Distribucion de Probabilidades

DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES

La distribución de probabilidad es una distribución distribuci ón teórica de frecuencias que describe como se espera que varíen los resultados de un experimento. experiment o. Existen diferentes tipos de modelos model os que permiten describir el comportamiento de fenómenos estadísticos que permiten hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. Distribuciones discretas , Son aquellas donde las variables asumen un número limitado

de valores, por ejemplo el número de años de estudio. Estas son: binomial , hipergeometrica y poisson Distribuciones continuas:  Son aquellas donde las variables en un estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados límites; por ejemplo, la altura de un estudiant e

DISTRIBUCIONES DISCRETAS 

La distribución distribuci ón de probabilidad para una variable aleatoria discreta puede ser:

1.- Una relación teórica de resultados y probabilidades que se puede obtener de un modelo matemático y que representa algún fenómeno de interés. 2.- Una relación empírica de resultados y sus frecuencias relativas observadas. 3.- Una relación subjetiva de resultados relacionados con sus probabilidades subjetivas o artificiales artifici ales que representan el grado de convicción del encargado en tomar decisiones sobre la probabilidad de posibles resultados 

   

DISTRIBUCION BINOMIAL

Esta distribución distribuc ión fue elaborada por Jacobo Bernoulli y es aplicable aplica ble a un gran número de problemas de carácter económico y en numerosas aplicaciones como: - Juegos de azar. - Control de calidad de un producto. - En educación. - En las finanzas.

Es una distribución discreta de probabilidad que es aplicable como un modelo en situaciones de toma de decisiones en las que se supone que el proceso de muestreo se ha realizado conforme a un proceso de Bernoulli. Un proceso de Bernoulli es un proceso en el cual: En cada ensayo solo pueden presentarse dos resultados u observaciones mutuamente excluyentes. Para simplificar, a estos resultados se les llama éxito y fracaso. Los resultados de una serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes. La probabilidad de éxito en cada ensayo, denotada por “p”, permanece constante de un

ensayo a otro. P[ x = k] = ( n/k ) pk qn - k



K = numero de éxitos



n = número de pruebas



p = probabilidad de éxitos



q = probabilidad de fracasos



DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

Se emplea para calcular la probabilidad de obtener determinado número de éxitos en un espacio muestral de n ensayos; pero a diferencia de la distribución binomial es que los datos de la muestra se extraen sin reemplazo en una población finita. Por esto es que el resultado de una observación depende o es afectado por el res ultado de cualquier otra u otra observación anterior. Es decir la distribución hipergeométrica se emplea para muestreos sin reemplazo de una población finita cuya probabilidad de ocurrencia cambia a lo largo del ensayo. P ( X ) = (s C x ) (N - S C n - x ) / N C n 

N = Tamaño de la población



s = numero de éxitos en la población



x = numero de éxitos que son de interés



n = Tamaño de la muestra o números de ensayos



C = Denota una combinación



DISTRIBUCION DE POISSON

Esta función de distribución de variable discreta se emplea para calcular las probabilidades asociadas a la variable aleatoria dentro de un intervalo continuo de tiempo o espacio; este intervalo es generalmente una unidad de medida conocida: cm2, Km., gramos, litros, pulgadas, etc. 

.- La probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es estable.



2.- La probabilidad de observar dos o más éxitos en el intervalo es cero.

 

3.- La ocurrencia de un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente independiente de que suceda en cualquier otro intervalo

λ=np

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

DISTRIBUCIÓN NORMAL. Características: Es generada por una variable de tipo continuo, denominada x; La función que nos define esta distribución es:

-  x  

- x   Dónde:

μ (mu) es la media σ (sigma) es la desviación estándar  σ2 es la varianza. 

= 3.1416 Constante e = 2.7183 Constante

 Al dar a la función los valores de  , 2 y valores a x, obtendremos una distribución en forma de campana, por lo que también se le conoce como campana de Gauss. Hay un número infinito de funciones de densidad Normal, una para cada combinación de  y . La media  mide la ubicación de la distribución y la desviación estándar  mide su dispersión. El área total bajo la curva es 1. Son más probables los valores cercanos a media µ. Su función de densidad es simétrica La curva es asintótica toma cualquier valor (- , +). Conforme nos separamos de ese valor µ, la probabilidad va decreciendo de forma más o menos rápida dependiendo de la desviación (σ). , Aprox. 68.26% de los datos bajo la curva,  2 , Aprox. 95.44% de los datos bajo la curva  3 , Aprox. 99.74% de los datos bajo la curva

Esta característica es a la vez una forma empírica y rápida de demostrar si los datos que se analizan tienen una distribución Normal; ya que para trabajar los datos con esta distribución, debe verificarse que efectivamente así se distribuyen, ya que de no hacerlo, las decisiones que en un momento dado se tomarán de un análisis de los datos con la distribución Normal, serían erróneas.  ¿ C ómo se determinan probabilidades con la dis tribución Normal?

Lo más lógico es que la función f(x, ,2), se integre entre los límites de la variable x; esto es,

La integral anterior nos daría el área bajo la curva de la función, desde a  hasta b, que corresponde o es igual a la probabilidad buscada. Debido a la dificultad que se presenta para integrar esta función cada vez que sea necesario, lo que se hace es tipificar el valor de la variable x (Cuando la media de la distribución es 0 y la varianza es 1 se denomina "normal tipificada), esto es, x se transforma en un valor de z. −  Si la variable X es N (μ, σ), la variable tipificada de X es: Z =  Y sigue también una distribución normal pero de μ = 0 y σ = 1, es decir N (0, 1)

 A la variable Z se la denomina variable tipificada de X , y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada . Característica de la distribución normal tipificada

No depende de ningún parámetro Su media = 0, su varianza = 1 y su desviación = 1. La curva f(x) es simétrica respecto del eje OY Tiene un máximo en este eje Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y Z=-1 Este valor de z es buscado en una tabla donde vienen áreas asociadas a este valor, y haciendo uso de los valores tabulados, se determina la probabilidad requerida. La tabla que es usada para calcular las probabilidades es la que nos da el área que se muestra a continuación: El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión de agua se especificó un espesor de 7/16 pulgadas para el mortero. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Sí las mediciones de espesor, tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fue inferior a 7/16 de pulgada? Ejemplo1:

x = define el espesor del mortero en pulgadas  = 0.635 pulgadas  = 0.082 pulgadas Z=

−  



Z=

−0.635

1

0.082

 =

 p(x    7/16 pulgadas) = menor de 7/16 pulgada

0.4375−0.635 0.082

= -2.41

P (z = -2.41) = 0.008

0.8% de los recubrimientos de mortero tienen un espesor