Distribuciones de Probabilidad Para Variable Aleatoria Discretas. Cdor 3

UNIDAD 3

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

QUE EL ALUMNO SEA CAPAZ DE:

1.- DEFINIR EL TERMINO VARIABLE ALEATORIA.2.DEFINIR EL PROBABILIDAD.-

TERMINO

DISTRIBUCION

3.DISTINGUIR ENTRE DISTRIBUCION PROBABILIDAD DISCRETA Y CONTINUA.-

DE DE

4.- DESCRIBIR LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL Y SU APLICACIÓN AL CALCULO DE PROBABILIDADES.5.- DESCRIBIR LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON Y SU APLICACIÓN AL CALCULO DE PROBABILIDADES.6.- EL CALCULO DE PROBABILIDADES BINOMIALES Y POISSON CON INFOSTAD Y MINITAB.-

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD SON SON DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES TEORICAS TEORICAS Y Y SE SE USAN USAN PARA PARA REPRESENTAR REPRESENTAR POBLACIONES POBLACIONES

En la Unidad anterior, vimos como definir una probabilidad y comenzamos nuestro análisis de la probabilidad para representar situaciones en las que los resultados son inciertos.- En esta Unidad nos basamos en esas ideas para presentar modelos de probabilidad que ponen énfasis en las variables aleatorias.- Los modelos de probabilidad tienen muchas aplicaciones en algunos problemas empresariales, y aquí analizamos algunas de ellas.- Supongamos que tenemos un negocio que alquila toda una variedad de equipos.- Sabemos por experiencia – frecuencia relativaque el 30 por ciento de las personas que entran en nuestro negocio quiere alquilar un equipo de camping.- Hoy tenemos tres equipos de camping.- Cinco personas que no guardan ninguna relacion entre si entran en el negocio (la probabilidad de que una de ellas alquile un equipo de camping es independiente de la de las demás).-

¿Cuál es la probabilidad de que estas cinco personas quieran alquilar un total de cuatro o cinco equipos de camping?.- Si ocurre eso, perderemos oportunidad de alquilar equipos de camping y los clientes se Irán decepcionados.- La probabilidad de los eventos (números de equipos de camping deseados), como veremos más adelante puede calcularse esta probabilidad utilizando el modelo de probabilidad binomial..

QUE VEREMOS EN ESTA UNIDAD

PRIMERO QUE ES UNA “VARIABLE ALEATORIA”

ADEMAS

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISTRIBUCIONES DISCRETAS BINOMIAL BINOMIAL ACUMULADA

DISTRIBUCIONES CONTINUAS UNIFORME

EXPONENCIAL

HIPERGEOMETRICA NORMAL

DE POISSON

APROXIMACION A BINOMIAL Y POISSON

DETERMINACION DEL VALOR X

NORMAL ESTANDARIZADA

VARIABLE ALEATORIA Es la variable que asume un valor numérico único para cada uno de los resultados de un experimento aleatorio.Es importante distinguir entre una variable aleatoria y los valores posibles que puede tomar

La simbolizamos con letra mayúscula y los valores que toma, con minúscula.Por ejemplo X, (x1, x2…….xn))

Cuando la variable aleatoria no es un número, debemos fijar un criterio o regla para darle un valor numérico.Por ejemplo, si el experimento consiste en observar el nivel de instrucción de la población, podemos dar los valores siguientes: 1.- Nivel primario

2.- Nivel secundario

3.- Nivel terciario

4.- Nivel Universitario

5.- Otros estudios

0.- Sin estudios.-

Esos números son los valores posible que toma la variable aleatoria en estudio.

DISCRETAS LAS VARIABLES ALEATORIAS, PUEDEN SER

CONTINUAS

Una variable aleatoria discreta es aquella que puede asumir una cantidad numerables de valores.EJEMPLOS :

1.- Infracciones diarias cometidas por los vehículos.2.- Nº de inasistencia de los obreros de la empresa.3.- Cantidad de hijos de familias de un barrio.4.- Cantidad de alumnos de una escuela.5.- El número de errores detectados en las cuentas de un comercio.6.- Número de clientes que llegan a la caja de un banco.7.- Número de reclamaciones en una póliza de seguro médico.8.- Número de artículos defectuosos en un gran envío.9.- Números de autos vendidos por una agencia en el mes.10.- Etc.-

Una variable aleatoria continua es aquella que puede asumir una cantidad innumerable de valores dentro de ciertos límites.EJEMPLOS: 1.- Peso de las personas.2.- Velocidad de un auto.3.- Horas de demora en cumplir una tarea.4.- Puntajes de un test.5.- Sueldo de los empleados.6.- Variación de precio de las acciones ordinarias de IBM en un mes.7.- Cantidad de petróleo importado en un mes.8.- Etc.-

EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE 1.- Musimundo vende entre 0 y 6 computadoras al día.- ¿Es la venta diaria de computadoras una variable aleatoria discreta o continua?.2.- Un proceso de producción fabril produce un pequeño número de piezas defectuosas diariamente.- ¿es el número de piezas defectuosas una variable aleatoria discreta o continua?.3.- Indique en cada uno de los siguientes casos, cual es la mejor definición: una variable aleatoria discreta o continua.a) El número de automóviles que llegan diariamente a un taller de reparaciones en el que trabajan dos personas.-

b) El número de automóviles producidos por la General Motor anualmente.c) Las ventas diarias totales de un comercio de ropa con tarjetas en pesos.d) El número de pasajeros que se quedan sin plaza en una compañía aérea específica tres días antes de las Fiestas Navideña.4.- Un actor hace 100 representaciones al año.- ¿es su programa de trabajo una variable aleatoria discreta?.5.- Ponga cinco ejemplos de variables aleatorias discretas que podría observarse en una nueva consultora.-

6.- Defina tres variables aleatorias continuas que debería examinar periódicamente un vicepresidente de marketing.7.- Una encuesta electoral entrevista a 2000 personas seleccionadas aleatoriamente.- ¿Debe analizarse el número de personas que apoyan al candidato A utilizando modelo de probabilidad discreta o continua?.8.- Un vendedor entra diariamente en contacto con 20 personas y les pide que compren.- ¿Debe analizarse el número de compras diarias utilizando un modelo de probabilidad discreta o continua?.9.- Usted debe analizar el número de cuentas vencidas en un determinado momento de un gran comercio de artículos de deporte.- ¿Usara un modelo de probabilidad continuo o discreto?.-

10.- El experimento consiste en tirar una moneda dos veces: a) Haga una lista de los resultados experimentales.b) Defina una variable aleatoria que represente la cantidad de caras que pueden representarse en los dos lanzamientos.c) Indique que valores tomaría la variable en cada uno de los resultados experimentales.d) Esta variable aleatoria ¿es discreta o continua?.-

11.- Un experimento consiste en el ensamble de un producto por un trabajador y se registra el tiempo que tarda en hacer esto.-

a) Defina una variable aleatoria que represente el tiempo en minutos requeridos para ensamblar el producto.b) ¿Qué valores puede asumir la variable aleatoria?.c) ¿Esa variable aleatoria es discreta o continua?.12.- Tres alumnos tienen entrevistas programadas para empleo durante las vacaciones en un Instituto de Investigaciones.- En cada caso, el resultado de la entrevista será que le ofrezcan o no le ofrezcan un empleo.- Los resultados experimentales se definen en función de los resultados de las tres entrevistas.a) Haga una lista de los resultados experimentales.b) Defina una variable aleatoria que represente la cantidad de ofertas hechas.- ¿es una variable aleatoria continua o discreta?.-

c) Indique el valor de la variable aleatoria para cada uno de los resultados experimentales?.13.- Suponga que conoce las tasas hipotecarias para 12 instituciones crediticias de Córdoba y que la variable aleatoria de interés es el número de instituciones crediticias de este grupo que ofrecen una tasa fija a 30 años de 8,5 % o menos.- ¿Qué valores puede asumir esta variable aleatoria?.14.- Para efectuar cierto tipo de análisis de sangre, los técnicos de laboratorio deben seguir dos procedimientos.- El primero requiere 1 o 2 pasos separados y el segundo puede requerir 1, 2, o 3 pasos.a) Haga una lista de los resultados experimentales asociados con la ejecución de un análisis.-

b) Si la variable aleatoria de interés es el número total de pasos requeridos para terminar el análisis (ambos procedimientos), indique que valor asumirá la variable aleatoria en cada uno de los resultados experimentales.-

15.- La tabla siguiente es una lista de experimentos y variables aleatorias asociadas.En cada caso, identifique los valores que puede asumir la variable aleatoria y diga si esa variable es discreta o continua?.-

Experimentos a) Hacer un examen con 20 preguntas

Variable aleatoria x Número de preguntas bien contestadas

b) Observar los autos que Número de autos que llegan llegan a un peaje durante unaal peaje hora c) Auditar la devolución de 50 Número de devoluciones con impuestos errores d) Observar el trabajo de un empleado

Número de horas no productivas en una jornada de ocho horas

e) Pesar un embarque de productos

Número de kilos

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Una distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta es una lista mutuamente excluyente de todos los posibles resultados numéricos de un experimento aleatorio con las probabilidades asociadas de cada resultado.Esta representación puede ser algebraica, gráfica o tabular.Supongamos que X es una variable aleatoria discreta y que x es uno de sus posibles valores.- La probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor x se representa como P (X =x).Para las variables aleatorias discretas, un procedimiento sencillo consiste en confeccionar una lista con la probabilidad de cada uno de los posibles resultados.Definición: La función de probabilidad P (X = x), de una variable aleatoria discreta X representa la probabilidad de que X tome el valor x, como función de x:

p (xi) = P (X = x) donde la función se evalúa en todos los posibles valores de x.-

Cuando la variable aleatoria es discreta esta función de probabilidad también se la conoce como función de cuantía.-

Veamos un ejemplo: Supongamos que una empresa que se dedica a las ventas de autos, durante los últimos 300 días de ventas, las ventas muestran que en 54 días no se vendieron autos, en 117 se vendió 1 auto, en 72 días se vendieron 2 autos, en 42 se vendieron 3 autos, en 12 días se vendieron 4 autos y en 3 días se vendieron 5 automóviles.Supongamos además, que el experimento consiste en seleccionar un día de operaciones de ventas y definimos la variable aleatoria de interés como X = número de automóviles vendidos en un día.Si presentamos la distribución de probabilidad de esta variable aleatoria será:

X

fi

P (X = x)

0

54

0,18

1

117

0,39

2

72

0,24

3

42

0,14

4

12

0,04

5

3

0,01

300

1,000

Una ventaja importante de definir una variable aleatoria y su distribución de probabilidad es que una vez conocida esa distribución es fácil determinar la probabilidad de varios eventos que pueden interesar a quien toma decisiones.Por ejemplo, si consultamos la tabla observamos que la cantidad más probable de autos que se venden en 1 día es del 39 %.-

También observamos que hay una probabilidad del 18 % de que se vendan 3 o 4 automóviles en un días y así sucesivamente, esta información es muy útil para quien toma decisiones sobre las ventas de automóviles.-

Al asignar una función de probabilidad para cualquier variable discreta, se deben satisfacer las dos condiciones siguientes:

p (xi) ≥ 0 ∑ p (xi) = 1 Si queremos mostrar gráficamente probabilidad de ventas de autos será:

la distribución de

P (x) 0,20 0,10 Ventas de 0

1

2

3

4

5

auto por día.-

La

Función de Probabilidad Acumulada , que

F (x), de una variable aleatoria X representa la probabilidad de que X tome un valor inferior a x, es decir: simbolizamos con

F(x) = P (X ≤ x) = ∑ p (x ) i

X≤x

Donde la notación indica que la suma es sobre todos los valores posibles de X que son menores o iguales a x.En nuestro ejemplo, de la empresa que vende automóviles, ¿Cuál es la probabilidad de vender menos de 2 automóviles?.-

P (X < 2) = P (X ≤ 1) = P (x=0) + P (x=1) = =

0,18 + 0,39

= 0,57  57%

EJERCICIOS DE APLICACION

1.- La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X aparece en la siguiente tabla: X

20

25

30

35

P (X=x)

0.20

0.15

0.25

0.30

a) ¿Es correcta esta distribución de probabilidad?.Compruebe.b) ¿Cuál es la probabilidad de que x= 30?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que x sea menor o igual a 25?.d) ¿Cuál es la probabilidad de que x sea mayor que 30?.-

2.- Se recabaron los siguientes datos a partir del conteo de la cantidad de salas de operaciones en uso en el Hospital Fernandez de Capital Federal durante 20 días, 3 días se uso una sala de operaciones, en 5 días se usaron dos salas, en 8 días se usaron 3 y en 4 días se usaron las cuatro salas de operaciones del hospital.a) Emplee el enfoque frecuencial para formar la distribución de probabilidad para la cantidad de salas de operaciones que se usaron en un día determinado.b) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.c)

Demuestre que su distribución de probabilidad satisface las condiciones requeridas.-

3.- Los datos siguientes describen la cantidad de empleados en cada uno de los cinco niveles ejecutivos de un gobierno municipal: Nivel Ejecutivo

Cantidad de empleados

1

15

2

32

3

84

4

300

5

31

Total

462

Suponga que se desea seleccionar una muestra de empleados para una encuesta acerca de las condiciones de trabajo.- Sea X una variable aleatoria que indica el nivel ejecutivo de un empleado elegido al azar.-

a) Con los datos anteriores forme la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X.- Especifique los valores de la variable aleatoria y los valores correspondientes a la función de probabilidad.b) Trace la gráfica de la distribución de probabilidad.c) Demuestre que la distribución de probabilidad cumple las condiciones básicas.4.- En la tabla siguiente se muestra las distribuciones porcentuales de frecuencias para calificaciones de satisfacción en el empleo, en una muestra de altos ejecutivos y mandos medios de sistemas de información.Las calificaciones van de 1, muy insatisfechos a 5 muy satisfechos.-

Calificación de satisfacción en el trabajo

Alto ejecutivo %

Mandos Medios %

1

5

4

2

9

10

3

3

12

4

42

46

5

41

28

Total

100

100

a) Defina una distribución de probabilidad para la calificación de satisfacción en el empleo para un alto ejecutivo.b) Defina una distribución de probabilidad para esa calificación en el caso de mando medio.-

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alto ejecutivo exprese satisfacción en el trabajo con una calificación de 4 o 5?.d) ¿Cuál es la probabilidad de que un mando medio este muy satisfecho?.e) Compare las satisfacciones generales en el trabajo de los altos ejecutivos y de los mandos medios.5.- Un técnico da servicio a máquinas de correspondencia en cierta ciudad.- Dependiendo de la avería, el servidor puede durar 1, 2, 3,o 4 horas.- Las distintas averías se presentan más o menos con la misma frecuencia:

a) Defina una distribución de probabilidad de duración del servicio.b) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.c) Demuestre que su distribución de probabilidad cumple con las condiciones que requiere toda función de probabilidad discreta.d) ¿Cuál es la probabilidad de que una avería dure 3 horas?.e) Se acaba de recibir una solicitud de servicio, pero no se conoce el tipo de avería.- Son las 15 horas.- Por lo general, los técnicos de servicios salen a las 17 horas.¿Cuál es la probabilidad de que el técnico de servicio deba trabajar horas extras para arreglar la máquina hoy?.-

6.- El director de admisiones de una escuela evaluó subjetivamente una distribución de probabilidad de X, la cantidad de alumnos de nuevo ingreso, que se muestran en la siguiente tabla: X

P (X = x)

1000

0.15

1100

0.20

1200

0.30

1300

0.25

Total

0.10

a) ¿es valida esta distribución de probabilidad?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya 1200 alumnos de nuevo ingreso o menos?.-

ESPERANZA Y VARIANCIA DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.El valor esperado o media de una variable aleatoria es una medida de la tendencia central de esa variable.- La ecuación matemática del valor esperado de una variable aleatoria discreta x es:

E (x) = µ = ∑ X

fi

0

54

0,18

1

117

0,39

0,39

2

72

0,24

0,48

3

42

0,14

0,42

4

12

0,04

0,16

5

3

0,01

0,05

1,000

1,50

300

P (X = x) x * p (xi) 0

xi * p (xi)

Es un promedio ponderado de todos los resultados posibles, donde las ponderaciones, son las probabilidades asociadas con cada uno de los resultados.E (X) = µ = 1,5 automóviles La empresa puede esperar, a la larga, la venta de un promedio de 1,5 automóviles por día.-

Si suponemos que la operación durante un mes equivale a 30 días, podemos usar el valor esperado de 1,50 para anticipar que las ventas mensuales promedio son 30 * 1,5 = 45 automóviles.La variancia , nos dará una idea de variación de los valores de la variable aleatoria respecto a su valor esperado o media.- La ecuación matemática de la variancia será:

σ² = ∑ (xi - µ)² * p (xi) Recordemos que la variancia nos da un valor en unidades de medida de la variable al cuadrado y por ello es muy difícil explicar, por lo tanto calculamos una nueva medida que llamamos como sabemos Desviación Estándar .- Esta será:

σ =

Variancia

La desviación estándar se mide en las mismas unidades de medidas que la variable aleatoria en estudio

Como calcular la variancia por la fórmula de definición suele ser un poco engorroso, hay una formula abreviada muy útil, que será la que usaremos:

σ² = ∑ x² p (xi) - µ² En nuestro ejemplo, de la empresa de ventas de automóviles el calculo de la variancia y desvío estándar será: X

fi

P (X = x)

0

54

0,18

1

117

0,39

0,39

2

72

0,24

0,96

3

42

0,14

1,26

4

12

0,04

0,64

5

3

0,01

0,25

1,000

3,50

300

x² p (xi) 0

σ² = 3,50 - 1,5² = = 3,50 - 2,25 = = 1,25 auto² σ = 1,25 = 1.118 autos

EJEMPLO para que analicen los alumnos.Una empresa considera dos inversiones posibles.- Como aproximación inicial asigna probabilidades subjetivas a cada uno de los siguientes eventos: perder un 20% por cada dólar invertido, perder un 10% , ni ganar ni perder, ganar un 10% y ganar un 20%.Sea X el rendimiento por cada dólar invertido en el primer proyecto e Y el rendimiento por cada dólar invertido en el segundo proyecto.Las probabilidades asignadas son:

X

-0,20

-0,10

0,0

+0,10

+0,20

p (x)

0,10

0,20

0,40

0,20

0,10

Y

-0,20

-0,10

0,0

+0,10

+0,20

p (y)

0,01

0,04

0,10

0,50

0,35

Calcule los rendimientos esperados por cada dólar invertido en cada proyecto.- Cuales son los valores de dispersión.- ¿Cuál proyecto le parece a usted que representa la mejor inversión?.-

El proyecto X, de acuerdo con cualquier estándar razonable, parece menos atractivo.- Resulta igualmente posible perder un 20% que ganarlo, o ganar un 10% que perderlo.- El proyecto Y ofrece mayores posibilidades de ganar un 10 o un 20% y relativamente pocas de perder.- Los cálculos serán: X

p (x)

x * P (x)

x² * p (x)

-0,20

0,10

- 0,02

0,004

-0,10

0,20

- 0,02

0,002

0,00

0,40

0,00

0,000

+0,10

0,20

0.02

0,002

+0,20

0,10

0,02

0,004

0,00

0,012

E (X) = 0,0

σ² =0,012

σ = 0,11

Para el proyecto Y, será: Y

p (y)

y * P (y)

y² * p (y)

- 0,20

0,01

- 0,002

0,0004

- 0,10

0,04

- 0,004

0.0004

0,00

0,10

0,0

+ 0,10

0,50

0,050

0,005

+ 0,20

0,35

0,070

0,014

0,114

0,0198

E (X) = 0,114

σ² =

0,0068

0,0

σ = 0,082

CONCLUSIONES del problema:

El rendimiento esperado de X es como hemos anticipado menor que el rendimiento esperado de Y.Observando las desviaciones estándar, la distribución de X tiene una mayor variabilidad.- El grueso de la distribución de Y se concentra en los valores 0,10 y 0,20, mientras que las probabilidades de X están de alguna manera dispersas entre todos los valores posibles.Con frecuencia se toma a la variancia del rendimiento como una medida del riesgo, siendo este mayor cuanto mayor es la variancia.En este ejemplo, la inversión Y tiene un rendimiento más alto y un riego menor.-

EJERCICIO PARA HACER EN CLASE 1.- Un concesionario de automóviles calcula la proporción de automóviles nuevos vendidos que se han devuelto varias veces para que se corrijan los defectos durante el periodo de garantía.- La tabla adjunta muestra los resultados: Numero de devoluciones

0

1

2

3

4

Proporción

0,28

0,36

0,23

0,09

0,04

a) Trace la función de probabilidad.b) Halle la media del numero de devoluciones de un automóvil para que se corrijan los defectos durante el periodo de garantía.c) Halle la variancia y automóvil para que se garantía,.

desvío del numero de devoluciones de corrijan los defectos durante el periodo

un de

2.- Una empresa produce paquetes de clips.- El numero de clips por paquetes varia, como indica la tabla adjunta: Números de clips Proporción de paquetes

47

48

49

50

51

52

53

0,04

0,13

0,21

0,29

0,20

0,10

0,03

a) Trace la función de probabilidad.b)

¿Cuál es la probabilidad de que un paquete seleccionado aleatoriamente contenga entre 49 y 51 clips, inclusive.-

c)

Se selecciona aleatoriamente dos paquetes, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos contenga como mínimo 50 clips?.-

d) Hallar la media, la variancia y la desviación estándar del numero de clips por paquete.-

3.- Una empresa esta especializada en la instalación y el mantenimiento de calefacciones centrales.- Antes de que empiece el invierno, las llamadas al servicio de mantenimiento pueden dar como resultado el pedido de una caldera.- La tabla adjunta muestra las probabilidades estimadas del numero de pedidos de calderas nuevas generados de esta forma en las dos ultimas semanas de septiembre: Números de pedidos Probabilidad

0

1

2

3

4

5

0,10

0,14

0,26

0,28

0,15

0,07

a) Trace la función de probabilidad.b) Halle la probabilidad de que se hagan al menos tres pedidos en este periodo.c) Halle la media del numero de pedidos de una nueva caldera en este periodo de dos semanas.d) Halle la desviación estándar del numero de pedidos de una nueva caldera en este periodo de dos semanas.-

4.- La tabla siguiente muestra la distribución de la cantidad de créditos aprobados por semana en la oficina de una sucursal bancaria local.Hipotecas aprobadas por semana Probabilidad

0

1

2

3

4

5

6

0,10

0,10

0,20

0,30

0,15

0,10

0,05

a) Diga y explique si la tabla es colectivamente exhaustiva.b) Trace la función de probabilidad.c)

Calcule y explique la esperanza matemática y explique.-

d) Calcule y explique la desviación estándar.-

5.- La distribución de probabilidad por daños pagadas por San Cristóbal SA en seguros contra choques se muestra a continuación: Pagos (dólares)

Probabilidad

0

0.90

400

0.04

1000

0.03

2000

0.01

4000

0.01

6000

0.01

a) Emplee el pago esperado por choque para determinar la prima de seguro contra dueños que permitiría a la empresa salir sin pérdidas.b) La aseguradora cobra una tarifa anual de 200 dólares por cubrir choque.- ¿Cuál es el valor esperado del seguro contra choques para un asegurado?.- (sugerencia: es igual a los pagos esperados de la compañía, menos los costos).- ¿Por qué el asegurado compra una póliza contra choques con este valor esperado?.-

6.- La demanda de un producto por parte de Industrias Serrano SRL, varía mucho de mes a mes.- La distribución de probabilidad de la tabla siguiente, basada en los datos de los dos últimos años indica la demanda mensual del producto: Demanda de unidades

Probabilidad

300

0.20

400

0.30

500

0.35

600

0.15

a) Si la empresa basa sus pedidos mensuales en el valor esperado de la demanda mensual, ¿Cuál debe ser la cantidad de pedidos de Serrano para este producto?.b) Suponga que cada unidad demandada genere ingresos de 70 dólares y que cada unidad pedida cuesta 50 dólares.-¿Cuánto debe ganar o perder la empresa en un mes si coloca un pedido basado en su respuesta al inciso a) y la demanda real del artículo es de 300 unidades?.-

7.- Según una encuesta del diario Ámbito Financiero, 95% de los suscriptores tienen una computadora en casa.- Para esos hogares, se dan las distribuciones de probabilidad para computadora portátil y de escritorio.Número de computadoras

Probabilidad Portátil

Escritorio

0

0.47

0.06

1

0.45

0.56

2

0.06

0.28

3

0.02

0.10

a) ¿Cuál es el valor esperado de la cantidad de computadora por familia para cada tipo?.b) ¿Cuál es la variancia de la cantidad de computadora por familia para cada tipo?.c) Realice algunas comparaciones entre el número de computadoras portátiles y el número de computadoras de escritorio que posee los suscriptores del periódico.-

ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BIPUNTUAL 0 ENSAYOS DE BERNOULLI

Antes de introducirnos en la distribución binomial es importante ver que nos dice esta distribución de probabilidad.Entre las distribuciones de probabilidad discretas, este es el modelo más simple, se lo llama también “ prueba o ensayos de Bernoulli” y se refiere a un experimento aleatorio con dos resultados posible.Se trata de una población dicotomizada, es decir de una población cuyos individuos se pueden subdividir en dos clases según tengan o no una cierta característica.- Los individuos que tienen la característica A forman la clase A y los que no la tienen forman la clase no A, por ejemplo: pieza defectuosa y no defectuosa, compra o no compra, saca crédito o no lo saca, paciente enfermo o sano, encendido o apagado, varón o mujer, aprobar no aprobar, etc.Se realiza un experimento aleatorio consistente en elegir al azar, un individuo de esa población y observar si pertenece o no a la clase A.- Cada individuo de la población constituye un evento simple del espacio muestral S.-

La variable aleatoria es del tipo discreto y se define de la siguiente manera: 1 si el individuo observado es A X = X (S) = 0 si el individuo observado es no A Si “p” es la probabilidad de que el individuo observado tenga la característica A, obtenemos la distribución de probabilidad que mostramos en la siguiente tabla y que se llama distribución bipuntual.Evento

Variable Aleatoria

P (X = x) = p (x)

A

1

p

0

1 - p

No A

Cabe señalar que el valor de p se determina según los enfoques que hemos visto.- Si se trata de la tirada de una moneda nos basamos en el enfoque clásico y decimos que p = ½.Por lo general, la probabilidad p estará dada por la proporción de individuos que tienen la característica A en la población o por las frecuencias relativas de un número suficientemente grande de experimento.El modelo matemático o función de probabilidad para la distribución bipuntual es: x p (xi) =

P (X =x) = p

1-x

(1 - p)

donde x = 0; 1 Con esta función de probabilidad se obtienen los valores de la tabla anterior.-

Debemos como toda distribución de probabilidad saber cual es la media y variancia de ella.-

µ = E (X) =

∑ x px ( 1 - p)1

-x

σ² = ∑ x² p (x) - µ² = p - p² = Generalmente a (1 – p) = q

σ² = p q σ =

p q

= p p ( 1 – p)

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL.-

La distribución binomial es una función de distribución de probabilidad discreta con muchas aplicaciones en la vida diaria.- La distribución binomial tiene cuatro propiedades esenciales: 1.- Las observaciones posibles se pueden obtener mediante dos métodos de muestreo.- Se puede considerar que cada observación se seleccionó ya sea a partir de una población infinita sin reemplazo o a partir de una población finita con reemplazo.- Se selecciona n observaciones.2.- Cada observación se puede clasificar en una de dos categoría mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas que por lo común llamamos Éxitos y Fracasos.3.- La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, p, es constante entre una observación y otra.- Entonces la probabilidad de que una observación sea clasificada como fracaso es (1-p), es constante en todas las observaciones.4.- El resultado (éxito o fracaso) de cualquier observación es independiente del resultado de cualquier otra observación.-

Si se cumplen las propiedades 2, 3 y 4, se dice que los intentos se generan mediante un proceso de Bernoulli y si además se hacen n intentos o ensayos entonces es un experimento binomial.En un experimento binomial nos interesa el número de éxitos que suceden en los n intentos.Si hacemos que x represente el número de éxitos en los n intentos, vemos que x puede asumir los valores 0,1,2,3………n.- Como la cantidad de valores es finita, x es una variable aleatoria discreta.Veamos un ejemplo: Supongamos que un vendedor de seguro visita a 10 familias seleccionadas al azar.- El resultado asociado con cada visita se clasifica como un éxito si la familia compra una póliza de seguro, y como un fracaso si la familia no lo hace.- De acuerdo con su experiencia, el vendedor sabe que la probabilidad de que una familia seleccionada al azar compre una póliza de seguro es de 0,10.- Al comprobar si se satisfacen las propiedades de un experimento binomial vemos que:

1.- El experimento consiste en 10 intentos idénticos y cada experimento implica llegar a una familia.2.- En cada intento son posible dos resultados: la familia compra una póliza (éxito) o la familia no la compra (fracaso).3.-Se supone que las probabilidades de una compra y de una no compra son iguales para cada llamada de ventas, siendo, p = 0,10

1- p = 0,90

4.- Los intentos son independientes porque las familias se seleccionan aleatoriamente.En vista de que se cumplen las cuatro propiedades, este es un experimento binomial.- La variable aleatoria de interés X es la cantidad de ventas obtenidas al visitar a 10 familias.- En este caso podemos asumir que X, xi puede asumir los valores 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.-

Para calcular estas probabilidades debemos buscar la función de probabilidad de este experimento.El número de resultados experimentales que dan exactamente x éxitos en n intentos se puede calcular como, las combinaciones de: n

n ! = -----------------------

x

x ! (n – x) !

Pero cada experimento es un esquema de Bernoulli donde sabemos que el modelo de probabilidad es: P (X =x) = px (1 -p)1 - x Como aquí realizamos n ensayos o intentos, el modelo de será:

Función de probabilidad binomial: n

P (X = x) =

px

(1 – p) n - x

x En nuestro ejemplo, supongamos que nos preguntemos ¿Cuál es la probabilidad de que se den exactamente 4 ventas?.- Esto será, calcular: 10 ! P ( X = 4) = ----------------------

0,104

0,906 =

4 ! ( 10 – 4) ! =

210 * 0,0001 *

0,5314 = 0,0112  1 %

Uso de la función de distribución o acumulación en la distribución binomial.Sabemos que ella me representa:

F(x) = P (X ≤ x) = ∑ p ( x) X≤x

Supongamos que deseamos calcular la probabilidad de que ¿se de menos de 2 ventas?.- Será: P (X < 2) = P (X ≤ 1) = P (0) + P (1) = 0,3487 + 0,3874 = 0,7361  74 % ¿Cuál es la probabilidad que se de 3 o más ventas? P ( X ≥3) = 1 - P (X ≤ 2) = 1 -

P (0) + P (1) + P ( 2) =

= 0,3487 + 0,3874 + 0,1937 = 0,9298  93 %

Dentro de las características de la distribución de probabilidad binomial es importante para el calculo de una probabilidad, conocer:

1.- SU FUNCION DE PROBABILIDAD

2.- SUS FORMAS

3.- SU MEDIA SU VARIANCIA

SU DESVIACION ESTANDAR

2.- FORMAS.SI P = 0,50

LA DISTRIBUCION SERA SIMETRICA

SI P > 0,50 LA DISTRIBUCION SERA ASIMETRICA A IZQUIERDA

SI P < 0,50 LA DISTRIBUCION SERA ASIMETRICA A DERECHA

MEDIA Y VARIANCIA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL La media µ de la binomial es igual al tamaño de la muestra n multiplicada por la probabilidad del éxito.µ = E (x) = n * P La variancia, será igual al producto del tamaño de la muestra por la probabilidad de éxito y la de fracaso.σ² = n * P * (1 - P) El desvío estándar estará dado por la raíz cuadrada de la variancia.σ =

n * P * (1 – P)

Para pensar en clase

CUANDO SE NOS PLANTEA UN PROBLEMA DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA, ES IMPORTANTE ANALIZAR SI EL PROBLEMA SE ADECUA A UNA DISTRIBUCION BINOMIAL O NO VEAMOS DOS EJEMPLO:

1.- Suponga que hay 1000000 de adultos en cierta ciudad y una proporción desconocida p está a favor de que se parquice cierta zona de la ciudad.- Se elige una muestra aleatoria de 1000 adultos, de tal manera que cada uno de los integrantes del millón de adultos tengan la misma probabilidad de ser seleccionados y se le pregunta a cada adulto si esta a favor de la parquización o no.- (si bien el objetivo final va ser la estimación de la proporción P desconocida, y esto lo veremos en la Unidad de estimación).- ¿es este un experimento binomial?.-

Solución ¿Veamos si el experimento cumple las características de un experimento binomial?.1.- Un ensayo es la elección de un en la ciudad.- Esta muestra idénticos.-

solo adulto del millón de adultos consta de n= 1000 ensayos

2.- Puesto que cada adulto estará a favor de la parquización o no, hay dos resultados posibles que representa a los éxitos o fracasos en el experimento binomial.3.- La probabilidad de éxito, p, es la de que un adulto esté a favor de la parquización, ¿esta probabilidad es la misma para cada adulto de la muestra?.- Para fines prácticos, la respuesta es sí.- Por ejemplo, si 500000 adultos de la población está a favor de la parquización, entonces la probabilidad de un éxito cuando se elige al primer adulto es 500000 / 1000000 = 1/2.- Cuando se elige al segundo adulto, la probabilidad p cambia un poco, dependiendo de la primera elección.- Es decir, habrá 499999 o 500000 éxitos dejados entre los 999999 adultos.- En cualquier caso p es aún casi igual a 1/2.-

4.- La independencia de los ensayos está garantizada debido al gran grupo de adultos del que se elige la muestra.- La probabilidad de que un adulto esté a favor de la parquización no cambia en función de las respuesta de las personas elegidas con anterioridad.5.- La variable aleatoria X es el número de adultos de la muestra que están a favor de la parquización.-

DEBIDO A QUE EL ESTUDIO SATISFACE LAS CARACTERÍSTICA, PARA PROPOSITOS PRACTICOS SE CONSIDERA UN EXPERIMENTO BINOMIAL.-

2.- Un comprador que ha recibido un embarque que contiene 20 computadoras personales desea muestrear tres para ver si están funcionando bien antes de aceptar el embarque.- Para probar elige las tres computadoras más cercanas y, después, se decide si son defectuosas o no.- El comprador no sabe que dos de las 20 computadoras del envió están defectuosas.- ¿Es este un experimento binomial?.Solución

De nuevo, compruebe que el procedimiento de muestreo satisfaga las características de un experimento binomial.1.- Un ensayo es la selección y prueba de una PC del total de 20.- Este experimento consta de n = 3 ensayos idénticos.2.- Cada ensayo produce uno de dos resultados, ya sea que una PC esté defectuosa (éxito) o no defectuosa (fracaso).3.- Suponga que las PC fueron colocadas al azar en el vagón, de tal modo que cualquiera de las 20 computadoras pudo ser colocada cerca de la puerta del vagón.Entonces la probabilidad de sacar una computadora defectuosa en un ensayo dado sería 2/20.-

4.- La condición de independencia entre ensayos no se satisface porque la probabilidad de sacar una PC defectuosa en el segundo ensayo y tercer ensayo depende del resultado del primer ensayo.- Por ejemplo, si en el primer ensayo se obtiene una PC defectuosa, entonces queda una computadora defectuosa entre las 19 restante del envío.- Por lo tanto: P (defectuosa en el ensayo 2/ defectuosa en el 1°) = = 1/19

Si en el primer ensayo no se obtiene una computadora defectuosa, entonces aún hay dos computadoras defectuosas en el envió y la probabilidad de un éxito (una PC defectuosa) cambia a : P (defectuosa en el ensayo 2/ no defectuosa en el ensayo 2) = 2/19 Por lo tanto los ensayos son dependientes y el muestreo no representa un experimento binomial.Por lo tanto los ensayos son dependientes y el muestreo no representa un experimento binomial.-

Piense en la diferencia entre estos dos ejemplos vistos.Cuando la muestra (los n ensayos idénticos) provienen de una población grande; la probabilidad de éxitos p es casi la misma de un ensayo a otro.Cuando el tamaño de la población N es pequeño, la probabilidad de éxito tiene un cambio drástico de un ensayo a otro, y el experimento no es binomial.Si el tamaño de la muestra es grande con respecto al tamaño de la población, en particular, si n/N ≥ 0,05, entonces el experimento resultante no es binomial.-

VEAMOS EL USO DE LA TABLA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL

MEDIANTE UN EJERCICIO:

EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE

1.- Suponga que Susana Torres, la agente de seguro contacta cinco personas y cree que la probabilidad de vender un seguro a cada una es de 0,40.- Utilizando la función de probabilidad, calcule manualmente y luego con tabla: a) Halle la probabilidad de que venda como máximo un seguro.b) Halle la probabilidad de que venda entre dos y cuatro seguros (inclusive).c) Halle la probabilidad de que venda más de dos seguros.d) Halle la probabilidad de que venda exactamente tres seguros.e) Represente gráficamente la función de probabilidad.-

VEAMOS UN EJEMPLO, USANDO EL PROGRAMA MINITAB

Se probo un tratamiento de una dosis diaria de vitamina C para determinar su efectividad en la prevención del resfriado común.- Se observó a 10 personas que siguieron el tratamiento prescrito durante un año.- Ocho personas pasaron el invierno sin un resfriado.- Suponga que la probabilidad de pasar el invierno sin un resfriado es 0,50 cuando no se sigue el tratamiento de vitamina C.- ¿Cuál es la probabilidad de observar ocho o más personas que pasan el invierno sin un resfriado, puesto que el régimen es ineficaz para incrementar la resistencia a los resfriados?.Solución

Función de densidad de probabilidad

Función de distribución acumulada

Binomial con n = 10 y p = 0,5

Binomial con n = 10 y p = 0,5

x P( X = x ) 0 0,000977 1 0,009766 2 0,043945 3 0,117188 4 0,205078 5 0,246094 6 0,205078 7 0,117188 8 0,043945 9 0,009766 10 0,000977

x P( X