Distribución del numero de siniestros

Cap´ıtulo 2

Distribuci´ on o n del n´ umero umero y monto de Siniestros 2.1. 2.1.

Modelo Modelo Ind Indiv ivid idua uall y Modelo Modelo Colec Colecti tiv vo

En esta cap´ cap´ıtulo presentamos presentamos la perspectiv perspectivaa individual individual y la colectiv colectivaa para modelar modelar el riesgo correspondiente al acumulado de reclamaciones que afronta una compa˜n´ıa aseguradora. asegura dora. Estudiamos Estudi amos algunas propiedades y relaciones entre estas dos perspectivas. Es importante mencionar que en el resto del curso adoptaremos el modelo colectivo como modelo fundamental.

2.1.1. 2.1.1.

Modelo Modelo Indivi Individual dual

El modelo individual describe el riesgo total al que est´a expuesta una aseguradora debido a las reclamaciones que pueden realizar los asegurados. Las caracter´ caracter´ısticas de dicho modelo son: 1. Existe Existen n  n  p´olizas olizas totales, 2. Cada p´oliza oliza puede hacer a lo m´as as una reclamaci´ reclamaci´on on en el periodo de tiempo de estudio y 3. El monto monto de la reclamaci´ reclamaci´on on de cada p´oliza oliza es independiente de si se realiza la reclamaci´on. on. tambi´en en llamado agregado de reclamaDefinici´ on on 2.1.1. El monto de reclamaciones agregadas, o tambi´ ciones, en el modelo individual, es la variable aleatoria n

 = S  =



 

Dj C j .

(2.1)

j =1

donde n donde  n  representa el n´umero umero de p´olizas olizas individuales individuales de seguros seguros v´ alidas alidas por un a˜ no no que tenemos en el portafolio, C  portafolio,  C j >  0 representa el monto de la reclamaci´on efectuada por la p´oliza j oliza  j y Dj =



1 si hay hay recl reclam amac aci´ i´ on on en la p´oliza oliza j 0 si no hay hay recl reclama amaci´ ci´ on on en la p´oliza oliza j

es una variable Bernoulli con par´ametro q  ametro  q j  que representa la probabilidad de que la  j ´esim es imaa p´oliza oliza reclame una vez y pj = 1 q j   representa la probabilidad de que la j ´esim es imaa p´oliza oliza no reclame. Adem´ as, consideramos que la colecci´on as, on de vectores aleatorios (D ( D1 , C 1 ), (D2 , C 2 ),..., (Dn , C n) son independientes indep endientes entre s´ı as´ as´ı como las variables  D j y  C j .

−

−

−

La variable S  variable  S  es  es el monto que afronta una compa˜n´ıa aseguradora aseg uradora por concepto de reclamaciones recl amaciones durante el periodo completo del seguro. El modelo tiene este nombre pues lleva el registro de las probabilidades de reclamaci´on on y posible monto de reclamaci´on on de todos y cada uno de los asegurados de manera individual. Desde el punto de vista matem´atico y del negocio del seguro, nuestro objetivo es conocer las caracter´ caracter´ısticas de la variable S  variable S ,, a quien llamaremos riesgo. 7

´ ´ CAP ´ ITULO ITULO 2. DISTRIB DISTRIBUCI  UCI ON DEL N UMERO Y MONTO DE SINIESTROS 

8

Observaci´ on on 2.1.2.

1. Como p Como  p j  + q j  = 1 entonces cada p´oliza oliza puede realizar a lo m´as as una reclamaci´ reclamaci´on. on. 2. La verdadera verdadera reclamaci´ reclamaci´ on on de la p´oliza j oliza  j  est´a dada por el producto Dj C j =



C j 0

si Dj = 1 si Dj = 0

3. Como los vectores (D ( D1 , C 1 ), (D2 , C 2 ),..., (Dn , C n ) son so n independ in dependientes ientes entre s´ı, ı, y  S  es  S  es la suma de los productos de esos vectores, entonces la funci´on de distribuci´on on de S  de  S  puede  puede ser calculada mediante convoluciones; sin embargo, este c´alculo alculo puede ser complicado complicado.. A continuaci´on on presentaremos presentaremos algunas caracter´ caracter´ısticas que tiene el modelo individual. otesis del modelo individual y sean  F j (x)  la funci´  on de  Proposici´ on on 2.1.3.   Consideremos las hip´  distribuci´  on del producto Dj C j , Gj (x)  la funci´  on de distribuci´  on del monto de la reclamaci´  on  C j y  M (t)  la funci´  on generadora de momentos, entonces: 1. F j (x) =  p j 1[0, )(x) + q j Gj (x). [0,∞ )(x 2. M Dj C j (t) = 1 + q j (M C  Cj  (t)

− 1). 1).

n

  

3. M S  S (t) =

[1 + q j (M C  Cj  (t)

j =1

− 1)]. 1)].

n

4. E (S ) =

q j E (C j ).

j =1

n

[q j V ar( ar(C j ) + q j pj E 2 (C j )]. )].

5. V ar( ar(S ) =

j =1

Demostraci´ on: on:

1. Por probabilidad probabilidad total total y por independencia independencia entre C  entre C j y  D j  tenemos que F j (x) = = = = =

P ( P (Dj C j x) P ( P (Dj C j x|Dj = 0)P  0) P ((Dj  = 0) + P ( P (Dj C j P (0 P (0 x|Dj  = 0) pj  + P ( P (C j x|Dj  = 1)q  1)q j P (0 P (0 x) pj  + P ( P (C j x)q j pj 1(0, (0,∞) (x) + q j Gj (x).

≤ ≤

 ≤  ≤

 ≤

 ≤

 ≤ x|Dj  = 1)P  1)P ((Dj = 1)

2. An´ alogamente al inciso anterior tenemos que alogamente M Dj C j (t) = = = = = = =

E (etDj C j ) E (etDj C j |Dj = 0)P  0)P ((Dj  = 0) + E (etDj C j |Dj = 1)P  1) P ((Dj  = 1) t0C j tC j E (e 0) P ((Dj  = 0) + E (e |Dj = 1)P  1)P ((Dj = 1) |Dj = 0)P  E (1 (1|Dj = 0)P  0) P ((Dj  = 0) + E (etC j |Dj = 1)P  1)P ((Dj = 1) P ( P (Dj  = 0) + E (etC j )P ( P (Dj = 1) pj  + q j M C  Cj  (t) 1 + q j (M C  1). 1). C j (t)

−

3. Se sigue directamen directamente te por la independencia independencia de los vectores vectores (D ( Dj , C j ). 4. Por independencia independencia tenemos tenemos que E  que  E ((S ) =

n

n

n







j =1

E (Dj C j ) =

j =1

E (Dj )E (C j ) =

j =1

q j E (C j ).

9

2.1. MODELO INDIVIDUAL Y MODELO COLECTIVO 

5. Por un lado tenemos que E (Dj C j ) = q j E (C j ) y que E (Dj2 C j2 ) = E (Dj2 )E (C j2 ) = q j E (C j2 ), entonces V ar(Dj C j ) = E (Dj2 C j2 ) E 2 (Dj C j ) = q j E (C j2 ) q j2 E 2 (C j ) . = q j [V ar(C j ) + E 2 (C j )] q j2 E 2 (C j ) = q j V ar(C j ) + q j pj E 2 (C j )

− −

Por lo tanto V ar(S ) =

n

n





V ar(Dj C j ) =

j=1

−

[q j V ar(C j ) + q j pj E 2 (C j )]

j=1



Ejemplo 2.1.4.   Consideremos una cartera de seguros de vida temporal a un a˜no compuesta por

p´olizas con dos sumas aseguradas: $100,000 y $200,000. Supongamos que las 50 personas con la primera suma asegurada tienen 35 a˜nos y que las 70 personas con la segunda suma asegurada tienen 45 a˜ nos. Si las probabilidades de fallecimiento de una persona de 35 a˜nos y una persona de 45a˜nos son 0.003 y 0.01. Determina la media y la varianza del riesgo de la cartera. Soluci´ on:  Sea S 1  el riesgo de todas las p´olizas con suma asegurada de $100,000. Entonces todas las

variables C j  del modelo individual son determin´ısticas e iguales a $100,000; adem´as q j  = 0.003 para toda j y n = 50. Luego, por la proposici´on 2.1.3 tenemos que la esperanza es 50

E [S 1 ] =



(0.003)E (100000)

j=1

= 50(0.003)(100000) = 15000 y que la varianza es 50

V ar[S 1 ] =

 

[(0.003)V ar(100000) + (0.003)(0.997)E 2 (100000)]

j=1 50

=

[(0.003)(0) + (0.003)(0.997)(100000)2 ]

j=1

= 50(0.003)(0.997)(100000)2 = 1495, 500, 000. An´ alogamente podemos definir S 2  como el riesgo de todas las p´olizas con suma asegurada de $200,000 y los par´ametros ser´ıan C j  = 200000, n  = 70 y q j  = 0.01. Por lo tanto la esperanza es 70

E [S 2 ] =



(0.01)E (200000)

j=1

= 70(0.01)(200000) = 140, 000 y la varianza es 70

V ar[S 2 ] =

 

[(0.01)V ar(200000) + (0.01)(0.99)E 2 (200000)]

j=1 70

=

[(0.01)(0) + (0.01)(0.99)(200000)2 ]

j=1

= 70(0.01)(0.99)(200000)2 = 2.772 1010 .

×

´ ´ CAP ´ ITULO 2. DISTRIBUCI ON DEL N UMERO Y MONTO DE SINIESTROS 

10

Finalmente, como los riesgos S 1 y S 2  son independientes entonces el riesgo total S   de la cartera tiene como esperanza el valor  E [S ] = E [S 1 ] + E [S 2 ] = 155, 000 y como varianza el valor  V ar(S ) = V ar(S 1 ) + V ar(S 2 ) = 2.92155 1010 . 

×

2.1.2.

Modelo Colectivo

Al igual que el modelo individual, el modelo colectivo tambi´ en describe el riesgo total al que est´ a expuesta una aseguradora. Lo diferente son los supuestos a considerar: 1. El n´ umero de reclamaciones que tiene la cartera en el periodo de estudio es una variable aleatoria. 2. Los montos de las reclamaciones son variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas. 3. El monto de las reclamaciones y el n´ umero de reclamaciones son variables independientes. Definici´ on 2.1.5.  El monto agregado o monto acumulado de todas las reclamaciones efectuadas en

un periodo de tiempo [0, T ] es la variable aleatoria S , llamada riesgo del modelo colectivo y definida por N 

S  =

  

Y j

N > 0

j=1

0

N  = 0

donde N  es la variable aleatoria que representa el n´umero de reclamaciones ocurridas en ese intervalo y Y i  representa el monto de la  i ´esima reclamaci´on. Adem´as consideraremos que las reclamaciones Y i  son identicamente distribuidas e independientes entre s´ı e independientes de  N .

−

Observaci´ on 2.1.6.

1. Cada monto reclamado Y i  es una variable aleatoria positiva lo que implica que P (Y 

≤ 0) = 0.

2. El n´ umero de sumandos N   es aleatorio. 3. S  es una variable aleatoria mixta, es decir, toma valores discretos y continuos pues toma el valor 0 con probabilidad P (S   = 0) = P (N  = 0) > 0 y puede adem´as tomar cualquier valor en el intervalo (0, ).

∞

Nuevamente el problema central es encontrar la distribuci´on de probabilidad de S , la cual naturalmente depende de la distribuci´on de Y  y de N . Un primer resultado general al respecto es el siguiente. on de distribuProposici´ on 2.1.7.  Consideremos los supuestos del modelo colectivo y sea  G la funci´  ci´  on de las reclamaciones  Y . Entonces la funci´  on de distribuci´  on del riesgo S  en el modelo colectivo es  ∞

F (x) =



G∗n (x)P (N  = n)

n=0

donde  G ∗n (x) representa la  n ´esima convoluci´  on de las variables  Y .

−

11

2.1. MODELO INDIVIDUAL Y MODELO COLECTIVO 

Demostraci´ on:  Por probabilidad total tenemos que

F (x) = P (S  ∞

=

   

n=0

 ≤ x) P (S  ≤ x|N  = n)P (N  = n)

∞

=

P (Y 1 +  · · ·  + Y n

 ≤ x|N  = n)P (N  = n)

n=0 ∞

=

P (Y 1 +  · · ·  + Y n

 ≤ x)P (N  = n)

n=0 ∞

=

G∗n (x)P (N  = n).

n=0



El hecho de que las convoluciones de una variable sean dif´ıciles de calcular har´a que en muchas ocasiones el resultado anterior no sea pr´actico, es por esto que podemos recurrir a calcular las caracter´ısticas del riesgo  S . Proposici´ on 2.1.8.  El riesgo  S  del modelo colectivo cumple las siguientes propiedades:

1. E (S ) = E (N )E (Y ). 2. E (S 2 ) =  E (N )E (Y 2 ) + E (N (N 

 − 1))E 2(Y ).

3. V ar(S ) =  V ar(N )E 2 (Y ) + V ar(Y )E (N ). 4. M S (t) =  M N (ln M Y  (t)).

Demostraci´ on:

1. Si condicionamos con respecto al valor de N   y utilizamos la independencia obtenemos: E (S ) = E [E [S |N ]] ∞

=

   

E [S |N  = n]P (N  = n)

n=0

=

E 

n=0

n

E 

n=0

Y j |N  = n

j=1

∞

=

Y j |N  = n

j=1

∞

=

    N 

∞

nE (Y )P (N  = n)

n=0

= E [Y ]

∞



nP (N  = n)

n=0

= E (N )E (Y ). 2. Condicionando de nuevo los valores de n  tenemos que:

   

P (N  = n)

P (N  = n)

12

´ ´ CAP ´ ITULO 2. DISTRIBUCI ON DEL N UMERO Y MONTO DE SINIESTROS 

E (S 2 ) = E [E [S 2 |N ]] ∞

=

   

E [S 2 |N  = n]P (N  = n)

n=0

                                  −    N 

∞

=

=

=

E  (

n=0

j=1

∞

n

E  (

n=0

j=1

∞

n

j=1

Y j Y k P (N  = n)

 j, k = 1  j =  k

n

2

E (Y j Y k ) P (N  = n)

 j, k = 1  j =  k

n

n

E (Y 2 ) + 2

n=0

  

n

j=1

∞

  

+2

E (Y j2 ) +

n=0

P (N  = n)

n

Y j2

E 

∞

=

P (N  = n)

n

n=0

=

Y j )2 |N  = n

j=1

∞

=

P (N  = n)

Y j )2

E  (

n=0

Y j )2 |N  = n

j=1

E (Y j )E (Y k ) P (N  = n)

 j, k = 1  j =  k

∞

=

nE (Y 2 ) + n(n

1)E 2 (Y ) P (N  = n)

n=0 ∞

=

∞

2

nE (Y  )P (N  = n) +

n=0

(n(n

2

2

= E (Y  )



n=0

∞

nP (N  = n) + E  (Y )

n=0

  

= E (N )E (Y 2 ) + E (N (N 

− 1))E 2(Y )P (N  = n) ∞



n(n

n=0

− 1)P (N  = n)

 − 1))E 2(Y ).

3. Por los resultados anteriores tenemos que

V ar(S ) = = = = =

E (S 2 ) E 2 (S ) E (N )E (Y 2 ) + E (N (N  1))E 2 (Y ) E 2 (N )E 2 (Y ) E (N )E (Y 2 ) + E (N 2 )E 2 (Y ) E (N )E 2 (Y ) E 2 (N )E 2 (Y ) E (N )[E (Y 2 ) E 2 (Y )] + [E (N 2 ) E 2 (N )]E 2 (Y ) E (N )V ar(Y ) + V ar(N )E 2 (Y ).

−

 −

−

−

−

−

−

´ ´ ´ 2.2. EL PROBLEMA DE GRADUACI ON. ALGUNOS M ETODOS DE APROXIMACI ON 

13

4. De manera an´aloga tenemos que ∞

      

M S (t) =

E (et(Y 1 +···+Y N ) |N  = n)P (N  = n)

n=0 ∞

=

E (et(Y 1 +···+Y n ) |N  = n)P (N  = n)

n=0 ∞

=

E (et(Y 1 +···+Y n ) )P (N  = n)

n=0 ∞

=

E (etY 1 · · · etY n )P (N  = n)

n=0 ∞

=

E (etY 1 ) · · · E (etY n )P (N  = n)

n=0 ∞

=

M Y  (t) · · · M Y  (t)P (N  = n)

n=0 ∞

=

(M Y  (t))n P (N  = n)

n=0

= E ((M Y  (t))N ) = E (eN  ln(M Y  (t)) ) = M N (ln(M Y  (t))). 

on est´andar del monto total de las reclamaciones Ejemplo 2.1.9.  Determina la media y la desviaci´ si se sabe que el monto de cada reclamaci´on en promedio es $1000 con una desviaci´on de $800 y el n´umero promedio de reclamaciones es de 150 con una desviaci´on de 35. on 2.1.8 tenemos que Soluci´ on:  Por la proposici´ E [S ] = E [N ]E [Y ] = (150)($1000) = $150, 000. y V ar[S ] = E [N ]V ar[Y ] + V ar(N )E 2 [Y ] = (150)(800)2 + (35)2 (1000)2 = 1, 321, 000, 000. Por lo tanto  σ S  =

2.2.

 

V ar(S ) = $36,345.56.



El Problema de Graduaci´ on. Algunos M´ etodos de Aproximaci´ on

En esta secci´on desarrollaremos dos m´ etodos de aproximaci´ on para calcular la probabilidad de que el riesgo  S  sea mayor que alg´un valor. Estos m´etodos de aproximaci´on son: Normal y Gamma Trasladada.

2.2.1.

Aproximaci´ on Normal

Cuando n   es grande, el teorema del l´ımite central establece que la distribuci´ o n de S   puede aproximarse mediante la distribuci´on normal, es decir, P (S 

 ≤ x) =  P 



S 

− E (S ) ≤ x − E (S )

 

V ar(S )

 

V ar(S )

  ≈

Φ

x

− E (S )

 

V ar(S )



´ ´ CAP ´ ITULO 2. DISTRIBUCI ON DEL N UMERO Y MONTO DE SINIESTROS 

14

Esta aproximaci´on puede ser adecuada para ciertos riesgos pero tiene la desventaja de que asigna una probabilidad positiva al intervalo ( , 0), lo cual no es consistente con el hecho de que  S  0. Sin embargo, dado que la distribuci´on N (µ, σ 2 ) se concentra principalmente en el intervalo ( µ 4σ, µ + 4σ), cuando E (S ) y V ar(S ) son tales que E (S ) 4 V ar(S ) >   0, la probabilidad asignada a la parte negativa del eje es realmente peque˜na. Otra desventaja que tenemos al utilizar la aproximaci´on normal es que la funci´on de densidad normal decae muy r´apidamente y existen riesgos cuyas funciones de densidad no cumplen con tal caracter´ıstica.

−∞

−

 ≥ −

 

ongase que 1,000 personas adquieren una p´oliza de vida individual con coberEjemplo 2.2.1.   Sup´ tura de un a˜ no. Se sabe que la probabilidad de morir dentro de un a˜no es 0.001 para cada persona y el pago por cada muerte es 100,000. Determine la probabilidad de que el pago de las reclamaciones en el pr´oximo a˜ no sea al menos 400,000. a determinada por el n´umero de muertes en el a˜no. DefinaSoluci´ on:  Notemos que la variable S  est´ mos X i  como la variable Bernoulli que toma valor uno si la  i ´esima persona muere y cero si sobrevive. Luego, podemos calcular dicha probabilidad en t´erminos de la variable Y  = X 1 + · · · + X 1000  la cual se distribuye binomial con par´ametros (1000,0.001) pues cada  X i Bernoulli(0.001). Por lo tanto P (S  400000) = P (Y  4) = 1 P (Y  = 3) P (Y  = 2) P (Y  = 1) P (Y  = 0) =0.01893.

−

 ≥

≥

−

−

−

 ∼

−

Otra forma de realizar el c´alculo es recordando que cuando  n  es grande y  p  es peque˜no, la distribuci´ on binomial se puede aproximar a una distribuci´on Poisson de par´ametro  λ  = np. Aplicando lo anterior a este ejemplo tenemos que  λ  = (1000)(0.001) = 1 y  P (S  400000) = 1 e−1 ( 1 + 1/2 + 1/6) =0.01899.

 ≥

−

Notemos tambi´en que  S  satisface las condiciones del modelo individual por lo que si utilizamos la aproximaci´on normal, entonces la proposici´ on 2.1.3 nos dice que 1000

E [S ] =



(0.001)E (100000)

j=1

= 1000(0.001)(100000) = 100, 000 y la varianza es 1000

 

V ar[S ] =

[(0.001)V ar(100000) + (0.001)(0.999)E 2 (100000)]

j=1

1000

=

[(0.001)(0) + (0.001)(0.999)(100000) 2 ]

j=1

= 1000(0.001)(0.999)(100000)2 = 9.99 109 .

×

Luego la probabilidad deseada, aplicando la correcci´on por continuidad pues S   en nuestro ejemplo es discreta, es P (S 

 ≥ 400000)

= P (S 

350000)  350000 100000 = P  Z  9.99 109 = P (Z  2.5012) = 0.0062

  ≥ ≥  ≥

√  −×

 

´ ´ ´ 2.2. EL PROBLEMA DE GRADUACI ON. ALGUNOS M ETODOS DE APROXIMACI ON 

15

a cercana al valor Observaci´ on 2.2.2.  En el ejemplo 2.2.1 vemos que la aproximaci´on normal no est´ verdadero calculado con los dos m´ etodos anteriores a pesar de hacer la correcci´on por continuidad; esto se debe a que el sesgo de  S  no es cero y el de la normal s´ı lo es.

2.2.2.

Aproximaci´ on Gamma Trasladada

Una forma de mejorar la aproximaci´on normal es utilizar la aproximaci´on Gamma Trasladada pues la mayor´ıa de las distribuciones de las reclamaciones tienen la misma “forma” que una distribuci´ on gamma: sesgada a la derecha ( γ  > 0), rango no negativo y unimodal. Cuando aproximamos a una Gamma Trasladada estimamos los par´ametros usuales α  y β  de la distribuci´ on gamma y tambi´en permitimos un ajuste sobre una distancia  x 0 . De aqu´ı, se aproxima la distribuci´ on acumulada de S  por la funci´on de distribuci´on acumulada de Z  +  x 0 , donde Z  gamma(α, β ) y  x 0  representa el desplazamiento a la derecha. Los par´ametros α , β  y x 0  son escogidos de tal forma que la variable aleatoria Z  + x0   tenga aproximadamente los primeros tres momentos iguales a los primeros tres momentos de  S .

 ∼

Proposici´ on 2.2.3. Sea  S  la variable que representa el riesgo de una aseguradora de acuerdo al  modelo colectivo tal que su sesgo γ S  > 0. Entonces los par´  ametros  α, β  y  x0  de la aproximaci´  on 

gamma trasladada son iguales a  α  =

4

γ S (V ar[S ])1/2

γ S 

2

2 , β  =

1/2

y x0  =  E [S ]

]) −  2(V ar[S  γ 

.

S 

ametros deben ser tales que los primeros tres momentos de  S  coincidan Demostraci´ on: Como los par´ con los de Z  + x0 y Z  Gamma(α, β ), entonces

 ∼

E [S ] = E [Z  + x0 ] = E [Z ] + x0 = αβ  + x0 .

 

(2.2)

Tambi´en V ar(S ) = V ar(Z  + x0 ) = V ar(Z ) = αβ 2 .

 

(2.3)

Por otro lado notemos que γ S 

= γ Z +x0 E [(Z  + x0 E (Z  + x0 ))3 ] = (V ar(Z  + x0 ))3/2 E [(Z  + x0 E (Z ) x0 )3 ] = (V ar(Z ))3/2 E [(Z  E (Z )]3 ] = (V ar(Z ))3/2 = γ Z 

− −

−

−

por lo que es suficiente calcular el sesgo de la variable  Z ; para ello utilizaremos la funci´on generadora α 1 de cumulantes de Z  la cual es ψ (t) = ln . Es sencillo comprobar que la tercera derivada 1 β t

  −

´ ´ CAP ´ ITULO 2. DISTRIBUCI ON DEL N UMERO Y MONTO DE SINIESTROS 

16

es  ψ (3) (t) = 2αβ 3 (1

−3

− β t)

por lo que E [(Z  γ S 

− E (Z )]3] = ψ (3)(0) = 2αβ 3(1 − β 0)

−3

= γ Z  2αβ 3 = (αβ 2 )3/2 2 = .

= 2 αβ 3 . Luego

 

√ α

(2.4)

Resolviendo la ecuaciones (2.2), (2.3) y (2.4) concluimos que α  =

4 2 γ S 

γ S (V ar[S ])1/2

, β  =

y x0  = E [S ]

2

−

 2(V ar[S ])1/2 γ S 

. 

Observaci´ on 2.2.4.   Cuando  γ S 

 → 0 la aproximaci´on normal aparece.

Ejemplo 2.2.5.   Resolver el ejemplo 2.2.1 utilizando aproximaci´ on gamma trasladada. Soluci´ on:  Ya vimos en el ejemplo 2.2.1 que si definimos las variables X i  como la variable Bernoulli

que toma valor uno si la i ´esima persona muere y cero si sobrevive, entonces la variable Y  = X 1  +  · · · + X 1000  se distribuye binomial con par´ametros (1000,0.001). M´a s a´ un, P (S   400000) = P (Y  4). Calculemos el sesgo de Y  para comprobar si cumple con los supuestos de la aproximaci´on gamma trasladada.

−

 ≥

 ≥

Sabemos que la funci´on generadora de cumulantes para la variable  Y  que se distribuye binomial est´ a dada por ψY  (t)

= ln M Y  (t) = ln[ pet + (1  p)]n = n ln[ pet + (1  p)]

− −

de donde obtenemos que las derivadas son iguales a npet  pet + (1  p) np(1  p)et  ψY  (t) = [ pet + (1  p)]2 np(1  p)et [  pet + (1  ψY  (t) = [ pet + (1  p)]3  ψY   (t)

=

−

− − −

−

−

− p)]

luego el sesgo de Y  es γ Y 

= =

 (0) ψY 

3/2

σY 

np(1  p)(1 2 p) ( npq )3

−√  −

sustituyendo los valores de n = 1000 y p = 0.001 obtenemos que γ Y    = 0.998499  1. Lo anterior quiere decir que la aproximaci´on normal no es del todo buena pues como vimos en el ejemplo 2.2.1 la aprobabilidad obtenida con la aporximaci´ on normal quedo un poco lejos del valor verdadero; sin embargo, s´ı podemos utilizar la aproximaci´on gamma trasladada. Recordemos que  E [Y ] = np = 1 y V ar(Y ) =  np(1  p) = 0.999.

 ≈

−

Por la proposici´ on 2.2.3 tenemos que α = 2(V ar[S ])1/2 γ S 

=

4 2 γ Y 

= 4, β  =

γ S (V ar[S ])1/2

2

=

1 y x0 = E [S ] 2

−

 −1, por lo tanto la probabilidad pedida utilizando la aproximaci´on gamma trasla-

dada y haciendo correcci´on por continuidad es

´ DE LA PROPENSI ON ´ AL RIESGO  2.3. VARIACI ON

P (S 

 ≥ 400000)

17

= P (Y  = P (Y  = =

≥ 4) ≥ 3.5) P (Z  + ( −1) ≥ 3.5) P (Z  ≥ 4.5) ∞

1 z α−1 exp{ z/ β }dz α 4.5 Γ(α)β  = 0.0212 =

 

−

la cual es mejor que la aproximaci´on normal.



2.3.

Variaci´ o n de la Propensi´ on al Riesgo

2.4.

La Distribuci´ on del Monto de Siniestros

En esta secci´on consideraremos alguno casos particulares del modelo colectivo para determinar sus caracter´ısticas. Cada uno de los modelos est´a determinado por la distribuci´on de la variable aleatoria N . Las demostraciones de las proposiciones ser´an ejercicios para los estudiantes pues son una consecuencia inmediata de aplicar los resultados de la proposici´on 2.1.8. As´ı mismo aclaramos que los momentos centrales de las variables Y   ser´a denotada por µn = E [Y n ] haciendo ´enfasis en que µ  representa E [Y ].

2.4.1.

Modelo Binomial Compuesto

Cuando el n´ umero de reclamaciones  N  tiene una distribuci´on binomial decimos que el riesgo  S  tiene una distribuci´on binomial compuesta . Las suposiciones para este modelo son: a) El riesgo total consiste de varios riesgos intercambiables, b) El intervalo de tiempo bajo consideraci´ on puede ser dividido en varios intervalos de tiempo independientes e intercambiables y c) existe a lo m´as una reclamaci´on por riesgo individual e intervalo. Proposici´ on 2.4.1. Sea S  como en el modelo colectivo. Si  N 

 ∼ Bin(n, p), entonces:

1. E [S ] = npµ. 2. V ar[S ] = np(µ2

− pµ2).

− E (S ))3] = n( pµ3 − 3 p2µ2µ + 2 p3µ3). 4. M S (t) = (1 − p + pM Y  (t))n . 3. E [(S 

2.4.2.

Modelo Binomial Negativo Compuesto

Cuando el n´ umero de reclamaciones N  tiene una distribuci´on binomial negativa decimos que el riesgo S   tiene una distribuci´on binomial negativa compuesta y se tiene la siguiente proposici´on: Proposici´ on 2.4.2. Sea S  como en el modelo colectivo. Si  N 

 ∼ Bin neg(α, p), entonces:

1. E [S ] =  α

  −  1  p

1 µ.

´ ´ CAP ´ ITULO 2. DISTRIBUCI ON DEL N UMERO Y MONTO DE SINIESTROS 

18

  −     −  −     −  −  −  

2. V ar[S ] =  α 3. E [(S 

1

1  p

1 E (S )) ] =  α  p

4. M S (t) =

2.4.3.

1  p 3

1

µ2 + α

1  p

1 (µ2

1 1 µ3  + 3 α  p

p (1  p)M Y  (t)

2

1

µ2 ).

  − 

1 µ2 µ + 2α  p

1

3

µ3 .

α

.

− −

Modelo Poisson Compuesto

Cuando el n´ umero de reclamaciones N  tiene una distribuci´on Poisson decimos que el riesgo S  tiene una distribuci´on Poisson Compuesta . Otro caso para considerar este modelo es tener el modelo binomial compuesto con n grande y p   peque˜ no pues la distribucion binomial se puede aproximar a una distribuci´ on Poisson con par´ametro  λ  = np. Proposici´ on 2.4.3. Sea  S  como el modelo colectivo. Si  N 

 ∼ Poisson(λ), entonces:

1. E [S ] =  λ µ. 2. E [S 2 ] =  λ µ2  + λ2 µ2 . 3. E [S 3 ] =  λ µ3  + 3 λ2 µ2 µ + λ3 µ3 . 4. V ar[S ] =  λ µ2 .

− E (S ))3] = λµ3. 6. M S (t) =  exp[λ(M Y  (t) − 1)]. 5. E [(S 

2.4.4.

Modelo Poisson Compuesto con Varios Tipos de Riesgo

Un resultado importante es el que indica que la suma de riesgos independientes que siguen el modelo Poisson Compuesto, forman un modelo Poisson Compuesto. on Poisson Compuesta  Proposici´ on 2.4.4.   Sean  S 1 y  S 2  dos riesgos independientes con distribuci´  con par´  ametros  λ1 y  λ2 , y reclamaciones  Y (1) Y (2) con funciones de distribuci´  on  G1 (x) y  G2 (x), respectivamente. Entonces el riesgo S  = S 1 + S 2   sigue una distribuci´  on Poisson compuesta con  par´  ametro λ  =  λ 1  + λ2  y las reclamaciones tienen la siguiente funci´  on de distribuci´  on: G(x) =

λ1  λ 2  G 1 (x) +  G 2 (x) λ λ

Demostraci´ on:  Se deja como ejercicio 18.



on 2.4.4 se puede extender para el caso S  = S 1  +  · · · + S n   (ver Observaci´ on 2.4.5.  La proposici´ ejercicio 19).

2.4.5.

Modelo Poisson Compuesto con Reclamaciones Clasificadas

Adem´ as del modelo Poisson compuesto con varios tipos de riesgo, existe otro modelo cuya carater´ıstica es que las reclamaciones son clasificadas mediante alg´un criterio como por ejemplo el monto de la reclamaci´on. Las supuestos de este modelo son los siguientes: 1. S   es poisson compuesto com par´ametro  λ . 2. Las reclamaciones pueden ser clasificadas en m categor´ıas excluyentes y exhaustivas denotadas por A 1 ,...,Am .

´ DEL MONTO DE SINIESTROS  2.4. LA DISTRIBUCI ON

19

3. La probabilidad de que las reclamaciones pertenezcan a la categor´ıa k   la denotaremos por  pk , es decir, pk = P (Y  Ak ) y supondremos que pk >   0 para todo valor de k   y adem´as  p1  +  · · · + pm  = 1.

∈

4. N k  representa el n´umero de reclamaciones que pertenecen a la categor´ıa  A k  y como consecuencia, es claro que  N  = N 1  +  · · · + N m . Observaci´ o n 2.4.6.   Debido a la independencia de los montos de las reclamaciones el vector

(N 1 ,...,N m ) tiene una distribuci´on condicional multinomial ( p1 ,...,pm ; n) cuando N  = n, es decir, para enteros no negativos  n1 ,...,nm  tales que n 1 + · · · + nm  = n, la funci´on de densidad conjunta condicional es P (N 1  = n 1 ,...,N m  = n m |N  = n) =





n! n  pn1 1 · · · pnmm =  pn1 · · · pnmm . n1 · · · nm n1 ! · · · nm ! 1

La siguiente proposici´on nos dice cu´al es la distribuci´on no condicional del vector (N 1 ,...,N m ). Proposici´ on 2.4.7. Sea  S  de acuerdo al modelo Poisson compuesto con reclamaciones clasificadas.

Entonces las variables aleatorias  N 1 ,...,N m  son independientes y cada variable  N k  tiene distribuci´  on  Poisson(λ pk ). Demostraci´ on:  Sean n 1 ,...,nm  enteros no negativos tales que  n 1  +  · · · + nm  =  n. Entonces por la observaci´on 2.4.6 y recordando que  N  Poisson(λ) tenemos que

 ∼

P (N 1  = n 1 ,...,N m  = n m ) = P (N 1  = n 1 ,...,N m  = n m , N  = n) = P (N 1  = n 1 ,...,N m  = n m |N  = n)P (N  = n) n! λn =  pn1 1 · · · pnmm  e−λ n1 ! · · · nm ! n! n1 +···+nm n! n1 nm λ =  p1 · · · pm e−λ( p1 +···+ pm ) n1 ! · · · nm ! n! 1 n1 nm n1 =  p · · · pm λ · · · λnm e−λ p1 · · · e−λ pm n1 ! · · · nm ! 1 n (λ pi )ni −λ pi = e . ni !



k=i

Notemos que los t´erminos de la productoria corresponden a la funci´on de densidad de una variable Poisson, por lo que si demostramos que  N k Poisson(λ pk ) entonces N 1 ,...,N m  ser´an independientes. Calculemos las marginales:

 ∼

P (N k  =  nk ) =

           · ··

n1

=

· ··

nk−1 nk+1

· ··

nm

· ··

n1

=

nk−1 nk+1 nk (λ pk ) −λ pk

nk !

P (N 1  = n 1 ,...,N m  = n m )

e

n1

nm

n

(λ pi )ni −λ pi e ni ! i=1

· ··

n

· ··

nk−1 nk+1

nm

i = 1 i =  k

(λ pi )ni −λ pi e ni !



Por lo tanto, como N k

 ∼

(λ pk )nk −λ pk = e . nk ! Poisson(λ pk ) concluimos que N 1 ,..,N m  son independientes.



Observaci´ on 2.4.8.  Observemos que condicionadas al evento (N  = n), las variables N 1 ,...,N m no

son independientes, mientras que sin tal condici´on, s´ı lo son. Proposici´ on 2.4.9.   Sean  S  como en el modelo Poisson compuesto con reclamaciones clasificadas y 

S k  el riesgo total de la categor´ıa  A k . Entonces  S k  sigue el modelo Poisson compuesto con par´  ametro λ pk  y la distribuci´  on  Gk (y) del monto de las reclamaciones de la categor´ıa  Ak   est´  a dada por 

´ ´ CAP ´ ITULO 2. DISTRIBUCI ON DEL N UMERO Y MONTO DE SINIESTROS 

20

Gk (y) =

P (Y j y, Y j Ak ) . P (Y j Ak )

 ≤

 ∈

 ∈

on 2.4.7 los montos de las reclamaciones son independientes de  N , Demostraci´ on:  Por la proposici´ as´ı el riesgo total de la categor´ıa  A k  est´a dado por N 

S k  =



Y j 1{Y j ∈Ak }

j=1

donde N 

 ∼ Poisson(λ pk ), as´ı que concluimos que S k  es Poisson compuesto.

La distribuci´ on condicional del monto de las reclamaciones de este riesgo es Gk (x) = P (Y j x|Y j Ak ) P (Y j x, Y j Ak ) = . P (Y j Ak )

 ≤  ≤

 ∈

 ∈  ∈



Corolario 2.4.10. Sea  S   como en el modelo Poisson compuesto con reclamaciones clasificadas 

donde las categor´ıas son  Ak = (yk−1 , yk ] con  0 < y0 < y1   < ... < ym . Sea  Gk (y)   la funci´  on de  distribuci´  on de las reclamaciones que pertenecen a la categor´ıa  Ak , entonces para  y  A k   tenemos  que  G(y) G(yk−1 ) Gk (y) = . G(yk ) G(yk−1 )

 ∈

− −

on 2.4.9 tenemos que Demostraci´ on:  Por la proposic´ Gk (y) = =

P (Y j x, Y j Ak ) P (Y j Ak ) G(x) G(xk−1 ) . G(xk ) G(xk−1 )

 ≤

− −

 ∈

 ∈



El resultado del corolario 2.4.10 se aplica para y Ak . Para saber cu´al es el valor de la distribuci´on Gk (y) para y / Ak  podemos utilizar el resultado del ejercicio 21.

∈

 ∈

umero de reclamaciones N  de una cartera de seguros se distriEjemplo 2.4.11.  Supongamos que el n´ buye Poisson(1000) y que el monto de cada una de las reclamaciones se distribuye  U (2000, 100000). La aseguradora ha contratado un reaseguro que funciona de la siguiente manera: la aseguradora paga todas las reclamaciones cuando ´estas son menores o iguales a 60, 000 y paga s´o lo el 20% de las reclamaciones que son superiores a 60 , 000. Determina el monto esperado de la siniestralidad que hace frente la aseguradora. Soluci´ on:   Tenemos que considerar dos categor´ıas para las reclamaciones: A1   = (2000, 60000) y

A2   = (60000, 100000) pues la siniestralidad a pagar en cada una de ellas tiene un tratamiento diferente. El riesgo total de la aseguradora puede ser visto mediante el modelo S  = S 1  + 0.2S 2 donde S 1   representa el acumulado de todas las reclamaciones que est´a n en A1 y S 2  representa N 1

el acumulado de todas las reclamaciones que est´an en A2 . M´ a s a´ un, S 1 =

 i=1

N 2

 i=1

Y i |Y i

Y i |Y i

 ∈ A1 y S 2 =

 ∈ A2 donde N 1 y N 2 representan el n´umero de reclamaciones que pertenecen a las categor´ıas

A1 y A 2 , respectivamente y adem´as satisfacen N  = N 1  + N 2 . Luego la siniestralidad esperada total es E [S ] = E [S 1 ] + 0.2E [S 2 ] y por la proposici´on 2.1.8 tenemos que E [S 1 ] = E [N 1 ]E [Y i |Y i A1 ]

 ∈

´ DEL MONTO DE SINIESTROS  2.4. LA DISTRIBUCI ON

21

y E [S 2 ] = E [N 2 ]E [Y i |Y i A2 ] as´ı que E [S ] = E [N 1 ]E [Y i |Y i Calculemos cada una de estas esperanzas.

∈

 ∈ A1 es: P (Y  ∈ A1 )

∈

A1 ] + 0.2E [N 2 ]E [Y i |Y i

∈

A2 ].

La probabilidad de que Y 

= P (2000   6000

 

=

2000

∈ A2 es: P (Y  ∈ A2 )

1

60000

29 49

= y la probabilidad de que Y 

≤ Y  ≤ 60000)

= P (60000   10000

 

=

60000

≤ Y  ≤ 100000) 1

60000

20 49

=



luego, por la proposici´ on 2.4.7 tenemos que N 1

 ∼ Poisson

de donde concluimos que E [N 1 ] = 1000

− 2000 dy

− 2000 dy

1000

×

 29 49



y que N 2

 29 ×  29 y E [N 2 ] = 1000 × . 49 49

 ∼ Poisson  



1000

×

(2.5)

Por otro lado, el corolario 2.4.10 junto con el ejercicio 21 nos dice que la distribuci´on G1 (y) de la variable Y i |Y i A1 es

 ∈

G(y) G(0) G(60000) G(0)

−

G1 (y) =

=

=

         

−

0 y 2000 2000 < y E (S )).

26

´ ´ CAP ´ ITULO 2. DISTRIBUCI ON DEL N UMERO Y MONTO DE SINIESTROS 

27. Suponga que el riesgo S  sigue una distribuci´on Poisson Compuesta con par´ametro λ  = 20, y que los montos de las reclamaciones est´an dados por la variable Y  = X  3 donde X   tiene distribuci´ on Pareto(3, 4). Compruebe que el valor de la prima  p  que cumple P (S > p) 0.01 es p  =38.0194.

 −

≤

28. Encuentre una expresi´on para la aproximaci´on gamma trasladada cuando el riesgo sigue una distribuci´ on a) Poisson Compuesta b) Binomial Compuesta c) Binomial Negativa Compuesta