Distribución Normal

Distribución Normal

1. Dada una variable aleatoria continua Z, con distribución normal estándar, es decir, N(0;1), encuentre las siguientes probabilidades usando la tabla a. P(0 ≤ Z ≤1.25) Sabemos que tiene distribución normal, entonces en la gráfica debemos ubicar el 1.25 y este porcentaje será la probabilidad

Para esta probabilidad, entonces:

P ( 0 ≤ Z ≤ 1.25 )=0.3944=39.44 % Grafica:

b. P ( Z ≥1.25 ) En este caso nos piden que el valor nominal sea mayor o igual a 1.25, tomando como el caso del ejercicio anterior llegábamos hasta 1.25, en este caso es de 1.25 en adelante, podemos realizarlo restando 0.5 al porcentaje determinado anteriormente (0.3944) Entonces quedará

P(0.5−( 0 ≤ Z ≤ 1.25 ) ) P ( 0.5−0.3944 ) P ( 0.1056 )=10.56 % Gráfica:

c.

P ( Z ≤−1.25 )

Podemos escribirlo de la siguiente manera:

P ( Z ≥1.25 ) Este es el mismo ejercicio que anteriormente nos solicitaron, entonces el resultado es 10.56%

P ( Z ≤−1.25 )=P ( Z ≥ 1.25 )=10.56 % Gráfica:

d. P ( 0 ≤ Z ≤ 1.33 ) Ubicamos en la tabla cual es la probabilidad para este rango:

P ( 0 ≤ Z ≤ 1.33 )=0.4082=40.82 % Graficas:

e. P ( Z ≥1.33 ) Al igual que con el ejercicio anterior podemos restar 0.5 al valor de la probabilidad determinado anteriormente (0.4082)

P ( 0.5− ( 0≤ Z ≤ 1.33 ) )=0.5−0.4082 P ( 0.5− ( 0≤ Z ≤ 1.33 ) )=0.0918=9.18 % Grafica:

f.

P (−1.33≤ Z ≤ 0 )

Al igual que el ejericcio del numeral “d” son lo mismo pero al contrario, entonces podemos escribirlo de la siguiente manera:

P ( 0 ≤ Z ≤ 1.33 )=0.4082 Grafica:

3. Los precios de las acciones de cierta industria se distribuyen en forma normal con media de $20 y desviación estándar de $3. ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de una empresa se encuentre entre $18 y $20?

μ=20 , σ=3 P ( 18≤ X ≤ 20 )=? Con la siguiente ecuación determinaremos cada punto de la tabla de distribución normal

Z=

x −μ σ

En donde P ( 18≤ X )=Z 1 y P ( X ≤20 )=Z 2

Z1 =

18−20 =−0.67 3

Z2 =

20−20 =0 3

Ubicamos en la tabla:

Entonces: establecemos que son valores en intervalos definidos en un área de 1, escribimos de la siguiente manera:

1−Z 1−Z 2=1−0.2514−0.5 P ( 18≤ X ≤ 20 )=0.2486=24.86 %

Diferencia entre los resultados por decimales tomados en las tablas

5, La estatura de mujeres adultas en cierta región tiene una distribución normal cuya media es de 160 cm, con desviación estándar de 2 cm. ¿Qué porcentaje tiene una estatura entre 158 y 163 cm?

μ=160 ,σ =2 P ( 158≤ X ≤ 163 )=? Tenemos dos valores, uno por debajo de la media y otro por encima de la media, entonces se utilizan dos tablas distintas, primero determinamos los valores de Z1 y Z2

Z1 =

158−160 =−1 2

Z1 =

163−160 =1.5 2

En las tablas se obtiene:

Obtenemos:

Z 1=0.1587 y Z 2=0.9332 Como Z1 se encuentran todos los valores hacia la izquierda entonces debemos restar el 100% el cual es 1, adicionalmente debemos restar 0.5 el cual es el 50% para saber los valores hasta la media. En el otro caso, Z2 debemos restar solamente 0.5 el cual es el 50% ya que este valor es el que está por encima de la curva. El resultado de la probabilidad será sumar las Z’s, entonces tenemos:

(1−0.5−Z 1)+( Z 2−0.5) (1−0.5−0.1587)+(0.9332−0.5) 0.3413+0.4332 P ( 158≤ X ≤ 163 )=0.7745=77.45 %

7, Una fábrica de producción de agua embotellada, cuenta con una máquina de envasado automático, la cual vierte en cada botella una cierta cantidad de agua que sigue una distribución normal con media de 500 mL y una desviación estándar de 5 mL. ¿Qué porcentaje de las botellas se llenan con agua entre 490 y 507 mL?

μ=500 ,σ =5 P ( 490 ≤ X ≤507 ) =? Igual que el anterior ejercicio tenemos dos datos, uno bajo la media y otro sobre la media. Con la ecuación hallamos los puntos de la tabla Z1 y Z2

Z1 =

490−500 =−2 5

Z2 =

507−500 =1.4 5

En este caso los puntos Z1 y Z2 son: 0.0228 y 0.9192 respectivamente A Z1 le restamos 1 para saber cuales son los datos hacia la derecha y le restamos 0.5 para saber solo la mitad de la curva y a Z2 le restamos 0.5 para poder sumarlo a Z1

(1−0.5−0.0228)+( 0.9192−0.5) 0.4772+0.4192 P ( 490 ≤ X ≤507 ) =0.8964=89.64 %

9, Dada una variable aleatoria continua, cuya distribución de probabilidad es N(-4;3), obtenga las siguientes probabilidades: a. P (−10.6 ≤ X ≤ 2.6 ) Para cada una determinamos Z

Z1 =

−10.6−(−4 ) =−2.2 3

Z2 =

2.6−(−4 ) =2.2 3

Ubicamos en las tablas

Obtenemos para Z1 y Z2: 0.0139 y 0.9861 respectivamente A Z1 debemos restarle el 100% de la gráfica y luego la mitad (50%), como en anteriores ejercicios:

Z 1=1−0.5−0.0139 0.4861 A Z2 debemos restar únicamente la derecha de la curva, corresponde al 50%

Z 2=0.9861−0.5 0.4861 Ahora sumamos Z1 y Z2

P (−10.6 ≤ X ≤ 2.6 ) =Z 1+ Z 2=0.4861+0.4861=0.9722 Donde,

P (−10.6 ≤ X ≤ 2.6 ) =97.22 %

b. P ( X ≥2 ) Utilizamos la ecuación para determinar Z

Z=

2−(−4) =2 3

Ubicamos en las tablas:

Tenemos como resultado 0.9772, este valor seria si tomáramos toda la curva pero solo necesitamos mayores o iguales a 2, en este sentido debemos restar a 1

P ( X ≥2 ) =1−Z P ( X ≥2 ) =1−0.9772 P ( X ≥2 ) =0.0228=2.28 %

c.

P ( X=2 )

Se trata de un conjunto finito de posibilidades frente a un espacio de posibles resultados infinito en donde la probabilidad será 0 ya que nunca será posible ser igual a 2, exige incertidumbre con una desviación típica, por esta razón:

P ( X )=0 %

11. Dada una variable aleatoria continua X, cuya distribución de probabilidad es N ( μ , σ ) En la que el 10.03% del área bajo la curva está a la izquierda de x=60, y 5.05% del área está a la derecha de x=90, determine los valores de la media y desviación estándar En este caso tenemos datos importantes: La variable aleatoria es del orden:

60 ≤ X ≤90 A la izquierda de 60 está el 10.03% bajo la curva y el 5.05% está hacia la derecha de 90, entonces: Para 10.03% convertimos en decimal: 0.1003 y buscamos en la tabla Z para números a la izquierda bajo la curva

En este caso Z1= -1.28 En el caso de 5.05% como está hacia la derecha de 90 y en las tablas Z se lee de izquiera a derecha debemos restar al 100% y convertimos en decimal, asi:

100 %−5.05 %=94.95=0.9495 Buscamos en la tabla

Obtenemos para Z2= 1.64 Ya sabemos que tenemos Z1 y Z2 con cada uno de los intervalos que toma X, ahora con la ecuación Z remplazamos:

Z=

X−μ σ

−1.28=

60−μ 90−μ , 1.64= σ σ

Determinamos primero la media, para ello remplazamos 1 en 2

σ=

60−μ , μ=90−(1.64∗σ ) −1.28

σ=

−60+ μ , μ=90−(1.64∗σ ) 1.28

Remplazamos:

μ=90−

μ ( 1.64∗−60+ ) 1.28 −60 μ + 1.28 1.28

( (( ) ))

μ=90− 1.64∗

( (

μ=90− 1.64∗ (−46.87 )+

(

μ=90− −76.8668+ μ=90+76.8668− μ+

μ 1.28

1.64 μ 1.28

))

)

1.64 μ 1.28

1.64 μ =90+76.8668 1.28

2.28125 μ=166,8668 μ=

166.8668 2.28125

μ=73,14709 Ahora con la media determinamos la desviación estándar con cualquier ecuación

−1.28=

60−73.14709 σ

σ=

60−73.14709 −1.28

σ=

−60+73.14709 1.28

σ =10,2711 La diferencia de los resultados se debe a la diferencia de decimales utilizados en la ecuación

13. La temperatura del mes de abril en la ciudad de Lima, tomada siempre al mediodía, sigue una distribución normal con media de 36 °C y desviación estándar de 3 °C. ¿Cuántos días del mes de abril se espera que tengan una temperatura entre 39 y 42 °C? Tenemos que la probabilidad se escribe de la siguiente forma:

P ( 39≤ X ≤ 42 ) Utilizamos la ecuación:

Z 1=

39−36 =1 3

Z 2=

42−36 =2 3

En las tablas tenemos:

Estos dos valores los restamos y obtenemos la probabilidad de que haya días en el mes de abril que sean con esta temperatura

P ( 39≤ X ≤ 42 )=0.1359=13.59 % Como el mes de abril tiene 30 días entonces debemos hacer una regla de 3 simple, en donde, si 30 días es el 100% cuantos días serán el 13.59%?

X=

13.59 %∗30 100 %

X =4.077 Esto significa que en los 30 días del mes de Abril habrá 4.077 días que tendrán una temperatura entre 39 y 42°C

15. Dada una variable aleatoria continua X, que tiene una distribución normal con media igual a cero y desviación estándar igual a 5, determine la siguiente probabilidad:

P (|3 x+ 1|