Modelos Mateméticos Aplicadosa La Medicina

MODELOS MATEMÉTICOS APLICADOSA LA MEDICINA

MODELOS MATEMÁTICOS APLICADOS A LA MEDICINA HUMANA TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CURSO DE MATEMÁTICA PRESENTA: ASCOY COLONA, Gabriela Madeline BENITES ELIAS, Luis Gustavo HUAMÁN OLAYA, Carlos Enrique LÓPEZ ORTIZ, Rubén Danilo

PIURA- PERÚ 2016 1

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DEDICATORIA: DEDICAMOS ESTE TRABAJO DE INVESTIGACIÓN A NUESTRO PROFESOR JOSÉ DEL CARMEN SILVA MECHATO POR SU DEDICACIÓN Y ENSEÑANZA; Y A TODO AQUEL QUE QUIERA HACER USO DEL PRESENTE, A FINES DE AMPLIAR SU CONOCIMIENTO.

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INDICE:

CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN

PAGINA 4

CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO

PAGINA 7

CAPÍTULO III: DESARROLLO

PAGINA 9

CAPÍTULO IV: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

PAGINA 27

CAPÍTULO V: BIBLIOGRAFÍA

PAGINA 29

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CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN

1. OBJETIVOS 1.1. OBJETIVOS GENERALES:

El modelamiento matemático es una de las herramientas que se utilizan hoy en día para el estudio de problemas en medicina, biología, fisiología, bioquímica, farmacocinética, entre otras especialidades. Los objetivos primordiales de este trabajo son describir, explicar y predecir fenómenos y procesos del área de las Ciencias de la Salud con la aplicación de modelos matemáticos.

.El modelo matemático nos permite representar un problema médico o biológico de una manera objetiva en que se definen una serie de relaciones matemáticas entre las mediciones cuantitativas (del problema) y sus propiedades. Los modelos pueden ir de formas sencillas, hasta estructuras más elaboradas con varios compartimentos. Los pasos básicos en la formulación de un modelo incluyen la conceptualización, realización y solución del mismo; cada paso debe ser corroborado, con lo cual se valida el modelo.

1.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: En este trabajo se describen los objetivos y las principales etapas en el proceso de formulación de un modelo matemático desde la definición del problema identificando los parámetros y variables de interés, seguido de la elaboración de un concepto inicial donde se describan gráficamente las variables, órganos o estructuras, flujos de entrada y de salida. Posteriormente se selecciona la clase de representación matemática que se va a utilizar, para finalmente escribir las ecuaciones matemáticas que describen el modelo, anotando las fórmulas básicas de ecuaciones de balance de masas, para posteriormente desarrollarlas y solucionar el modelo.

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Cuando los resultados del modelo concuerdan con los conocimientos que se tienen, se puede entonces validarlo; en caso contrario se hacen ajustes en diferentes niveles y se reinicia todo el proceso. El proceso de desarrollo del modelo puede repetirse varias veces hasta que se cumplan los objetivos del modelo o hasta que se alcance la mejor aproximación. En este trabajo se describen las ecuaciones generales de propagación de una epidemia, población de bacterias y Cinética de la fase exponencial de la curva de crecimiento microbiano.

2. JUSTIFICACIÓN La relación entre la medicina y las matemáticas ha variado a través del tiempo, y ha oscilado entre periodos con vínculos casi inexistentes hasta la actualidad, en que no se puede concebir la investigación y el ejercicio de la medicina sin un conocimiento de las matemáticas. Gracias a sus contribuciones se han logrado conocer mejor los factores de riesgo y el comportamiento de las enfermedades. Los matemáticos han hecho valiosas aportaciones a la medicina; entre ellos destacan, Karl Friedrich Gauss, Thomas Bayes, David Cox, Karl Pearson, cuyos apellidos ya forman parte del lenguaje médico que se usa en la práctica médica cotidiana. La aplicación más visible de las matemáticas es la bioestadística. Los médicos y los interesados en las disciplinas biomédicas deberíamos estar mejor capacitados en el estudio y la práctica de las matemáticas, porque con frecuencia nos enfrentamos a serias dificultades no sólo para realizar investigación, si no para poder interpretar adecuadamente la bibliografía médica. Los números impregnan nuestra vida diaria y son una fuente importante de información en el ámbito de la salud. La bibliografía médica a menudo nos proporciona información cuantitativa, que también la utilizan los pacientes para cuestionar diversos tópicos, como las modificaciones en los cambios en el estilo de vida (por ejemplo, ¿cuánto disminuirá mi riesgo de enfermedad cardiaca si hago ejercicio y sigo la dieta?), los riesgos y beneficios al tomar sus medicamentos (por ejemplo, la posibilidad de recuperación, los efectos secundarios) y los riesgos de enfermedad (por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que yo tenga cáncer?). Se supone que esa información numérica

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se entiende y, cuando se utiliza “correctamente”, conduce a mejores decisiones médicas y comportamientos de salud. En la última década se ha empezado a estudiar el vínculo existente entre el cuidado de la salud y las habilidades matemáticas. En éste trabajo de investigación, se hacen algunas reflexiones acerca de la importancia y las repercusiones que representan las habilidades matemáticas en torno a la Medicina.

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CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO APLICACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS.- La aplicación de la modelación matemática consiste en el reemplazo del objeto cognitivo por su imagen matemática (modelo matemático) la cual, implementada en algoritmos lógico – numéricos en un ordenador, permite estudiar las cualidades del proceso original. Este método de cognición conjuga las ventajas de la teoría y del experimento. Al trabajar con el modelo matemático y no con el objeto cognitivo, en forma relativamente rápida y a bajos costos, se pueden estudiar y pronosticar sus propiedades de estado (ventaja teórica). Al mismo tiempo los algoritmos numéricos permiten, apoyándose en la potencia de cálculo de los ordenadores, verificar las cualidades del objeto cognitivo en una forma no accesible para los enfoques teóricos (ventaja del experimento). El segundo nacimiento de la modelación matemática tuvo lugar con la aparición del ordenador en los años 40 – 50 del siglo XX y fue impulsado por los requerimientos, sin precedente, de los gobiernos de Estados Unidos y de la Unión Soviética (Samarsky y Mikhailov, 1997) para la creación de escudos de defensa antiaérea contra mísiles nucleares. En este caso la modelación matemática cumplió con todas las expectativas, explosiones nucleares, trayectorias de misiles y lanzamiento de satélites fueron realizados con anterioridad en las entrañas de ordenadores con la ayuda de modelos matemáticos. Este éxito contribuyó al desarrollo de la modelación matemática hasta sus niveles actuales posicionándola en el núcleo estructural de la sociedad de la información. MODELO MATEMATICO.- En nuestra vida cotidiana, muchos fenómenos pueden ser vistos como relaciones funcionales entre dos variables, donde el comportamiento de una dependerá del comportamiento de la otra. Obteniendo el modelo matemático que representa estos fenómenos y relacione las variables involucradas, se podrán analizar y resolver problemas de interés tecnológico, como la predicción de los fenómenos o de interés científico como lo es la mera explicación de estos .Gastos de electricidad, agua, luz y teléfono, costos, producción, intereses financieros, natalidad, oferta, construcción y muchas otras situaciones pueden ser representadas por funciones matemáticas. Uno de los aspectos de gran

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interés y aplicación son los modelos de crecimiento y decrecimiento, utilizados frecuentemente en los ámbitos de la economía, demografía, medicina, farmacología, microbiología, epidemiología, radiactividad, etc. Tanto en el análisis de estos fenómenos como su cálculo requieren claridad sobre algunos conceptos básicos de la teoría de las funciones que lo representan y modelan, más allá de conocer solo las variables involucradas y sus valores numéricos.

Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro. El proceso para elaborar un modelo matemático es el siguiente: Encontrar un problema del mundo real Formular un modelo matemático acerca del problema, identificando variables (dependientes e independientes) y estableciendo hipótesis lo suficientemente simples para tratarse de manera matemática. Aplicar los conocimientos matemáticos que se posee para llegar a conclusiones matemáticas. Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales. Si los datos son diferentes, se reinicia el proceso. Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente exacto con problemas

de

la

vida

real,

de

hecho,

se

trata

de

una

idealización.

Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones observadas en el mundo real; las cuales. Se analizarán en los párrafos siguientes, tanto algebraicamente como gráficamente.

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CAPÍTULO III: DESARROLLO

Propagación de epidemia Un estudio realizado durante una epidemia que se propagó entre los habitantes de un departamento de nuestro país mostró que el número de habitantes afectados, en t días después de iniciado el brote, respondió a una expresión del tipo:

N y A constantes, A>1, donde N era el número total de habitantes a) Se puede demostrar que la máxima velocidad de propagación de la enfermedad ocurrió cuando se infectó la mitad de la población. b) Bosqueja la función n(t) para t ≥0 , y la función velocidad de propagación V. Solución: Siendo: n: números de habitantes infectados. N: Número total de habitantes del departamento. A y K: Constantes, 𝐴 > 1, 𝐾 > 0 , se cumple:

Para el inciso a) La velocidad de propagación de la enfermedad es:

Luego la deriva de la función inicial será:

Debemos probar ahora que esta función 𝑣 tiene un máximo en el intervalo [0, ∞]

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MODELOS MATEMÉTICOS APLICADOSA LA MEDICINA Calculando

Operando y agrupando términos

Para que finalmente nos quede Anulando la siguiente expresión:

Con esto hemos encontrado un punto crítico. Debemos clasificarlo para lo cual estudiaremos el signo de la función derivada Analizando:

El punto crítico es entonces un máximo.

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MODELOS MATEMÉTICOS APLICADOSA LA MEDICINA Busquemos el número de habitantes afectados en ese instante, es decir

Hemos encontrado entonces que el momento de máxima velocidad de propagación de la enfermedad es aquel que infecta a la mitad de habitantes.

Para la parte b) debemos calcular

La función derivada

Su simple observación te permite concluir que es positiva para todo valor de t, por lo que la función n(t) será creciente. La derivada segunda de la función n(t) como ya hemos visto cuyo signo lo da la fig. (1). El punto crítico hallado en la parte interior es entonces punto de inflexión de la función n(t), siendo la concavidad de la función:



Positiva en el intervalo



Negativa  

La fig.(2) muestra el grafico de la función n(t)

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

La fig.(3) nos muestra la gráfica de la función 𝑣

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Población de bacterias La población P de una colonia de bacterias con espacio y alimentos ilimitados, varía con el tiempo de acuerdo a la expresión: P(t)= C. e

K.t

con C y K constantes, t en horas y K en 1 /

hora. a) Si en el instante inicial t = 0 la población era de 1000 bacterias y al cabo de 1 hora la misma

se duplicó, determina los valores de C y

K.

b) Graficar la función P, halla la velocidad v de crecimiento de la población en función de t y determina el instante de mínima velocidad. c) Calcula la población al cabo de 2 horas y la velocidad de crecimiento en ese instante. d) Demuestra que el modelo matemático adoptado para el estudio del problema consistió en suponer que la velocidad de crecimiento de la población en un instante fue proporcional al número de bacterias en ese instante. Solución:

La población de bacterias varía con el tiempo según la expresión: P(t)= C. e constantes, t en horas y K en 1 / hora.

K.t

con C y K

0

Parte a)

Parte b) sustituyendo los valores hallados:

Para bosquejar la función, calculamos

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El grafico de P es como el indicado en la figura. Se trata de una función exponencial

De la inspección del grafico o de la expresión de la derivada primera se puede concluir que la mínima velocidad de crecimiento de la colonia ocurre en t=0 y vale:

Parte c)

Parte d)

Es decir que la velocidad de crecimiento de la colonia de bacterias es proporcional a la cantidad de ellas en cada instante, siendo K la constante de proporcionalidad

El modelo matemático anterior dado para estudiar la variación de la población medial P ha supuesto que la misma esta expresada por.

P(t )  5.e 0.0278t

,

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Con P en miles de millones de personas y t en años 0.

En este modelos se han considerado constantes la tasa de natalidad (nacimientos por año) y de mortalidad (defunciones por año).

Tomando t = 0 en el año 1987.

a) Bosquejo de la función P de t para t en años.

 0 P(t )  5.e 0.0278t

P en miles de millones, t

Como se trata de una simple función exponencial para la cual: P (0) = 5

lim P(t )  

t  



dP  5(0.0278)e 0.0278t = 0.139e 0.0278t > 0 dt

t  0

d 2P  0.139(0.0278)e 0.0278t  0.00361e 0.0278t > 0 t  0 2 dt El bosquejo de la gráfica es el siguiente

P(t)

5

0

t

b) Calculo de la variación instantánea de la población en el año 1987. Tomando a t = 0 en el año 1987, la tasa de variación instantánea de la población fue de:

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dP  5(0.0278)e 0.0278t = 0.139e 0.0278t dt



dP  0.139e 0.0278( 0) = 0.139 miles de millones /año dt t 0

= 139 millones /año

c) Calculo de la población prevista para el año 2005 y la tasa de variación instantánea en este año. En el año 2005 corresponde a t = 18; por lo que tendremos.

P(18)  5.e 0.0278(18)



8.247 miles de millones = 8247 millones.

La tasa de variación de la población será:

dP  0.139e 0.0278(18) dt t 0



229 millones/ año

d) En qué tiempo duplicaría la población existente en 1987 y cuando alcanzaría los 15,000 millones.

La población en 1987: P (0) = 5000 millones. La población se duplicara, es decir será de 10 0000 millones en un tiempo

t0

tal que:

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MODELOS MATEMÉTICOS APLICADOSA LA MEDICINA 10  5.e 0.0278t0

t0 

De aquí,

Ln2  25 años. 0.0278

La duplicación ocurriría en el año 2012.

La población alcanzaría los 15 000 millones en el tiempo t1 , tal que:

15  5.e 0.0278t0



t1 

Ln3  39.5 Años. 0.0278

e) ¿Crees adaptado a la realidad esta aplicación matemática?

A finales del año 2002 la población mundial fue del orden de 6000 millones.

De acuerdo a este modelo, como el año 2002 corresponde a t = 16 lo que daría para la población un valor de P (16)  7800 millones.

Estos valores permiten afirmar que el modelo no es suficientemente ajustado a la realidad debiéndose corregir mediante la introducción de parámetros que tengan en cuenta factores que no fueran ponderados a él.

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MODELOS MATEMÉTICOS APLICADOSA LA MEDICINA Nota:

De las expresiones:

P(t )  5.e 0.0278t Se deduce fácilmente que

y

dP  5(0.0278)e 0.0278t , dt

dP  0.0278).P(t ) dt

La velocidad de crecimiento fue tomada entonces como proporcional a la población P en esta aplicación, siendo 0.0278 la constante de proporcionalidad.

Si P (t ) es el tamaño de una población al tiempo t, el modelo de crecimiento exponencial comienza cuando suponiendo que

dP  kP(t ) , con k>0. dt

En este modelo, la tasa específica o relativa de crecimiento, definida por:

dP  kP(t ) dt

Es difícil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial durante largos periodos, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente ejercerán restricciones sobre el crecimiento demográfico. Así, cabe esperar que la ecuación disminuya a medida que P aumenta de tamaño.

Cinética de la fase exponencial de la curva de crecimiento microbiano La curva del crecimiento microbiano representa la evolución del número de número de células viables presente en un cultivo microbiano líquido a lo largo del tiempo de estudio. Se estudia el número de células viables por mililitro de un cultivo de volumen limitado y con una cantidad de nutrientes limitada, como por ejemplo un medio de cultivo líquido en un matraz que ha sido inoculado con una cantidad inicial de microorganismos o inóculo.

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MODELOS MATEMÉTICOS APLICADOSA LA MEDICINA En la curva de crecimiento se diferencias cuatro fases, la fase de retraso (a veces llamada fase de latencia), la fase de crecimiento exponencial o logarítmico, la fase estacionaria y la fase de muerte celular.

De las cuatro fases de la curva de crecimiento, habitualmente la fase de crecimiento exponencial o logarítmico es la que presenta mayor interés por ser la fase en la que el incremento del número de microorganismos es máximo. Durante esta fase el tiempo de generación (g) de los microorganismos (el tiempo que la población de microorganismo necesita para duplicar su número) se mantiene contante.

Esta parte se centrará en estudiar la cinética de la fase de crecimiento exponencial, y se hará hincapié en algunos parámetros que son explicados de formas dispares en distintas fuentes.

El crecimiento exponencial: representación gráfica Procederemos a realizar diversos cálculos a partir de un ejemplo muy sencillo: un cultivo bacteriano en fase de crecimiento exponencial (sin fase de retraso) en el que el número de células inicial del cultivo es de 1 bacteria viable por mililitro. Este cultivo duplicará el número de células cada hora durante un periodo de estudio de 10 horas. Por tanto, a lo largo del experimento tendríamos el número de células indicadas en la siguiente tabla y representada en la gráfica:

Tiempo ((h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Números de células 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

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Estudiar la cinética del crecimiento en una gráfica como la mostrada más arriba es complicado porque la relación entre el tiempo y el número de células no es lineal. En estadística, las relaciones que no son lineales son a menudo modificadas mediante la aplicación de logaritmos a los valores de la abscisas (valores x) o a los valores de las ordenadas (valores y). En el caso de las curvas de crecimiento microbiano se suelen aplicar logaritmos a los valores de concentración de los microorganismos en el cultivo. Esto permite que en la fase de crecimiento exponencial la relación entre las abscisas y ordenadas sea lineal.

Para realizar la transformación indicada de la gráfica podríamos aplicar tres tipos de logaritmos: o logaritmos de base 10, o logaritmos naturales (de base e; e=2,718282) o logaritmos de base 2. A continuación mostramos las relaciones lineales entre el tiempo y el número de células cuando se ha aplicado los tres logaritmos indicados:

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Tal y como se aprecia en las tres gráficas, la aplicación de los tres tipos de logaritmos permite que la relación entre las abscisas (tiempo) y las ordenadas (logaritmos del número de células) pase a ser lineal. Si bien los datos de partida son los mismos, la pendiente de las gráficas son diferentes: la pendiente es mayor cuanto menor es la base del logaritmo (base 10, base e, o base 2).

Las tres representaciones gráficas pueden ser utilizadas para el cálculo de la cinética de la fase exponencial de crecimiento, pero usar uno u otro tiene importantes implicaciones sobre algunos parámetros relacionados con esta fase de la curva de crecimiento.

El crecimiento exponencial: la pendiente de la gráfica El siguiente parámetro que podemos calcular en una recta como las indicadas en el apartado anterior es su pendiente. La pendiente es el ratio entre el incremento de y el incremento de x de la curva. La pendiente nos permitirá relacionar el tiempo (t) con el número de microorganismos en la muestra.

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Dado que tenemos tres gráficas diferentes, calcularemos tres valores de pendiente diferentes

Una vez hemos calculado la pendiente, podemos relacionar los valores de x e y a través de una ecuación lineal del tipo y = ax + b. En nuestro ejemplo concreto las variables de la ecuación lineal serán los siguientes:

y log10, ln o log2 del número de células (en función de la gráfica). a

es la pendiente (que a su vez depende de la gráfica).

x

es el tiempo (t).

b es igual a cero en nuestros ejemplos, pues las tres gráficas pasan por el punto (0,0) Consecuentemente obtendremos las siguientes relaciones lineales para nuestras gráficas:

El crecimiento exponencial: relación entre la pendiente y el tiempo de generación (g) Como se ha indicado anteriormente, el tiempo de generación (g) de la fase exponencial de crecimiento es constante durante toda la fase, y también lo es la pendiente. Estos dos parámetros están estrechamente relacionados. El problema

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MODELOS MATEMÉTICOS APLICADOSA LA MEDICINA radica en que la pendiente depende de la gráfica que hayamos representado, mientras que el tiempo de generación (el tiempo que tarda la población en duplicarse) es un valor que no cambia con la representación gráfica.

Por tanto, la relación entre tiempo de generación y la pendiente de la curva dependerá de la representación gráfica que hayamos generado. En el siguiente cuadro y para cada una de las gráficas se han relacionado la pendiente y el valor g:

Por tanto, la pendiente de la gráfica y el tiempo de generación están estrechamente relacionados, pero la ecuación que relaciona ambos parámetros depende de la representación gráfica.

¿Qué son las variables k, v y µ de la fase exponencial de crecimiento? Las abreviaturas k, v y µ corresponden a variables de la fase exponencial de crecimiento que se relacionan a través de ecuaciones muy simples con el tiempo de generación (g). Tanto la denominación correspondiente a estas abreviaturas como su relación con g varían de una referencia bibliográfica a otra. En la siguiente tabla se indican los nombres dados a k, v y µ y su relación con g en distintas fuentes.

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MODELOS MATEMÉTICOS APLICADOSA LA MEDICINA Si comparamos la relación entre los parámetros k, v y µ y el tiempo de generación (g) con las ecuaciones del apartado anterior en el que relacionábamos la pendiente de la curva con g, podemos apreciar que k, v y µ corresponden a las pendientes de al menos una de las representaciones gráficas de la fase de crecimiento exponencial: v y µ son equivalentes a la pendiente de la gráfica logarítmica de base 2, y k puede ser asociada a cualquiera de las gráficas, dependiendo de la referencia bibliográfica. Para describir la relación entre el tiempo y el número de células en la fase exponencial de crecimiento, ¿qué formulas y parámetros debemos usar? A estas alturas es evidente que el número de células y el tiempo de generación (g) de la fase de crecimiento exponencial pueden ser fácilmente relacionados entre sí, y que la pendiente de la gráfica es esencial para definir la relación lineal existente entre ambos parámetros. Por otra parte, es cuestionable la necesidad de definir los parámetros k, v y µ (que equivalen a las pendientes de la representaciones gráficas que nos atañe) para describir la relación lineal entre g y número de células, en lugar de decir simplemente que son la pendiente de la fase exponencial. Pero es evidente que k, v y µ son parámetros descritos en la literatura. En la tabla de más abajo se indican las ecuaciones básicas que definen la cinética de la fase exponencial de crecimiento en cada tipo de representación. Se ha sustituido la pendiente de las ecuaciones anteriores por k, v o µ.

De los tres conjunto de ecuaciones, ¿cuál debo usar en mi caso concreto? En principio la decisión es personal, pero podría ser matizada: las ecuaciones y los parámetros estudiados (k, v o µ) deberán adecuarse a la representación gráfica utilizada.

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MODELOS MATEMÉTICOS APLICADOSA LA MEDICINA Por lógica, si representamos la curva de crecimiento microbiano utilizando logaritmos de base 10 (lo más habitual) deberíamos utilizar ecuaciones en las que k corresponda a la pendiente de la fase de crecimiento exponencial de dicha representación gráfica. De ese modo estaremos usando un parámetro que podemos “ver” en la gráfica, lo cual es deseable.

Por tanto, cuando la representación gráfica es logarítmica de base 10, usaremos las siguientes ecuaciones:

Donde k es la constante de la velocidad.

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CAPÍTULO IV: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Conclusiones Einstein dijo: “el principio creativo reside en las matemáticas” En conclusión, desde tiempos memorables la matemática viene siendo el pilar esencial, el arquetipo de las ciencias exactas que permite un mejor entendimiento de todo tipo de fenómenos que se experimentan en la vida cotidiana, pudiéndose aplicar a cualquiera de las áreas de estudio que nos puede ofrecer la medicina. Una de sus características más resaltantes es su gran expresividad respecto a una insuficiencia de exactitud que existe en el lenguaje puramente lingüístico. Cabe resaltar lo que ya se explicó al inicio, este trabajo se basa en modelos matemáticos aplicados a la medicina, los cuales son una idealización de la verdadera problemática. Por ende todo lo anterior es una simplificación del mundo real en dos variables ya que sería muy complicado analizar un problema haciendo uso de todas las variables que toman participación de este, por eso debido a su complejidad se hace uso de estos modelos. No es correcto preguntarse si un modelo matemático sirve para algo o no. Lo correcto sería resolver un problema haciendo uso de alguno, haciendo uso quizás de algunos que hayan permanecidos puros hasta hoy. Por eso como usted ha podido apreciar en este trabajo hemos tratado darle el uso adecuado a estos modelos a fin de cumplir con los objetivos planteados en este trabajo. Definimos la problemática en función de dos variables estableciendo una relación directa entre ambas, planteando la función que pudiera expresar de manera más precisa las situaciones, y mediante el uso de algoritmos matemáticos (derivación) hemos logrado hallar las incógnitas y predecir cómo se desarrollaran cada uno de los problemas propuestos.

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Recomendaciones Uno de los defectos de estos modelos matemáticos es que aún no son capaces de tener una exactitud del cien por ciento, y es debido a la reducción de variables. Lo que se necesitaría hacer es tomar en cuenta todas las variables que podrían ocasionar alguna variación en el tema abordado, claro que al hacer esto aumentaría la complejidad del problema y dificultaría mucho su análisis, requiriendo del uso de algoritmos mucho más avanzados, pero llegando a obtener resultados mucho más precisos. Se podrían también tomar todas las variables en conjuntos reducidos y así analizarlas, y luego se hace una comparación entre todos los pequeños conjuntos formados, esto lo haría menos tedioso. Pero la primordial es hacer que estos modelos se asemejen en lo mayor posible a la realidad.

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CAPÍTULO V: BIBLIOGRAFÍA 

http://imbiomed.com.mx/1/1/articulos.php?method=showDetail&id_articulo =10287&id_seccion=12&id_ejemplar=1038&id_revista=2



http://www.levante-emv.com/ciencia-salud/2008/09/08/importanciamatematicas-medicina/492262.html



http://innovacionensalud.com/aplicaciones-de-la-matematica-en-la-medicinadoctopolis/



http://www.mat.ucm.es/imi/documents/ActasMatematicasCienciasDeLaSalud .pdf



http://www.medigraphic.com/pdfs/medintmex/mim-2012/mim123l.pdf



http://aprenderlyx.com/analisis-y-ejemplos-de-recomendaciones-delproyecto-de-investigacion/



http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml

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