Distribusi Gamma

MAKALAH

DISTRIBUSI GAMMA Makalah Dibuat Dalam Rangka Memenuhi Tugas Mata Kuliah Statistika Statistika Matematika 1 ( Dosen Pengampu : Wilujeng, M.Pd )

Di susun Oleh : 1. M. Sulton Umam

( 1714500015 )

2. Nur Azizah

( 1714500059 )

3. Ulfa Nur Afifah

( 1714500067 )

Kelas 3C Pendidikan Matematika Kelompok 9

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PANCASAKTI TEGAL 2015

DISTRIBUSI GAMMA

A. Definisi Distribusi Gamma

Definisi 1: Distribusi Gamma adalah distribusi fungsi padat yang terkenal luas dalam bidang matematika. Distribusi Gamma mampu memecahkan masalah teknik dan sains yang tidak mampu dipecahkan oleh distribusi Normal. Definisi 2: Distribusi Gamma mencangkup distribusi-distribusi khusus yaitu distribusi Eksponensial, distribusi Khi-kuadrat, dan distribusi Beta. Definisi 3: Suatu distribusi yang sering muncul dalam penerapan disebut distribusi Gamma. Nama ini diperoleh dari adanya relasi distribusi ini dengan fungsi Gamma. Fungsi Gamma, dinotasikan dengan didefinisikan sebagai:

г  

untuk α > 0, yang

 untuk α > 0

г

=

∞  −−

 untuk α = 1

г

=

∞  −−

=



 untuk α > 1

г

=(

∞ −  −− )

=

−г − (

)

Dari hasil ini, dapat disimpulkan bahwa khusus untuk α bilangan bulat  positif yang lebih besar dari 1 maka:

г −− …  − =

=

!

Atau dapat disimpulkan bahwa fungsi Gamma memiliki sifat-sifat sebagai  berikut:

г г г г

   

= = = =

−г − −    (

)

 > 0 = , , ,

 … α

!

B. Persamaan Umum Distribusi Gamma

Misalkan y pada fungsi Gamma di persamaan (1) merupakan variabel yang bergantung pada variabel  persamaan menjadi:

г

=

     , yaitu

= / , dengan

∞  − −  

Jika masing-masing ruas dikalikan dengan dengan  persamaan tersebut akan ekuivalen dengan:



=

> 0, maka

г

( )

maka

∞  г  −−

Karena

( )

  > 0,

> 0, maka fungsi:

∞    г   −−    ( )=

( ) ,

/

,

<

<

Dimana α > 0 dan β > 0 Keterangan: β = waktu rata-rata antar kejadian α = jumlah kejadian yang terjadi berurutan pada waktu atau ruang tertentu λ = jumlah kejadian per unit waktu atau ruang (λ= 1/β) x = nilai random variabel (lama waktu atau luasan area hingga kejadian  berikutnya)

 Nilainya selalu nonnegatif dan total integralnya selalu 1. Dengan kata lain fungsi tersebut memenuhi syarat-syarat sebagai  pdf . Variabel acak  X dengan  pdf seperti pada persamaan (4) disebut variabel acak yang

berdistribusi gamma dengan parameter α dan β dinotasikan:

г   г       г   −− 

 X ~ GAM ( α, β ) atau X ~ ( α, β ) Jadi, Variabel random  X   dikatakan mempunyai distribusi Gamma

dengan parameter

 X ~

>0

> 0, atau dinotasikan X ~ GAM ( α, β ) atau

( α, β ), jika X mempunyai fdp berbentuk:

( ; , )=

/

( )

untuk 0 < x < ∞, α > 0, β > 0 dan 0 untuk nilai x lainnya 

Parameter α disebut juga parameter bentuk ( shape parameter )



Parameter β disebut juga parameter skala ( scale parameter ) Dalam aplikasinya, distribusi gamma dapat digunakan untuk

memodelkan distribusi peluang dari waktu tunggu atau masa hidup suatu objek atau individu.

Distribusi Gamma Standard

Distribusi Gamma Standard adalah  jika parameter skala sebuah distribusi gamma  = 1 diperoleh suatu distribusi gamma standar:

α− − 

 ∶    Гα  ≤    β α x

FG = x

 = P X  x =

( )

0

PX

x = F G x ; ,  = F G

1 e t 

t 

x

;

 dt

Tabel Gamma

 Fungsi Pembangkit Momen dari Distribusi Gamma

Berdasarkan definisi mgf 

∞       г  − −   ∞    г  − − −  



( )= [

1

/

0

1 ( )

1

(1

0

1 ( )

]=

=

  − =  (1

Melalui pemisalan

)  dengan

   − − ∞      г  − −  ∞ ), sehingga

(1

)

( )=

    − < 1/ , maka

=

/(1

1

1

0

=

)/

 −  г  − − ∞  − −    − г   (

0

=(

1

1

1

1

)

)

0

1 ( )

1

1 ( )

1

Karena fungsi yang ada di bawah integral adalah pdf  dari distribusi gamma maka nilai integralnya adalah 1. Akibatnya:

 −    =(

) ,

<

 Rata-rata (Mean) dari Distribusi Gamma

Karena turunan pertama dari M adalah :

′  − −−− − ′  − −−− −    ′  =

1(

1

)

Dan turunan ke duanya :

=

2(

1

)2

Maka Mean untuk distribusi Gamma adalah:

~

,

=

=

             ′  − − 

 Variansi dari Distribusi Gamma

=

2

~

,

=

=

+

=

Dengan cara lain Pembuktian Mean dan Variansi  X ~ GAM ( α, β ) dapat diperoleh sebagai berikut:

∞

     г  − −  ∞  − −  г   ∞     гг   г    − −   гг  гг   ( )=

1 ( )

0

=

1 ( )

+1

=

+1

= =

1

+1

1

0

( + 1) ( )

+1

0

1 ( + 1)

( +1) 1

( + 1)  1 ( )

( ) ( )

=

Dengan cara yang sama E (X²) = β² α(1+α) sehingga Var (X) = β² α(1+α) –  (αβ)² = αβ²

C. Latihan Soal Dan Pembahasan Mengenai Distribusi Gamma

1. Variable acak kontinu x yang menyatakan ketahanan suatu bantalan  peluru (dalam ribaun jam) yang diberi pembebanan dinamis pada suatu  putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi gamma dengan  = 8 dan   = 15, Tentukan, probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu-120 ribu jam dengan pembebanan dinamik pada putaran kerja tersebut! Jawab : P (60   x  120)

= P (x  120) –  P (x  60) = FG (120; 8 , 15) - FG (60 ; 8, 15 ) = FG (120/15 ; 8) - F G (60/15; 8) = FG (8 ;8) - FG (4 ; 8) = 0,5470 –  0,0511 = 0,4959

Jadi, probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu120 ribu jam dengan pembebanan dinamik pada putaran kerja adalah 0,4959.

2. Didalam kajian biomedis dengan tikus suatu penelitian dosis tanggapan yang digunakan untuk bertahan menentukan pengaruh dosis bahan racun  pada waktu hidup mereka.bahan racun tersebut adalah zat yang secara teratur dibuang ke atmosfer dari bahan bakar jet. Untuk suatu dosis bahan racun tertentu kajian tersebut menentukan bahwa waktu bertahannya dalam 1 minggu mengikuti sebaran gamma dengan α = 5 dan β = 10 . Berapakah probabilitas seekor tikus hidup lebih lama dari 60 minggu? Penyelesaian: Ambil peubah acak x sebagai waktu bertahan (waktu kematian). Probabilitas yang dibutuhkan adalah :

≤

PX

x =

 − −  г  1

0

− −    ≤   г   60

PX

1

60 =

5

5

0

Integral diatas dapat dipecahkan melalui penggunaan fungsi gamma tak lengkap yang menjadi fungsi distribusi kumulatif bagi distribusi gamma. Fungsi ini ditulis sebagai:

 − −

   Г   − −    ≤   Г   1

;

=

( )

0

Jika kita ambil t = x/β dan x = βt , kita dapatkan 6

PX

4 1

60 =

5

0

Yang ditunjukkan sebagai F(6;5) tentu saja untuk masalah ini,  probabilitas tikus bertahan hidup tidak lebih lama daripada 60 hari diberikan oleh P(X ≤ 60) = F (6;5) = 0,715

3. Suatu panggilan telepon datang pada papan switching mengikuti proses

 poisson, dengan rata-rata 5 sambungan datang tiap menit. Tentukan  peluang hingga 1 menit berlalu baru 2 sambungan yang datang. Penyelesaian: Proses poisson dapat diterapkan dengan menunggu 2 kejadian Poisson terjadi mempunyai distribusi Gamma dengan



1

= 5 dan



= 2. Misalkan

X adalah selang waktu sebelum 2 panggilan telepon datang. Peluangnya adalah :

  ≤  г   − −   г    − −   −    − −  − 1

P(

1 ( ) 1

1) =

0 1

=

1 2 5

2

0

1

=

2 1

5

25

0

1

1

5

= 25

0

=1 = 0,96

5

(1+5)

1 5

4. Misal X   mempunyai pdf

−      =

1 32

/2 ,

 ∞ 

0 <

0,

<

Tentukan mean, variansi, dan mgf dari X  ! Penyelesaian:

 

dari bentuk pdf dari X, dapat disimpulkan bahwa X  berdistribusi 2 (4)

          − −  sehingga :

=

2

= ²

=

2=

2

=

22 = 2 = 8

2

= 1

=4

2,

2

<

1 2

5. Tentukan distribusi dari variabel acak

 − −  1

2

8,

1

Karena bentuk umum mgf   distribusi

 −  2,

1

< 2 , maka :

≤≤   ≤−  ≤

P( a < X < b ) = P(a < X

=

dengan