Distribución de Probabilidades Discretas (2)
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estadistica...
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RECORDANDO Sea: X= número de neumáticos de un automóvil seleccionado al azar, que tenga baja la presión. a). !uál de las siguientes tres distribuciones "#$) es una distribución de probabilidad para X, % por qu& no se permiten las otras dos' X 0 1 2 3 4 P(x)
0,3
0,2
0,1
0,05
0,05
P(x)
0,4
0,1
0,1
0,1
0,3
P(x)
0,4
0,1
0,2
0,1
0,3
b). "ara la distribución de probabilidades del (tem #a), !alcule:
P(2 �X �4); P(X �2) y P( X �0)
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Equipo de docentes de Probabilidad y Estadística
Dirección de Calidad Educatia
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Semana 14
Propósito de clase
Explica y diferencia las principales distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas. Aplica e interpreta las distribuciones de probabilidades para variables aleatorias discretas en el desarrollo de prácticas y ejercicios..
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Una distribución de probabilidad binomial resulta de un procedimiento que cumple con todos los siuientes requisitos! 1" #l procedimiento tiene un n$mero %i&o de ensa'os" 2" os ensa'os deben ser independientes. (#l resultado de cualquier ensa'o indiidual no a%ecta las probabilidades de los dem*s ensa'os)" 3" +odos los resultados de cada ensa'o deben estar clasi%icados en dos cateoras (eneralmente llamadas éxito y fracaso)" 4" a probabilidad de un -xito permanece iual en todos los ensa'os"
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Probabilidad Histórica o Probabilidad de éxito de cada intento
Número de intentos
p(
x )
n!
(n x)!* x!
La probabilidad de fracaso de cada intento
Número de sucesos en las n tentativas o numero de éxitos
n x
* * (1 ) x
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Media
Varianza " o r * e o r (a
r ( a o e * r " o
( x) n *
2
n * * (1 )
#&emplo 1!
#n la .a&a /uanca'o se reportó que el 20 de pr-stamos a sus clientes aban encido en el mes de abril" i se toma una muestra aleatoria de clientes, de los cuales se les noti%ico sobre su encimiento" .u*l es la probabilidad de que 3 clientes realicen sus paos de encimiento despu-s de la noti%icación
olucionario!
p(
x )
n!
* * (1 ) x
( n x)!* x!
n x
6eempla7ando ' e%ectuando los c*lculos se tiene!
x =Pagos de vencimiento de prestamos Número de sucesos en las n tentativas Número de intentos Proailidad de !xito
x =3 n =8 " =0.#
Interpretación: La probabii!a! !e o" # ciente" noti$ca!o" por %encimiento" !e pa&ó por a Ca'a ()anca*o+ , !e eo" reaicen ")" pa&o" e" !e 14+-#.
#&emplo 2!
+a probabilidad de tener una unidad deectuosa en una l(nea de ensamblajes es de -,-. Si el conjunto de unidades terminales constitu%en un conjunto de ensa%os independientes. a) !ual es la probabilidad de que entre /- unidades, dos se encuentren deectuosas'
olucionario!
p(
x )
n!
( n x)!* x!
* * (1 ) x
n x
6eempla7ando ' e%ectuando los c*lculos se tiene!
Interpretación: La probabii!a! !e /)e entre 10 )ni!a!e" !e en"amba'e+ !o" "e enc)entren !eect)o"a" e" !e 2+4-.
b) !uál es la probabilidad de que entre /unidades, ninguno se encuentren deectuosas'
p(
x )
n!
( n x)!* x!
n x
* * (1 ) x
6eempla7ando ' e%ectuando los c*lculos se tiene!
Interpretación: La probabii!a! !e /)e entre 10 )ni!a!e" !e en"amba'e+ nin&)no "e enc)entren !eect)o"a" e" !e 3+#,.
#&emplo 3!
0l 12 de los tornillos producidos por una máquina están deectuosos. 3eterminar la probabilidad de que de tornillos seleccionados aleatoriamente por lo menos 4 est&n deectuosos.
olucionario!
p(
n!
x )
(n
x )!* x!
* * (1 x
)
n
x
6eempla7ando ' e%ectuando los c*lculos se tiene!
Interpretación: La probabii!a! !e /)e !e - tornio" "eecciona!o"+
#&emplo 4!
+a probabilidad de encontrar un pantalón con algún desperecto de la producción total de una máquina remalladora es de -,14. Si se e$trae una muestra de 5 pantalones, calcule la media % la varianza de la distribución .
olucionario!
p(
n!
x )
(n
x )!* x!
n
* * (1 x
)
x
6eempla7ando ' e%ectuando los c*lculos se tiene!
r ( a o e * r " o
" o r * e o r ( a
abemos que!
( x) n * ( x) 9 * (0.24) ( x) 2.16
2
n * * (1 ) 9 * 0.24 * (0.76) 1.64 2
2
DISTRIBUCIÓN 5OISSON
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DISTRIBUCIÓN 5OISSON Una distribución de probabilidad Poisson resulta de un procedimiento que cumple con todos los siuientes requisitos! 1" #l experimento consiste en contar el n$mero 8x9 de eces que ocurre un eento en un interalo" #sto es en una unidad de tiempo, *rea o olumen" 2" a probabilidad de que un eento ocurra en una unidad dada de tiempo, área o volumen es la misma para todas las unidades" 3" #l n$mero de eentos que ocurren en una unidad de tiempo, *rea o olumen es independiente del n$mero de los que ocurren en otras unidades" 4" #l n$mero medio (o esperado) de eentos en cada unidad se denota por la letra riea (8lambda9)
+a distribución de Poisson se calculan mediante:
“e es la !ase del al"oritmo natural que es i"ual a 2#71$2$
Es el numero esperado o medio de eventos (ocurrencia) que ocurren en un determinado intervalo.
P ( x)
x
* x!
Es el n'mero específico de eventos (ocurrencia) que ocurren en un determinado intervalo. %onde&
( x )
es el numero esperado de ocurrencia en un determinado intervalo.
DISTRIBUCIÓN 5OISSON
Media
Varianza " o r * e o r (a
r ( a o e * r " o
a b d m + a
2
a m g i S
a b d m + a
#&emplo 5!
0n un centro teleónico de atención a clientes se reciben en promedio llamadas por 6ora. !uál es la probabilidad de que en una 6ora seleccionada aleatoriamente se reciban e$actamente 1 llamadas'
olucionario!
x
* P ( x )
x!
6eempla7ando ' e%ectuando los c*lculos se tiene!
Interpretación: La probabii!a! !e /)e en )na 6ora+ e7actamente "e reciban 8 ama!a" por 6ora e" !e 4+4- .
#&emplo :!
0n el centro comercial "laza
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