5 años, en millones de unidades por año? A) 18 B) 24 C) 25 D) 31 E) 32

59. Señale (V) o (F) según corresponda: V(ax) = aV(x); V(x): Varianza. V(a + x) = V(x); a: constante. V(x) = S2; S: Desviación estándar. A) VVF B) VVV

C) FVF

D) FVV

E) FFV

60. Hallar el tamaño n de una muestra de un conjunto de datos cuya varianza es 4 sabiendo que: 𝑛

𝑛

∑ 𝑥𝑖 = 35 ; ∑ 𝑥𝑖 2 = 265 𝑖=1

A) 5

B) 6

C) 8

D) 9

𝑖=1

E) 10

61. Si en un salón de clase se sabe que la media de las notas obtenidas en el bimestre es de 16 con una varianza igual a 2. Halle el cociente entre la desviación estándar y la media. A) 8,84% B) 9,5% C) 10% D) 11,3% E) 12,5%

62. Se tiene los siguientes datos acerca de los años de edad de 10 personas 6; 7; 7; 11; 13; 14; 19; 20; 20; 23. Halle la desviación estándar de las edades. A) 5,164

B) 5,916 C) 8,432 D) 7,234

E) 7,382

63. Una prueba de conocimientos A se calificó sobre 20 puntos dando una media 12 y una varianza de 1,44, mientras que una prueba de aptitud B se calificó sobre 100 puntos dando una media de 80 y una desviación estándar de 4.¿En cuál de las pruebas los puntajes son más homogéneos e indique el coeficiente entre la desviación estándar y la media? a) B; 10% b) B; 12% c) A; 12% d) A; 10% e) B; 5%

64. Dado un conjunto de “n” datos se tiene la siguiente información: S2(x) = 6; ∑ x 2 = 220 ;x̅ = 4 Halle “n” A) 8 B) 10 C) 12 D) 15

E) 20

65. Si se tiene el puntaje de 20 alumnos en un cierto examen: Ii

fi

[ 30 ; 40>

2

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CENTRO PREUNIVERSITARIO – PRE UNC [ 40 ; 50>

4

[ 50 ; 60>

8

[ 60 ; 70>

5

[ 70 ; 80>

1

aritmética

Halle la varianza con respecto al puntaje. A) 10,23 D) 104,75

B) 53,5 E) 123,5

C) 94,35

66. Si se cumple que: V(x) + V(x + 1) + V(x + 2) + … + V(x + n) = V(6x) Hallar “n”. A) 2 B) 3 C) 8 D) 24 E) 35

POTENCIACIÓN Es una operación matemática que consiste en que dados dos números, llamados base y exponente, existe un tercer número llamado potencia, el cual es el resultado de multiplicar

la base por sí misma tantas veces como lo indica el exponente. En general: P  k .k .k ........k  K n  "n" veces

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Donde: K  Z+ n  Z+ Además: k : base n : exponente P : Potencia perfecta de grado “n”

los exponentes de sus factores primos en su descomposición canónica son pares, es 0

decir, son 2 . Ejemplos: N = 22.76.114 2. Potencia Perfecta de Grado 3 o Cubo Perfecto Es de la forma:

Ejemplos:  343 = 7x7x7 = 73 Potencia perfecta de grado 3  15 625 = 5x5x5x5x5x5 = 56 Potencia perfecta de grado 6  243 = 3x3x3x3x3 = 35 Potencia perfecta de grado 5

𝑁3 = ⏟ a3 x b 3 x c 3 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎(𝐷.𝐶)

Ejemplo: L = 36.59.173 CRITERIOS DE INCLUSIÓN EXCLUSIÓN DE CUADRADOS CUBOS PERFECTOS I. Según su última cifra:

TEOREMA FUNDAMENTAL Para que un entero positivo sea potencia perfecta de grado n, los exponentes de los factores primos en su descomposición canónica, deben ser múltiplos de “n”. n

P=K =

n

a ⏟

x b

n

x c

aritmética

Y Y

K=

…0

…1

…2

…3

…4

…5

…6

…7

…8

…9

2

K=

…0

…1

…4

...9

...6

…5

…6

…9

…4

…1

3

…0

…1

…8

…7

…4

…5

…6

..3

…2

…9

K=

Del cuadro se observa:  Si un número termina en 2; 3; 7 ó 8 no es cuadrado perfecto; en los demás casos tiene la posibilidad de serlo.  Un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra.

n

𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎

Ejemplos:  N = 26.1512.73 = (22.54.7)3 0

Como 6; 12 y 3 son 3 entonces “N” es una potencia perfecta de grado 3. II. Por la terminación en ceros 2 .....  Si: ab.....xy 000    0  k

CASOS PARTICULARES 1. Potencia Perfecta de Grado 2 (Cuadrado Perfecto, K2) Es de la forma:

"n"ceros 0

 n = 2  x {0; 2; 6} Además:

N2 = ⏟ a2 x b 2 x c 2

ab.....x  n(n  1)

𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎(𝐷.𝐶)

3 .....  Si: ab.....xy 000    0  k "n"ceros

Definición Un entero positivo será una potencia perfecta de grado 2, o cuadrado perfecto, si

0

 n = 3  ab.....xy  p3 (pZ+) III. Por su terminación en la cifra 5

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0

0

 k2  { 4; 4 1 }

 Si: ab.....xy5  k 2  y = 2  x  {0; 2; 6} Además:

0

0 0

 k3  { 4 1; 4; 4 1 }  Módulo 9

ab.....x  n(n  1)

0

k = 9 +r ; r  {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

 Si: ab.....xy5  k 3 y=2 o y=7 IV. Por criterios de Divisibilidad  Módulo 4

0 0

0

0

 k2  { 9; 9 1; 9 9 7 } 0

0 0

 k3  { 9 1; 9; 9 1 }

0

k = 4 +r ; r  {0; 1; 2; 3}

PRACTICA DE POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN 1. Hallar el menor múltiplo de 15 tal que la suma de su tercera y sétima parte es un cuadrado perfecto. A) 210

B) 195

C) 225

D) 180

E) 240

2. Hallar dos números cuadrados perfectos sabiendo que su diferencia es 31. Dar como respuesta el número mayor. A) 196

B) 215

C) 179

D) 256

E) 218

̅̅̅̅̅̅ . Dar como respuesta a – b 3. Hallar un número cuadrado perfecto de la forma: aabb A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

4. Hallar un cubo perfecto de la forma:N = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ababab1. Dar como respuesta: a – b A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

5. ¿Cuántos números de cuatro cifras existen tales que su raíz cubica sea igual a la suma de sus cifras? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

6. Hallar la suma de las cifras de la raíz cuadrada de: ⏟ 111 … 111 – ⏟ 222 … 222. "2𝑛" 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

A) 3n

B) 3n + 4

C) 2n

"𝑛" 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

E) 3n – 2

D) 4n

7. Determine el menor entero positivo por el cual hay que multiplicar a 123 . 152 . 204 , para obtener un número que sea cuadrado y cubo perfecto a la vez. A) 40

B) 45

C) 48

D) 60

E) 72

8. ¿Cuántos cubos perfectos, divisibles por 45, existen entre 800 y 129 000? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

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E) 6

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9. Si: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ abc(a − 1)5 es un cuadrado perfecto. Hallar la suma de los posibles valores de “a + b + c”. A) 9

B) 19

C) 29

D) 39

E) 59

10. ¿Cuántos términos de la siguiente sucesión: 45x1; 45x2; 45x3;…….; 45x10000 son cubos perfectos? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

11. Si: √̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑8 = ̅̅̅ 𝑎𝑏 . Hallar: (a + b + c + d). A) 18

B) 14

C) 25

D) 30

E) 15

(x − 2)xx(x − 1)x. Hallar: (m + x) 12. Se sabe que: (mx ̅̅̅̅)3 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

13. Determine el menor número divisible entre 24 tal que al sumarle su 13 ava parte el resultado es un cuadrado perfecto. De como respuesta la suma de las cifras de orden impar. A) 10

B) 8

C) 9

D) 7

E) 5

14. Halle un cubo perfecto de la forma: mnpqr ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ tal que m + p + r = 15  n + q = 4. Hallar el residuo de su raíz cuadrada. A) 9

B) 17

C) 27

D) 39

E) 47

15. Calcule a + b + c + d + f; sabiendo que N = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 3abcdf00 es un cubo perfecto divisible por 3 y 11. A) 20

B) 22

C) 24

D) 26

E) 28

16. ¿Cuántos cubos perfectos de 5 cifras que terminen en 6 existen? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

17. Calcule (a + b + c) si el número: ̅̅̅̅̅̅̅̅ 2abc5 tiene 27 divisores A) 11

B) 15

C) 18

D) 20

E) 21

18. Si la diferencia de los cuadrados de: ̅̅̅ ab y ̅̅̅ ba es un número con una cantidad impar de divisores. Hallar a.b A) 20

B) 30

C) 40

D) 50

E) 60

19. Si ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 6a(a − 1)(a − 4) =ca ̅ 3 ; entonces el valor de ac es: A) 9

B)8

C) 25

D) 36

E) 49

20. Se da un número positivo que no tiene raíz cúbica exacta. Si a este número se le disminuye en 721, entonces su raíz cúbica disminuye en una unidad pero el residuo no se altera. Determine la suma de las cifras de la diferencia entre el número y el residuo. A) 16

B) 17

C) 18

D) 19

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E) 20

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21. Si el numeral aann es un cuadrado perfecto; ¿Calcule la suma de cifras de su raíz cuadrada? A) 15 B) 14 C) 19 D)16 E) 12 3

22. Halle (a + b + c + d + e) si abcde  de A) 117 B) 118 C) 19 D)20

E) 21 0

23. Si: abcdef  K3 A) 9 B) 10

; a + c + e = b + d + f =18 y f  2 . Halle “c + d” C) 11 D)12 E) 13

24. Se tiene cdcdcd1  K3 . Halle: “c + d “ A) 14 B) 13 C) 15 D)12

E) 16

0

25. ¿Cuántos cuadrados perfectos 13-4 hay entre 924 y 5960? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 2

c 26. Si: ab 4 c  d   ; a > b. Halle: (a + b + c + d) 3 A) 30 B) 32 C) 19 D)29 E) 15 27. Halle el mayor cuadrado perfecto de 3 cifras de la base 6, que termine en cifras 3. A) 2136

B) 2106

C) 2236

D) 4336

E) 5236

28. ¿Cuántos números de 6 cifras tienen residuo máximo tanto en su raíz cuadrada y en su raíz cúbica? A) 3 B) 4 C) 5 D)6 E) 7 29. ¿Cuántos números de la siguiente sucesión son cuadrados perfectos o múltiplos de 13? 124 ,304 ,1024 ,....,300 0004

A) 54

B) 50

C) 48

30. Al extraer la raíz cuadrada de significativa. A) 5 B) 6 C) 7

D)44

E) 42

6 ab c 4 se obtuvo residuo máximo. Halle (a + b + c) si a es cifra D)8

E) 9

31. Calcule cuántos números cuadrados perfectos existen entre los cuadrados perfectos: b  1 0 c 5 y bb a  2  a  2 a . Si “b” es impar. A) 160

B) 161

C) 62

D) 163

E) 61

32. Un terreno cuadrado se divide en pequeños lotes cuadrados todos iguales. Si se desea colocar un árbol en cada vértice de los cuadrados, se emplea 261 árboles más cuando los cuadrados son de 2m de lado, que cuando son 4m. Calcular el lado del terreno. A) 34 B) 38 C) 32 D)24 E) 36 ULISES C. MARTINEZ

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33. Calcule (a + b + c + d + f); sabiendo que: N  3 ab c d f o o es un cubo perfecto divisible por 3 y 11. A) 24 B) 22 C) 30 D) 23 E) 25 34. Al extraer la raíz cuadrada de un numeral se observa que los residuos por defecto y por exceso están en la relación de 3 a 4. Sabemos que el producto de las respectivas raíces es 992. Calcule el número. A) 968 B) 998 C) 981 D) 988 E) 961 35. Si: m  1 m2  2 m  1  a  b  2m  1 es un cuadrado perfecto. Calcúlese el residuo por exceso de la raíz cuadrada de m  a  b  m A) 10 B) 9 C) 1

D) 2

E) 3

36. Si:

 a  1 e dd 3b

2

 a a  b b

Calcule el residuo por exceso que se obtiene al extraer la raíz cúbica a db a A) 70

B) 73

C) 81

D) 85

E) 87

37. Si: m  1 m2  2 m  1  a  b  2m  1 es un cuadrado perfecto. Calcúlese el residuo por exceso de la raíz cuadrada de m  a  b  m A) 10 B) 9 C) 1 38. Si:

 a  1 e dd 3b 

cúbica a db a A) 70

D) 2

E) 3

2

 a  a  b  b .Calcule el residuo por exceso que se obtiene al extraer la raíz

B) 73

C) 81

D) 85

E) 87

39. Si N = ̅̅̅̅̅̅ 23xy es un cuadrado perfecto, entonces la suma de sus cifras de N es: A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

40. El número ̅̅̅̅̅̅ aabb es un cuadrado perfecto y la raíz correspondiente es un número de la forma: xx ̅̅̅ Calcula: a + b + x. A) 16

B) 17

C) 18

D) 19

E) 20

0

41. ¿Cuántos cuadrados perfectos 13 + 4 hay entre 924 y 5920? A) 9

B) 7

C) 63

D) 21

E) 10

42. Sabiendo que: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 104𝑎𝑏6 = k4 . Calcular: a + b + k. A) 34

B) 36

C) 38

D) 40

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E) 42

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43. Calcular “x” para que el número: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 58(x + 1)x sea un cubo perfecto. a) 0

b) 1

c) 2

d) 7

e) 9

44. Al efectuar la raíz cuadrada y la raíz cuarta de “N” se obtuvieron los residuos 35 y 86 respectivamente. Calcular la raíz cúbica por defecto. A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 12

45. Si N = 29 . 310 . 512 . Hallar la cantidad de divisores de N que son cuadrados perfectos pero no son cubos perfectos. A) 186

B) 198

C) 204

D) 206

E) 214

46. Considere tres números naturales consecutivos de tres cifras cuya suma es un cuadrado perfecto. La menor cifra del mayor de estos tres números es: A) 1

B) 109

C) 4

D) 0

E) 5

̅̅, el planeta MARTE se acerco a su mínima distancia a la tierra. 47. En la fecha: ̅̅̅ 𝑎𝑏 − ̅̅̅ 0c − ̅̅ 0d 3 Calcular a + b + c + d . Si se sabe que: √ ̅̅̅ 𝑎𝑏 = d; c = 𝑎4 . A) 17

B) 20

C) 22

D) 27

E) 31 0

̅̅̅̅̅̅̅̅, donde 2c + e – b =19 ; d – a =3 y bc ̅̅̅ = 7 48. Hallar un cubo perfecto de la forma: abcde A) 92465

B) 82475

C) 32585

D) 36456

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E) 42875

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RADIACIÓN Es la operación inversa a la potenciación, en el cual dados dos números llamados índice y radicando, consiste en calcular el tercer número llamado raíz que elevado a un exponente igual al índice, resulte el radicando. n

0 En general:

N

k  N= k2

0

b) Inexacta (r0): Resulta cuando el residuo es diferente de cero; se puede extraer al raíz de dos maneras; por defecto o por exceso.  Por defecto Ejemplo:

P k

Donde: P: Radicando

 70 = 82 + 6

70 8

6

n: índice k: raíz

En general:

Se cumple P = kn

N k

r

RADICACIÓN ENTERA: Al extraer la raíz de un número entero el resultado no siempre es entero, por tal motivo se recurre a un término adicional llamado residuo, de modo así que todos los términos sean enteros.

k: Raíz cuadrada por defecto r: Residuo por defecto 

n

 N = k2+r

N k  N  kn  r r

Por exceso Ejemplo: 70

9

 70 = 92-11

11 r: Residuo

En general:

RAÍZ CUADRADA ENTERA

N

Se denomina así a la raíz, cuando el índice es 2.

re

k+1  N = (k+1)2 – r e

Puede ser: (k +1): Raíz cuadrada por defecto

a) Exacta (r=0): Resulta cuando el residuo es cero, y para ello el radicando debe ser un radicando perfecto. Ejemplo: 144 12  144 = 122

re: Residuo por exceso PROPIEDADES:

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1.

Resulta cuando el residuo es diferente de cero. Se puede extraer la raíz de dos maneras: por defecto o por exceso.

r + re = 2k + 1

 2.

aritmética

Rmax = 2k

Por defecto: 3

k

N

 N = k3+r

0 k: raíz cúbica por defecto r: Residuo por defecto

RAÍZ CÚBICA ENTERA 

Se denomina así a la raíz, cuando el índice es 3. Puede ser:

Por exceso: 3

1. Exacta (r = 0) Resulta cuando el residuo es cero y para ello el radicando debe ser un cubo perfecto.

N

k+1

 N = k3+r

re k +1: Raíz cúbica por exceso

3

N

k

N=k

3

re: Residuo por exceso

0 PROPIEDADES: Ejemplo: 3

64 4

1.

r + re = 3k(k+1)+1

0 2. Inexacta (r  0)

2.

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Rmax = 3k(k+1)

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1. Al extraer la raíz cúbica de abc se obtuvo como residuo por exceso 259 y por residuo por defecto 12. Calcule :axb

2.

A) 14

B) 15

D) 28

E) 56

C) 18

Al extraer la raíz cuadrada de un número se obtuvo 22 como residuo. Si el número se cuadriplica la raíz cuadrada aumenta en 19 y el residuo se reduce en 7. Halle el número. A) 342B) 456

C) 346

D) 392E) 412

3.

Al extraer la raíz cuadrada de un número se obtuvo 52 de residuo, pero si se le suma 1 000 unidades, su raíz aumenta en 2 y su residuo se hace máximo. Halle la raíz del número original. A) 141

B) 158

C) 157

D) 260E) 174

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