Distribucion Poisson 1

 

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON Supongamos que puede asumirse lo siguiente: Para cada intervalo de tiempo muy pequeño de tiempo, la probabilidad de que ocurra un suceso en ese intervalo es aproximadamente proporcional a la amplitud del intervalo y no pueden ocurrir dos o más sucesos en un intervalo.

 

Si lo anterior es cierto, puede probarse que la probabilidad de X ocurrencias en el intervalo de tiempo de 0 a T es Prob( x

ocurrencia s)

e



 

 x

 



 x!

donde λ es el número medio de ocurrencias entre 0 y T, y e = 2,71828 ... es la base de los logari log aritmo tmos s natur naturale ales. s. Este

modelo

probabilístico

Dist Di stri ribu buci ció ón de Pois Poisso son. n.

se

denomina

 

Dato histórico

La dist distribuc ribución ión de Poisson Poisson se llama llama así en honor a su creador, el francés Simeón Simeó n Dennis Dennis Poisson Poisson (1781(1781-1840 1840), ), Esta distribución de probabilidades fue uno de los múltiples trabajos matemáticos que Dennis completó en su productiva trayectoria.

 

Podemos  utilizar   la  distribución   de  Poisson  para hallar   las   probabi probabilid lidade ades s de   cada   una   de   las variable  planteado s aleator;i aque s d e   caracterizan los ejemplo s    que   se   por  ser  hemos el numero de ocurrencia o de éxitos   de de un evento   en   un  intervalo  continuo  dado  como,   el tiempo,  superficie,  longitud   o  volumen,  durante el que se puede esperar que   oc ocurra un promedio   λ   de  tales  eventos.LA DISTRIBUCION DE POISSON SE BASA EN CIERTOS CIERT OS SUPUESTOS QUE DEBEMOS TENER EN CUENTA:

 

Supongamos   que   un  intervalo   esta  dividido   en   un   gran   numero   de subintervalos   de   manera   que   la   probabilidad   de   que   ocurra   un evento de  cualquier  subintervalo  es  muy  pequeña.

1.- La pro 1.probab babil ilida idad d de que ocurra un evento es constante en todos los subintervalos

2.-- No pu 2. pued ede e habe haber  r  mas de una ocurrencia en cada subintervalo

3.- La Las s ocu ocurrenc rrencia ias s son son independientes es decir, las ocurrencias en intervalos que no se solapan, son independientes entre si.-

 

Podemo Pode moss fo form rmul ular ar di dirrec ecta tame ment ntee la ec ecua uaci ción ón pa para ra ca calc lcul ular ar probabilidades   de  Poisson   a  partir   de   la  distribución  binomial toma to mand ndo o lo loss  límites  matemáticos  cuando   p   →   0   y n   →

∞.- Con estos  límites,  el  parámetro   λ  =  n  .  p es  una  constante (éxi xito toss) en   un que  especifica   el   número  medio   de  ocurrencia   (é determinado tiempo y/o espacio.-

Se dice que la variable aleatoria X sigue la distribución de Probabilidad de Poisson entonces La probabilidad de que este evento   ocurra x veces es, x λ    e-λ  P ( X = x)   = ----------------------X!

 

Para valores Para  valores de  de x  x =  = 0  0   1   2   3……………..

La Media Variancia y la Desviación

E (X) = μ   = λ 

σ² = E [ (X -   μ)² ] = λ 

Estándar son: σ² =

λ 

 

El  símbolo   e   =   2,71828   se  puede  calcular   con   una  calculadora científica, que debe tener una función como ex .Para Pa ra cad ada a  va valo e x se   p ue ued de obte ob  ten la lass p ob obab limisma dad ades es individuales delor   rla  dvariable aleatoria den er Poisson ,  rde  abi lai lid manera que en que procedió para la variable   aleatoria binomial.Recordemos   que   como   en toda todass   las   distribuciones   se pued puedee aplicar la Distribución acumulada, donde:

P (X   ≤ x) =   ∑ P (X = x)   para x = 0, 1, 2,  ……………… En  algunas  situaciones   nos  conviene  usar   el  complemento.-   Es decir,

P (X   ≥ x)   = 1 -   P (X   ≤ x) Para tener en claro una distr triibución de probabilidad es importante conocer la forma de la distribución.-

 

La forma de  la  distribución de  Poisson es  asimétrica a  derecha, dependiendo   del   valor   de   λ .-   A   medida   que   λ   se   hace   más grande la distribución tiende a ser simétrica.-

λ    = 0,5

 

λ  = 6

 

Utilidad •

•

•

•

La distribuc distribución ión de Poisson Poisson se utiliza utiliza en situacio situaciones nes donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de aleatoria. posibles resultados. Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto. discreto. Es muy útil cuando la muestra o segmento n  es grande y la probabilidad de de éxitos   p  es pequeña. Se utiliza cuando la probabilidad del del evento que nos   n  interesa se distribuye dentro de un segmento dado como por ejemplo distancia, área, volumen o

tiempo definido.  

Ejemplos •

La llegada de un cliente al negocio durante una hora.

•

Las llamadas telefónicas que se reciben en un día.

•

•

Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido. Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de producto terminado. La distribución de Poisson se emplea para describir procesos con un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta.

 

EJERCICIO 1: Un estudio indica que el número de huelgas anuales en una fábrica europea típica con 2000 empleados, se puede representar por una distribución de Poisson con media λ = 0,4.

La función de probabilidad del número de huelgas anuales X es, entonces,

Prob( x huelgas )

e 

0.4



(0.4)

 x

!

 x

para x = 0, 1, 2,…..

 

Podemos calcular ahora probabilidades para números concretos de huelgas anuales, usando (a partir de la Tabla 4.D) e-λ = 0,6703.

La probabilidad de que no haya huelgas es

Prob(0 huelgas) = e-0.4(0.4)0 = (0.6703)(1) = 0! 1

0.6703

 

Análogamente

-0.4

1

Prob(1 huelga) = e 1! (0.4)

= (0.6703)(0.4) 1

=

Prob(2 huelgas) = e-0.4(0.4)2 = (0.6703)(0.16) 2! 21

Prob(3 huelgas) = e-0.4(0.4)3 = (0.6703)(0.064) 3!

6

0.2681

=

=

0.0536

0.0071

 

Prob(4 huelgas) = e-0.4(0.4)4 = (0.6703)(0.0256) 4! 24

=

0.0007

Estas probabilidades pueden usarse para hallar la probabilidad de que el número de huelgas esté en un intervalo concreto.

Por ejemplo, la probabilidad de que haya más de una huelga en un año es

Prob(más de 1 huelga) = 1 – P(0 huelgas) – P(1 huelga) = 1 – 0.6703 – 0.2681 = 0.0616

 

EJERCICIO 2. La distribu distribución ción de Poiss Poisson on ha resulta resultado do ser muy útil en problemas de líneas de espera o colas.

Los clientes llegan a una maquina fotocopiadora a una tasa media de dos cada cinco minutos En la práctica, se pueden representar los procesos de llegada de esta clase mediante una distribución de Poisson.

 

Asumiendo que éste es el caso, representaremos por X el número de llegadas de clientes en un periodo de cinco minutos con lo cual X tiene una distribución de Poisson con media λ = 2.

La función de probabilidad es Prob(x) =

e-22x x!

para x = 0, 1, 2,...

 

Las probabilidades para el número de llegadas en un período de cinco minutos son

Prob(0 llegadas) =

e-2(2)0 0!

Prob Pr ob(1 (1 llega gada das s) = e-2(2)1 1!

=

=

(0.135335)(1) 1

(0.135335)(2) 1

=

=

0.1353

0.2707

 

Prob Pr ob(2 (2 llega gada das s) = e-2(2)2 2!

=

(0.135335)(4)

=

0.2707

2

y así sucesivamente. Así, por ejemplo, la probabilidad de que se produzcan más de dos llegadas en un periodo de cinco minutos es

Prob(X>2) = 1 – Prob(0) – Prob (1) – Pro rob b (2 (2)) = 1 – 0.1353 – 0.2707 – 0.2707 = 0.3233

 

EJER EJ ERCI CICI CIO O3 La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que ocurre en un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El área de un disco bajo estu es tudi dio o es 10 100 0 centí entím metro etross cuad cuadra rado dos. s. (a) Encuentre la probabilidad de que hayan 12 partículas en el área del disco bajo estudio. (b) La probabilidad de que hayan cero  partículas en el área del disco bajo estudio (c) Determine la  probabilidad de que 12 o menos partículas hayan en el área del disc di sco o bajo bajo es estu tudi dio o

 

EJER EJ ERCI CICI CIO O3

 

EJER EJ ERCI CICI CIO O4 Un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos? a) x = var variiab able le qu quee nos nos de defi fine ne el nú núm mero ero de de cche hequ ques es sin sin ffon ondo do que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc. = 6 cheques sin fondo por día ƛ = ƛ  e = 2.718

 

EJER EJ ERCI CICI CIO O4 Un banco recibedeenque promedio 6 cheques sin fondo día,en ¿ cuáles ¿cuáles las b) 10  probabilidades reciba, a) cuatro cheques cheques sinpor fondo fondo un díason dado, cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

 b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc. = 6 x 2 = 12 cheques cheques sin fond fondo o en prom promedio edio que que lle llegan gan al al banco banco ƛ = ƛ  en dos días consecutivos  Nota: ƛ siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.

 

Ejemplo 1.- El  promedio de accidentes de tránsito que ocurren en un tramo de ruta es de dos  por  semana.- Suponga que el número de accidente sigue una distribución de Poisson con λ = 2.a) Obtenga la  probabilidad de que ningún accidente ocurra en este tramo de ruta durante un semana.-

 b) Encuentre la probabilidad probabilidad de que a lo

más ocurran tres

accidentes en este tramo de ruta durante dos semanas.Solución 0 2 e-2 -2 = 0,135335 a) P (X = 0) = ------------------- = e 0!

 b)

λ   = 2 * 2 = 4

P ( X ≤ 3) = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) =

= 0,018316 + 0,073263 + 0,146525 + 0,195367 =  

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Andrés Sosa, director de un centro informático, informa de que su sistema info in form rmát átic ico o ha ex expe peri rime ment ntad ado o tr tres es fal fallo los s de compon com ponent entes es en los 100 100 últi últimos mos dí días. as.-a)¿ )¿C Cuál es la probabilidad de que no haya ningún fallo en un día dado?.b) ¿ Cuál es la probabilidad de que haya uno o mas fallos de componentes en un día dado?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos dos fallos en un periodo de tres días?.-

 

2.- Los clientes llegan a una fotocopiadora a una tasa media de dos cada cinco minutos.Suponga que estas llegadas so n inde in depe pend ndie ient ntes es,, qu que e la lle lega gada da es con ons sta tant nte e y que este sigue un modelo de Poisson, donde X representa el numero de clientes que llegan en un periodo de cinco minutos y la media   λ   = 2a)Halle la probabilidad de que lleguen mas de dos clientes en un periodo de cinco minutos.b) Halle la probabilidad de que lleguen tres o menos clientes en un periodo de cinco minutos.c) Ha Hall lle e la prob probab abil ilid ida ad de qu que e no lle llegu gue e ni ning ngún ún

cliente en un periodo de cinco minutos.  

3.-- En cierta 3. erta zo zon na urba urbana na,, los func funcio iona nari rios os de la sal salud prov pr ovee een n que que el num numer ero o de naci nacimi mien ento tos s este este año año será será igual al del año anterior, cuando nacieron 438 niños, un pro pr omed ediio de 438/ 438/3 365 = 1,2 nacim cimie ient nto os por día.- Lo Los s naci na cimi mien ento tos s di diar ario ios s han han resu result ltad ado o dist distri ribu buid idos os segú según n una distribución de Poisson: a) ¿Cuál es la media de la distribución?.b) Pa Para ra cual cualqu quie ierr día día espe especi cifi fico co,, ¿Cuá ¿Cuáll es la pr prob obab abil ilid idad ad de que no nazcan niños?.c) ¿C ¿Cuá uáll es la pr prob oba abi bili lida dad d de que que en un dí día a espec specif ific ico o nazcan 7 o menos niños.d) ¿Cuál es la probabilidad de que no hay mas de un nacimiento en un día especifico?.-