Diseños Factoriales

EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS

CONTENIDO

1. Diseño factorial de dos factores

2. Diseño factorial de dos factores

1. Diseño factorial completo de 2 factores Un ingeniero decide probar los tres materiales de la cubierta, único factor controlable a tres niveles de temperatura (15, 70 y 125 °F) consistentes en el entorno de uso final del producto. Se prueban cuatro baterías a cada combinación de material de la cubierta y temperatura, y las 36 pruebas se ejecutan al azar.

En la tabla 1 se presentan el experimento y los datos resultantes de duración observada de las baterías.

En este problema, el ingeniero desea contestar las siguientes preguntas: 1. ¿Qué efecto tienen el tipo de material y la temperatura sobre la duración de la batería? 2. ¿Existe una elección del material que dé por resultado una duración uniformemente larga sin importar la temperatura? Temperatura F Tipo de material 1

2

15

70

125

130 155 34

40

20 70

74

75

82 58

180 80

150 188 126 122 25 70 159 126 106 115 58 45

3

138 110 174 120 96 104 168 160 150 139 82 60

Tabla 1. Duración en horas para el ejemplo del diseño de una batería

Esta última pregunta reviste particular importancia. Existe la posibilidad de hallar un material que no sea muy afectado por la temperatura. De ser así, el ingeniero puede hacer que la batería sea robusta a la variación de temperatura en el campo. Éste es un ejemplo del uso del diseño experimental estadístico para el diseño de un producto robusto (o consistente), un importante problema de ingeniería. Este diseño es un ejemplo específico del caso general de un diseño con dos factores (bifactorial). Para pasar al caso general, sea Yijk la respuesta observada cuando el factor A se encuentra en el i-ésimo nivel (i -1, 2,..., n). En general, los datos observados se verán como en la tabla 2. El orden en el cual se toman las abn observaciones es aleatorio, de modo que éste es un diseño completamente aleatorizado.

Factor B

Factor A

1

2

...

b

1

Y 111,Y 112, ...,Y 11n

Y 121,Y 122, ...,Y 12n

...

Y 1b1,Y1b2, ...,Y 1bn

2

Y 211,Y212, Y 221,Y 222, ...,Y 21n ...,Y 22n

...

Y 2b1,Y 2b2, ...,Y 2bn

...

...

...

...

...

a

Y a11,Ya12, ...,Y a1n

Y a21,Y a22, ...,Y a2n

...

Y ab1,Y ab2, ...,Y abn

Tabla 2. Disposición general para un diseño bifactorial Las observaciones pueden describirse mediante el modelo estadístico lineal:

i  1,2,..., a  Yijk  μ  τi  βj  τβ ij  εijk  j  1,2,...,b k  1,2,...,n  En donde  es el efecto medio general, i es el efecto del i-ésimo nivel del factor renglón A, j es el efecto del j-ésimo nivel del factor columna B, ()ij es el efecto de la interacción entre i y j, ijk es el componente del error aleatorio. Inicialmente se supone que ambos factores son fijos y que los efectos de tratamiento se definen como desviaciones de la media general, por lo tanto.

ia1τi  0; bj1βj  0

Se supone que los efectos de interacción son

a fijos y que se definen dé manera que: i1τβ ij  0 . Hay un total de abn

observaciones porque se realizan n réplicas. En un diseño factorial de dos factores, tanto los factores (o tratamientos) de renglón como de columna tienen la misma importancia, específicamente el interés consiste en probar hipótesis acerca de la igualdad de los efectos de tratamiento de renglón, es decir:

Ho : τ1  τ2  ...τa  0 H1 : al menos una τi  0 Y de la igualdad de los efectos de tratamiento de columna:

Ho : β1 

β2  ...βb  0 H1 : al menos una βj  0

También es interesante determinar sí los tratamientos de renglón y columna interaccionan. En otras palabras, resulta conveniente probar:

Ho : (ττβ)i  0 para toda i, j H1 : al menos una (ττβ)i  0 A continuación, se muestra cómo pueden probarse estas hipótesis usando un análisis de variancia bifactorial o bidireccional (de dos factores o en dos sentidos). Análisis Estadístico del Modelo de Efectos Fijos Sea Yi..; el total de las observaciones bajo el i-ésimo nivel del factor A; Y.j. El total de las observaciones bajo el j-ésimo nivel del factor B, Yij. El total de las observaciones de la ij-ésima celda, e Y... el total general de todas las observaciones. Se definen Yi..; Y.j. y Yij. y Y... como los promedios de renglón, columna, celda y general, respectivamente, matemáticamente:

b n Yi..    Yijk j1k 1

Yi.. 

a n   Yijk Y.j.  i1k 1

Y.j. Y.j.  ; j  1,2,...,b an

n Yij.   Yijk k 1

Yi..

; i  1,2,..., a

bn

Yij. 

a b n    Yijk Y...  i1j1k 1

Y... n

i  1,2,...,a ;  j  1,2,...,b

Y... 

Y... abn

La suma total de cuadrados corregida puede expresarse mediante:



a  i1



2 n b  Yijk  Y...   k 1 j1

 

 

a b n  Yi..  Y...      i1j1 k 1  Yijk  Yij.







Y.j.  Y...  Yij.  Y...  Y.j  Y...



  

2

2 a b n    Yijk  Y...  i1j1 k 1







 





2 2 2 a b a b     bn Yi..  Y...  an Y.j.  Y...  n Yij.  Yi..  Y.j.  Y... i1 j1 i1j1



2 a b n     Yijk - Yij. i1j1 k 1

Porque los seis productos cruzados del segundo miembro de la ecuación anterior son iguales a cero. Se observa que la suma total de cuadrados se ha descompuesto en una suma de cuadrados debida a los “renglones” o al “factor” A (SSA) en una suma de cuadrados debida a las "columnas" o al factor B (SSB), en una suma de cuadrados debida a la interacción entre A y B (SSAB), y en una suma de cuadrados debida al error (SSE): Analizando el último término del miembro derecho de la Ecuación anterior es posible observar que es necesario tener al menos dos réplicas (n  2) para poder obtenerla suma de cuadrados del error. Simbólicamente, la Ecuación anterior puede expresarse mediante:

SST  SSA  SSB  SSAB  SSE

Los grados de libertad asociados a cada suma de cuadrados son:

Efecto

Grados de libertad

A

a-1

B

b-1

Interacción AB

(a-1)(b-1)

Error

ab(n-1)

Total

abn-1

Esta descomposición del total de abn -1 grados de libertad para las sumas de cuadrados se puede justificar como sigue: Los efectos principales de A y B tienen a y b niveles, respectivamente, por lo tanto, tienen a -1 y b -1 grados de libertad como se muestra. Los grados de libertad de la interacción simplemente corresponden a los grados de libertad de cada celda (los cuales son iguales a ab -1) menos los grados de libertad de los dos efectos principales A y B en otras palabras, ab -1 -(a -1) -(b -1) -(a- 1)(b -1). Dentro de cada una de las ab celdas hay n -1 grados de libertad entre las n réplicas, por lo tanto, hay ab(n -1) grados de libertad del error. Se observa que la suma de los grados de libertad de los términos del miembro derecho de la ecuación anterior es igual al total de los grados de libertad.

Cada suma de cuadrados dividida entre sus grados de libertad produce una media de cuadrados. Los valores esperados de las medias de cuadrados son:

 SSA  2 σ  a  1  

E(MSA)  E

 SSB  2 σ  b1

E(MSB)  E

 SSAB  2 σ  (a  1)(b  1)  

E(MSB)  E

a bn  τi i1 a 1 b an  βj j1 b1 a b 2 n   (ττβ ij i1j1 (a  1)(b  1)

 SSE  2 σ  ab(n  1) 

E(MSE)  E

Hay que notar, que si las hipótesis nulas, las cuales consisten en proponer que no hay efectos de tratamiento de renglón, columna e interacción, son verdaderas, entonces MSA, MSB, MSAB y MSE son estimadores de 2. Sin embargo, si por ejemplo existen diferencias entre los tratamientos de renglón, entonces MSA será mayor que MSE. En forma similar, si hay efectos de tratamiento de columna o interacción, las medias de cuadrados correspondientes serán mayores que MSE. Por lo tanto, para probar el significado de ambos efectos principales, así como de su interacción, simplemente deben dividirse las medias de cuadrados correspondientes entre la media de cuadrados del error. Valores

grandes de estas razones implican que los datos no concuerdan con las hipótesis nulas. Si se considera que el modelo estadístico es adecuado y que los términos del error ijk son independientes con distribuciones normales con variancia constante 2, entonces las razones de las medias de cuadrados MSA/MSE, MSB/MSE y MSAB/MSE tienen distribución F con a -1, b- 1 y (a -1)(b -1) grados de libertad en el numerador, respectivamente, y ab(n 1) grados de libertad en el denominador. Las regiones críticas corresponden al extremo superior de la distribución F. Usualmente la prueba se presenta en una tabla de análisis de variancia como la que aparece en la tabla 2.

Fuente de Variación

SS G.L. Tratamientos A SSA a - 1

MS MS A 

SS A

Fo

MSA MSE

a  1 Tratamientos B SSB

Interacción

SSAB

b-1

MSB 

MSB

SSB

MSE

b 1 (a - 1)(b - 1) MSAB 

SSAB

MSAB MSE

(a  1)(b  1) Error

SSE

ab(n-1)

MSB  SSE ab(n  1)

Total

SST

abn - 1

Tabla 2 ANOVA para el modelo bifactorial de efectos fijos

Es posible obtener las fórmulas para calcular las sumas de cuadrados de la ecuación anterior. La suma total de cuadrados se calcula en forma usual mediante: 2 a b n Y ... 2 SST     Y ijk  i1j1k 1 abn

Las sumas de cuadrados para los efectos principales son:

2 2 a Y i.. Y ... SSA    i1 bn abn 2 2 b Y .j. Y ... SSB    j1 an abn Es conveniente obtener SSAB en dos etapas. Primero se calcula la suma de cuadrados entre los totales de las ab celdas, conocida como la suma de cuadrados debido a los "subtotales":

2 2 a b Y ij. Y ... SSsubtotales     i1j1 n abn Esta suma de cuadrados contiene a la SS A y SSB. Por lo tanto, la segunda etapa consiste en calcular SSAB mediante:

SSAB  SSsubtotales  SSA  SSB

La SSE se calcula por diferencia:

SSE  SST  SSAB  SSA  SSB o bien :

SSE  SST  SSSubtotales Ejemplo: Más sobre el experimento de diseño de una batería. En la tabla 3 se presenta la duración efectiva (en horas) observada en el ejemplo de diseño de una batería descrito en la anterior Los totales de renglón y de columna se indican en los márgenes de la tabla; los números subrayados son los totales de celda.

Temperatura (F)

Tipo de Mat. 1

2

15

130 155 539 4  34 74 180 80 134.75 150 188 159 126

3

70

138 110 168 160

Y.j.= 1738

623 576

125 40

20 70

75

229 82 58

136 122 106 115 174 120 150 139 1291

479 583

25 70 58 45 96 104 82 60 770

Yi.. 230 998

198 1300 342 1501 Y...= 3799

Tabla 3. Duración (en horas) para el experimento de diseño de una batería

Las sumas de cuadrados se calculan a continuación:

2 a b n 2 Y ... SST     Y ijk   i1j1 k 1 abn 2 2 2 2 2 3799 130  155  74  ...  60   77,646.97 36

2 2 a Y i.. Y ... SSmaterial     i1 bn abn 2 2 2 2 998  1300  1501 3799   10,683.72 (3)(4) 36 2 2 b Y .j. Y ... SStemperat ura     j1 an abn 2 2 2 2 1738  1291  770 3799   39,118.72 (3)(49 36 2 2 a b Y ij. Y ... SSinteraccion      i1j1 n abn 2 2 2 2 539  229  ...  342 3799   10,683.72  4 36  39,118.72  9,613.78 SSE  SST  SSmaterial  SStemperatur a  SSinteraccion SSE  77,646.97 10,638.72 39,118.72 9,613.78  18,230.75

El análisis de variancia aparece en la tabla 4. Se concluye que existe una interacción significativa entre el tipo de material y la temperatura porque F0.05,4.27 = 2.73. Además, también son significativos los efectos principales del tipo de material y de la temperatura, porque FO.O5.2.27 = 3.35.

Fuente de variación

SS

G.L.

MS

Fo 7.91

Tipo de material

10,683.72 2

5,341.86

Temperatura

39,118.72 2

19,558.36 28.97

Interacción

9,613.78

2,403.44

Error

18,230.75 27

Total

77,646.97 35

4

3.56

675.21

Tabla 4. ANOVA para los datos de la duración de la batería

Como auxiliar en la interpretación de los resultados de este experimento resulta útil la construcción de una gráfica de las respuestas promedio de cada combinación de tratamiento. Esta gráfica se muestra en la figura 1.

Duracion promedio

175 150 125

Yij. 100

Material tipo 3

75

Material tipo 1 Material tipo 2

50 25 15

70 Tempera tura

125

Figura 1. Gráfica de respuesta vs temperatura

El hecho de que las rectas no sean paralelas indica una interacción significativa.

En

general,

a

menor

temperatura

mayor

duración,

independientemente del tipo de material.

Al variar la temperatura de baja a intermedia, la duración aumenta con el material tipo 3, mientras que disminuye con los materiales tipo 1 y 2,

Cuando la temperatura varía de intermedia a alta, la duración disminuye con los materiales tipo 2 y 3, mientras que con el tipo 1 esencialmente permanece sin cambio. Al parecer, el material tipo 3 da los mejores resultados si lo que se desea es menor perdida de duración efectiva al cambiar la temperatura.