Breves Apuntes: Nociones de Áreas de Tríangulos

1 AREAS La noción de área está asociada a la extensión o superficie de una figura. El área es un número que nos dice que tan extensa es una región y la expresamos en kilómetros cuadrados (Km2); metros cuadrados (m2); centímetros cuadrados (cm2); etc. AREA DE UN TRIANGULO El área de un triangulo es igual al producto de un lado por su altura correspondiente, sobre 2. El lado que se escoge se llama base.

Área del ABC 

AB  CH 2

Área del ABC 

AB  CH 2

QR  PA 2 El área de un triangulo rectángulo es igual al semiproducto de sus catetos.

Área del PQR 

AREA DE UN RECTANGULO: El área de un rectángulo es igual al producto de la base por la altura. El área de un cuadrado es igual al lado al cuadrado. AREA DE UN PARALELOGRAMO Es igual a la base por la altura.

2

AREA DE UN TRAPECIO: Es igual a la semisuma de las bases por la altura.

( AB  DC)  h 2 AREA DE UN CÍRCULO AREA = R2 AREA 

SECTOR CIRCULAR

El área del sector circular es:

R 2   0 360 0

AREA DE UN POLIGONO REGULAR

Area 

perimetro  apotema 2

3 TEOREMA Una mediana de un triangulo lo divide en dos triángulos de igual área. HIPÓTESIS: AM es una mediana TESIS: Área de ABM  Área de AMC

1. Se traza AH  BC; B  H  M  C

1. Construcción

BM  AH 2 MC  AH 3. Área AMC  2 4. BM  MC

2. área de un triangulo.

2. Área ABM 

BM  AH 2 6. Área ABM = Área AMC 5. AMC 

3. Área de un triangulo 4. De hipótesis. M es punto medio por definición de mediana de un triangulo. 5. Sustitución de 4 en 3. 6. De 2 y 5. Propiedad transitiva

TEOREMA Las medianas de un triangulo lo dividen en 6 triángulos de igual área. (Demostrarlo)

EJERCICIOS 1. Demostrar que las áreas de dos triángulos que tienen un ángulo congruente son entre ellas como los productos de los lados que comprenden el ángulo. HIPOTESIS: CH y FG son alturas A D TESIS:

ABC AB  AC  DEF DE  DF

4

AB  CH 2 DE  FG 2.DEF  2 ABC AB  CH 3.  DEF DE  FG 4. A  D

1. ABC 

5.AHC DGF AB AC CH 6.   DE DF FG ABC AB CH 7.   DEF DE FG ABC AB AC AB  AC 8.    DEF DE DF DE  DF NOTA: Colocar al frente las razones 2. Se tiene un cuadrado ABCD de lado a. Se prolonga la diagonal AC de A hacia C y se toma en la prolongación un punto E, tal que CE = a. Encontrar el área del triangulo BCE, en términos de a

Se traza la diagonal BD que corta a AC en P. AC  BD (Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares) PC = PB = x. a2 a a 2 En el triangulo rectángulo PCB se tiene: x 2  x 2  a 2  2 x 2  a 2  x 2  x  2 2 2 Área del triangulo BCE = Área del triangulo BPE menos el área del triangulo BPC

PE  PB BPE   2

(

a 2 a 2  a)  2 2 2

5 Se siguen las operaciones y se llega a: BPE  El área de BPC es BPE – BPC =

a 2  2a 2 4

a2 porque es la cuarta parte del área del cuadrado 4

2a 2 4

3. Desde los vértices del cuadrado ABCD y con radio igual al lado, se describen arcos. Calcular el área de la región rayada en función del lado del cuadrado que es a Respuesta: Area 



a 2 2  3 3  9



3

El área de la figura es igual al área del cuadrado menos el área de los sectores circulares BEA y CED y menos el área del triangulo equilátero AED. AD = AE = ED = a 4. En el cuadrado ABCD se inscribe una circunferencia y desde los vértices del cuadrado se describen arcos con radios iguales a la mitad del lado del cuadrado. Calcular el valor del área de región rayada en función del lado del cuadrado que es a a2 Respuesta: (  2) 2

5.

6 6. HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo P es un punto cualquiera de la diagonal AC TESIS: Area del DPC = Area del PBC Area del DPA = Area del APB

7.

RESPUESTA:

( a  b) 2 2

8.

Respuesta:

a2 ( 3  1) 4

9.

FC  6 ; AD  AB  BC . F es el centro de la semicircunferencia y C es un punto de tangencia. Hallar el área de la región rayada.

Respuesta: 6(16 - 3)

7 10.

Respuesta:

12 3  4 9

11. ABCD es un cuadrado de lado 4 cm. Hallar el área de la parte rayada

RESPUESTA : 8(  2) 12.

Calcular el área del triangulo equilátero inscrito en la circunferencia, si el radio de la circunferencia es 3. 27 3 RESPUESTA: 4 13.

RESPUESTA :

4(4  3 3 ) 3

14. ABCD es un cuadrado de lado 12 cm. Por cada vértice se trazan arcos de 4 cm. de radio. Hallar el área de la región rayada. RESPUESTA: 96 - 16

8 15.

RESPUESTA:

8  6 3 3

16. El radio de la circunferencia es R. Hallar el área de la región rayada en función de R RESPUESTA: R2 (4 - )

17. El triangulo ABC es equilátero de lado a. Encontrar el área de la región rayada en función de a. M, N, P son puntos medios de los lados del triangulo. a 2 (2 3   ) RESPUESTA: 8

18. El triangulo ABC es equilátero de lado a. P es el punto donde se cortan las mediatrices de los lados. Hallar el área de la región rayada en función de a. a 2 2  3 3 RESPUESTA: 6





19. El triangulo ABC está inscrito en una semicircunferencia. Se trazan semicircunferencias sobre los catetos del triangulo rectángulo. Demostrar que el área del triangulo es igual a la suma de los áreas de las dos regiones sombreadas. Asignar: AB  2c; AC  2b;CB  2a

9 20. El ángulo AOB mide 60º. OA y OB son radios tangentes a la circunferencia de centro C. Si OB  2cm. Calcular el área de la región sombreada.

21.

Las circunferencias son tangentes en B. O y P son los centros. OA = 24 cm. m  EOD   60 . La circunferencia pequeña esta inscrita en el EOD . Hallar el área de la circunferencia pequeña.

22. AB  AD O es el centro de la circunferencia de radio R Si el área de la región rayada es 16  4 , hallar el radio R de la circunferencia.

10 23. ABCD es un cuadrado de lado a . m ( BAE) = 30°; m ( FBC) = 30°. Hallar el área del triangulo BPE.

3a 2 Respuesta: 24

24. Se da un triangulo rectángulo ABC donde la hipotenusa BC  2a . El ángulo C mide 30°. Se traza la mediana AM. Por los puntos A y B se trazan paralelas a BC y a AM, que se cortan en N. Calcular el área del cuadrilátero AMBN. Respuesta:

3a 2 2

25. ABCD es un rectángulo. AB  24cm.; BC  12cm. E es el punto medio de CD . a. Calcular el área del rectángulo ABCD b. Calcular el área del triangulo BCE c. Se toma un punto F sobre AB de tal manera que el área del triangulo FEB sea los

13 del área del cuadrilátero ABED. Si AF  x . Calcular el valor de x . Respuesta: 24 5,50 cm. 26. Sobre el segmento AB  3a , se toma un punto M tal que AM  2a . Sobre AM se construye un triangulo equilátero AMC, sobre MB se construye un triangulo equilátero MBD, se traza CD. Se traza CH perpendicular a AB. Calcular el área del polígono ABCD.

7 3a 2 Respuesta: 4 27. El área del circulo de centro O es 60 cm2. AB y CD son diámetros perpendiculares. AO y OB son diámetros de las circunferencias pequeñas. OE es bisectriz. Calcular el área de la región rayada.

28. Dado un triangulo cualquiera MQR, se trazan las medianas RS y MT, que se cortan en P. Demostrar que el área del triangulo PMS es igual al área del triangulo PRT.

11

29. En el triangulo ABC rectángulo en A, m  C   30 y AB  a . Sobre cada lado se construyen exteriormente los cuadrados ABDE, ACHF y BCIJ. Hallar el área del polígono DEFHIJ.





RESPUESTA: 8  2 3 a

2

30. Se trazan tres circunferencias de igual radio de tal manera que cada una pasa por el centro de las otras dos. Hallar en función del radio R, el área de la región circular común.

  3  R RESPUESTA:

2

2

31. En el triangulo ABC, CE es una altura. Si AE  a , m  A  60; m  B   45 .Hallar el



a2 3  3 área del triangulo en función de a. Respuesta:



2

32. En un triangulo rectángulo de lados 6, 8, 10 centímetros, se inscribe una circunferencia. Hallar el área del círculo. Respuesta: 4 cm2. 33. ABCD es un trapecio isósceles y en el se inscribe una circunferencia. Si las bases del trapecio miden respectivamente 2 y 6 cm y si m( A)  60º . Hallar el área de la región rayada. RESPUESTA: 8 3  3

34. Las circunferencias son concéntricas y la cuerda AB de la circunferencia mayor es tangente a la circunferencia menor. Si la cuerda mide 8 cm. Hallar el área del anillo determinado por las dos circunferencias. RESPUESTA: 16

12 35. AB es un diámetro de una circunferencia de radio 6 centímetros y centro K. Este diámetro se prolonga hasta C, una longitud igual al radio. Por C se traza una perpendicular a ABC . La cuerda AD prolongada corta la perpendicular anterior en P. Si m( CAP)  30º . 1) Hallar el área interior a la semicircunferencia y exterior al triangulo. 2) Hallar el área exterior a la semicircunferencia e interior al triangulo. RESPUESTAS: 1) 3(4  3 3) cm2 2) 46,59 cm2. Ayuda: trazar el radio OD 36. Encontrar el área del triangulo rectángulo CDB Triángulos ACB y CDB rectángulos CA  8 3

m( A)  30º

37. Hallar el área de la región rayada. C es el centro de la circunferencia de radio 12 cm. T es un punto de tangencia.

38. Hallar el área del triangulo DOC de la siguiente figura. ABCD es un trapecio isósceles BD  AD AC = BD = 20 AB = 25

39.

ABC es un triangulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 2. Hallar el área de la región rayada.

13 40. Tres hermanos se han de repartir un campo cuadrado en tres partes iguales, de la manera que se indica en el dibujo porque en el vértice A hay un pozo que han de compartir. Teniendo en cuenta que el lado del campo es de 60 metros y que quieren garantizar que los tres campos tengan la misma superficie. ¿A qué distancia han de estar los puntos M y N del vértice C. 41. El triangulo ABC es equilátero de lado 4 centímetros, hallar el área del triangulo CDE.

42. ABCD es un trapecio con AB DC . Demostrar que el área del triángulo CEA es igual al área del triángulo DEB

43. El área del cuadrado ABCD es 120 cm2 y EF es un diámetro. C y D pertenecen a la circunferencia. A y B son puntos del diámetro. Calcular el área del círculo.

44. Se da un triángulo cualquiera ABC, se traza la mediana CM . D es un punto de la mediana, se trazan los segmentos AD y BD . Demostrar que el área del triángulo ADC es igual al área del triangulo BDC.

14 EJERCICIOS ADICIONALES DE ÁREAS DE REGIONES SOMBREADAS 1. Hallar el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado es de 8 centímetros. AYUDA: Trasladar algunas áreas a otras regiones para obtener una región conocida.

2. El radio de la circunferencia es de 5 centímetros. Calcular el área de la región sombreada. AYUDA: Trasladar algunas áreas a otras regiones para obtener una región conocida.

3. El radio de la circunferencia de centro O es 8 centímetros. Los polígonos son rombos. Encontrar el área de la región sombreada.

15 4. ABCD es un cuadrado de lado 8 centímetros. Calcular el área de la región sombreada.

5.

ABCD es un cuadrado de lado 4 centímetros. ECB  EBC . Hallar el área de la parte sombreada.

6.

Hallar el área de la región sombreada.

7. ABCD es un cuadrado de lado 10 centímetros. Hallar el área de la región sombreada.

16 8. El radio AB del sector circular mide 12 centímetros. T es un punto de tangencia. Hallar el área de la parte sombreada. SOLUCIÓN: El área sombreada es igual al área del sector circular menos el área del círculo de centro C. Se traza por P, una tangente, que es perpendicular al radio CP, esta tangente corta a las prolongaciones de los lados del ángulo A en D y E. C es el centro de la circunferencia inscrita al triangulo ADE, es decir el incentro, o sea el punto donde se cortan las bisectrices de los ángulos interiores del triangulo ADE. m( CAH )  30º . Triangulo AHC es rectángulo AC con un ángulo de 30 grados.  CH  2 CP es un radio del arco y por lo tanto mide 12 centímetros, entonces 3r  12  r  4  R 2 º  (12)2 60º Área del sector circular   24 360º 360º Área del círculo:  r 2   (4)2  16 Área de la región sombreada: 24  16  8 9. Hallar el área de la región sombreada, sabiendo que el triangulo ABC es equilátero y que su lado mide 6 3

17 10.

Hallar el área de la región sombreada

11. Hallar el área de la región sombreada. Respuesta: 17

12. El área de cada cuadrado pequeño es 1 cm2 , calcular el área de la parte sombreada.

13. ABCD es un rectángulo, la diagonal AC se divide en tres segmentos congruentes, la base del rectángulo mide 8 cm. y la altura mide 3 cm. Hallar el área de la región sombreada.

18 13. Hallar el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado es de 12 cm. Ayuda: trazar la diagonal DB.

14. A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

Algunos ejercicios fueron tomados de los siguientes textos:  Geometría Euclidiana de Nelson Londoño  Geometría Euclidiana de Hemmerling  Curso de Geometría. Reunión de profesores  Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli  Geometría de Edwin E. Moise  De internet Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.

19 SOLUCIÓN DE ALGUNOS EJERCICIOS: SOLUCION DEL EJERCICIO # 24 AM  a (La mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de esta. AB  a . El cateto opuesto a un ángulo de 30 grados mide la mitad de la hipotenusa. BM  a Definición de mediana AMB es equilátero. AM NB; BM NA De hipótesis. AMBN es un paralelogramo  AM  NB; AN  MB AM  NB  AN  MB  a y se tiene que AMB  ANB (L – L – L) Área AMBN = 2 área AMB. Hallamos el área del triangulo equilátero AMB y la multiplicamos por dos. SOLUCIÓN DEL EJERCICIO # 32 CE  CD  x; AD  AF  y; BF  BE  z ¿Porque? AFOD es un paralelogramo (¿Por qué?) y = OF = radio x  z  10

yz 8 x y 6 Se resuelve el sistema y se llega a que y  2  radio y por lo tanto el área del Círculo es 4

20  En un cuadrado ABCD se da: D – C – F y A – E – D tales que BE es perpendicular a BF. Si EBF = 200 cm2 y ABCD = 256cm2, hallar el valor de CF. Lado del cuadrado:

256  16

BE  BF  200  BE  BF  400 (1) 2

1  3 , por tener el mismo complemento el 2 , por lo tanto BCF BAE por ser triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente. BF BC BF 16     1  BF  BE y BE BA BE 16

reemplazando en 1 tenemos que: BF 2  400  BF  20 En el BCF:x 2  BF 2  BC 2  x 2  400  256  x 2  144  x  12cm.

 En un trapecio isósceles ABCD con AD = CB = 3 cm, las diagonales que miden 4 cm, son perpendiculares a los lados no paralelos. Hallar el área de trapecio ABCD. CH = DK = h HB = KA = x Por Pitágoras se halla que AB  5cm. En el triangulo rectángulo CHB, se tiene: h2  9  x 2 (1)

En el triangulo rectángulo CHA, se tiene: h2  16  (5  x )2  h2  16  (25  10 x  x 2 ) h2  16  25  10 x  x 2 h2  9  10 x  x 2 (2)

Igualamos (1) y (2): 9  x 2  9  10x  x 2  18  10x  x  1,8 Reemplazamos en (1): h2  9  (1,8)2  h2  9  3.24  h  2.4 CHB  DKA ¿Por qué? y por lo tanto HB = KA = 1,8

KH  AB  2 HB  5  2(1,8)  1, 4 KH  DC  1, 4

21 Área del trapecio 

( AB  DC )CH 192   7, 68cm2 2 25

Otra forma de hacerlo: Área del trapecio = Área CHB + Área KHCD + Área DKA Área CHB = Área DKA 

1,8  2,4  2,16cm2 2

Área KHCD  1,4  2.4  3.36cm2 Área del trapecio  2,16  3,36  2,16  7,68cm2 El triangulo ABC es isósceles con AB  AC; BN yCM son medianas y se cortan en O. Demostrar que las áreas del cuadrilátero ANOM y del triangulo COB son equivalentes. (Dos figuras tienen áreas equivalentes cuando sus áreas son iguales)

1. Área del triangulo CMB = Área del triangulo CMA 2. Área del triangulo COB + Área triangulo BOM = Área ANOM + Área triangulo CON 3. BN  CM

4.

5. 6. 7.

2 1 CO  CM ; OM  CM 3 3 2 1 BO  BN ; ON  BN 3 3 OM  ON OC  OB CN  BM

8. CON  BOM 9. Área triangulo CON = Área triangulo BOM 10. Área del triangulo COB = Área ANOM

1. En un triangulo una mediana determina dos triángulos de igual área. 2. De 1. Suma de áreas. 3. En un triangulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. 4. Teorema de las medianas en un triangulo.

5. De 3 y 4. Por medir lo mismo. 6. De 3 y 4. Por medir lo mismo. 7. De hipótesis, por ser mitades de segmentos congruentes 8. De 5, 6, 7. L – L – L 9. De 8. 10. De 9 y 2. Ley cancelativa

22  Demostrar que el área de un triangulo es igual al producto de su semiperimetro por el radio de la circunferencia inscrita HIPOTESIS: r es el radio de la circunferencia inscrita pr p=perimetro 2 Unimos el centro O de la circunferencia inscrita con los vértices del triangulo. El triangulo ABC queda dividido en los triángulos AOC, AOB, COB. Recordar que un radio es perpendicular a la tangente en su punto de tangencia.

TESIS: A 

Continúe con la demostración.  Las circunferencias son tangentes entre si y tangentes a la recta. A y B son los centros de las circunferencias grandes de radio R. C es el centro de la circunferencia pequeña de radio r. Hallar el área de la circunferencia pequeña en función de R.

En el triangulo rectángulo CEB, se tiene: CB 2  CE 2  EB 2 (R  r )2  (R  r )2  R 2  R 2  2Rr  r 2  R 2  2Rr  r 2  R 2 Resolviendo se llega a: r 

R 4

 R2 R Por lo tanto el área de la circunferencia pequeña es:     16 4 2

23  M y N son los puntos medios de los lados no paralelos AD y CB, de un trapecio ABCD y P es un punto sobre AB , tal que PN es paralelo a AD . 1 Demostrar que Área de APD = Área de PBCD  Área de ABCD. 2

1. Se prolonga PN y corta a la prolongación de DC en Q 2. PQ AD

1. Construcción

3. DQ AP

3. De 1 y de hipótesis. Las bases de un trapecio son paralelas 4. De 2 y 3, definición de paralelogramo 5. En un paralelogramo una diagonal lo divide en dos triángulos congruentes. 6. De 5, por ser congruentes. 7. De 3, por ser alternos internos entre paralelas 8. Por ser opuestos por el vértice 9. De hipótesis, definición de punto medio 10. De 9, 8 y 7, L – A – A 11. Suma de áreas 12. Sustitución de 6 en 11. 13. Sustitución de 10 en 12 14. De 13. Suma de áreas. 15. Suma de áreas 16. Sustitución de 15 en 16.

4. APQD es un paralelogramo 5. ADP  DPQ 6. Área APD = Área DQP 7. 1  2 8.

3

4

9. NC  NB 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

PNB  CNQ AreaDQP  AreaDPNC  AreaCNQ AreaAPD  AreaDPNC  AreaCNQ AreaAPD  AreaDPNC  AreaPNB AreaAPD  AreaPBCD AreaABCD  AreaADP  AreaPBCD

AreaABCD  2AreaPBCD 

1 AreaABCD  AreaPBCD 2

2 .De 1 y de hipótesis

24 Ejercicio 19

El triangulo ABC está inscrito en una semicircunferencia. Se trazan semicircunferencias sobre los catetos del triangulo. Demostrar que el área del triangulo es igual a la suma de las áreas de las dos regiones sombreadas. AB = 2c; BC = 2a; CA = 2b

Área de la semicircunferencia grande menos área del triangulo es igual al área de la región 2 mas el área de la región 1 El triangulo ABC es rectángulo por estar inscrito en una semicircunferencia. 2b  2a Area del triángulo   2ab 2   c2 Area de la semicircunferencia grande  2   c2   c 2  4ab Entonces Area region 1+area region 2   2ab  2 2 Área de la parte sombreada = Suma de áreas de las semicircunferencias sobre los catetos menos la suma de la región 1 y región 2 Area parte sombreada 

  b2 2



  a2 2



  c 2  4ab 2



  b2    a2    c 2  4ab 2



 (b2  a2 )    c 2  4ab

Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos: 4c 2  4b2  4a2  c 2  b2  a2   c 2    c 2  4ab 4ab   2ab Reemplazando tenemos que: 2 2

2