Caso I: Raíces Reales Diferentes

Caso I: Raíces reales diferentes Como consideramos una solución de la forma 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥 y para este caso se tienen dos raíces 𝑚1 y 𝑚2 , entonces tendremos dos soluciones 𝑦1 = 𝑒 𝑚1 𝑥 y 𝑦2 = 𝑒 𝑚2 𝑥 . Además,

𝑒 𝑚1 𝑥 𝑊(𝑦1 , 𝑦2 ) = | 𝑚1 𝑒 𝑚1 𝑥

𝑒 𝑚2 𝑥 |≠0 𝑚2 𝑒 𝑚2 𝑥

es decir que 𝑦1 y 𝑦2 son linealmente independientes y por tanto, constituyen un conjunto fundamental de soluciones para la E.D. (1). Luego la solución general es 𝑦 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 o bien 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑚2 𝑥

Ejemplo: Hallar la solución general de 2𝑦 ′′ − 5𝑦 ′ + 2𝑦 = 0 Solución: Sea 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥 solución de la E.D. entonces,

𝑦 ′ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥 , 𝑦 ′′ = 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 Sustituyendo en la E.D. dada, tenemos 2𝑚2 𝑒𝑚𝑥 − 5𝑚𝑒𝑚𝑥 + 2𝑒 𝑚𝑥 = 0 𝑒 𝑚𝑥 (2𝑚2 − 5𝑚 + 2) = 0 entonces, 2𝑚2 − 5𝑚 + 2 = 0 (𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎) 𝑚=

−(−5) ± √(−5)2 − 4(2)(2) 5 ± 3 = 2(2) 4 ⟹ 𝑚1 = 2 ,

𝑚2 =

1

1 2

Luego, 𝑦1 = 𝑒 2𝑥 y 𝑦2 = 𝑒 2𝑥 . Por tanto, la solución general es 𝟏

𝒚 = 𝒄𝟏 𝒆𝟐𝒙 + 𝒄𝟐 𝒆𝟐𝒙

Caso II: Raíces reales iguales la solución general es

𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑚𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑚𝑥 o bien 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥 (𝑐1 + 𝑐2 𝑥)

Ejemplo: Resolver (𝐷 2 − 6𝐷 + 9)𝑦 = 0 Solución: La ecuación característica es 𝑚2 − 6𝑚 + 9 = 0 ⟹ (𝑚 − 3)2 = 0 𝑚 = 3 (𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2) Luego, la solución general es 𝑦 = 𝑒 3𝑥 (𝑐1 + 𝑐2 𝑥)

Resolver: 𝒚′′ + 𝟔𝐲 ′ + 𝟗𝐲 = 𝟎 𝑚2 + 6𝑚 + 9 = 0 ⟶ 𝐸𝑐𝑢. 𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟

(𝑚 + 3)(𝑚 + 3) = 0 (𝑚 + 3) = 0, (𝑚 + 3) = 0 (𝑚1 ) = −3, (𝑚2 ) = −3 Luego, la solución general es

𝑦 = 𝑐1 𝑒 −3𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 −3𝑥

Caso III: Raíces complejas conjugadas La solución general la podemos escribir como 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝐴 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥) Ejemplo: Encuentre la solución general de la E.D. 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 3𝑦 = 0 Solución: La ecuación característica es 𝑚2 − 2𝑚 + 3 = 0

𝑚=

2 ± √4 − 4(3)(1) 2 ± √−8 2 ± 2√2𝑖 = = 2(1) 2 2

𝑚 = 1 ± √2 𝑖

⟹

𝛼 =1,

𝛽 = √2

Luego, la solución general es 𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝑐1 𝑐𝑜𝑠√2 𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛√2 𝑥)

𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: Resolver la E. D. 𝒚′′ + 9y = 0 Solución: La ecuación característica es 𝒎𝟐 + 𝟗 = 𝟎 𝒎𝟐 = −𝟗 √𝒎𝟐 = √−𝟗 𝒎 = √−𝟗 𝒎 = √𝟗𝒊 𝒎 = ±𝟑𝒊 ⟶ 𝒎 = 𝜶 + 𝜷𝒊 𝜷 = 𝟑 ,𝜶 = 𝟎 Luego, la solución general es 𝒚𝒉 = 𝒄𝟏 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) + 𝒄𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙)

Ejemplo: ¿cuál es la solución general de una E.D. si su ecuación característica tiene las siguientes raíces 2, -1, 0, 0, 3 ± 5𝑖, 2, 0, 3 ± 5𝑖? Luego la solución general es 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −𝑥 + 𝑒 2𝑥 (𝑐2 + 𝑐3 𝑥) + 𝑐4 + 𝑐5 𝑥 + 𝑐6 𝑥 2 + 𝑒 3𝑥 (𝑐7 𝑐𝑜𝑠5𝑥 + 𝑐8 𝑠𝑒𝑛5𝑥) + 𝑥𝑒 3𝑥 (𝑐9 𝑐𝑜𝑠5𝑥 + 𝑐10 𝑠𝑒𝑛5𝑥) Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 1. 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ − 5𝑦 = 0 Solución: La ecuación característica es 𝑚2 + 4𝑚 − 5 = 0

(𝑚 + 5)(𝑚 − 1) = 0 𝑚 = −5, 𝑚 = 1

𝒚 = 𝒄𝟏 𝒆−𝟓𝒙 + 𝒄𝟐 𝒆𝒙

2. 4𝑦 ′′ − 8𝑦 ′ + 7𝑦 = 0 Solución: La ecuación característica es 4𝑚2 − 8𝑚 + 7 = 0 𝑎 = 4, 𝑏 = −8, 𝑐 = 7

𝑚=

−(−8) ± √(−8)2 − 4(4)(7) 8 ± √64 − 112 8 ± 4√3𝑖 = = 2(4) 8 8 𝑚 =1±

√3 𝑖 2

⟹

𝛼 =1,

𝛽=

Luego, la solución general es 𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝑐1 𝑐𝑜𝑠

√3 √3 𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝑥) 2 2

3. (𝐷 4 − 2𝐷 3 + 𝐷 2 )𝑦 = 0 (𝐷 4 − 2𝐷 3 + 𝐷 2 )𝑦 = 0 ⟶ 𝑦 ′′′′ − 2𝑦 ′′′ + 𝑦 ′′ = 0 Solución: La ecuación característica es 𝑚4 − 2𝑚3 + 𝑚2 = 0 𝑚2 (𝑚2 − 2𝑚 + 1) = 0 𝑚2 = 0, (𝑚 − 1)(𝑚 − 1) = 0

√3 2

𝑚1 = 0, 𝑚2 = 0, 𝑚3 = 1, 𝑚4 = 1 Luego, la solución general es

𝒚 = 𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 𝒙 + 𝒄𝟑 𝒆𝒙 + 𝒄𝟒 𝒙𝒆𝒙