Proposiciones

MATEMÁTICAS Proposiciones una proposición se le antepone “no o no es cierto” y se simboliza (~) o (¬).

PROPOSICIONES Una proposición es un enunciado del que se puede afirmar si es verdadero o falso.

Ejemplo:

Proposiciones Simples: es aquella que se forma sin utilizar conectivos lógicos ejemplo “Currulao es un corregimiento de Turbo”; para representar una proposición se utilizan letras minúsculas tales como p, q, r, s y t.

1. Escribir en símbolos la siguiente proposición compuesta.

Ejemplos.

p: La expresión 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 es un trinomio q: la expresión 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 es igual al producto de (𝑥 + 2)(𝑥 + 3)

1. 5 es divisor de 60: es una proposición por que se le puede dar un valor de verdad, como 60 ÷ 5 = 12 la proposición es verdadera. 2. ¿Qué hora es?: no es una proposición, ya que es una pregunta y no podemos dar un valor de verdad. Proposiciones Compuestas: es una expresión conformada por dos o más proposiciones simples, unidas por conectivos lógicos. Ejemplo “todo triangulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos”

Si la expresión 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 es un trinomio, entonces, es igual al producto de (𝑥 + 2)(𝑥 + 3).

Por tanto, la simbolización queda 𝑝 → 𝑞. 2. Negar las siguientes proposiciones 𝑝: Turbo es un municipio de Antioquia ~𝑝: Turbo no es un municipio de Antioquia 𝑞: Colombia no está ubicado en Suramérica ~𝑞: Colombia está ubicado en Suramérica CONJUNCIÓN (∧)

Los conectivos lógicos son: Conectiv o lógico

Operación lógica

Símbol o

Notació n

Lectura

y o Si… entonces … si y solo si… No

Conjunción Disyunción Implicación

∧ ∨ →

𝑝∧𝑞 𝑝∨𝑞 𝑝→𝑞

𝑝𝑦𝑞 𝑝𝑜𝑞 𝑠𝑖 𝑝 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑞

Equivalenci a Negación

↔

𝑝↔𝑞

𝑝 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑞

¬

¬𝑝

𝑁𝑜 𝑝

Negación de una proposición: es otra proposición con valor de verdad contrario al de la proposición original. Para negar

Es una proposición compuesta en la que se relacionan dos o más proposiciones simples mediante el conectivo lógico “y”. Ejemplo: El carro prende si tiene gasolina y electricidad. Una conjunción se simboliza 𝑝 ∧ 𝑞 y es verdadera y las dos proposiciones simples

JUAN CARLOS MURILLO RIVAS LIC. MATEMÁTICAS Y FÍSICA TL. EN ADMÓN. DE REDES DE COMPUTADORES INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES (FORMACIÓN)

MATEMÁTICAS Proposiciones que la componen son verdaderas en caso contrario es falsa.

Ejemplo: Colombia está ubicado en América entonces América es un continente.

Tabal de verdad conjunción 𝒑 V V F F

𝒒 V F V F

(𝒑 ∧ 𝒒) V F F F

El condicional se simboliza 𝑝 → 𝑞, la primera proposición se denomina antecedente y la segunda consecuente; el condicional es falso el antecedente es verdadero y el consecuente falso en caso contrario es verdadero. Tabal de verdad condicional.

DISYUNCIÓN (∨) Es una proposición compuesta en la que se relacionan dos o más proposiciones simples mediante el conectivo lógico “o” Ejemplo: La actividad de clases es resolver ejercicios o realizar un examen.

𝒑 V V F F

𝒒 V F V F

(𝒑 → 𝒒) V F V V

BICONDICIONAL (↔) Una disyunción se simboliza 𝑝 𝜈 𝑞 y es falsa si las dos proposiciones simples que la componen son falsas en caso contrario es verdadera.

Es una proposición compuesta es la que se relacionan dos o más proposiciones simples mediante el conectivo lógico “si y sólo si”

Tabla de verdad disyunción 𝒑 V V F F

𝒒 V F V F

(𝒑 ∨ 𝒒) V V V F

CONDICIONAL (→) Es una proposición compuesta es la que se relacionan dos o más proposiciones simples mediante el conectivo lógico “si… entonces”

Ejemplo: Un número es par si y solo si es divisible entre 5. El bicondicional se simboliza 𝑝 ↔ 𝑞, y es verdadera si las dos proposiciones simples que la componen son verdaderas o ambas son falsa. La tabla de verdad del bicondicional. 𝒑 V V F F

𝒒 V F V F

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(𝒑 ↔ 𝒒) V F F V

MATEMÁTICAS Proposiciones Ejemplos.

negar la proposición con cuantificador existencial se una el universal.

Hallar el valor de verdad de la proposición 𝒑 ∨ ~(𝒑 → 𝒒). Se construye una tabla de verdad de forma tal que en las primeras columnas se indiquen todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las proposiciones simples. 𝒑

𝒒

V V V F F V F F

𝒑→𝒒

~(𝒑 → 𝒒)

𝒑 ∨ ~(𝒑 → 𝒒).

V F V V

F V F F

V V V V

Ejemplo. Identificar el proposición

cuantificador en cada

a. Algunos estudiantes de la I. E. Central están en 11 “Algunos “ b. Ningún profesor de Turbo trabajo en diciembre. “Ningún” ACTIVIDADES

PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES Un cuantificador es una expresión que indica la cantidad de elementos que cumplen una proposición; expresiones como todos, algunos, solo uno, se emplean como cuantificadores sin embargo en matemáticas los cuantificadores más utilizados son: “para todo” es llamado cuantificador universal y se simboliza ∀. “existe algún” es llamado cuantificador existencial y se simboliza ∃. Negación de cuantificadores.

proposiciones

con

Para negar una proposición con cuantificador universal se usa el existencial del mismo modo si se va a

1. Dadas las proposiciones simples, escribe las proposiciones compuestas pedidas. 𝑝: Las rectas m y l son paralelas 𝑞: Las rectas tienen la misma pendiente 𝑟: Las rectas se interceptan formando un ángulo recto. 𝑠: Las rectas m y l son perpendiculares 𝑝↔𝑞 𝑝→𝑟

𝑟 ∧𝑞 𝑟→𝑠

𝑝

∨𝑠

(𝑝 ∧ 𝑟) → 𝑠

2. Completa las siguientes tablas. a. (𝒑 ∧ 𝒒) ~(𝒑 𝒑 𝒒 V V V F F V F F

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∧ 𝒒)

MATEMÁTICAS Proposiciones b. 𝒑 V V F F

𝒒 V F V F

~𝒑

~𝒒

~𝒑 ∨ ~𝒒

3. Elabora la tabla de verdad para cada caso. a. ~𝑝 ∨ (~𝑞)

d. (𝑞

b. ~(𝑝 ∨ 𝑞)

e. (~𝑞 ∧ 𝑞 ) ∨ (𝑝 ∧ ~𝑞)

c. ~(𝑝 ∧ 𝑞)

f. (𝑞

∨ ~𝑞 ) ∧ (~𝑝 ∨ 𝑞)

∨ 𝑞 ) ↔ (~𝑝 ∧ ~𝑞)

4. Si 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5}, determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones. a. ∀ 𝑥 ∈ 𝐴: 𝑥 2 < 32 b. ∃ 𝑥 ∈ 𝐴: 𝑥 2 − 𝑥 = 15 c. ∀ 𝑥 ∈ 𝐴: 2𝑥 > 16 5. Determina el valor de verdad de cada proposición teniendo en cuenta las siguientes funciones proposicionales. Justifica tu respuesta. 𝑃(𝑥) : 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑄(𝑥) : 𝑥 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 5 𝑅(𝑥) : 𝑥 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 2 𝑆(𝑥) : 𝑥 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 6 a. 𝑄(20) b. 𝑃 (4) ⋀ 𝑄(16) c. ¬[𝑃(7) ∧ ¬𝑄(8)] → 𝑅(10)

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