Distribuciones de Probabilidad

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DISTRIBUCIONES DISCRETAS

A.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL B (n, p)

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características: 

En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario A (fracaso).



El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.



La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de A



es 1- p y la representamos por q .

El experimento consta de un número n de pruebas.

Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución

Binomial. A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial. La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ...,

n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener

k-éxitos

y

(n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número

combinatorio n sobre k). La distribución Binomial se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parámetros de dicha distribución.

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Función de Probabilidad de la v.a. Binomial Función de probabilidad de la distribución Binomial: Verificándose: 0 p  1

Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso se han construido tablas para algunos valores de n y p que nos facilitan el trabajo. (Ver Tabla de la Función de Probabilidad de la Binomial). Parámetros de la Distribución Binomial

Función de Distribución de la v.a. Binomial

siendo k el mayor número entero menor o igual a x i. Esta función de distribución proporciona, para cada número real x i, la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que xi. El cálculo de las F(x) = p( X  x) puede resultar laborioso, por ello se han construido tablas para algunos valores de n y p que nos facilitan el trabajo. NOTA: Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución binomial.

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Su desarrollo de P(X = K ) es:

Ejemplo 1 Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce 7 piezas defectuosas por cada 1000 piezas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa. Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad p(X=1).

Ejemplo 2 La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar : a)

El

número

de

carburadores

defectuosos

esperados

en

un

lote

de

1000

b) La varianza y la desviación típica. Solución :

Ejemplo 3 Una encuesta de corretaje reporta que 30% de los inversionistas individuales, ha utilizado a un corredor de descuento; esto es, uno que no cobra las comisiones completas. En una muestra seleccionada al azar de nueve inversionistas. ¿Cuál es la probabilidad de que:

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a.

Exactamente dos de los individuos de la muestra hayan empleado a un corredor de descuento?.

b. Exactamente cuatro de ellos hayan utilizado a un corredor de ese tipo?. c.

B.

Ninguno haya recurrido a un corredor de ese tipo?

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La Distribución de Poisson se llama así en honor a Simeón Dennis Poisson (1781-1840), francés que desarrolló esta distribución basándose en estudios efectuados en la última parte de su vida.

La distribución de Poisson se emplea para describir varios procesos, entre otros la distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un cruce. Los ejemplos citados tienen un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que asume valores enteros (0,1,2,3,4,5 y así sucesivamente).

El número de enfermos que llegan a un consultorio en cierto intervalo de tiempo será de 0,1,2,3,4,5 o algún otro número entero. De manera análoga, si se cuenta el número de automóviles que llegan a una caseta de cobro durante un periodo de diez minutos, el número será entero. Un experimento de Poisson tiene las siguientes propiedades: 1.

El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o región específicos es independiente de el número que ocurre en cualquier otro intervalo disjunto de tiempo o región del espacio disjunto.

2. La probabilidad de que un resultado muy sencillo ocurra en un intervalo de tiempo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamaño de la región. 3. La probabilidad de que más de un resultado ocurra en un intervalo de tiempo tan corto o en esa región tan pequeña es despreciable.

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Características de los procesos que producen una distribución de la probabilidad de Poisson. El número de vehículos que pasan por una caseta de cobro en las horas de mayor tráfico sirve como ejemplo para mostrar las características de una distribución de probabilidad de Poisson.

El promedio (media) de los arribos de vehículos por hora de gran tráfico puede estimarse a partir de los datos anteriores del tráfico. Si dividimos las horas de gran tráfico en periodos (intervalos) de un segundo cada uno, encontraremos que los siguientes enunciados son verdaderos:

a) La probabilidad de que exactamente un vehículo llegue por segundo a una caseta individual es un número muy pequeño y es constante para que cada intervalo de un segundo. b) La probabilidad de que dos o más vehículos lleguen en un intervalo de un segundo es tan reducida que podemos asignarle un valor cero. c) El número de vehículos que llegan en determinado intervalo de un segundo es independiente del momento en que el intervalo de un segundo ocurre durante la hora de gran tráfico. d) El número de llegadas en cualquier intervalo de un segundo no depende del número de arribos de cualquier otro intervalo de un segundo.

Ahora bien, podemos generalizar partiendo de las cuatro condiciones que hemos descrito en este ejemplo, si estas condiciones se cumplen nos apoyaremos en una distribución de probabilidad de Poisson para describirlos.

Cálculo de probabilidades mediante la distribución de Poisson. La distribución de Poisson, según hemos señalado, se refiere a ciertos procesos que pueden ser descritos con una variable aleatoria discreta. La letra x suele representar esa variable y puede además asumir valores enteros (0,1,2,3 etc..). Utilizamos la letra X mayúscula para representar la variable aleatoria y la x minúscula para designar un valor específico que puede asumir la X

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mayúscula. La probabilidad de exactamente x ocurrencias en una distribución de Poisson se calcula mediante la fórmula:

 xe P ( X = x) =

 

x = 0, 1, 2, ....

x!

 = número medio de ocurrencias por intervalo de tiempo e- donde e = 2.71828 elevado a la potencia de lambda negativa. x ! = x factorial.

Parámetros de la Distribución Poisson

 2 Varianza:    Media:

Desviación típica:



 

Función de Distribución de la v.a. Poisson

P( X  x) =

e  0 e  1 e   2 e   r    ...  0! 1! 2! r!

Ejemplo 01: Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los archivos de la policía indican una media de cinco accidentes por mes en él. El número de accidentes está distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 4 accidentes en un mes determinado.

Aplicando la fórmula anterior: P(0) = (5)0 (e-5) /0! = 0.00674

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P(1) = (5)1 (e-5) /1! = 0.03370 P(2) = (5)2 (e-5) /2! = 0.08425 P(3) = (5)3 (e-5) /3! = 0.14042 P(4) = (5)4 (e-5) /4! = 0.17552 Para saber cual es la probabilidad en 3 o menos, sumaremos las probabilidades de 0,1,2,3 lo que será igual a : P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) P(0) = 0.00674 P(1) = 0.03370 P(2) = 0.08425 P(3) = 0.14042 P(3 o menos) = 0.26511

Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de 0.26511 entonces la probabilidad de que ocurran más de tres debe ser = 1 –0.26511 = 0.73489.

Ejemplo 02: Los autores y las editoriales de libros trabajan arduamente para minimizar el número de errores en un texto. Sin embargo, algunas erratas son inevitables. El Sr. J. Carmen supervisor (o editor) de estadística, informa que el número medio de errores por capitulo es 0.8. ¿Cuál es la probabilidad que haya menos de 2 erratas en un capitulo especifico?.

C.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA

Un experimento hipergeométrico consiste en escoger al azar una muestra de tamaño n, uno a uno sin sustitución, de N elementos o resultados posibles, donde r de los cuales pueden clasificarse como éxitos, y los N-r restantes como fracasos. En cada extracción, la probabilidad de que el elemento sea un éxito es diferente, ya que la extracción es sin reposición.

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Se utiliza a menudo en el estudio de problemas de producción, control de calidad y la aceptación de muestreo; se emplea para marcar y remarcar. Cuando hay dos acontecimientos posibles con probabilidades p y q en un espacio muestral finito de tamaño N y se toman muestras de tamaño n sin reposición.

Su función de distribución es:

C C  P(X  x)  r x

Nr nx N n

C

para 0 ≤ x ≤ r

P (X = x): probabilidad de x éxitos en “n” intentos n

: La cantidad de intentos.

N

: Cantidad de elementos en la población.

r

: Cantidad de elementos identificados como éxitos en la población.

Sea X una v.a con distribución hipergeómetrica H(N,n,R) y sean p = r/N y q = 1-p Parámetros de la Distribución Hipergeometrica Media:

Varianza:

E ( x)  np

V ( x)  npq

( N  n) ( N  1)

Ejemplo: Según una revista sobre la construcción Cementos Pacasmayo y Sol ocuparon el primero y segundo lugar en la preferencia y uso en la construcción de edificaciones. Suponga que en un grupo de 10 edificaciones, seis utilizan Cementos Pacasmayo y cuatro utilizan Cementos Sol. Se selecciona una muestra aleatoria de 3 edificaciones. a.

¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 utilicen Cementos Pacasmayo?.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la mayoría (dos o tres) utilicen Cementos Sol?. Solución:

a).

C C   0.5 P(X  2)  6 2

106 32 10 3

C

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C C   C C   0.333 P(X  2)   2¡

b).

104 32 10 3

C

4 3

104 33 10 3

C

Ejemplo: Epsilon fabrica computadoras personales en dos plantas una en el Oriente y la otra en el sur de EE.UU. Hay 40 empleados en la planta del oriente y 20 en la del sur. A una muestra de 10 empleados se le pedirá que llene un cuestionario sobre ventajas laborales. Calcular la probabilidad de que: a. Ninguno sea de la planta del sur b. De que uno se a de la planta del sur c. Dos o más sean de la planta del sur

Ejercicios 1.

Tres clientes entran a una tienda que vende materiales de construcción, con base a la experiencia del gerente de la tienda estima que la probabilidad de que cualquier cliente compre es de 0.30. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de los siguientes tres clientes hagan una compra?.

2.

Una empresa investigadora informa que el 28% de los ingenieros tienen un empleo en su área. Suponga que este porcentaje se aplica aun grupo de 15 egresados de universidades que van a ejercer la profesión de ingeniería. ¿Cuál es la probabilidad de que cuando menos tres egresados tengan empleo en ingeniería?.

3.

Los cambios en los procedimientos de los aeropuertos requieren una preparación considerable. Los índices de llegadas de los aviones es un factor importante que se debe tomar en cuenta. Suponga que los aviones pequeños llegas a cierto aeropuerto, con un índice de 6 por hora. a.

¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro aeronaves pequeñas lleguen durante un periodo de una hora?

b. 4.

Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro lleguen durante un periodo de una hora?.

El número de clientes que llegan cada dos horas a ciertas instalaciones de servicio automotriz es de siete. ¿Cuál es la probabilidad de que cinco clientes lleguen en un promedio de una hora.

5.

Cuando una nueva máquina nueva funciona bien sólo el 4% de los artículos que produce tienen defectos. Suponga que se selecciona al azar dos partes producidas en la máquina y que interesa la cantidad de partes defectuosas encontradas. Calcular la probabilidad asociada de:

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6.

a.

No encontrar defectos

b.

Encontrar exactamente un defecto

c.

Encontrar dos defectos

En un libro americano informa más de 1000 resultados estadísticos acerca de EE.UU y su gente. Uno de los resultados dice que el 68% de las personas viven en el estado tienen vivienda propia: a.

¿Cuál es la probabilidad que en una muestra aleatoria de 10 personas haya al menos 8 que tienen vivienda propia?.

b.

¿Cuál es la probabilidad que en una muestra aleatoria de 3 personas haya exactamente una persona que no tenga vivienda propia?.

7.

Al departamento de Aerolíneas Regionales llegan en promedio 48 llamadas por hora. Calcule la probabilidad de:

8.

a.

Recibir 3 llamadas en un intervalo de 5 minutos?.

b.

Recibir exactamente 10 llamadas en 15 minutos?.

c.

Que no haya llamadas en un período de 5 minutos?.

Los pasajeros de aerolíneas llegan al azar e independientemente a la sección de documentación en un gran aeropuerto internacional. La frecuencia promedio de llegadas es de 10 pasajeros por minuto.

9.

a.

¿Cuál es la probabilidad de no llegadas en un intervalo de un minuto?

b.

¿Cuál es la probabilidad de que lleguen menos de 3 pasajeros en un intervalo de un minuto?

c.

¿Cuál es la probabilidad de no llegadas en un periodo de 20 segundos?.

d.

¿Cuál es la probabilidad de al menos dos llegadas en un periodo de 15 segundos?

Las inversiones the wall street tiene el siguiente comportamiento: la cantidad promedio de transacciones anuales de acciones es igual a 15. Suponga que determinado inversionista hace sus transacciones con esta frecuencia. a.

¿Cuál es la cantidad promedio de transacciones por mes?.

b.

¿Cuál es la probabilidad de que cuando menos haya 4 transacciones por mes?

c.

¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos 2 transacciones por mes?.

10. Un embarque de 10 artículos contiene dos unidades defectuosas y ocho no defectuosas. Al

revisarlo se tomará una muestra y las unidades se inspeccionaran si se encuentra una unidad defectuosa se rechazará todo el embarque? a.

Si se selecciona una muestra de 3 artículos. ¿Cuál es la probabilidad de rechaza el embarque?

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b.

SI se selecciona una muestra de cuatro artículos. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el embarque?.

c.

Si se selecciona una muestra de cinco artículos ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el embarque?.

11. A una garita de peaje llegan aleatoriamente 300 autos por hora. Calcular la probabilidad de que: a.

Un auto llegue durante un periodo de 1 minuto

b.

Cuando menos un auto lleguen durante un periodo dado de un minuto.

c.

Como máximo tres autos lleguen durante un minuto.

12. En la universidad en la que estudia, el 86% de los estudiantes termina su carrera de ingeniería.

Si Ud. elige al azar 8 alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que: a.

Todos terminen su carrera de ingeniería?.

b.

Al menos 3 terminen su carrera de ingeniería?.

c.

Como máximo 5 terminen la carrera de ingeniería

d.

Como máximo 2 terminen la carrera de ingeniería?.

13. Durante la época de reservaciones telefónicas en una universidad local, las llamadas entran con

una frecuencia de una cada dos minutos. a.

¿Cuál es la cantidad esperada de llamadas en una hora?

b.

¿Cuál es la probabilidad de tres llamadas en cinco minutos?

c.

¿Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en un periodo de cinco minutos?

14. Una residencial tiene desocupados 12 cuartos unipersonales con baño y 8 cuartos unipersonales

sin baño. Llegan 4 viajeros y eligen, al azar, sus cuartos. ¿Cuál es la probabilidad de que, entre los recién llegados, sea mayor el número de los que consiguen cuarto con baño que el de los que consiguen un cuarto sin baño?. 15. El

profesor Bradley anima a sus estudiantes de estadística a “actuar de forma

prudente” consultando al tutor si tienen alguna pregunta mientras se preparan par el examen final. Parece que la llegada de los estudiantes a la oficina del tutor se ajusta a una distribución de Poisson, con un promedio de 5.2 estudiantes cada 20 minutos. El profesor Bradley está preocupado porque si muchos

estudiantes necesitan los servicios del tutor, puede resultar

un problema de congestión. a.

El tutor debe determinar la probabilidad de que cuatro estudiantes lleguen durante cualquier intervalo de 20 minutos, lo cual podría causar el problema de congestión que tiene el profesor Bradley. Si la probabilidad excede del 20%, se contratará un segundo tutor.

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b.

El tutor debe calcular la probabilidad de que más de cuatro estudiantes lleguen durante algún período de 20 minutos. Si es mayor que el 50%, las horas de oficina del tutor se aumentarán, permitiendo a los estudiantes extender el horario en las que vienen a ver al autor.

16. Un banco atiende todos los días de 8 a.m. a 4 p.m. y se sabe que el número de clientes

por día que van a solicitar un préstamo para compra de una casa por más de $10000 tiene una media de 3. a.

¿Cuál es la probabilidad de que hasta el mediodía no se haya producido una solicitud de préstamo por más de $10000?

b.

¿Cuál es la probabilidad de que hasta en dos días se hayan producido más de 3 solicitudes de préstamo por más de $10000?

17. Entre 12 hombres que soliciten un trabajo en una constructora, las esposas de los 9 trabajan.

Si

se

seleccionan

aleatoria

mente

a

2

de

los

solicitantes

para

una consideración

adicional, cuales son las probabilidades de que a.

La esposa de ninguno trabaje.

b.

Solo la esposa de uno trabaje.

c.

Las esposas de ambos trabajen.

18. Entre l a s 1 2 casas

que

hay

para

venta

en

un

fraccionamiento,

9

tienen

aire

condicionado, si se seleccionan 4 de las casas para un desplegado en un periódico ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de estas tengan aire acondicionado?. 19. Aproximadamente 2/5 de las familias de una cierta comunidad, viven en extrema pobreza.

¿cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 5 personas: a.

3 de ellos vivan en extrema pobreza?

b.

Ninguno viva en extrema pobreza?

c.

3 o más vivan en extrema pobreza?

20. En

general,

el

45%

de

los

postulantes

fallan

en

una

prueba

de

selección

de

personal.¿cuál es la probabilidad de que en una muestra de 15: a.

Fallen por lo menos 8

b.

Fallen más de 4

c.

Fallen exactamente 4

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DISTRIBUCIONES CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL

A.

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. La clave de este tipo de distribuciones está en que existe una correspondencia entre área y probabilidad, de forma que la probabilidad de que la variable esté entre dos valores a y b es exactamente el área marcada en la figura. La distribución normal es en forma de campana, habitualmente llamada distribución de Gauss. Es simétrica en torno a su media (μ); la media, mediana y moda son iguales; el área total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del área = 1, por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 0,5. Si se trazan líneas perpendiculares a un desvío estándar (σ) de distancia de la media, se obtiene un 68% del área de la curva. Dos desvíos estándar encierran un 95% y tres un 99,7% de la curva. En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal. 

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,...



Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono.



Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.



Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,...

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

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.



Valores estadísticos muestrales, por ejemplo : la media.



Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales, ...

Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores. Características de la distribución normal • Tiene forma de campana, es asintótica al eje de las abscisas (para x = ±  ) •Simétrica con respecto a la media ( ) donde coinciden la mediana (Me) y la moda (Mo )

FUNCIÓN DE DENSIDAD Representación gráfica de esta función de densidad

La distribución normal queda definida por dos parámetros, su media y su desviación típica y la representamos así N(,

) F(x) es el área sombreada de esta gráfica

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TIPIFICACIÓN O ESTANDARIZACIÓN La Distribución Normal Estándar es una Distribución Normal teórica que utiliza un sistema numérico común. Cuando se estudia la variable de peso de los niños al nacer, o el grueso de tornillos, o el número de frutos dañados en un árbol, aun cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma, las unidades métricas son variables, por tanto, para poderlas comparar con una distribución patrón es necesario referirlas en la misma unidad de medida. Esta unidad de medida es la desviación estándar (se verá más adelante), de esta manera, sean pesos de bebes, grueso de tornillos o frutos de árboles, transformados a una unidad estándar, estaremos hablando en la misma escala. Cuando se diga por ejemplo, entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estándar, sin importar las unidades en que fueron medidos los datos, kilos, micras o unidades para el ejemplo. Por tanto, al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres análisis con las unidades de la Distribución Normal Estándar, se podrá deducir entre otras cosas, la magnitud relativa entre el punto A y el punto B. Debe quedar claro que las comparaciones únicamente son posibles en poblaciones similares, niños con niños, tornillos con tornillos, etc. Puesto que hay un número infinito de combinaciones para los dos parámetros, hay un número infinito

de

curvas normales

diferentes.

Este

problema

se

ha

resuelto prácticamente al

transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una distribución normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal estandarizada. En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes. La diferencia entre las dos distribuciones radica en que las medias y las desviaciones estándar no son iguales. Sin embargo la comparación se hace posible si se convierten

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las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribución normal estandarizada o tipificada. Aunque la mayoría de las distribuciones no tienen media 0 y desviación típica 1, existe una forma de transformarlas para conseguirlo. Este proceso se denomina tipificación de la variable, y consiste en sustituir la variable original X, por una nueva Z que sigue la distribución estándar, haciendo uso de la expresión: Z 

X 



Si la variable X es N(,

) entonces la variable tipificada o estandarizada de X es

Z

X 



y

sigue también una distribución normal pero de   0 y   1 , es decir, N(0,1). Siendo la representación gráfica de esta función

a la variable Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada. La curva normal estándar tiene μ = 0 y σ = 1. Recordamos que la probabilidad equivale al área bajo la curva, que el área bajo toda la curva es 1 y que el área bajo cada mitad de la curva es 0.5. Para calcular probabilidades en una curva normal no estándar, usamos la fórmula de conversión z. Cuando la media de la distribución normal es 0 y la varianza es 1 se denomina "normal tipificada", y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribución.

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Característica de la distribución normal tipificada (reducida, estándar) 

No depende de ningún parámetro



Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1.



La curva f(x) es simétrica respecto del eje OY

MANEJO DE TABLAS. CASOS MÁS FRECUENTES. La distribución de la variable Z se encuentra tabulada

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Ejemplos: 1. La duración media de un televisor de una determinada marca es de 8 años con una desviación típica de medio año y se distribuye normalmente. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de un televisor sea más de 9 años?

2.

La cosecha de tomates de una empresa agrícola canaria se sabe por experiencia que se distribuye con respecto al diámetro en cm. de los tomates siguiendo la N(4, 0.5). Este año, le informan de que sólo podrá vender en el mercado exterior tomates con diámetro superior a 4,5 cm. Si se prevee una producción total de 50.000 kg., podrá prever cuantos kilos podrá destinar a exportación

3. En un examen de matemáticas Estática las notas se distribuyen según N(11, 2.5). El profesor desea calcular la probabilidad de que el estudiante tenga una nota menor a 8. 4. Un estudio reciente de los sueldos por día de los trabajadores de una constructora mostró que el salario medio por hora era de $12.50 (dólares), con una desviación estándar de $2.50. Si se selecciona al azar un trabajador de la constructora, ¿cuál es la probabilidad de que gane: a.

Entre $10.50 y $16.00 por hora?

b. Más de $14.00 por hora?. c.

Menos de $13.00 por hora?

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Ejercicios 1.

Los puntajes finales de un curso de estadística están distribuidos normalmente con media 50 y desviación estándar 5. Si se elige un puntaje al azar : a.

¿Cuál es la probabilidad de que los puntajes estén entre 40 y 60 puntos?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que los puntajes estén por encima de los 70 puntos? c.

Hallar el valor de “a” para el cual, la probabilidad de que un puntaje sea menor o igual que 0.20.

2.

Los gastos mensuales de comida de familias de cuatro miembros promedian S/. 420 con una desviación estándar de S/. 80. Suponiendo que los gastos mensuales de comida se distribuyen normalmente. a.

¿Qué porcentaje de estos gastos son inferiores a S/. 350?

b. ¿Qué porcentaje de estos gastos están entre S/. 250 y S/. 350? c. 3.

¿Qué porcentaje de estos gastos están entre S/. 250 y S/. 450?

Durante los últimos años ha crecido el volumen de las acciones negociadas en la Bolsa de Nueva York. Durante las dos primeras semanas de 1999 el volumen promedio fue de 646 millones de acciones. La distribución de probabilidad del volumen diario es aproximadamente normal con desviación estándar de unos 100 millones de acciones. a.

¿Cuál es la probabilidad de que el volumen negociado sea menor de 400 millones de acciones?

b. ¿Qué porcentaje de veces el número negociado es mayor a 800 millones de acciones? c.

Si la bolsa quiere emitir un boletín de prensa sobre el 5% de los días más activos, ¿qué volumen activará la publicación?.

4.

MENSA es una entidad internacional de personas con alto coeficiente intelectual. Para pertenecer a ella, una persona debe tener un coeficiente de 132 o más. Si las calificaciones del coeficiente de inteligencia se distribuye normalmente con promedio 100 y desviación estándar 15. ¿Qué porcentaje de personas califica para ser miembro de MENSA?.

5.

Los chóferes miembros del Sindicato de Trailero ganan un salario promedio de $17.15 dólares por hora. Suponga que los datos disponibles indican que los sueldos se distribuyen normalmente con desviación estándar de $2.25 dólares. a.

¿Cuál es la probabilidad de que los salarios estén entre $15 y $20 dólares por hora?

b. ¿Cuál es el salario por hora correspondiente al 15% mejor pagado de los Chóferes del Sindicato?.

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c.

¿Cuál es la probabilidad de que los sueldos sean menores a $12 dólares por hora?.

B.

DISTRIBUCIÓN T de STUDENT

Si Z y V son dos variables aleatorias independientes tales que Z está normalmente distribuida con media cero y varianza 1, y V está distribuida como chi-cuadrada con n grados de libertad, entonces, la variable aleatoria:

T=

Z V

n

Cando n-->infinito la curva t coincide con la normal estandarizada.

Función de Densidad:

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Propiedades 1.

Si X tiene una distribución t-Student con n grados de libertad, entonces su media y su varianza son respectivamente. a.

=0

b.



2



n n  2

, n 2

2. Su grafica tiene forma de campana de Gauss, simétrica en cero. 3. La varianza de la distribución t es mayor que de la distribución N(0,1). Pero cuando n  +  , la varianza de la t tiende a 1. 4. La distribución t se aproxima a una distribución N(0,1), cuando n  +  . La aproximación es buena, si n30.

Uso de la tabla T-Student Si la variable aleatoria X tiene una distribución t-Student con n grados de libertad, en la tabla de probabilidades t-Student se puede encontrar una probabilidad. P(T  t1-, n ) = 1-  Ejemplo: Si X tiene una distribución t-Student con 18 grados de libertad, hallar: a.

P(X  2.101)

a. P( X  2.552)

b. P(X  1.734) c. P ( X  2)

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APUNTES DE ESTADÍSTICA Prof . Dorothy Reque Abad

TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN t -Student P[T  c ]  1   , y donde T tiene distribución t-Student con r grados de libertad.

r

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

0.975

0.99

0.995

1 2 3 4 5

1.000 0.816 0.765 0.741 0.727

1.376 1.061 0.978 0.941 0.920

1.963 1.386 1.250 1.190 1.156

3.078 1.886 1.638 1.533 1.476

6.314 2.920 2.353 2.132 2.015

12.706 4.303 3.182 2.776 2.571

31.821 6.965 4.541 3.747 3.365

63.657 9.925 5.841 4.604 4.032

6 7 8 9 10

0.718 0.711 0.706 0.703 0.700

0.906 0.896 0.889 0.883 0.879

1.134 1.119 1.108 1.100 1.093

1.440 1.415 1.397 1.383 1.372

1.943 1.895 1.860 1.833 1.812

2.447 2.365 2.306 2.262 2.228

3.143 2.998 2.896 2.821 2.764

3.707 3.499 3.355 3.250 3.169

11 12 13 14 15

0.697 0.695 0.694 0.692 0.691

0.876 0.873 0.870 0.868 0.866

1.088 1.083 1.079 1.076 1.074

1.363 1.356 1.350 1.345 1.341

1.796 1.782 1.771 1.761 1.753

2.201 2.179 2.160 2.145 2.131

2.718 2.681 2.650 2.624 2.602

3.106 3.055 3.012 2.977 2.947

16 17 18 19 20

0.690 0.689 0.688 0.688 0.687

0.865 0.863 0.862 0.861 0.860

1.071 1.069 1.067 1.066 1.064

1.337 1.333 1.330 1.328 1.325

1.746 1.740 1.734 1.729 1.725

2.120 2.110 2.101 2.093 2.086

2.583 2.567 2.552 2.539 2.528

2.921 2.898 2.878 2.861 2.845

21 22 23 24 25

0.686 0.686 0.685 0.685 0.684

0.859 0.858 0.858 0.857 0.856

1.063 1.061 1.060 1.059 1.058

1.323 1.321 1.319 1.318 1.316

1.721 1.717 1.714 1.711 1.708

2.080 2.074 2.069 2.064 2.060

2.518 2.508 2.500 2.492 2.485

2.831 2.819 2.807 2.797 2.787

26 27 28 29 30

0.684 0.684 0.683 0.683 0.683

0.856 0.855 0.855 0.854 0.854

1.058 1.057 1.056 1.055 1.055

1.315 1.314 1.313 1.311 1.310

1.706 1.703 1.701 1.699 1.697

2.056 2.052 2.048 2.045 2.042

2.479 2.473 2.467 2.462 2.457

2.779 2.771 2.763 2.756 2.750

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APUNTES DE ESTADÍSTICA Prof . Dorothy Reque Abad

40 60 120 

0.681 0.679 0.677 0.674

0.851 0.848 0.845 0.842

C.

1.050 1.046 1.041 1.036

1.303 1.296 1.289 1.282

1.684 1.671 1.658 1.645

2.021 2.000 1.980 1.960

2.423 2.390 2.358 2.326

2.704 2.660 2.617 2.576

DISTRIBUCIÓN JI CUADRADO

Se dice que la variable aleatoria continua X tiene una distribución ji-cuadrado con n grados de libertad, y se representa por X  X

2

(n),

si su función de densidad es:

,si x  0 0

, si x 0

Donde n es un número entero positivo.

Parámetros: a.

=n

b.



2

= 2n Uso de la tabla Ji-cuadrado

Si la variable aleatoria X se distribuye como una Ji-cuadrado con n grados de libertad, esto es, si X X2(n), entonces en la tabla de probabilidades chi-cuadrado se puede encontrar una probabilidad 1- o un valor c = X2(n), mediante la relación: P ( X X2(n) ) = 1 - 

Ejemplo: i X  x2(26), determinar: a.

P (x 17.29)

b. P(x38.89)

b. P(13.84  X  45.64) d. P(X  40)

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