Distribucion Normal

DISTRIBUCION NORMAL Nombre: Wilson Guanoluisa INTRODUCCIÓN:

La distribución normal es una de las más importantes de las distribuciones, por la frecuencia que se la encuentra y por las aplicaciones teóricas, esta también es llamada ll amada distribución GUASSIANA, La aplicación de esta distribución es muy alta como caracteres morfológicos de individuos, animales plantas, de su especie especie como talla, peso, diámetro, perímetro, perímetro, etc. También a caracteres caracteres sociológicos como el consumo de ciertos productos por un grupo de individuos, individuos, otro ejemplo aplicativo en la teoría teoría de errores errores por ejemplo los errores que que cometemos cuando medimos algunas magnitudes. La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (16671754). Posteriormente, Carl Friedrich Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la conozca, más comúnmente, como la normal está completamente determinada "campana de Gauss". La distribución de una variable normal por dos parámetros, su media y su desviación estándar, denotadas generalmente por µ y . Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la ecuación:

                 

Donde: =

Ec.

1

desviación estándar

µ= media X= variable

Que determina la curva en forma de campana que tan bien conocemos (figura 1):

Figura 1. Gráfica de una distribución normal y significado significado del área bajo la curva



Así, se dice que una característica X sigue una distribución normal de media µ y varianza , y se denota como X = N (µ , ), si su función de densidad viene dada por la l a Ecuación 1. En resumen se podría decir que una distribución normal está basada en su media y su desviación estándar, es decir se define a través de ellas. La distribución de probabilidad normal presenta las siguientes características:  



 



Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana. La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor entre entre -  y + es teóricamente posible. posible. El área total bajo bajo la curva es, por tanto, igual a 1. Es simétrica con respecto a su media µ. Según esto, para este tipo de variables variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor. La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación típica ( ). Cuanto mayor sea , más aplanada será la curva de la densidad. El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo ( µ -1.96 ; µ + 1.96). La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros µ y ( Figura 2). La media indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de µ la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. horizontal. Por otra parte, la desviación estándar determina determina el grado de apuntamiento de la curva. curva. Cuanto mayor sea el valor de , más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva curva será más plana. Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución.

Figura 2. E jemplos de distribuciones normales con diferentes parámetros.

(a) Distribución normal con distinta Desviación estándar e igual media

(b) Distribución normal con diferentes medias e igual desviación estándar



Así, se dice que una característica X sigue una distribución normal de media µ y varianza , y se denota como X = N (µ , ), si su función de densidad viene dada por la l a Ecuación 1. En resumen se podría decir que una distribución normal está basada en su media y su desviación estándar, es decir se define a través de ellas. La distribución de probabilidad normal presenta las siguientes características:  



 



Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana. La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor entre entre -  y + es teóricamente posible. posible. El área total bajo bajo la curva es, por tanto, igual a 1. Es simétrica con respecto a su media µ. Según esto, para este tipo de variables variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor. La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación típica ( ). Cuanto mayor sea , más aplanada será la curva de la densidad. El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo ( µ -1.96 ; µ + 1.96). La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros µ y ( Figura 2). La media indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de µ la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. horizontal. Por otra parte, la desviación estándar determina determina el grado de apuntamiento de la curva. curva. Cuanto mayor sea el valor de , más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva curva será más plana. Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución.

Figura 2. E jemplos de distribuciones normales con diferentes parámetros.

(a) Distribución normal con distinta Desviación estándar e igual media

(b) Distribución normal con diferentes medias e igual desviación estándar

Como se deduce de este último apartado, no existe una única distribución normal, sino una familia de distribuciones con una forma común, diferenciadas por los valores de su media y su varianza. De entre todas ellas, la más utilizada es la distribución normal estándar, que corresponde a una distribución de media 0 y varianza 1. Así, la expresión que define su densidad se puede obtener obtener de la Ec. 1 Es importante conocer que, a partir de cualquier variable  X que siga una distribución N (µ , ), se puede obtener otra característica Z con una distribución normal estándar, sin más que efectuar la transformación:

Donde:

  

Ec.2

X= El valor de cualquier observación o medición en particular µ= Es la media de la distribución = Es la deviación estándar de la distribución

Un valor de Z expresa la distancia o diferencia entre un valor particular de X y la media aritmética en unidades de desviación estándar. Una vez que se estandarizan las observaciones normalmente normalmente distribuidas, los valor Z tienen una distribución normal con una media de 0 y una desviación estándar de 1. OBS. La probabilidad de que ocurra ocurra un evento se encuentra con tablas tablas y el valor de Z calculado. E jm

1:

El siguiente problema: supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada población sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 80 Kg y una desviación estándar de 10 Kg. ¿Podremos saber cuál cuál es la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso superior a 100 Kg? Denotando por  X  a la variable que representa el peso de los individuos en esa población, ésta sigue una distribución N(80,10). Si su distribución fuese la de una normal estándar podríamos podríamos utilizar la tabla del APÉNDICE D (ESTADISTICA APLINADA APLINADA A LOS NEGOCIOS Y A LA ECONOMIA 12va EDICION, Douglas A. Lind, Samuel A. Wathen, Pag. 720) para calcular la probabilidad que nos interesa. Como éste no es el caso, resultará entonces útil transformar esta característica característica según la Ec. 1, y obtener la variable

   

Para poder utilizar dicha tabla. Así, la probabilidad que se desea calcular será:

          

Como el área total bajo la curva es igual a 1, se puede deducir que:

    

Esta última probabilidad puede ser fácilmente obtenida a partir tabla del APENDICE D (ESTADISTICA APLINADA A LOS NEGOCIOS Y A LA ECONOMIA 12va EDICION, Douglas A. Lind, Samuel A. Wathen, Pag. 720), resultando ser . Por lo tanto, la probabilidad buscada de que una persona elegida aleatoriamente de esa población tenga un peso mayor de 100 Kg , es de 10.9772=0.0228, es decir, aproximadamente de un 2.3%.

   

De modo análogo, podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esté entre 60 y 100 Kg:

           

De la Figura 1, tomando a=-2 y b=2, podemos deducir que:

          

Por el ejemplo previo, se sabe que . Para la segunda probabilidad, sin embargo, encontramos el problema de que las tablas estándar no proporcionan el valor de para valores negativos de la variable. Sin embargo, haciendo uso de la simetría de la distribución normal, se tiene que:

          

Finalmente, la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre 60 y 100 Kg., es de 0.9772-0.0228=0.9544, es decir, aproximadamente de un 95%. LA REGLA EMPÍRICA

Dada una distribución de las observaciones con forma aproximadamente campanada, entonces el intervalo:   

(Media ± S) contiene aproximadamente al 68 % de las observaciones. (Media ± 2S) contiene aproximadamente el 95% de las observaciones. (Media ± 3S) contiene casi todas las observaciones.

Figura 2. Distribución de las observaciones

La importancia de la regla empírica consiste en su utilidad para describir adecuadamente la variación de un gran número de datos. LA APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL A LA BINOMIAL

Aunque la distribución normal es continua, resulta interesante hacer notar que algunas veces puede utilizarse para aproximar distribuciones discretas. Por ejemplo, los siguientes gráficos corresponden a distribuciones binomiales con p = 0,5 y distintos valores de tamaños de muestras:

n=2

n=5

n=10

A medida que n aumenta, la forma que se va adoptando es más parecida a la curva normal. La aproximación normal a la distribución binomial nos permite resolver problemas sin tener que consultar grandes tablas de la distribución binomial tomando µ = np Ec. 3 y  =   Ec. 4



Donde: n= número de veces que

se realiza el experimento aleatorio p= Probabilidad de éxito (95%) q= probabilidad de fracaso (5%) Sin embargo, podemos notar que se necesita tener algo de cuidado al utilizar la aproximación ya que la misma es bastante buena siempre y cuando se cumpla:

   





FACTOR DE CORRECCIÓN DE CONTINUIDAD

El factor de corrección de continuidad es el ajuste de media unidad de medida para mejorar la exactitud cuando a una distribución discreta se le aplica una distribución continua. Casos que pueden surgir: 1) Para la probabilidad de que por lo menos X ocurran, use el área por encima de (X  0,5). 2) Para la de que más de X sucedan, utilice el área por arriba de (X + 0,5). 3) Para la de que X o menos ocurran, aplique el área por debajo de (X + 0,5). 4) Para la de que menos de X sucedan, emplee el área situada por debajo de (X  0,5). EJEMPLO:

Suponga que una moneda se lanza 10 veces y que deseamos calcular la probabilidad de obtener 5,6 ,7 u 8 caras. Debemos calcular: P (5  X  8) , al aplicar el factor de corrección y utilizando que

            



 

Calculamos entonces:

Representa la búsqueda del área con el valor de Z en cualquier tabla que se esté manejando (APÉNDICE D ESTADISTICA APLINADA A LOS NEGOCIOS Y A LA ECONOMIA 12va EDICION, Douglas A. Lind, Samuel A. Wathen, Pag. 720) Obs: 

               



Si hubiésemos aplicado la fórmula de la distribución de la binomial hubiésemos obtenido que la probabilidad es de 0.6123, así que observamos que los resultados son muy parecidos, lo que refleja la bondad de la estimación en al cálculo de la probabilidad buscada. EJERCICIOS EJERCICIOS

RESUELTOS

Nota: el símbolo (Z) se interpreta como buscar en tablas (APÉNDICE D) el área a la izquierda del valor de Z que se está manejando.

1. Dada una distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que está a) a la izquierda de z = 1.43 P(Z < 1.43) = ( 1.43 ) = 0.9236

b) a la derecha de z = -0.89 P(Z > -0.89) = 1 - ( -0.89) = 1- 0.1867 = 0.8133

c) entre z = -2.16 y z = -0.65 P( -2.16 10150) = P(X > 10175) = 1  [ (10175  10000)/100] = 1 - [1.75] = 1  0.9599 = 0.0401

b) Si las especificaciones requieren de todos los componentes tengan resistencia a la tracción entre 9800 y 10,200 kilogramos por centímetro cuadrado inclusive, ¿qué proporción de piezas esperaría que se descartará? Proporción de descarte = 1  P(9800 < X < 10200)

P(9800 < X < 10200) = P(9775 < X < 10225)

= [ (10225  10000)/100] - [ (9775  10000)/100]

= [2.25] - [-2.25] = 0.9878  0.0122 = 0.9756

Proporción de descarte = 1  0.9756 = 0.0244

10. Los CI de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si la universidad requiere un CI de

al menos 95, ¿cuántos de estos estudiantes serán rechazados sobre esta base sin importar sus otras calificaciones? P(X < 95) = [(95  115)/12]= [-1.67] = 0.0478 Número de estudiantes rechazados = 600*0.0478 = 28.68 o 29

11. Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de 14.0 µ = 80  = 14

z

  x

a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p(75  x  90) z

z

 

       = 0.7611    = 0.3594

90

75 

10

5 

p(75  x  90) = 0.7611  0.3594 = 0.4017 b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor. p(x  75) z

       75 

5 

0.3594

p(x  75) = 0.3594

c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0 p(55  x  70)

z

z

 

     = 0.2389     =0.0387

7 0

10

55 

 25 

p(55  x  70) = 0.2389  0.0367= 0.2022

12. Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de $70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior? p(x80,000)

z

       8 0 000

10 000

= 0.6915

p(x  80,000) = 1  0.6915= 0.3085

b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000? p(65,000  x  80,000)

 

z

z

          

8 0 000

10 000

65  000

5  000

= 0.6915

=0.4013

p(65,000  x  80,000) = 0.6915  0.4013 = 0.2902

c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior. p(x65,000) z

       65  000

5  000

= 0.4013

p(x  65,000) = 1 0.4013 = 0.5987

13. Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la  µ = $70,00 ciudad de Nueva York, donde el tiempo z  = $20,00 medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5 minutos.

  x

a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos? p( x30)

z

      30

8 3

=0.1335

p( x  30) = 0.1335 = 13.35%

b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos? p(30  x  35)

z

 

z

           

35 

33

7  5 

30

8 3

=0.3300

=0.1335

p(30  x  35) = 0.3300  0.1335 = 0.1965 = 19.65%

c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos? p(30  x  40)

             

z

1 7 

40

z

7  5 

30

8 3

7  5 

=0.5910 =0.1335

p(30  x  40) = 0.5910 0.1335= 0.4575 = 45.75%

14. Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond, Virginia, tiene una distribución normal, con una media de $1,200 y una desviación estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer  µ = 1,200 z niveles de inventario de manera que solo  = 225 haya 5% de probabilidad de que se 5% = .0500 agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de inventario?

  x

1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65

z

  x



         

1.65

x

 225 

x = 1,571.25

15. En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución de los costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y que la desviación estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad?

             1.64

x

4 50   0

x = 27,462.

16. El fabricante de una impresora láser informa que la cantidad media de páginas que imprime un cartucho antes de reemplazarlo es de 12,200. La µ = 12,200   = 820 distribución de páginas impresas por z cartucho se aproxima a la 99% = .9900 distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 820 páginas. El fabricante desea proporcionar lineamientos a los posibles clientes sobre el tiempo que deben esperar que les dure un cartucho. ¿Cuántas páginas debe indicar el fabricante por cartucho si desea obtener 99% de µ = 20,082 certeza en todo momento?  = 4,500

  x

95% =

.9500

1 -0.99 = 0.01

=



1 64

Valor z = - 2.33

          

- 2.33

x

8   20

x = 10,289.4

17.En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de   junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

                    

        

18. La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan: 1.

Entre 60 kg y 65 kg.

                    

       

2. Más

de 90 kg.

           

         

3. Menos

de 64 kg

.

              

      

19.Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide: ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

               20.Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).

            

                                        

       

21.Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15. Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.

         

                 

22. Se calculó que el promedio de enf riamiento de todas las neveras para una línea de cierta compañía, emplean una temperatura de -4°C con una desviación t ípica de 1.2°C. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a 3°C? b. ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a 5.5°C?

      



a.

     Z=0.83

P=0.5-0.2967=20.88% La probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3°C es de 20,33%

b. P(x2.6)=

f)

6. Según el Insurance Instituto Of América, una familia de 4 miedros gasta entre 400$ y 3800$ al año en todo tipo de seguros. Suponga que el dinero gastado tiene una distribución uniforme entre estas cantidades a) ¿Cuál es el monto medio gastado en seguros? 

   

b) ¿Cuál es la desviación estándar del monto gastado?

c)



    

=5070000

d) Si escogemos una familia al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que gaste menos de $2000 al año en seguros?

       e) ¿Cuál es la probabilidad de que una familia gaste más de 3000$ al año?   P(x>3000) =    P(x