Estado Sólido Tarea 1

F´ısica del Estado S´olido - Tarea 1 Dami´an Ismael Ayim Canch´e Lunes 9 de septiembre de 2019

1. Demuestre que la proporci´ on m´ axima de espacio que se puede llenar con esferas s´olidas acomodadas en las estructuras hexagonal compacta (HCP) y c´ ubica centrada en las caras (FCC) es 74 %. La proporci´ on m´ axima de espacio que se puede llenar con esferas s´olidas en una celda unitaria se refiere al factor de empaquetamiento de la misma, el cual se calcula con la siguiente ecuaci´ on: FE =

# ´atomos/celda · Vatm Vcelda

a) Para la estructura hexagonal compacta, es necesario calcular el volumen de la celda en t´erminos del radio del ´ atomo r. Para ello, se utiliza la f´ormula para hallar el volumen de un prisma hexagonal: Vcelda = Abase · H =

(P )(A)(H) 2

Donde P es el per´ımetro, A es el apotema y H es la altura. Observando la figura se obtiene que P y A en t´erminos de r son: P = (2r)(6) = 12r

A=

p √ √ 4r2 − r2 = 3r2 = r 3

Para hallar H en t´erminos de r, es necesario tomar en cuenta que H = 2h y b = 2r donde b y h son distancias definidas en la figura. Tambi´en se puede observar que la relaci´on entre b y h0 es: 2h0 cos 30◦ = b

→

1

b h0 = √ 3

Y la relaci´ on entre h, h0 y b se obtiene utilizando el teorema de pit´agoras: 2

2

h =b −h

02

2

→

2

h =b −



b √ 3

2

b2 2b2 =b − = 3 3 2

√ √ b 6 b 2 h= √ = 3 3

→

Con este dato se obtiene que: √ √ 2b 6 4r 6 H = 2h = = 3 3 Finalmente, se puede obtener el volumen de la celda en t´erminos de r y con ´este el factor de empaquetamiento, teniendo en cuenta que se tienen 6 ´atomos/celda:

Vcelda

∴ FE =

√ (P )(A)(H) (12r)(r 3) = = 2 2

√ ! √ 4r 6 = 24r3 2 3

(6)( 43 πr3 ) π #´ atomos/celda · Vatm √ = √ = 0.74 = 3 Vcelda 24r 2 3 2

→

74 %

b) El factor de empaquetamiento para una estructura c´ ubica simple centrada en las caras (FCC) se obtiene de una manera m´ as sencilla en comparaci´on con el procedimiento anterior. Se parte de la relaci´on entre el par´ ametro de red y el radio del ´atomo, el cual es: √ a 2 = 4r

El cual se obtiene observando la cantidad de radios at´omicos que se tienen en la diagonal de la cara del cubo. Posteriormente es necesario despejar a en t´erminos de r: 4r a= √ 2 Se procede a aplicar la f´ ormula del factor de empaquetamiento tomando en cuenta que en la FCC se tienen 4 ´ atomos/celda:

∴ FE =

(4)( 34 πr3 ) (4)( 34 πr3 ) #´ atomos/celda · Vatm (16)(2)3/2 = = π = 0.74 =  3 Vcelda a3 (3)(64) 4r √ 2

2

→

74 %

2. Alrededor de los 13◦ C en el esta˜ no ocurre una transici´on de fase de α-Sn a β-Sn. La fase de α-Sn tiene una estructura de diamante cuya longitud de arista es 6.48 ˚ A. La fase de β-Sn tiene una estructura tetragonal centrada en el cuerpo (a = 5.83 ˚ A, c = 3.18 ˚ A). Calcule la densidad de estas dos fases. P ASn = 118.7 uma. a) La fase α-Sn tiene una estructura de diamante, la cual cuenta con 8 ´atomos/celda. Por lo tanto la masa de una celda unitaria es: m = (8)(118.7 uma) = 949.6 uma = 1.5763 × 10−21 g Y su volumen se obtiene con el par´ametro de red: V = a3 = (6.48 × 10−10 m)3 = 2.7209 × 10−28 m3 = 2.7209 × 10−22 cm3 Finalmente, la densidad es: ∴ρ=

m 1.5763 × 10−21 g = = 5.7933 g/cm3 V 2.7209 × 10−22 cm3

b) La fase β-Sn tiene una tetragonal centrada en el cuerpo, la cual cuenta con 2 ´atomos/celda. Por lo tanto la masa de una celda unitaria es: m = (2)(118.7 uma) = 237.4 uma = 3.9408 × 10−22 g Y su volumen se obtiene con los par´ametros de red dados: V = abc = a2 c = (5.83 × 10−10 m)2 (3.18 × 10−10 m) = 1.0808 × 10−28 m3 = 1.0808 × 10−22 cm3 Finalmente, la densidad es: ∴ρ=

3.9408 × 10−22 g m = = 3.6461 g/cm3 V 1.0808 × 10−22 cm3

3. a) El Cesio posee una estructura BCC. Si se sustituyen los ´atomos de Ce situados en el centro de los cubos por ´ atomos de Talio, se obtiene una aleaci´on de cesio-talio Tlx Csy . ¿Cu´ al es la composici´ on de esta aleaci´ on? La estructura BCC tiene 2 ´ atomos por celda unitaria. Si en el centro el ´atomo es de Talio y el resto es de Cesio, entonces por cada celda unitaria se tiene 1 ´atomo de Talio y 1 de Cesio. La composici´ on de la aleaci´ on es x = 1 y y = 1: → ∴ TlCs b) El n´ıquel tiene una estructura FCC. Si se sutituyen los ´atomos de Ni situados en los centros de las caras por ´ atomos de aluminio, se obtiene una aleaci´on de n´ıquel-aluminio Alx Niy . ¿Cu´ al es la composici´ on de esta aleaci´ on? La estructura FCC tiene 4 ´ atomos por celda unitaria. Si en el centro de las caras hay ´atomos de Al y el resto son ´ atomos de Ni, la composici´on de la aleaci´on es x = 3 y y = 1: → ∴ Al3 Ni

3

4. Si la constante de red es 3.56 ˚ A para el diamante, halle el n´ umero de ´atomos por unidad de volumen.

El n´ umero de ´ atomos para la estructura tipo diamante son 8 ´atomos por celda unitaria. Entonces: #´ atomos/celda 8 ´atomos = 1.7731 × 1023 ´atomos/cm3 = Vcelda (3.56 × 10−10 m)3 5. Hallar los vol´ umenes de las celdas elementales de los sistemas: monocl´ınico y trigonal.

a) La estructura monocl´ınica es aquella donde a 6= b 6= c, β = γ = 90◦ y α 6= 90◦ . Los tres vectores que acotan el volumen de la celda unitaria monocl´ınica, en coordenadas cartesianas y medidos desde el origen, son: → − r 1 = ab e1 = abı

→ − r 2 = bb e2 = bb 

→ − r 3 = cb e3 = c cos αb  + c sin αb k

El volumen de la celda se obtiene realizando el producto mixto de estos tres vectores: a 0 0 → − → − → − V = [ r 1, r 2, r 3] = 0 b 0 0 c cos α c sin α

= abc sin α

b) La estructura trigonal es aquella donde a = b = c y α = β = γ 6= 90◦ . Los tres vectores que acotan el volumen de la celda unitaria monocl´ınica, en coordenadas cartesianas y medidos desde el origen, son: → − r 1 = ab e1 = abı → − r 3 = a cos αbı + a



→ − r 2 = ab e2 = a cos αbı + a sin αb 

cos α − cos2 α sin α



√ a 1 − 3 cos2 α + 2 cos3 α b b + k sin α

El volumen de la celda se obtiene realizando el producto mixto de estos tres vectores: a 0 0 a cos α a sin α 0 → − → − → − √ V = [ r 1, r 2, r 3] = =   2 2 3 a 1 − 3 cos α + 2 cos α cos α − cos α a cos α a sin α sin α = a3

p 1 − 3 cos2 α + 2 cos3 α 4

6. Conociendo los vectores de traslaci´ on de las celdas primitivas de las redes BCC y FCC, demuestre que los vol´ umenes de estas celdas son a3 /2 y a3 /4 respectivamente. a) Los vectores de traslaci´ on para la celda c´ ubica BCC son: 1 → − a = a(bı + b −b k) 2

→ − 1 b = a(−bı + b +b k) 2

→ −c = 1 a(bı − b +b k) 2

El volumen de la celda primitiva en este tipo de red se obtiene realizando el producto mixto de sus tres vectores de traslaci´ on: a/2 a/2 −a/2 → − − a3 4a3 − a/2 = = V = [→ a , b ,→ c ] = −a/2 a/2 8 2 a/2 a/2 −a/2 b) Los vectores de traslaci´ on para una celda c´ ubica FCC son: 1 → − ) a = a(bı + b 2

→ − 1 b = a(b +b k) 2

→ −c = 1 a(bı + b k) 2

El volumen de la celda primitiva en este tipo de red se obtiene realizando el producto mixto de sus tres vectores de traslaci´ on: a/2 → − → → − − V =[a, b, c]= 0 a/2 5

a/2 a/2

0

0 a/2 a/2

a3 a3 a3 + = = 8 8 4

7. Compare las densidades correspondientes al plano (111) en las redes c´ ubica simple, BCC y FCC ˚ suponiendo que est´ an compuestas por ´atomos de radio r = 1 A. Para hallar la densidad planar se aplica la siguiente f´ormula: PD =

# ´atomos sobre el plano A

Donde A es el ´ area del plano. En este caso, el ´area del plano (111), el cual es un tri´angulo, es: r √ √ b·h 3 a 2 2 3 A= = ·a =a 2 2 2 2

a) En una celda CS, a = 2r:

1 1 # ´atms sobre el plano = (3) = 6 2

→

PD =

1 1 2 2 √ = √ = √ = 0.144 ´atms/˚ A 2 2 3 a 3 4r 3

2a2

√

b) En una celda BCC, a = 4r/ 3:

1 1 # ´atms sobre el plano = (3) = 6 2

→

PD =

1 3 2 2 √ = √ = √ = 0.1082 ´atms/˚ A 2 2 3 a 3 16r 3

2a2

√

c) En una celda FCC, a = 4r/ 2:

1 1 (2)(2) 4 4(2) 2 √ = 0.289 ´ # ´atms sobre el plano = (3)+ (3) = 2 → P D = √ = √ = atms/˚ A 2 2 2 6 2 a 3 a 3 16r 3 De estos resultados se puede concluir que el plano (111) tiene una densidad planar mayor en la estructura FCC, mientras que es menor en la estructura FCC con respecto al radio at´omico. 8. El sodio a T = 23 K transforma su estructura BCC en HCP. Si tomamos en cuenta que la densidad permanece constante y la relaci´ on c/a es la ideal, calcule el par´ametro de red ah de la estructura HCP asumiendo que la constante de red de la fase c´ ubica es ac = 4.23 ˚ A El peso at´ omico del sodio es de 23 uma y se tienen 2 ´atomos de este elemento en una celda BCC. Por lo tanto, su densidad es:

6

ρ=

(2)(23 uma)(1.66 × 10−27 kg/uma) mc = = 1008 kg/m3 Vc (4.23 × 10−10 m)3

Esta densidad es constante, por lo tanto es posible conocer el par´ametro de red ah de la red HCP calculando la masa mh y el volumen Vh , el cual debe estar en t´erminos de ah para despejarlo. Entonces, el volumen para la celda HCP se calcula con el volumen de un prisma hexagonal: Vh =

(P )(A)(c) 2

Donde P es el per´ımetro, A es el apotema y c es uno de los par´ametros de red de la celda, el cual representa la altura. Con geometr´ıa se obtiene P y A en t´erminos de ah y tomando en cuenta la relaci´on ideal ah /c se obtiene c en t´erminos de ah : √

3 c = 1.633ah 2 √ ! 1 3 → Vh = (6ah ) ah (1.633ah ) = 4.2427a3h 2 2

P = 6ah

A = ah

La densidad para la estructura HCP ser´ıa: ρ = 1008 kg/m3 = s ∴ ah =

3

(6)(23 uma)(1.66 × 10−27 kg/uma) 4.2427a3h

(6)(23 uma)(1.66 × 10−27 kg/uma) = 3.77 ˚ A (4.2427)(1008 kg/m3 )

7

9. Si el peso at´ omico del C es 12 uma, halle la densidad del diamante. Se tiene una estructura de diamante, la cual cuenta con 8 ´atomos/celda. Por lo tanto la masa de una celda unitaria es: m = (8)(12 uma) = 96 uma = 1.5936 × 10−22 g Y su volumen se obtiene con el par´ ametro de red: V = a3 = (3.56 × 10−10 m)3 = 4.5118 × 10−29 m3 = 4.5118 × 10−23 cm3 Finalmente, la densidad es:

∴ρ=

m 1.5936 × 10−22 g = 3.5321 g/cm3 = V 4.5118 × 10−23 cm3

10. Calcule el factor de empaquetamiento de una estructura hexagonal compacta. El factor de empaquetmiento se calcula con la siguiente ecuaci´on: FE =

# ´atomos/celda · Vatm Vcelda

Donde Vcelda debe estar expresado en funci´on del radio del ´atomo, para ello se debe calcular el volumen de un prisma hexagonal con la ecuaci´on: Vcelda =

(P )(A)(c) 2

Donde P es el per´ımetro, A es el apotema y c es uno de los par´ametros de red de la celda, el cual representa la altura. Con geometr´ıa se obtiene P y A en t´erminos de a y tomando en cuenta la relaci´on ideal a/c se obtiene c en t´erminos de a: √ P = 6a

A=a

3 2

c = 1.633a

√ ! 1 3 → Vh = (6a) a (1.633a) = 4.2427a3 = 4.2427(2r)3 = 33.941r3 2 2 Porque a = 2r. Finalmente se obtiene el factor de empaquetamiento tomando en cuenta que la celda HCP tiene 6 ´ atomos/celda:

∴ FE =

(6)( 43 πr3 ) # a´tomos/celda · Vatm = = 0.74 Vcelda 33.941r3

8