Mechanics of Materials Ninth Edition Si Edition Gere Full Chapter

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SI EDITION

Mechanics of Ninth Edition

Barry J. Goodno | James M. Gere

Goodno Gere

SI EDITION

Mechanics of

materials Ninth Edition

materials

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SI

Mechanics of

materials

SI EDITION

Ninth Edition

Barry J. Goodno | James M. Gere Copyright 2018 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. WCN 02-200-203

Table I-1 Weights and Mass Densities

Weight Density g

Mass Density r

kN/m3

kg/m3

Aluminum alloys 2014-T6, 7075-T6 6061-T6

26–28 28 26

2600–2800 2800 2700

Brass

82–85

8400–8600

Bronze

80–86

8200–8800

Cast iron

68–72

7000–7400

Concrete Plain Reinforced Lightweight

23 24 11–18

2300 2400 1100–1800

87

8900

Glass

24–28

2400–2800

Magnesium alloys

17–18

1760–1830

Monel (67% Ni, 30% Cu)

87

8800

Nickel

87

8800

Plastics Nylon Polyethylene

8.6–11 9.4–14

880–1100 960–1400

Rock Granite, marble, quartz Limestone, sandstone

  26–28 20–28

  2600–2900 2000–2900

Rubber

9–13

960–1300

Sand, soil, gravel

12–21

1200–2200

77.0

7850

Titanium

44

4500

Tungsten

190

1900

Water, fresh sea

9.81 10.0

1000 1020

  4.7–5.5 6.3–7.1 5.5–6.3

  480–560 640–720 560–640

Material

Copper

Steel

Wood (air dry) Douglas fir Oak Southern pine

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Table I-2 Moduli of Elasticity and Poisson’s Ratios

Material

Modulus of Elasticity E Shear Modulus of Elasticity G

Poisson’s Ratio n

GPa

GPa

Aluminum alloys 2014-T6 6061-T6 7075-T6

70–79 73 70 72

26–30 28 26 27

0.33 0.33 0.33 0.33

Brass

96–110

36–41

0.34

Bronze

96–120

36–44

0.34

Cast iron

83–170

32–69

0.2–0.3

Concrete (compression)

17–31

Copper and copper alloys

0.1–0.2

110–120

40–47

0.33–0.36

Glass

48–83

19–35

0.17–0.27

Magnesium alloys

41–45

15–17

0.35

Monel (67% Ni, 30% Cu)

170

66

0.32

Nickel

210

80

0.31

Plastics Nylon Polyethylene

  2.1–3.4 0.7–1.4

  0.4 0.4

Rock (compression) Granite, marble, quartz Limestone, sandstone

  40–100 20–70

  0.2–0.3 0.2–0.3

Rubber

0.0007–0.004

0.0002–0.001

0.45–0.50

Steel

190–210

75–80

0.27–0.30

Titanium alloys

100–120

39–44

0.33

Tungsten

340–380

140–160

0.2

Wood (bending) Douglas fir Oak Southern pine

  11–13 11–12 11–14

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Mechanics of Materials Ninth Edition, SI

Barry J. Goodno Georgia Institute of Technology

James M. Gere Professor Emeritus, Stanford University

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Mechanics of Materials, Ninth Edition, SI Barry J. Goodno and James M. Gere Product Director, Global Engineering: Timothy L. Anderson Senior Content Developer: Mona Zeftel Associate Media Content Developer: Ashley Kaupert Product Assistant: Teresa Versaggi Marketing Manager: Kristin Stine Director, Higher Education Production: ­Sharon L. Smith

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Content Project Manager: D. Jean Buttrom Production Service: RPK Editorial Services, Inc.

Library of Congress Control Number: 2016958773 ISBN: 978-1-337-09335-4

Copyeditor: Patricia Daly Proofreader: Shelly Gerger-Knechtl Indexer: Shelly Gerger-Knechtl Compositor: SPi Global Senior Art Director: Michelle Kunkler Cover and Internal Designer: Lou Ann Thesing Cover and Internal Image: MACIEJ NOSKOWSKI/E+/Getty Images Intellectual Property Analyst: Christine Myaskovsky Project Manager: Sarah Shainwald Text and Image Permissions Researcher: Kristiina Paul Manufacturing Planner: Doug Wilke

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Printed in Canada Print Number: 01 Print Year: 2016

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C o n te n ts About the Authors ix Preface xi Preface to the SI Edition xviii MindTap Online Course xix

*2.10 Stress Concentrations 211 *2.11 Nonlinear Behavior 218 *2.12 Elastoplastic Analysis 222

Chapter Summary and Review 229 Problems 231

Symbols xxii

3. Torsion 281

Greek Alphabet xxv

3.1 Introduction 282 3.2 Torsional Deformations of a Circular

1. Tension, Compression, and Shear 1   1.1 Introduction to Mechanics   1.2   1.3   1.4   1.5   1.6   1.7   1.8   1.9   1.10

of Materials 2 Problem-Solving Approach 2 Statics Review 3 Normal Stress and Strain 22 Mechanical Properties of Materials 31 Elasticity, Plasticity, and Creep 38 Linear Elasticity, Hooke’s Law, and Poisson’s Ratio 44 Shear Stress and Strain 50 Allowable Stresses and Allowable Loads 63 Design For Axial Loads and Direct Shear 70 Chapter Summary and Review 74 Problems 77

2. Axially Loaded Members 123 2.1 Introduction 124 2.2 Changes in Lengths of Axially Loaded

Members 124 2.3 Changes in Lengths under Nonuniform

Conditions 132 2.4 Statically Indeterminate Structures 146 2.5 Thermal Effects, Misfits, and Prestrains 159 2.6 Stresses on Inclined Sections 178 2.7 Strain Energy 190 *2.8 Impact Loading 201 *2.9 Repeated Loading and Fatigue 209

Bar 282 3.3 Circular Bars of Linearly Elastic

Materials 285 3.4 Nonuniform Torsion 298 3.5 Stresses and Strains in Pure Shear 310 3.6 Relationship Between Moduli of Elasticity E and G 317 3.7 Transmission of Power by Circular Shafts 319 3.8 Statically Indeterminate Torsional Members 323 3.9 Strain Energy in Torsion and Pure Shear 327 3.10 Torsion of Noncircular Prismatic Shafts 334 3.11 Thin-Walled Tubes 344 *3.12 Stress Concentrations in Torsion 352 Chapter Summary and Review 357 Problems 360

4. Shear Forces and Bending Moments 389 4.1 Introduction 390 4.2 Types of Beams, Loads, and

Reactions 390 4.3 Shear Forces and Bending

Moments 400 4.4 Relationships Among Loads, Shear Forces, and Bending Moments 408 4.5 Shear-Force and Bending-Moment Diagrams 412 Chapter Summary and Review 439 Problems 441

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v

vi Contents

5. Stresses in Beams (Basic Topics) 459

7. Analysis of Stress and Strain 657

5.1 Introduction 460 5.2 Pure Bending and Nonuniform

7.1 Introduction 658 7.2 Plane Stress 658 7.3 Principal Stresses and Maximum Shear

Bending 460 5.3 Curvature of a Beam 461 5.4 Longitudinal Strains in Beams 463 5.5 Normal Stresses in Beams

(Linearly Elastic Materials) 467 5.6 Design of Beams for Bending Stresses 480 5.7 Nonprismatic Beams 490 5.8 Shear Stresses in Beams of Rectangular Cross Section 494 5.9 Shear Stresses in Beams of Circular Cross Section 502 5.10 Shear Stresses in the Webs of Beams with Flanges 505 *5.11 Built-Up Beams and Shear Flow 512 *5.12 Beams with Axial Loads 516 *5.13 Stress Concentrations in Bending 523 Chapter Summary and Review 528 Problems 532

Stresses 666 7.4 Mohr’s Circle for Plane Stress 674 7.5 Hooke’s Law for Plane Stress 687 7.6 Triaxial Stress 693 7.7 Plane Strain 697 Chapter Summary and Review 712 Problems 715

8. Applications of Plane Stress (Pressure Vessels, Beams, and Combined Loadings) 739 8.1 Introduction 740 8.2 Spherical Pressure Vessels 740 8.3 Cylindrical Pressure Vessels 746 8.4 Maximum Stresses in Beams 753 8.5 Combined Loadings 761

Chapter Summary and Review 786 Problems 788

6. Stresses in Beams (Advanced Topics) 569

9. Deflections of Beams 811

6.1 Introduction 570 6.2 Composite Beams 570 6.3 Transformed-Section Method 579 6.4 Doubly Symmetric Beams with

9.1 Introduction 812 9.2 Differential Equations of the

Inclined Loads 587 6.5 Bending of Unsymmetric Beams 594 6.6 The Shear-Center Concept 605 6.7 Shear Stresses in Beams of Thin-Walled

Open Cross Sections 606 6.8 Shear Stresses in Wide-Flange Beams 609 6.9 Shear Centers of Thin-Walled Open Sections 613 *6.10 Elastoplastic Bending 621 Chapter Summary and Review 630 Problems 632

Deflection Curve 812 9.3 Deflections by Integration of the Bending-Moment Equation 817 9.4 Deflections by Integration of the ShearForce and Load Equations 828 9.5 Method of Superposition 833 9.6 Moment-Area Method 842 9.7 Nonprismatic Beams 850 9.8 Strain Energy of Bending 855 *9.9 Castigliano’s Theorem 860 *9.10 Deflections Produced by Impact 872 *9.11 Temperature Effects 874 Chapter Summary and Review 878 Problems 880

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Contents vii

10. Statically Indeterminate Beams 909

References and Historical Notes 1033

10.1 Introduction 910 10.2 Types of Statically Indeterminate

APPENDIX A: Systems of Units 1042

Beams 910 10.3 Analysis by the Differential Equations of the Deflection Curve 913 10.4 Method of Superposition 919 *10.5 Temperature Effects 933 *10.6 Longitudinal Displacements at the Ends of a Beam 940 Chapter Summary and Review 943 Problems 945

11. Columns 963 11.1 Introduction 964 11.2 Buckling and Stability 964 11.3 Columns with Pinned Ends 972 11.4 Columns with Other Support

Conditions 981 11.5 Columns with Eccentric

Axial Loads 990 11.6 The Secant Formula for Columns 995 11.7 Elastic and Inelastic Column Behavior 1000 11.8 Inelastic Buckling 1002 Chapter Summary and Review 1008 Problems 1011

APPENDIX B: Problem Solving 1050 APPENDIX C: Mathematical Formulas 1058 APPENDIX D: Review of Centroids and Moments of Inertia 1063 APPENDIX E: Properties of Plane Areas 1089 APPENDIX F: Properties of Structural-Steel Shapes 1095 APPENDIX G: Properties of Structural Timber 1101 APPENDIX H: Deflections and Slopes of Beams 1102 APPENDIX I: Properties of Materials 1108 Answers to Problems 1113 Index 1150

*A star attached to a section number indicates a specialized and/or advanced topic.

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A B O U T T H ECAoUnTte H On RtsS Barry J. Goodno Barry John Goodno is Professor of Civil and Environmental Engineering at ­Georgia Institute of Technology. He joined the Georgia Tech faculty in 1974. He was an Evans Scholar and received a B.S. in Civil Engineering from the University of Wisconsin, Madison, Wisconsin, in 1970. He received M.S. and Ph.D. degrees in Structural Engineering from Stanford University, Stanford, California, in 1971 and 1975, respectively. He holds a professional engineering license (PE) in Georgia, is a Distinguished Member of ASCE and an Inaugural Fellow of SEI, and has held numerous leadership positions within ASCE. He is a past president of the ASCE Structural Engineering Institute (SEI) Board of Governors and is also a member of the Engineering Mechanics Institute (EMI) of ASCE. He is past-chair of the ASCE-SEI Technical Activities Division (TAD) Executive Committee, and past-chair of the ASCE-SEI Awards Committee. In 2002, Dr. Goodno received the SEI Dennis L. Tewksbury Award for outstanding service to ASCE-SEI. He received the departmental award for Leadership in Use of Technology in 2013 for his pioneering use of lecture capture technologies in undergraduate statics and mechanics of materials courses at Georgia Tech. He is a member of the Earthquake Engineering Research Institute (EERI) and has held several leadership positions within the NSF-funded Mid-America Earthquake Center (MAE), directing the MAE Memphis Test Bed Project. Dr. Goodno has carried out research, taught graduate courses and published extensively in the areas of earthquake engineering and structural dynamics during his tenure at Georgia Tech. Dr. Goodno is an active cyclist, retired soccer coach and referee, and a retired marathon runner. Like co-author and mentor James Gere, he has completed numerous marathons including qualifying for and running the Boston Marathon in 1987.

© Barry Goodno

James M. Gere

Courtesy of James and Janice Gere Family Trust



James M. Gere (1925-2008) earned his undergraduate and master’s degree in Civil Engineering from the Rensselaer Polytechnic Institute in 1949 and 1951, respectively. He worked as an instructor and later as a Research Associate for Rensselaer. He was awarded one of the first NSF Fellowships, and chose to study at Stanford. He received his Ph.D. in 1954 and was offered a faculty position in Civil Engineering, beginning a 34-year career of engaging his students in challenging topics in mechanics, and structural and earthquake engineering. He served as Department Chair and Associate Dean of Engineering and in 1974 co-founded the John A. Blume Earthquake Engineering Center at Stanford. In 1980, Jim Gere also became the founding head of the Stanford Committee on Earthquake Preparedness. That same year, he was invited as one of the first foreigners to study the earthquake-devastated city of Tangshan, China. Jim retired from Stanford in 1988 but continued to be an active and most valuable member of the Stanford community.

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About the Authors

Jim Gere was known for his outgoing manner, his cheerful personality and wonderful smile, his athleticism, and his skill as an educator in Civil Engineering. He authored nine textbooks on various engineering subjects starting in 1972 with Mechanics of Materials, a text that was inspired by his teacher and mentor Stephan P. Timoshenko. His other well-known textbooks, used in engineering courses around the world, include: Theory of Elastic Stability, co-authored with S. Timoshenko; Matrix Analysis of Framed Structures and Matrix Algebra for Engineers, both co-authored with W. Weaver; Moment Distribution; Earthquake Tables: Structural and Construction Design Manual, co-authored with H. Krawinkler; and Terra Non Firma: Understanding and Preparing for Earthquakes, co-authored with H. Shah. In 1986 he hiked to the base camp of Mount Everest, saving the life of a companion on the trip. James was an active runner and completed the Boston Marathon at age 48, in a time of 3:13. James Gere will be long remembered by all who knew him as a considerate and loving man whose upbeat good humor made aspects of daily life or work easier to bear.

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P R E FAC E Mechanics of Materials is a basic engineering subject that, along with statics, must be understood by anyone concerned with the strength and physical performance of structures, whether those structures are man-made or natural. At the college level, statics is usually taught during the sophomore or junior year and is a prerequisite for the follow-on course in Mechanics of Materials. Both courses are required for most students majoring in mechanical, structural, civil, biomedical, petroleum, nuclear, aeronautical, and aerospace engineering. In addition, many students from such diverse fields as materials science, industrial engineering, architecture, and agricultural engineering also find it useful to study mechanics of materials.

Mechanics of Materials In many university engineering programs today, both statics and mechanics of materials are taught in large sections of students from the many engineering disciplines. Instructors for the various parallel sections must cover the same material, and all of the major topics must be presented so that students are well prepared for the more advanced courses required by their specific degree programs. An essential prerequisite for success in a first course in mechanics of materials is a strong foundation in statics, which includes not only understanding fundamental concepts but also proficiency in applying the laws of static equilibrium to solutions of both two- and three-dimensional problems. This ninth edition begins with an updated section on statics in which the laws of equilibrium and an expanded list of boundary (or support) conditions are reviewed, as well as types of applied forces and internal stress resultants, all based upon and derived from a properly drawn free-body diagram. Numerous examples and endof-chapter problems are included to help students review the analysis of plane and space trusses, shafts in torsion, beams and plane and space frames, and to reinforce basic concepts learned in the prerequisite course. Many instructors like to present the basic theory of say, beam bending, and then use real world examples to motivate student interest in the subject of beam flexure, beam design, etc. In many cases, structures on campus offer easy access to beams, frames, and bolted connections that can be dissected in lecture or in homework problems, to find reactions at supports, forces and moments in members and stresses in connections. In addition, study of causes of failures in structures and components also offers the opportunity for students to begin the process of learning from actual designs and past engineering mistakes. A number of the new example problems and also the new and revised end-of-chapter problems in this ninth edition are based upon actual components or structures and are accompanied by photographs so that the student can see the real world problem alongside the simplified mechanics model and free-body diagrams used in its analysis. An increasing number of universities are using rich media lecture (and/ or classroom) capture software (such as Panopto and Tegrity) in their large undergraduate courses in mathematics, physics, and engineering. The many new photos and enhanced graphics in the ninth edition are designed to support this enhanced lecture mode. Copyright 2018 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. WCN 02-200-203

xi

xii Preface

Key Features The main topics covered in this book are the analysis and design of structural members subjected to tension, compression, torsion, and bending, including the fundamental concepts mentioned above. Other important topics are the transformations of stress and strain, combined loadings and combined stress, deflections of beams, and stability of columns. Some additional specialized topics include the following: stress concentrations, dynamic and impact loadings, non-prismatic members, shear centers, bending of beams of two materials (or composite beams), bending of unsymmetric beams, maximum stresses in beams, energy based approaches for computing deflections of beams, and statically indeterminate beams. Each chapter begins with a Chapter Overview highlighting the major topics covered in that chapter and closes with a Chapter Summary and Review in which the key points as well as major mathematical formulas in the chapter are listed for quick review. Each chapter also opens with a photograph of a component or structure that illustrates the key concepts discussed in the chapter.

New Features Some of the notable features of this ninth edition, which have been added as new or updated material to meet the needs of a modern course in mechanics of materials, are: • Problem-Solving Approach—All examples in the text are presented in a new Four-Step Problem-Solving Approach which is patterned after that presented by R. Serway and J. Jewett in Principles of Physics, 5e, Cengage Learning, 2013. This new structured format helps students refine their problem-solving skills and improve their understanding of the main concepts illustrated in the example. • Statics Review—The Statics Review section has been enhanced in Chapter 1. Section 1.2 includes four new example problems which illustrate calculation of support reactions and internal stress resultants for truss, beam, circular shaft and plane frame structures. Thirty-four end-of-chapter problems on statics provide students with two- and three-dimensional structures to be used as practice, review, and homework assignment problems of varying difficulty. • Expanded Chapter Overview and Chapter Summary and Review sections— The Chapter Overview and Chapter Summary sections have been expanded to include key equations and figures presented in each chapter. These summary sections serve as a convenient review for students of key topics and equations presented in each chapter. • Continued emphasis on underlying fundamental concepts such as equilibrium, constitutive, and strain-displacement/ compatibility equations in problem solutions. Example problem and end-of-chapter problem solutions have been updated to emphasize an orderly process of explicitly writing out the equilibrium, constitutive and strain-displacement/ compatibility equations before attempting a solution.

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xiii Preface • Expanded topic coverage—The following topics have been updated or have received expanded coverage: stress concentrations in axially loads bars (Sec. 2.10); torsion of noncircular shafts (Sec. 3.10); stress concentrations in bending (Sec. 5.13); transformed section analysis for composite beams (Sec. 6.3); and generalized flexure formula for unsymmetric beams (Sec. 6.5). • Many new example and end-of-chapter problems—More than forty new example problems have been added to the ninth edition. In addition, there are more than 400 new and revised end-of-chapter problems out of the 1440 problems presented in the ninth edition text. The end-of-­chapter problems are now grouped as Introductory or Representative and are arranged in order of increasing difficulty. • Centroids and Moments of Inertia review has moved to Appendix D to free up space for more examples and problems in earlier chapters.

Importance of Example Problems • Examples are presented throughout the book to illustrate the ­theoretical concepts and show how those concepts may be used in practical ­situations. All examples are presented in the Four-Step Problem-­Solving Approach format so that the basic concepts as well as the key steps in setting up and solving each problem are clearly understood. New photographs have been added showing actual engineering structures or components to reinforce the tie between theory and application. Each example begins with a clear statement of the problem and then presents a simplified analytical model and the associated free-body diagrams to aid students in understanding and applying the relevant theory in engineering analysis of the system. In most cases, the examples are worked out in symbolic terms so as to better illustrate the ideas, and then numeric values of key parameters are substituted in the final part of the analysis step. In selected examples throughout the text, graphical display of results (e.g., stresses in beams) has been added to enhance the student’s understanding of the problem results.

Example 1-1 Figure 1-6

Figure 1-7 Free-body diagram of truss model y P

b

C

θA = 60°

Ax A Ay

2P θC = 80° a

θB = 40° B

D

By c/2

c/2

x

In many cases, the problem involves the analysis of a real physical structure, such as this truss structure (Fig. 1-6) ­representing part of the fuselage of a model air plane. Begin by sketching the portion of the structure of interest showing members, supports, dimensions and loadings. This Conceptualization step in the analysis often leads to a free-body diagram (Fig. 1-7).

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xiv Preface

Solution: The next step is to simplify the problem, list known data and identify all unknowns, and make necessary assumptions to create a suitable model for analysis. This is the Categorize step.

Write the governing equations, then use appropriate mathematical and computational techniques to solve the equations and obtain results, either in the form of mathematical formulas or numerical values. The Analysis step leads to support reaction and member forces in the truss.

The solution involves the following steps: 1. Conceptualize [hypothesize, sketch]: First sketch a free-body diagram of the entire truss model (Figure 1-7). Only known applied forces at C and unknown reaction forces at A and B are shown and then used in an equilibrium analysis to find the reactions. 2. Categorize [simplify, classify]: Overall equilibrium requires that the force components in x and y directions and the moment about the z axis must sum to zero; this leads to reaction force components Ax, Ay, and By. The truss is statically determinate (unknowns: m 1 r 5 5 1 3 5 8, knowns: 2j 5 8) so all member forces can be obtained using the method of joints. . . . 3. Analyze [evaluate; select relevant equations, carry out mathematical ­solution]: First find the lengths of members AC and BC, which are needed to compute distances to lines of action of forces. Law of sines to find member lengths a and b: Use known angles u A, u B, and uC and c 5 3 m to find lengths a and b: b 5c

sin(u B ) sin(408 ) 5 1.958 m, 5 (3 m) sin(uC ) sin(808 )

a 5c

sin(u A ) sin(608 ) 5 (3 m) 5 2.638 m sin(uC ) sin(808 )

Check that computed lengths a and b give length c by using the law of cosines: List the major steps in your analysis procedure so that it is easy to review or check at a later time.

c 5 (1.958 m)2 1 (2.638 m) 2 2 2(1.958 m)(2.638 m) cos(808 ) 5 3 m 4. Finalize [conclude; examine answer—does it make sense? Are units ­correct? How does it compare to similar problem solutions?]: There are 2 j 5 8 equilibrium equations for the simple plane truss considered above and, using the method of joints, these are obtained by applying SFx 5 0 and SFy 5 0 at each joint in succession. A computer solution of these simultaneous equations leads to the three reaction forces and five member forces. The method of sections is an efficient way to find selected member forces.

List the major steps in the Finalize step, review the solution to make sure that it is presented in a clear fashion so that it can be easily reviewed and checked by others. Are the expressions and numerical values obtained reasonable? Do they agree with your initial expectations? Copyright 2018 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. WCN 02-200-203

xv Preface

Problems In all mechanics courses, solving problems is an important part of the learning process. This textbook offers more than 1440 problems, many with multiple parts, for homework assignments and classroom discussions. The problems are placed at the end of each chapter so that they are easy to find and don’t break up the presentation of the main subject matter. Also, problems are generally arranged in order of increasing difficulty, thus alerting students to the time necessary for solution. Answers to all problems are listed near the back of the book. Considerable effort has been spent in checking and proofreading the text so as to eliminate errors. If you happen to find one, no matter how trivial, please notify me by e-mail ([email protected]). We will correct any errors in the next printing of the book.

Units The International System of Units (SI) is used in all examples and problems. Tables containing properties of structural-steel shapes in SI units may be found in Appendix F so that solution of beam analysis and design examples and end-of-chapter problems can be carried out in SI units.

Supplements Instructor Resources An Instructor’s Solutions Manual is available online on the Instructor's Resource Center for the book and includes solutions to all problems from this edition with Mathcad solutions available for some problems. The Manual includes rotated stress elements for problems as well as an increased number of free body diagrams. The Solutions Manual is accessible to instructors on http://login.cengage.com. The Instructor Resource Center also contains a full set of Lecture Note PowerPoints.

Student Resources FE Exam Review Problems has been updated and now appears online. This supplement contains 106 FE-type review problems and solutions, which cover all of the major topics presented in the text and are representative of those likely to appear on an FE exam. Each of the problems is presented in the FE Exam format and is intended to serve as a useful guide to the student in preparing for this important examination. Many students take the Fundamentals of Engineering Examination upon graduation, the first step on their path to registration as a Professional Engineer. Most of these problems are in SI units which is the system of units used on the FE Exam itself, and require use of an engineering calculator to carry out the solution. The student must select from four available answers, only one of which is the correct answer. Go to http://www.cengagebrain.com to find the FE Exam Review Problems and the resources below, which are available on the student website for this book: • Answers to the FE Exam Review Problems • Detailed Solutions for Each Problem Copyright 2018 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. WCN 02-200-203

xvi Preface

S.P. Timoshenko (1878–1972) and J.M. Gere (1925–2008) Many readers of this book will recognize the name of Stephen P. Timoshenko— probably the most famous name in the field of applied mechanics. A brief biography of Timoshenko appears in the first reference in the References and Historical Notes section. Timoshenko is generally recognized as the world’s most outstanding pioneer in applied mechanics. He contributed many new ideas and concepts and became famous for both his scholarship and his teaching. Through his numerous textbooks he made a profound change in the teaching of mechanics not only in this country but wherever mechanics is taught. Timoshenko was both teacher and mentor to James Gere and provided the motivation for the first edition of this text, authored by James M. Gere and published in 1972. The second and each subsequent edition of this book were written by James Gere over the course of his long and distinguished tenure as author, educator, and researcher at Stanford University. James Gere started as a doctoral student at Stanford in 1952 and retired from Stanford as a professor in 1988 having authored this and eight other well-known and respected text books on mechanics, and structural and earthquake engineering. He remained active at Stanford as Professor Emeritus until his death in January of 2008.

Acknowledgments To acknowledge everyone who contributed to this book in some manner is clearly impossible, but I owe a major debt to my former Stanford teachers, especially my mentor and friend, and co-author James M. Gere. I am grateful to my many colleagues teaching Mechanics of Materials at various institutions throughout the world who have provided feedback and constructive criticism about the text; for all those anonymous reviews, my thanks. With each new edition, their advice has resulted in significant improvements in both content and pedagogy. My appreciation and thanks also go to the reviewers who provided specific comments for this ninth edition: Erian Armanios, University of Texas at Arlington Aaron S. Budge, Minnesota State University, Mankato Virginia Ferguson, University of Colorado, Boulder James Giancaspro, University of Miami Paul Heyliger, Colorado State University Eric Kasper, California Polytechnic State University, San Luis Obispo

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xvii Preface Richard Kunz, Mercer University David Lattanzi, George Mason University Gustavo Molina, Georgia Southern University Suzannah Sandrik, University of Wisconsin—Madison Morteza A.M. Torkamani, University of Pittsburgh I wish to also acknowledge my Structural Engineering and Mechanics colleagues at the Georgia Institute of Technology, many of whom provided valuable advice on various aspects of the revisions and additions leading to the current edition. It is a privilege to work with all of these educators and to learn from them in almost daily interactions and discussions about structural engineering and mechanics in the context of research and higher education. I wish to extend my thanks to my many current and former students who have helped to shape this text in its various editions. Finally, I would like to acknowledge the excellent work of Edwin Lim who suggested new problems and also carefully checked the solutions of many of the new examples and end of chapter problems. I wish to acknowledge and thank the Global Engineering team at Cengage Learning for their dedication to this new book: Timothy Anderson, Product Director; Mona Zeftel, Senior Content Developer; D. Jean Buttrom, Content Project Manager; Kristin Stine, Marketing Manager; Elizabeth Brown and Brittany Burden, Learning Solutions Specialists; Ashley Kaupert, Associate Media Content Developer; Teresa Versaggi and Alexander Sham, Product Assistants; and Rose Kernan of RPK Editorial Services, Inc. They have skillfully guided every aspect of this text’s development and ­production to successful completion. I am deeply appreciative of the patience and encouragement provided by my family, especially my wife, Lana, throughout this project. Finally, I am very pleased to continue this endeavor begun so many years ago by my mentor and friend, Jim Gere. This ninth edition text has now reached its 45th year of publication. I am committed to its continued excellence and welcome all comments and suggestions. Please feel free to provide me with your critical input at [email protected].

Barry J. Goodno Atlanta, Georgia

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P reface t o the S I E diti o n This edition of Mechanics of Materials has been adapted to incorporate the International System of Units (Le Système International d'Unités or SI) throughout the book. Le Système International d'Unités SI units are primarily the units of the MKS (meter−kilogram−second) system. However, CGS (centimeter−gram−second) units are often accepted as SI units, especially in textbooks. Using SI Units in this Book In this book, we have used both MKS and CGS units. USCS (U.S. Customary Units) or FPS (foot-pound-second) units used in the US Edition of the book have been converted to SI units throughout the text and problems. However, in case of data sourced from handbooks, government standards, and product manuals, it is not only extremely difficult to convert all values to SI, it also encroaches upon the intellectual property of the source. Some data in figures, tables, and references, therefore, may remain in FPS units. To solve problems that require the use of sourced data, the sourced values can be converted from FPS units to SI units just before they are to be used in a calculation. To obtain standardized quantities and manufacturers’ data in SI units, readers may contact the appropriate government agencies or authorities in their regions. Instructor Resources The Instructors’ Solution Manual in SI units is available online through the book website at http://login.cengage.com. A digital version of the ISM, Lecture Note PowerPoint slides for the SI text, as well as other resources are available for instructors registering on the book website. Feedback from users of this SI Edition will be greatly appreciated and will help us improve subsequent editions. Cengage Learning

xviii Copyright 2018 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. WCN 02-200-203

M i n dTap O n li n e C o urse Mechanics of Materials is also available through ­MindTap, Cengage Learning’s digital course platform. The ­carefully-crafted pedagogy and exercises in this trusted textbook are made even more effective by an interactive, customizable eBook, automatically graded assessments, and a full suite of learning tools. As an instructor using MindTap, you have at your fingertips the full text and a unique set of tools, all in an interface designed to save you time. MindTap makes it easy for instructors to build and customize their course, so you can focus on the most relevant material while also lowering costs for your students. Stay connected and informed through real-time student tracking that provides the opportunity to adjust your course as needed based on analytics of interactivity and ­performance. ­End-of-chapter quizzes and problem sets test students’ knowledge of concepts and numerics. Wrong answers in the algorithmically generated problem sets pop up custom step-by-step solutions to guide students how to solve the problems.

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xix

xx

MindTap Online Course

Videos provide views of real world structures discussed in each chapter.

Step-by-Step Tutorials help students master concepts and solve problems explained in examples.

How does MindTap benefit instructors? • You can build and personalize your course by integrating your own content into the ­MindTap Reader (like lecture notes or problem sets to download) or pull from sources such as RSS feeds, YouTube videos, websites, and more. ­Control what content students see with a built-in learning path that can be customized to your syllabus. • MindTap saves you time by providing you and your students with ­automatically graded assignments and quizzes. These problems include immediate, specific feedback, so students know exactly where they need more practice. Copyright 2018 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. WCN 02-200-203



MindTap Online Course

xxi

• The Message Center helps you to quickly and ­easily contact students directly from MindTap. Messages are communicated directly to each ­student via the communication medium (email, social media, or even text message) designated by the student. • StudyHub is a valuable studying tool that allows you to deliver important information and empowers your students to personalize their experience. Instructors can choose to annotate the text with notes and highlights, share content from the MindTap Reader, and create Flashcards to help their ­students focus and succeed. • The Progress App lets you know exactly how your students are doing (and where they might be struggling) with live analytics. You can see overall class engagement and drill down into individual student performance, enabling you to adjust your course to maximize student success.

How does MindTap benefit your students? • The MindTap Reader adds the abilities to have the content read aloud, to print from the reader, and to take notes and highlights while also capturing them within the linked StudyHub App. • The MindTap Mobile App keeps students connected with alerts and notifications while also providing them with on-the-go study tools like Flashcards and quizzing, helping them manage their time efficiently. • Flashcards are pre-populated to provide a jump start on studying, and students and instructors can also create customized cards as they move through the course. • The Progress App allows students to monitor their individual grades, as well as their level compared to the class average. Doing so not only helps them stay on track in the course but also motivates them to do more, and ultimately to do better. • The unique StudyHub is a powerful single-destination studying tool that empowers students to personalize their experience. They can quickly and easily access all notes and highlights marked in the MindTap Reader, locate bookmarked pages, review notes and Flashcards shared by their instructor, and create custom study guides.

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S y mb o ls A Af , Aw a, b, c C c D d E E r , Et e F f fT G g H h I I x, I y, I z I x1, I y1 I xy I x1y1 IP I1, I 2 J K k kT L LE ln, log M M P, MY m N

area area of flange; area of web dimensions, distances centroid, compressive force, constant of integration distance from neutral axis to outer surface of a beam diameter diameter, dimension, distance modulus of elasticity reduced modulus of elasticity; tangent modulus of elasticity eccentricity, dimension, distance, unit volume change (dilatation) force shear flow, shape factor for plastic bending, flexibility, ­frequency (Hz) torsional flexibility of a bar modulus of elasticity in shear acceleration of gravity height, distance, horizontal force or reaction, horsepower height, dimensions moment of inertia (or second moment) of a plane area moments of inertia with respect to x, y, and z axes moments of inertia with respect to x1 and y1 axes (rotated axes) product of inertia with respect to xy axes product of inertia with respect to x1 y1 axes (rotated axes) polar moment of inertia principal moments of inertia torsion constant stress-concentration factor, bulk modulus of elasticity, effective length factor for a column spring constant, stiffness, symbol for P /EI torsional stiffness of a bar length, distance effective length of a column natural logarithm (base e); common logarithm (base 10) bending moment, couple, mass plastic moment for a beam; yield moment for a beam moment per unit length, mass per unit length axial force

xxii Copyright 2018 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. WCN 02-200-203

xxiii Symbols

n O O9 P Pallow Pcr PP Pr, Pt PY p Q q R r S s T TP, TY t tf , t w U u ur , ut V v v9, v 0, etc. W w x, y, z xc , yc , zc x, y, z Z a b bR g g xy , g yz , g zx

g x1y1 gu d

factor of safety, integer, revolutions per minute (rpm) origin of coordinates center of curvature force, concentrated load, power allowable load (or working load) critical load for a column plastic load for a structure reduced-modulus load for a column; tangent-modulus load for a column yield load for a structure pressure (force per unit area) force, concentrated load, first moment of a plane area intensity of distributed load (force per unit distance) reaction, radius radius, radius of gyration ( r 5 I /A ) section modulus of the cross section of a beam, shear center distance, distance along a curve tensile force, twisting couple or torque, temperature plastic torque; yield torque thickness, time, intensity of torque (torque per unit distance) thickness of flange; thickness of web strain energy strain-energy density (strain energy per unit volume) modulus of resistance; modulus of toughness shear force, volume, vertical force or reaction deflection of a beam, velocity dv/dx, d 2 v /dx 2 , etc. force, weight, work load per unit of area (force per unit area) rectangular axes (origin at point O) rectangular axes (origin at centroid C) coordinates of centroid plastic modulus of the cross section of a beam angle, coefficient of thermal expansion, nondimensional ratio angle, nondimensional ratio, spring constant, stiffness rotational stiffness of a spring shear strain, weight density (weight per unit volume) shear strains in xy, yz, and zx planes shear strain with respect to x1 y1 axes (rotated axes) shear strain for inclined axes deflection of a beam, displacement, elongation of a bar or spring

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xxiv Symbols

ΔT d P , dY « « x, « y, « z « x1, « y1 «u «1, « 2 , « 3 «9 «T «Y u

up us k l n r s s x, s y, s z s x1, s y1

su s 1, s 2, s 3 s allow s cr s pl sr sT sU , sY t t xy , t yz, t zx t x1y1 tu t allow t U , tY f c v

temperature differential plastic displacement; yield displacement normal strain normal strains in x, y, and z directions normal strains in x1 and y1 directions (rotated axes) normal strain for inclined axes principal normal strains lateral strain in uniaxial stress thermal strain yield strain angle, angle of rotation of beam axis, rate of twist of a bar in torsion (angle of twist per unit length) angle to a principal plane or to a principal axis angle to a plane of maximum shear stress curvature (k 5 1/r ) distance, curvature shortening Poisson’s ratio radius, radius of curvature ( r 5 1/k ), radial distance in polar coordinates, mass density (mass per unit volume) normal stress normal stresses on planes perpendicular to x, y, and z axes normal stresses on planes perpendicular to x1 y1 axes (rotated axes) normal stress on an inclined plane principal normal stresses allowable stress (or working stress) critical stress for a column (s cr 5 Pcr /A) proportional-limit stress residual stress thermal stress ultimate stress; yield stress shear stress shear stresses on planes perpendicular to the x, y, and z axes and acting parallel to the y, z, and x axes shear stress on a plane perpendicular to the x1 axis and acting parallel to the y1 axis (rotated axes) shear stress on an inclined plane allowable stress (or working stress) in shear ultimate stress in shear; yield stress in shear angle, angle of twist of a bar in torsion angle, angle of rotation angular velocity, angular frequency (v 5 2p f )

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xxv Symbols

GREEK ALPHABET A B Γ D E Z H Θ I K Λ M

a b g d « z h u ι k l m

Alpha Beta

N J

Gamma

O

Delta

Π

Epsilon

P S

Theta

T Y

Iota

F

Kappa

X

Lambda

Ψ

n j o p r s t y f x c

Mu

Ω

v

Zeta Eta

Nu

Omega

Xi Omicron Pi Rho Sigma Tau Upsilon Phi Chi Psi

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CHAPTER

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Tension, Compression, and Shear

This telecommunications tower is an assemblage of many members that act primarily in tension or compression.

Chapter Objectives • Define mechanics of materials, which examines the stresses, strains, and displacements in structures made of various materials acted on by a variety of different loads. • Study normal stress (s ) and normal strain (« ) in materials used for structural applications. • Identify key properties of various materials, such as the modulus of elasticity (E) and yield (s y ) and ultimate (s u ) stresses, from plots of stress (s ) versus strain (« ). • Plot shear stress (t ) versus shear strain (g ) and identify the shearing modulus of elasticity (G). • Study Hooke’s Law for normal stress and strain (s 5 E « ) and also for shear stress and strain (t 5 Gg ).

• Investigate changes in lateral dimensions and volume of a bar, which depend upon Poisson’s ratio ( n ) for the material of the bar. • Study normal, shear, and bearing stresses in simple bolted connections between members. • Use factors of safety to establish allowable values of stresses. • Introduce basic concepts of design: the iterative process by which the appropriate size of structural members is determined to meet a variety of both strength and stiffness requirements.

Chapter Outline 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Introduction to Mechanics of Materials 2 Problem-Solving Approach 2 Statics Review 3 Normal Stress and Strain 22 Mechanical Properties of Materials 31 Elasticity, Plasticity, and Creep 38 Linear Elasticity, Hooke’s Law, and Poisson’s Ratio 44

1.8 Shear Stress and Strain 50 1.9 Allowable Stresses and Allowable Loads 63 1.10 Design For Axial Loads and Direct Shear 70 Chapter Summary and Review 74 Problems 77

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1

2

Chapter 1 Tension, Compression, and Shear

1.1 Introduction to Mechanics of Materials Mechanics of materials is a branch of applied mechanics that deals with the behavior of solid bodies subjected to various types of loading. Other names for this field of study are strength of materials and mechanics of deformable bodies. The solid bodies considered in this book include bars with axial loads, shafts in torsion, beams in bending, and columns in compression. The principal objective of mechanics of materials is to determine the stresses, strains, and displacements in structures and their components due to the loads acting on them. An understanding of mechanical behavior is essential for the safe design of all types of structures, whether airplanes and antennas, buildings and bridges, machines and motors, or ships and spacecraft. That is why mechanics of materials is a basic subject in so many engineering fields. Most problems in mechanics of materials begin with an examination of the external and internal forces acting on a stable deformable body. First the loads acting on the body are defined, along with its support conditions, then reaction forces at supports and internal forces in its members or elements are determined using the basic laws of static equilibrium (provided that the body is statically determinate). In mechanics of materials you study the stresses and strains inside real bodies, that is, bodies of finite dimensions that deform under loads. To determine the stresses and strains, use the physical properties of the materials as well as numerous theoretical laws and concepts. Mechanics of materials provides additional essential information, based on the deformations of the body, to solve statically indeterminate problems (not possible using the laws of static equilibrium alone). Theoretical analyses and experimental results have equally important roles in mechanics of materials. Theories are used to derive formulas and equations for predicting mechanical behavior but these expressions cannot be used in practical design unless the physical properties of the materials are known. Such properties are available only after careful experiments have been carried out in the laboratory. Furthermore, not all practical problems are amenable to theoretical analysis alone, and in such cases physical testing is a necessity. The historical development of mechanics of materials is a fascinating blend of both theory and experiment—theory has pointed the way to useful results in some instances, and experiment has done so in others. Such famous persons as Leonardo da Vinci (1452–1519) and Galileo Galilei (1564–1642) performed experiments to determine the strength of wires, bars, and beams, although they did not develop adequate theories (by today’s standards) to explain their test results. By contrast, the famous mathematician Leonhard Euler (1707–1783) developed the mathematical theory of columns and calculated the critical load of a column in 1744, long before any experimental evidence existed to show the significance of his results. Without appropriate tests to back up his theories, Euler’s results remained unused for over a hundred years, although today they are the basis for the design and analysis of most columns (see Refs. 1-1, 1-2, and 1-3).

1.2 Problem-Solving Approach* The study of mechanics divides naturally into two parts: first, understanding the general concepts and principles, and second, applying those concepts and principles to physical situations. You can gain an understanding of the general *The four step problem-solving approach presented here is patterned after that presented by R. Serway and J. Jewett in Principles of Physics, 5e, Cengage Learning, 2013.

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Section 1.3 Statics Review

concepts by studying the discussions and derivations presented in this book. You can gain skill only by solving problems on your own. Of course, these two aspects of mechanics are closely related, and many experts in mechanics will argue that you do not really understand the concepts if you cannot apply them. It is easy to recite the principles, but applying them to real situations requires an in-depth understanding. Problem solving gives meaning to the concepts and also provides an opportunity to gain experience and develop judgment. A major objective of this text is to assist you in developing a structured solution process for problems in statics and mechanics of materials. This process is referred to as a problem-solving approach (PSA) and is used in all example problems in the text. The PSA involves the following four steps: 1. Conceptualize [hypothesize, sketch]: List all relevant data and draw a sketch showing all applied forces, support/boundary conditions, and interactions between adjacent bodies. Development and refinement of the free-body diagram is an essential part of this step. 2. Categorize [simplify, classify]: Identify the unknowns in the problem and make any necessary assumptions to simplify the problem and streamline the solution process. 3. Analyze [evaluate; select relevant equations, carry out mathematical ­solution]: Apply appropriate theories, set up the necessary equations for the chosen mathematical model, and then solve for the unknowns. 4. Finalize [conclude; examine answer—Does it make sense? Are units correct? How does it compare to similar problem solutions?]: Study the answers, compare them to those for similar problems you have solved in the past, and test the robustness of the solution by varying key parameters to see how the results change (perhaps even plot the main result as a function of that parameter to investigate the sensitivity of the answer). You are encouraged to study the problem-solving approach presented in the example problems and then apply it to homework and in-class laboratory problems. This structured systematic approach also will be useful during examinations. See Appendix B.2 for further discussion of the Problem Solving Approach summarized above. All problems appear at the ends of the chapters, with the problem numbers and subheadings identifying the sections to which they belong. In this book, final numerical results are usually presented with three significant digits when a number begins with the digits 2 through 9, and with four significant digits when a number begins with the digit 1. Intermediate values are often recorded with additional digits to avoid losing numerical accuracy due to rounding of numbers.

1.3 Statics Review In your prerequisite course on statics, you studied the equilibrium of rigid bodies acted upon by a variety of different forces and supported or restrained in such a way that the body was stable and at rest. As a result, a properly restrained body could not undergo rigid-body motion due to the application of static forces. You drew free-body diagrams of the entire body, or of key parts of the body, and then applied the equations of equilibrium to find external reaction forces and moments or internal forces and moments at critical points. In this section, the basic static equilibrium equations are reviewed and then applied to the solution of example Copyright 2018 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. WCN 02-200-203

3

4

Chapter 1 Tension, Compression, and Shear

structures (both two and three-dimensional) using both scalar and vector operations (both acceleration and velocity of the body are assumed to be zero). Most problems in mechanics of materials require a static analysis as the first step, so all forces acting on the system and causing its deformation are known. Once all external and internal forces of interest have been found, you can proceed with the evaluation of stresses, strains, and deformations of bars, shafts, beams, and columns as described in subsequent chapters.

Equilibrium Equations The resultant force R and resultant moment M of all forces and moments acting on either a rigid or deformable body in equilibrium are both zero. The sum of the moments may be taken about any arbitrary point. The resulting equilibrium equations can be expressed in vector form as:

R 5 SF 5 0

(1-1)



M 5 SM 5 S( r 3 F ) 5 0

(1-2)

where F is one of a number of vectors of forces acting on the body and r is a position vector from the point at which moments are taken to a point along the line of application of any force F. It is often convenient to write the equilibrium equations in scalar form using a rectangular Cartesian coordinate system, either in two dimensions (x, y) or three dimensions (x, y, z) as

SFx 5 0 SFy 5 0 SM z 5 0

(1-3)

Equation (1-3) can be used for two-dimensional or planar problems, but in three dimensions, three force and three moment equations are required:

SFx 5 0 SFy 5 0 SFz 5 0

(1-4)



SM x 5 0 SM y 5 0 SM z 5 0

(1-5)

If the number of unknown forces is equal to the number of independent equilibrium equations, these equations are sufficient to solve for all unknown reaction or internal forces in the body, and the problem is referred to as statically determinate (provided that the body is stable). If the body or structure is constrained by additional (or redundant) supports, it is statically indeterminate, and a solution is not possible using the laws of static equilibrium alone.

Applied Forces External loads applied to a body or structure may be either concentrated or distributed forces or moments. For example, force FB (with units of ­newtons, N) in Fig. 1-1 is a point or concentrated load and is assumed to act at point B on the body, while moment MA is a concentrated moment or couple (with units of N · m) acting at point A. Distributed forces may act along or normal to a member and may have constant intensity, such as line load q1 normal to member BC (Fig. 1-1) or line load q2 acting in the 2y direction on inclined member DF; both q1 and q2 have units of force intensity (N/m). Distributed loads also may have a linear (or other) variation with some peak intensity q0 (as on member ED in Fig. 1-1). Surface pressures p (with units of Pa), such as wind acting on a sign (Fig. 1-2), act over a designated Copyright 2018 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. WCN 02-200-203



5

Section 1.3 Statics Review

Figure 1-1 Plane frame structure

F q2 4 q0

3

e C

E

q1

D c

b

d 4 B 3

y

a

FB x

MA A

region of a body. Finally, a body force w (with units of force per unit volume, N/m 3 ), such as the distributed self-weight of the sign or post in Fig.  1-2, acts throughout the volume of the body and can be replaced by the component weight W acting at the center of gravity (c.g.) of the sign (Ws ) or post (W p ). In fact, any distributed loading (line, surface, or body force) can be replaced by a statically equivalent force at the center of gravity (or center of pressure for wind) of the distributed loading when overall static equilibrium of the structure is evaluated using ­Eqs. (1-1) to (1-5).

Free-Body Diagrams A free-body diagram (FBD) is an essential part of a static analysis of a rigid or deformable body. All forces acting on the body, or component part of the body, must be displayed on the FBD if a correct equilibrium solution is to be obtained. This includes applied forces and moments, reaction forces and moments, and any connection forces between individual components. For example, an overall FBD of the plane frame in Fig. 1-1 is shown in Fig. 1-3a; all applied and reaction forces are shown on this FBD and statically equivalent concentrated loads are displayed for all distributed loads. Statically equivalent forces Fq 0, Fq1, and Fq 2, each acting at the c.g. of the corresponding distributed loading, are used in the equilibrium equation solution to represent distributed loads q0 , q1, and q2 , respectively. Next, the plane frame has been disassembled in Fig. 1-3b, so that separate FBDs can be drawn for each part of the frame, thereby exposing pin-­ connection forces at D ( Dx , Dy ) . Both FBDs must show all applied forces as well as reaction forces Ax and Ay at pin-support joint A and Fx and Fy at pin-support joint F. The forces transmitted between frame elements EDC and DF at pin connection D must be determined if the proper interaction of these two elements is to be accounted for in the static analysis.

Figure 1-2 Wind on sign

y p

Ws P Wp

H

z

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x

6

Chapter 1 Tension, Compression, and Shear

Figure 1-3 (a) Overall FBD of plane frame structure from Fig. 1-1, and (b) Separate free-body diagrams of part ABCDE and part DF of the plane frame structure in Fig. 1-1

F

Fx

Fq2 Fy Fq0

4

q0

3

e

C

q1

D

E c

Fq1 d

b 4

B

3

y

a

FB MA

x

A Ay

(a)

Ax

Fq 2 q2

q0

Fq0

D

Fy

Dx

Dy

E

Fx

F

Resultant D Dy Dx

C

D

q1 Fq1

4 B 3

y FB

MA

x

(b)

A

Ax

Ay

Resultant A

The FBDs presented in Figs. 1-3a and 1-3b are essential parts of this solution process. A statics sign convention is usually employed in the solution for Copyright 2018 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. WCN 02-200-203



Section 1.3 Statics Review

support reactions; forces acting in the positive directions of the coordinate axes are assumed positive, and the right-hand rule is used for moment vectors.

Reactive Forces and Support Conditions Proper restraint of the body or structure is essential if the equilibrium equations are to be satisfied. A sufficient number and arrangement of supports must be present to prevent rigid-body motion under the action of static forces. A reaction force at a support is represented by a single arrow with a slash drawn through it (see Fig. 1-3) while a moment restraint at a support is shown as a double-headed or curved arrow with a slash. Reaction forces and moments usually result from the action of applied forces of the types described above (i.e., concentrated, distributed, surface, and body forces). A variety of different support conditions may be assumed depending on whether the problem is 2D or 3D. Supports A and F in the 2D plane frame structure shown in Fig. 1-1 and Fig. 1-3 are pin supports, while the base of the 3D sign structure in Fig. 1-2 may be considered to be a fixed or clamped support. Some of the most commonly used idealizations for 2D and 3D supports, as well as interconnections between members or elements of a structure, are illustrated in Table 1-1. The restraining or transmitted forces and moments associated with each type of support or connection are displayed in the third column of the table (these are not FBDs, however). The reactions forces and moments for the 3D sign structure in Fig. 1-2 are shown on the FBD in F ­ ig. 1-4a; only reactions Ry , Rz , and M x are nonzero because the sign structure and wind loading are symmetric with respect to the y-z plane. If the sign is eccentric to the post (Fig. 1-4b), only reaction Rx is zero for the case of wind loading in the 2z direction. (See Problems 1.8-19 and 1.9-17 at the end of Chapter 1 for a more detailed examination of the reaction forces due to wind pressure acting on several sign structures similar to that shown in Fig. 1-2; forces and stresses in the base plate bolts are also computed).

Figure 1-4

y

(a) FBD of symmetric sign structure, and (b) FBD of eccentric sign structure

y Ws Ws P P

Wp

Wp

H Mx

Mx Rz

Rz z

Ry

x

z

Ry

Mz

x

My (a)

(b)

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Chapter 1 Tension, Compression, and Shear

Table 1-1

Modeling reaction Type of support forces and support or connection

1. Roller Support: A single reaction force R is developed and is normal to the rolling surface; force R opposes motion into or away from the rolling surface. The rolling surface may be horizontal, vertical, or inclined at some angle u. If friction is present, then include a force F opposing the movement of the support and tangential to the rolling surface. In 3D, the roller moves in the x-z plane and reaction Ry is normal to that plane. The Earthquake Engineering Online Archive

conditions in 2D or 3D static analysis

Display of restraint Simplified sketch of support forces and moments, or connection or connection forces

Bridge with roller support (see 1.1, 1.2)

(a) Two-dimensional roller support (friction force F 5 0 for smooth rolling surface) (1.1)  

y

(1.2)     (1.3)

x

Horizontal roller support [(1.1), (1.2)]; or alternate representation as rocker support [(1.3)] Both downward and uplift motions are restrained.

F R y Rx

x

F y x

Vertical roller restraints

θ



Bridge with rocker support (see 1.3) Rotated or inclined roller support y

F

R

(b) Three-dimensional roller support (friction force F 5 0 for smooth rolling surface; reaction Ry acts normal to plane x-z on which roller translates) y

F z

x

3D roller support



Ry

z

x

The Earthquake Engineering Online Archive

2. Pin Support: A single resultant force, usually shown using two rectangular components Rx and Ry in 2D but three components in 3D, resists motion in any direction normal to the pin. The pin support cannot resist moment, and the pin is free to rotate about the z axis. In 3D, the pin becomes a balland-socket joint or support. (a) Two-dimensional pin support

y x Two-dimensional pin

Rx

Ry

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Section 1.3 Statics Review

y

y © David Chapman/Alamy Stock Photo

Rx

x

Ry (b) Three-dimensional pin support

Ball-and-socket joint model (camera mount, 3D)

x

z

y

Ball-and-socket joint model

Pelvis

Rz

Artificial hip joint



Rx Ry

z

x

Femur (thigh bone)

Hip prosthesis for hip replacement 3. Sliding Support: A support that translates without rotation is a sliding support. Examples are a collar sliding along a sleeve or a flange moving within a slot. Reactions in 2D are a force Rx normal to the sleeve and a moment Mz representing resistance to rotation relative to the sleeve. In 3D, the sliding support translates on frictionless plane y-z and reaction moment components My and Mz prevent rotation relative to that plane. (a) Two-dimensional sliding support (support translates on frictionless path along 1y or 2y direction)

y

y

x

Mz

Frictionless sleeve on vertical shaft Sliding support for column light stand

Rx

x

Two-dimensional sliding support Friction F opposes motion in 1y direction in 2D along sliding surface; F is zero if smooth surface is assumed. In 3D, add restraint moment M x to prevent rotation about x axis.



F

(b) Three-dimensional sliding support (support translates on frictionless y-z plane) y

My

Rx

x

Mz



z

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Chapter 1 Tension, Compression, and Shear

Type of support or connection

Display of restraint Simplified sketch of support forces and moments, or connection or connection forces

Franco Nadalin/Shutterstock.com

4. Fixed Support: No translation or rotation occurs between member and support in a fixed support. This requires three reaction components in 2D: force components Rx and Ry and moment M z . In 3D, three force reaction components and three moment reaction components are required.

Radovan1/Shutterstock.com

Steel bollard anchored in concrete

Column bolted to footing

(a) Two-dimensional fixed support y Mz

A Weld

x

Rx

Base plate

Pole





Ry

Horizontal member y

x Rx Mz

Concrete pier Fixed support at base of sign post

Ry



Vertical member (b) Three-dimensional fixed support y

x Rz Mz

Rx

Ry

z

Mx

My

5. Elastic or Spring Support: In 2D, there may be a longitudinal or normal translational spring or a combination of both. For linear springs, the support reaction at the base of the spring is the product of the spring constant k times the displacement d in the direction of the spring axis. If joint A translates in 1x (d x ) and 1y (d y ) directions, reaction forces Rx and Ry are created in –x and –y directions, respectively, at the supports of linear translational springs. Alternatively, the support may be pinned for translation but have moment spring kr for rotation. If joint A rotates about the 1z axis (u z ), reaction moment M z is created in the –z direction at the base of the rotational spring. In 3D, a fully elastic support consists of three translational springs (kx , k y , kz ) and three rotational springs (kr x, kr y, kr z ), and an arbitrary joint displacement results in three reaction forces and three reaction moments. In the limit, as each spring constant value approaches infinity, the elastic support becomes a fully fixed support like that shown in Section 4b above. Nipon Laicharoenchokchai/ Shutterstock.com

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Translational spring support for heavy equipment

In 3D, add spring in 1z direction kz with reaction force Rz 5 2kzd z. In 3D, add rotational flexural spring about 1y direction kry with reaction moment M y 5 2kryu y and add rotational torsional spring about 1x ­direction with reaction moment M x 5 2krxu x .

(a) Translational spring (k) in 2D y δy Rx = –kxδx

kx

A δx ky

x

Ry = –kyδ y

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Section 1.3 Statics Review

montego/ Shutterstock.com

Torsion springs are found in window shades and as part of the lift mechanism in power garage door-opening systems.

(b) Rotational spring ( kr ) in 2D

θz

y kr

A

x

Rotational spring in a clothespin

Rx Ry Mz = − kr θz

© Paul Rollins/Alamy Stock Photo

6. Wheel on Rail Support: This support is a particular form of the 3D roller support (see Section 1b above). Now general movement in the x-z plane is constrained by normal force Ry and lateral force Rx , both acting normal to the rail or slot on which the wheel travels. If friction is considered, friction force F is added along the rail in the direction opposing the wheel translation. Wheel rolls on rail or in slot along z axis; friction force opposing motion is neglected; Rx is lateral constraint force, Ry is normal force. y

y z x Rx

Ry

Rx

x

Ry

Cross section through guide rail 7. Thrust-Bearing Support: A thrust bearing constrains translational motion along the shaft axis while allowing rotary motion to occur about that axis. Support reaction forces and moment components act in all directions except for reaction moment M x 5 0 about the thrust axis (in the absence of friction). A special case is the journal bearing for which axial thrust restraint component Rx 5 0 . Thrust bearing has support Journal bearing has no axial reaction force (Rx, Ry, Rz ) and thrust reaction force ( Rx 5 0) in reaction moment components addition to ( M x 5 0). (M y, M z )—no moment M x about y the thrust or rotation (x) axis.

y My Ry

dcwcreations/Shutterstock.com

My

Rx

Ry

x

Rz

Rz Mz

Pillow block bearing

Mz

Rx x

z

z

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Chapter 1 Tension, Compression, and Shear

Internal Forces (Stress Resultants) Mechanics of materials is concerned with study of the deformations of the members or elements that make up the overall deformable body. In order to compute the member deformations, first find the internal forces and moments (i.e., the internal stress resultants) at key points along the members of the overall structure. It is useful to create graphical displays of the internal axial force, torsional moment, transverse shear, and bending moment along the axis of each member of the body so that critical points or regions within the structure are readily identified. The first step is to make a section cut normal to the axis of each member so that a FBD can be drawn that displays the internal forces of interest. For example, Fig. 1-5 shows two cuts made through members ED and DF in the plane frame; the resulting FBDs now can be used to find N, V, and M in members ED and DF of the plane frame. Stress resultants N, V, and M are usually taken along and normal to the member under consideration (i.e., local or member axes are used), and a deformation sign convention (e.g., tension is positive, compression is negative) is employed in their solution. The following examples review the application of the equations of static equilibrium to solve for external reactions and i­ nternal forces in truss, beam, circular shaft, and frame structures. First reaction forces are computed for a truss structure then member forces are found using the method of joints. Properly drawn FBDs are essential to the overall solution process. The second example involves static analysis of a beam structure to find reactions and internal forces at a particular section along the beam. In the third example, reactive and internal torsional moments in a stepped shaft are computed. And, finally, the fourth example presents the solution of a plane frame structure.

Figure 1-5 FBDs for internal stress resultants in ED and DF

Fq2 q2

M N

Fq0

D Dy

M M N E

V

V N

Dy

Fx

F

N V

FBDED q0

V M

Fy FBDDF

Dx Dx

C

q1

D

Fq2 B

y FB x

MA

Ax

A Ay

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Section 1.3 Statics Review

Example 1-1 The plane truss shown in Fig. 1-6 has four joints and five members. Find support reactions at A and B and then use the methods of joints and sections to find all member forces. Let P 5 150 kN and c 5 3 m.

Figure 1-6 Plane truss model

y P C b

2P θC = 80° a θB = 40°

θA = 60°

A

Solution:

B

D

c/2

x

c/2

Figure 1-7 Free-body diagram of truss model

y P

b

C

θA = 60°

Ax A Ay

Use the following four-step problem-solving approach. 1. Conceptualize [hypothesize, sketch]: First sketch a ­free-body diagram of the entire truss model (Fig. 1-7). Only known applied forces at C and unknown reaction forces at A and B are shown and then used in an equilibrium analysis to find the reactions.

2P θC = 80° a

θB = 40° B

D

By c/2

c/2

2. Categorize [simplify, classify]: Overall equilibrium requires that the force components in x and y directions and the moment about the z axis must sum to zero; this leads to reaction force components Ax , Ay , and B y . The truss is statically determinate (unknowns: m 1 r 5 5 1 3 5 8, knowns: 2 j 5 8), so all member forces can be obtained using the method of joints. If only a few selected member forces are of interest, the method of sections can be used. Use a statics sign x convention when computing external reactions and a deformation sign convention when solving for member forces.

3. Analyze [evaluate; select relevant equations, carry out mathematical solution]: First find the lengths of members AC and BC needed to compute distances to lines of action of forces. Law of sines to find member lengths a and b: Use known angles u A, u B, and uC and c 5 3 m to find lengths a and b: b 5c

sin(u B ) sin(u A ) sin(408 ) sin(608 ) 5 1.958 m, a 5 c 5 (3 m) 5 2.638 m 5 (3 m) sin(uC ) sin(808 ) sin(uC ) sin(808 )

Check that computed lengths a and b give length c by using the law of cosines: c 5 (1.958 m)2 1 (2.638 m)2 2 2(1.958 m)(2.638 m) cos(808 ) 5 3 m



Support reactions: Using the truss model free-body diagram in Fig. 1-7, sum forces in x and y directions and moments about joint A: 1 SM A 5 0 B y 5 [ P ( b cos(u A )) 1 2 P ( b sin(u A ))] 5 218.5 kN c Ax 522 P 5 2300 kN SFx 5 0  SFy 5 0

Ay 5 P 2 B y 5 268.5 kN

Reaction force components Ax and Ay are both negative, so they act in the ­negative x and y directions, respectively, based on a statics sign convention. Copyright 2018 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. WCN 02-200-203

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Chapter 1 Tension, Compression, and Shear

Figure 1-8 y

Free-body diagram of pin at each truss joint

P C AC

2P CD

BC

BC Ax = –300 kN A 60° AD 80° 100° BD 40° D Ay = –68.5 kN



B

x

By = 218.5 kN

Member forces using method of joints: Begin by drawing free-body diagrams of the pin at each joint (Fig. 1-8). Use a deformation sign convention in which each member is assumed to be in tension (so the member force arrows act away from the two joints to which each member is connected). The forces are concurrent at each joint, so use force equilibrium at each location to find the unknown member forces. First sum forces in the y direction at joint A to find member force AC, and then sum forces in the x direction to get member force AD: 21 SFy 5 0 AC 5 Ay 5 79.1 kN sin(608 )  SFx 5 0 AD 5 2Ax 2AC cos(608 ) 5 260.4 kN Summing forces at joint B gives member forces BC and BD as 21 B y 5 2340 kN sin(408 )  SFx 5 0 BD 5 2BC cos(408 ) 5 260.4 kN SFy 5 0 BC 5



The minus sign means that member BC is in compression, not in tension as assumed. Finally, observe that CD is a zero-force member because forces in the y direction must sum to zero at joint D.

Figure 1-9 Section cut leading to right-hand free-body diagram

y P C b

2P

Ax = –300 kN A

θA = 60°

CD

AD Ay = –68.5 kN c/2

BC a

θC = 80°

B

x By = 218.5 kN

D c/2

Selected member forces using method of sections: An alternative approach is to make a section cut all the way through the structure to expose member forces of interest, such as AD, CD, and BC in Fig. 1-9. Summing moments about joint B confirms that the force in member CD is zero. Summing moments about joint C (which is not on the free-body diagram but is a convenient point about which to sum moments because forces CD and BC act through joint C) confirms the solution for force AD as

SMC 5 0 AD 5

1 B ( a ) cos(408 ) 5 260.4 kN y b sin(608 )

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Section 1.3 Statics Review

Finally, summing moments about A in Fig. 1-9 confirms member force BC: SM A 5 0 BC 5

1 [2B y c ] 5 2340 kN c sin(408 )

4. Finalize [conclude; examine answer—Does it make sense? Are units correct? How does it compare to similar problem solutions?]: There are 2 j 5 8 equilibrium equations for the simple plane truss considered, and using the method of joints, these are obtained by applying SFx 5 0 and SFy 5 0 at each joint in succession. A computer solution of these simultaneous equations leads to the three reaction forces and five member forces. The method of sections is an efficient way to find selected member forces. A key step is the choice of an appropriate section cut, which isolates the member of interest and eliminates as many unknowns as possible. This is followed by construction of a free-body diagram for use in the static equilibrium analysis to compute the member force of interest. The methods of sections and joints were used, a common solution approach in plane and space truss analysis.

Example 1-2 A simple beam with an overhang is supported at points A and B (Fig. 1-10). A linearly varying distributed load of peak intensity q0 5 160 N/m acts on span AB. Concentrated moment M 0 5 380 N ⋅ m is applied at A, and an inclined concentrated load P 5 200 N acts at C. The length of segment AB is L 5 4 m, and the length of the overhang BC is 2 m. Find support reactions at A and B and then calculate the axial force N, shear force V, and bending moment M at midspan of AB.

Figure 1-10

M0

Beam with an overhang and uniform and concentrated loads

P

q0

4 3

B C A

L

L/2

Solution: Use the following four-step problem-solving approach. 1. Conceptualize: Find the reaction forces Ay , Bx , and B y using the FBD of the overall structure shown in Fig. 1-11. Internal axial force N, shear force V, and bending moment M at midspan of AB (Fig. 1-12) are obtained by cutting the beam at that location. Either the left-hand or right-hand free-body diagram in Fig. 1-12 may be used to find N, V, and M.

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Chapter 1 Tension, Compression, and Shear

Figure 1-11

M0

Free-body diagram of beam

q0 4P/5 B

A

L

Ay

Figure 1-12

M0

Left- and right-hand free-body diagrams from section cut at midspan of AB

q0 /2

Bx

By

M

3P/5 C

L/2

M

q0 /2

q0 4P/5 B

A Ay

L/2

V

N N

V

L/2 B x

By

3P/5 L/2

C

2. Categorize: The free-body diagrams in Fig. 1-12 show internal axial force N, shear force V, and bending moment M in their assumed positive directions based on a deformation sign convention. Start by finding reaction forces Ay , Bx , and B y then use either the left-hand or right-hand free-body diagram in Fig. 1-12 to find N, V, and M. 3. Analyze: Solution for external reactions: Sum forces in the x direction to find reaction force component Bx . Next sum moments about A to find reaction component B y . Finally, sum forces in the y direction to find reaction Ay . Use a statics sign convention in the solution as 3 P 5 120 N 5 1 1 L 2L 4 SM A 5 0 B y 5 M 0 1 q0 L ( ) 1 P ( L 1 )  5 548 N  L 2 3 5 2  1 4 SFy 5 0 Ay 5 2B y 1 q0 L 1 P 5 268 N( ↓ ) 2 5 Reaction Ay is negative, so in accordance with a statics sign convention, it acts downward. Reaction components Bx and B y are positive, so they act in the directions shown in Figs. 1-11 and 1-12. The resultant reaction force at B is SFx 5 0



Bx 5

Bres 5 Bx2 1 B y2 5 561 N. Solution for internal axial force N, shear force V, and moment M at midspan of AB: Using the left-hand free-body diagram in Fig. 1-12, 1 q0 L 5 2148 N( ↑ ) 2 2 2  L 1 q L 1 L SM 5 0 M 5 M 0 1 Ay 2 0  5 190 N ? m 2 2 2 2  3 2  SFx 5 0 N 5 0 SFy 5 0 V 5 Ay 2

Alternatively N, V, and M can be obtained if the right-hand free-body diagram is used (Fig. 1-12). Note that the trapezoidal distributed load segment is Copyright 2018 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. WCN 02-200-203



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Section 1.3 Statics Review

treated as two triangular loads when moments are summed to find internal moment M:

3 4 1 q L N 5 Bx 2 P 5 0 SFy 5 0 V 5 2B y 1 P 1  0 1 q0  5 2148 N( ↓ ) 5 5 2 2 2 q 1 0 L 1 L  1 L 2 L  L 4 L L SM 5 0 M 5 B y 2 P  1  2 2 q0  5 190 N ⋅ m 2 5 2 2 2 2 2  3 2  2 2  3 2  SFx 5 0

The minus sign on internal shear force V shows that it acts opposite to that assumed in Fig. 1-12, as indicated by the arrows in the previous equations. 4. Finalize: The results show that computed internal forces (N and V) and internal moment (M) can be determined using either the left- or right-hand free-body diagram. This applies for any section taken through the beam at any point along its length. Plots or diagrams that show the variation of N, V, and M over the length of the beam are very useful in the design of shafts and beams, because they readily show the critical regions of the beam where N, V, and M have maximum values.

Example 1-3 A stepped circular shaft is fixed at A and has three gears that transmit the torques shown in Fig. 1-13. Find the reaction torque MAx  at A and then find the internal torsional moments in segments AB, BC, and CD. Use properly drawn free-body ­diagrams in your solution.

Figure 1-13 Stepped circular shaft subjected to concentrated torques

MAx

1900 N.m A

1000 N.m 550 N.m

B C

x D

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mehr zu beherrschender schmerzerfüllte Antlitz.

tiefer

Bewegung

in

das

blasse,

Welche Veränderung hatten so wenige Tage in demselben hervorgerufen! — Wie ein vom Sturm geknicktes Rohr erschien die kurz vorher noch so lebensvolle, elastische Gestalt, schwach und hilflos. Mit unendlich traurigen Augen, aus welchen jedoch auch zugleich volle liebende Hingebung sprach, schaute sie ihn an, seine bebenden Hände mit ihren feinen Fingern fest umfassend, und fragte in einem, des Grafen Seele schmerzvoll durchschneidenden, wehmüthigen Ton: »Sie wissen, Graf?« Dieser, keines Wortes mächtig und bemüht, das bebende Mädchen vor dem Niedersinken zu hüten, bejahte nur durch geringes Neigen des Hauptes. Da erhob sie plötzlich das Antlitz zu ihm auf, schaute ihm mit unendlicher Liebe in die Augen, und rief in ausbrechendem Schmerz der Verzweiflung und unter einem ihren Augen entstürzenden Thränenstrom: »O, retten Sie mich, retten Sie mich!« Mit diesen Worten sank sie gebrochen an seine Brust, an welcher sie das Haupt mit unbefangener Hingabe barg. Gleich einem schuldlosen, schmerzbewegten Kinde ruhte sie in seinen Armen. Aurelie eilte dem tief ergriffenen Grafen zu Hilfe, indem sie mit seinem Beistande Sidonie sanft auf dem Ruhesitz niederließ. Auch ihr fehlten die Worte, und nicht minder tief erschüttert, als der Graf, feuchteten Thränen ihre Wangen. Sidonie verhehlte ihre Empfindungen nicht, sie vermochte es nicht. Ihrem namenlosen Leid gegenüber galt keine Zurückhaltung mehr, kein Verläugnen ihrer Gefühle, da galt nur die ewige Sprache der Natur und des vernichteten, schuldlosen Herzens. Der Graf ließ sich neben ihr nieder, ergriff ihre Hand und drückte diese mit Innigkeit an die Brust, indem er in leisem zärtlichen Ton ihren Namen nannte. Mehr zu sprechen war ihm unmöglich.

O, welch ein unbeschreiblich süßes Lächeln rief sein Wort in Sidoniens Antlitz hervor; wie innig dankte ihm der Druck ihrer Hand für diese erste Gabe seiner Liebe. »Ich wußt’ es wohl!« lispelte sie so leise und heimlich vor sich hin, daß kaum der Graf die Worte vernahm. »Ich wußt’ es, daß er mich liebt!« wiederholte sie. In diesem Bewußtsein verloren, schien sie ihr trauriges Geschick vergessen zu haben und in der Seligkeit des Momentes aufzugehen. Darauf deutete der freudige Ausdruck ihres ein wenig gerötheten Antlitzes hin, das in diesem Moment wieder in der ganzen ehemaligen Lieblichkeit strahlte. Der Graf, in der Erkenntniß der Nothwendigkeit, seinen Gefühlen kein Recht einzuräumen, und zugleich in dem Bewußtsein der Pflicht, durch sein Benehmen und seine Worte Sidoniens fast krankhafte Aufregung zu beschwichtigen, um zu einer ruhigeren Besprechung der unheilvollen Angelegenheit zu gelangen, bemühte sich mit allen ihm in diesem so erschütternden Augenblick zu Gebot stehenden Seelenkräften, Fassung zu gewinnen. Dies gelang ihm nach kurzem Kampf auch in der That so weit, daß er, wenngleich mit noch unsicherer Stimme, zu bemerken vermochte: »Ich weiß, es bedarf meiner Versicherung nicht, wie innig ich mit Ihnen fühle, meine theuerste Sido — — Prinzessin.« »O nein, o nein! Ich habe Sie ja im Geiste belauscht und Ihnen mein Leid geklagt, und Ihr bleiches Antlitz sagt mir, daß ich darunter nicht allein gelitten habe. O, ich wußte es ja!« fiel Sidonie mit wehmüthigem Ton ein und drückte ihm leise die Hand. »Und was rathen Sie mir, meinem traurigen Geschick zu entkommen?« fragte sie nach kurzem Zögern und hob das treue Auge zu ihm auf. Diese einfache, im Ton des vollsten Vertrauens gesprochene Frage erschütterte den Grafen im Gefühl seiner Machtlosigkeit, ihr helfen zu können, so tief, daß er vergeblich nach einer Antwort rang und erst nach längerer Pause mit leiser Stimme die Worte fand: »O, wüßten Sie, wie tief und schmerzlich Ihre Frage mich berührt, und um so schmerzlicher, da ich mich unfähig fühle, Ihnen darauf

eine befriedigende Antwort geben zu können! O, daß ich es nicht vermag, statt mit Worten, mit der That darauf zu antworten, zerreißt mir die Seele!« — »So muß ich also dem Willen meines Vaters folgen?« fragte Sidonie rasch und ängstlich in seinem Antlitz forschend. Die Zustimmung zu dem Unheil der Geliebten und seines eigenen geben zu müssen, rücksichtslos gegen die Stimme des Innern, die sich mit der ganzen Kraft der Liebe, mit dem heißen Wunsch, den Geliebten zu beglücken, in uns erhebt, ist ein Schmerz, dem auch der Stärkste erliegt. So geschah es auch dem Grafen; er fühlte sich unfähig, das bejahende Wort über die Lippen zu bringen, so sehr er auch überzeugt war, daß es ihm nicht erlassen sein würde. Innig drückte er Sidoniens Hand, während er heftiger athmete und, den Blick von ihr abgewandt, sich bemühte, das letzte, schreckliche Wort auszusprechen, das sie auf immer von ihm trennen mußte. Aengstlich hing sie an seinem Auge, ängstlicher noch lauschte sie auf seine Antwort, und statt durch sein schmerzliches Schweigen auf seine Zustimmung hingewiesen zu werden, deutete die Unglückliche dies vielmehr als ein Hoffnungszeichen, daß der Freund ein Mittel zu ihrer Rettung besäße, und darum fragte sie hastig: »Nicht wahr, ich darf es nicht; S i e, Sie werden es nicht zugeben?!« Leise schüttelte der Graf das Haupt. »Wie, Sie verneinen das? Sie besitzen kein Mittel zu meiner Rettung?!« rief Sidonie angstvoll, seine Hand fast krampfhaft umfassend. O, welche unheilvollen, die Seele vernichtenden Augenblicke gingen über diese Menschen hin, über diese Menschen, so edel, so gut und zu dem schönsten Lebensglück berechtigt! Was war der reichste irdische Glanz gegen so schöne herrliche Vorzüge der Seele, und wie wenig vermochten diejenigen deren Werth zu begreifen, die nicht zauderten, sie dem äußeren Prunk und fürstlichem Ansehen zum Opfer zu bringen!

Und dennoch, dennoch, wie oft wiederholt sich Aehnliches im Leben, und dennoch, dennoch, wie oft wird der reine Seelenadel und das ganze Glück des Lebens den äußeren Vortheilen, dem eiteln, leicht verwehenden Schaum eines prunkvollen Daseins hingegeben! Ueberzeugt, daß er Sidonie nicht zu retten vermochte, wollte er sich nicht gewaltsamer Mittel bedienen, die sein Ehrgefühl niemals gebilligt hätte, erkannte der Graf auch die Nothwendigkeit, die ihm durch die Gunst des Zufalls gebotene so günstige Stunde im Interesse Sidoniens benutzen zu müssen. Er durfte auf eine Wiederkehr derselben nicht hoffen, und so war er entschlossen, das entscheidende Wort zu sprechen, um ihrem Herzen die letzte Täuschung und Hoffnung zu nehmen, damit sie sich ihrem Schicksal geduldig unterwarf. Er war von der Ueberzeugung durchdrungen, daß seine Worte eine tiefe Wirkung auf sie ausüben würden, und so faßte er sich gewaltsam und entgegnete mit sanfter, liebevoller Stimme: »Sie haben mich bisher, meine theure Prinzessin, mit dem Namen eines Freundes beehrt, und — ich bin bemüht gewesen, denselben zu verdienen. — Sie wenden sich an diesen Freund um Hilfe. — Wäre ich mächtig genug, Ihnen dieselbe gewähren zu können, ich würde glücklich sein, ja mit Freuden gäbe ich Leben und Gut dahin, könnte ich dadurch Ihren Wunsch befriedigen. — Wie die Verhältnisse liegen, würde mein Wort bei Ihrem Vater machtlos verhallen und müßte Ihre Lage nur noch verschlimmern. — — So bliebe uns nur noch der Weg der Gewalt übrig, und so willig ich mein Leben Ihrem Wohl opfern würde, so wenig vermag ich Ihre und meine Ehre preiszugeben, mit deren Verlust oder Befleckung ein Gewaltact verbunden wäre.« »Ich weiß, Sie stimmen darin mit mir überein und weisen denselben, gleich mir, von sich. In den hellen Jubelton des Glücks würde stets und stets der Mißlaut schmerzender Vorwürfe und befleckter Ehre dringen und uns jenes reinen Genusses berauben, der unserm Charakter eine Nothwendigkeit ist.« »Nicht wahr, Sidonie, theure Freundin, Sie theilen meine Ansicht?« fragte der Graf.

Statt jeder Antwort neigte Sidonie zustimmend das Haupt und drückte ihm leise die Hand. Darauf fuhr der Graf mit weniger sicherer Stimme fort: »So muß der Schritt gethan werden, den Ihr Vater von Ihnen fordert.« — Die Prinzessin zuckte zusammen und ihr Haupt sank auf die Brust. Der Graf hatte die obigen Worte fast gewaltsam hervorgepreßt, da es ihm so unendlich schwer wurde, sie auszusprechen, was doch geschehen mußte; nach einigen Augenblicken bemerkte er in gefühlvollem Ton: »Herzen, die sich wahrhaft lieben, sind auf ewig mit einander vereint, mögen sie auch durch irgend welche Verhältnisse, durch Entfernungen oder die äußere Lebensstellung geschieden sein. So denke ich, meine Freundin, und bin überzeugt, Sie theilen meine Ansicht. O, glauben Sie mir, kein Herz ist unglücklich, das liebt und wieder geliebt wird. Denn begegnen sich in dem Bewußtsein der Gegenliebe nicht die Seelen der Liebenden; führt sie die Erinnerung nicht zu einander und läßt sie an ihren Freuden wie an ihrem Leid Theil nehmen, und ist diese Theilnahme nicht die reinste, höchste und edelste Liebe, die der Mensch für den Menschen hegen kann? — O gewiß, gewiß! Und kann uns dieses kostbare Geschenk des Himmels nicht so Vieles, Vieles ersetzen? Entbehren und Entsagen, das ist unser allgemeines Schicksal, vor welchem auch selbst die goldene Fürstenherrlichkeit nicht schützt, das ist der Grundton des Lebens, eines Lebens, das einen grellen Widerspruch seiner Bedeutung in sich trägt, indem es uns auf seinen unruhigen Wogen in das Meer der Vernichtung führt. — Wo sollen wir da Trost finden, wenn nicht in der Religion der Liebe? — Sie gießt erquickliche Ruhe in das bekümmerte Herz, und die schmerzvolle Thräne der Entsagung trocknet das himmlische Bewußtsein beglückender Gegenliebe.« — Von seinen Empfindungen übermannt, schwieg der Graf, ohne daß er es wagte, den Blick auf Sidonie zu richten. An dem innigen

Druck ihrer Hand erkannte er jedoch ihre Beistimmung zu seinen Worten und fühlte sich dadurch beruhigt. Da Sidonie schwieg und auf weitere Worte von ihm zu harren schien, so fuhr der Graf fort: »Jeder große Schmerz erweitert unsern Blick und läßt ihn uns auf das unendliche Weltenleben richten, und indem uns dasselbe verständlicher wird, wird es auch das eigene Leben, gewinnen Lust und Leid eine andere Bedeutung, indem wir uns dem großen Ganzen gegenüber erblicken, das uns nöthigt, verzichtend unsere Wünsche und Forderungen zu beschränken.« »Wohl weht diese Erkenntniß kältend über unser Herz und fordert unsere ganze Seelenkraft heraus, das Unvermeidliche geduldig zu tragen; die Nothwendigkeit läßt uns jedoch keine Wahl, und glücklich der, der sich schon früh mit ihr bekannt machte und sich ihr unterwarf. Diese Seelenkraft, meine theure Prinzessin, besitzen Sie, ich weiß es, und wenn Sie auch, so ungeahnt herausgefordert, von dem Unvermeidlichen überwältigt wurden, so wird sich dennoch Ihr gebeugter Geist wieder erheben und vor dem Opfer nicht zurückbeben, das die Verhältnisse von Ihnen fordern, und so werden Sie auch in dem erhebenden Bewußtsein, dies dem Glück Ihrer Eltern zu bringen, den schwersten Schritt des Lebens thun. Sie werden ihn thun, erhoben durch die Religion der Liebe.« Der Graf schwieg, der ungeheuern Anstrengung erliegend, die eine so große Selbstverläugnung von ihm forderte und deren nur ein so kräftiger, willensstarker Charakter, wie der seinige, fähig war. Nur auf Sidoniens Beruhigung bedacht, sie mit Kraft für die nahenden bedeutsamen Stunden zu erfüllen und ihr aus allem Unheil wenigstens den Trost der Liebe zu retten, hatte er sein eigenes Interesse ganz und gar aufgegeben. Nicht der Geliebte mehr, sondern der rathende Freund allein sprach zu ihr. Wie unbedeutend däuchte ihm sein Leid dem ihrigen gegenüber; e r hatte sich darauf schon lange vorbereitet, s i e war ahnungslos davon betroffen worden und mußte — ein Gedanke, unter welchem sich seine Seele schmerzvoll krümmte — nicht nur ihrem Liebesglück entsagen, sondern obenein einem ungeliebten Manne angehören.

Doch er wehrte diese bedrängenden Gedanken kraftvoll von sich ab, um den gewünschten Zweck zu erreichen; und seine Bemühungen waren nicht vergeblich. Sidonie hatte seinen Lippen jedes Wort abgelauscht, das tief in ihre Seele drang, und wenn auch ihr heißliebendes Herz nur schwer von der Hoffnung ließ, mit dem Grafen das Glück der Liebe zu theilen, enthielt dennoch der Gedanke, in dieser Liebe mit ihm auf immer vereint zu sein, zu viel Beglückendes, um nicht ihre Seele zu trösten und zu erheben und die Nacht ihrer Schmerzen mit strahlendem Licht zu durchleuchten. Und je länger der Graf sprach, um so überzeugender wirkten seine Worte auf sie und führten sie zu der Erkenntniß ihres unvermeidlichen Geschicks. Seine Aussprüche waren ihr heilig, doppelt heilig, da ihr eigenes Leid sie seinen Schmerz nicht übersehen ließ und ihre Seele sich dadurch zur vermehrten Achtung und Liebe des Geliebten hingezogen fühlte. Vermochte e r so stark und willenskräftig zu sein, so sollte er sich in Bezug auf ihre moralische Kraft nicht getäuscht haben. Aber, während diese Erwägungen ihre Seele durchflogen, rannen ihre Thränen immer reicher und reicher. Die gefalteten Hände in dem Schooß geborgen, das liebliche Haupt geneigt, saß sie da, demüthig und ruhig, gleich einem Kinde, das sich mit Engelsgeduld in das Verlangte fügt. Niemand von ihnen sprach ein Wort; eine heilige Stille umgab sie, die Keiner zu unterbrechen wagte. Nach einer längeren Pause erhob Sidonie das Haupt und schaute den Grafen mit ruhigem, jedoch von Thränen umhülltem Blick an, ergriff seine Hand, drückte sie sanft, indem sie mit leiser Stimme und anscheinend ruhig und fest bemerkte: »Sei es denn so, wie Sie sagten. Ich weiß, es kann nicht anders sein, da S i e es sagen.« Sie hatte diese Worte hastig gesprochen und schien denselben noch andere hinzufügen zu wollen; als sie jedoch in das bleiche, schmerzerfüllte Antlitz des Grafen blickte, schwieg sie plötzlich, ihr

Auge leuchtete in Liebe, und von der inneren Bewegung übermannt, lehnte sie das Haupt an seine Schulter und weinte. Der Graf hatte diesen Blick vollster Liebe nur zu wohl verstanden; er hatte errathen, daß das, was ihrem Herzen vorher Leidenschaft und Schmerz abgerungen, das Geständniß ihrer tiefen Liebe, die jungfräuliche Scheu jetzt nur noch in dem Blick zu wiederholen vermochte. In diesem Blick lag das Bekenntniß, ihm ewig, ewig in Liebe angehören zu wollen. So groß Aureliens Theilnahme auch für die Unglücklichen war, hatte sie dennoch die Vorsicht nicht vergessen, ihre Freunde vor einer Ueberraschung, die unter den obwaltenden Umständen sehr gefährlich werden mußte, zu behüten. Glücklicher Weise nahte sich Niemand, und so gewannen sie Zeit zur Sammlung und konnten sich zur Rückkehr zu der Herzogin, die nun bald erfolgen mußte, vorbereiten. Stets für das Wohl ihrer geliebten Freunde sorglich bedacht, that Aurelie den Vorschlag, sich nach einem von Allen gern besuchten Hügel zu begeben, um unter den laubigen Bäumen daselbst dem bald erfolgenden Sonnenuntergang beizuwohnen. Sie that diesen Vorschlag in der Absicht, Sidonie zu zerstreuen und den oben bezeichneten Zweck zu erreichen. Der Graf, Aureliens wohlgemeinte Absicht sogleich errathend, stimmte ihr bei, und auch Sidonie nickte und reichte ihm willig den Arm und ließ sich von ihm dahin führen. Sie hing sich fest an ihn, als ahnte sie, daß es das letzte Mal war, in so inniger Verbindung und Hingabe mit ihm zu leben. Langsam und schweigend schritten sie dahin, während Aurelie sich bemühte, ihre Sinne und Gedanken auf die Gegenstände außer ihnen zu lenken, jedoch mit nur geringem Erfolg, wie das eben nicht anders sein konnte. Oft und oft blieb Sidonie stehen und es schien, als ob sie sprechen wollte; doch that sie es nicht, sondern schaute den Grafen nur an und schritt dann still und langsam weiter. So gelangten sie endlich zu dem Hügel und zwar in dem Augenblick, als die Sonne sich neigte. O, war dieses Scheiden nicht

ein Bild ihres Liebesglücks! Es war es und war es doch auch nicht; denn die Sonne kehrte bald in erhöhtem Glanz zurück, während das Gestirn ihres Glücks auf immer in dem düstern Gewölk der Entsagung unterging. Sie empfanden das nur zu wohl, und der schmerzvolle Blick, den sie mit einander austauschten, verkündete ihr Einverständniß. Die Etikette verlangte, noch vor dem völligen Eintreten der Dunkelheit in das Schloß zurück zu kehren, und, von Aurelien daran erinnert, erhob sich Sidonie seufzend. Langsam schritten sie dem Schloß zu, während nur wenige Worte gewechselt wurden. In der Nähe des ersteren angelangt, blieb Sidonie stehen, schaute den Grafen liebevoll an und bemerkte: »Ich sprach vor Ihrer Ankunft gegen Aurelie einen lebhaften Wunsch aus, dessen Erfüllung von Ihnen abhängt; o, weisen Sie meine Bitte nicht zurück!« »Wie sollte ich, meine theure Freundin?! Beglückt mich doch der Gedanke so innig, Ihnen einen Wunsch erfüllen zu können!« entgegnete der Graf, sichtlich erfreut. Sidonie drückte ihm die Hand und bemerkte mit bewegter, leiser Stimme: »Wohl leben die Bilder unserer Lieben in der Seele fort und fort, von der Liebe gehegt und gepflegt; aber ich glaube, die Erinnerung allein genügt dem Herzen nicht, und mich beängstet die Furcht, die Zeit und veränderte Lebensverhältnisse könnten die ersteren leicht schwächen, ja vielleicht sogar verwischen, so daß die lieben Bilder uns am Ende ganz aus der Seele scheiden. — O, wie schrecklich müßte das sein! Wie muß es uns daher trösten und beglücken, unser Auge auf das Bild treuer Freunde richten und das Herz an den wohlbekannten und geliebten Zügen erfreuen zu können. — Meinen Sie nicht auch?« — endete sie, indem sie ihn, sanft erröthend, anschaute. Der Graf hatte sie nur zu wohl verstanden und beeilte sich zu entgegnen:

»Gewiß, gewiß, und gesegnet sei die Kunst, der wir diesen Trost und die Freude verdanken, durch süße Täuschung die entbehrte Wirklichkeit ersetzen zu können!« »O, wie sehr freue ich mich darauf!« lispelte Sidonie. »Und darf ich diese Freude theilen?« fragte der Graf mit Betonung, ihre Hand drückend. »Sie wünschen es?« fragte Sidonie erfreut und verschämt. »Bedarf es meiner Versicherung?« »O, nein, o, nein! und ich gestehe Ihnen, Ihr Wunsch erfreut mich auf das Innigste. Weiß ich doch nun, daß Ihr Auge bisweilen die Züge der Freundin suchen wird, um — um sich ihrer zu — erinnern,« fiel Sidonie wehmüthig ein. In der Ferne ließ sich in diesem Augenblick ein Kammerdiener sehen, der auf dem Weg zu ihnen und wahrscheinlich von der Herzogin abgeschickt worden war, die Prinzessin mit dem Gast nach dem Schloß einzuladen; es war daher die schnellste Sammlung nothwendig, wollten sie sich nicht verrathen und in der erforderlichen unbefangenen Stimmung der Herzogin gegenüber treten. Aurelie begann sogleich ein Gespräch, an welchem die Prinzessin und der Graf, so viel es ihnen ihre Empfindungen gestatteten, Theil zu nehmen sich bestrebten. Sidonie, von der Aussicht auf das Innigste beglückt, in den Besitz von des Grafen Portrait zu gelangen und wenigstens in solcher Weise einen Ersatz für das verlorene Glück zu erhalten, war ruhiger geworden, und über das bleiche, wehmüthige Antlitz hatte sich ein Zug stiller Freude gebreitet. Ohne eine Ahnung der Leiden, welchen sie entgegen ging, war dieser Gedanke schon hinreichend, ihr Herz mit sanftem Trost zu erfüllen. Und so geschah es, daß sie der Herzogin ziemlich gesammelt entgegentrat und diese sie mit sichtlichem Wohlgefallen darüber empfing. Eine Stunde ging ihnen in der Unterhaltung dahin, an der sich die gesprächige Herzogin und Aurelie vorzugsweise betheiligten;

alsdann schied der Graf, und zwar mit der schmerzlichen Gewißheit, Sidonie in der nächsten Zeit nicht zu sehen, da die Herzogin ihren baldigen Besuch an dem fürstlichen Hofe angedeutet hatte.

Drittes Kapitel. Ungefähr eine Woche nach des Grafen Besuch trat der Herzog die beabsichtigte Reise an. Auf den Wunsch des Fürsten beeilte er dieselbe, da er überdies die ruhigere und ergebenere Stimmung der Prinzessin in seinem Interesse benutzen zu müssen glaubte. Nach der letzten Unterredung mit dem Grafen hatte Sidonie sich nämlich bereit erklärt, dem Verlangen ihres Vaters nachzukommen, so wie sie sich seit diesem Augenblick allen Anordnungen in dieser Angelegenheit willenlos unterwarf. Diese so sehr gewünschte Aenderung erfreute den Herzog auf das Höchste, und von der Voraussetzung erfüllt, daß das bewegte Leben an dem fürstlichen Hofe und die neue, so glänzende Stellung, welche Sidonie einnehmen sollte, ihren guten Einfluß auf diese bestimmt ausüben würden, blieb ihm die Ahnung von dem schmerzlichen Verzicht fern, zu welchem sich die Prinzessin entschlossen hatte. Um so mehr beglückte ihn daher der Gedanke, in so erwünschter Weise für sie gesorgt zu haben. Die glänzendste Aufnahme wurde dem herzoglichen Paar an dem fürstlichen Hofe zu Theil; ebenso war der Eindruck, den Sidonie auf den Fürsten und Prinzen hervorrief, ein durchaus vortheilhafter. Die Prinzessin erschien als ein schüchternes, anspruchsloses Mädchen; denn seit dem Entschluß, die Gemahlin des Prinzen zu werden, war eine wesentliche Umwandlung mit ihr vorgegangen. Die ehemalige Jugendheiterkeit und reizende Unbefangenheit, die Regsamkeit ihres Geistes und ihr lebhaftes Gefühl waren einer ruhigen Ergebung gewichen. Da sie ihr Geschick nicht zu ändern vermochte, waren auch alle das Herz belebenden Wünsche erstorben und sie nur noch

ein schüchternes, befangenes Mädchen, von dessen geistigen und sittlichen Schätzen man nicht das Geringste ahnte. Dies war namentlich in Bezug auf den Prinzen und dessen Oheim der Fall, die, wie wir gleichfalls erfahren haben, von Sidoniens eigentlichem Charakter und sittlichen Vorzügen keine richtige Vorstellung gewonnen und sie für das nahmen, als was sie erschien. Man würde sich jedoch in der Voraussetzung täuschen, daß sie dadurch unangenehm berührt worden wären; im Gegentheil erschien ihnen dieser Mangel hervorragender geistiger Befähigung und Sidoniens Anspruchslosigkeit als ganz besondere Vorzüge, die ihren Wünschen und dem Charakter des Prinzen durchaus entsprachen. So erfolgte denn die Verlobung unter großem Gepränge, und die Freunde des Prinzen, welche den Festlichkeiten beiwohnten, wünschten diesem wegen der schönen und schüchternen Braut, die eine vernünftige, das heißt duldsame, Gemahlin erwarten ließ, von Herzen Glück. Sie vergaßen sich jedoch dabei selbst nicht; denn sie sagten sich, daß von einem so anspruchslosen Mädchen, wie Sidonie, im Hinblick auf ihren späteren möglichen Einfluß auf den Prinzen nichts zu befürchten wäre, und sie demnach mit Sicherheit auf dessen ungeschmälerten Umgang rechnen dürften. So schien man sowol im Besondern als Allgemeinen mit der Wahl der künftigen Fürstin sehr zufrieden gestellt zu sein. Und die unglückliche Sidonie — Der von dem Herzog mit Bestimmtheit erwartete günstige Eindruck, den des Prinzen Persönlichkeit auf seine Tochter ausüben sollte, blieb aus, wie er bald zu bemerken Gelegenheit fand. Ja, er erkannte, daß, so wenig Interesse Sidonie für das Portrait des Prinzen gezeigt hatte, dies fast noch weniger für das Original selbst geschah. Pflichtete sie ihrem Vater auch bei, daß der Prinz in körperlicher Beziehung sehr bevorzugt sei, so verhehlte sie ihm auch zugleich nicht, daß der sinnliche Ausdruck seines Wesens sie doch von ihm abstieß, indem der Mangel edlerer Empfindungen, der sich darin äußerte, sie unangenehm, ja fast verletzend berührte. Mehr noch als dies Alles verletzte sie jedoch der mehr als freie Ton, in welchem er mit ihr verkehrte und der in des Fürsten Umgebung widerklang.

Der Herzog bemühte sich, sie in dieser Beziehung zu beruhigen, indem er den ungezwungenen Umgangston des Hofes als allgemein verbreitet bezeichnete, und sie aufmerksam machte, daß daher nicht der Prinz, sondern sie selbst die Ursache ihrer Verstimmung wäre. Er sprach zugleich die Erwartung aus, daß sie sich bald daran gewöhnen und Geschmack finden würde, indem er sie zugleich erinnerte, wie es nun ihre Pflicht sei, sich in das ihr allerdings neue Leben zu finden. Sidonie nahm diese Vorstellungen schweigend hin; sie sagte sich, wie vergeblich es sein würde, ihren Vater zu überzeugen, wie wenig sie sich geneigt und befähigt dazu fühlte, und daß sie die von ihm bezeichnete Pflicht vielleicht niemals oder doch nur mit großer Ueberwindung würde erfüllen können. Was würden auch ihre Einwendungen den obwaltenden Verhältnissen gegenüber gefruchtet oder ihr irgend welche Vortheile verschafft haben? — Die Verlobung war erfolgt, die Vermählung innerhalb drei Monaten festgesetzt; der Schritt konnte also nicht mehr zurück gethan werden, und so erachtete sie es für das Ersprießlichste, dem Künftigen mit Geduld und schweigend entgegen zu gehen. Wenngleich sie zu diesem Vorsatz gelangt war, so konnte es doch nicht ausbleiben, daß sie ihre Besorgnisse Aurelien, die sie nach dem fürstlichen Hof begleitet hatte, vertraute und mit ihr das im Lauf ihrer Anwesenheit daselbst Erfahrene besprach. Fräulein von Ketten, deren feiner Sinn in ähnlicher Weise wie Sidoniens Zartgefühl von dem Leben am Hofe verletzt worden war, sah sich leider genöthigt, der Freundin beizupflichten, bemühte sich jedoch auch zugleich, sie in dieser Beziehung zu beruhigen und sie aufmerksam zu machen, daß sie als die Gemahlin des künftigen Thronerben ihre Wünsche und Neigungen würde geltend machen können, und daher die Gestaltung ihres künftigen Lebens in ihre Hand gegeben sei. Dieser Voraussetzung pflichtete Sidonie um so leichter bei, da sie in dem beruhigenden Glauben lebte, daß dies ihr gutes Recht sei, welches sie dereinst auch zu beanspruchen gesonnen war.

Lag in diesem Gedanken eine wohlthuende Beruhigung für Sidonie, so hatte die erfahrenere und schärfer blickende Freundin doch nur zu bald erkannt, welcher zweifelhaften Zukunft Sidonie entgegen ging. Daß der Prinz weder Hochachtung noch eine zartere Neigung für die Letztere hegte, entging ihrem Blick nicht, und ebenso war sie mit der niederschlagenden Ueberzeugung erfüllt worden, daß ein Charakter wie der des Prinzen mit seinen Neigungen niemals oder kaum zu edleren Empfindungen für die Prinzessin geführt werden würde. Daher sah sie, abgesehen von Sidoniens Verzicht auf ihre Liebe, mit Bangen in die Zukunft; machtlos, der Freundin Geschick zu ändern, blieb ihr nur das Gebet für das Wohl der Geliebten. Sie war jedoch vorsichtig genug, Sidonien ihre Besorgniß zu verschweigen, um jede Unruhe von ihr fern zu halten und sie zu befähigen, dem Künftigen mit der erforderlichen Sammlung entgegen gehen zu können. Sie fand einen besondern Trost in der Gewißheit ihrer Freundin auch in ihrer neuen Lage zur Seite stehen zu dürfen; denn auf den ausdrücklichen Wunsch der Prinzessin war dieser gestattet worden, Aurelie als eine ihrer Hofdamen an des Fürsten Hof mitbringen zu dürfen. Nach einem fast vierzehntägigen Aufenthalt verließ der Herzog mit Sidonien den Hof und kehrte in seine Residenz zurück, und es begannen nun die zu der Ausstattung der Prinzessin erforderlichen Arbeiten, welche das herzogliche Paar ganz besonders in Anspruch nahmen. Mit frohem Herzen begrüßte Sidonie die Heimath, die ihr im Hinblick auf ihr baldiges Scheiden doppelt theuer war und die ihr mit verdoppelten Reizen erschien, da sie dieselbe so lange hatte entbehren müssen. Tiefer denn jemals fühlte sie, daß ihr Platz im Leben nicht an einem rauschenden, durch Formenwesen und dem Zwang der Etikette belebten Hof sei, sondern in bescheideneren Verhältnissen, in welchen jedoch die Schönheit der Natur, eine edle Freiheit und die einfache Sprache der Wahrheit und des Herzens

galt, über welche die Alles verklärende Liebe ihren glänzenden Schimmer ausbreitete. Kaum in der Heimath angelangt, eilte sie mit Aurelien in den Garten, um sich der wieder gewonnenen Freiheit und des so beliebten Naturgenusses zu erfreuen. Sie sah sich jedoch in ihren frohen Erwartungen getäuscht; denn was dieser Umgebung früher einen so kostbaren Reiz verliehen hatte, fehlte ja: das Glück der Liebe. Anders erschien ihr das Bekannte, Beliebte; anders erschien sie sich selbst; verändert däuchte ihr das ganze Leben. Und so tönte kein freudiges Wort von ihren Lippen, als sie wie einst den Garten durchschritt; traurig und stumm saß sie am Weiher nur kurze Zeit, um, von innerer Unruhe getrieben, weiter zu eilen, in den Wald, auf den Hügel, auf welchem sie einst mit i h m der Sonne Scheiden stumm und schmerzvoll an dem feuchten Auge vorüber gleiten sah. Und sie seufzte still vor sich hin: »Dahin, dahin, auf immer dahin!« Länger denn eine Woche war nach ihrer Rückkehr verstrichen, ohne daß der Graf erschien, wie sie das erwartet hatte, und mit jedem neuen Tage steigerte sich ihre Sehnsucht, ihn endlich nach so langer, langer Zeit wieder zu sehen, ohne daß dieselbe jedoch befriedigt wurde. Des Grafen Fernhalten betrübte sie tief, mehr jedoch noch die Ungewißheit, in welcher sie über sein Leben schwebte. Allerlei beängstigende Sorgen quälten sie und raubten ihr die so nothwendige Ruhe, so daß sie darunter körperlich litt. Schon öfter hatte sie Aurelie gebeten, sich um Nachricht über den Grafen zu bemühen, ohne daß diese mehr zu thun vermochte, als bei des Letzteren Bekannten Erkundigungen nach ihm einzuziehen, die Sidonie nicht zu befriedigen vermochten. Ohne daß die Letztere etwas erfuhr, langte durch einen geheimen Boten in dieser Zeit ein Billet von Römer an Aurelie an, in welchem er ihr mittheilte, daß er zu der schmerzlichen Ueberzeugung gelangt sei, daß es besser sei, Sidonie nicht mehr wieder zu sehen, da er dies für ihre Ruhe als durchaus nothwendig erachtete; Aurelie sollte

ihn daher nicht erwarten. Er trug dieser zugleich auf, viele Grüße an Sidonie zu bestellen und als Grund seines Fortbleibens eine weitere Reise zu bezeichnen, die er im Interesse seiner Familie habe antreten müssen. Zu welcher Zeit seine Rückkehr erfolgen würde, sei er nicht im Stande zu bestimmen. Hinsichts des von der Prinzessin gewünschten Portraits sprach er die Meinung aus, daß es vielleicht geeigneter sei, Sidonie dasselbe erst nach ihrer Vermählung einzuhändigen. Zugleich vertraute er der Freundin an, daß, nachdem er zu dem Entschluß gelangt, Sidonie in den ersten Jahren nicht wieder zu sehen, er sich vorläufig nach Paris begeben würde, um von hier aus eine weitere Reise, die ihn voraussichtlich mehrere Jahre von der Heimath fern halten würde, anzutreten. Dies sollte Sidonien jedoch ein Geheimniß bleiben. Er bat Aurelie, ihm zu schreiben, bemerkte aber auch zugleich, daß er es von ihrem Wunsch abhängig mache, ob er ihr später wieder Mittheilungen zugehen lassen sollte. Den Grund dazu bezeichnete er in der Voraussetzung nicht näher, daß Aurelie denselben errathen würde. Diese wurde durch den Inhalt des Schreibens kaum überrascht; der besondere Charakter des Grafen und sein Fernbleiben hatten sie ein solches Handeln bereits voraussehen lassen. Sie billigte dasselbe nicht nur mit vollster Ueberzeugung, indem sie dessen Nothwendigkeit erkannte, sondern bewunderte auch die große Selbstverläugnung, die der Graf zu Gunsten der Prinzessin beobachtete. Jedes Wiedersehen mußte nachtheilig auf die Letztere wirken, indem es zu dem Schmerz auch noch das gesteigerte Verlangen nach des Geliebten Besitz gesellte. Neue, schmerzvolle Kämpfe wären dadurch in Sidonien hervorgerufen worden, deren Folgen nicht zu berechnen waren und ihr den unvermeidlichen Schritt wesentlich erschwert hätten. Die Möglichkeit, ihn noch vor ihrer Vermählung wiederzusehen, mußte sie dagegen beleben, wenn die Gewißheit, daß dies in Jahren nicht stattfinden würde, ihr armes Herz vollständig niedergebeugt hätte. Auch in Bezug auf die Einhändigung des Portraits, das dem Schreiben beigefügt war, theilte Aurelie des Grafen Ansicht, freilich

mit dem nahe liegenden Bedenken, daß Sidoniens Gemüthszustand sehr leicht und wahrscheinlich bald eine Aenderung seiner Bestimmung erfordern würde. Sie händigte dem Boten eine ausführliche Antwort an den Grafen ein, in welcher sie ihm nicht nur ihre Zustimmung zu seinen Entschlüssen und Maßnahmen, sondern auch ihre dankbare Bewunderung für seine so edle Selbstverläugnung aussprach. Ueber die an dem Hofe des Fürsten gemachten Beobachtungen betreffs des wenig empfehlenden Charakters des Prinzen schwieg sie, um den Grafen nicht noch tiefer zu betrüben und zugleich in der Voraussetzung, daß er in dieser Beziehung wohl besser unterrichtet sein würde, als sie selbst. Denn es darf kaum bemerkt werden, daß man sich wohl hütete, einer Hofdame der Prinzessin Anderes als nur Lobenswerthes über den schönen Prinzen, den Abgott der Frauen, mitzutheilen. Aurelie täuschte sich in dieser Voraussicht durchaus nicht. Der Graf, obwol seit längerer Zeit den Hof seines Fürsten meidend, dessen Ton ihm nichts weniger als zusagte, stand dennoch durch seine daselbst oder in dessen Nähe lebenden Verwandten mit demselben in einem ziemlich regen Verkehr, und so konnte es nicht fehlen, daß er auch mit des Prinzen leichtsinnigem Leben genügend bekannt gemacht wurde. Die Gewißheit von dem geringen sittlichen Gehalt des Letzteren, der für ihn früher nur höchstens sein politisches Interesse beansprucht hatte, war jetzt ein Grund kummervollster Sorge geworden, welche den Schmerz der Entsagung nur noch erhöhen mußte. Wäre Sidonie die Gemahlin eines achtungswerthen Fürsten geworden, so würde er leichter auf ihren Besitz verzichtet haben; jetzt jedoch von der Ueberzeugung erfüllt, daß der Prinz niemals Sidoniens Werth erkennen und daher auch nie auf ihr Glück bedacht sein würde, litt sein Herz tausendfach mehr. Darum war er rasch zu dem Entschluß gelangt, fern von der Stätte, an welcher er sein Liebesglück begraben wußte, die Zeit und das Geschick walten zu lassen und seinen Schmerz in abgeschiedener Fremde auszukämpfen. Wenige Tage nachdem er Aureliens Mittheilung

erhalten hatte, begab er sich zu einem entfernten Verwandten und von diesem später nach Paris. Aurelie entledigte sich ihres Auftrages gegen Sidonie mit großer Vorsicht und treu der ihr von dem Grafen gegebenen Rathschläge. »So ist mir denn auch die einzige Freude geraubt, die mir noch geblieben und auf welche mein Sehnen und Hoffen gerichtet war!« — entgegnete Sidonie, durch das Vernommene schmerzlich überrascht. »Doch ich darf nicht klagen; denn ich habe ja kein Recht dazu. — Ja, ja, e r sprach leider nur die volle Wahrheit. Entbehren und Entsagen, das ist das allgemeine Loos der Menschen, und ich muß mich bemühen, diese Wahrheit anzuerkennen, indem ich mich ihr geduldig unterwerfe. — Ich fühle es nur zu wohl,« fuhr sie nach kurzem sinnenden Schweigen fort, »welchen Entsagungen ich entgegen gehe, und wie nothwendig es ist, mich schon zeitig daran zu gewöhnen.« — Wieder schwieg sie und schaute gedankenvoll vor sich hin; alsdann bemerkte sie in wehmüthigem Ton: »Eine wunderbare, unergründliche Welt! Alle Geschöpfe in der Natur scheinen sich eines ungetrübten Glücks zu erfreuen und folgen froh den inneren Trieben; nur das höchste, edelste Geschöpf, der Mensch, schafft sich Qualen und Sorgen, Leid und Verzweiflung, indem er seinen Willen über die Gesetze der liebenden Natur stellt. Ich vermag das nicht zu verstehen, und forsche vergeblich nach den Gründen, warum der Mensch das wahre, einzige Glück des Lebens einem eingebildeten und nur mit schmerzvollen Opfern erkauften vorzieht, das ihm am Ende doch keine Befriedigung gewährt.« — »Wer vermöchte Deine gewiß schon häufig ausgesprochenen Gedanken zu beantworten! Vergebens haben sich die Weisen darum bemüht, und alle Weisheit lief endlich auf den einen Satz aus, daß des Menschen Leben eben so geheimnißvoll sei, wie das Leben überhaupt,« entgegnete Aurelie, von ihrer Freundin Betrachtung nicht wenig überrascht, da sie dergleichen zum ersten Mal aus ihrem Munde vernahm und Sidonie durch das volle Leben, dem sie sich bisher hingegeben hatte, von allen philosophischen Grübeleien fern gehalten worden war, wozu ihre Natur überhaupt nicht zu neigen schien.

Aber es bewährte sich auch in diesem Falle der Satz, daß Leiden uns zu Philosophen machen, selbst wenn wir nicht die geringste Anlage dazu besitzen. Für unsere F r e u d e n forschen wir nach keinem Grund; der K u m m e r jedoch, das nicht selbst heraufbeschworene Weh, unter welches wir uns beugen müssen, fordert die Frage an das Unbekannte heraus. Sidonie hatte Aureliens Worte mit Aufmerksamkeit vernommen; als diese schwieg, ließ sie eine gewisse Zeit vorüber gehen, ehe sie antwortete; alsdann sprach sie sinnend: »Wie wunderbar! Der Mensch empfindet tiefer als die Gottheit, die ihn geschaffen, und erscheint mir höher als diese, da er ein glückliches Dasein für alle Menschen fordert und oft mehr an dem fremden als dem eigenen Unheil zu Grunde geht. Wie kommt’s, daß ich das Gute empfinde und mit Inbrunst für Alle verlange, obgleich ich nicht allliebend und allgütig genannt werden kann und derjenige, dessen Allmacht wir anerkennen, ja anbeten, sich so lieblos und ungütig seinen Geschöpfen gegenüber zeigt? — Däucht Dir in solchem Fall nicht der Mensch erhabener als die Gottheit? Ohne allmächtig zu sein, schafft er dennoch das Liebevolle, und wo er sich zum Schaffen unfähig fühlt, adeln ihn wenigstens seine edeln Triebe und das Mitleiden mit dem Unglück. — — Ich weiß nicht,« bemerkte sie nach kurzem schweigenden Nachdenken, »ich weiß nicht, wie es zugeht, daß sich solche Betrachtungen mir in die Seele drängen, indem meine Gedanken dem Grafen in die Ferne folgen, ihn aufsuchen an fremden Stätten, um im Geist mit ihm zu verkehren, da ich ihn nicht Auge in Auge begrüßen darf. — Kann uns das Leid so sehr umändern und kann diese Umänderung so ganz ohne unsern Willen vor sich gehen? — Ich verstehe es nicht. Niemals ist es mir bisher eingefallen, die Welt nicht für vollkommen zu halten, und jetzt führt mich mein eigenes Leid zur Einsicht der großen Unvollkommenheiten derselben und erfüllt mein Herz mit nie gekannten Zweifeln an den Gott der Liebe.« — »Diese Zweifel werden schwinden, wenn Dich das Leben wieder herausfordert, meine Sidonie,« bemerkte Aurelie und war eben im Begriff, der Freundin Gedankengang auf einen freundlicheren Weg zu leiten, als diese, ohne darauf zu achten, fragte: