Divertimentos_matematicos

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Divertimentos matemáticos

Brian Bolt

EDITORIAL LABOR, S.A.

Traducción de Mariano Martínez Pérez

La edición, 2. a reimpresión: 1990

Título de la edición original:

The arnazing mathematical amusernent arcade

© ©

Cambridge University Press, 1984

de la edición en lengua castellana y de la traducción:

Editorial Labor, S. A. - Calabria, 235-239 - 08029 Barcelona, 1987

El autor y los editores agradecen a la Mansel1 Collection

el permiso para reproducir Melancolía de A. Durero

Depósito legal: B. 31345-1990 ISBN: 84-335-5111-6 Printed in Spain - Impreso en España Impreso en: Ingoprint, S. A. - Maracaibo, 11 - 08030 Barcelona

INTRODUCCIÓN Mucha gente de todas las edades disfruta tratando de resolver rompecabezas de tipo matemático. Esta colección de pasatiempos y otras actividades ha sido seleccionada de un libro de complementos, escrito para profesores de matemáticas, y que alcanzó un éxito notable. Se han reunido aquí aquellas actividades creativas del libro anterior, que no requerían conocimientos matemáticos especiales, y un gran número de nuevas ideas. Muchos de estos pasatiempos tienen una larga historia, otros son originales, y algunos han tenido que esperar a la llegada de la calculadora de bolsillo para poder ser atacados de una manera factible y realista. Aparecerán cerillas, monedas, complicados cruces de ríos, ingeniosas situaciones de maniobras de trenes, problemas de ajedrez, cuadrados mágicos, estrellas y circunferencias, billares, dardos y dianas, paradojas geométricas..., ¡todo esto y mucho más tiene cabida en esta maravillosa galería! Quien nunca haya cortado en dos una banda de Mobius, tiene aquí la oportunidad de alcanzar la deliciosa sensación de la perplejidad. La segunda parte del libro está.dedicada a dar, o sugerir, la solución de los rompecabezas y a comentarlos, de manera que el lector pueda comprobar si su solución es correcta o descubrir una pista, cuando se encuentre atascado en alguna dificultad. Pero le aconsejamos vivamente que persista en sus intentos de encontrar una solución. ¡Produce una gran satisfacción resolver un rompecabezas por sí mismo y, una vez resuelto, desafiar a los amigos a que hagan otro tanto! Brian Bolt

ÍNDICE El primer número, en negrita, se refiere a la página donde se plantea el pasatiempo; el segundo, a la página en la que se da la solución, comentarios, etcétera. Un asterisco indica la conveniencia de utilizar calculadora.

Introducción 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 VI

Triángulos hechos a base de cerillas 1, 73 El embrollo del cruce del río 1, 73 El maquinista perplejo 2, 73 Hazte tus propios dados 2, 73 Plegando mapas 3, 74 El lechero ingenioso 3, 74 Los peones sobre el tablero de ajedrez 4, 74 Evitando tres en raya 4, 75 Dos mitades hacen un todo 5, 75 Cubismo 5, 75 Cuadrados construidos con cerillas 5, 75 Curvas de persecución 6, 75 Los misiles extraviados 7 Modelos 8 Soldados en apuros 8, 76 El granjero y el redil 9,76 La danza de los caballos 9, 77 Los apartaderos de la vía férrea 10, 77 El cubo multicolor 10, 77 Los maridos celosos 11, 78 La extensión de cable más barata posible 11, 79 El juego del «Hex» 13 El cuadrado, la cruz y el círculo 14, 80 La banda de M6biús 14, 80 Una jardinera ahorrativa 16, 80 ¿Cuántos triángulos puedes encontrar? 16, 81 Dos lanchas motoras poco amistosas 16, 81 Los caballos guardianes 17, 81 Invirtiendo el orden de los trenes 17, 82 Cuatro piezas iguales 18, 82 Complétese el cuadrado 18, 83 Monedas que dan vueltas 18, 83 Una red que va creciendo 19, 83 Circuitos unicursales y grafos eulerianos 20, 83 Giros que parecen imposibles 21, 85 El cazador obstinado 21, 85 Cuatro puntos en un plano 21, 86 Dados de letras 22, 86 La defensa de la reina 22, 86

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87

Ver es creer 23, 88 La inspección de carreteras 23, 89 Las fichas del dominó y el tablero de ajedrez 23, 89 Caminando en zigzag 24 Un paseo a caballo 24, 89 Aserrando un cubo 27, 91 Un agujero imposible 27, 91 Dos gemelos idénticos 28, 91 El teorema de los cuatro colores 28, 91 Unas cerillas desconcertantes 28, 92 La cuadratura del triángulo equilátero 29, 92 La cuadratura de la tetera 29, 93 Un ama de casa perpleja 29, 93 Jugando a invertir el triángulo 30, 93 El billar americano 30, 94 Buscando cuadrados (para dos jugadores) 32, 94 La polilla hambrienta 33, 95 El desvío más barato 33, 95 Piezas que llenan todo un espacio 34, 95 Curvas formadas al cortarse circunferencias 34, 95 ¡El ultimátum de una amante! 36, 96 Sólo cuatro rectas 36, 96 ¿A qué velocidad eres capaz d.e pedalear? 37, 97 La pista de bobsleighs 37, 97 Cuestión de vocales 37, 98 Juegos con fichas para un solo jugador 38,98 Dos piezas iguales 40, 98 Cómo pintar un cubo 40, 99 Los problemas de la vía única 40, 100 Dos a la vez 41, 100 Cara y cruz 41, 100 La cuadratura de la cruz griega 41, 100 El reparto de gasolina 42, 100 Un reparto justo 42, 101 Magia con monedas 42, 101 La raüa obstinada 42; 101 Cómo ordenar una estantería 43, 101 Partiendo un círculo 43, 102 Números casi cuadrados'" 44, 103 Un jardinero aficionado a la matemátíca 44, 103 Triángulos mágícos 44, 103 Números curiosos * 45, 104 Unas restas chocantes * 46, 105 ¿Cuál es el mayor número que puedes obtener? * 46, 106 Los cuatro cuatros 47, 106 ¿Cuáles eran los datos? * 47, 107 Un filón muy productivo * 48, 107 Centenas, decenas y unidades 49, 108 VIl

88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122

Círculos mágicos 49, 108 El número de teléfono de la doctora Numerati * 50, 110 Completa un siglo 50, 110 Ruedas de números 51, 110 Un reto a las calculadoras * 51, 111 Divisiones que se repiten * 52, 111 Algunos números distinguidos * 53, 113 Estrellas mágicas 54, 113 La seguridad lo primero 54, 114 La estrategia secreta del tahúr 55, 114 El problema del transporte 55, 115 Nuevos y curiosos esquemas numéricos * 56, 115 Las temas pitagóricas * 56, 116 Multiplicaciones misteriosas * 57, 116 Un diamante mágico 57, 116 Fechas capicúas 58, 117 Tarjetas numéricas adivinatorias 58, 117 Cuadrados mágicos 3 x 3 60, 118 Cuadrados mágicos 4 x 4, y mayores 62, 118 Un cubo mágico * 64, 119 Un problema con balanzas sin pesas 64, 119 Nuevos retos a la calculadora * 64, 119 Un problema de peso 65, 120 Rectángulos semejantes 65, 121 Inventando un nuevo tipo de diana * 65, 121 El único hexágono mágico 66, 121 El juego de Nim 66, 122 Triangulando el cuadrado 67, 123 ¿Quién la liga? 67, 123 Averigua qué cartas hay sobre la mesa 67, 123 El problema de dividir una herencia 68, 124 ¡El fin del mundo! 68, 124 Un maratón patrocinado * 69, 125 Los efectos de la inflación * 69, 125 Entretenimientos de octogenario * 69, 125 In Las moneoa" hoca arriha 70, 126 124 Colas de milano 71, 126 125 Más rompecabezas con cerillas 71, 127 126 Pontoneros de maniobras 72, 127

VIII

PASATIEMPOS Y 1

OMPECABEZAS

Triángulos hechos

a hase de cerillas

Coloca sobre la mesa nueve cerillas formando cuatro triángulos equiláteros. A continuación trata de construir cuatro triángulos de la misma forma y tamaño que los anteriores, utilizando sólo seis cerillas.

2

El embrollo del cruce del río

Este rompecabezas es muy antiguo. Se cuenta que había una vez un titiritero que recorría el país llevando consigo un lobo, una cabra y una col. Nuestro hombre llega a la orilla de un río y se encuentra con que la única manera de atravesarlo es utilizando una barca en la que sólo cabe él y el lobo, o él y la c~bra, o él y la col. Desgraciadamente no se atreve a dejar aliaba solo con la cabra, ni tampoco a la cabra sola con la col, porque en el primer caso el lobo se comería a la cabra, y en el segundo, la cabra se comería la col. Después de pensar un rato, llegó a la conclusión de que podría atravesar el río con todas sus pertenencias, con ayuda de la barca, sin perder

ninguna de el1as en la operación. ¿Cómo 10 consiguió?

1

3

El maquinista perplejo

MANiOBRAS La figura nos muestra pp una vía muerta circular, al final de una línea de ferrocarril. V representa un vagón de ganado vacuno, G un vagón de ganado lanar, Luna locomotora y PPun puente para peatones sobre la vía férrea. El problema, para el perplejo maquinista, es hacer las maniobras necesarias para intercambiar entre sí las posiciones de los vagones de ganado vacuno y lanar, y, al final, volver a colocar la locomotora en la vía principal. Debes tener en cuenta, además, que la altura del puente

PP es tal que la locomotora puede pasar por debajo, pero no

los vagones, porque son demasiado altos. ¿Podrías ayudar al

atribulado maquinista?

4

o

o

Hazte tus propios dados

Cada una de estas tres figuras se puede recortar, doblar y pegar para construir un dado. En cada una faltan tres números. Numéralas de manera que se cumpla la condición de que los números correspondientes a dos caras opuestas de cada uno de los dados siempre sumen siete.

4

5

6

2

6

6

3

3 al 2

b)

2

I

l.­

el

5

Plegando mapas

Tenemos un mapa que es doble largo que ancho y, naturalmente, podemos plegarlo de muchas maneras distintas hasta que su tamaño quede reducido al de un cuadrado que sea la octava parte del mapa desplegado. Numera los ocho cuadrados tal como indica la figura, en un rectángulo de papel de las dimensiones adecuadas, y cuenta de cuántas maneras distintas puedes plegarlo. La mejor manera de ir llevando la cuenta de las distintas posibilidades es de anotar el orden en que se suceden los números del 1 al 8 en el mapa plegado. Una buena prueba de tu habilidad puede ser la de plegar el mapa de manera que los números queden en el orden 1, 2, 3,4, 5,6,7,8.

6

El lechero ingenioso

Un lechero dispone únicamente de dos jarras de 3 y S litros de capacidad para medir la leche que vende a sus clientes. ¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar la leche?

3

7

Los peones sobre el tablero de ajedrez

Éste es el clásico problema de colocar 16 peones sobre un tablero de ajedrez, de manera que no haya tres peones en línea recta. No se trata de ninguna situación complicada, pero lo cierto es que sobre un tablero de 8 X 8 cuadros no resulta tan fácil darse cuenta de cuándo tres peones están alineados (o no). La figura muestra tres filas de peones alineados, a pesar de que, a primera vista, no sea evidente; los ABC, ECD y FCG. Cuando creas que ya has colocado correctamente los 16 peones sobre el tablero 8 X 8 sin que haya tres alineados, pide a otra persona que compruebe si tu solución es correcta antes de mirar la que aparece en la segunda parte del libro.

8

Evitando tres en raya

A este juego se puede jugar con peones o con fichas del juego de las damas sobre un tablero de ajedrez, o bien con otras fichas sobre papel cuadriculado, etc. Los jugadores van colocando, por turnos, sus fichas sobre el tablero. Pierde el jugador que coloque por primera vez una ficha alineada con otras dos. Observa que el juego nunca puede sobrepasar los 17 movimientos, pues el máximo número de fichas que se pueden colocar sobre un tablero 8 X 8, sin que aparezcan tres alineadas, es 16. La astucia en este juego radica en seleccionar posiciones que fuercen al adversario a completar una línea de tres fichas. En la figura hay sólo 12 fichas sobre el tablero, pero están colocadas con tan mala idea que el jugador, al que le toque poner la siguiente, irremediablemente hará tres en raya, y, por lo tanto, perderá. Comprueba, uno por uno, todos los cuadros vacíos para convencerte de que la situación es ésta. Una regla puede ayudarte en la comprobación. 4

9

Dos mitades hacen un todo

Muestra cómo se puede cortar la figura rayada A en dos partes, de manera que, al volver a reunirlas, se pueda B formar cualquiera de las figuras B, e, D, E, F Y G.

e

D

G

F

E

10

Cubismo

A cuatro cubos de madera se les han cortado algunas esquinas. Sólo quedan dos cubos que tengan exactamente la misma forma. ¿ Cuáles son? B

11

e

o

Cuadrados construidos con cerillas

Retira tres cerillas de las quince que forman esta figura, de manera que sólo queden tres cuadrados. Intenta retirar sólo dos cerillas, y que queden también tres cuadrados. (Esta vez no se exige que los cuadrados sean del mismo tamaño.) 5

12

Curvas de persecución Seguramente has visto alguna vez a un perro persiguiendo a un coche o a un ciclista, pero ¿te has parado a pensar en el camino que sigue? El perro no puede prever lo que va a ir ocurriendo y, en consecuencia, no corre hacia donde estaría el coche cuando él lo pudiera alcanzar, sino que suele correr hacia donde está el coche en el mismo instante en que lo ve.

La figura muestra la trayectoria que suele seguir un perro, en A, desde el momento en que ve un coche en la posición B. Supongamos que el coche sigue la línea recta Be a una velocidad constante y, supongamos, también, que la velocidad del coche es doble que la del perro. El camino que recorre el perro lo podemos construir fácilmente. Traza la recta B I e, que representa la trayectoria del coche, y toma un punto Al que representa la posición inicial del perro (cualquiera puede valer, pero supondremos que no está sobre la recta B l e, ¿por qué?). Une por una recta los puntos Al y 8 1; ésta es la dirección en la que el perro empieza a correr. Pero está claro que ningún perro puede cambiar fácilmente de dirección dando un salto en el aire, así que se moverá en esta misma dirección durante una corta distancia A¡A 2 , que en el dibujo representamos por ~ cm. Pero mientras el perro corre de A I a A 2 , el coche se desplaza de B I a B 2 , recorriendo una distancia de 1 cm en la figura. Al llegar a A2> el perro cambia de dirección hacia el coche, que ahora está en B2 , y corre en esa dirección, mientras el coche se desplaza de B 2 a B3 • Repitiendo este proceso se puede ir construyendo la trayectoria que seguirá el perro. Empieza por hacer un dibujo más o menos como el de la figura. Piensa luego qué ocurrirá si, por ejemplo, el coche recorre una circunferencia en vez de una recta, o si cambian las velocidades relativas del perro y del coche. ¡En realidad, hay infinitas posibilidades! 6

e

13

Los misiles extraviados

R

al

R

p ......- - - - - - - - - - - - " Q

R

p

Q

P

El bonito dibujo que aparece en la figura resulta de otro el problema de búsqueda de curvas de persecución. Imagínate tres misiles teledirigidos P, Q y R, estacionados en tres bases que ocupan los vértices de un triángulo equilátero de 100 km de lado. Se lanzan los tres misiles en el mismo instante, de manera que el P se dirige a derribar al Q, el Q al R y el R al P. A intervalos de tiempo regulares (y muy cortos) cada uno de los tres misiles cambia de dirección para apuntar a la nueva posición que ocupa su blanco. Las figuras a), b), e), d) muestran cómo ir construyendo la trayectoria que va a seguir cada uno de los tres misiles en su intento por cazar a p su vecmo. Comienza dibujando un triángulo equilátero de 10 cm dl de lado, y señala en él los puntos PI' Q¡ y R I, cada uno de ellos a 1 cm de los P, Q y R, respectivamente; dibuja el triángulo p¡ Q¡ R¡ Yseñala ahora en él los puntos P2, Q2 y R2 a 1 cm de los PI' QI y R¡; dibuja el triángulo P2Q2R2 y continúa el proceso de la misma manera, tomando siempre las distancias a lo largo de los lados del último triángulo que has construido ¡hasta que los tres misiles exploten juntos en el centro del triángulo! ¿Cuál sería el aspecto de las trayectorias, si hubiéramos partido de cuatro misiles situados en las esquinas de un P cuadrado?

Q

P, R

Q

P2

R

P3

Q

7

14

Modelos

Toda la matemática se refiere al estudio, análisis y utilización de modelos, que pueden ser numéricos o geométricos. El artístico dibujo que nos muestra la figura es la mera conjunción de cuatro dibujos análogos a los del número anterior. Partiendo de la misma idea se pueden construir muchos otros bellos e interesantes diseños. Todo lo que se necesita es un poco de paciencia y hacer los dibujos con mucho cuidado.

15

Soldados en apuros

Una patrulla de soldados, de maniobras por la jungla, se encuentra de pronto con un gran río, profundo e infestado de cocodrilos. En la otra orilla ven a dos muchachos nativos con una canoa. La canoa sólo puede transportar a un soldado con su fusil y su mochila, o a los dos muchachos. ¿Cómo conseguirán los soldados atravesar el río sin «alimentar» a los cocodrilos?

8

16

El granjero y el redil

La figura nos muestra cómo pensaba arreglárselas un granjero para construir seis rediles idénticos donde guardar sus ovejas, utilizando trece vallas todas iguales. Al tratar de hacerlo descubre que, desgraciadamente, una de las vallas está rota y no sIrve. Coge doce cerillas, que representarán las doce vallas aprovechables, y trata de mostrar cómo podría el granjero construir con ellas los seis rediles idénticos que desea.

17

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La danza de los caballos

Sobre un tablero de ajedrez están colocados los dos caballos blancos y los dos negros, ocupando las esquinas de un cuadrado de dimensiones 3 X 3 tal como indica la figura. ¿Cómo se podrían intercambiar las posiciones de los caballos blancos y negros en el mínimo número de movimientos?

9

18

Los apartaderos de la vía férrea

Una vía de tren BCtiene dos apartaderos BA y CA a una vía muerta A muy corta. En cada apartadero está situado un vagón, representados por VI y V2 , y en la vía principal B C hay una locomotora. Debes ingeniártelas para intercambiar, con ayuda de la locomotora, las posiciones de los vagones VI y V2 , de manera que al final de la.s maniobras la locomotora pueda volver a la vía principal. Antes de intentarlo, ten en cuenta que la vía muerta A, común a los dos apartaderos, es tan corta

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que en ella sólo cabe un vagón como los VI y V2 , pero no la locomotora, de manera que si la locomotora entra en A por CA, no puede salir por AB. Los vagones pueden engancharse uno al otro o a cualquiera de los dos extremos de la locomotora, pero ¡no se permite saltarse los parachoques situados en A!

19

El cubo multicolor

Imagínate que tienes ocho cubos de madera de 1 cm de arista; explica cómo se podrían pintar de manera que puedan reunirse para formar otro cubo de 2 cm de arista, todo él de color rojo o todo él de color azul. . Considera ahora el problema análogo para 27 cubos de 1 cm. ¿Podrías colorearlos de manera que puedan formar otro cubo de 3 cm de arista todo rojo, o todo azulo todo amarillo? 10

Rojo o azul

20

Los maridos celosos

Tres matrimonios se encuentran en un hotel completamente rodeados de agua a causa de una inundación, y disponen de una barca para escapar, en la que sólo caben tres personas. Los maridos son tan celosos que no están dispuestos a permitir que sus esposas se encuentren en la barca, o en cualquiera de las dos orillas, con otro hombre u hombres, si no están presentes. Trata de descubrir la manera en que pueden escapar las tres parejas, cumpliendo la condición anterior, y además la de que la barca haga el mínimo número posible de viajes. ¡No se permite ni salir nadando ni en helicóptero! Una vez resuelto este caso inténtalo de nuevo, pero esta vez para el caso de cinco matrimonios.

21

La extensión de cable más barata posible

Una habitación tiene 10 m de largo, 4 ro de ancho y otros 4 m de alto. En el punto A, en el medio de la pared del fondo y a medio metro del suelo, hay un enchufe. Se necesita tender

un cable para conectar el enchufe A con una lámpara situada en el punto medio B de la pared de enfrente, a medio metro 4 m del techo. Por evidentes razones de seguridad, el cable debe ir sujeto a las paredes, suelo o techo, y nunca por el aire. Calcula la longitud de cable mínima necesaria para resolver el problema. ¡No! La respuesta no es 14 m. 11

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12

22

El juego del «Hex»

El «hex» es un juego que inventó en 1942 un matemático danés llamado Piet Hein. En la figura se muestra un típico tablero para jugar al «hex», en este caso en forma de «diamante», o rombo, formado por un «embaldosado» de hexágonos regulares. Para que vayas familiarizándote con el juego, este tablero tiene sólo seis hexágonos por lado, pero los buenos jugadores suelen usar un tablero bastante más grande, de once hexágonos de lado. Uno de los dos jugadores tiene fichas negras, y el otro fichas blancas (cualquier clase de objetos pequeños y fáciles de distinguir también pueden servir: botones, chinchetas de dos colores, etc.). Los jugadores colocan, por turnos, sus fichas en cualquier hexágono del tablero que aún no esté ocupado. El objeto del juego es completar una cadena continua de fichas del mismo color que vaya de un borde del tablero al opuesto, no importa por dónde, y ganará el primer jugador que lo consiga. Las fichas negras juegan, por ejemplo, de A a A, y las blancas de B a B. Cada jugador, a la vez que intenta completar su propia cadena, tratará de bloquear al contrincante. Los dibujos a) y b) muestran el final de dos partidas de «hex». Observa que los cuatro hexágonos de las esquinas, rayados, pueden considerarse como pertenecientes, indistintamente, a los dos jugadores. Es un juego más complicado de lo que parece. ¡Desafía a tus amIgos a jugar, diviértete y constrúyete un tablero más grande, «profesional»!

a)

b) 13

23

El cuadrado, la cruz y el círculo

En una plancha metálica hay tres agujeros recortados como los de la figura. ¿Cómo podrías tallar un bloque que pudiese pasar a través de cada uno de estos agujeros, pero, en cada caso, llenando completamente el hueco en cuestión?

24

La banda de Mobius

Toma una tira de papel ABCD de unos 30 cm de largo y de unos 2 cm de ancho, y pega sus extremos como muestra a). No debes girar sobre sí misma la cinta de papel, es decir, A debe coincidir con D, y B con C. Esta banda cerrada tiene dos A

A

o

D

B

e

8

al caras, la interior y la exterior; colorea, por ejemplo, la cara interior. ¿Cuántos bordes tiene esta banda? ¿Qué le ocurrirá a dicha banda si haces un corte, a lo largo, como indica b)?

corte

bl

Las respuestas no tienen ningún misterio, pero lo que viene a continuación seguro que te va a sorprender, si no lo has visto antes. 14

e)

Coge otra tira de papel ABCD igual a la anterior. Gira uno de los extremos, por ejemplo el CD, 1800 antes de pegarlo al AB, y forma una banda en la que A coincida con C, y B con D, como se ve en d). A e

d)

Este nuevo modelo de banda se conoce con el nombre de banda de Mübius, y tiene propiedades verdaderamente fascinantes. Por ejemplo, intenta colorear el «interiOr» de la banda y descubrirás que ¡sólo tiene una cara! Los ingenieros suelen utilizarlo en las correas de transmisión de las máquinas; al hacer de la correa una banda de Mübius, el ingeniero se asegura de que el desgaste por el uso sea igual por las dos «caras». ¿Cuántos bordes tiene una banda de Mübius? ¡Otra sorpresa más! Corta la banda a lo largo, por el medio, hasta volver al punto de partida. ¿Cuál ha sido el resultado? Construye ahora otra banda de Mübius y córtala de nuevo a lo largo, pero esta vez haciendo el corte a un tercio

e)

de su anchura (véase e). Después de ir cortando a Jo largo de dos vueltas, te encontrarás con que has vuelto al punto de partida. ¿Cuál ha sido esta vez el resultado? ¿Te lo imaginabas antes de hacerlo? Experimenta con bandas que tengan más giros sobre sí mismas, e intenta sacar algún tipo de conclusión general. 15

25

Una jardinera ahorrativa

Una jardinera quería sacar el mayor partido posible de las plantas que tenía, y un buen día descubrió, mientras plantaba un macizo de rosas, que había colocado siete plantones de rosas de manera que formaban seis líneas con tres rosales en cada una de ellas. ¿Cómo lo consiguió? Muy contenta con este resultado, la jardinera trató de encontrar otras distribuciones interesantes, y descubrió la manera de plantar diez rosales de modo que formaran cinco líneas y que hubiera cuatro rosales en cada línea. Adivina cómo lo logró e investiga por tu cuenta otras ordenaciones «económicas».

26

¿Cuántos triángulos puedes encontrar?

Esta figura contiene muchos triángulos, de los que algunos se solapan entre sí. Cópiala en un papel, y trata de inventarte una manera sistemática de contar todos los triángulos, sin olvidar ninguno.

27

Dos lanchas motoras poco amistosas

Dos lanchas motoras controladas por radio se hallan en los puntos A y B de un gran lago, a 200 m de distancia una de otra. Las dos están controladas por un mismo radiotransmisor y pueden moverse a la misma velocidad. Sin embargo, la lancha que parte de B tiene estropeado el mecanismo del timón y se mueve en una dirección que forma un ángulo de 90° con la dirección de la lancha que parte de A. ¿Cómo conseguirá el controlador gobernar las dos lanchas para que lleguen a encontrarse?

16

28

Los caballos guardianes

Muestra cómo se podrían colocar doce caballos sobre un tablero de ajedrez, de manera que cada cuadro esté ocupado o amenazado por un caballo.

29

Invirtiendo el orden de los trenes

La figura nos muestra el plano de la red del metro de una gran ciudad. Cada círculo pequeño representa una estación y cada número un tren. En la estación inferior no hay ningún tren.

Demuestra que se pueden hacer maniobras con los trenes, moviendo un tren cada vez a la estación que esté vacía, en ese momento, hasta colocarlos en orden inverso, es decir, pasar ella la posición del 7, el 2 a la del 6, y así sucesivamente. El primer movimiento habrá que hacerlo con uno de los trenes 1,2,6 o 7. La inversión del orden de los trenes puede hacerse en 15 movimientos. 17

30

Cuatro piezas

iguales

Muestra cómo puede dividirse esta figura en cuatro piezas idénticas.

31

Complétese el cuadrado

Dibuja cuidadosamente sobre papel cuadriculado las cinco piezas de la figura, recórtalas y trata de formar con ellas un cuadrado. Es posible hacerlo, ¡no te desesperes!

32

Monedas que dan vueltas

Dos monedas idénticas A y B parten de la posición que indica la figura. La moneda B permanece en reposo, mientras que la A rueda alrededor de B, sin deslizar, hasta que vuelve a su posición inicial. ¿Cuántas vueltas habrá dado la moneda A? 18

33

Una red que va creciendo

Éste es un interesante juego para dos jugadores que a veces recibe el nombre de «los retoños». Todo lo que se necesita para jugar es una hoja de papel y un lápiz. Señala sobre el papel tres puntos cualesquiera, a).

·C

·C

a)

b)

C

O

nuevo nudo

e)

Estos puntos se convertirán en nudos de una red, a medida que avanza el juego. El primer jugador debe unir con un arco dos de estos puntos y marcar otro punto en medio de dicho arco, que será un nuevo nudo de la red, b). Puede también dibujar un arco que empiece y termine en el mismo nudo, pero debe añadir un nudo nuevo en medio, e). El otro jugador añade, a su vez, un nuevo arco a la red y un nuevo nudo en medio del arco. Puede utilizar como extremo de su arco cualquier nudo, salvo que a él vayan a parar ya tres arcos; en cuanto a un nudo lleguen tres arcos, queda excluido de cualquier unión futura, y, para indicarlo, se le rodea de un circulito. Los dibujos de la figura d) muestran algunos de los posibles «movimientos» del segundo jugador, si el primero ha unido A con B. --e---B

B

A

A

C

._..--_B A

C

·C

O d) 19

El objetivo del juego es dejar al adversario sin posibilidad de movimiento. Gana el último jugador que consiga dibujar un arco. Una última regla: los arcos no pueden cruzarse. Vale la pena no olvidar esta última regla, ya que a veces puede haber nudos que queden aislados de los otros y no sean ya utilizables, a pesar de que de ellos no partan tres ramas o arcos. La figura e) muestra cómo puede quedar la red al final de una partida, y en ella se ve que, si bien quedan dos nudos, X e y, en los que no terminan tres ramas, no se pueden unir. Juega a este juego con tus amigos e intenta resolver las siguientes cuestiones: 1) Trata de explicar por qué este juego debe terminar

siempre después de un número limitado de

movimientos (¿cuántos?).

2) Haz la prueba de comenzar con cuatro o cinco puntos. 3) Investiga las consecuencias que tendría el admitir

nudos de cuatro en la red (es decir, nudos en los que

terminen cuatro arcos) en vez de nudos de tres.

34

e)

Circuitos unicursales y grafos eulerianos

El dibujo a) representa un mapa de una red de carreteras. Un ingeniero de caminos planea recorrer cada carretera una sola vez partiendo de A y regresando otra vez a A. ¿Cómo lo podrá hacer? La red b) no puede dibujarse con un lápiz sin levantarlo del papel y comenzar por otro punto, salvo que recorramos algunos de los trazos dos veces. Calcula el mínimo número de veces que es necesario levantar el lápiz del papel para dibujar b). 8

e

A

b) E

a)

20

o

38

Dados de letras

Un juego de palabras utiliza dados con una letra en cada cara. En la figura se ven tres aspectos distintos de uno de estos dados.

¿Qué letra es la que figura en la cara opuesta a la que ocupa la m

39

La defensa de la reina

¿Cuál es el mínimo número de reinas que se necesita colocar sobre un tablero de ajedrez n X n, de manera que ocupen o controlen todos los cuadros del tablero?

En la figura puede verse una solución para el tablero 4 X 4 (dos reinas), y otra para el tablero 5 X 5 (tres reinas). Busca otras soluciones para estos tableros 4 x 4 y 5 x 5, y después trata de hallar una solución para el tablero 6 X 6 con sólo tres reinas. ¿Cuántas reinas se necesitarán para n = 7 Y n=8? En 1862 Jaenisch propuso una variante de este problema: no sólo debían estar ocupados o controlados todos los cuadros del tablero, sino que, además, ninguna reina debía ocupar un cuadro que estuviera atacado por otra. Otro problema parecido: halla el mínimo número de reinas necesario para ocupar o controlar todos los cuadros del tablero, con la restricción adicional de que cada reina esté protegida por otra. Problemas análogos se pueden proponer para otras piezas del ajedrez. 22

43

Caminando en zigzag

Para este juego se necesita un cuadrado de 7 X 7 o 9 X 9 puntos. El juego comienza en el centro S. El primer jugador dibuja una flecha que va de S a uno de los puntos situados inmediatamente encima, debajo, a su derecha o a su izquierda. El segundo jugador prolonga esta flecha un paso más en una de las cuatro direcciones, formando un camino continuo. El objeto del juego es construir un camino desde S hasta la casa de cada jugador (A para el primero y B para el segundo), sin pasar dos veces por el mismo punto. Ganará la partida el primer jugador que consiga alcanzar su casa.

44

A

G

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Un paseo a caballo

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I

e

Uno de los problemas más antiguos de la matemática recreativa es el que consiste en averiguar qué camino debe seguir un caballo de ajedrez para recorrer una y sólo una vez todos los cuadros del tablero. Durante los últimos 200 años han sido muchos los matemáticos famosos que se han ocupado de este problema, entre ellos De Moivre, Euler y Vandermonde; pero siempre queda algo nuevo por descubrir. Una solución para el tablero 8 X 8, debida a De Moivre, aparece en a). En b) puede verse otra manera de representarla. Cada una de ellas tiene sus ventajas y debes decidir cuál es la que te parece mejor para tus investigaciones. (En cualquier caso, lo que sí vas a necesitar es una buena cantidad de papel cuadriculado, si de verdad quieres avanzar en la resolución del problema, elijas el método que elijas). El segundo método no aparece terminado en la figura, pero ya se puede ver claramente la estrategia seguida por De Moivre, que se reduce a moverse alrededor del tablero en una 24

•

B

a)

b)

dirección determinada, manteniéndose siempre tan cerca como se pueda del borde. Copia la figura b) en un papel cuadriculado y termina de dibujar la solución de De Moivre antes de empezar a buscar otra original. En este tipo de problemas suele ayudar comenzar con un tablero más pequeño. En un tablero 3 X 3 se capta de inmediato que el problema no tiene solución. Una de dos, o el caballo parte de uno de los cuadros del borde del tablero, en cuyo caso puede recorrer fácilmente todos los cuadros exteriores pero no el

Inicio

tliJíi~

Final

e)

central, o bien parte de este cuadro central, en cuyo caso no puede hacer ni un solo movimiento, y se frustra el paseo e). ¿Es posible en un tablero 4 X 4? La figura d) nos muestra un camino equivocado que acaba en la casilla 4 ante la imposibilidad de seguir haciendo movimientos. Si no consigues recorrer los 16 cuadros, ¿cuál será el número máximo que puedas visitar sin pasar dos veces por el mismo? Investiga los recorridos sobre tableros 5 X 5, 6 X 6 Y 7 X 7.

d) 25

La figura e) muestra un recorrido del caballo en un tablero 8 X 4. ¿Se puede encontrar un recorrido completo en un tablero rectangular más pequeño?

el

Resulta interesante investigar la posibilidad de recorrer a caballo tableros de formas más raras. El de la figura 1) se puede, ja pesar de que el propio autor llegó a convencerse de que no era posible, cuando lo estudió por primera vez! Sin embargo, y volviendo al clásico tablero cuadrado, los matemáticos que lo estudiaron intentaron hallar soluciones que tuvieran propiedades especiales. Una era encontrar un recorrido que termine justo a un movimiento de caballo del cuadro en que comenzó. En la figura g) puede verse una solución de este tipo (Euler). Se suele decir que tal solución constituye un camino «con vuelta a casa». La solución g) tiene otra propiedad extremadamente sorprendente: se ha recorrido toda la mitad inferior del tablero antes de comenzar con la mitad superior.

g) Solución de Euler de los semitableros «con vuelta a casa»

26

f)

h) Cuadrado mágico de Euler

Trata de construir un camino «con vuelta a casa» sobre un tablero 6 X 6. Hay una elegante demostración de que en cualquier tablero con un número impar de cuadros es completamente imposible encontrar un camino «con vuelta a casa». Trata de averiguar por qué. Sin embargo, son posibles sobre una gran variedad de tableros. Inténtalo sobre el de la figura i). Otra solución sumamente ingeniosa, también de Euler, con la que venció a muchos otros competidores, fue encontrar un recorrido del caballo tal que los números que van correspondiendo a los cuadros formen un cuadrado mágico 8 X 8, es decir, que las sumas de los números de cada fila y de cada columna (no de las diagonales) den siempre el mismo resultado, en este caso 260. Lo ofrecemos en h). Comprueba su carácter «mágico» e investiga la simetría del camino seguido. Hay un interesante juego de estrategia para dos jugadores: partiendo de un cuadro cualquiera de un tablero 5 X 5, cada jugador, por tumos, hace un movimiento de caballo a partir de la posición en que lo dejó el otro jugador. Los movimientos no deben llevar nunca a un cuadro ya recorrido, y ganará el jugador que haya podido mover por última vez.

·45 Aserrando un cubo Nos han pedido aserrar

un cubo de madera de 3 cm

de arista para obtener 27

cubitos de 1 cm. ¿Será

posible hacerlo con menos

de seis cortes?

I

---L

I I ---i-_.... I I ---t--_.... I

,

46 Un agujero imposible Por difícil que parezca, es posible hacer un agujero atravesando un cubo sólido de manera que pueda pasar, de un extremo al otro, un segundo cubo mayor que el

pnmero. ¿Cómo harías el agujero?

r_.... I

/

i)

47

Dos gemelos idénticos

Divide cada una de las figuras X e Yen dos partes iguales. Invéntate otros casos análogos.

48

El teorema de los cuatro colores

¿Cuántos colores se necesitan para colorear un mapa, de manera que dos países, que tengan frontera común, aparezcan pintados de distinto color? Dos países que tengan sólo un punto de frontera común sí pueden tener el mismo color. En el mapa de la figura se han utilizado cinco colores, numerados y que parecen indispensables, pero uno se podría arreglar con sólo cuatro. ¿De qué manera? Desde que se hacen mapas, los cartógrafos han creído que se podrían colorear con sólo cuatro colores. Los matemáticos han estado intentando resolver teóricamente este problema desde que en 1840 Mobius lo presentó en una de sus lecciones. Sin embargo, el problema resistió todos los esfuerzos de los matemáticos, hasta que en 1978 dos americanos utilizaron un potente ordenador para analizar la situación. Pero muchos tienen aún la secreta sospecha (¿o esperanza?) de que alguien aparezca un buen día con un mapa bajo el brazo que no se pueda colorear sólo con cuatro colores... ¿Podrías encontrar uno?

49

28

50

La cuadratura. del triángulo equilátero B

Construye de cartulina o madera un triángulo equilátero ABCy divídelo en cuatro partes tal como indica la figura, siendo

AP=BP, CQ=BQ,AR=iAC, CS=i CA y PMy SNperpendiculares a RQ. Una buena longitud para el lado A C puede ser 8 o 10 cm. Recorta las cuatro piezas y reordénalas para formar con ellas un cuadrado.

51

A

R

s

e

La cuadratura de la tetera

En esta figura, el rayado representa la sección transversal de una tetera, que está limitada por arcos de cuatro circunferencias iguales. Muestra cómo dos rectas podrían dividir dicha sección en tres trozos, de modo que, con ellos, se pueda formar un cuadrado.

52

Un ama de casa perpleja

La señora Paca solía coger el autobús en una parada de la calle Mayor para ir al mercado. No se preocupaba por los horarios, porque le servía igual un autobús de la línea P que uno de la línea Q. Sabía que de cada uno pasaban seis autobuses por hora y nunca había tenido que esperar mucho. Sin embargo, le sorprendía que muy pocas veces cogía un Q. Decidió, pues, llevar la cuenta del tipo de autobús en que montaba y descubrió que viajaba en un autobús Q aproximadamente sólo una vez de cada diez. ¡La señora Paca estaba completamente perpleja! ¿Podrías ayudarla a entender lo que pasaba? 29

53

Jugando a invertir el triángulo

Se tiene un triángulo formado por diez monedas iguales a). ¿Cuál es el mínimo número de monedas que hay que cambiar de sitio para que el triángulo quede en posición invertida, como en b)?

a)

54

b)

El billar americano A

B

e a)

En el billar, cuando se golpea con el taco una bola P hacia una banda lateral de la mesa, la bola rebota en ella lo mismo que si la banda fuera un espejo. En a) puede verse el camino que seguirá la bola P lanzada contra la banda AB. Suponiendo que no se encuentra con ninguna otra bola en su camino, la bola P se «reflejará» en la banda BC, y después en la otra banda CD, y así sucesivamente, hasta que, por fin, se detenga. En el billar americano, la bola P ha de chocar con una bola determinada, que el contrincante ha escondido intencionadamente entre otras. Si se toca cualquier otra bola, se pierden puntos. En este juego, la habilidad consiste en saber cómo utilizar las bandas para, haciendo rebotar en ellas la bola lanzada por el taco, conseguir que llegue a chocar con la bola deseada. 30

B

A

P

Imagen de Q en Be

--- --- -----o

o o

a

a'

e

D

b)

La figura b) representa una situación en la que la bola «blanco» Q está escondida entre otras tres bolas. En este caso, se puede hacer rebotar la bola P en la banda Be. Para elegir correctamente el punto de la banda BC al que debe dirigirse la bola P, imagínate el punto Q, que sería la imagen reflejada del Q si BCfuera un espejo, y golpea P en la dirección PQ. Entonces P se «reflejará» en el punto E y se dirigirá hacia Q.. Se puede fácilmente generalizar este mismo método para salir de situaciones más difíciles (¡al menos en teoría!), recurriendo a hacer rebotar la bola en dos o más bandas. La figura e) nos muestra cómo puede llegar la bola P al blanco T, después de rebotar, primero en la banda AB, y después en la Be. ~o ~

~------

T"

~~B

A

p

o

T

e

D e)

Puesto que P, al rebotar en BC ha de dirigirse hacia T, debe dirigirse a Be en la dirección de T', que es la imagen especular de T en Be. Para ello tiene que dirigirse antes a la banda AB en la dirección de T", que es la imagen especular de T' respecto a AB.

31

Averigua en qué dirección habría que golpeClr la bola Pen cada una de las tres situaciones d), e), 1) para que choque con la bola T

o T

O

p

•o

•

o

O 00 O

o

O O

00 O

•

T •

•

O

• P

T

P

d)

SS

e)

Buscando cuadrados (para dos jugadores)

Otra versión del juego del «tres en raya», que puede jugarse sobre una hoja de papel cuadriculado. Dibuja un cuadrado 6 X 6, o más grande. )( X Los dos jugadores irán /0"" poniendo en las cuadrículas, c( círculos y cruces .", alternativamente, y ganará la partida el primer jugador que O X consiga que cuatro de sus señales ocupen los vértices X de un cuadrado. En la partida representada, ha ganado el jugador que ponía círculos. ¿De cuántas maneras se puede formar un cuadrado en un tablero 6 X 6? Una variante del juego consiste en seguir jugando hasta que todo el tablero esté marcado, y después contar qué jugador ha hecho más cuadrados. Otra alternativa es jugar a no formar cuadrados. Pierde el primer jugador que se vea forzado a construir un cuadrado.

[P

"'cr

32

f)

56

La polilla ham.brienta

Una polilla hambrienta ataca una enciclopedia de cinco volúmenes, La polilla empieza a comer y a abrirse camino a través de los libros, desde la cubierta anterior del volumen I hasta la cubierta posterior del volumen V. Si cada tomo tiene 3 cm de grueso, ¿qué distancia ha recorrido la polilla en su alimenticio destrozo?

57

El desvío más barato

La construcción de carreteras resulta muy cara, y por este motivo los ingenieros de caminos tratan de hacerlas lo más cortas que sea posible. Una nueva autopista en construcción va a pasar en línea recta cerca de los pueblos de Villafranca y Villavieja, tal como indica la figura. Los ingenieros se proponen hacer un desvío en un punto D de la autopista para unirla a Villafranca y a Villavieja por dos carreteras rectas DF y D V ¿Dónde deberá estar situado el desvío D para que sea mínima la longitud total de las dos carreteras DFy D V? Autopista

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8 x 8

Ninguna reina amenazada

Todas las reinas protegidas

Ver es creer

Se trata de una paradoja muy antigua. El truco está en que la aparente diagonal del rectángulo 13 X 5 es, en realidad, un paralelogramo muy estrecho de área 1. 88

¡.

8 x 8

Para más detalles sobre rompecabezas de este tipo véase el libro Mathematical Recreations and Essays de W. W. Rouse Sall (Macmillan).

40

••

Área igual a 1

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...........

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41

La inspección de carreteras

Los vértices A, e, E, G, He l son impares, y por tanto una de las

carreteras que llegan a ellos tiene que ser recorrida dos veces. Para que la

distancia total sea mínima, pueden elegirse, como carreteras a recorrer dos

veces, las AG, HC e lE. Una posible ruta es, pues, la siguiente:

A--+ B--+ C--+ D--+ E--+ F--+A--+ G--+ F--+ f--+ E--+ f--+ D--+ H- C- H- B - G- H- 1- G--+ A

con una distancia total de (6 x 13) + (9 x 12) + (6 x 5) = 216 km

42

Las fichas del dominó y el tablero de ajedrez

¡El problema propuesto es imposible! Imagínate cada ficha del dominó pintada, la mitad blanca y la otra mitad negra, según los cuadros del tablero que ocupe. Al quitar dos cuadros opuestos el tablero pierde dos del mismo color y quedan, por ejemplo, 30 negros y 32 blancos. No hay manera de colocar las fichas del dominó cubriendo el tablero, puesto que cada flecha cubre inevitablemente un cuadro blanco y otro negro.

44

Un paseo a caballo

En un tablero 4 x 4 es imposible un paseo a caballo, pero sí es posible encontrar un camino que recorra 15 de los 16 cuadrados. Los paseos a caballo sobre tableros 5 x 5,6 x 6 y 7 x 7 siempre son posibles, y la figura muestra una solución para cada caso.

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No hay solución

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Una solución 5 x 5

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Una solución 7 x 7

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Una solución 6 x 6

89

Después de practicar un poco, descubrirás, lo mismo que el autor y mucha gente antes que él, que este juego es un entretenimiento fascinante al que siempre se puede volver. Tableros rectangulares en los que se pueden hacer paseos a caballo SOI1, por ejemplo, los 5 X 4 Y4 X 3. ..............

20

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7 J6;

3 :JO: 5 ...............

:;12.: Una solución 5 x 4

Una solución 4 x 3

Para los tableros en forma de cruz la figura siguiente muestra dos soluciones; la segunda es un camino «con vuelta a casa».

La solución para el tablero 6 X 6 también es un camino «con vuelta a casa», pues desde el último cuadro, el 36, se puede volver all con un único salto de caballo. La razón de que no sea posible un camino «con vuelta a casa» sobre un tablero con un número impar de cuadros, radica en el hecho de que en cada movimiento el caballo pasa de un cuadro a otro de distinto color. Supongamos que el recorrido comienza en un cuadro negro; el número impar de cuadros del tablero se habrá recorrido en un número par de saltos de caballo, al cabo de los cuales ocupará de nuevo un cuadro negro, y por ser este cuadro del mismo color que el de partida es imposible pasar de uno al otro mediante un único salto del caballo. Una buena referencia sobre el tema es el libro Mathematical Recreation and Essaysde W. W. Rouse Ball (Macmillan). 90

45

Aserrando un cubo

Independientemente de cómo trates de cortar el cubo grande, no hay manera de evitar que el cubo central de 1 cm tenga sus seis caras, y que todas hayan de ser cortadas por cortes distintos. Así pues, es imposible cortar los 27 cubitos pequeños con menos de seis cortes.

46

Un agujero imposible

Para demostrar que en un cubo es posible hacer un agujero lo suficientemente grande como para que a través de él pueda pasar otro cubo mayor, sólo hay que demostrar que el primer cubo tiene una sección mayor que su arista. Considérese el rectángulo ABCD, cuyos vértices A, B, Cy D equidistan del vértice del cubo más próximo. AB es mayor que la arista PQ; BC es casi igual a la diagonal QR, luego también es mayor que la arista PQ. Es posible, pues, imaginarse un agujero de sección cuadrada atravesando el cubo, de manera que el lado de dicha sección sea mayor que la arista del cubo.

47

Dos gemelos idénticos

¡Qué fácil es, cuando ya se sabe hacer!

48

El teorema de los cuatro colores

La experiencia enseña que a la mayoría de la gente le gusta intentar encontrar un mapa que no se pueda colorear con menos de cinco colores, ya menudo cree que lo ha conseguido, hasta que alguien le dice cómo volver a colorearlo con sólo cuatro colores. La figura muestra cómo se puede pintar el mapa dado con cuatro colores. Es curioso que sobre la superficie de un toro (que tiene la forma de salvavidas) es posible dibujar un mapa que no puede ser coloreado con menos de siete colores. Véase, por ejemplo, ¿ Qué es la Matemática? de R. Courant y H. Rob bins (Aguilar), y Riddles in Mathematicsde E. P. Northrop (Pelican).

91

50

La cuadratura del triángulo equilátero

U na manera clara de ver cómo se pueden reordenar las piezas para formar el cuadrado, es imaginarlas articuladas en P, Q y R, e ir girándolas hasta cerrar completamente el cuadrado, como indica la figura. Y(l: B N

Q

M

p

S

A N

R

.~_---r

M

S

92

e

S

51

La cuadratura de la tetera

La clave para resolver este rompecabezas está en la peculiar posición de las circunferencias que forman \a sección de la tetera.

52

Un ama de casa perpleja

La aparente paradoja quedó completamente aclarada cuando la señora Paca vio un horario en el que figuraban las horas a las que pasaban los autobuses Py Q por su parada:

Línea Q 10,10

10,20

10,30

10,40

10,50

11,00

Línea P 10,09 10,19 10,29 10,39 10,49 10,59

Desde que pasa un autobús Ptranscurre sólo un minuto hasta que aparece un Q, y nueve hasta que pasa el siguiente P. Así pues, por cada 1 minutos pueden pasar nueve esperando un Py sólo uno esperando un Q. Tendríamos, pues, que una persona que utilice frecuentemente esta parada vería llegar primero el autobus Pnueve veces de cada diez.

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53

Jugando a invertir el triángulo I

Hay que mover las tres monedas de los vértices del triángulo tal como indica la figura.

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I

-

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I

(-­

I

\

I I /

93

54

El billar americano

Los buenos jugadores le dan a la bola un movimiento de rotación adicional que puede alterar sensiblemente el rebote al chocar con la banda. Sin embargo, la manera simplificada que hemos explicado da una idea de la dirección correcta en la que hay que golpear la bola para sortear el escondite.

~O O

f)

d)

55

Buscando cuadrados (para dos jugadores)

Hay que tener muy en cuenta no sólo los cuadrados de lados paralelos a los bordes del tablero, sino también los inclinados. V éanse dos ejemplos de estos últimos en la figura.

x

O X

O

o

X

,

X

O

:94

56 La polilla hambrienta

¡La respuesta correcta no es

15 cm! La figura representa los

cinco volúmenes vistos desde

arriba, y las líneas punteadas el

camino seguido por la polilla, y

sólo tiene 9 cm de longitud.

f-­

'-­ I

57 El desvío más barato

II

-- 1-- ­ III

IV

V

,

" ,

Imagínate que la carretera I ' ',,_ O Q

i

fuese un espejo y dibuja la -¡..Li-------"..,~"_----- .. ·----------,-­ I imagen reflejada F de F; une ~ , I esta imagen F con V mediante I I una recta, y el punto donde I I esta recta corte a la carretera (!) I será la posición de D. F

, I "- , I , Para convencerse basta observar que "- , I FD +DV =FD +DV =F V L

Si Q fuera cualquier otro punto de la carretera, entonces FQ

'® V

+ QV = F Q + QV > F V

porque F Q V es un triángulo, y la suma de dos de sus lados es siempre mayor que el tercero.

58 Piezas que llenan todo un espacio El tetraedro grande no se puede formar de los tetraedros pequeños. Si se quita un tetraedro pequeño de cada vértice del tetraedro grande, lo que queda de él es un octaedro de sección cuadrada, que no puede construirse con los tetraedros pequeños.

59 Curvas formadas al cortarse circunferencias Con ayuda del compás, este ejercicio te resultará muy entretenido. Comienza dibujando una recta en mitad de la hoja de papel y señala intervalos de 0,5 cm para que los radios de las circunferencias sean los correctos. Algunos consejos útiles para el manejo del compás: 1) asegúrate de que las patas del compás queden bien bloqueadas y no puedan abrirse o cerrarse solas; 2) asegúrate también de que las dos patas son igual de largas, cerrándolo y graduando la longitud de la mina utilizada; 3) al dibujar, no dejes de ejercer presión sobre la punta del compás clavada en el papel en el centro de la circunferencia, y 4) no trates de mover el compás, empujando la punta trazadora. 95

Probablemente la familia de curvas más sencilla, además de las elipses, sea la de las hipérbolas.

~

Un buen libro en el que se pueden ver muchos otros dibujos de curvas es A Book 01 Curves de E. H. Lockwood (Cambridge University Press).

60

¡El ultimátum de una amante!

61

Sólo cuatro rectas Intenta después desconectar los 16 puntos de un cuadrado 4 por 4, utilizando seis rectas y sin levantar el lápiz del papel.

96

62

¿A qué velocidad eres capaz de pedalear?

Independientemente de la velocidad que pueda desarrollar el ciclista bajando de la ciudad B a la e, no puede conseguir una velocidad media de 40 km/h, puesto que debería recorrer los diez km de A a e en un cuarto de hora, y ya ha consumido ese cuarto de hora subiendo de A a B.

63

La pista de bobsleighs

Contrariamente a lo que, a primera vista, podría parecer el camino buscado no es la línea recta de S a V. El camino de descenso más rápido es un arco de una curva llamada cicloide y, cosa extraña, puede incluso subir, en vez de bajar, en parte del recorrido. Una cicloide es la trayectoria que describe un punto del borde de una rueda al desplazarse rodando, sin deslizar, sobre una recta. Para dibujar una cicloide coloca una regla sobre una hoja de papel blanco, y haz rodar sobre el borde de la regla (sin deslizar) la tapa circular de una lata o un plato pequeño, marcando sobre una hoja de papel el camino que va recorriendo un punto concreto del borde. Puedes hacer una buena demostración de que éste es el camino más rápido, construyendo dos pequeñas rampas de madera o plástico, una de ellas rectilínea y la otra en forma de arco de cicloide invertida, las dos con los mismos extremos, y dejando caer por ellas dos bolas simultáneamente.

s

~v ~

Sobre este tema pueden verse los libros Machines, Mechanisms and Mathematics de A. B. Bolt y J. E. Hiscocks (Chatto and Windus), y Riddles in Mathematics, de E. P. N orthrop (Pelican). 97

64

Cuestión de vocales

Para construirte tu propio rompecabezas, lo más fácil es partir del cuadrado vacío, dividirlo en trozos de cinco cuadros cada uno, y por último colocar las letras u otros motivos análogos en cada trozo.

65

Juegos con fichas para un solo jugador

Estos juegos son muy antiguos, pero no han sido demasiado apreciados, porque parecen engañosamente sencillos. El mínimo número de movimientos en el «salto de la rana)) es quince. Numera los agujeros de 1 a 7, de izquierda a derecha; entonces, una solución en 15 movimientos es la siguiente, donde el número corresponde al hueco vacío en cada etapa: 356421357642354 La estrategia consiste en maximizar el número de saltos, y en esta solución hay nueve. Con x fichas negras e y rojas para intercambiarlas de extremo, puede lograrse la solución en xy + x + y movimientos, siendo xyel número de saltos. Los solitarios anteriores y muchos otros vienen analizados en el libro de W. W. Rouse Ball, Mathematical Recreations and Essays (Macmillan); puede consultarse también Winning Ways, vol. 2, de E. R. Berlekamp, J. H. Conway y R. K. Guy (Academic Press), y Further Mathematical diversions de Martin Gardner (Pelican).

66

Dos piezas iguales

Q

98

E

A

1

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1

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E

U

E

o

o

1

A

o

A

1

U

E

A

1

A

o

U

E

U

67

Cómo pintar un cubo

El mínimo número de colores es tres, ya que las tres caras que concurren en un vértice son, dos a dos, adyacentes y deben ir pintadas de distintos colores, pero las tres parejas de caras opuestas pueden ir del mismo color cada una. Si disponemos de cuatro colores A, B, Cy D, tenemos cuatro maneras distintas de elegir tres, ABC, ABD, ACD y BCD, y una sola manera de colorear el cubo con esos tres colores a la vez. No es fácil distinguir las diferentes posibilidades sin utilizar un modelo (varios terrones de azúcar pueden servir). Advierte que no puedes pintar del mismo color tres caras cualesquiera porque habría dos contiguas iguales; como hay seis caras y cuatro colores, se han de usar dos colores en dos caras cada uno, y los otros dos en una cada uno. Esto nos lleva a las seis soluciones representadas:

8

e

e

A

e

8

e

D

DAD

e

DAD

8

8

e

A

A

A

8 A

e

D

D

8 A

D

e

8

e

8

8

D

A

En cada caso, los dos colores que se repiten han de ir en caras opuestas. Estas seis soluciones, junto con las cuatro anteriores, que utilizaban sólo tres colores cada una, nos dan un total de diez maneras distintas de colorear el cubo.

99

68

Los problemas de la vía única a4a3aZa¡A

/

Bb¡b zb3b4

a4a3 a2a l A

'b'Q"

b3b4

~'

/

Bb¡b 2

;y

~"

Bb¡ b2a4a3a2a¡

69

a4a3a2a¡Ab3b4

Bb¡b2

'Q"

~

a4a3a2a¡A

Eb, b2b3b4

/

a4a3aZa¡A

Dos a la vez

Coloca el 7 sobre ellO, el 5 sobre el 2, el 3 sobre el 8, el 1 sobre el 4 y el 9 sobre el 6.

70

Cara y cruz

Posición inicial Primer movimiento Segundo movimiento Tercer movimiento Cuarto movimiento

71

HTHTHTHT THHTHTH T THHT HHTT THHHHTT T TTTTHHHH

La cuadratura de la cruz griega

2

72

El reparto de gasolina He aquí una solución: Depósito PIHONMDEFGSRQCBLKJA Depósito

100

73

Un reparto justo

Llénese el recipiente 5 del 8; llénese el 3 del 5, dejando dos en 5; vacíese 3 en 8; traspásense los dos de 5 a 3 y lIénese de nuevo 5 de 8; viértase parte de 5 en 3, con lo que quedan cuatro en 5; y, por último, vacíese 3 en 8, con Jo que quedarán también cuatro cántaros en 8.

74

Magia con monedas

Recorriendo el cuadrado en el sentido de las agujas del reloj, toma la moneda del centro de un lado y colócala encima de la que ocupa la esquina siguiente. El resultado obtenido es, pues, un cuadrado con dos monedas apiladas en cada vértice, con cuatro monedas en cada lado. ¡Qué fácil resulta cuando se sabe!

75

La rana obstinada

La respuesta correcta es 28 días.

76

Cómo ordenar una estantería

El número de intercambios que habrá que hacer dependerá de lo desordenados que estén los libros, y una de las maneras de analizarlo es ésta: Primero escnbase el orden correcto en que deberían estar los libros, y debajo el orden en que están:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 657 1 893 2 4

Orden correcto Orden dado

Entonces se ve claramente que algunos libros están intercambiados entre sí, como el 3 yel 7, de manera que un simple cambio entre los dos, representado por (37) los pondrá en su lugar. En los demás casos no es tan sencillo. Pero vemos que: el el el yel

6 está en la posición 1 1 está en la posición 4 4 está en la posición 9 9 está en la posición 6

de manera que sólo es necesario intercambiarlos entre sí. Podemos representar sus posiciones relativas por (6149), y colocarlos en sus lugares correctos con un mínimo de tres intercambios, el (49), seguido del (14) y del (61).

101

Las posiciones relativas de los otros tres libros se representan por (528), dado que el 5 está en la posición 2 el 2 está en la posición 8 y el 8 está en la posición 5 Así pues, los podemos colocar en orden por medio del intercambio (28) seguido del (52). En resumen, la enciclopedia de nuestro caso puede ordenarse con los seis intercambios siguientes: (37) (49) (14) (61) (28) (52) La solución no es única, pero lo que sí es cierto es que seis es el mínimo número de movimientos necesarios a partir de la posición dada. Aplicando el mismo método al segundo caso, tenemos Orden correcto Orden dado

1 234 5 6 789 4 5 768 1 923

y ahora podemos describir el desorden que nos dan de la

forma (416) (528) (739) Ypuede ordenarse por medio de una sucesión de los intercambios (16) (41) (28) (52) (39) (73). Investiga cuál será el mínimo número de intercambios necesarios para poner en orden la sucesión 235941867.

77

Partiendo un círculo

Parece que la solución va a ser 32, pero no es cierto; el resultado correcto es 31. Éste es un buen ejemplo de que no es fácil predecir el término siguiente en una sucesión dada de números, si no se dispone de pruebas suficientes. Para quienes saben algo de combinatoria, el número de partes correspondiente a n puntos cualesquiera viene dado por

Cl+ C2'+ 1 102

78

Números casi cuadrados

Éste es un buen ejercicio para hacerlo con ayuda de una calculadora de bolsillo. Forma una tabla con los datos

y tendrás una solución cuando halles un número en la columna n 2 - 1 que aparezca también en la columna ~(n2 - 1). La solución a nuestra pregunta es 840, ya que 840 + 1 = 841 = 29 2 Y(840 X 2) + 1 = 1681 = 4 I2.

79

Un jardinero aficionado a la matemática

Lo mismo que en el problema anterior, necesitarás una tabla de cuadrados. Se trata de hallar soluciones enteras de la ecuación

La primera solución es

Otras posibles soluciones son 8 2 + 11 2 =4 2 + 13 2 = 185

Y15 2 + 20 2 = 7 2 + 24 2 = 625

80

Triángulos mágicos Resuélvelo por el clásico método de ensayo y error.

Con 1,2,3,4,5 y 6las cuatro posibilidades son

y

103

y

Observa que las soluciones vienen por parejas, en las que los números de los vértices de los triángulos se permutan con los del medio de los lados opuestos. Con 1,2,3,5,6 Y 7 las soluciones son

y

que están muy relacionadas con las dos últimas del caso anterior. ¿De qué manera? Con 1,2,3,4,6 Y7 las soluciones son y

81

Números curiosos

1) Si el dígito elegido es d, la respuesta es ddd ddd ddd, debido a que 12345 679 = 111 111 111 : 9 2) Si el dígito es d, entonces la respuesta es ddd ddd. En este caso 15 873 =111111:7

3) Como 143 X 7 = 1 001, se tiene que 143 x d x 7 = 1 001 x d = d 00 d. 104

4) Probablemente se puedan dar varias explicaciones lógicas para cada uno de estos casos: 1234 = 1111 + 111 + 11 + 1 + O

a) (1111 X9)+1=10000 ( 111 x 9) + 1 = 1 000 100 ( 11 X 9) + 1 = ( 1 X 9) + 1 = 10 ( O X 9) + 1 = 1 Este ejemplo puede explicar por qué salen las formas que salen. b) 66x67 =2x3xllx67

22 X 201 =4422

=

666

X

67 = 2 X 3 X 111 = 222 X 2001 =444222

X

67

y así sucesivamente.

82

Unas restas chocantes

Lo sorprendente es que, no importa de qué cuatro dígitos hayas partido, el resultado final será 6 174. He aquí una cadena más larga 1)_7432 2347 5085

2)_ 8550 558 7992

3) _ 9972 2799 7173

4)_7731 1377 6354

5)_ 6543 3456 3087

6) _ 8730 378 8352

7) _ 8532 2358 6174

8) _ 7641 1467 6174

El autor ha llegado a encontrar cadenas de ocho restas necesarias para que a.parezca el número 6 174, pero estaría interesado en saber si alguien consigue una cadena más larga. Una calculadora facilita mucho este tipo de investigación; en cualquier caso conviene ir anotando los resultados parciales de las restas, para evitar que, si una cadena es larga, cuando aparezca el6 174 te hayas olvidado ya del número de partida. Estudia qué ocurre con números de cinco o más dígitos. 105

83

¿Cuál es el mayor número que puedes obtener?

Pon los dígitos elegidos en orden decreciente 9 7 5 432 Para obtener la suma máxima sólo necesitas tomar los dos primeros dígitos como cifras de las centenas, los dos siguientes como decenas y los dos últimos como unidades; resultan cuatro pares posibles:

+

+953 742 1695

+

+ 952

943 752 1695

743 1695

942

753

1695

Sin embargo, el producto máximo se obtiene tomando, de los cuatro pares anteriores, el que consta de los dos números más próximos, es decir 942 X 753 = 709326 Una manera sencilla de entender el porqué, es imaginar que las distintas parejas de números son los lados de un rectángulo. Como la suma de todas las parejas es la misma, todos estos rectángulos tendrán el mismo perímetro, mientras que el producto de cada pareja corresponde al área del rectángulo, y se da el caso de que, para rectángulos de igual perímetro, el área máxima corresponde al más parecido a un cuadrado.

84

Los cuatro cuatros

Éste es un tipo de problema al que vale la pena dedicarle tiempo. Si se toma como actividad escolar, se pueden escribir los resultados en una pizarra y animar a los participantes a que a lo largo de la semana pongan expresiones alternativas. Los números que parecen difíciles de expresar varían de una persona a otra, pero hay dos o tres verdaderamente difíciles. ¡Date por contento si consigues expresar 95, o más! 41

71

85 106

+ 4,4 0,4

4!

=

0,4/4

73

J (,/\ + 4 O,"t X O,"t t;¡)

+ O 4'

---=--v_::---"_ donde 0,414 = 4 512

O,~

89

y'+

4'+/4 + 4! 0,4

='

= i = 32

85

¿ Cuáles eran los datos?

13: 29 = 0,4482758 ¡Este tipo de problemas son muy fáciles de plantear!

86

Un filón muy productivo

Éste es un problema interesante para proponer a un grupo de personas y ver quién consigue encontrar el camino más productivo. La idea la tomé de un artículo del número 418 de Mathematical Gazette, y de la campaña de propaganda de un fabricante de detergentes australiano. Se trata de un problema que despierta un interés especial en el caso de una competición entre varios jugadores, pero, hasta el momento, nadie parece haber encontrado la. solución óptima sin ayuda de un ordenador; quizás porque el camino óptimo 28 74 45 83 57 72 52 73 41 70 44 81 56 que da unos beneficios de 776 millones, no incluye a ninguno de los once cuadrados con beneficios mayores de 83 millones. Utilizando esta misma tabla de números es fácil proponer otros rompecabezas análogos. Por ejemplo, ¿cuál será el camino más corto que recorra todos los cuadrados que pueden dar un beneficio de, al menos, 80 millones?

107

87

Centenas, decenas y unidades

El resultado final es siempre 1 089, salvo que en el primer número elegido la cifra de las centenas sea la misma que la de las unidades, es decir, un capicúa como 525, pues entonces la primera resta dará cero.

88

Círculos mágicos

Las posibles soluciones dependen todas ellas de que 1 +6=2+5=3+4=7. En cada caso, el par de cuadrados correspondientes a las intersecciones de dos circunferencias deben contener un par de números que sumen 7. Así pues, el número mágico para cada círculo es 14. Para encontrar otro conjunto de seis números que se puedan usar para formar un conjunto de círculos mágicos, elíjase un número Ny tres parejas de números (a, b), (e, d), (e, f) cuya suma sea N Por ejemplo, si N = 15, entonces las tres parejas de números podrían ser (5,10)

(7,8)

(2,13)

y una solución sería entonces:

donde 2N = 30 es el número mágico. 108

La solución del rompecabezas de los cuatro círculos depende de 1 + 12 = 2 + 11 = 3 + 10 = 4 + 9 = 5 + 8 = 6 + 7 = 13.

7

8

Cualquier par de circunferencias se cortan sólo en dos puntos, de manera que basta poner en esos dos puntos un par de números que sumen 13. Es fácil, pues, encontrar una solución. He aquí una de ellas 1 + 2 + 5 + 12 + 11 + 8 = 2 + 3 + 9 + 11 + 10 + 4 = 1 + 3 + 6 + 12 + 10 + 7 = 7+4+5+ 6+ 9+8=

39 39 39 39

109

89

El número de teléfono de la doctora Numerati

37 x 41 x 43

=

65231

por tanto, la doctora Numerati vivía en el número 41 y su

número de teléfono era el 65 231.

90

Completa un siglo He aquí cuatro soluciones 123 - 4 - 5 - 6 -7 + 8 - 9 = 100

123 - 45 - 67 + 89 = 100

[1 X (2 + 3) X 4 X 5] + 6 - 7 - 8 + 9 = 100

(1 X 2 X 3) - (4 X 5) + (6 X 7) + (8 X 9)= 100

91

Ruedas de números

El lado inferior tiene escritos sus tres números, que suman 23. El número central será, pues, 23 - 15 - 2 = 6, Y los demás van cayendo todos ellos, uno tras otro, fácilmente.

Número mágico 23

110

Número mágico 22

92

Un reto a las calculadoras

Gracias a que las calculadoras se encargan del, digamos, «trabajo sucio)) aritmético, estos retos son en realidad bastante fáciles.

1) 237 x 238 Calcula primero /56406. 2) Una utilización inteligente del principio de ensayo y error te conducirá al resultado 69 X 71 X 73 = 357 406

3) 26 2 + 27 2 = 1 405

4) El método a seguir es tantear diferentes números para irse acercando gradualmente a la longitud buscada. 5x5x5=125 y 6X6X6=216 Por tanto, la longitud buscada estará entre 5 y 6, pero más cerca de seis que de cinco. Por comprobaciones sucesivas tenemos

5,9 5,8 5,85 5,845 5,848 5,848 1 5,84804 5,848035 :

5,9 X 5,9 X 5,9 5,8 X 5,8 X 5,8 5,85 X 5,85 X 5,85 5,845 3 5,848 3 5,848 13 5,84804 3 5,848035 3

= 205,379 =

= = = = = =

195,112 200,20162 199,68872 199,99636 200,00661 200,00045 199,99994

En muchas calculadoras puede obtenerse el resultado

5,8480355 3 = 200 aunque no es la respuesta exacta, sino sólo la que los límites de la calculadora permiten.

93

Divisiones que se repiten

Antes de la llegada de las calculadoras no solían sacarse más de cuatro o cinco decimales al hacer una división que no fuera exacta. Sólo se solía ver el comportamiento recurrente al dividir por números pequeños, como el 3 o el 11. Éste es el motivo de que para mucha gente resulte una sorpresa que prácticamente cualquier división dé como resultado un número decimal periódico.

1) Al dividir por 7 se obtiene siempre una sucesión recurrente de seis cifras:

8/7 = 9/7 = 16/7 = 1/7 =

2

1 1/7 = 1,142857

1 2/7 = 1,285714

2 2/7 = 2,285714

0,142857 142857...

111

Para ver por qué al dividir por un número como 64 o 320 siempre se termina la división, probablemente lo mejor sea analizar un ejemplo. Consideremos 73 64

73

=26=

73 X 56 26 X 56

1 140625

= 1000000 = 1,140625

Si el denominador no es un producto de una potencia de 2 por una potencia de 5, entonces es imposible convertirlo en una potencia de 10. Al dividir por un número como 31, si la división no es exacta hay 30 restos posibles, es decir, 1, 2, 3, .... que, en el peor de los casos, pueden aparecer todos ellos, antes de empezar a repetirse. Da lo mismo, pues, estudiar la sucesión de repeticiones de cifras decimales en el cociente, que la de los restos. Todo esto está estrechamente relacionado con la teoría de congruencias y de grupos cocientes, temas que podrían interesar al lector. 2) En el caso de las divisiones por 17 la sucesión es C29411764;05882351 5 17 = 0,29411 7647 0588235294 1 6 17 = 0,35294 11 7647

°

5 8 8 23529

7 17 = 0,4 1 1 7 6 4 7 O 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7

3) Al dividir por 19 la sucesión de cifras es la siguiente

4) Las divisiones por 11 siempre conducen a una sucesión de dos dígitos, que puede ser cualquiera de las siguientes: 09 90

18 81

27 72

36 63

4S

54

Las divisiones por 13 conducen a una de estas dos sucesiones de seis cifras

112

94

Algunos números distinguidos Números capicúas

El mínimo número primo capicúa es el 11, y el mínimo cuadrado perfecto capicúa e1121. Sólo hay otros dos cuadrados perfectos capicúas

menores que 1 000: 484 = 22 2

Y 676 = 26 2

Los primos capicúas entre 100 y 200 son 101131 151 181 191 Todos los capicúas entre 400 y 500 terminarán en 4, luego serán par; entre 500 y 600 terminarán en 5, luego tendrán el factor 5; entre 500 y 700 terminarán en 6, luego también serán par. De hecho, entre el 383 y el 727 no hay ningún primo capicúa. El factor común pedido es el 11.

95

Estrellas mágicas El número mágico es 40 en los dos casos.

8

Se llega a las soluciones por el clásico método de la «cuenta de la vieja» o bien utilizando un sistema de ecuaciones lineales.

Una buena referencia sobre estrellas mágicas es el libro Magic Sqllares and Cubes de W. S. Andrews (Dover). 113

96

La seguridad lo primero

Ambos problemas son muy conocidos, pero si no te los habías encontrado antes, ofrecen un interesante reto a tu capacidad de razonamiento aritmético. La clave está en comenzar por la izquierda del resultado, dado que los posibles valores de D y de M son, más bien, pocos. a)

b)

9 6 2 3 3

9 567 1 O 8 S

+62513

+

1 S 8 746

10652

Otros problemas parecidos: THREE +THREE FOUR ELEVEN

97

+

TH 1 S 1 S VERY

SANTA -CLAUS

SPEND MORE

EASY

XMAS

MONEY

La estrategia secreta del tahúr

Si el contrincante elige el dado rojo, el tahúr elige el azul. Si el contrincante elige el dado azul, el tahúr elige el amarillo. Si el contrincante elige el dado amarillo, el tahúr elige el rojo. En todos los casos, el tahúr tiene unas probabilidades de ganar, por término medio, en cinco tiradas de cada nueve. Es una situación sorprendente. Los números de las caras de cada dado suman lo mismo y ningún dado es mejor que los otros dos. Para ver por qué el dado azul es mejor que el rojo basta considerar los posibles resultados de una tirada: Puntuación del dado rojo 2

Posibles puntuaciones del dado azul

4

35 7 -

9

357

3 5 7 -

donde se han subrayado las posibles puntuaciones del dado azul que ganarían a las del rojo: en total 5 de 9 casos, siendo todos ellos equiprobables. De manera análoga se puede ver por qué el dado amarillo es mejor que el azul, y el rojo mejor que el amarillo. 114

El problema del transporte

98 p

A

4

B

1

e

3

Q

R

s

p

5 5

7

R

4

A o bien

Q

B

5

e

3

s 5

1

7

Ambas distribuciones corresponden a una distancia de 67 km. Éste es un problema sencillo de un tipo muy general para el que hay un método específico de resolución, aunque se trataba de resolverlo utilizando inteligentemente el tradicional procedimiento de la «cuenta de la vieja». Si el lector quiere introducirse más a fondo, puede consultar, por ejemplo, An Introduction to Linear Programming and the Theory of Games de S. W. Vajda (Methuen-Wiley) o Mathematics in Managementde A. Battersby (Pelican).

99

Nuevos y curiosos esquemas numéricos

1) x 2 - y2 = (x + y) (x - y). En este caso x - y = 1, luego x 2 - y2 = X + y. 2) Si el número elevado al cuadrado es n entonces los otros dos números multiplicados son n - 1 Y n + 1. Ahora bien (n - 1) (n + 1) = n 2 - 1, luego el producto es siempre una unidad menor que n 2• 3) Para el caso de las potencias de 3, el último dígito repite el ciclo 3, 9, 7,1. Para las potencias de 2, la sucesión es 2, 4,8,6. Para las potencias de 4, la sucesión es 4, 6. Para las potencias de 5 y de 6 dan 5 y 6. Para las potencias de 7, la sucesión es 7, 9, 3, 1. Para las potencias de 8, la sucesión es 8, 4, 2, 6. Para las potencias de 9, la sucesión es 9, 1. 4) La línea n-ésima consiste en la suma de n números impares consecutivos, terminando en el número impar de lugadn(n+ 1), suma igual a n3 • 5) La suma de los cubos de los n primeros números naturales es igual al cuadrado de la suma de dichos números. Por ejemplo 13 + 2 3 + 3 3 + 4 3 = (1 + 2 + 3 + 4)2

115

100

Las ternas pitagóricas

Las principales ternas formadas por números menores que 50 son: 4 12 24 15 40 35 21

3 5 7

8 9 12 20

5

13

25

17

41

37 } triángulos de área 210 29

Otras ternas posibles son las proporcionales a alguna de las anteriores, 6 8 10

o

o

15 36 39

16 30 34

Utilizando la identidad

(m 2 - n2)2 + (2mn)2

=

(m 2 + n2)2

pueden construirse fácilmente tantas ternas pitagóricas como se desee, sin más que darle valores enteros a m ya n, y calculando los números

m2 - n2 2 mn

m 2 + n2

Unos cuantos ejemplos, en tres dimensiones, son: 2 1 3

101

3 4 16

7 9 29

6 8 24

Multiplicaciones misteriosas 138 483 186 157

x x x x

42 = 5 796 198 x 27 = 5 346

12 = 5 796 297 x 18 = 5 346

39 = 7 254 1 738 x 4 = 6952

28 = 4 396 1 963 x 4 = 7 852

51 249876 x 3 = 153 749 628

32547891 x 6= 195 287 346

Una buena referencia sobre este problema y sobre muchas otras relaciones interesantes entre números, es el libro Recreations in the Theory 01 Numbers de A. H. Beiler (Dover).

102

Un diamante mágico

Los números han de ser de la forma

a=x

b=S+x

c=3+x

d= 11 +x

con x arbitrario, y la suma sobre cada línea será entonces igual a 20 + 2x. Por ejemplo, si x= 1, entonces a = 1, b = 6, c= 4, d= 12, Yla suma de cada línea será igual a 22. 116

15

9

12

6

103

Fechas capicúas

: En un año como el 1982 todos los meses, salvo octubre y diciembre, presentan una fecha capicúa precisamente el día 28 de dicho mes; por ejemplo, 28-6-82. Además 1982 incluye la fecha capicúa del 2-8-82, de manera que contiene en total once fechas capicúas. Pero, a partir de ese año, las fechas capicúas empiezan a escasear, ya que la única en 1983 es 3-8-83, y fechas análogas en años sucesivos, todas en agosto, hasta llegar a la 9-8-89. Las fechas capicúas más próximas se obtendrán ajustando correctamente un día de dos dígitos y otro día de un solo dígito de un mismo mes o de dos meses seguidos. Dos soluciones bastante buenas son 1-2-21 seguida de la 12-2-21 y la 22-1-22 seguida de la 2-2-22 separadas por intervalos de once días, pero las mejores posibles parecen ser

29-8-92 seguida de la 2-9-82 separadas por sólo cuatro días.

104

Tarjetas numéricas adivinatorias

Las otras cuatro tarjetas son:

Este juego y las tarjetas utilizadas se basan en la representación de los números naturales en base 2. Lo cierto es que estas tarjetas suelen despertar un gran interés, aunque los dos participantes en el juego estén en el secreto de cómo funcionan.

1

3

6

7

4­

5

6

7

10 11

14­ 15

12 13 1.f 15

18

II 23

lO 21 22 23

2& 27 3D 31

28 lCl 30 31

8

lb

le¡

'1

1D 11

17

18 1q

12 13 14 15

10 21 22 1'3

24 25 lb 17

24 25 26

1~

2q 30 31

17

28 2q 30 31 117

105

Cuadrados mágicos 3

X

3

11

1

12

13

9

8

7

4

4

15

5

6

1

8

9

2

10

14

3

10

7

5

3

8

7

6

5

9

2

9

4

4

12

5

8

15

el

d)

e)

b)

I

Al utilizar el método que hemos explicado para construir nuevos cuadrados mágicos, hay que tener la precaución de elegir las diferencias de tal manera que todos los números que vayan saliendo sean distintos. El método funciona cualesquiera que sean los números. Sea a el primer número y p y q las diferencias; entonces los números que se van generando y el cuadrado mágico resultante son los siguientes: a

a+P

a+2p

a+p+2p

a

a+2p+q

a+q

a+p+q

a+2p+q

a+2p

a+p+q

a+2q

a+2q

a+p+2q

a+2p+2q

a+q

a+2p+2q

a+p

El número mágico es 3( a + p + q), lo que demuestra que para cualquier cuadrado mágico 3 X 3 de números enteros, el número mágico es un múltiplo de 3. ¿Podrías encontrar valores de a, p y q tales que todos los números del correspondiente cuadrado mágico sean primos?

Cuadrados mágicos 4 X 4, Y mayores

106

Otros conjuntos de cuatro números que suman 34 en el cuadrado mágico de Durero son los siguientes: 3 10 16 9 9 16 3 5 118

2

11 3 6 4 3 10 10

15 6 10 4 13 14 7 7

14 7 5 15 8 1 14 12

5 2 2 7 16 2 6 9

9 12 13 12 5 13 15 6

8 15 11 14 12 4 2 11

12 5 8 1 1 15 11 8

En el cuadrado mágico nasik también se dan la mayoría de las simetrías del cuadrado de Durero, pero hay, además, diagonales interesantes, como 14 10 14

14 4 9

2 7 3

3 13 8

10 11

11 16

15

5

7

6

6 2

1 12

La referencia más completa sobre cuadernos mágicos es probablemente el libro de W. S. Andrews, Magic Squares and Cubes (Dover); véase también Mathematical Recreations and Essays de W. W. Rouse BaH (MacmiHan), y Amusements in Mathematics, de H. E. Dudeney (Dover).

107

Un cubo mágico

Capa intermedia

Capa inferior

23

3

16

18

22

2

7

14

21

20

9

13

12

25

5

4

11

27

Para una información mucho más completa acerca de cubos mágicos, véase Magic Squares and Cubes, de W. S. Andrews.

loa

Un problema con balanzas sin pesas

Compara 9 bolas cualesquiera con otras 9 y deja las 9 restantes en la caja. Si la balanza se equilibra, ya sabemos que la bola más pesada está en la caja y si no es así, estará entre las 9 del platillo que incline hacia su lado la balanza. Hemos conseguido, pues, aislar la bola defectuosa entre 9 con sólo una pesada. Dividamos ahora este conjunto de 9 bolas en tres de 3 cada uno y repitamos la operación anterior con ellos. Después de la segunda pesada habremos conseguido aislar la bola defectuosa en un conjunto de tres concretas, y repitiendo una vez más el proceso con ellas tendremos localizada la bola en cuestión a la tercera pesada y sin error posible. Un problema análogo, pero mucho más difícil, es localizar una bola defectuosa entre 13, con sólo tres pesadas, y sabiendo únicamente que dicha bola tiene un peso distinto del de las otras 12.

109

Nuevos retos a la calculadora

1) Haz la división, réstale al cociente su parte entera y multiplica el número decimal resultante por 729. La calculadora nos da

89328: 729 = 122,53497 0,53497 X 729 = 389, 99313

119

Debido a las limitaciones de la calculadora hay cierto error en las últimas cifras, pero aun así puede asegurarse que el resto correcto es el número entero más próximo al resultado, es decir, 390. Compruébalo viendo que (729 X 122) + 390 = 89328 De otra manera puedes obtener el resto a partir de la primera división 89328 - (729

X

122) = 390

evitando la necesidad de redondear. 2) Como x 3 = 200, lo podemos escribir en la forma x

2

200 x

=-­

se sigue que si x es una aproximación de la raíz cúbica de 200, entonces ¡200/ es- una aproximación mejor. Por ejemplo, si tomamos Xl = 6 como primera aproximación de ~200, entonces vamos obteniendo la siguiente sucesión de aproximaciones:

x

x 2

~

j

200 6

== 5,7735

200 5,7735

== 5,88566

200 == 5,82931 5,88566 X s =

H

OO == 5,85742 etc. 5,82931

El método converge hacia el número buscado. Puede no resultar tan rápido como un calculista avezado que utilice el socorrido método de «ensayo y error», pero en cualquier caso es muy fácil de programar. 3) ¿Qué es «infinito» para tu calculadora? Comienza con una sucesión de nueves, y vete reduciéndolo hasta que no obtengas más que cero como respuesta.

110 Un problema de peso La~ pesas eran de 1 k~, 3 kg, 9 kg Y27 kg. Colocando estas pesas en c~alqU1era de los dos plat1l1os de la balanza se consigue pesar cualquier

numero exacto de kg de 1 a 40. Por ejemplo:

11 = 9 + 3 + 1 120

20 = 27

+3-

9- 1

x

111 Rectángulos semejantes

x/2

x/2

Las longitudes han de estar en la razón de)2 a 1, puesto que x

1

1

x/2

es decir de donde

x =

f2

'y

112 Inventando un nuevo tipo de diana La solución de la figura hace máxima la suma de las diferencias entre números adyacentes. Tenemos 10 saltos de 10

9 saltos de 9

y 1 salto de 19

lo que da una suma de 200 unidades. En general, si JI es un número par, podemos colocar los números 1,2, 3, ... , JI en torno a un círculo de manera que la suma de Jos sucesivos saltos sea igual a ±11 2. ¿Qué distribución de los mismos números haría mínima la suma de las diferencias?

113 El único hexágono mágico Este hexágono mágico fue hallado por un inglés, T. Vickers, que lo publicó en el número de diciembre de 1958 de Mathematica!

Gazetre. 121

114

El juego de Nim

Puede verse un análisis del juego de Nim en el libro Mathematical Recreatiol1s alld Essaysde W. W. Rouse Ball (Macmillan), así como en We Bllilt Ol/r OWI1 Compllters. de A. B. BoH (Cambridge University Press), en el que hay un interesante capítulo donde se describe una máquina que puede jugar a este juego. El interés especial del juego deriva de que sus posiciones pueden ser clasificadas como «seguras» o «inseguras». A partir de una posición segura, un jugador sólo puede crear una posición insegura. independientemente de las fichas que retire. Sin embargo, desde una posición insegura se puede pasar a otra segura o insegura. Así pues. un jugador que haya analizado el juego siempre puede pasar de una posición insegura a otra segura y derrotar a su oponente. Hay muchas más posiciones inseguras que seguras, pero para poder aprovechar este hecho es necesario saber distinguir entre unas y otras. En nuestro ejemplo, pon en base dos el número de fichas de cada montón y suma los dígitos de cada columna (sin «llevar»):

7 9 6

En base dos 111 1001 110

suma de los dígitos

1222

En una posición segura. la suma de los dígitos de cada columna tiene que ser par. Por lo tanto, esta posición es insegura. Para pasar a una posición segura se podría reducir el segundo montón a 1. Entonces 7 1 6

11 1 1 110

222 es una posición segura. ¿Por qué es éste el único movimiento seguro a partir de esta posición? Otras posiciones seguras son. por ejemplo, (2, 4, 6), (2, 5.7). (1, 2. 3), (7, lO. 13). Jugando contra un jugador inexperto, un jugador que conozca esta estrategia ganaría nueve veces de cada diez. pero no puede ganar si la posición de partida es insegura y su oponente hace lIn movimiento seguro en todas las etapas siguientes. Ante una posición segura la mejor estrategia es la de retirar exactamente la ficha (es decir, hacer 10 menos posible). en la esperanza de que el siguiente movimiento del adversario sea una posición insegura.

122

115

Triangulando el cuadrado El autor de este libro estaba convencido de que era imposible triangular un cuadrado por medio de triángulos que tuvieran todos sus ángulos agudos, hasta que recibió, del Dr. Hugh L. Porteous, de la Sheffield City Polytechnic, la solución de la figura. Obsérvese la simetría respecto a sus dos diagonales.

116

¿Quién la liga?

Comienza por a y vete contando 13 y tachando la letra en la que caiga. El resultado final será que la liga g. Para que la ligue e, que está opuesto a g, la cuenta ha tenido que comenzar por e.

117

A verigua qué cartas hay sobre la mesa

La solución es la que muestra la figura, y se puede obtener de la manera siguiente. Supongamos que los números correspondientes a cuatro cartas seguidas son a, b, e y d. Entonces

b+e+d=a+b+e

ob+e+d=a+b+e+l

ob+e+d=a+b+c-l

La primera de estas tres alternativas implica que a = d, por tanto, imposible; mientras que las otras dan d= a + 1 o d = a - 1. Si tomamos d = a + 1 (la otra alternativa conduce a la misma solución final) tendremos cuatro cartas seguidas de números

a, b, c, a+

1

9

Utilizando el mismo razonamiento para determinar el número de la carta siguiente, resulta que ha de ser b - 1, la siguiente e+ 1, y la carta siguiente ha de ser de nuevo a; así pues, estamos otra vez donde habíamos comenzado, con las seis cartas a, b, C, a+ 1, b+l c+ 1 colocadas en ese mismo orden alrededor de la mesa. Como

(a, a + 1), (b, b + 1), (e, e + 1) son parejas de números consecutivos, y como las cartas números 2,5,6 Y lOnas vienen ya dadas, resulta que las cartas que faltan son la 3 y la 9.

10

123

118

El problema de dividir una herencia

No hay ningún punto en el interior del rancho que, al unirlo con las cuatro esquinas, se formen otros tantos triángulos de áreas iguales. La única posibilidad de dividir un cuadrilátero de esta manera se da cuando una de sus diagonales AClo divide en dos triángulos ABCy ADCde áreas iguales, puesto que entonces el punto medio M de la diagonal es el punto buscado.

119

¡El fin del mundo!

Por sorprendente que pueda parecer, el primer día de un siglo nunca puede caer en domingo ni en martes ni en jueves. En 1582 el Papa Gregorio XI!!, con la intención de mejorar la exactitud del calendario, decretó que habría un año bisiesto cada cuatro años, pero quedarían excluidos de esta cuenta los años múltiplos de 100 pero no de 400. Así pues, el año 2000 será bisiesto, p~ro no lo serán los años 2100, 2200 ni el 2300 a pesar de ser múltiplos de 4. Para ver qué efecto tiene sobre el primer día de un siglo, consideremos el número de días que van desde elIde enero del primer año de un siglo hasta elIde enero del primer año del siglo siguiente. Son 100 años, entre los que normalmente hay 25 bisiestos, y por lo tanto 36 525 días, lo que equivale a 5 217 semanas y 6 días. Así pues, antes de la reforma gregoriana, desde el primer día de un siglo al siguiente, el día de la semana se desplazaría 6 días. Sin embargo, esto sólo sucede cuando el primer año de ese siglo es divisible por 400. Si no es asÍ, sólo habrá 24 años bisiestos en el siglo, de manera que el día de la semana sólo se correrá 5. Un cálculo sencillo nos dice que el primer día del año 2000 será sábado. Así pues, Año: Primer día:

2000 Sab.

2100 Vier.

2200 Miér.

2300 Lun.

2400 Sáb.

2500 Vier.

+6

+5

+5

+5

+5

+6

2600 Miér.

+5

y este ciclo se repite indefinidamente, de manera que el primer día de un siglo nunca caerá en domingo, martes o jueves. ¡Afortunadamente el fin del mundo no está al caer!

124

120

Un maratón patrocinado

Los patrocinadores se han mostrado (¡inconscientemente!) de acuerdo en pagar. (1

+ 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 2 39) pesetas

Esta inocente suma da un total

2 40 - 1 = 1 099511 627775 pesetas es decir, 27 487 790 694 pesetas por km. ¡Es de suponer que el patrocinador de nuestro astuto atleta sería archimillonario!

Los efectos de la inflación

121

La fórmula que relaciona la tasa de inflación r % con el precio inicial P y el precio final Pn después de n años de inflación constante, es

Así que, para el precio de la casa 6 800 000 = (1

+ l~O?O X 700 000

y utilizando la calculadora se obtiene

1 + 1ÓO = 1,1203934 de donde resulta una tasa de inflación de aproximadamente un 12%.

Análogamente para el precio de la gasolina

92

=

(1

+ 1~0)18 X

16,50

lo que nos da r

1 + 100 = 1,1001739 es decir, una tasa de inflación dell0% aproximadamente. Si estas tasas de inflación continuasen invariables hasta el año 2000, ese año la casa valdría 58 959 800, mientras que el litro de gasolina costaría 466,50 pesetas

122

Entretenimientos de octogenario 8 3 -7 3 = 512 - 343 = 169 = 13 2

El anciano profesor tenía 87 años y su biznieta 13. 125

123

Las monedas boca arriba

No es posible el primero. 1) Cualquier movimiento a partir de la posición inicial de tres caras (H 3 ) nos lleva a una cara y dos cruces (HT2), mientras que cualquier movimiento a partir de (HT 2) nos conduce a (H3) o a (HT2) de nuevo, así que únicamente son posibles dos posiciones básicas, y los únicos movimientos a partir de ellas pueden resumirse en la forma 2) Es posible hacerlo en cuatro movimientos. Una solución es la siguiente

H

H

H* T

T T*

H T

H T

H T

H T

H

H

H* T

T T*

donde la estrella indica la moneda que no ha sido vuelta en ese movimiento. Ahora puedes investigar el caso de cinco monedas, en el que un movimiento consiste en dar la vuelta a cuatro cualesquiera, etc. 3) Es posible hacerlo en cinco movimientos. Representemos las monedas por letras

a b e d e f g h

Una solución posible consiste en: a) volver a e i b) volver be h c) volver e e g d) volver a b e e) volver g h i ¿Qué distribuciones de caras y cruces son posibles? ¿Sería posible aún resolver este rompecabezas, si excluyéramos los movimientos de las diagonales?

124

Colas de milano

Las colas de milano están cortadas en diagonal, y no paralelamente a las caras, como pensaban todos los aprendices.

12fi

125

Más rompecabezas con cerillas

~===-====o====-=-

,J

~

~ ~

i

rl : r=~~ L~ ~ __

rJ

~

~

~ i

-=

o

e=-=-=-=~

Espiral convertida en cuadrados

126

[--=~

==P

~~~1

1l

:

I

I

i

f I L

I

~

Iglesia en cuadrados

Pontoneros de maniobras

Experimenta con fichas de dominó que representen las vigas. Evidentemente, con tres vigas lo más que se puede alcanzar es 3 2/3 m. El mínimo número de vigas que permitirá hacer una estructura que alcance al otro borde del río, de 5 m de anchura, es de 7.

Para entender cómo se puede llegar a la solución, observa la figura. Una sola viga puede alcanzar una distancia de 2 m sobre el río, es decir, hasta el punto en que su centro de gravedad queda justo al borde del río. Con dos vigas, la de encima puede sobrepasar a la inferior en 2 m antes de caerse, por la misma razón, y la viga inferior sigue permaneciendo estable en tanto que el centro de gravedad del sistema de las dos (representado por una cruz en la figura) caiga sobre tierra

firme. Se ve fácilmente que esto nos permite avanzar otro metro, con un total de 3 m suspendidos sobre el río. Al añadir una tercera viga, las dos de encima pueden1---'~"-'--:. ~":.: ~.:' sobrepasar a la inferior en 3 m, y la inferior debe quedar¡d~ _., .. manera que el centro de gravedad del sistema de las tres ~,~,_,_, permanezca sobre el borde del río. En este caso la viga inferior puede avanzar sobre el río 2/3 m.

>

'~- ~

-­

127

Así pues, cada nueva viga añadida permite extender el puente, pero cada vez en menor longitud, lo que nos conduce a la siguiente fórmula para la distancia máxima alcanzable al utilizar n vigas: d = 2(1

+ 112 + 1/3 + 114 + 115 + ... + lIn) metros

Para n = 6 d = 2(1

+ 112 + 113 + 114 + 115 + 116) = 4,9 metros

lo cual es ya casi la anchura del río, y con n = 7 se tiene por fin d = 4,9 + 2/7 == 5,19 metros Para el matemático, la fórmula anterior resulta realmente fascinante, porque indica que, dado un número de vigas suficientemente grande, es posible teóricamente construir una estructura que alcance la-otra orilla de un río, independi"lllcmente de lo ancho que éste sea. El lector puede ver discutidos problemas parecidos a éste en Pllzzlellliu/¡ de G. Gamow y M. Stern (Macmillan), así como en lngelzious Mathematical Problems de L. A. Graham (Dover).

128