DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA2.docx
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Apuntes de Probabilidad Probabilidad y Estadística E stadística
** Distribuciones de probabilidad discretas ** 1. Variables aleatorias Definición. Para un espacio muestral dado
S de algún experimento, una variable aleatoria (va) aleatoria (va) es
cualqu cualquier ier regla que asocia asocia un número número con cada cada resulta resultado do en
S . En lenguaje matemático, una
variale aleatoria es una función cu!o dominio es el espacio muestral ! cu!o rango es el conjunto de números reales.
"as variales aleatorias se denotan mediante letras ma!úsculas de sus posiles valores dados en minúsculas valor asociado con el resultado
s por la va
X , Y , etc#tera, para distinguirlas
x , y . "a notación X ( ( s )= x significa que
x es el
X .
Ejemplos. $. %onsidere el experimento en el cual un número telefónico en cierto código de área es elegido con un marcador de números aleatorios aleatorios (tales dispositivos dispositivos los utili&an utili&an en forma extensa organi&aciones organi&aciones encuestadoras) ! defina una va Y como
{
numero o selecci seleccionad onado o no aparece apareceen en el directo directorio rio Y = 1 si el numer 0 si el numeroselec numeroseleccio cionado nado sí apar aparece eceen en el direct directorio orio
Por ejemplo, 'i *+ aparece en el directorio, entonces
Y ( ( 5282966 )=0
'i ---/ no aparece en el directorio, entonces
Y ( (7727350 )=1
Definición Definición.. %ualquier variale variale aleatoria cu!os únicos valores posiles son / ! $ se llama variable aleatoria de Bernoulli. Bernoulli .
M.C. LEONARDO A. MEDINA R.
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Apuntes de Probabilidad Probabilidad y Estadística E stadística
. En la siguiente tala se muestran los resultados de un experimento en el cual se determinó el número de omas en uso en cada una de dos gasoliner0as. Defina las variales aleatorias X , Y ! U como
X =el númer número o totalde totalde bomba bombass enuso enuso enlas dos dos gaso gasolin lineri erias as Y =la dife diferrenci encia a entr entree elnúmer elnúmero o debombas debombas enus en uso o enla en la gasol gasoline inería ría 1 y el núme númerro enusoenla
gasolinería 2 U = elmáxim elmáximo o delos núme númerros debombas debombas enuso enlas dos dos gasol gasoline inería ríass
'i
s = ( 2,3 ) , entonces X ( (( 2,3 ) ) =2+ 3=5
'i
s =( 2,3 ) , entonces
Y ( ( ( 2,3 ) )=2 −3=−1
'i
s = ( 2,3 ) , entonces
U ( ( ( 2,3 ) )=3
Ejercicio $. (Ejercicio $. 'ección .$ Devore). 1na viga de concreto puede fallar o por esfuer&o cortante
(S )
( F ) . 'uponga que se seleccionan al a&ar tres vigas que fallaron ! que se determina el tipo de falla de cada una. 'ea X =¿ el número de vigas entre las tres seleccionadas seleccionadas que fallaron
o flexió flexión n
por cortante. Ponga en lista cada resultado en el espacio muestral junto con el valor asociado de X . s
222
22'
2'2
2''
'22
'2'
'' 2
'''
X
/
$
$
$
M.C. LEONARDO A. MEDINA R.
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Apuntes de Probabilidad Probabilidad y Estadística E stadística
. En la siguiente tala se muestran los resultados de un experimento en el cual se determinó el número de omas en uso en cada una de dos gasoliner0as. Defina las variales aleatorias X , Y ! U como
X =el númer número o totalde totalde bomba bombass enuso enuso enlas dos dos gaso gasolin lineri erias as Y =la dife diferrenci encia a entr entree elnúmer elnúmero o debombas debombas enus en uso o enla en la gasol gasoline inería ría 1 y el núme númerro enusoenla
gasolinería 2 U = elmáxim elmáximo o delos núme númerros debombas debombas enuso enlas dos dos gasol gasoline inería ríass
'i
s = ( 2,3 ) , entonces X ( (( 2,3 ) ) =2+ 3=5
'i
s =( 2,3 ) , entonces
Y ( ( ( 2,3 ) )=2 −3=−1
'i
s = ( 2,3 ) , entonces
U ( ( ( 2,3 ) )=3
Ejercicio $. (Ejercicio $. 'ección .$ Devore). 1na viga de concreto puede fallar o por esfuer&o cortante
(S )
( F ) . 'uponga que se seleccionan al a&ar tres vigas que fallaron ! que se determina el tipo de falla de cada una. 'ea X =¿ el número de vigas entre las tres seleccionadas seleccionadas que fallaron
o flexió flexión n
por cortante. Ponga en lista cada resultado en el espacio muestral junto con el valor asociado de X . s
222
22'
2'2
2''
'22
'2'
'' 2
'''
X
/
$
$
$
M.C. LEONARDO A. MEDINA R.
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Apuntes de Probabilidad Probabilidad y Estadística E stadística
Dos tipos de variables aleatorias Defini Definició ción. n. 1na variale variale aleato aleatoria ria discreta es una variale variale aleato aleatoria ria cu!os valores valores posiles posiles o constitu!en un conjunto finito o ien pueden ser puestos en lista en una secuencia infinita en la cual existe un primer elemento, un segundo elemento, ! as0 sucesivamente (3contalemente4 infinita). 1na variale aleatoria es continua si ambas de las siguientes condiciones aplican5 $. 'u conjunto de valores posiles se compone de o todos los números que 6a! en un solo intervalo sore la l0nea de numeración (posilemente de extensión infinita, es decir, desde −∞ 6asta 7 ∞ ) o todos los números en una unión exclu!ente de dic6os intervalos (p. ej., 8/, $/9 . :ingún valor posile de la variale aleatoria tiene proailidad positiva, esto es, cualquier valor posile de
∪
8/, /9).
P ( X = c ) =0 con
c .
2. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas "as proailidades proailidades asignadas asignadas a varios resultados resultados en
S determinan a su ve& las proailidades
asoc asocia iada das s con los los valo valores res de cual cualqu quie ierr vari varial ale e aleat aleator oria ia
X
particu particular lar.. "a distri distriuc ución ión de
proailidad de X dice cómo está distriuida (asignada) la proailidad total de $ entre los varios posiles valores de X . Definición Definición.. "a proailida proailidad d de que
Y tome el valor
las proailidades de todos los puntos muestrales en
y ,
P (Y = y ) , se define como la suma de
S a los que se asigna el valor
y . ; veces
denotaremos P (Y = y ) por p ( y ) . Definición. "a distribución de probabilidad para para una variale discreta por una formula, una tala o una gráfica que produ&ca
Y puede ser representada
p ( y )= P (Y = y ) para toda
y .
"a distriución de proailidad siempre satisface las condiciones5 p ( x x ) ≥ 0
!
∑ p ( x )=1
todax
Ejemplo.
M.C. LEONARDO A. MEDINA R.
Apuntes de Probabilidad Probabilidad y Estadística E stadística
$.1na cierta gasolinera gasolinera tiene seis omas. 'ea
X el número de omas que están en servicio a
una 6ora particular del d0a. 'uponga que la distriución de proailidad de tala siguiente. x p ( x x )
X es como se da en la
/
$
<
/./
/.$/
/.$
/.
/./
/.$
/.$/
a) Determine la proailidad de que cuando muc6o dos omas est#n en servicio P ( X 2 )= P ( X = 0 o 1 o 2 )= p ( 0 ) + p ( 1 ) + p ( 2 ) =0.05 + 0.10 + 0.15 =0.30
) De que por lo menos omas est#n en servicio P ( X ≥ 3 ) =1− P ( X 2 ) =1−0.30 =0.70
c) "a proailidad de que entre ! omas inclusive est#n en servicio P (2 X 5 )= p ( 2 )+ p ( 3 ) + p ( 4 ) + p (5 )=0.15 + 0.25 + 0.20 + 0.15= 0.75
d) "a proailidad de que el número de omas en servicio est# estrictamente entre ! P (2 1.25 )=1 − P ( : 1.25 )=1 −0.8944 =0.1056
c) P ( : −1.25 )
M.C. LEONARDO A. MEDINA R.
!#
Apuntes de Probabilidad y Estadística
P ( : −1.25 )=0.1056
d) P (−0.38 : 1.25 )
M.C. LEONARDO A. MEDINA R.
!$
Apuntes de Probabilidad y Estadística P (−0.38 : 1.25 ) = F ( b ) − F ( a ) =0.8944 −0.3520= 0.5424
. Determine las proailidades de que una variale aleatoria que tiene la distriución normal estándar tomará un valor a) entre /.*- ! $.*. P ( 0.87 : 1.28 ) ) entre =/.< ! /.. P (−0.34 : 0.62 ) c) ma!or que /.*. P ( : > 0.85 ) d) ma!or que =/.. P ( : >−0.65 ) a) P ( 0.87 : 1.28 ) P ( 0.87 : 1.28 ) = F ( b ) − F ( a ) =0.8997− 0.8078 = 0.0919
M.C. LEONARDO A. MEDINA R.
!%
Apuntes de Probabilidad y Estadística
) P (−0.34 : 0.62 ) P (−0.34 : 0.62 )= F ( b )− F ( a )=0 .7324 −0.3669=0.3655
M.C. LEONARDO A. MEDINA R.
!(
Apuntes de Probabilidad y Estadística
c) P ( : > 0.85 ) P ( : > 0.85 )=1 − P ( : 0.85 ) =1−0.8023= 0.1977
d) P ( : >−0.65 )
P ( : >−0.65 )=1− [ 1 − P ( : 0.65 ) ] =1 −[ 1−0.7422 ]= 0.7422
M.C. LEONARDO A. MEDINA R.
!)
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