DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

UNIDAD # 8. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD.

Distribución hipergeométrica. La distribución hipergeométrica se utiliza cuando el muestreo es sin reemplazo. Por ejemplo, si la población consta de 20 elementos, la probabilidad de seleccionar un elemento de dicha población es de 1/20. Si el muestreo se realiza sin reemplazos, sólo quedan 19 elementos después de la primera selección; la probabilidad de seleccionar un elemento en la segunda selección es de 1/19 solamente. En la tercera selección, la probabilidad es de 1/18, etc.

Distribución hipergeométrica. Recuerde que uno de los criterios relacionados con la distribución binomial estriba en que la probabilidad de éxito debe permanecer igual en todas las pruebas. Como la probabilidad de éxito no es la misma en todas las pruebas cuando se realiza un muestreo sin reemplazos en una población relativamente pequeña, no debe aplicarse la distribución binomial y en lugar de ello se aplica la distribución hipergeométrica.

Características de la distribución hipergeométrica. • Los resultados de cada prueba de un experimento se clasifican en dos categorías exclusivas: éxito o fracaso. • La variable aleatoria es el número de éxitos de un número fijo de pruebas. • Las pruebas no son independientes. • Los muestreos se realizan con una población finita sin reemplazos y n/N > 0.05. Por tanto, la probabilidad de éxito cambia en cada prueba.

Fórmula de la distribución hipergeométrica.

P(X=x)=

𝑆 𝑥

𝑁−𝑆 𝑛−𝑥 𝑁 𝑛

N = Tamaño de la población. S = Número de éxitos en la población. x = Número de éxitos en la muestra; éste puede asumir los valores 0, 1, 2, 3… n = Tamaño de la muestra o el número de pruebas. = El símbolo de combinación.

Ejemplo 1. Una empresa que comercia productos de tecnología., tiene 40 empleados en el departamento de ensamble. Del total, 30 empleados pertenecen a un sindicato, y los 10 restantes, no. Se eligen al azar 5 empleados para formar un comité que hablará con la empresa sobre los horarios de inicio de los turnos. ¿Cuál es la probabilidad de que 4 de los 5 empleados elegidos para formar parte del comité pertenezcan a un sindicato?

Ejemplo 1. Solución: Datos. Población (N) = 40 Número de éxitos en la población (S)=30 Muestra (n) = 5 Número de éxitos en la muestra (x) = 4 Aplicar la fórmula.

P(x = 4)=

30 4

40−30 5−4 40 5

=

30 10 4 1 40 5

=

27405 10

658008

=0.4165

Ejemplo 2. Un componente para fabricar computadoras se envía en lotes de 20. Es costoso realizar pruebas para determinar si un artículo es defectuoso y, por tanto, el fabricante muestrea su producción en lugar de usar un plan de inspección al 100%. Un plan de muestreo, construido para minimizar el número de piezas defectuosas a los clientes, exige muestrear 5 artículos de cada lote y rechazar el lote si se observa más de una pieza defectuosa. (Si el lote es rechazado, cada artículo del mismo se prueba posteriormente). Si un lote contiene 4 piezas defectuosas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de los 5 artículos elegidos en la muestra salgan con defecto? b) ¿Cuál es la probabilidad que sea rechazado?

a) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de los 5 artículos elegidos en la muestra salgan con defecto? Datos. N = 20 S = 4 piezas defectuosas en el lote. n = 5 piezas seleccionadas para probarlas x=3 𝑃 𝑋=𝑥 =

𝑃 𝑥=3 =

𝑺 𝑥

𝑁−𝑺 𝑛−𝑥 𝑵 𝒏

𝟒 3

𝟐𝟎−𝟒 𝟓−3 𝟐𝟎 𝟓

=

𝟒 3

𝟐𝟎 𝟓

𝟏𝟔 𝟐

𝟒 ∗ 𝟏𝟐𝟎 = = 0.03096 R/. 𝟏𝟓𝟓𝟎𝟒

b) ¿Cuál es la probabilidad que sea rechazado? Datos. N = 20 S = 4 piezas defectuosas en el lote. n = 5 piezas seleccionadas para probarlas Un lote es rechazado si se observa más de una pieza defectuosa, por tanto, buscamos encontrar 𝑃(𝑥 > 1) 𝑃 𝑥 >1 =1−𝑃 𝑥 ≤1

𝑃 𝑥 > 1 = 1 − [𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃(𝑥 = 1)] 𝑃 𝑥 >1 =1−[ 𝑃 𝑥 > 1 = 1 −[

𝟒 0

𝟐𝟎−𝟒 𝟒 𝟐𝟎−𝟒 𝟓−0 1 𝟓−1 𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟓 𝟓 4 16 4 16 0 5 1 4 20 20 5 5

+

+

]

]

𝑃 𝑥 > 1 = 1 − [0.2817 + 0.4696] 𝑃 𝑥 > 1 = 1 − 0.7513 = 𝟎. 𝟐𝟒𝟖𝟕

𝐑/.

Ejercicio.

Kolzak Appliance Outlet acaba de recibir un cargamento de 10 reproductores de DVD. Poco después de recibirlo, el fabricante se comunicó para reportar un envío de tres unidades defectuosas. La señorita Kolzac, propietaria de la tienda, decidió probar 2 de los 10 reproductores de DVD que recibió. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los 2 reproductores de DVD que se probaron esté defectuoso? Suponga que las muestras no tienen reemplazo.