Guía Ejercicios - Numeros Complejos

´ GU´IA N◦ 11: NUMEROS COMPLEJOS 1. Determine los n´ umeros reales x e y tal que 3(x + 2) + 2iy − ix + 5y = 7 + 5i. 23 16 x = − 11 , y = 11 .

Resp.

2. En los siguientes ejercicios reduzca a la forma a + bi. (a) (3 + 5i) + (5 + 2i) − (4 + 7i)2 (c)

−5−2i 4+i

(b) (2 + 3i)(5 − 3i)(−4 + 5i5 )

3 4(5−i)(4+6i)

(d)

+

2+5i 3i

(e)

(−5+i)(1+i) 3−i

[ (f )

+i

2i37 (2+i)(3+4i)

]2

3. Si z = a + bi, determine, i)

Re(z) . iIm(iz)

Resp. −i.

ii) [1 − Re(z) + iIm(z)] · [1 − Re(z) − iIm(z)].

Resp. 1 + a2 + b2 − 2a.

4. Si z1 = 1 + 2i, z2 = −2 + i, z3 = −1 − i, calcule, (a) 2z1 + 3z2 + 3

(b)

z1 iz2

(c) z12 + 2z32

(d)

z1 + z3 . 1 + z2

5. Represente en el plano, a) z ∈ / Re(z) = 2.

Resp. Recta de ecuaci´on x = 2.

b) z ∈ / 1 ≤ Re(z) ≤ 2, 0 ≤ Im(z) ≤ 3. c) z ∈ / |z| ≤ 1.

Resp. C´ırculo con centro en (0, 0) y radio menor o igual a 1.

d) z ∈ / |z − i| ≤ 4. e) z ∈ / Re((z − 1)2 ) = Re(2z(z − 1)).

Resp. Hip´erbola 1 = x2 − y 2 .

f) z ∈ / (z + 1)(z + 1) + 2Re(z + 1) ≤ 0. 6. Determine Re(p) e Im(p) si p es a) z 3 , b) c)

2i , z 3 , z2

donde z = a + bi donde ab ̸= 0. Resp. a) Re(p) = a3 − 3ab2 , Im(p) = 3a2 b − b3 ; b) Re(p) = 7. Determine z ∈ tal que a) |z| − z = 1 + 2i. b) |z| + z = 2 + i.

Resp. Resp.

3 4

3 2

− 2i.

+ i.

c) z · z¯ + 3(z − z¯) = 4 − 3i.

Resp. ±

√

15 2

− 12 i.

d) z · z¯ + 2z = 3 + i. 8. Eval´ ue las siguientes expresiones a) |(2 − 3i)(5 + 4i)(1 + i)|.

Resp.

√ 1066.

2b , a2 +b2

Im(p) =

2a . a2 +b2

b) (2+i)(−3+4i)(5−3i) . (3−4i)(5+3i) −2 c) (3+5i)(5−2i) · 3i . 5+2i

√ 5. √ Resp. 23 34.

Resp.

9. Demuestre que ∀ z ∈ : z 2 = z¯2 . 10. Encuentre los n´ umeros complejos z que satisfacen las dos relaciones siguientes, z − 12 5 z − 4 z − 8i = 3 y z − 8 = 1. Resp. z = 6 + 17i, z = 6 + 8i. 11. La suma de dos n´ umeros complejos es 3 + 2i. La parte real de uno de ellos es 2. El cuociente entre ellos puro.( Hallar umeros. ( √ )ambos n´ √ ) ( es√imaginario ) Resp. z1 = 2 + 1 + 3 i, z2 = 1 + 1 − 3 i ; z1 = 2 + 1 − 3 i, z2 = √ ) ( 1 + 1 + 3 i. 12. Analice si se cumplen las siguientes igualdades, (

(2 + i)2 a) =1 3 − 4i

b)

13. Verifique si el n´ umero complejo z =

√ )4 √ 3 3 1 1 − +i =− −i . 2 2 2 2

√ 1−i 3 2

satisface la ecuaci´on

3 1 − = 1. z+1 z 14. Demuestre que, a) (z − z¯)2 ≤ 0, ∀ z ∈. b) Si z 2 = z¯2 entonces z ∈ R ∨ Re(z) = 0. 15. Determine z ∈ tal que |z| = Resp. z = 16. Resuelva

1 2

√

+

3 i, 2

z=

1 = |1 |z| √ 1 − 23 i. 2

− z|.

{ (1 + i)z − iu = 2 + i (2 + i)z + (2 − i)u = 2i

donde z, u ∈. Resp. z = 6−9i , u = −16+11i 13 13 ( ) 1 17. Si w + w ∈ R, w ∈, demuestre que Im(w) = 0 ∨ |w| = 1. = 1. 18. Si z, w ∈ y |z| = 1, demuestre que z¯z+w ·w+1 19. Calcule z+w a) wz si z−w = 1 + 4i tal que z, w ∈. 1 1 b) z + u si z = 3 − 4i, u = 4 + 3i. √ 1 si z = 2i. Resp. 5 . c) z−z 2 10

√

Resp.

5 . 2

20. Calcule

( a)

)12 √ 3−i 1− 2

( b)

√ )10 1+i 3 1−i

21. Usando De Moivre y Teorema del Binomio demuestre que a) sen(3θ) = 3 sen(θ) − 4 sen3 (θ). b) cos(3θ) = 4 sen3 (θ) − 3 cos(θ). 22. Exprese en forma a + bi √ a) z = −7 + 24i. ( √ )−6 10 3+10i b) z = . 5+5i √ √ √ ± √12 i. c) z = 6 + i 3. Resp. z = ± 13 2 √ d) z = −11 − 60i. Resp. z = 5 − 6i, z = −5 + 6i. e) S = 1 +

1 1+i

+ ··· +

1 . (1+i)27

23. Si w ̸= 1 es una ra´ız c´ ubica de 1 verifique si a) (1 + w2 )4 = w. b) (1 − w + w2 )(1 + w − w2 ) = 4. c) (2 + 2w + 5w2 )6 = 729. 24. Demuestre que

( )) ( ) n ( a) (1 + i)n = 2 2 cos nπ + i sen nπ , n ∈ N. 4 4 (√ )n ( ( ) ( )) b) 3 − i = 2n cos nπ + i sen nπ , n ∈ N. 6 6

25. Verifique que ( √ ) √ [ ( ) ( )] (1 + i) 1 + i 3 (cos(θ) + i sen(θ)) = 2 2 cos 7π + θ + i sen 7π +θ . 12 12 26. Calcule, usando forma trigonom´etrica (√ ) a) 3 + i (1 + i). √ ) ( b) 1 + i 3 (1 − i). c) d)

1−i . 1+i √ 3−3 √ 3i . 3−i 10

e) (1 − i) . )6 ( √ f) 2 3 + 2i . g) (1 − i)16 + (1 + i). h)

5+5i √ . 10 3+10i 42

i) (1 + i) .

27. Resuelva,

√ a) 3 −i

√ b)

3

√ 4 3 − 4i

c)

√ 4

1.

28. Encuentre las 5 ra´ıces quintas de la unidad. 29. Resuelva la ecuaci´on z 6 − 2iz 3 − 1 = 0, z ∈. √ )n ( 30. Si xn + iyn = 1+i 3 , ∀n √ 2n−2 xn−1 yn − xn yn−1 = 2 3.

∈

N,

demuestre

que

31. Demuestre que (

( nπ ) √ )n ( √ )n 1 + i 3 + 1 − i 3 = 2n+1 cos . 3

32. Sea z ̸= 1 una ra´ız n-´esima de la unidad. Demuestre que para todo natural distinto del uno se cumple 1 + z + z 2 + · · · + z n−1 = 0. 33. Resuelva la ecuaci´on √ a) x4 + 8 + 8i 3 = 0

b) x6 + 7x3 − 8 = 0.

√ )3n ( 34. Sea xn + iyn = 1 + i 3 . Demuestre que xn + 23 xn−1 = 0. 35. Si z = (n − 1)! + n!i y w = 1 + ni, pruebe que |zw| = (n − 1)!(1 + n2 ).