Distribucion Gumbel o Extrema Tipo I

 

4.5 DISTRIBUCION GUMBEL O EXTREMA TIPO I La di dist stri ribu buci ción ón Gu Gumb mbel el es ta tamb mbié ién n de deno nomi mina nada da ext xtre rema ma tipo tipo I. Es Esta ta di dist stri ribu buci ción ón es un una a fa fami milia lia im impo port rtan ante te de dist distri ribu buci cion ones es us usad adas as en el anális aná lisis is de frecu frecuenc encia ia hid hidro rológ lógico ico es la dis distri tribuc bución ión gen genera erall de val valor ores es extr ex trem emos os,, la cu cual al ha si sido do am ampli pliam amen ente te utili utiliza zada da pa para ra rep epre rese sent ntar ar el comportamiento de crecientes  se!u"as es decir de máximos  m"nimos. 4.5.1 Funci unción ón de dens densidd! idd! La distribución de Gumbel tiene como una función de densidad.

En donde α  # son los parámetros de la distribución de la función de densidad donde la variable es continua. Es#i$ción $ción de %&'$e %&'$e#&(s #&(s 4.5." Es#i La estimación de los parámetros α  # son de la siguiente manera$

%onde

−¿¿  x

 son la media 

S  es la desviación estándar estimadas con

la muestra. & se obtiene una vez obtuvo α. ).).)

Fc#(& Fc#(& de *&ecuenci!

%ónde$  K T 

 

T r

 es el factor de frecuencia.  es el periodo de retorno.

'ara la distribución Gumbel se tiene !ue el caudal para un per"odo de retorno de (.)) a*os es igual a la media de los caudales máximos. ).).4

Li$i#es de c(n+n,

 

 X t  ± t ( 1− ) Se ∝

 Donde: Se error de estimación. Y se determina de la siguiente manera.

Donde: S es la desviación estándar.

t ( 1−

+   es el factor de frecuencia 

)

∝

 es la variable normal estandarizada

para una probabilidad de no excedencia de - α es decir de un año. EJEMPLO:

En un r"o se tienen )/ a*os de registros de 0máximos instantáneos anuales con x1 -2 m)3s, 4 1 2 m )3s 5media  desviación estándar para los datos originales6. x1(.722, s 1 /.)(8 5media  desviación estándar de los datos transformados6. Encontrar el caudal para un periodo de retorno de -// a*os  los l"mites de con9anza para un

∝

1 2:.

Enco En cont ntra rarr el Q de 10 100 0 añ años os de pe peri riod odo o de reto retorn rno o y lo loss in inte terv rval alos os de confiana. !" 1# m$%s& s " # m$%s.

 K T =3.14

  Q Tr 100 = x + K T  s Q Tr 100 = 15 + ( 3.14∗5 ) =¿

$0.' m$%s

  (ntervalos de confiana t ( 1− ) =t ( 0.95)=1.645 ∝

 ta)la de la normal 1 2 2

  δ =[ 1 + 1.1396 ( 3.14 ) + 1.1 ( 3.14 ) ] =3.93

Se =

δ . s ( 3.93 )( 5 ) = =3.58 m3 / s 30 √ n √ 30

 X t  ± t ( 1− ) S e ∝

  3

3

30.7 m / s ± ( 1.645 )( 3.58 )   30.7 m / s +( 1.645 )( 3.58 )=36.58 3

30.7 m / s −(1.645 )( 3.58 )=24.81

 

El intervalo de confiana para

Q Tr 100

 es.

*+,.-$ m$%s

$.#- m$%s/

http://es.slideshare.net/freddysantia gord/metodos-probabilistic robabilisticos-de-hidrolo os-de-hidrologia gia http://es.slideshare.net/freddysantiagord/metodos-p http://fluidos.eia.edu.co/hidrolog du.co/hidrologiai/probabi iai/probabilidad/probab lidad/probabilidad.htm ilidad.htm http://fluidos.eia.e

Seección cción de de  *&ecuenci *&ecuenci  %& e dise/( dise/( 4.- See El anális análisis is de frecuen frecuencia cia se usa para pre predecir decir el compo comportami rtamiento ento futuro de los caudales en un sitio de interés, a partir de la información histórica de caudales. Es un método basado en pr procedimientos ocedimientos esta estad"sticos d"sticos !ue permite calcul cal cular ar la mag magnit nitud ud del caud caudal al asoc asociado iado a un per per"od "odo o de retor retorno no.. 4u con9abilidad depende de la longitud  calidad de la serie histórica, además de la in ince cert rtid idum umbr bre e pr prop opia ia de la dist distri ribu buc ción ión de pr prob oba abili bilida dade des s seleccionada. 'ara determinar la magnitud de eventos extremos cuando la distribución de probabilidades no es una función fácilmente invertibles se re!uiere conocer la variación de la variable respecto a la media. ;ho< propusó determinar esta variación a partir de un factor de frecuencia + !ue puede ser expresado$

 se puede estimar a partir de los datos

'ara una distribución dada, puede determinarse una relación entre +  el per"odo de retorno r.

El an anál ális isis is de frec frecue uenc ncia ia co cons nsis iste te en de dete term rmin inar ar lo loss pa pará ráme metr tros os de la lass distri)uciones de pro)a)ilidad y determinar con el factor de frecuencia la magnitud del evento para un perodo de retorno dado.

An'isis isis %&(i %&(i2s#ic 2s#ic( ( de %&ec %&eci%i# i%i#ci(n ci(nes. es. 4.0 An' El comportamiento de las varia)les aleatorias discretas o continuas se descri)e con la ayu ayuda da de Dist Distri) ri)ucio uciones nes de ro) ro)a)i a)ilida lidad. d. 2a varia)l varia)lee se designa por  may3scula y un valor especfico de ella por min3scula.   or 4! " a5 se la pro)a)ilidad 6ue un asuma valor a7 similarmente 4adenota ≤ ! ≤ )5 de deno nota ta la pro) prde o)a a)i )ili lida dad devento de 6u 6ue e un el ev even ento to se

 

encuentree en el int encuentr interva ervalo lo 4a&) 4a&)5. 5. Si con conocem ocemos os la pro pro)a)i )a)ilid lidad ad 4a ≤ ! ≤ )5  para todos los valores de a y )& se dice 6ue conocem conocemos os la Distri)ución Distri)ución de ro)a)ilidades de la varia)le !.   Si ! es un n3mero dado y consideramos la pro)a)ilidad 48 ≤ !5:   94!5" 48 ≤ !5:   y llamamos 94!5 la función de distri)ución acumulada.  M($en#(s de s dis#&iuci(nes

Las propiedades de las distribuciones pueden ser de9nidas completamente en términos de los momentos. Los momentos en estad"stica son similares a los momentos en f"sica. para la variable continua

  para la variable discreta o respecto a la media 5e=e de rotación diferente al origen6  para la variable continua

 para la variable discreta Los es Los esta tad" d"st stico icos s ex extr trae aen n in info form rmac ació ión n de un una a mu mues estra tra,, in indi dica cand ndo o la las s cara ca ract cter er"s "sti tica cas s de la po pobl blac ació ión. n. Lo Los s princ princip ipal ales es es esta tad"s d"sti tico cos s so son n los los momentos de primer, segundo  tercer orden correspondiente a la media, varianza,  asimetr"a respectivamente.   Media

:

Es el val valor or es esper perado ado de la var variab iable le mis misma. ma. 'r 'rime imerr mom moment ento o re respe specto cto al origen. >uestra la tendencia c central entral de la distribución.

El valor estimado de la media a partir de la muestra es$

 

Varianza σ ²:

>ide la variabilidad de los datos. Es el segundo momento respecto a la media

El valor estimado de la varianza a partir de la muestra es

En el cual el divisor es n- en lugar de n para asegurar !ue la estad"stica !ue no tenga una tendencia, en promedio, a ser maor o menor !ue el valor verd ve rdad ader ero. o. Las un unid idad ades es de la va varia rianz nza a so son n la me media dia al cu cuad adrad rado, o, la desviación desv iación está estándar ndar s es un una a me medi dida da de la va vari riab abil ilid idad ad !u !ue e tien tiene e las las mismas dimensiones !ue la media  simplemente es la ra"z cuadrada de la varianza, se estima por s. 

Efectos de la función de densidad de probabilidad causados por cambios en la desviación estándar

;oe9 ;o e9ci cie ent nte e de varia ariac ción ión

es un una a medida ida ad adim ime ens nsio iona nall de la

variabilidad su estimado es Coeficiente de asimetría

la distribución de los valores de una distribución alrededor de la media se mide por la asimetr"a. 4e obtiene a part partir ir del tercer mom momento ento alrededor de la media, dividiéndolo por el cubo de la desviación estándar para !ue sea adimensional.

 

  tercer

momento

respecto

a

la

media

?n estimativo del coe9ciente de asimetr"a está dado por$

G&'+c '+c( ( de cu& cu&s s IDF IDF 4.3 G& 4.3.1 De+n De+nición ición de s cu&s cu&s IDF. IDF. Las curvas Intensidad @ %uración @ Arecuenc Arecuencia ia 5I%A6 estas curvas resultan de la unión de los puntos representativos de la intensidad media en intervalos de di dife ferren ente te du dura raci ción ón,,  co corr rres espo pond ndie ient ntes es todo todos s ellos llos a un una a mi mism sma a frecuencia o per"odo de retorno retorno..

4urrge 4u gen n otr otros elem lement ntos os a con ons side iderar, rar, co com mo son la int inten ens sidad idad de pr prec ecip ipit itac ació ión, n,evento. la fr frec ecue uenc ncia iaesodelaimportancia pr prob obab abil ilid idad ad declaro exce cede denc ncia ia de de un determinado 'or 'or ello tener los ;onceptos cada una de esta estas s variables variables,, de modo de tener una visió visión n más clara de las curvas Intensidad%uraciónA Intensidad%uraciónArecuencia. recuencia. Inte Intens nsid idad ad,, se segB gBn n ;h ;ho< o< et al al,, se de de9n 9ne e co como mo la tasa tasa temp tempor oral al de precipitación, o sea, la profundidad por unidad de tiempo 5mm3hr6,  se expresa como$ i=

 P Td

%onde ' es la profundidad de lluvia en mm o pulg,  d es el tiempo de la duración, dada usualmente en hr. 4.3.". C(ns#&ucción de s Cu&s IDF. La construcción de las curvas Intensidad%uraciónArecuencia 5I%A6, segBn diversos autores, plantean distintas formas o métodos para su construcción. P& A%&ici( eis#en d(s $6#(d(s! •

•

El pri primer mero, o, lla llamad mado o de int intens ensida idad d  per per"od "odo o de retor retorno, no, relac relaciona iona estas est as dos var variab iables les par para a cad cada a dur duraci ación ón por sep separa arado, do, med median iante te alguna de las funciones de distribución de probabilidad usadas en hidrolog"a. El otro método relaciona simultáneamente la intensidad, la duración  el per"odo de retorno en una familia de curvas, cua ecuación es$

 

m

  k ∗T   I = ( d +c )n

%onde C, m, n  c son constantes !ue se calculan mediante un análisis de correlación lineal mBltiple,  en tanto !ue I  d corresponden a la intensidad de precipitación  la duración, respectivam respectivamente. ente. C7(8 e# 9 %n#en d(s *(&$s de #&:& c(n s cu&s! •

•

La primera, utiliza un análisis de frecuencia de la lluvia, considerando para ello una función de distribución de probabilidad de valor extremo como la función Gumbel. El segundo método, expresa expresa las curv curvas as I%A como ecuac ecuaciones iones,, con el 9n de evitar la lectura de la intensidad de lluvia de dise*o en una grá9ca.

Den enzel zel,, ded dedu=o u=o par para a alg alguna unas s ciu ciudad dades es de los Est Estados ados ?ni ?nidos dos,, alg alguno unos s coe9cientes para utilizarlos en una ecuación de la forma$  I =

  c e

( Td + f   )) %onde I es la intensidad de lluvia de dise*o,  d la duración, en tanto c, e  f son coe9cientes !ue var"an con el lugar  el per"odo de retorno retorno.. aras  4ánchez, han propuesto otra metodolog"a para el dise*o de las curvas I%A. I%A. %icho procedimiento plantea la siguiente la siguiente ecuación para estimar las intensidades máximas, para distintos per"odos de retorno  duraciones$  Pt , T = K ∗ P10, D∗C d , t ∗C f , T 

%ónde$  Pt , T 

1 Lluvia con per"odo de retorno de  a*os  duración t horas en

5mm6. + 1 ;oe9ciente para obtener la lluvia máxima absoluta en (8 horas hor as en función del valor máximo diario 5 C1 -,-6.  P10, D C d ,t 

 1 Lluvia >áxima diaria con -/ a*os de per"odo de retorno.  1 ;oe9ciente de duración para t horas.

C  f , T 

1 ;oe9ciente de frecuencia para  a*os de per"odo de retorno.

 

%onde la intensidad m máxima áxima de pr precipitación ecipitación !ueda dada por$  Pt ,T   Pt , T ( mm / hr )= d

%ónde$ d 1 %uración en hr. 4e pueden dise*ar las curvas I%A siguiendo estas metodolog"a, en a!uellas ciudades o zonas en !ue sólo exista información pluviométrica, para lo cual se deberán seleccionar los coe9cientes de duración  frecuencia de la estación pluviográ9ca más cercana. Ftra forma o método para determinar las curvas I%A, corresponde al !ue ha planteado émez, émez, el cual relaciona las intensidades de precipitación para distintos per"odos de retorno, con el propósito de gra9car la relación entre las tres variables 5Intensidad %uración @Ar @Arecuencia6, ecuencia6,  cuo es!uema de la curva I%A es el siguiente$

% 1 %uración en horas. I 1 Intensidad de precipitación en mm3hr. , H  ; represent representan an distintos per"odos de retorno en a*os. http$33eias.utalca.cl3%ocs3pdf3'ublicaciones3manuale s3bmoduloI%A.pdf  .pdf  http$33eias.utalca.cl3%ocs3pdf3'ublicaciones3manuales3bmoduloI%A