Distribuciones de Probabilidad

Distribuciones de Probabilidad Discretas Luis Rey Díaz Barrón

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Las probabilidades asignadas a varios resultados en S determinan a su vez las probabilidades asociadas con los valores de cualquier variable aleatoria X particular.

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La distribución de probabilidad de X dice cómo está distribuida (asignada) la probabilidad total de 1 entre los varios posibles valores de X.

Ejemplo !

Una cierta gasolinera tiene seis bombas. Sea X el número de bombas que están en servicio una hora particular del día. Suponga que la distribución de probabilidad de X es como se da en la tabla siguiente; la primera fila de la tabla contiene los posibles valores de X y la segunda da la probabilidad de dicho valor.

x P(x)

0   0.05

1

2

3

4

5

6

0.01

0.15

0.25

0.20

0.15

0.1

!

P(X=3)=p(3)= 0.25

!

P(X"2)=P(X=0,1,2)=p(0)+p(1)+p(2) = 0.05 + 0.10 + 0.15 + 0.30

!

P(2" X

5)= p(2)+p(3)+p(4)+p(5)

"

=0.15+0.25+0.20+0.15

!

P(2" X 1)=1  b(x>1,n,p)= 1-b(x

#

1,n,p)

"

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La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es p = 0.02. Se envió un cargamento de 1000 artículos a unos almacenes. ¿Cual es la probabilidad de que se encuentren mas de una articulo defectuoso?

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n=1000, p=0.02

!

b(x>1,n,p)= b(2,n,p)+b(3,n,p)+…+b(1000,n,p)

Pero sabemos que P[(x>1)’]+P(x>1)=1 !

! !

P(x1)=1  b(x>1,n,p)= 1-b(x "1,n,p) =1-[b(0,n,p)+b(1,n,p)]

#

Distribución hipergeométrica !

1.La población o conjunto que se va a muestrear se compone de N individuos, objetos o elementos (una población finita).

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2. Cada individuo puede ser caracterizado como éxito (E) o falla (F) y hay M éxitos en la población.

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3. Se selecciona una muestra de n individuos sin reemplazo de tal modo que cada subconjunto de tamaño n es igualmente probable de ser seleccionado.

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La variable aleatoria de interés es X = El número de éxitos en la muestra. La distribución de probabilidad de X depende de los parámetros n, M y N, así que se desea obtener P(X =x) =h(x; n, M, N).

Media y Varianza

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En una planta hay un total de 20 maquinas, entre los cuales hay una cantidad de 3 requieren mantenimiento, si un supervisor selecciona 5 maquinas al azar, y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener una defectuosa?

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N=20, M=3, n=5, x=1

 h(1,5,3,20)

#

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De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al menos 2 no exploten?

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De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al menos 2 no exploten?

X=cantidad de éxitos (éxito =proyectil defectuoso) !

N=10, n=4,M=3

a)h(x=4,n=4,M=3,N=10) b)

?

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De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al menos 2 no exploten?

X=numero de proyectiles que Si explotan !

N=10, n=4,M=3

a)h(x=4,n=4,M=3,N=10) !

2,3,4 o 5 no exploten

!

Si 2 no explota

!

Si 3 no explotan

!

Etc

%

 3 si explotan (X=3)

%

2 si explotan (X=2)

!

De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al menos 2 no exploten?

X=numero de proyectiles que Si explotan ! N=10, n=4,M=3 a)h(x=4,n=4,M=3,N=10) ! 2,3,4 o 5 no exploten ! Si 2 no explota % 3 si explotan (X=3) ! Si 3 no explotan %2 si explotan (X=2) ! Si 5 no explotan %0 si explotan (X=0) %

h(x"3,4,3,10)=h(x=3,4,3,10) +h(x=2,4,3,10) +h(x=1,4,3,10) +h(x=0,4,3,10)

Distribución de Poisson !

La distribución de probabilidad de Poisson describe el numero de veces que se presenta un evento durante un intervalo especifico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen.

Distribución de Poisson

Sea X el número de criaturas de un tipo particular capturadas en una trampa durante un periodo determinado. Suponga que X tiene una distribución de Poisson con "=4.5, así que en promedio las trampas contendrán 4.5 criaturas [El artículo “Dispersal Dynamics of the Bivalve Gemma Gemma in a Patchy Environment (Ecological Monographs, 1995: 1–20) sugiere este modelo: el molusco bivalvo Gemma gemma es una pequeña almeja.] La probabilidad de que una trampa contenga exactamente cinco criaturas es