Distribuciones Unidimensionales.

 

1º BAC CCSS

TEMA 2: DISTRIBUCIONE DISTRIBUCIONES S UNIDIMENSIONALES UNIDIMENSIONALES.. PARÁMETROS PA RÁMETROS ESTADÍSTICOS

TEMA 2: DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES. UNIDIMENSIONALES. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS 1.-INTRODUCCIÓN Aunque las tablas estadísticas y las representaciones gráficas contienen toda la información relativa a un problema, muchas veces interesa simplificar ese conjunto de datos por uno o varios parámetros que caractericen de la mejor forma posible esa distribución de frecuencias y que, ad adem emás ás nos nos pe perm rmita ita comp compar arar ar un unas as distr distrib ibuc ucio ione ness co conn ot otra ras. s. En este este sent sentido ido hay hay unos unos parámetr! "e #e$tra%&'a#&($, que tienden a situarse en el centro de la distribución, unos parámetr! "e "&!per!&($  cuyo cuyo val valor or indica indica si los datos están con concen centra trados dos o dis disper persos sos alrededor alre dedor de un valo valorr prefijad prefijado; o; y unos paráme parámetr! tr! "e p!&#&($ p!&#&($ que tienden a situarse en un determinado lugar de la distribución.

2.-MEDIDAS DE CENTRALI)ACIÓN A* MEDIA MEDIA ARITM ARITM+TI +TICA CA O MEDIA MEDIA a me"&a ar&tm,t&#a de un conjunto de ! valores " #, "$, "%, ..., "! es el cociente entre la suma de todos los valores observados &valores de la variable' y el n(mero total de observaciones &tama)o poblacional'; se representa por "  y su e"presión aritm*tica es+ !

"=

"# + "$ + ... + "! !

∑ =

0ambi*n a veces se representa por µ

"i

i=#

!

i tenemos la tabla de frecuencias absolutas, la media se calcularía así+ n

" f + "$ f$ + .... + "n fn = "= ## f# + f$ + .... + fn

n

∑ "i fi ∑ "i fi i=# n

∑ fi

=

i=#

!

i=#

-uando ten -uando tenemo emoss "at! arpa"! e$ &$ter/a%!, consideraremos como valor de variable " i  al punto medio de cada intervalo, es decir, la mar#a "e #%a!e. El valor calculado, evidentemente no es el valor real de la media, pero compensa con la reducción de operaciones que hay que realiar. Además si los datos dentro del intervalo están distribuidos de un modo más o menos uniforme la media calculada se apro"ima mucho a la real. 0e$taa!+ - a media es el valor medio o promedio de las observaciones. - a media es el parámetro de centraliación más utiliado - Es un valor situado entre los valores e"tremos de la variable. - u cálculo sólo tiene sentido cuando la variable es cuantitativa. - /resenta rigor matemático - Es sensible a cualquier cambio en los datos De!/e$taa!+ -

!o siempre es posib posible le calcular la media e inclu incluso so a vece vecess *sta carece de significa significado. do. En estos casos se utilian otras medidas de centraliación. Es sensible a los valores e"tremos !o es recomendable emplearla en distribuciones muy asim*tricas

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TEMA 2: DISTRIBUCIONE DISTRIBUCIONES S UNIDIMENSIONALES UNIDIMENSIONALES.. PARÁMETROS PA RÁMETROS ESTADÍSTICOS i se emplean variables discretas o cuasi1cualitativas, la media aritm*tica puede no pertenecer al conjunto de valores de la variable

Ce!t&($ 1:23u* ocurrirá con el valor de la media si a todos los datos de la distribución se les suma &o resta' la misma constante4 25 si se multiplican o dividen por esa constante4

Ce!t&($ 2+ En un grupo de $6 alumnos se ha calculado la nota media en un e"amen de matemáticas y nos ha quedado 7,8. i se incorpora al grupo un nuevo alumno y saca un 8,% en el mismo e"amen, 2cuál será la nueva media de la clase4

Ce!t&($ + /ensar alg(n caso en el que no pueda calcularse la media, o en el que el valor de *sta careca de sentido

Eer#&#&: 1.1 -alcular la media para las siguientes distribuciones de datos+ a' Ca! 1+ /ocos datos !otas de los alumnos de #9 :achillerato+ , , $, #, , 8, 7, '

@>,#6'

>6

86

6

76

%6

B* MEDIANA a me"&a$a de una distribución es un valor  M e que divide a la distribución en dos partes iguales; es decir, deja tantas observaciones a la iquierda como a la derecha. 1 /ara /ara cal calcul cular ar la med median ianaa en #a! "e p#! "at! 3 !&$ arpar  se colocan estos en orden creciente de magnitud. i el n(mero de datos es impar la mediana coincide con el valor central. i el n(mero de datos es par, cualquier valor comprendido entre los dos valores centrales es una mediana, pero se suele tomar el valor medio de los dos valores centrales. 1 i tenemos m#4! "at! 3 !&$ arpar , se construye la tabla de frecuencias acumuladas  i, y se toma la mediana como aquel valor de la variable "i para el cual i sea igual o supere

! $

1 En caso de "at! arpa"! e$ &$ter/a%!  primero buscaremos el &$ter/a% me"&a$, que es el primer intervalo de clase cuya frecuencia acumulada es igual o superior a la mitad del n(mero de observaciones,

!  . $

-omo primera apro"imación puede tomarse la mediana como la marca de clase de dicho intervalo; sin sin em emba barg rgoo pode podemo moss calc calcul ular arla la de fo form rmaa más más e"ac e"acta ta co conn el sigui siguien ente te rao raona nami mien ento to++ si suponemos que los datos dentro de cada intervalo están distribuidos uniformemente, y llamamos &"i1#, "i' al intervalo mediano; f i a la frecuencia absoluta de dicho intervalo y  i1# a la frecuencia absoluta acumulada en el intervalo anterior al mediano, el cálculo de la mediana es+ 10

 

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TEMA 2: DISTRIBUCIONE DISTRIBUCIONES S UNIDIMENSIONALES UNIDIMENSIONALES.. PARÁMETROS PA RÁMETROS ESTADÍSTICOS ?e

=

"i

#

−

+

! $

−  

fi

Ai

#

−

 

C&"i

−

"i # ' −

Al igual que sucedía con la media, el valor calculado no es el valor real de la mediana, pero compensa con la reducción de operaciones que hay que realiar. Además si los datos dentro del intervalo están distribuidos de un modo más o menos uniforme el valor obtenido se apro"ima mucho al real.

Eer#&#&: 2.- -alcular la mediana para las siguientes distribuciones de datos+ a' Ca!1: !otas de los alumnos de #9 :achillerato+ , , $, #, , 8, 7, ,#6'

>

8



7

%

;.- SIMETRÍA < ASIMETRÍA Jay conjunto de datos donde las tres medidas de centraliación &media, mediana y moda' coinciden. En este caso se dice que la distribución de datos es !&m,tr&#a. En general para estudiar la simetría o no de una distribución de datos podemos estudiar su gráfica, su tabla o los valores de estas medidas de centraliación. a repre representa sentación ción gráfi gráfica ca sim*t sim*trica rica por e"cel e"celencia encia corres cor respon ponde de a una D&!t D&!tr&= r&=# #&($ &($ Nrma% Nrma%  y recibe el nombre de Campa$a "e 8a!!. En esta campana, el valor má"imo corresponde a la media me dia ari aritm* tm*tica tica,, sie siendo ndo los valor valores es centra centrales les más frecuentes que los alejados, y se tiene qque+ ue+ • En el intervalo & " K , " L ' se encuentra el =,$ M de los datos • En el intervalo & " K $, " L $' se encuentra el >7,7 M de los datos • En el intervalo & " K %, " L %' se encuentra el >>,8 M de los datos En general las distribuciones de datos no se adaptan totalmente a una campana de Nauss, sino que presentan asimetría. Estudiemos la asimetría de una distribución con un ejemplo. Eemp%+ ean las estaturas &en cm' de $6 alumnos las siguientes+ 1#

 

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TEMA 2: DISTRIBUCIONE DISTRIBUCIONES S UNIDIMENSIONALES UNIDIMENSIONALES.. PARÁMETROS PA RÁMETROS ESTADÍSTICOS #78, #6, #6, ##, #. Así /# deja por debajo el #M de los valores de la distribución, / $ deja por debajo el $M de los valores de la distribución, y así sucesivamente. Es claro -N que /76 coincide con la mediana. − ,. 1 100 /ara calcularlo se hace lo mismo que en los cuartiles para datos P =x + *x − x   . . -  . 1 + . sin agrupar, y para datos agrupados se utilia la fórmula+ −

−

 

−

1%

 

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Eer#&#&

TEMA 2: DISTRIBUCIONE DISTRIBUCIONES S UNIDIMENSIONALES UNIDIMENSIONALES.. PARÁMETROS PA RÁMETROS ESTADÍSTICOS >.1 -alcular 3%, G#, /,#6'

>

8



7

%

CUESTIONES DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES #.1 a nota media de #6 alumnos es de T7. i le preguntamos su nota a otros tres alumnos más, resultando ser estas notas+ 7, 8 y >, 2cuál es la nueva media de estos #% alumnos4 $.1 e eligen al aar tres n(meros del 6 al > y se forma con ellos un n(mero de tres cifras. e sabe que la media de las las tres cifras es 7 y la moda e"iste y es 8. 2-uá 2-uáll es el mayor n(mero que se pudo formar de esta manera4 %.1 /oner un ejemplo de distribuciones de variana nula :+ #, 7, #6, #7 y %6 in necesidad de hacer ning(n cálculo 2-uál de los dos tiene mayor dispersión4 7.1 El peso medio de 7 chicas es 7,$ Ug y el peso medio de 8 chicos es $,= Ug. Jallar+ a' /e /eso so ttot otal al d dee llas as cchic hicas as b' /es /esoo tota totall d dee los chi chicos cos c' /e /eso so m med edio io de de todo todo eell grup grupoo

E?ERCICIOS INALES ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL #.1 -alcular la media, moda, variana, desviación típica y coeficiente de variación de la siguiente distribución de datos+ !ota de ?atemáticas $ % < 7  8 = > #6 !9 de alumnos 7 8 <  7 % % $ # $.1 Pellenar la siguiente tabla con las frecuencias relativas, porcentuales y absolutas acumuladas+ Hi fi hi pi i $  % < <  7 7  8 8 $

1)

 

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TEMA 2: DISTRIBUCIONE DISTRIBUCIONES S UNIDIMENSIONALES UNIDIMENSIONALES.. PARÁMETROS PA RÁMETROS ESTADÍSTICOS -alcular tambi*n la mediana, el tercer cuartil, el se"to decil y el vig*simotecer percentil para los siguientes datos

%.1 -alcular la mediana y el s*ptimo decil en la siguiente distribución de datos. Además dibujar el histograma de la distribución !ota !V alumnos @6,7' #6 @@7 ,, 8'' @8,>' @>,#6B

< 7 8 %

 =6 86 =8 >6 #67 #6 #66 87 8$ 7$ 78 8% >> 7= 78 > >6 =6 6 8>  8 #6< 87 =# 7 ># =# Getermina los intervalos de clase, halla las marcas de clase. Agrupa los datos por intervalos. /resen /re senta ta est estos os dat datos os en una tabla tabla de fr frecu ecuenc encias ias abs absolu olutas tas,, rel relati ativas vas y de porce porcenta ntajes jes.. Pepresenta los datos mediante un histograma. -onstruye el polígono de frecuencias. -alcula la media y la desviación típica.

=.1 as calificaciones en matemáticas de $7 alumnos del grupo A son+ , , 8. , 8, 7, 7, , 8, 7, , 7,