Distribución Exponencial

EXPONENCIAL

Función de Densidad de Probabilidad

Función de Distribución de Probabilidad

DEFINICIÓN 

Se dice que  x tiene una distribución > 0) λ (λ  exponencial con parámetro si la función de densidad de probabilidad de  x es

λ e − λ  ......x ≥ 0  f  ( x; λ ) =   0 de lo contrario   x

Otra forma de escritura: (1 β )e

−  x β 

β  =1 De modo que

... β >0

λ 

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN:  x

 F ( x ) = P ( X  ≤ x ) =

∫ 

  f  (t )dt 

−∞  x

 −λ t  −λ t    F ( x ) = ∫ λ e dt  = −e  0 0 −λ   x  F ( x ) =1 −e  x

CARACTERISTICAS: 

La Distribución exponencial es un caso especial de la distribución gamma.



La distribución exponencial y gamma juegan un papel importante en teoría de colas y problemas de confiabilidad



Describe el tiempo hasta la primera ocurrencia de un evento

Ejemplo: La cantidad de tiempo, desde ahora, hasta que suceda un temblor o hasta que reciba una llamada telefónica y sea un numero equivocado.

MEDIA  µ  = β  =

1

λ 

VARIANZA σ  = β  = 2

1

2

λ 2

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

σ  = β  =

1

λ 

Dondeλ  es el promedio de eventos en un intervalo de tiempo. Por ejemplo 3 eventos por hora 1/λ (tasa de ocurrencia) es el promedio de tiempo transcurridos entre eventos. Por ejemplo: cada 0.33(1/3) horas ocurre un evento.

APLICACIONES: 

Son las mas importantes aquellas situaciones en donde se aplica el proceso de Poisson



Los tiempos entre llegadas en instalaciones de servicio, y tiempo de falla de partes componentes y sistemas eléctricos



Modela la distribución de la duración de un componente (debido a su propiedad de “falta de memoria o amnesia”)

RELACIÓN CON LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON 

La distribución de Poisson se desarrollo como  µ  = λ  λ  una distribución de un solo parámetro donde puede interpretarse como el número de eventos por unidad de “tiempo” . Considérese ahora la variable aleatoria X descrita por el tiempo que se requiere hasta que ocurra el primer evento, X es un variable que se Distribuye Exponencial λ  con parámetro

Donde: λ  es el número promedio de eventos por unidad de “tiempo”. La media de Poisson 1 es la tasa de ocurrencia de un evento por λ  unidad de “tiempo”. La media Exponencial

EJEMPLO 1 

Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años esta dado por T. La variable aleatoria T se modela bien mediante la distribución exponencial con tiempo medio para la falla β=5. Si se instalan 5 de estos componentes en diferentes sistemas. Cuál es la probabilidad de que al menos dos aun funcionen al final de ocho años?

SOLUCIÓN.

La probabilidad de que un componente dado aun funcione después de ocho años esta dada por:  P (T  > 8)

=

1

∞

5 ∫  8

e

− t 

5

dt  = e

−8

5

= 0.2

EJEMPLO 2 

El número promedio de recepción de solicitudes en un sistema de atención al cliente es de 3 por día.

a)

Cuál es la probabilidad de que el tiempo antes de recibir una solicitud exceda cinco días?

b)

Cuál es la probabilidad de que el tiempo antes de recibir una solicitud sea menor de diez días?

c)

Cuál es la probabilidad de que el tiempo antes de recibir una solicitud sea menor de diez días, si ya han pasado 5 días y no se han recibido solicitudes?

SOLUCIÓN

A.

 f  ( x) = 3 * e

−3 x

 F ( x) = 1 − e −3

 x

 P ( X  > 5) = 1 − P ( X  ≤ 5)  P ( X  > 5) = 1 − F (5) = e SOLUCIÓN

B.

 F ( x ) = 1 − e

3x

−

 P ( X  < 10 ) =  F (10 )  P ( X  < 10 ) = 1 − e

30

−

−3*5

SOLUCIÓN

C.

 F ( x ) = 1 − e −3

x

 F (10) − F (5) <  X  10  P ( )=  X  > 5 1 − F (5)  P ( X  < 10 )=  X  > 5

1− e

 P ( X  < 10 )=  X  > 5

e −15 − e −30

−30

− (1 − e −15 ) e −15

e

−15

= 1 − e −15



La probabilidad de que pasen menos de 5 días mas sin recibir solicitudes, después de 5 días sin recibir solicitudes, es igual a la probabilidad de que pasen menos de 5 días sin recibir solicitudes

 X  ≤ (5 + 5)  P (

) = 1− e  X  > 5

−15

=  P ( X  ≤ 5)

Esto significa que la V.A Exponencial no tiene memoria.  Y la podemos generalizar como:

 X  ≤ (t  + s )  P (

) = 1− e  X  > t 

− sλ 

=  P ( X  ≤ s)

EJEMPLO 2.1 Cuál es la probabilidad de que transcurran menos de 7 días sin recibir solicitudes, si ya llevan 3 días sin recibir solicitudes?  F ( x ) = 1 − e

−3 x

 X  ≤ (4 + 3)  P (

)  X  > 3

Como no tiene memoria entonces:  X  ≤ (4 + 3)  P (

) =  P ( X  ≤ 4)  X  > 3

 P ( X  ≤ 4) = 1 − e −12

BIBLIOGRAFÍA: 

WALPOLE, Ronald /Probabilidad y Estadística para

Ingenieros/6a Edición/ PRENTICE-HALL. HISPANOAMERICANA.S.A/ México,1999/Pág.168-170 

DEVORE,  Jay L./ Probabilidad y Estadística para

Ingeniería y Ciencias/ 7ª Edición/CENGAGE Learning / México,2008/ Pág.157-159 

Enciclopedia Encarta 2001. Microsoft Corporation.