Distribucion Exponencial C
May 29, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Distribucion Exponencial C...
Description
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
INDICE: Introducción…………………………………………………………………………Pág. 3
Definición Distribución exponencial……………… exponencial…………………………………. ………………….……Pág. ……Pág. 4 Análisis de la gráfica de la dist. Exp. …………………… ………………………………………. ………………….Pág. Pág. 5
Función de Distribuión Acumulada………………………… Acumulada………………………………………….Pá ……………….Pág. g. 6
Función generadora de momentos, Esperanza, Varianza……………P Varianza……………Pág. ág. 9
Problemas propuestos………………………………………………………… propuestos…………………………………………………………..... ..... Pág. 10 10 La propiedad de falta de memoria……………………………… memoria………………………………..…………... ..…………... Pág. 12
Trabajo Práctico………………………………………………………………………. Pág. Práctico………………………………………………………………………. Pág. 12
Trabajo Práctico Resuelto……………… Resuelto……………………………………… …………………………………………. …………………..Pág.13 .Pág.13
Bibliografía……………………………………………………………………………… Pág. 16
Introducción La distribución exponencial se encuentra dentro de la familia de distribuciones
gamma (Tipo III) discutido por Karl Pearson en 1895, tres décadas y media después es cuando la distribución exponencial aparece por sí misma en la literatura estadística . Kondo (1931) se refirió a la distribución exponencial mientras discutía la distribución muestral de la desviación estándar, como la distribución de Pearson Tipo X. Se han demostrado aplicaciones de la distribución exponencial en problemas actuariales, de biología y de ingeniería ingeniería por Steffensen (1930), Teissier (1934) y Weibull (1939) entre otros.
Una distribución exponencial exponencial se utiliza a menudo en problemas para representar la
distri dis tribuc bución ión del tiempo tiempo que transc transcurr urree an antes tes de la ocurre ocurrenci ncia a de un suceso suceso,, por ejemp ejemplo, lo, el perio periodo do que una maquin maquina a o un aparat aparato o electr electrón ónico ico funcio funcionar naran an sin estropearse, el periodo requerido para atender a un cliente en un servicio y el periodo durante las llegadas de dos clientes sucesivos a un servicio. También se la utiliza habitualmente en cálculos de fiabilidad de productos, es decir, el tiempo que dura un producto.
Distribución exponencial Definición: Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribución exponencial con parámetro β ˃ 0 y se denota X exp ( b ) si su fdp está dada por:
{
− βx
f X ( x )= βe , x > 0 0 , pa paraotr raotro o caso caso
Observaciones: 1 ,con n λ>0 1) En ocasiones ocasiones se param parametriza etriza en términos del parámetro parámetro de escal escala a β = ,co λ donde su f.d.p será:
f X X ( x )=
1 e − λ x λ
{
− x
1 λ e , x > 0 λ 0 , pa paraotr raotro o caso caso
f X ( x )=
2) Relación con la distribución Gamma: La distribución exponencial es un caso particular de la distribución gamma. Si X G ( α , β ) entonces:
{
1
− x
f X ( x x )= β α Γ ( α ) x
α − 1
e β , x > 0
0 , x< 0
Claramente luego, si α= 1 obtendremos la distribucion exponencial, es decir, la distribucion gamma no es mas que la generalizacion generalizacion de la distribucion exponencial, exponencial, que predice el tiempo de espera hasta la ocurrencia del proximo evento mientras que la distribucion exponencial predice el tiempo de espera hasta la ocurrencia del proximo evento.
{
1
− x 1−1
β f X ( x )= β 1 Γ ( 1) x e , x > 0 0 , x< 0
{
− x
1 β f X ( xx )= β e , x > 0 0 , x< 0
Gráfica de la función de probabilidad: Para β= 1
Para β= ½
Para β = 2
De las gráficas podemos concluir que: -Cuando β aumenta la probabilidad en el intervalo es menor. -Cuando β disminuye la probabilidad en el intervalo es mayor.
Función de distribución acumulada
{
− βx
F X ( x )= 1 −e , x > 0 0 , paraotr paraotro o caso caso
Proposición Si X exp ( β )
entonces
Demostración
Si X exp ( β ) ento entonces nces f X ( x ) = βe , x > 0 0 , paraotr paraotro o caso caso
{
− βx
Luego, calculo la F.d.a para X
Para x ≤ 0 x
F X ( xx ) =
∫ f ( ( t ) dt
−∞ x
F X ( x x ) =
∫ 0 dt =0
x
∫ βe−
βt
−∞
Para x
>0
− ∫ eu du 0
∫ f ( ( t ) dt −
F X ( x x ) =
−du = βt dt t =0 ,u =0 ; t = x , u =− βx
∞
x
∫ −
u =− βt
− βx
x
F X X ( ( xx ) =
dt
0
x
0 dt +
∞
∫ −
βe− βt dt
−e u ¿− βx
∞
0
x
∫
F X ( x x ) = βe
− βt
− βx
dt
e
+ e 0=1 −e− βx
0
− βx
x ) =1−e F X ( x
Por lo tanto su función de distribución acumulada para X exp ( β )está dada por:
{
− βx
F X ( x )= 1 −e , x > 0 0 , pa paraotr raotro o caso caso
gráfica para distintos valores de β. Analicemos su gráfica β. Para β= ½
Para β=1
Para β=2
Podemos observar que a medida que crece el valor de β mayor será la probabilidad acumulada.
Ejemplo: Supong Supo ngam amos os que que el ti tiem empo po,, en segu segund ndos os,, de repu repues esta ta en ci cier erta ta term termin inal al de computadora en linea (es decir el tiempo transcurrido entre el fin de la consulta del usuario y el principio de la respuesta del sistema a esa consulta) se puede considerar como com o una variab variable le aleato aleatoria ria con distri distribuc bucion ion expone exponenci ncial al con parame parametro tro β = 0,2. 0,2. Calcular: a) La probabil probabilidad idad de que el el tiempo tiempo de respuesta respuesta sea sea a lo sumo 10 segund segundos. os. b) La probabilidad de que el tiempo de respuesta respuesta sea entre 5 y 10 segundos. segundos. Solucion: Sea X la V.A. tal que X exp ( 0,2) a) Se pi pide de cal calcu cula larr P ( X ≤ 10 )
Por lo tanto
P ( X ≤ 10 ) = F ( 10 ) −0,2.10
P ( X ≤ 10 ) =1− e
P ( X ≤ 10 ) =1− 0,135
P ( X X ≤ 10 ) =0,865 b) P ( 5 ≤ X ≤ 10 )= F (10 )− F ( 5 )
P ( 5 ≤ X ≤ 10 )=( 1 −e
−0,2.10
) −( 1−e 0,2.5 )
P ( 5 ≤ X ≤ 10 )=0,233
Teorema Funcion generadora de momentos Sea β > 0 Si X exp ( β ) entonces M x (t ) =
( β −t )
Demostración: Sea β > 0 Por hipótesis X exp ( β )
{
− βx
βe , x > 0 Luego f X ( x )= 0 , pa paraotr raotro o ca caso so Por definición de f.g.m ∞
∫
tx
M x (t ) = e f X ( x ) dx 0
∞
M x (t ) = e β e− dx
∫ 0
tx
β
βx
u = −t − λ
∞
M x (t ) = β
∫ e− ( − ) dx x β
t
0 b
M x (t ) = lim β b →∞
∫ e− ( − ) dx } I x β t
0
b
− 1 M x (t ) = ∫ eu du β − t 0 − 1 u b e ¿ M x (t ) = β − t 0 − 1 − x ( β−t ) b e M x (t ) = ¿ β − t 0 − 1 −b ( ββ−t ) 0 M x (t ) = ( e −e ) β − t I= I=
−1 0 − b β(β −t ) ) ( e − e β −t −1
( 1− e−b ( ββ−t ))
β −t M x (t ) = lim β b →∞
β ( 1− e−b ( ββ−t )) β − t
Teniendo β −t > 0 y t 0 , β > t
1 1 )= 2 Si X exp ( β ) entonces EX = y V (( X )= β β Demostracion: a) El valor esperado de X se obtiene como sigue:
Sea β > 0 , Sea β > t Por hipótesis X exp ( β ) entonces M x ( t ) =
β ( β −t )
Por otro lado,
M X ( t ) = β ( β − t )− 1 '
M ' X ( t ) = − β ( β β −t )− 2(− 1) β
'
M X ( t )=
( β −t )2
Luego
Cuando Cua ndo t = 0
β
'
M X ( 0 )=
( β )2
1 E ( X )= )= β b) La varianza se obtiene como sigue: b) Sea β > 0 , Sea β > t Por hipótesis X exp ( β ) entonces M x ( t ) = '
Luego, su derivada es M X ( t )=
M X ( t ) = β ( β − t )− 1 '
−
'
M ' X ( t ) = −2 β ( β −t ) 3 (−1 ) 2 β
M ´ ´ ( t ) = ( β − t )3 x
M ´ ´ x ( 0 )=
2 β
M ´ ´ x (0 )=
2
β
β
3
2
= E ( X ¿¿ 2) ¿
Por propiedad de la varianza
V ( ( X X )= E ( X ¿¿ 2 )− )−¿¿ ¿ V ( X )= )=
2 2
( β )
−
1
( β )2
β
( β −t )2
β ( β −t )
V ( X )= )=
1
( β )2
Ejemplos: Resolver los siguientes problemas: 1) Suponga que el tiempo de respuesta X en cierta terminal de computadora en línea (el tiempo transcurrido entre el fin de la consulta del usuario y el principio de la respuesta del sistema a esa consulta) tiene una distribución exponencial con tiempo esperado igual a 5 segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta se algo sumo 10 segundos? X: Tiempo de respuesta de una computadora. Para obtener el valor del parámetro β utilizaremos la esperanza
E ( x ) =5 segundos 1 β = E ( x )
β = 1 =0,2 5 P ( X X ≤ 10 ) =1− F X ( 10 ) − βx
P ( X ≤ 10 ) =1− e
−0,2.10
P ( X X ≤ 10 ) =1− e
P ( X X ≤ 10 ) =0,8646 Podemos tambien resolver el problema con la f.d.p 10
∫
− βx
P ( X ≤ 10 ) = β e
dx
0 10
∫
−0,2 x
P ( X X ≤ 10 )= 0,2 e
dx
0
P ( X X ≤ 10 ) =0,8646
2)La duracion media de vida de un smartphone es de 4 años. a)¿Cuál es la probabilidad de que me compre un smartphone nuevo y de que se estrope en menos de 5 años?.
X = Duracion Duracionde de vidadel vida del smartphone smartphone E ( X X ) =4 años
β =
1 4 − βx
P ( X X ≤ 5 )=1−e
−1
P ( X ≤ 5 )=1−e
− βx
P ( X X ≤ 5 )=1−e −5 / 4
P ( X X ≤ 5 )=1−e
P ( X ≤ 5 )=1−0,2865 =0,7135 b)¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que me compre un smartphone smartphone nuevo y me dure mas de 5 años?. − βx
P ( X < 5 ) =1−(1 −e
)
− 5 /4
P ( X < 5 ) =1−(1 −e
)
P ( X X < 5 ) =1−0,7135 P ( X X ≥ 5 )=0,2865
La propiedad de falta de memoria y su efecto En la distribución exponencial Se dice que la variable aleatoria exponencial no tiene memoria. ¿Qué significa esto? Esto significa que su probabilidad condicional cumple con la siguiente condición o propiedad:
X ∼ exp ( β β ) ⇒ P ( X X ≥ t 0 + t | X > >t 0 0 )= P ( X X > t ) , ∀ t 0 0 , t > 0 Esto repres resen enta ta que que,, si por eje ejempl mplo, o, la pro probab babil ilida idad d de esp espera erarr otr otros os 10 min minuto utoss Esto rep adicionales hasta que se produzca una llamada telefónica a la central, dado que ya se esperaron 30 minutos y en este periodo de tiempo no se produjo ninguna llamada, no es dif difere erente nte a la pro probab babili ilidad dad de ten tener er que esperar esperar má máss de 10 min minuto utoss de desde sde el comienzo del intervalo de tiempo considerado. Lo anteriormente comentado se puede establecer de forma similar a la propiedad y queda:
P ( X X ˃ 40| X > 30 ) = P ¿ No si sign gnif ific ica a que que los los ev even ento toss P ( X ˃ 40 ) y P ( X > 30 ) sean independie independientes ntes.. Si fueran fueran independientes independi entes debería cumplir que:
P ( x x ˃ 40| x > 30 )= P ( x > 40) La distribución exponencial es la única distribución de probabilidad que cumple con esta propiedad de falta de memoria.
Considere el siguiente ejemplo: Si lleva 10 minutos sin recibir una llamada: ¿Cuál es la probabilidad de que reciba una nueva llamada en menos de 15 minutos? La probabilidad anterior se denota de la siguiente manera:
P ( X < 25 min / X > 10 min )= )=¿¿ La pro probab babil ilida idad d ant anteri erior or se pue puede de cal calcul cular ar emp emplea leando ndo la ecu ecuaci ación ón de pér pérdid dida a de memoria y queda:
P ( X X < 15 + 10| x > 10 ) = P ( x < 15 ) Luego, − 3. ( 0,15 )
−0,75
=1− e =0,528 P ( X X < 15 ) =1−e La probabilidad de recibir una llamada en menos de 15 minutos es de 0,528.
Trabajo Práctico 1) En una tienda tienda departam departamenta entall el tiempo tiempo promedio promedio de espera espera para ser atendid atendido o en cajas al pagar la mercancía es de 7 minutos. Determine la probabilidad de que: a) Un clie cliente nte espe espere re menos menos de de 4 minuto minutos. s. b) Un cliente espere espere más de 9 minutos. minutos.
2) El periodo periodo de vida vida en años de un interr interrupt uptor or eléctri eléctrico co tiene tiene una distri distribuc bución ión exponenciall con un promedio de falla µ =2 años. exponencia a) ¿Cuál es es la probabilid probabilidad ad de que al menos menos 8 de 10 de tales tales interru interruptore ptores, s, que funcionan independientemente, independientemente, fallen después del 3er año?
3) El tiempo de vida de una lámpara especial sigue una distribución exponencial con media 100 hs. a) ¿Cuál es es la probabil probabilidad idad de que que una lámpa lámpara ra dure por por lo menos menos 30 horas? horas?
b) Si una lámpara ya lleva 50 horas de uso, ¿cuál ¿cuál es la probabilidad de que dure más de 80 horas? c) Se seleccio seleccionan nan cinco cinco lámparas, lámparas, ¿Cuál ¿Cuál es el número número esperado esperado de lámpa lámparas ras que duran por lo menos 30 hs (considerando las 5)?
4) El tiempo tiempo de revisión revisión del motor de un avión avión sigue una distribuc distribución ión exponen exponencial cial con media 2222 minutos. con ntr tra ar la pr prob obab abiili lida dad d de qu quee el ti tieempo de re rev visi sión ón se sea a menor a) Enco a 10 minutos. b) El costo de revisión es de 200 unidades monetarias fijas al que se le suma 10 unidades monetarias por el tiempo que dure la revisión. Encontrar la media y la varianza del costo.
Trabajo Práctico Resuelto 1) En una tenda deparamenal el tempo promedio de espera para ser aendido a endido en cajas al pagar la mercancía es de 7 minuos. Deermine la probabilidad de que:
a) Un clie cliente nte espe espere re menos menos de 4 minu minutos. tos.
1 E ( X )= )= β En este caso
β =
1 7 = β
1 7
P ( x < 4 )=1−e
−1 .4 7
=0,4352
b) Un cliente espere espere más de 9 minutos. minutos.
1 E [ X ]= En este caso β
1 7= β
β =
1 7
P ( xx > 9 )= e
−1 .9 7
=0,2764
2) El perio periodo do de vida vida en años años de un interr interrupt uptor or eléctr eléctrico ico tiene tiene una distribu distribució ción n exponencial exponenc ial con un promedio de falla µ =2 años. a) ¿Cuál es es la probabilida probabilidad d de que al menos menos 8 de 10 de tales tales interrupto interruptores, res, que funcionan independientemente, independientemente, fallen después del 3er año?
1 1 E ( X X ) = , enesteca enestecasoβ soβ = β 2
Entonces
( x < 3 )= e− β x −1 . ( 3)
( x < 3 )= e 2
( x > 3 )= 0,2231 3) El tiempo de vida de una lámpara especial sigue una distribución exponen exponencial cial con media 100 hs. ¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara dure por lo menos 30 horas? X= tiempo de vida de una lámpara especial.
1 )= Cómo la esperanza Sabemos que la esperanza de una variable exponencial es E ( X )= β 1 es 100, entonces β = 100 −30
−30 100 P ( x > 30 )=1− P ( x ≤ 30 ) ¿ 1−(1 −e ¿ ¿ 100 )= e =0,7408 ¿ 4) El tiempo de revisión del motor de un avión sigue una distribución exponencial con media 2222 minutos. a) Encontrar la probabilidad de que el tiempo de revisión sea menor a 10 minutos. b) El costo de revisión es de 200 unidades monetarias fijas al que se le suma 10 unidades monetarias por el tiempo que dure la revisión. Encontrar la media y la varianza del costo. a) X: el tiempo de revisión del motor de un avión −10
P ( x < 10 )= F ( 10 )= 1−e
22
0,36 6 52 =0,3
b) C= Costo de reparación X= Tiempo de reparación
C =200 + 10 x E ( C )= E ( 200 + 10 X ) Usando propiedades de la esperanza:
E ( X )= )= 200 + 10 E ( X ) Sabemos que E ( X )= )= 22 entonces:
E ( C )=200 + 10 ( 22 )= 420
Rta: La esperanza del costo es de 420 unidades monetarias. V ( C )= )= V ( 200 + 10 x ) Usando las propiedades de la varianza:
V ( C )=¿ )= ¿ 102 .V ( X ) V ( C ) =100.222= 4840
Bibliografía: -Distribuciones especiales- Walpole. Pag (193-200).
-Distribuciones especiales- De Groot.Spanish. Pag (277,).
- Distribuciones especiales- Meyer. Pag (249-250).
Páginas web:
- https://probafacil.com/distribucion-expone https://probafacil.com/distribucion-exponencial-ejercicios-re ncial-ejercicios-resueltos/ sueltos/ 01/05/22 01/05/22
- https://www.youtube.com/watch?v=FbQZ https://www.youtube.com/watch?v=FbQZwoU6YzM&t= woU6YzM&t=698s 698s 01/05/22 01/05/22
-https://www.uv.e https://www.uv.es/ceaces/base/model s/ceaces/base/modelos%20de%20 os%20de%20probabilidad/expone probabilidad/exponencial.htm ncial.htm
03/05/22 https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_ https://es.wikipedia.org/wiki/D istribuci%C3%B3n_exponencia exponencial#Funci%C3%B3n l#Funci%C3%B3n- _de_Distribuci%C3%B3n _de_Distribuci% C3%B3n 30/04/22 30/04/22
17
View more...
Comments
