Distribucion Normal

 

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL EXPERIMENT AL LIBERTADOR INSTITUTO PEDAGÓGICO DE BARQUISIMETO “LUIS BELTRÁN PRIETO FIGUEROA”   SUBDIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO SUB-PROGRAMA DE MAESTRÍA

UNIDAD IV DISTRIBUCIÓN NORMAL Y ÁREAS DE PROBABILIDAD Curso: Introducción a la Estadística 1- Distribución normal. La Distribución Normal es una distribución de una variable aleatoria continúa. Una muy importante distribución continua de probabilidad. Varios matemáticos intervinieron en su desarrollo entre ellos figura el astrónomo del siglo XVIII Karl Gauss, a veces es llamada en su honor la distribución de Gauss o campana de Gauss. Aparece de manera natural:   Errores de medida.   Distancia de frenado.   Altura, peso, propensión al a l crimen…    Distribuciones binomiales con n grande (n>30) y p pequeño (n p > 5).   Está caracterizada por

dos parámetros: La media, μ, y la desviación

típica, σ.  2- Propiedades de la Distribución Normal. 1- La función de densidad es simétrica, mesocúrtica y unimodal. Existe una  probabilidad de un u n 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor. Media, mediana y moda coinciden. 2- Los puntos de inflexión de la función de densidad están a distancia σ de μ.  Si se toman intervalos centrad os en μ, y cuyos extremos están:     A distancia σ, tenemos probabilidad aproximada del 68%   A distancia 2 σ, tenemos probabilidad aproximada del 95%

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  A distancia 3 σ tenemos probabilidad aproximada del 99%

3- La curva curva normal es asintótica asintótica al eje de abscisas. Por ello, ello, cualquier valor valor entre posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1. ∞ y + ∞ es teóricamente posible.

4- Todas las distribuciones normales N (μ, σ), pueden ponerse mediante una traslación μ, y un cambio de escala σ, como N (0,1). Esta distribución especial se llama

normal tipificada. Justifica la técnica de tipificación, cuando se intenta comparar individuos diferentes obtenidos de sendas poblaciones normales 5- La distribución normal de una variable aleatoria. X con parámetros

    y     es

la

distribución de probabilidad representada por la función de densidad:  f  ( x) 

6-           y     determina

   0 .

El valor

1

 

2  

e

1   x         2      

   determina

2

 

el centro de la función mientras que

la dispersión. La apariencia gráfica de la distribución normal es una curva

simétrica, con respecto al valor , con forma de campana, que se extiende sin límite tanto

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en la dirección positiva como en la negativa como se muestra en la figura dada a continuación:

-3 -2 -1

1

2

3

De la simetría de la función se concluye que  P  X        P     X     

1 2

 

3- Tipificación. Dada una variable de media μ y desviación típica σ, se denomina valor tipificado, z ,

de una observación x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones típicas, es decir:

En el caso de variable X normal, la interpretación es clara: Asigna a todo valor de N (μ, σ), un valor de N  (0,1) que deja exactamente la misma probabilidad por debajo.

 Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes,  para saber cuál de los dos es más extremo. Para conocer la probabilidad asociada a cualquier área bajo la curva normal se utiliza la tabla de distribución normal. (Ver Anexo B.1). Sin lugar a dudas, la distribución más utilizada para modelar experimentos aleatorios es la distribución normal, también conocida como co mo distribución Gaussiana. Como la distribución normal desempeña un papel básico en la estadística y su densidad de probabilidad no puede integrarse de forma directa, se ha tabulado para el caso especial   = 0 y   = 1. La distribución normal normal con es estos tos valores para   y   se conoce como distribución normal estándar.

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4- Teorema central del límite. Dada

una

variable

aleatoria

cualquiera,

si

se

extraen

muestras

de

tamaño n, y se calculan los promedios muestrales, muestrales, entonces:   Dichos promedios tienen distribución aproximadamente normal.   La media de los promedios muestrales es la misma que la de la variable

original.   La desviación típica de los promedios disminuye en un factor “raíz de n”

(error estándar).   Las aproximaciones anteriores se hacen exactas cuando n tiende a infinito.   Este teorema justifica la importancia de la distribución normal.  

Sea lo que sea lo que se mida, cuando se promedie sobre una muestra grande (n>30) va a aparecer de manera natural la distribuci distribución ón normal nor mal..

Algunas veces, la distribución normal se presenta como una distribución continua que ofrece una muy buena aproximación a la distribución binomial cuando n, el número de intentos, es lo suficientemente grande y la probabilidad de lograr un éxito está cercana a 1

2

.

5- Tabla de área bajo la curva. A continuación se muestra una sección de una tabla de la distribución normal estándar: 0 .00

0 .01

0 .0

.5000

0 .02

0 .5039

0 .03

0 .5079

0 .04

0 .5119

0 .05

0 .5159

0 .06

0 .5199

0 .07

0 .5239

0 .08

0 .5279

0 .09

0 .5318

0 .5358

0 .1

.5398 0

.2

.5792 0

.3

.6179

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0 .4

.6554 0

.5

.6914 0

.6

.7257

.. . ...

0 .7

.7580

.. . ...

.. . ...

.. . ...

.. . ...

.. . ...

.. . ...

.. . ...

.. . ...

.. . ...

.. . ...

.. . ...

.. . ...

.. . ...

.. . ...

.. . ...

.. . ...

.. . ...

. .. ... 0 .0

.8413 .

.. ... 0 .0

.9772

Esta tabla proporciona los valores de área acumulada bajo la curva normal a la derecha de la media. Hay tablas que proporcionan los valores de área acumulada bajo la curva normal a la izquierda de la media, otras proporcionan los valores de área acumulada de cola derecha, otras los de cola izquierda y otras proporcionan tanto los valores de área de cola izquierda como de cola derecha. La primera columna de esta tabla proporciona el valor z con un decimal; el segundo decimal se ubica en el renglón superior. Así, el área acumulada bajo la curva hasta el valor z = 0,7 (P(Z < 0,7)) es el valor que se encuentra en la intersección del renglón 9 y la columna 2, que es 0,7580 Las probabilidades que no tengan la forma P(Z < z) se obtienen mediante el empleo de las reglas básicas de probabilidad y de la simetría de la distribución normal, junto con la tabla.

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6- Ejemplos: 1- Hallar el área bajo la curva en cada uno de los siguientes casos: a.- entre Z = 0 y Z = 1.2 Z = 0.3849

 b.- entre Z = -0.68 y Z = 0 Z = 0.2518

2- El peso total de los frutos producidos por 6 árboles de una variedad de níspero injertado es de 750gr. La desviación estándar de 5300 frutos cosechados es de 15gr. Calcule:

DATOS S = 15gr.  N = 6 árboles (que producen5300 frutos) Peso total = 750 gr. = ? 125

= peso total = 750 = 125  N

6

a.- la probabilidad de obtener frutos con pesos inferiores o iguales a 128gr.

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X = 128

Z=XS Z = 128 –  125  125 = 0.20 = 0.0793 15 0.5+ 0.0793 = 0.5793

La probabilidad de obtener frutos con pesos inferiores o iguales a 128 gr. es de 0.5793, para una población de 6 árboles de nísperos que producen 5300 frutos con una media de 125 gr. y una desviación estándar de 15gr.

7- Ejercicios propuestos. Distribución Normal. 1- Para un conjunto de 500 datos q se distribuyen en forma normal, con media (  = 65 y una desviación estándar ()= 11. Resolver:

DATOS   

 = 11



Población = 500

A.- ¿Qué porcentaje porcentaje de los 500 son valores valores comprendidos entre 65 y 80? B.- ¿Qué porcentaje de los datos son valores comprendidos entre 50 y 65? C.- ¿Qué porcentaje de los datos son valores mayores a 78? D.- ¿Qué porcentaje del total de datos son valores valores entre la la media y 98? E.- ¿Qué porcentaje de los datos son valores mayores a 45? F.- ¿Qué porcentaje de los datos son valores menores de 72? G.- ¿Qué porcentaje de los datos son valores menores de 50? H.- ¿Cuántos datos del total se encuentran ubicados entre las puntuaciones 52 y 81? I.- ¿Qué porcentaje del total de datos son valores comprendidos entre 44 y 58? J.- ¿A partir de cual puntuación se encuentra el 10% superior de la distribución? Profesoras Mary Castañeda y Alicia Vargas/Julio2012

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2- De 1000 medidas de tallas se obtuvo una media de 165 cm y una desviación típica de 8 cm. Se supone que la distribución es normal y se pide: a) Decir cuántas medidas son menores de 157 cm.  b) Cuántas se hallan entre 167 y 181 cm.

3) Hallar el área bajo la curva normal nor mal tipificada: a) Entre Entre Z = 0 y Z = 1,2  b) Entre Z = -0,68 y Z = 0 c) Entre Z = -0,46 y Z = 2,21 d) Entre Z = 0,81 y Z = 1,94 e) A la derecha de Z = -1,28

4) El peso medio de 500 estudiantes varones de una universidad es de 68,5 Kg. y la desviación típica es de 10 Kg. Suponiendo que los pesos están distribuidos normalmente, hallar el número de estudiantes que pesan: a) Entre 48 y 71 kg.  b) Más de 91 kg.

5) Si X está distribuida normalmente con media 5 y desviación típica 2, hallar P (X > 8). 5) Dada una variable con distribución normal de media μ = 40 y desviación estándar σ = 6 enc uentre el valor de x que tiene:

a) El 34% del área a la izquierda.  b) El 5% del área a la derecha.

6) Determine las probabilidades de que una variable aleatoria tome un valor entre 12 y 15 dado que tenga una distribución normal con: a) μ = 10 y σ = 5   b) μ = 20 y σ = 10 

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7) Los gastos mensuales en alimentación para familias de cuatro miembros en una ciudad grande son en promedio de $420 con una desviación estándar de $80. Si los gastos mensuales en alimentación siguen una distribución normal: a) ¿Qué porcentaje de estos gastos g astos es menor de $350?  b) ¿Qué porcentaje de estos gastos está entre $250 y $300? c) ¿Qué porcentaje de estos gastos es menor de $250 o mayor de $450? d)¿Cuál es el gasto mayor en dólares que hace una familia familia que está entre el 25% de llaa familia que menos gastos realizan en alimentación

8) Se encontró que en un conjunto de calificaciones de exámenes finales en un curso tenía distribución normal con media 73 puntos y desviación estándar de 8 puntos. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una calificación no mayor de 91 puntos en este examen?  b) ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo una calificación calificación entre 65 y 89 puntos? c) ¿Cuál fue la calificación superada sólo por 5% de los estudiantes que hicieron el examen? d) El profesor sigue el siguiente criterio: Le otorga A a los estudiantes que están ubicados en el 10% de las mejores notas del grupo y usted saca 81 puntos. Suponga que se realiza otro examen en el que la media es 62 y la desviación es 3 y usted saca 68 puntos. ¿En cuál de los 2 exámenes usted queda mejor calificado?. ¿Por qué?

9) El estadounidense adulto hombre tiene una estatura promedio 5 pies y 9 pulgadas con una desviación estándar de 3 pulgadas. (Nota: 1 pie corresponde a 12 pulgadas) a) ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura de un hombre sea mayor de 6 pies?  b) ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura de un ahombre sea menor de 5 pies? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura de un hombre esté entre 6 y 9 pies? d) ¿Cuál es la estatura menor de que tiene un hombre que está en el 10% de los hombres más altos?

10) El tiempo necesario para terminar un examen final en determinado curso se distribuye normal con una media de 80 minutos y una desviación de 10 minutos. Profesoras Mary Castañeda y Alicia Vargas/Julio2012

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a) ¿Cuál es la probabilidad de terminar t erminar el examen en una hora o menos?  b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante termine el examen entre 60 y 85 minutos? c) Suponga que en el curso hay 60 alumnos y que el tiempo del examen es de 90 minutos. ¿Cuántos alumnos espera que no puedan terminar el examen en el tiempo indicado?

NOTA: En cada caso elabore la gráfica, calcule Z y de la conclusión.

REFERENCIAS  Aproximación  Aproximac ión Normal a la binomial.  [Consulta: 30 de Junio 2012].

Disponible en:

http://masmatematicas.com/estadisticas/aproximacion.html#Aproximación Carderón. B.(2003).  Notas de Estadística Estadística matemática matemática I. [Consulta: 08 de Junio 2012]. Disponible en: http://siona.udea.edu.co/~bcalderon/4_proporcion.html en: http://siona.udea.edu.co/~bcalderon/4_proporcion.html Chourio J. (1987). Estadística I. Editorial Biosfera. Venezuela. Ritchey, F. (2002). Estadística  Estadísticass para las Ciencias Ciencias Sociales. Sociales. McGraw -Hill. México.

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ANEXOS

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Anexo A. Tabla de Distribución Nor Normal. mal.

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