Bab 4 Limit Dan Kekontinuan

BAB 4 Limit dan Kekontinuan

BAB 4 Limit dan Kekontinuan Tujuan Instruksional Umum:

Khusus:

Setelah menyelesaikan mata kuliah ini, Pada akhir perkuliahan (pertemuan) ini mahasiswa mempunyai pemahaman secara mahasiswa dapat menjelaskan konsep konseptual yang benar dan komprehensif limit dan kekontinuan suatu fungsi dengan dalam topik-topik utama dalam kalkulus I satu variabel beserta

sifat-sifat,

teknik-teknik,

dan

teorema yang berkaitan dengannya.

4.1. Limit Untuk memahami pengertian limit fungsi pada suatu titik, pandang sebuah fungsi yang didefinisikan seperti berikut ini : ( ) Jika fungsi di atas digambar maka didapatkan :

Fungsi f jelas tidak terdefinisi dititik x = 1 , karena pada titik tersebut nilai fungsi adalah 0/0.

Diktat Kalkulus I Iwan Cony Setiadi

19

BAB 4 Limit dan Kekontinuan

Tetapi pertanyaan yang mungkin timbul adalah “ bagaimana nilai f(x) disekitar x = 1 ?”. Apakah f(x) “mendekati“ nilai tertentu bila x “mendekati” 1 ? Istilah “mendekati“ disini menggunakan pengertian ukuran jarak dua titik pada garis yang dinyatakan dalam “nilai mutlak”. Untuk menjawab pertanyaan tersebut, ada beberapa hal yang dapat dilakukan, dua diantaranya adalah : 1. Menghitung nilai-nilai f untuk x yang mendekati 1, seperti yang dinyatakan pada tabel berikut.

Tabel di atas menunjukkan bahwa nilai f(x) akan mendekati 0.5 apabila x dibuat cukup dekat dengan 1. Dengan kata lain, jika x mendekati 1 dan x ≠ 1 maka f(x) mendekati 0.5. Jadi , f dapat dibuat sedekat mungkin ke 0.5 dengan cara mengambil nilai x cukup dekat ke 1, tetapi x ≠ 1. 2. Sketsa grafik

Grafik f terpotong di x = 1 (ditandai dengan bulatan kosong “0”) menunjukkan nilai f(1) tidak ada (f tidak terdefinisi di x = 1). Meskipun demikan , dari grafik tersebut terlihat bahwa apabila x semakin mendekati 1, nilai f(x) semakin mendekati 0.5.

Diktat Kalkulus I Iwan Cony Setiadi

20

BAB 4 Limit dan Kekontinuan

Informasi-informasi tersebut dalam notasi matematika dinyatakan sebagai limit. Pengertian dan notasi dari limit suatu fungsi, f(x) di suatu nilai x = a diberikan secara intuitif berikut. Bila nilai f(x) mendekati L untuk nilai x mendekati a dari arah kanan maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari kanan sama dengan L dan dinotasikan:

Bila nilai f(x) mendekati l untuk nilai x mendekati a dari arah kiri maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kiri sama dengan l dan dinotasikan:

Bila L = l maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a sama dengan L dan dinotasikan:

Sedangkan bila L l maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada. Bentuk (1) dan (2) disebut limit sepihak. Sedangkan bentuk (3) mengisyaratkan bahwa nilai limit fungsi pada suatu titik dikatakan ada bila nilai limit sepihaknya sama atau nilai limit kanan (1) sama dengan nilai limit kiri (2). 4.2. Sifat - Sifat Limit

Diktat Kalkulus I Iwan Cony Setiadi

21

BAB 4 Limit dan Kekontinuan

untuk L > 0 bila n genap. Sebagai catatan bahwa sifat-sifat di atas juga berlaku untuk limit sepihak. Contoh: Selesaikan limit fungsi berikut, jika ada:

Jawab:

Contoh: Selesaikan limit fungsi berikut, jika ada:

Jawab:

Jadi nilai limit dari fungsi berikut adalah 1/4. Salah satu cara pengerjaan limit adalah dengan cara membuat sederhana f(x) (pemfaktoran).

Diktat Kalkulus I Iwan Cony Setiadi

22

BAB 4 Limit dan Kekontinuan

4.3. Kekontinuan Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a bila nilai limit f(x) pada x mendekati a sama dengan nilai fungsi di x = a atau f(a). Secara lebih jelas, f(x) dikatakan kontinu di x = a bila berlaku : 1. f( a ) terdefinisi atau f(a) R

Bila minimal salah satu dari persyaratan di atas tidak dipenuhi maka f(x) dikatakan tidak kontinu atau diskontinu di x = a dan titik x = a disebut titik diskontinu. Secara geometris, grafik fungsi kontinu tidak ada loncatan atau tidak terputus. Bilamana kita menggambarkan suatu grafik fungsi sembarang dengan mengerakkan pensil kita di kertas dan tanpa pernah mengangkat pensil tersebut sebelum selesai maka akan kita dapatkan fungsi kontinu. Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut. Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x Rmaka dikatakan f(x) kontinu atau kontinu dimana-mana.

Diktat Kalkulus I Iwan Cony Setiadi

23

BAB 4 Limit dan Kekontinuan

Contoh: Tentukan nilai k agar fungsi berikut kontinu di x = -1 :

Jawab: Nilai fungsi di x = -1, f(-1) = 3. Sebab nilai limit kanan sama dengan 3 maka nilai limit kiri juga sama dengan 3. Untuk itu pembilang dari bentuk :

harus mempunyai faktor x + 1. Dengan melakukan pembagian pembilang oleh penyebut didapatkan:

Dari sisa pembagian ( -2k + 2 ) sama dengan nol maka didapatkan k = 1. 4.4. Limit Tak Hingga dan Limit Di Tak Hingga Dalam sub bab ini pengertian limit tak hingga dan limit di tak hingga secara formal tidak diberikan seperti halnya pada pengertian limit di suatu titik pada pembahasan terdahulu. Secara intuisi diberikan melalui contoh berikut. Misal diberikan fungsi:

Maka nilai fungsi f(x) menuju tak hingga ( ) untuk x mendekati 1 dari kanan, sedangkan menuju minus tak hingga ( -) untuk x mendekati 1 dari kiri. Pengertian tersebut dapat dinotasikan dengan limit sebagai berikut :

Misalkan diketahui sebuah fungsi adalah sebagai berikut:

Diktat Kalkulus I Iwan Cony Setiadi

24

BAB 4 Limit dan Kekontinuan

Maka akan didapatkan:

Bentuk limit tersebut dinamakan limit tak hingga, yaitu nilai fungsi f(x) untuk x mendekati 1 sama dengan tak hingga (). Sedangkan bentuk limit di titik mendekati tak hingga diilustrasikan berikut. Misal diberikan fungsi:

Maka nilai fungsi akan mendekati nol bila nilai x menuju tak hingga atau minus tak hingga, dinotasikan :

Secara umum, limit fungsi dari:

untuk x mendekati tak hingga atau minus tak hingga sama dengan nol, dituliskan:

Bila f(x) merupakan fungsi rasional, misal:

dengan p(x) dan q(x) merupakan polinom maka untuk menyelesaikan limit di tak hingga dilakukan dengan membagi pembilang, p(x) dan penyebut, q(x) dengan x pangkat tertinggi yang terjadi.

Diktat Kalkulus I Iwan Cony Setiadi

25

BAB 4 Limit dan Kekontinuan

Contoh : Selesaikan persoalan limit berikut!

Jawab : Nilai dari pembilang untuk x mendekati 3 dari arah kanan adalah mendekati 6, sedangkan nilai penyebut akan mendekati negatif bilangan yang sangat kecil. Bila 6 dibagi oleh bilangan negatif kecil sekali akan menghasilkan bilangan yang sangat kecil.

4.5. Latihan Soal

Diktat Kalkulus I Iwan Cony Setiadi

26

BAB 4 Limit dan Kekontinuan

Diktat Kalkulus I Iwan Cony Setiadi

27

BAB 4 Limit dan Kekontinuan

10. Hitunglah nilai limit berikut, bila ada!

Referensi 

Dale, Varberg. 2004. Kalkulus. Edisi Kedelapan. Jilid 2. Jakarta : Erlangga



James Stewart (2000) “ Kalkulus”. Edisi Keempat. Erlangga. Jakarta.



Mursita, Danang. 2005. Matematika Lanjut untuk Perguruan Tinggi. Bandung: Rekayasa Sains.



Ruwanto, Bambang. 2002. Matematika untuk Fisika dan Teknik. Yogyakarta: Adicita Karya Nusa.

Diktat Kalkulus I Iwan Cony Setiadi

28